第一篇：專題：三角函數(shù)的化簡及三角恒等式的證明問題[大全]

專題：三角函數(shù)的化簡及三角恒等式的證明問題

1.三角函數(shù)的化簡問題：解題思路在于仔

細(xì)觀察待化簡式子的特點(diǎn)（根式、分式、或者可以化為分式的整式）通過去根典型題例——三角恒等式的證明

1.證明8cos??cos4??4cos2??3 2.已知sin?是sin?、cos?的等差中

號、分子分母消去非特殊角三角函數(shù)值的方法，進(jìn)行化簡。

2.三角恒等式證明問題：證明三角恒等式的基本思路，是仔細(xì)觀察等式兩端的特征，通過三角恒等變換，應(yīng)用化繁為簡的原則，運(yùn)用左右歸

一、變更命題的方法，使等式兩端異名化為同名（切割化弦、正余弦互化），異角化為同角（例如將倍角2?、半角

?、統(tǒng)一到?下），異次化為同次（通過2倍角的余弦公式的逆用及變形用進(jìn)行升降次）典型題例——化簡

1.化簡?cos100???cos100?等

于：

A.2cos5?

B.2sin5?

C.?2cos5?

D.?2sin5?

2.化簡2?sin8?2?2cos8 3.若

3?

???2?，化簡

12?1122?12

c2o? s4.化簡

?sin?sin1?sin??

1?sin?

（其中?為銳角）

學(xué)林家教

八年家教經(jīng)驗(yàn)、一流的專職老師授課先上課，滿意輔導(dǎo)質(zhì)量再收費(fèi)1

項(xiàng)，sin?是sin?、cos?的等比中項(xiàng)，求

證

：

c2??2c

(?

??)?2oc

2?s so

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第二篇：證明會計(jì)恒等式1[推薦]

證明會計(jì)恒等式“資產(chǎn)=負(fù)債+所有者

如：大華公司2010年12月資產(chǎn)總計(jì)為500W元，其中權(quán)益資金400W元，長期借款100W元

即：500W=100W+400W

左邊=右邊1、2010年12月1日，從銀行提取現(xiàn)金10W元備用、分析：庫存現(xiàn)金增加10W資產(chǎn)銀行存款減少10W資產(chǎn) 500W+10W-10W=100W+400W

資產(chǎn)一增一減（金額相等），右邊不變，不改變恒等2、2010年12月4日，從銀行借入3個月需要?dú)w還的借款4W元，支付所欠恒大公司的貨款。

分析：短期借款增加負(fù)債

應(yīng)付賬款減少負(fù)債

500W=100W+（4W-4W）

+400W

負(fù)債一增一減（金額相等），資產(chǎn)、所有者權(quán)益不變，不改變恒等3、2010年12月8日，企業(yè)為了擴(kuò)大規(guī)模，將資本公積金70W元轉(zhuǎn)增為企業(yè)資本

分析：資本公積減少所有者權(quán)益

實(shí)收資本增加所有者權(quán)益

所有者權(quán)益一增一減（金額相等），負(fù)債、資產(chǎn)不變，不改變恒等

500W=100W+400W+(70W-70W)

4、2010年12月12日。從銀行借入2年期歸還的借款100W元，購買設(shè)備一臺。、分析：長期借款增加負(fù)債固定資產(chǎn)增加資產(chǎn)

500W+100W=（100W+100W）

+400W

等式兩邊同時(shí)增加，（所有者權(quán)益不變）不改變恒等5、2010年12月18日，收到虎臺公司以現(xiàn)金投入的資本金80W元，存入銀行

分析：實(shí)收資本增加所有者權(quán)益

銀行存款增加資產(chǎn) 500W+80W=100W+400W+80W

等式兩邊同時(shí)增加，（負(fù)債不變）不改變恒等6、2010年12月20日，以銀行存款2W元，歸還企業(yè)所欠貨款

分析：銀行存款減少資產(chǎn)應(yīng)付賬款減少負(fù)債 500W-2W=100W-2W+400W

等式兩邊同時(shí)減少，（所有者權(quán)益不變）不改變恒等7、2010年12月22日，股東張三撤資，以銀行存款支付其投資款60W元

分析：銀行存款減少資產(chǎn)實(shí)收資本減少所有者權(quán)益

500W-60W=100W+400W-60W

等式兩邊同時(shí)減少，（負(fù)債不變）不改變恒等8、2010年12月24日，經(jīng)與債權(quán)人協(xié)商同意，將所欠宏濤公司貨款10W元，轉(zhuǎn)增為企業(yè)實(shí)收資本

分析：應(yīng)付賬款減少負(fù)債實(shí)收資本增加所有者權(quán)益

500W=100W-10W+400W+10W

左邊不變（資產(chǎn)），右邊一增一減不改變恒等9、2010年12月29日，年終分紅，計(jì)劃將凈利潤30萬元進(jìn)行分配

分析：利潤分配減少所有者權(quán)益

應(yīng)付股利增加負(fù)債

500W=100W+30W+400W-30W

左邊不變（資產(chǎn)），右邊一增一減不改變恒等

第三篇：三角函數(shù)的求值、化簡與證明(教案)

高一（1）部數(shù)學(xué)備課小組2013年6月4日

三角函數(shù)的求值、化簡與證明

教學(xué)目標(biāo)

1、掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式。掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能正

確運(yùn)用三角公式進(jìn)行三角函數(shù)的化簡證明求值；

2、培養(yǎng)學(xué)生分析問題解決問題的能力，培養(yǎng)熱愛數(shù)學(xué)。

教學(xué)重點(diǎn)

掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式。掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。教學(xué)難點(diǎn)

能正確運(yùn)用三角公式進(jìn)行三角函數(shù)的化簡證明求值

教學(xué)過程

一、知識歸納

1、兩角和與差公式：

sin??????sin?cos??cos?sin? cos??????cos?cos??sin?sin?，tan??????tan??ta?n 1?ta?nta?n

2ta?n 1?ta2n?2?

2、二倍角公式：sin2??2sin?cos?，tan?

cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?

1sin2?

21?cos2?1?cos2?22sin??，cos?? 22公式變形：sin?cos??

3、三角函數(shù)式化簡的一般要求：

①函數(shù)名稱盡可能少，②項(xiàng)數(shù)盡可能少，③次數(shù)盡可能低，盡可能求出值

④盡量使分母不含三角函數(shù)，⑤盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)

4、求值問題的基本類型及方法：

(1)“給角求值”一般所給的角都是非特殊角，解題時(shí)應(yīng)注意觀察非特殊角與特殊角之間的關(guān)系。

（2）“給值求值”即給出某些角的的三角函數(shù)式的值，求另一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵

在于變角，使其角相同。

（3）“給值求角”關(guān)鍵是變角，把所求的角用含已知角的式子表示。

5、證明三角恒等式的思路和方法：

①思路:利用三角公式進(jìn)行化名，化角，使等式兩端化“異”為“同”。

②證明三角不等式的方法：

比較法、配方法、反證法、分析法，利用函數(shù)單調(diào)性，利用正余弦函數(shù)的有界性，利用

單位圓三角函數(shù)線及判別法等。

二、典例分析：

題型一：三角函數(shù)式的化簡

2222例1：化簡 ： sin??sin??cos??cos??1cos2??cos2?

2分析：化簡時(shí)使角盡量少，冪次盡量低，不含切割函數(shù)，時(shí)時(shí)要注意角之間的內(nèi)在聯(lián)系。

解略。

演練反饋：

????????x????x? ?4??4?

???解：原式

=?x?? 12??

2sin2?cos2?2．（全國卷2）??（B）1?cos2?cos2?

1A.tan?B.tan2?C.1D.2

題型二：三角函數(shù)式的求值

例2

（金版教程例2p144）

解：原式

3，?是第二象限角，且tan(???)?1，則tan?的值是（）

533A.-7B.7C.?D.44 例3：已知sin??

演練反饋：

1．tan15??cot15??（C）

A.2

B.2C.4D.cot20??cos10???tan70??2cos40??443.y=cosx?sinx的最小正周期（?）2.3.已知sin2?cos2=a,則cos4=

（4.已知3sin2a4）A?BA?B?cos2?2，osAcos?0B?）求tanA?tanB的值。（c22

1解： 2

5．設(shè)cos(??

?1?2?)??，sin(??)?,且????29232

239 729，0????，求 2?(??)cos解：?

6.已知A、B為銳角，且滿足tanAtanB?tanA?tanB?1,則

cos(A?B)?

（?）。

27．若sinA?B?，且A,B均為鈍角，求A+B的值。

解：A+B= 7?

48.已知cos(???)?0,tan??0,則下列不等式關(guān)系式中必定成立的是：（c）2

A、tan?????????cos B、tan?cos C、sin?cos D、sin?cos 2222222229、A、B、C是ΔABC的三個內(nèi)角，且tanA,tanB是方程3x?5x?1?0的兩個實(shí)數(shù)根，則ΔABC是（鈍角三角形）

題型三：三角函數(shù)式的證明

例4：證明

證明略

演練反饋： 1?cosxsinx? sinx1?cosx

1?cosx?cos

求證: x?sinx 1?cosxsinx?sin

2三、小結(jié)

1.三角函數(shù)的化簡、求值、證明的基本思路是：一角二名三結(jié)構(gòu)，即首先觀察角與角之間的關(guān)系，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心；其次看函數(shù)名稱之間的關(guān)系，通?！扒谢摇?；再次觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn).2.(1)三角函數(shù)的化簡、求值、證明的基本解題規(guī)律：觀察差異(或角，或函數(shù)，或運(yùn)算)，尋找聯(lián)系(借助于熟知的公式、方法或技巧)，分析綜合(由因?qū)Ч驁?zhí)果索因),實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化.(2)三角函數(shù)求值問題一般是運(yùn)用基本公式，將未知角變換為已知角求解.在解題中，特殊角的三角函數(shù)值一般情況下可先求出，同時(shí)要注意觀察各角之間的和、差是否構(gòu)成特殊角，以便化繁為簡，從而使求值(或證明)問題化難為易.3.常見三角函數(shù)式的求值問題的四種類型：

(1)不含特殊角的三角函數(shù)式的求值；

(2)含特殊角的三角函數(shù)式的求值；

(3)給出某些角的三角函數(shù)的值，求與該角有關(guān)的三角函數(shù)式的值；

(4)給出三角函數(shù)式的值求角.解法：(1)發(fā)現(xiàn)、挖掘角的某種特殊關(guān)系；(2)靈活運(yùn)用三角公式中切與弦、和與差、倍與半、升冪與降次的轉(zhuǎn)換方法；(3)關(guān)鍵在于“變角”(角的配湊)；(4)先解所求角的三角函數(shù)，再確定角的取值.

第四篇：高一數(shù)學(xué)三角函數(shù)式的化簡與證明

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一．課題：三角函數(shù)式的化簡與證明

二．教學(xué)目標(biāo)：能正確地運(yùn)用三角公式進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡與恒等式的證明．

三．教學(xué)重點(diǎn)：熟練地運(yùn)用三角公式進(jìn)行化簡與證明．

四．教學(xué)過程：

（一）主要知識：

1．三角函數(shù)式的化簡要求：通過對三角函數(shù)式的恒等變形（或結(jié)合給定條件而進(jìn)行的恒等變形），使最后所得到的結(jié)果中：①所含函數(shù)和角的名類或種類最少；②各項(xiàng)的次數(shù)盡可能地低；③出現(xiàn)的項(xiàng)數(shù)最少；④一般應(yīng)使分母和根號不含三角函數(shù)式；⑤對能求出具體數(shù)值的，要求出值．

2．三角恒等式的證明要求：利用已知三角公式通過恒等變形（或結(jié)合給定條件運(yùn)用三角公式），論證所給等式左、右相等，要求過程清晰、步驟完整．

例1（1（2（3解：

1?cos?1?cos?sin?1?cos??)(1??)（2）原式?(sin?sin?cos?sin?

2cos?1?cos?1(1?)?2cot?(1??1)?2csc?．?sin?cos?cos?

(2cos2

（3）原式???2cossin)(sin?cos)????

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2cos(cos?sin)(sin?cos)2cos(sin2?cos2)cos(?cos?)??

? 2|cos||cos|22∵0????，∴0??，∴|cos|?cos，2222

∴原式??cos?．

?????????

2(3?cos4x)sin(2A?B)sinB?2cos(A?B)?；（2）． A

例3．證明：（1）tanx?cot

x?22，必定（B）（D）2(13．2cos2??1

2tan(??)sin2(??)44?

五．課后作業(yè)：《高考A計(jì)劃》考點(diǎn)28，智能訓(xùn)練7，8，9，11，12，14，15．

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第五篇：三角公式證明

公式表達(dá)式

乘法與因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a-b-b+√(b2-4ac)/2a

根與系數(shù)的關(guān)系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韋達(dá)定理

判別式 b2-4a=0 注：方程有相等的兩實(shí)根

b2-4ac>0 注：方程有一個實(shí)根

b2-4ac<0 注：方程有共軛復(fù)數(shù)根

三角函數(shù)公式

兩角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差化積 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

某些數(shù)列前n項(xiàng)和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圓半徑

余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是邊a和邊c的夾角

正切定理:

[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圓心坐標(biāo)

圓的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0

拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py

直棱柱側(cè)面積 S=c*h 斜棱柱側(cè)面積 S=c'*h

正棱錐側(cè)面積 S=1/2c*h' 正棱臺側(cè)面積 S=1/2(c+c')h'

圓臺側(cè)面積 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面積 S=4pi*r2

圓柱側(cè)面積 S=c*h=2pi*h 圓錐側(cè)面積 S=1/2*c*l=pi*r*l

弧長公式 l=a*r a是圓心角的弧度數(shù)r >0 扇形面積公式 s=1/2*l*r

錐體體積公式 V=1/3*S*H 圓錐體體積公式 V=1/3*pi*r2h

斜棱柱體積 V=S'L 注：其中,S'是直截面面積，L是側(cè)棱長柱體體積公式 V=s*h 圓柱體 V=pi*r2h

-----------------------三角函數(shù)積化和差 和差化積公式

記不住就自己推，用兩角和差的正余弦：

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

這兩式相加或相減，可以得到2組積化和差:

相加：cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2

相減：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2

sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA

sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

這兩式相加或相減，可以得到2組積化和差:

相加：sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2

相減：sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2

這樣一共4組積化和差，然后倒過來就是和差化積了

不知道這樣你可以記住伐，實(shí)在記不住考試的時(shí)候也可以臨時(shí)推導(dǎo)一下

正加正 正在前

正減正 余在前

余加余 都是余

余減余 沒有余還負(fù)

正余正加 余正正減

余余余加 正正余減還負(fù)

.3.三角形中的一些結(jié)論：(不要求記憶)

(1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC

(2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)

(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1

(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC

(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1

......已知sinα=m sin(α+2β), |m|<1,求證tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ

解:sinα=m sin(α+2β)

sin(a+β-β)=msin(a+β+β)

sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβsin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1)

tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ