第一篇：值域習(xí)題

定義域

（高中函數(shù)定義）設(shè)A，B是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A--B為集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x)，x屬于集合A。其中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數(shù)的定義域；

值域

名稱定義

函數(shù)中，應(yīng)變量的取值范圍叫做這個(gè)函數(shù)的值域函數(shù)的值域，在數(shù)學(xué)中是函數(shù)在定義域中應(yīng)變量所有值的集合常用的求值域的方法

（1）化歸法；（2）圖象法（數(shù)形結(jié)合），（3）函數(shù)單調(diào)性法，（4）配方法，（5）換元法，（6）反函數(shù)法（逆求法），（7）判別式法，（8）復(fù)合函數(shù)法，（9）三角代換法，（10）基本不等式法等

關(guān)于函數(shù)值域誤區(qū)

定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域是函數(shù)構(gòu)造的三個(gè)基本“元件”。平時(shí)數(shù)學(xué)中，實(shí)行“定義域優(yōu)先”的原則，無可置疑。然而事物均具有二重性，在強(qiáng)化定義域問題的同時(shí)，往往就削弱或談化了，對(duì)值域問題的探究，造成了一手“硬”一手“軟”，使學(xué)生對(duì)函數(shù)的掌握時(shí)好時(shí)壞，事實(shí)上，定義域與值域二者的位置是相當(dāng)?shù)?，絕不能厚此薄皮，何況它們二者隨時(shí)處于互相轉(zhuǎn)化之中（典型的例子是互為反函數(shù)定義域與值域的相互轉(zhuǎn)化）。如果函數(shù)的值域是無限集的話，那么求函數(shù)值域不總是容易的，反靠不等式的運(yùn)算性質(zhì)有時(shí)并不能奏效，還必須聯(lián)系函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、有界性、周期性來考慮函數(shù)的取值情況。才能獲得正確答案，從這個(gè)角度來講，求值域的問題有時(shí)比求定義域問題難，實(shí)踐證明，如果加強(qiáng)了對(duì)值域求法的研究和討論，有利于對(duì)定義域內(nèi)函的理解，從而深化對(duì)函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)?！胺秶迸c“值域”相同嗎？

“范圍”與“值域”是我們?cè)趯W(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到的兩個(gè)概念，許多同學(xué)常常將它們混為一談，實(shí)際上這是兩個(gè)不同的概念?！爸涤颉笔撬泻瘮?shù)值的集合（即集合中每一個(gè)元素都是這個(gè)函數(shù)的取值），而“范圍”則只是滿足某個(gè)條件的一些值所在的集合（即集合中的元素不一定都滿足這個(gè)條件）。也就是說：“值域”是一個(gè)“范圍”，而“范圍”卻不一定是“值域”。一．觀察法

通過對(duì)函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察，結(jié)合函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的值域。

例1求函數(shù)y=3+√(2－3x)的值域。

點(diǎn)撥：根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)，先求出√(2－3x)的值域。

解：由算術(shù)平方根的性質(zhì)，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。

∴函數(shù)的知域?yàn)?點(diǎn)評(píng)：算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性，即：（1）被開方數(shù)的非負(fù)性，（2）值的非負(fù)性。本題通過直接觀察算術(shù)平方根的性質(zhì)而獲解，這種方法對(duì)于一類函數(shù)的值域的求法，簡(jiǎn)捷明了，不失為一種巧法。

練習(xí)：求函數(shù)y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域?yàn)椋海?，1，2，3，4，5｝）

二．反函數(shù)法

當(dāng)函數(shù)的反函數(shù)存在時(shí)，則其反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域。

例2求函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的值域。

點(diǎn)撥：先求出原函數(shù)的反函數(shù)，再求出其定義域。

解：顯然函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的反函數(shù)為:x=(1－2y)/（y－1）,其定義域?yàn)閥≠1的實(shí)數(shù),故函數(shù)y的值域?yàn)椋鹹∣y≠1,y∈R｝。

點(diǎn)評(píng)：利用反函數(shù)法求原函數(shù)的定義域的前提條件是原函數(shù)存在反函數(shù)。這種方法體現(xiàn)逆向思維的思想，是數(shù)學(xué)解題的重要方法之一。

練習(xí)：求函數(shù)y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函數(shù)的值域?yàn)椋鹹∣y<－1或y>1｝）

三．配方法

當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)時(shí),可以利用配方法求函數(shù)值域例3：求函數(shù)y=√(－x2+x+2)的值域。

點(diǎn)撥：將被開方數(shù)配方成完全平方數(shù)，利用二次函數(shù)的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函數(shù)的定義域?yàn)閤∈[－1，2]。此時(shí)－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]

∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函數(shù)的值域是[0,3/2]

點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)的值域不但要重視對(duì)應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用,而且要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用。配方法是數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法。

練習(xí)：求函數(shù)y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域?yàn)閧y∣y≤3})

四．判別式法

若可化為關(guān)于某變量的二次方程的分式函數(shù)或無理函數(shù),可用判別式法求函數(shù)的值域。例4求函數(shù)y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。

點(diǎn)撥：將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為自變量的二次方程，應(yīng)用二次方程根的判別式，從而確定出原函數(shù)的值域。

解：將上式化為（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0（＊）

當(dāng)y≠2時(shí),由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/

3當(dāng)y=2時(shí),方程(＊)無解?！嗪瘮?shù)的值域?yàn)?＜y≤10/3。

點(diǎn)評(píng)：把函數(shù)關(guān)系化為二次方程F(x,y)=0，由于方程有實(shí)數(shù)解，故其判別式為非負(fù)數(shù)，可求得函數(shù)的值域。常適應(yīng)于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函數(shù)。練習(xí)：求函數(shù)y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域?yàn)閥≤－8或y>0）。

五．最值法

對(duì)于閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)的極值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數(shù)的最值,可得到函數(shù)y的值域。

例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函數(shù)z=xy+3x的值域。

點(diǎn)撥：根據(jù)已知條件求出自變量x的取值范圍，將目標(biāo)函數(shù)消元、配方，可求出函數(shù)的值域。

解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函數(shù)z在區(qū)間[-1,3/2]上連續(xù)，故只需比較邊界的大小。當(dāng)x=-1時(shí)，z=－5；當(dāng)x=3/2時(shí)，z=15/4。

∴函數(shù)z的值域?yàn)椋鹺∣－5≤z≤15/4｝。

點(diǎn)評(píng)：本題是將函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值。對(duì)開區(qū)間，若存在最值，也可通過求出最值而獲得函數(shù)的值域。

練習(xí)：若√x為實(shí)數(shù)，則函數(shù)y=x2+3x-5的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A．（－∞，＋∞）B．[－7，＋∞] C．[0，＋∞）D．[－5，＋∞）

（答案：D）。

六．圖象法

通過觀察函數(shù)的圖象，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法得到函數(shù)的值域。

例6求函數(shù)y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。

點(diǎn)撥：根據(jù)絕對(duì)值的意義，去掉符號(hào)后轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，作出其圖象。

解：原函數(shù)化為 －2x+1(x≤1)

y= 3(-1

2x-1(x>2)

它的圖象如圖所示。

顯然函數(shù)值y≥3,所以，函數(shù)值域[3，＋∞]。

點(diǎn)評(píng)：分段函數(shù)應(yīng)注意函數(shù)的端點(diǎn)。利用函數(shù)的圖象

求函數(shù)的值域，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。是解決問題的重要方法。

求函數(shù)值域的方法較多，還適應(yīng)通過不等式法、函數(shù)的單調(diào)性、換元法等方法求函數(shù)的值域。

七．單調(diào)法

利用函數(shù)在給定的區(qū)間上的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減求值域。

例1求函數(shù)y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。

點(diǎn)撥：由已知的函數(shù)是復(fù)合函數(shù)，即g(x)= －√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定義域?yàn)閤≤1/3，在此區(qū)間內(nèi)分別討論函數(shù)的增減性，從而確定函數(shù)的值域。

解：設(shè)f(x)=4x,g(x)=－√1-3x ,(x≤1/3),易知它們?cè)诙x域內(nèi)為增函數(shù)，從而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x

在定義域?yàn)閤≤1/3上也為增函數(shù)，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函數(shù)值域?yàn)椋鹹|y≤4/3｝。

點(diǎn)評(píng)：利用單調(diào)性求函數(shù)的值域，是在函數(shù)給定的區(qū)間上，或求出函數(shù)隱含的區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的增減性，求出其函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，進(jìn)而可確定函數(shù)的值域。

練習(xí)：求函數(shù)y=3+√4-x 的值域。(答案：｛y|y≥3｝)

八．換元法

以新變量代替函數(shù)式中的某些量，使函數(shù)轉(zhuǎn)化為以新變量為自變量的函數(shù)形式，進(jìn)而求出值域。

例2求函數(shù)y=x-3+√2x+1 的值域。

點(diǎn)撥：通過換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為某個(gè)變量的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的最值，確定原函數(shù)的值域。

解：設(shè)t=√2x+1（t≥0）,則

x=1/2(t2-1)。

于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.所以，原函數(shù)的值域?yàn)椋鹹|y≥－7/2｝。

點(diǎn)評(píng)：將無理函數(shù)或二次型的函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，通過求出二次函數(shù)的最值，從而確定出原函數(shù)的值域。這種解題的方法體現(xiàn)換元、化歸的思想方法。它的應(yīng)用十分廣泛。練習(xí)：求函數(shù)y=√x-1 –x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝

九．構(gòu)造法

根據(jù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，賦予幾何圖形，數(shù)形結(jié)合。

例3求函數(shù)y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。

點(diǎn)撥：將原函數(shù)變形，構(gòu)造平面圖形，由幾何知識(shí)，確定出函數(shù)的值域。

解：原函數(shù)變形為f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+2

2作一個(gè)長(zhǎng)為

4、寬為3的矩形ABCD，再切割成12個(gè)單位

正方形。設(shè)HK=x,則ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 ,KC=√(x+2)2+1。

由三角形三邊關(guān)系知，AK+KC≥AC=5。當(dāng)A、K、C三點(diǎn)共

線時(shí)取等號(hào)。

∴原函數(shù)的知域?yàn)椋鹹|y≥5｝。

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于形如函數(shù)y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均為正數(shù))，均可通過構(gòu)造幾何圖形，由幾何的性質(zhì)，直觀明了、方便簡(jiǎn)捷。這是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。

練習(xí)：求函數(shù)y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域。（答案：｛y|y≥5√2｝）

十．比例法

對(duì)于一類含條件的函數(shù)的值域的求法，可將條件轉(zhuǎn)化為比例式，代入目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而求出原函數(shù)的值域。

例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函數(shù)z=x2+y2的值域。

點(diǎn)撥：將條件方程3x-4y-5=0轉(zhuǎn)化為比例式，設(shè)置參數(shù)，代入原函數(shù)。

解：由3x-4y-5=0變形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k為參數(shù))

∴x=3+4k,y=1+3k,∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。

當(dāng)k=－3/5時(shí)，x=3/5,y=－4/5時(shí)，zmin=1。

函數(shù)的值域?yàn)椋鹺|z≥1｝.點(diǎn)評(píng)：本題是多元函數(shù)關(guān)系，一般含有約束條件，將條件轉(zhuǎn)化為比例式，通過設(shè)參數(shù)，可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為單函數(shù)的形式，這種解題方法體現(xiàn)諸多思想方法，具有一定的創(chuàng)新意識(shí)。練習(xí)：已知x,y∈R，且滿足4x-y=0,求函數(shù)f(x,y)=2x2-y的值域。（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝）十一．利用多項(xiàng)式的除法

例5求函數(shù)y=(3x+2)/(x+1)的值域。點(diǎn)撥：將原分式函數(shù)，利用長(zhǎng)除法轉(zhuǎn)化為一個(gè)整式與一個(gè)分式之和。解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)?！?/(x+1)≠0，故y≠3。

∴函數(shù)y的值域?yàn)閥≠3的一切實(shí)數(shù)。

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函數(shù)均可利用這種方法。

若函數(shù)y=0.5x2-2x+4的定義域、值域都是[2,2b](b＞1)，則b的值是___？

答案是2，為什么？方法1:根據(jù)函數(shù)，其對(duì)稱軸為-b/2a＝2 又根據(jù)其圖形特點(diǎn)在x>2的時(shí)候是單調(diào)遞增函數(shù)，而且定義域，值域相同，所以當(dāng)x=2b時(shí),y也=2b，這樣帶進(jìn)去解出b=1或2，把1舍掉就好了

方法2:最低點(diǎn)是（4ac-b^2）/4a=2

對(duì)稱軸是-b/2a=2

所以最高點(diǎn)是x=2b的時(shí)候。代入方程后的值要是2b 就可以算出b=2了

方法3:將2和2b直接代入方程式，分解可得出b值為1與2，因?yàn)闆]分，所以解題步驟省略

第二篇：函數(shù)值域問題

努力今天成就明

天

知識(shí)就是財(cái)富

求分式函數(shù)值域的幾種方法

求分式函數(shù)值域的常見方法 1 用配方法求分式函數(shù)的值域

如果分式函數(shù)變形后可以轉(zhuǎn)化為y?配方，用直接法求得函數(shù)的值域.例1 求y?解：y?1的值域.22x?3x?113?1?2?x???4?8?2a?b的形式則我們可以將它的分母2a1x?b2x?c22，3?11?因?yàn)??x???≥?，4?88?所以函數(shù)的值域?yàn)椋???,?8?∪?0,???.x2?x例2 求函數(shù)y?2的值域.x?x?1解：y?2?1?1，2x?x?121?33?因?yàn)閤?x?1??x???≥，2?44?所以?3?1≤2?0，4x?x?12 ?1?故函數(shù)的值域?yàn)??,1?.?3?先配方后再用直接法求值域的時(shí)候，要注意自變量的取值范圍.取“?”的條件.利用判別式法求分式函數(shù)的值域

我們知道若ax2?bx?c?0?a?0,a,b?R?有實(shí)根，則??b2?4ac≥0常常利用這一結(jié)論來求分式函數(shù)的值域.x2?3x?4例1 求y?2的值域.x?3x?4解：將函數(shù)變形為?y?1?x2??3y?3?x??4y?4??0?①，當(dāng)y?1時(shí)①式是一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程.因?yàn)閤可以是任意實(shí)數(shù)，所以?≥0，即?3y?3??4?y?1??4y?4???7y?50y?7≥0，解得，17≤y≤1或1?y≤7，又當(dāng)y?1時(shí)，x?0，?1?故函數(shù)的值域?yàn)?,7?.?7?2x2?bx?c例2 函數(shù)y?的值域?yàn)?1,3?，求b，c的值.2x?1解：化為?y?2?x?bx?y?c?0，⑴當(dāng)y?2時(shí)x?R???b?4?y?2??y?c?≥0，?4y2?4?c?2?y?8c?b2≥0，由已知4y2?4?c?2?y?8c?b2?0的兩根為1，3，由韋達(dá)定理得，c?2，b??2.⑵當(dāng)y?2時(shí)x?2?c?0有解 b綜上⑴和⑵，b??2，c?2.由這兩個(gè)例題我們知道在利用判別式法求分式函數(shù)的值域時(shí)要注意下列問題：

1、函數(shù)定義域?yàn)镽（即分母恒不為0）時(shí)用判別式求出的值域是完備的.2、當(dāng)x不能取某些實(shí)數(shù)時(shí)（分母為零），若要用判別式法求它的值域則需要對(duì)使y?a2x2?b2x?c2??a1x2?b1x?c1的判別式??0的y值進(jìn)行檢驗(yàn).3、轉(zhuǎn)換后的一元二次方程若二次項(xiàng)系數(shù)中含有字母則需要討論其是否為0只有在其不為0的情況下才可以使用判別式法.3.利用函數(shù)單調(diào)性求分式函數(shù)的值

對(duì)于求函數(shù)的值域問題，我們通常使用能夠揭示此類函數(shù)本質(zhì)特征的通性通法即利用函數(shù)的單調(diào)性來求其值域.例1求函數(shù)y?解：y?2x?1(x?R,x??1)的值域.x?12x?12(x?1)?33，?2??x?1x?1x?13是x減函數(shù)進(jìn)而y是x的增函數(shù)，于是y????,?2?； x?1當(dāng)x??1時(shí)，當(dāng)x??1時(shí)，同樣y是x的增函數(shù)，于是y??2,???； 所以y?2x?1(x??1)的值域?yàn)???,?2?∪?2,???.x?1a的單調(diào)性的結(jié)論： x在求分式函數(shù)時(shí)我們常運(yùn)用函數(shù)y?x??⑴當(dāng)a?0時(shí)在??,a和??a,??上增函數(shù)，在??a,0和0,a上是減函數(shù).??????⑵當(dāng)a?0時(shí)在???,0?和?0,???上是增函數(shù).例求函數(shù)y?x（1≤x≤3）的值域.2x?x?4解：x?0所以y?x.4x??1x4令t?x?在?1,2?上是減函數(shù)，在?2,3?是上增函數(shù)，x所以x?2時(shí)，tmin?4；

x?1時(shí)，tmax?5；

所以t??4,5?，t?1??3,t?，?11?故值域?yàn)?,?.?43?4.利用反函數(shù)法(反解)求分式函數(shù)的值域

設(shè)y?f(x)有反函數(shù)，則函數(shù)y?f(x)的定義域是它反函數(shù)的值域，函數(shù)y?f(x)的值域是其反函數(shù)的定義域.那么如果一個(gè)分式函數(shù)的反函數(shù)存在，我們就可以通過求反函數(shù)的定義域來求其值域.例1 求函數(shù)y?2x的值域.5x?12x1(x??)的映射是一一映射因此反函數(shù)存在，其反函數(shù)為5x?152??，5?解：由于函數(shù)y?y?x? 明顯知道該函數(shù)的定義域?yàn)?x|x?2?5x?2??2??故函數(shù)的值域?yàn)???,?∪?,???.5??5??說明：由于本方法中所具有的某些局限性，一般說來，用此方法求值域只用y?ax?b(c≠0)的函數(shù)，并且用此方法求函數(shù)的值域，也不是比較理想的方法.我們用這種cx?d方法目的是找關(guān)于y的不等式所以反函數(shù)求值域的實(shí)質(zhì)是反函數(shù)的思想樹立這種思想是我們的宗旨.下面這種方法就是利用了反函數(shù)的思想比較通用的方法.5.利用方程法求分式函數(shù)的值域

4x2?7x??0,1?求函數(shù)例1（2005年全國(guó)高考理科卷Ⅲ第22題）已知函數(shù)f(x)?2?xf(x)的值域

4x2?7解：f(x)?，x??0,1?，2?x所以2y?xy?4x2?7，x??0,1?，即4x2?yx?(7?2y)?0，x??0,1?.這樣函數(shù)的值域即為關(guān)于x的方程4x2?yx?(7?2y)?0在x??0,1?內(nèi)有解的y的取值集.令g(x)?4x2?yx?(7?2y)，x??0,1?，則關(guān)于x的方程4x2?yx?(7?2y)?0在x??0,1?內(nèi)有解?g(0)?g(1)≤0 ?g(0)?0?g(1)?0?77?或???≤y≤?3或?4≤y≤???4≤y≤3，by22?0??2a??2?4?1???b?4ac?y?4?(?7?2y)?0即所求函數(shù)的值域?yàn)??4,?3?..利用換元法求分式函數(shù)的值域

當(dāng)題目的條件與結(jié)論看不出直接的聯(lián)系（甚至相去甚遠(yuǎn)）時(shí)，為了溝通已知與未知的聯(lián)系，我們常常引進(jìn)一個(gè)（或幾個(gè)）新的量來代替原來的量，實(shí)行這種“變量代換”往往可以暴露已知與未知之間被表面形式掩蓋著的實(shí)質(zhì)，發(fā)現(xiàn)解題方向.換元法是一種重要的數(shù)學(xué)解題方法，掌握它的關(guān)鍵在于通過觀察、聯(lián)想，發(fā)現(xiàn)與構(gòu)造出變換式（或新元換舊式、或新式換舊元、或新式換舊式）.在中學(xué)數(shù)學(xué)問題中，常見的基本換元形式有式代換、三角代換、點(diǎn)代換、參數(shù)代換等.x2?4x?4,x?[?1,0]的值域． 例1 求函數(shù)f(x)?2x?4x?5解：令t?x?2，t2則y?2?t?111,?[,1]． 1t21?2t115因?yàn)??2?[,2]，t414所以函數(shù)f(x)的值域是[,]．

25x4例2 求函數(shù)y?的值域．

(1?x2)3解：令x?tan?，??(???,)，22tan4?tan4??則y??sin4?cos2? 233(1?tan?)sec?1?sin2?sin2?2cos2?21?sin2??sin2??2cos2??4≤?.??2?327?6

3當(dāng)且僅當(dāng)tan2??2時(shí)“?”成立.x4?4?所以函數(shù)y?的值域?yàn)?,?.?(1?x2)3?27?在這道例題中不僅用了換元法還用了均值不等式.利用三角函數(shù)來代換是我們?cè)谟脫Q元法解題最常用的在換元后根據(jù)三角函數(shù)的有界性求能求出函數(shù)的值域.在用換元法的時(shí)候重要的就是要注意換元后的自變量發(fā)生了改變，那么它的定義域也就變了.注意到這點(diǎn)才能準(zhǔn)確地求出值域.7.利用不等式法求分式函數(shù)的值域

“不等式法”就是通過利用不等式的一些性質(zhì)和均值不等式來求某些具有一定特性的分式函數(shù)的值域.若原函數(shù)通過變形后的分子分母符和下列條件①各變數(shù)為正；②各變數(shù)的和或積為常數(shù).則可以考慮用均值不等式求它的值域.要注意在得到結(jié)論之后要說明其中等號(hào)能夠取到.例1 求函數(shù)y?解：y?24(x?1)(x??1)的值域.(x?3)224(x?1)24.?24(x?1)?4(x?1)?4(x?1)??4x?14因?yàn)閤?1?0，所以x?1?≥4，x?14則x?1??4?8，x?124所以0?y≤?3（當(dāng)x?1時(shí)取等號(hào)），8故函數(shù)的值域?yàn)?0,3?.例2 設(shè)Sn?1?2?3???n，n?N求f(n)?中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）

解：f(n)?Sn(n?32)Sn?1Sn的最大值.（2000年全國(guó)高

(n?32)Sn?1n(n?1)nn2??2，?(n?1)(n?2)(n?32)(n?2)n?34n?64(n?32)?27 即化為了求分式函數(shù)最值的問題f(n)?164n?34?n.又因?yàn)閚?34?當(dāng)n?6464?34?50，≥2n?nn641即n?8時(shí)“?”成立，所以對(duì)任何n?N有f(n)≤，n501故f(n)的最大值為.50例2表面上看是數(shù)列的問題而實(shí)際是我們可以將其轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域的問題在這里我們利用均值不等式的性質(zhì)來求其值域就使得整個(gè)解題過程利用數(shù)更簡(jiǎn)單.8.斜率法求分式函數(shù)的值域

數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一種重要的數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn).華羅庚先生指出：數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.這種方法不僅僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的其它領(lǐng)域中，在求函數(shù)的值域與最值時(shí)也有良好的反映.聯(lián)想到過A(x1,y1)，B(x2,y2)的直線LAB的斜率為kAB?函數(shù)化為斜率式并利用數(shù)形結(jié)合法來求函數(shù)的值域.3t22(t?)的最小值.例1 求函數(shù)f(t)?2(3t?2)3y2?y1，我們可以考慮把分式x2?x13t2?02解：函數(shù)f(t)可變形為f(t)?(t?)，6t?43設(shè)A(6t,3t2)，B(4,0)則f(t)看作是直線AB的斜率，令x?6t，y?3t2則x2?12y(x?4).在直角坐標(biāo)系中A點(diǎn)的軌跡為拋物線的一部分直線與拋物線相切是斜率最小.過點(diǎn)B(4,0)直線方程為：y?k(x?4)將它代入x2?12y，有x2?12kx?48k?0，則??0推算出k?即t?8時(shí)，f(t)min?4.34此時(shí)x?8，38 x2?x?11例2 求y?(?≤x≤1)的值域.x?12(x2?x)?1解：y?，令A(yù)(?1,1)，B(x,x2?x)，x?(?1)則y?kAB，點(diǎn)B的軌跡方程為y?x2?x(?1≤x≤1)，21151B1(?,?)，B2(1,2)，kAB1??，kAB2?，2422所以y?k?51?AB????2,2??，即函數(shù)的值域?yàn)??51???2,2??.

第三篇：分式函數(shù)值域解法

分式函數(shù)值域解法匯編

甘肅省定西工貿(mào)中專文峰分校 張占榮

函數(shù)既是中學(xué)數(shù)學(xué)各骨干知識(shí)的交匯點(diǎn)，是數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)方法應(yīng)用的載體，是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的銜接點(diǎn)，還是中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際的切入點(diǎn)，因此函數(shù)便理所當(dāng)然地成為了歷年高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，考查函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)以及函數(shù)圖象。而對(duì)函數(shù)值域的考查或是單題形式出現(xiàn)，但更多的是以解題的一個(gè)環(huán)節(jié)形式出現(xiàn)，其中求分式函數(shù)的值域更是學(xué)生失分較大知識(shí)點(diǎn)之一。為此，如何提高學(xué)生求分式函數(shù)值域的能力，是函數(shù)教學(xué)和復(fù)習(xí)中較為重要的一環(huán)，值得探討。下面就本人對(duì)分式函數(shù)值域的教學(xué)作如下探究，不餒之處、敬請(qǐng)同仁指教。

一、相關(guān)概念

函數(shù)值是指在函數(shù)y＝f(x)中，與自變量x的值對(duì)應(yīng)的y值。

函數(shù)的值域是函數(shù)值的集合，是指圖象在y軸上的投影所覆蓋的實(shí)數(shù)y的集合。函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域及其對(duì)應(yīng)法則唯一確定；當(dāng)函數(shù)由實(shí)際問題給出時(shí)，函數(shù)的值域由問題的實(shí)際意義確定。

分式函數(shù)是指函數(shù)解析式為分式形式的函數(shù)。

二、分式函數(shù)的類型及值域解法

類型一：一次分式型

一次分式型是指分子與分母都是關(guān)于自變量x（或參數(shù)）的一次函數(shù)的分式函數(shù)。

1.y=(a0)型

例１ 求函數(shù)y=的值域。

解法一：常數(shù)分離法。將y=轉(zhuǎn)化為y=（k1,k2為常數(shù)），則yk1 解：∵y==，∴

y。

解法二：反函數(shù)法。利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系，通過求反函數(shù)的定義域，得到原函數(shù)的值域。

解：反解y=得x=，對(duì)調(diào) y=（x)，∴函數(shù)y=的值域?yàn)?/p>

y。

2.y=(a0)型

分析：這是一道含三角函數(shù)的一次分式函數(shù)，由于含三角函數(shù)，不易直接解出x，但其有一個(gè)特點(diǎn)：只出現(xiàn)一種三角函數(shù)名?？梢钥紤]借助三角函數(shù)值域解題，其實(shí)質(zhì)跟y=（t=sinx）在t的指定區(qū)間上求值域類似。

即：將y=反解得sinx=f(y),而-1≤sinx≤1,即-1≤f(y)≤1，解之即可。

例２ 求函數(shù)y=的值域。

解：由y=得，sinx=，∵-1≤sinx≤1，∴-1≤≤1，解之得≤y≤3。

3.y=或y=(a0)型

分析：這道題不僅含有三角函數(shù)，且三角函數(shù)不同，例2解法行不通，但反解之后會(huì)出現(xiàn)正、余弦的和、差形式，故可考慮用疊加法。

即：去分母以后，利用疊加公式和|sinx|≤1解題。

例３ 求函數(shù)y=

解：∵2cosx+100，∴3sinx-2ycosx=10y+3。的值域。

∴, 其中，由∴和,整理得8y+5y≤0。2得，∴≤y≤0 即原函數(shù)的值域?yàn)閇，0]。

總結(jié)：求一次分式函數(shù)的值域，首先要看清楚是在整個(gè)定義域內(nèi)，還是在指定區(qū)間上；其次用反函數(shù)法解題；再次還要注意含三角函數(shù)的分式函數(shù)，其實(shí)質(zhì)是在指定區(qū)間上求分式函數(shù)的值域。

類型二：二次分式型

二次分式型是指分子與分母的最高次項(xiàng)至少有一項(xiàng)是關(guān)于x的二次函數(shù)。由于出現(xiàn)了x2項(xiàng)，直接反解x的方法行不通。但我們知道，不等式、函數(shù)、方程三者相互聯(lián)系，可以相互轉(zhuǎn)化。所以可考慮將其轉(zhuǎn)化為不等式或方程來解題。

１.y=(a、d不同時(shí)為0)，x∈R型

分析：去分母后，可將方程看作是含參數(shù)y的二次方程f(x)=0。由于函數(shù)的定義域并非空集，所以方程一定有解，≥0(f(y)≥0),解該不等式便可求出原函數(shù)的值域。

≥0（=f(y)）,即：用判別式法。先去分母，得到含參數(shù)y的二次方程f(x)=0,根據(jù)判別式

即可求出值域。

例４ 求函數(shù)y=的值域。

解：由y＝得yx2－3x＋4y＝0。

當(dāng)y＝0時(shí)，x＝0，當(dāng)y≠0時(shí)，由△≥0得-

∵函數(shù)定義域?yàn)镽，≤y≤。

∴函數(shù)y＝的值域?yàn)閇-，]。

說明：判別式法求二次函數(shù)的值域只適用于在整個(gè)定義域內(nèi)，但不能用其在指定的區(qū)間上求二次函數(shù)的值域，否則就會(huì)放大值域。

2.y=(a、d不同時(shí)為0)，指定的區(qū)間上求值域型。

例５ 求（x<）的值域。

分析：因?yàn)閤<，所以若用判別式法，可能會(huì)放大其值域?？梢钥紤]使用均值定理解題。解：∵x<，∴5-4x>0,>0。

∴=1-4x+

=[(5-4x)+ ]-

4≥

2=-2，∴原函數(shù)的值域?yàn)椤?4

例６ 求的值域。

錯(cuò)解：=≥2。

分析：在使用均值定理時(shí)一定要注意使用條件“一定、二正、三相等”，顯然上述解法中和不能相等，“相等”條件不能成立。所以不能使用均值定理。但若用判別式法又無法解決根式問題，此時(shí)可考慮借函數(shù)的單調(diào)性求值域。

解：用單調(diào)性法

=，令=t，顯然t≥2，則y=t

+(t≥2)，任取2≤t1≤t2,則f(t1)= t1+, f(t2)= t2+，f(t1)-f(t2)=(t1+)-(t2+)=(t1-t2)(1-)，∵2≤t1≤t2∴t1-t2<0, t1· t2≥4, 1->0，∴f(t1)-f(t2)=(t1-t2)(1-)<0。

∴f(t1)< f(t2)，即函數(shù)y=t+ 在t≥2上單調(diào)遞增。

∴當(dāng)t=

2、即=

2、x=0時(shí)，ymin

=，∴原函數(shù)的值域?yàn)椤?/p>

總結(jié)：不管是求一次分式函數(shù)，還是求二次分式函數(shù)的值域，都必須注意自變量的取值范圍。雖然我們提倡通解通法的培養(yǎng)，但一定要看到只有對(duì)一類題才可以用通解通法。若失去同一類前提，只強(qiáng)調(diào)通解通法，便是空中樓閣。故要因題而論，就事論事，防止一概而論的錯(cuò)誤，用辯證和發(fā)展的眼光看待問題，這樣才會(huì)起到事半功倍的效果。

三、提煉知識(shí)，總結(jié)分式函數(shù)值域解法

求函數(shù)的值域是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)之一，它沒有固定的方法和模式。但我們可以針對(duì)不同的題型進(jìn)行歸類總結(jié)，盡最大可能地尋找不同類型分式函數(shù)求值域的通解通法。常用的方法有：

1.反函數(shù)法。反函數(shù)法是求一次分式函數(shù)的基本方法，是利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系，通過求反函數(shù)的定義域，得到原函數(shù)的值域。但要注意看清楚是在整個(gè)定義域內(nèi)，還是在指定區(qū)間上求值域。

2.判別式法。判別式法是求二次分式函數(shù)的基本方法之一，即先去分母，把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的二次方程f(x，y)＝0，因?yàn)榉匠逃袑?shí)根，所以判別式△≥0，通過解不等式求得原函數(shù)的值域。需注意的是判別式法求二次函數(shù)的值域只適用于在整個(gè)定義域內(nèi)。

3.不等式法。不等式法是利用基本不等式：a＋b≥2(a、b∈R＋)，是在指定區(qū)間上求二次分式函數(shù)的基本方法之一，當(dāng)二次分式函數(shù)在指定區(qū)間上求值域時(shí)可考慮用不等式法。用不等式法求值域，要注意均值不等式的使用條件：“一正、二定、三相等”。

4.換元法。換元法是求復(fù)合型分式函數(shù)值域的常用方法。當(dāng)分式函數(shù)的分子或分母出現(xiàn)子函數(shù)（如三角函數(shù)）時(shí)，可考慮用換元法，將所給函數(shù)化成值域容易確定的另一函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域。要注意換元后自變量的取值范圍。

5.單調(diào)性法。單調(diào)性法是通過確定函數(shù)在定義域(或某個(gè)定義域的子集)上的單調(diào)性求出函數(shù)的值域的方法。

另外，還可以根據(jù)函數(shù)的特點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合或求導(dǎo)數(shù)的方法求分式函數(shù)的值域。由于這些方法不是很常用，在此就不多做說明

第四篇：高一數(shù)學(xué)函數(shù)值域解題技巧

一．觀察法

通過對(duì)函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察，結(jié)合函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的值域。例1求函數(shù)y=3+√(2－3x)的值域。

點(diǎn)撥：根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)，先求出√(2－3x)的值域。解：由算術(shù)平方根的性質(zhì)，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3?！嗪瘮?shù)的知域?yàn)?點(diǎn)評(píng)：算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性，即：（1）被開方數(shù)的非負(fù)性，（2）值的非負(fù)性。

本題通過直接觀察算術(shù)平方根的性質(zhì)而獲解，這種方法對(duì)于一類函數(shù)的值域的求法，簡(jiǎn)捷明了，不失為一種巧法。

練習(xí)：求函數(shù)y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域?yàn)椋海?，1，2，3，4，5｝）二．反函數(shù)法

當(dāng)函數(shù)的反函數(shù)存在時(shí)，則其反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域。例2求函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的值域。

點(diǎn)撥：先求出原函數(shù)的反函數(shù)，再求出其定義域。

解：顯然函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的反函數(shù)為:x=(1－2y)/（y－1）,其定義域?yàn)閥≠1的實(shí)數(shù),故函數(shù)y的值域?yàn)椋鹹∣y≠1,y∈R｝。點(diǎn)評(píng)：利用反函數(shù)法求原函數(shù)的定義域的前提條件是原函數(shù)存在反函數(shù)。這種方法體現(xiàn)逆向思維的思想，是數(shù)學(xué)解題的重要方法之一。

練習(xí)：求函數(shù)y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函數(shù)的值域?yàn)椋鹹∣y<－1或y>1｝）三．配方法

當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)時(shí),可以利用配方法求函數(shù)值域

例3：求函數(shù)y=√(－x2+x+2)的值域。

點(diǎn)撥：將被開方數(shù)配方成完全平方數(shù)，利用二次函數(shù)的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函數(shù)的定義域?yàn)閤∈[－1，2]。此時(shí)－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函數(shù)的值域是[0,3/2] 點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)的值域不但要重視對(duì)應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用,而且要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用。配方法是數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法。

練習(xí)：求函數(shù)y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域?yàn)閧y∣y≤3})四．判別式法

若可化為關(guān)于某變量的二次方程的分式函數(shù)或無理函數(shù),可用判別式法求函數(shù)的值域。

例4求函數(shù)y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。

點(diǎn)撥：將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為自變量的二次方程，應(yīng)用二次方程根的判別式，從而確定出原函數(shù)的值域。

解：將上式化為（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0（＊）

當(dāng)y≠2時(shí),由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3 當(dāng)y=2時(shí),方程(＊)無解?！嗪瘮?shù)的值域?yàn)?＜y≤10/3。

點(diǎn)評(píng)：把函數(shù)關(guān)系化為二次方程F(x,y)=0，由于方程有實(shí)數(shù)解，故其判別式為非負(fù)數(shù)，可求得函數(shù)的值域。常適應(yīng)于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函數(shù)。

練習(xí)：求函數(shù)y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域?yàn)閥≤－8或y>0）。五．最值法

對(duì)于閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)的極值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數(shù)的最值,可得到函數(shù)y的值域。

例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函數(shù)z=xy+3x的值域。

點(diǎn)撥：根據(jù)已知條件求出自變量x的取值范圍，將目標(biāo)函數(shù)消元、配方，可求出函數(shù)的值域。

解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2)，∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函數(shù)z在區(qū)間[-1,3/2]上連續(xù)，故只需比較邊界的大小。

當(dāng)x=-1時(shí)，z=－5；當(dāng)x=3/2時(shí)，z=15/4。∴函數(shù)z的值域?yàn)椋鹺∣－5≤z≤15/4｝。

點(diǎn)評(píng)：本題是將函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值。對(duì)開區(qū)間，若存在最值，也可通過求出最值而獲得函數(shù)的值域。

練習(xí)：若√x為實(shí)數(shù)，則函數(shù)y=x2+3x-5的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A．（－∞，＋∞）B．[－7，＋∞] C．[0，＋∞）D．[－5，＋∞）（答案：D）。六．圖象法

通過觀察函數(shù)的圖象，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法得到函數(shù)的值域。例6求函數(shù)y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。

點(diǎn)撥：根據(jù)絕對(duì)值的意義，去掉符號(hào)后轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，作出其圖象。解：原函數(shù)化為 －2x+1(x≤1)y= 3(-12)它的圖象如圖所示。

顯然函數(shù)值y≥3,所以，函數(shù)值域[3，＋∞]。

點(diǎn)評(píng)：分段函數(shù)應(yīng)注意函數(shù)的端點(diǎn)。利用函數(shù)的圖象

求函數(shù)的值域，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。是解決問題的重要方法。

求函數(shù)值域的方法較多，還適應(yīng)通過不等式法、函數(shù)的單調(diào)性、換元法等方法求函數(shù)的值域。七．單調(diào)法

利用函數(shù)在給定的區(qū)間上的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減求值域。例1求函數(shù)y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。

點(diǎn)撥：由已知的函數(shù)是復(fù)合函數(shù)，即g(x)= －√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定義域?yàn)閤≤1/3，在此區(qū)間內(nèi)分別討論函數(shù)的增減性，從而確定函數(shù)的值域。

解：設(shè)f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它們?cè)诙x域內(nèi)為增函數(shù)，從而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x

在定義域?yàn)閤≤1/3上也為增函數(shù)，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函數(shù)值域?yàn)椋鹹|y≤4/3｝。

點(diǎn)評(píng)：利用單調(diào)性求函數(shù)的值域，是在函數(shù)給定的區(qū)間上，或求出函數(shù)隱含的區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的增減性，求出其函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，進(jìn)而可確定函數(shù)的值域。練習(xí)：求函數(shù)y=3+√4-x 的值域。(答案：｛y|y≥3｝)八．換元法

以新變量代替函數(shù)式中的某些量，使函數(shù)轉(zhuǎn)化為以新變量為自變量的函數(shù)形式，進(jìn)而求出值域。

例2求函數(shù)y=x-3+√2x+1 的值域。

點(diǎn)撥：通過換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為某個(gè)變量的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的最值，確定原函數(shù)的值域。

解：設(shè)t=√2x+1（t≥0）,則 x=1/2(t2-1)。

于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.所以，原函數(shù)的值域?yàn)椋鹹|y≥－7/2｝。

點(diǎn)評(píng)：將無理函數(shù)或二次型的函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，通過求出二次函數(shù)的最值，從而確定出原函數(shù)的值域。這種解題的方法體現(xiàn)換元、化歸的思想方法。它的應(yīng)用十分廣泛。

練習(xí)：求函數(shù)y=√x-1 –x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝ 九．構(gòu)造法

根據(jù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，賦予幾何圖形，數(shù)形結(jié)合。例3求函數(shù)y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。

點(diǎn)撥：將原函數(shù)變形，構(gòu)造平面圖形，由幾何知識(shí)，確定出函數(shù)的值域。解：原函數(shù)變形為f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22 作一個(gè)長(zhǎng)為

4、寬為3的矩形ABCD，再切割成12個(gè)單位 正方形。設(shè)HK=x,則ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 , KC=√(x+2)2+1。

由三角形三邊關(guān)系知，AK+KC≥AC=5。當(dāng)A、K、C三點(diǎn)共 線時(shí)取等號(hào)。

∴原函數(shù)的知域?yàn)椋鹹|y≥5｝。

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于形如函數(shù)y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均為正數(shù))，均可通過構(gòu)造幾何圖形，由幾何的性質(zhì)，直觀明了、方便簡(jiǎn)捷。這是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。

練習(xí)：求函數(shù)y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域。（答案：｛y|y≥5√2｝）十．比例法

對(duì)于一類含條件的函數(shù)的值域的求法，可將條件轉(zhuǎn)化為比例式，代入目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而求出原函數(shù)的值域。

例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函數(shù)z=x2+y2的值域。

點(diǎn)撥：將條件方程3x-4y-5=0轉(zhuǎn)化為比例式，設(shè)置參數(shù)，代入原函數(shù)。解：由3x-4y-5=0變形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k為參數(shù))∴x=3+4k,y=1+3k, ∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。當(dāng)k=－3/5時(shí)，x=3/5,y=－4/5時(shí)，zmin=1。函數(shù)的值域?yàn)椋鹺|z≥1｝.點(diǎn)評(píng)：本題是多元函數(shù)關(guān)系，一般含有約束條件，將條件轉(zhuǎn)化為比例式，通過設(shè)參數(shù)，可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為單函數(shù)的形式，這種解題方法體現(xiàn)諸多思想方法，具有一定的創(chuàng)新意識(shí)。

練習(xí)：已知x,y∈R，且滿足4x-y=0,求函數(shù)f(x,y)=2x2-y的值域。（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝）

十一．利用多項(xiàng)式的除法

例5求函數(shù)y=(3x+2)/(x+1)的值域。

點(diǎn)撥：將原分式函數(shù)，利用長(zhǎng)除法轉(zhuǎn)化為一個(gè)整式與一個(gè)分式之和。解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。∵1/(x+1)≠0，故y≠3。

∴函數(shù)y的值域?yàn)閥≠3的一切實(shí)數(shù)。

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函數(shù)均可利用這種方法。練習(xí)：求函數(shù)y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。（答案：y≠2）十二．不等式法

例6求函數(shù)Y=3x/(3x+1)的值域。

點(diǎn)撥：先求出原函數(shù)的反函數(shù)，根據(jù)自變量的取值范圍，構(gòu)造不等式。解：易求得原函數(shù)的反函數(shù)為y=log3[x/(1-x)], 由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義知 x/(1-x)＞0 1-x≠0

解得，0＜x<1。

∴函數(shù)的值域（0，1）。

點(diǎn)評(píng)：考查函數(shù)自變量的取值范圍構(gòu)造不等式（組）或構(gòu)造重要不等式，求出函數(shù)定義域，進(jìn)而求值域。不等式法是重要的解題工具，它的應(yīng)用非常廣泛。是數(shù)學(xué)解題的方法之一。

以下供練習(xí)選用：求下列函數(shù)的值域 1．Y=√(15－4x)+2x-5；（｛y|y≤3｝）2．Y=2x/(2x－1)。（y>1或y<0）

第五篇：用反函數(shù)法求值域

用反函數(shù)法求值域

一、反函數(shù)法

分子、分母只含有一次項(xiàng)的函數(shù)，也可用于其它易反解出自變量的函數(shù)類型

對(duì)于存在反函數(shù)且易于求得其反函數(shù)的函數(shù)，可以利用“原函數(shù)的定義域和值域分別為其反函數(shù)的值域和定義域”這一性質(zhì)，先求出其反函數(shù)，進(jìn)而通過求其反函數(shù)的定義域的方法求原函數(shù)的值域。

二、例題講解

1、求函數(shù)y?2x的值域。x?1

由于本題中分子、分母均只含有自變量的一次型，易反解出x，從而便于求出反函數(shù)。y?y2xx反解得x?即y? x?12?x2?y

故函數(shù)的值域?yàn)椋簓?(??,2)?(2,??)。（反函數(shù)的定義域即是原函數(shù)的值域）

ex?

12、求函數(shù)y?x的值域。e?1

解答：先證明y?ex?1有反函數(shù)，為此，設(shè)ex?1x1?x2且x1,x2?R，ex1?1ex2?1ex1?ex2y1?y2?x1??2x1?0。e?1ex2?1(e?1)(ex2?1)

所以y為減函數(shù)，存在反函數(shù)?？梢郧蟮闷浞春瘮?shù)為：y?1?ln。此函數(shù)的定義域?yàn)??x

x?(?1,1)，故原函數(shù)的值域?yàn)閥?(?1,1)。