第一篇：數(shù)論中埃米特恒等式證明

數(shù)論中埃米特恒等式證明

證明下列命題：

（1）x?R?,n?N*，且1至x之間的整數(shù)中，有[]個(gè)是n的倍數(shù)。

（2）若p?xnnnn||n!,則??p(n!)?[]?[2]?[3]??。ppp

（3）x為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù)，求證：（埃米特恒等式）[x]?[x?

證明：（1）因?yàn)閇]?12n?1]?[x?]???[x?]?[nx]。nnnxxxx?[]?1，即[]?n?x?([]?1)?n nnnn

x故x?R?,n?N*，且1至x之間的整數(shù)中，有[]個(gè)是n的倍數(shù)。n

（2）由于p是質(zhì)數(shù)，因此n!含p的方次數(shù)p(n!)一定是1,2,3，?,n?1,n各數(shù)中含p的方次數(shù)的總和。由（1）知1,2,3，?,n?1,n中有[]個(gè)p倍數(shù)，有[xnn

pn]個(gè)p2的倍數(shù)，┈，所以2p

nnnp(n!)?[]?[2]?[3]?? ppp

n?1n?1]?[x]時(shí)，即{x}??1?0?n{x}?1 nn

12n?1所以[x]?[x?]?[x?]???[x?]?n[x]，而[nx]?[n[x]?n{x}]?n[x]?[n{x}]?n[x] nnn（3）不妨設(shè)x?0，①當(dāng)[x?故等式此時(shí)成立。n?1kk?1]?[x]?1時(shí)，設(shè)k?0,1,2,?,n?2，使得，[x?]?[x],[x?]?[x]?1，nnn

k?{x}??1?n?k?1n?kn則???{x}??n?k?1?n{x}?n?k?[n{x}]?n?k?1 k?1nn?1?{x}??2n?

12n?1所以[x]?[x?]?[x?]???[x?]?(k?1)[x]?(n?k?1)([x]?1)?n[x]?n?k?1 nnn②當(dāng)[x?

[nx]?[n[x]?n{x}]?n[x]?[n{x}]?n[x]?n?k?1 故[x]?[x?12n?1]?[x?]???[x?]?[nx]。nnn

12n?1]?[x?]???[x?]?[nx]成立。nnn綜合①②得，x為正實(shí)數(shù)時(shí)，n為正整數(shù)，[x]?[x?

同理可證得x?0時(shí)，結(jié)論也成立；當(dāng)x?0時(shí)，結(jié)論顯然成立。

綜合上述得，x為實(shí)數(shù)時(shí)，n為正整數(shù)，[x]?[x?12n?1]?[x?]???[x?]?[nx]成立。nnn

第二篇：證明會(huì)計(jì)恒等式1[推薦]

證明會(huì)計(jì)恒等式“資產(chǎn)=負(fù)債+所有者

如：大華公司2010年12月資產(chǎn)總計(jì)為500W元，其中權(quán)益資金400W元，長(zhǎng)期借款100W元

即：500W=100W+400W

左邊=右邊1、2010年12月1日，從銀行提取現(xiàn)金10W元備用、分析：庫(kù)存現(xiàn)金增加10W資產(chǎn)銀行存款減少10W資產(chǎn) 500W+10W-10W=100W+400W

資產(chǎn)一增一減（金額相等），右邊不變，不改變恒等2、2010年12月4日，從銀行借入3個(gè)月需要?dú)w還的借款4W元，支付所欠恒大公司的貨款。

分析：短期借款增加負(fù)債

應(yīng)付賬款減少負(fù)債

500W=100W+（4W-4W）

+400W

負(fù)債一增一減（金額相等），資產(chǎn)、所有者權(quán)益不變，不改變恒等3、2010年12月8日，企業(yè)為了擴(kuò)大規(guī)模，將資本公積金70W元轉(zhuǎn)增為企業(yè)資本

分析：資本公積減少所有者權(quán)益

實(shí)收資本增加所有者權(quán)益

所有者權(quán)益一增一減（金額相等），負(fù)債、資產(chǎn)不變，不改變恒等

500W=100W+400W+(70W-70W)

4、2010年12月12日。從銀行借入2年期歸還的借款100W元，購(gòu)買(mǎi)設(shè)備一臺(tái)。、分析：長(zhǎng)期借款增加負(fù)債固定資產(chǎn)增加資產(chǎn)

500W+100W=（100W+100W）

+400W

等式兩邊同時(shí)增加，（所有者權(quán)益不變）不改變恒等5、2010年12月18日，收到虎臺(tái)公司以現(xiàn)金投入的資本金80W元，存入銀行

分析：實(shí)收資本增加所有者權(quán)益

銀行存款增加資產(chǎn) 500W+80W=100W+400W+80W

等式兩邊同時(shí)增加，（負(fù)債不變）不改變恒等6、2010年12月20日，以銀行存款2W元，歸還企業(yè)所欠貨款

分析：銀行存款減少資產(chǎn)應(yīng)付賬款減少負(fù)債 500W-2W=100W-2W+400W

等式兩邊同時(shí)減少，（所有者權(quán)益不變）不改變恒等7、2010年12月22日，股東張三撤資，以銀行存款支付其投資款60W元

分析：銀行存款減少資產(chǎn)實(shí)收資本減少所有者權(quán)益

500W-60W=100W+400W-60W

等式兩邊同時(shí)減少，（負(fù)債不變）不改變恒等8、2010年12月24日，經(jīng)與債權(quán)人協(xié)商同意，將所欠宏濤公司貨款10W元，轉(zhuǎn)增為企業(yè)實(shí)收資本

分析：應(yīng)付賬款減少負(fù)債實(shí)收資本增加所有者權(quán)益

500W=100W-10W+400W+10W

左邊不變（資產(chǎn)），右邊一增一減不改變恒等9、2010年12月29日，年終分紅，計(jì)劃將凈利潤(rùn)30萬(wàn)元進(jìn)行分配

分析：利潤(rùn)分配減少所有者權(quán)益

應(yīng)付股利增加負(fù)債

500W=100W+30W+400W-30W

左邊不變（資產(chǎn)），右邊一增一減不改變恒等

第三篇：算兩次在證明組合恒等式中的應(yīng)用

“算兩次”思想在證明組合恒等式中的應(yīng)用

mn?m1.Cn，取走和剩下的一一對(duì)應(yīng)； ?Cn

n

2.?C

k?0kn?2n

122nn我們可令等式(1?x)n?1?Cnx?Cnx???Cnx中的x等于1，得到該式。

另外，我們可考察集合{b1,?,bn}的子集的個(gè)數(shù)：

一方面，采取加法原理，根據(jù)子集中元素個(gè)數(shù)分類：?C

k?0nkn；

另一方面，采取乘法原理，設(shè)其子集為S，我們逐一考察bi,i?1,2,?,n是否在S內(nèi)，每個(gè)元素都有兩種可能，考察完畢，子集S確定，或者我沒(méi)把子集看成一個(gè)排列，如

n；?b1??1,0,0,?,0。共2。??0,0,?,0??????????

nn?1

所以得證。

mmm?1mm?13.Cn，從{a,b1,?,bn}取m個(gè)有Cn，一類不含a：?1?Cn?Cn?1種：一類含a：Cnm。Cn

mmm?1推廣①： An ?1?An?mAn

mm?1m從{a,b1,?,bn}取m個(gè)排成一排An，一類不含a：An。?1：一類含a：mAn

n?1nnnnn推廣②：Cn?C?C?C??

?C?C?m?1m?nm?n?1m?n?2n?1n

解釋：有m+n+1不同小球，其中黑球m+1個(gè)，白球n個(gè)。從中選取n+1個(gè)小球，n?1選法共：Cn?m?1種，n考慮另外一種算法：若有黑1則在剩余小球中選n個(gè)，即Cn?m，若無(wú)黑1，則考慮是否有

n黑2，若有則從剩余n+m-1個(gè)小球中取n個(gè)，即Cn?m?1，依次考慮下去，到考慮是否有黑

nm，若有，則在剩余n個(gè)小球取n個(gè)，即Cn?1，若無(wú)黑m。則必有黑m+1，最后剩下的m

個(gè)白球全取。總共Cm?n?Cm?n?1?Cm?n?2???Cn?1?Cn。所以得證。nnnnn

rr?1

本公式另一種表現(xiàn)形式：Crr?Crr?1???Crr?2???Cn本公式也可從楊輝三角?1?Cn。

觀察可得。還可考察等式(1?x)?(1?x)

rr?1

???(1?r)

n?1

(1?x)n?(1?x)x

?兩端

x

xr的系數(shù)相同。

推廣③： C

rn?m

kr?k

??CmCnk?0r

r

從{a1,?am,b1,?,bn}取r(r?m)個(gè)元素Cn：從這n+m個(gè)元素中取k個(gè)a系，r-k個(gè)b?m

r

系的方法CC

k

mr?kn

種，k?0,1,2,?,r，所以C

rn?m

kr?k

。（Vandermonde恒等式）??CmCnk?0

rrr?1

特例，當(dāng)m?1時(shí)，即Cn?C?C?1nn。

n

當(dāng)n?m?r時(shí)，??Cnk??C2nn?

k?0

?2n?!。

（人教B選修2-3教材P35T17，此題

n!?n!

n

還可以通過(guò)考察等式(1?x)n(1?x)n?(1?x)2n左右兩邊含x項(xiàng)的系數(shù)相等得到；同樣考察(1?x)n(1?x)m?(1?x)n?m左右兩邊含x項(xiàng)的系數(shù)相等得到Vandermonde恒等式）

1222n2n?1推廣④：(Cn)?2(Cn)???n(Cn)?nC2n?1。

r

r

證明：由C

r

n?m

kr?kkk?1，令r?m?n?1結(jié)合kCn??CmCn?nCn?1可得。k?0

nC

n?1

2n?1

kn?k?1

?n?Cn?1?Cn

k?0

n?1

kn?k?1

??nCn?1?Cnk?0n?1

k?1n?k?1??(k?1)Cn?Cnk?0n?1

n?1

??(k?1)?C

k?0n

k?1

n

?

??k?C

k?0

kn

?

得證。

解釋：a系{a1,a2,?,an}選一個(gè)作為主元素，從剩余的2n-1中再選n-1個(gè)；再有對(duì)于k=1，2,3??，n從n個(gè)a系中選k個(gè)，再?gòu)闹羞x一主元素，再?gòu)膎個(gè)b系{b1,b2,?,bn}中選n-k

kn?k

個(gè)（不做主元素），即kCn。?Cn

另一種證明方法：

00nn因?yàn)椋?1?x)n?Cn?Cnx???Cnx，(1?

1n001n1)?Cn?Cn???Cn兩展開(kāi)式右

xxxn

1222n2

(Cn)?2(Cn)???n(Cn)，而

邊乘積中的常數(shù)項(xiàng)恰好等于

(1?x)n(1?

1n1n)?n(1?x)2n，(1?x)2n中含xn的系數(shù)是C2

n。

xx

kr?k，當(dāng)n?m時(shí)，即是上式。??kCmCn

k?1m

推廣：mC

r?1

n?m?1

rr?1

4.rCn（可直接用組合數(shù)公式證明）?nCn?1，r

解釋：從n個(gè)元素中選出r個(gè)元素并把其中之一作為主元素rCn，另一方法，先從n個(gè)r?1元素中選出一個(gè)主元素，再?gòu)氖Ｓ嗟膎-1個(gè)元素中選取r-1個(gè)元素nCn?1。123n用之可證明人教B版選修2-3P32T6：Cn?2Cn?3Cn???nCn?n?2n?1。

0n?1（證明一：倒序相加；證明二：從左往右結(jié)合2n?1?Cn?1???Cn?1；證明三：122nn

x?1）(1+x)n=C0n?Cnx?Cnx???Cnx兩端求導(dǎo)并令123n

Cn?2Cn?3Cn???nCn?n?2n?1的推廣：

n?mk?0

m?kmn?mmn?m時(shí)，?Cn。?CmCn?k?2

解釋：考慮從n人中選出m名正式代表及若干名列席代表的選法（列席代表不限人數(shù)，可以為0）.m

一方面，先選定正式代表，有Cn種方法，然后從n?m個(gè)人選列席代表，有2

n?m

種方法，共有2

n?m

m

種。Cn

另一方面，可以先選出m?k人（k?0,1,2,?,n?m），然后再?gòu)闹羞x出m名正式代表，其余的k人為列席代表。對(duì)于每個(gè)k,這樣的選法有Cn

m?k

m

?Cm?k種，從而，總選法的種數(shù)為

n?mk?0

?C

m?knm?Cm?k。從而得證。

rr?1rmmr?mrr?1

另：rCn的推廣：，m=1時(shí)即為?nCnC?C?C?CrC?nC?1nrnn?mnn?1。

第四篇：埃米莉面臨的問(wèn)題

埃米莉面臨的問(wèn)題：是否同意一個(gè)病房對(duì)六把未經(jīng)機(jī)械評(píng)估委員會(huì)批準(zhǔn)的Acme牌電動(dòng)剃刀的采購(gòu)申請(qǐng)（該醫(yī)院之前已在第一病房使用過(guò)這種剃刀）

醫(yī)院的采購(gòu)制度：

1.采購(gòu)物品須由運(yùn)作部門(mén)的專門(mén)決策者提出采購(gòu)申請(qǐng)，然后由醫(yī)院采購(gòu)部門(mén)進(jìn)行統(tǒng)一合理采購(gòu)

2.對(duì)于新產(chǎn)品的采購(gòu)，首先要由采購(gòu)部門(mén)進(jìn)行初步審查，然后向器械評(píng)估委員會(huì)提出檢測(cè)評(píng)估申請(qǐng)，對(duì)通過(guò)申請(qǐng)的新產(chǎn)品才能進(jìn)行采購(gòu)

剃刀的背景：

一次性剃刀：是多瑪醫(yī)院長(zhǎng)期以來(lái)一直使用的剃刀，其優(yōu)點(diǎn)是成本低且剃的干凈

Acme牌電動(dòng)剃刀：是該公司的銷(xiāo)售代表繞過(guò)醫(yī)院采購(gòu)部門(mén)向醫(yī)院工作人員推銷(xiāo)產(chǎn)品，從而導(dǎo)致醫(yī)院之前已經(jīng)采購(gòu)了十把這種剃刀。這種剃刀未通過(guò)醫(yī)院器械評(píng)估委員會(huì)的審查，在醫(yī)院不允許被采購(gòu)。其采購(gòu)成本高，可能被偷竊，有衛(wèi)生問(wèn)題，剃的不干凈且使用時(shí)會(huì)斷電（新產(chǎn)品有所改進(jìn)，加了充電線）

采購(gòu)背景：

1.多瑪醫(yī)院采購(gòu)部門(mén)收到了關(guān)于采購(gòu)六把Acme牌電動(dòng)剃刀的采購(gòu)申請(qǐng)，這種剃刀未通過(guò)醫(yī)院器械評(píng)估委員會(huì)的審查，不允許被采購(gòu)

2.之前由于Acme生產(chǎn)公司銷(xiāo)售代表繞過(guò)采購(gòu)部門(mén)推銷(xiāo)產(chǎn)品的舉動(dòng)，導(dǎo)致醫(yī)院已經(jīng)采購(gòu)了十把這種剃刀

3.是否采購(gòu)這種剃刀直接關(guān)系到醫(yī)院采購(gòu)流程的完整性

第五篇：埃特貝樂(lè)詳細(xì)介紹

商品圖片、批號(hào)、介紹、包裝情況、專柜價(jià)等所有信息僅供參考，商品以實(shí)物為準(zhǔn)?；瘖y品的使用效果會(huì)因膚質(zhì)、年齡、季節(jié)、氣候、個(gè)人感覺(jué)、使用方法以及配套產(chǎn)品（不盡之處無(wú)法全部列舉）等的不同而不同，因此，產(chǎn)品介紹的功能及使用效果僅供參考。本商城所售進(jìn)口商品，均以中文標(biāo)識(shí)的生產(chǎn)日期、限用日期為準(zhǔn)。如果您屬敏感肌膚選擇護(hù)膚品，或?qū)υ撋唐芳?xì)節(jié)有任何疑問(wèn)，請(qǐng)?jiān)谟嗁?gòu)前咨詢客服人員。

簽收產(chǎn)品時(shí)，請(qǐng)您一定在配送人員在場(chǎng)時(shí)當(dāng)面檢查商品與送貨單是否一致，若商品有破損，滲漏，缺少，配送有誤等問(wèn)題，請(qǐng)當(dāng)即與本商城客服人員聯(lián)系，在您簽收后發(fā)現(xiàn)上述現(xiàn)象我們將不負(fù)責(zé)退換。

化妝品為宜破、宜碎的貨品，所以請(qǐng)您在簽收時(shí)，一定要仔細(xì)檢查包裹紙箱的完整，若有紙箱有破損，請(qǐng)您立即和我聯(lián)系，拒絕簽收。紙箱若無(wú)損壞，還需要您打開(kāi)紙箱檢查貨物，有些快遞公司規(guī)定在打開(kāi)包裹前，必須先簽字，這種情況下，您可以先簽字，但要當(dāng)著快遞員的面點(diǎn)清貨物，如有短少，請(qǐng)您立即和我聯(lián)系，快遞員會(huì)為您作證。簽收后的寶貝并無(wú)快遞員作證，實(shí)在不好弄清楚真相，不予退還。若有貨物損壞，請(qǐng)拒絕收取，向快遞索賠。（請(qǐng)盡量由本人簽收，實(shí)在要他人代簽的，請(qǐng)您向代簽人交代一定要當(dāng)著快遞面檢查貨物，若簽收后并且無(wú)快遞員作證的寶貝，一律視為本人認(rèn)可貨物簽收，不予退換~?。?duì)于有些產(chǎn)品是帶有外包裝盒的，請(qǐng)您要打開(kāi)查看里面內(nèi)容的完整性，若有

誤差，請(qǐng)當(dāng)快遞員面聯(lián)系我，事后不予退換。謝謝配合。關(guān)于保價(jià)：

若您購(gòu)買(mǎi)很貴重的寶貝，建議您保價(jià)，保價(jià)請(qǐng)您向我提出，我會(huì)把保價(jià)費(fèi)加入您的運(yùn)費(fèi)，若您不提出，說(shuō)明您已經(jīng)同意不保價(jià)，若造成遺失或者損壞，買(mǎi)家們要自行承擔(dān)，（小店的利潤(rùn)實(shí)在不多，而且寶貝都不便宜），實(shí)在是負(fù)擔(dān)不起，但我會(huì)積極的幫助您和快遞交涉。通常在不保價(jià)的情況下，快遞最高的賠償額度是500元。我所給您包的郵費(fèi)不含保價(jià)費(fèi)。保價(jià)費(fèi)：郵費(fèi)10元+貨物保價(jià)總值的3%

關(guān)于產(chǎn)品：

本店所有屬于純植物產(chǎn)品，每一個(gè)季節(jié)不同產(chǎn)品的顏色及味道都會(huì)有相應(yīng)的變化，（比如說(shuō)3221乳滴里面含有玫瑰的成分，玫瑰采摘的季節(jié)不同，當(dāng)然產(chǎn)品出來(lái)的顏色肯定是有差別的，有的顏色看上去晶瑩剔透，則有的顏色看上去暗淡無(wú)光。再說(shuō)3123一直都有米黃色和米白色，）所以請(qǐng)各位MM不要以顏色、味道等等的問(wèn)題來(lái)反復(fù)的問(wèn)是否真假，介意者請(qǐng)繞行。

關(guān)于過(guò)敏：

任何產(chǎn)品都不是100%的免敏或者有效，心得和建議僅供參考，而且皮膚過(guò)敏問(wèn)題原因本身很多：如天氣、飲食等等，請(qǐng)理解我們不可能在此方面做出絕對(duì)承諾和保證，我們會(huì)根據(jù)您的皮膚和以往客戶的口碑向您進(jìn)行建議，但最重購(gòu)買(mǎi)權(quán)由您自己決定，再次提醒：任何產(chǎn)品都不是100%的免敏，產(chǎn)品售出，已經(jīng)開(kāi)封使

用，不退不換。

1.本店產(chǎn)品均已加入銷(xiāo)保享受七天無(wú)理由退換，如果七天內(nèi)產(chǎn)品有質(zhì)量問(wèn)題免費(fèi)退換貨，郵費(fèi)由本店承擔(dān)。如果買(mǎi)家不喜歡產(chǎn)品型號(hào)及顏色七天內(nèi)如無(wú)剪標(biāo)商品完好也可退換貨，郵費(fèi)由買(mǎi)家承擔(dān)。

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正確的簽收貨物方法：事先跟門(mén)衛(wèi)保安家人等可能的簽收人打好招呼，告訴其不要簽收本人快遞，簽收時(shí)一定要盡量先驗(yàn)貨后簽名，如派件員不肯，可先簽收再讓快遞員稍等幾分鐘當(dāng)面檢查貨物。如發(fā)現(xiàn)產(chǎn)品缺少或者產(chǎn)品損壞，請(qǐng)直接拒收退件，并以最快速度聯(lián)系本店客服說(shuō)明情況。

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