第一篇：求函數(shù)的值域常見類型

求值域的幾種常用方法

（1）觀察法、直接法、配方法、換元法：

對于（可化為）“二次函數(shù)型”的函數(shù)常用配方法，如求函數(shù)y??sin2x?2cosx?4，可變?yōu)閥??sin2x?2cosx?4?(cosx?1)2?2解決

（2）基本函數(shù)法：一些由基本函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)可以利用基本函數(shù)的值域來求，如函數(shù)y?log1(?x2?2x?3)就是利用函數(shù)y?log1u和u??x2?2x?3的值域來求。

（3）判別式法：通過對二次方程的實根的判別求值域。如求函數(shù)y?2x?13?3?的值域[,] x2?2x?222

（4）分離常數(shù)法：常用來求“分式型”函數(shù)的值域。如求函數(shù)y?

（5）利用基本不等式求值域：如求函數(shù)y?3x的值域 x2?42cosx?3的值域，因為 cosx?1

（6）利用函數(shù)的單調(diào)性求求值域：如求函數(shù)y?2x4?x2?2(x?[?1,2])的值域

（7）圖象法：如果函數(shù)的圖象比較容易作出，則可根據(jù)圖象直觀地得出函數(shù)的值域

（8）導(dǎo)數(shù)法――一般適用于高次多項式函數(shù)，如求函數(shù)f(x)?2x3?4x2?40x，x?[?3,3]的最小值。（－48）

m，（m>0）的函數(shù)，m<0就是單調(diào)函數(shù)了 x

4三種模型：（1）如y?x?，求（1）單調(diào)區(qū)間（2）x的范圍[3,5]，求值域（3）x ? [-1,0)?(0,4],求值x（9）對勾函數(shù)法 像y=x+

域

（2）如 y?x?4求（1）[3,7]上的值域（2）單調(diào)遞增區(qū)間（x?0或x?4）x?4，1，（1）求[-1,1]上的值域（2）求單調(diào)遞增區(qū)間 x?3（3）如y?2x?

例1．

1、已知函數(shù)f(x)=-x2+2ax+1-a在0≤x≤1時有最大值2，求a的值。

2、已知y=f(x)=x2-2x+3,當(dāng)x∈[t,t+1]時，求函數(shù)的最大值和最小值。

例2． 設(shè)函數(shù)f(x)?ax3?3x?1(x?R)，若對于任意的x???1,1?都有f(x)?0成立，則實數(shù)a的值為

x2?2x?a例

3、已知函數(shù)f(x)? ,x?[1,??).若對任意x?[1,??),f(x)?0恒成立,試求實數(shù)a的取值范圍。x

第二篇：求函數(shù)的值域的常見方法

求函數(shù)的值域的常見方法

王遠征

深圳市蛇口學(xué)校

求函數(shù)的值域是高中數(shù)學(xué)的重點學(xué)習(xí)內(nèi)容，其方法靈活多樣，針對不同的問題情景，要求解題者，選擇合適的方法，切忌思維刻板。本文就已知解析式求函數(shù)的值域，這類問題介紹幾種常用的方法。

一、直接法

函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域，根據(jù)定義，由函數(shù)的映射法則和定義域，直接求出函數(shù)的值域。

例1． 已知函數(shù)y??x?1??1，x???1,0,1,2?，求函數(shù)的值域。

2解：因為x???1,0,1,2?，而f??1??f?3??3，f?0??f?2??0，f?1???1 所以：y???1,0,3?，注意：求函數(shù)的值域時，不能忽視定義域，如果該例的定義域為x?R，則函數(shù)的值域為?y|y??1?。請體會兩者的區(qū)別。

二、反函數(shù)法

反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域，利用反函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系，求原函數(shù)的值域。例2． 求函數(shù)y?1?

x5的值域。2x?1x分析與解：注意到2?0，由原函數(shù)求出用y表示2的關(guān)系式，進而求出值域。由y?1?

x5x2?，得：x2?1因為2?0，所以y?4?0??4?y?1，1?y

值域為：?y|?4?y?1?

三、函數(shù)的單調(diào)性

例3．求函數(shù)y?x?1在區(qū)間x??0,???上的值域。x

分析與解答：任取x1,x2??0,???，且x1?x2，則

f?x1??f?x2??

?x1?x2??x1x2?1?，因為0?x

x1x

2?x2，所以：x1?x2?0,x1x2?0，當(dāng)1?x1?x2時，x1x2?1?0，則f?x1??f?x2?；

當(dāng)0?x1?x2?1時，x1x2?1?0，則f?x1??f?x2?；而當(dāng)x?1時，ymin?2 于是：函數(shù)y?x?

在區(qū)間x??0,???上的值域為[2,??)。x

構(gòu)造相關(guān)函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求值域。例4：求函數(shù)f?x???x??x的值域。

?1?x?0

分析與解答：因為???1?x?1，而?x與?x在定義域內(nèi)的單調(diào)性

1?x?0?

不一致。現(xiàn)構(gòu)造相關(guān)函數(shù)g?x???x??x，易知g(x)在定義域內(nèi)單調(diào)增。

gmax?g?1??2，gmin?g??1???2，?g?x?2，0?g2?x??2，又f

?x??g2?x??4，所以：2?f2?x??4，2?f?x??2。

四、換元法

對于解析式中含有根式或者函數(shù)解析式較復(fù)雜的這類函數(shù)，可以考慮通過換元的方法將

原函數(shù)轉(zhuǎn)化為簡單的熟悉的基本函數(shù)。當(dāng)根式里是一次式時，用代數(shù)換元；當(dāng)根式里是二次式時，用三角換元。

例5．求函數(shù)y?(x?5x?12)(x?5x?4)?21的值域。

95?9?

分析與解答：令t?x2?5x?4??x???，則t??。

42?4?

y?t?t?8??21?t2?8t?21??t?4??5，91?1??9?

當(dāng)t??時，ymin????4??5?8，值域為?y|y?8?

416?16??4?

例6．求函數(shù)y?x?2?x的值域。

分析與解答：令t??x，則x?1?t，t?0，y?1?t2?2t???t?1??

2當(dāng)t?0時，tmax?1?02?2?0?1 所以值域為(??,1]。

例7．求函數(shù)y?x?x?x2?23的值域。分析與解答：由y?x?x?x2?23=x?令x?5?

2?x?5，2cos?，因為2??x?5??0?2?2cos2??0??1?cos??1，??[0,?]，則2?x?5=2sin?，于是：y?

??5????

2sin??2cos??5?2sin?????5，???[,]，4444??

?

2???

?sin?????1，所以：5?2?y?7。24??

五、配方法

對解析式配方，然后求函數(shù)的值域。此法適用于形如F?x??a?f當(dāng)要注意f?x?的值域。

例8．求函數(shù)y?

?x??b?f?x??c，?2x?x2?3的值域。

?(x?1)2?4，于是：

分析與解答：因為?2x?x?3?0，即?3?x?1，y?

0??(x?1)2?4?4，0?y?2。

1x2?2x?

4例9．求函數(shù)y?在區(qū)間x?[,4]的值域。

4x

?42?x2?2x?4

x???6，分析與解答：由y?配方得：y?x??2????xxx??14

1?x?2時，函數(shù)y?x??2是單調(diào)減函數(shù)，所以6?y?18； 4x4

當(dāng)2?x?4時，函數(shù)y?x??2是單調(diào)增函數(shù)，所以6?y?7。

x

所以函數(shù)在區(qū)間x?[,4]的值域是6?y?18。

當(dāng)

六、判別式法

把函數(shù)y?f?x?同解變形為關(guān)于的一元二次方程，利用??0，求原函數(shù)的值域，此方法適用與解析式中含有分式和根式。

2x2?2x?

3例10．求函數(shù)y?的值域。

2x?x?

11?3?

分析與解答：因為x?x?1??x????0，原函數(shù)變形為：

2?4?

?y?2?x2??y?2?x??y?3??0（1）

當(dāng)y?2時，求得y?3，所以y?2。

當(dāng)y?2時，因為x?R，所以一元二次方程（1）有實數(shù)根。則：

??0，即：?y?2??4?y?2??y?3??0?2?y?

所以2?y?

10，3

七、基本不等式法

利用重要不等式a?b?2ab，a,b?R?求出函數(shù)的最值而得出值域的方法。此法的題形特征是：當(dāng)解析式是和式時，要求積是定值；當(dāng)解析式是積式時，要求和是定值；為此解答時，常需要對解析式進行恒等變形，具體講要根據(jù)問題本身的特點進行拆項、添項；平方等恒等變形。

??

?x2?30x

例11．求函數(shù)y?的值域。

x?

2?x2?30x646

4??x?32??34?[?x?2??] 分析與解答：y?

x?2x?2x?2

因為分母不為0，即x??2，所以： 當(dāng)x??2時，?x?2??取等號，ymax?18； 當(dāng)x??2時，??x?2??(?當(dāng)且僅當(dāng)?(x?2)??

?2x?2

?x?2?

6464,x?6時，?16，當(dāng)且僅當(dāng)x?2?

x?2x?2

6464)?2??x?2?(?)?16，x?2x?2

64,x??6時，取等號，ymin?50； x?2

值域y?(??,18]?[50,??)

注意：利用重要不等式時，要求f?x??0,且等號要成立。

八、數(shù)形結(jié)合法

當(dāng)函數(shù)解析式具有某種明顯的幾何意義（如兩點間距離，直線的斜率、截距等）或當(dāng)一個函數(shù)的圖象易于作出時，借助幾何圖形的直觀性可求出其值域。例12．如例4求函數(shù)y??x??x的值域。

分析與解答：令u??x，v??x，則u?0,v?0，u?v?2，u?v?y，22

原問題轉(zhuǎn)化為 ：當(dāng)直線u?v?y與圓u?v?2在直角坐標(biāo)系uov的第一象限有公

共點時，求直線的截距的取值范圍。

由圖1知：當(dāng)u?v?y經(jīng)過點(0,2)時，ymin?當(dāng)直線與圓相切時，ymax?OD?所以：值域為2?y?2

2；

2OC?

2?

?2。

九．利用函數(shù)的有界性：形如sin??f(y),x2?g(y),sin??1,x2?0可解出Yr 范圍,從而求出其值域或最值。

2x?1

例．求函數(shù)y?x的值域

2?1

[解析]：函數(shù)的有界性

2x?1y?1由y?x得2x?

y?12?1

?22?0,?

y?1

?0?y?1或y??1 y?1

第三篇：求函數(shù)值域的方法

求函數(shù)值域的求法：

①配方法：轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來求值；

②逆求法（反求法）：通過反解x，用y 來表示，再由 x的取值范圍，通過解不等式，得出 y的取值范圍；

④換元法：通過變量代換轉(zhuǎn)化為能求值域的函數(shù)，化歸思想；

⑤三角有界法：轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運用三角函數(shù)有界性來求值域；⑥基本不等式法：利用均值不等式公式來求值域；

⑦單調(diào)性法：函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域。

⑧數(shù)形結(jié)合：根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結(jié)合的方法來求值域。

第四篇：高一函數(shù)整理求值域的方法

一．觀察法

通過對函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察，結(jié)合函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的值域。

例1求函數(shù)y=3+√(2－3x)的值域。

點撥：根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)，先求出√(2－3x)的值域。

解：由算術(shù)平方根的性質(zhì)，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。

∴函數(shù)的知域為.點評：算術(shù)平方根具有雙重非負性，即：（1）被開方數(shù)的非負性，（2）值的非負性。本題通過直接觀察算術(shù)平方根的性質(zhì)而獲解，這種方法對于一類函數(shù)的值域的求法，簡捷明了，不失為一種巧法。

練習(xí)：求函數(shù)y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域為：｛0，1，2，3，4，5｝）

二．反函數(shù)法

當(dāng)函數(shù)的反函數(shù)存在時，則其反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域。

例2求函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的值域。

點撥：先求出原函數(shù)的反函數(shù)，再求出其定義域。

解：顯然函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的反函數(shù)為:x=(1－2y)/（y－1）,其定義域為y≠1的實數(shù),故函數(shù)y的值域為｛y∣y≠1,y∈R｝。

點評：利用反函數(shù)法求原函數(shù)的定義域的前提條件是原函數(shù)存在反函數(shù)。這種方法體現(xiàn)逆向思維的思想，是數(shù)學(xué)解題的重要方法之一。

練習(xí)：求函數(shù)y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函數(shù)的值域為｛y∣y<－1或y>1｝）

三．配方法

當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)時,可以利用配方法求函數(shù)值域 例3：求函數(shù)y=√(－x2+x+2)的值域。

點撥：將被開方數(shù)配方成完全平方數(shù)，利用二次函數(shù)的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函數(shù)的定義域為x∈[－1，2]。此時－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]

∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函數(shù)的值域是[0,3/2]

點評：求函數(shù)的值域不但要重視對應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用,而且要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用。配方法是數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法。

練習(xí)：求函數(shù)y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域為{y∣y≤3})

四．判別式法

若可化為關(guān)于某變量的二次方程的分式函數(shù)或無理函數(shù),可用判別式法求函數(shù)的值域。例4求函數(shù)y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。

點撥：將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為自變量的二次方程，應(yīng)用二次方程根的判別式，從而確定出原函數(shù)的值域。

解：將上式化為（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0（＊）

當(dāng)y≠2時,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/

3當(dāng)y=2時,方程(＊)無解?！嗪瘮?shù)的值域為2＜y≤10/3。

點評：把函數(shù)關(guān)系化為二次方程F(x,y)=0，由于方程有實數(shù)解，故其判別式為非負數(shù)，可求得函數(shù)的值域。常適應(yīng)于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函數(shù)。練習(xí)：求函數(shù)y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域為y≤－8或y>0）。

五．最值法

對于閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)的極值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數(shù)的最值,可得到函數(shù)y的值域。

例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函數(shù)z=xy+3x的值域。

點撥：根據(jù)已知條件求出自變量x的取值范圍，將目標(biāo)函數(shù)消元、配方，可求出函數(shù)的值域。解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函數(shù)z在區(qū)間[-1,3/2]上連續(xù)，故只需比較邊界的大小。當(dāng)x=-1時，z=－5；當(dāng)x=3/2時，z=15/4。

∴函數(shù)z的值域為｛z∣－5≤z≤15/4｝。

點評：本題是將函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值。對開區(qū)間，若存在最值，也可通過求出最值而獲得函數(shù)的值域。

練習(xí)：若√x為實數(shù)，則函數(shù)y=x2+3x-5的值域為（）

A．（－∞，＋∞）B．[－7，＋∞] C．[0，＋∞）D．[－5，＋∞）

（答案：D）。

六．圖象法

通過觀察函數(shù)的圖象，運用數(shù)形結(jié)合的方法得到函數(shù)的值域。

例6求函數(shù)y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。

點撥：根據(jù)絕對值的意義，去掉符號后轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，作出其圖象。

解：原函數(shù)化為 －2x+1(x≤1)

y= 3(-1

2x-1(x>2)

它的圖象如圖所示。

顯然函數(shù)值y≥3,所以，函數(shù)值域[3，＋∞]。

點評：分段函數(shù)應(yīng)注意函數(shù)的端點。利用函數(shù)的圖象

求函數(shù)的值域，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。是解決問題的重要方法。

求函數(shù)值域的方法較多，還適應(yīng)通過不等式法、函數(shù)的單調(diào)性、換元法等方法求函數(shù)的值域。

七．單調(diào)法

利用函數(shù)在給定的區(qū)間上的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減求值域。

例1求函數(shù)y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。

點撥：由已知的函數(shù)是復(fù)合函數(shù)，即g(x)= －√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定義域為x≤1/3，在此區(qū)間內(nèi)分別討論函數(shù)的增減性，從而確定函數(shù)的值域。

解：設(shè)f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它們在定義域內(nèi)為增函數(shù)，從而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x

在定義域為x≤1/3上也為增函數(shù)，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函數(shù)值域為｛y|y≤4/3｝。

點評：利用單調(diào)性求函數(shù)的值域，是在函數(shù)給定的區(qū)間上，或求出函數(shù)隱含的區(qū)間，結(jié)合函

數(shù)的增減性，求出其函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值，進而可確定函數(shù)的值域。

練習(xí)：求函數(shù)y=3+√4-x 的值域。(答案：｛y|y≥3｝)

八．換元法

以新變量代替函數(shù)式中的某些量，使函數(shù)轉(zhuǎn)化為以新變量為自變量的函數(shù)形式，進而求出值域。

例2求函數(shù)y=x-3+√2x+1 的值域。

點撥：通過換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為某個變量的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的最值，確定原函數(shù)的值域。

解：設(shè)t=√2x+1（t≥0）,則

x=1/2(t2-1)。

于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.所以，原函數(shù)的值域為｛y|y≥－7/2｝。

點評：將無理函數(shù)或二次型的函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，通過求出二次函數(shù)的最值，從而確定出原函數(shù)的值域。這種解題的方法體現(xiàn)換元、化歸的思想方法。它的應(yīng)用十分廣泛。練習(xí)：求函數(shù)y=√x-1 –x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝

九．構(gòu)造法

根據(jù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，賦予幾何圖形，數(shù)形結(jié)合。

例3求函數(shù)y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。

點撥：將原函數(shù)變形，構(gòu)造平面圖形，由幾何知識，確定出函數(shù)的值域。

解：原函數(shù)變形為f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+2

2作一個長為

4、寬為3的矩形ABCD，再切割成12個單位

正方形。設(shè)HK=x,則ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 ,KC=√(x+2)2+1。

由三角形三邊關(guān)系知，AK+KC≥AC=5。當(dāng)A、K、C三點共

線時取等號。

∴原函數(shù)的知域為｛y|y≥5｝。

點評：對于形如函數(shù)y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均為正數(shù))，均可通過構(gòu)造幾何圖形，由幾何的性質(zhì)，直觀明了、方便簡捷。這是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。

練習(xí)：求函數(shù)y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域。（答案：｛y|y≥5√2｝）

十一．利用多項式的除法

例5求函數(shù)y=(3x+2)/(x+1)的值域。

點撥：將原分式函數(shù)，利用長除法轉(zhuǎn)化為一個整式與一個分式之和。

解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。

∵1/(x+1)≠0，故y≠3。

∴函數(shù)y的值域為y≠3的一切實數(shù)。

點評：對于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函數(shù)均可利用這種方法。

練習(xí)：求函數(shù)y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。（答案：y≠2）

十二．不等式法

例6求函數(shù)Y=3x/(3x+1)的值域。

點撥：先求出原函數(shù)的反函數(shù)，根據(jù)自變量的取值范圍，構(gòu)造不等式。

解：易求得原函數(shù)的反函數(shù)為y=log3[x/(1-x)],由對數(shù)函數(shù)的定義知 x/(1-x)＞0

1-x≠0

解得，0＜x<1。

∴函數(shù)的值域（0，1）。

點評：考查函數(shù)自變量的取值范圍構(gòu)造不等式（組）或構(gòu)造重要不等式，求出函數(shù)定義域，進而求值域。不等式法是重要的解題工具，它的應(yīng)用非常廣泛。是數(shù)學(xué)解題的方法之一。以下供練習(xí)選用：求下列函數(shù)的值域

1．Y=√(15－4x)+2x-5；（｛y|y≤3｝）

2．Y=2x/(2x－1)。（y>1或y<0）

已知函數(shù)F(X)=lg(X^2-mx+3)(m為實數(shù))

(1)函數(shù)F(X)的定義域與值域能否同時為實數(shù)集R?證明你的結(jié)論.(2)是否存在實數(shù)M,使函數(shù)發(fā)F(X)的定義域和值域同時為<1,正無窮),若存在,請求出M值,若不存在,說明理由!

類似上面一題的函數(shù)F(X)= lg(ax^2+2x+1)

(1)若F(X)的定義域為R,求實數(shù)a的取值范圍

(2)若F(X)的值域為R,求實數(shù)a的取值范圍

函數(shù)Y=-log以2為底(x^2-ax-a)在區(qū)間(負無窮,-1/2)上是增函數(shù)的充要條件.

第五篇：函數(shù)值域問題

努力今天成就明

天

知識就是財富

求分式函數(shù)值域的幾種方法

求分式函數(shù)值域的常見方法 1 用配方法求分式函數(shù)的值域

如果分式函數(shù)變形后可以轉(zhuǎn)化為y?配方，用直接法求得函數(shù)的值域.例1 求y?解：y?1的值域.22x?3x?113?1?2?x???4?8?2a?b的形式則我們可以將它的分母2a1x?b2x?c22，3?11?因為2?x???≥?，4?88?所以函數(shù)的值域為：???,?8?∪?0,???.x2?x例2 求函數(shù)y?2的值域.x?x?1解：y?2?1?1，2x?x?121?33?因為x?x?1??x???≥，2?44?所以?3?1≤2?0，4x?x?12 ?1?故函數(shù)的值域為??,1?.?3?先配方后再用直接法求值域的時候，要注意自變量的取值范圍.取“?”的條件.利用判別式法求分式函數(shù)的值域

我們知道若ax2?bx?c?0?a?0,a,b?R?有實根，則??b2?4ac≥0常常利用這一結(jié)論來求分式函數(shù)的值域.x2?3x?4例1 求y?2的值域.x?3x?4解：將函數(shù)變形為?y?1?x2??3y?3?x??4y?4??0?①，當(dāng)y?1時①式是一個關(guān)于x的一元二次方程.因為x可以是任意實數(shù)，所以?≥0，即?3y?3??4?y?1??4y?4???7y?50y?7≥0，解得，17≤y≤1或1?y≤7，又當(dāng)y?1時，x?0，?1?故函數(shù)的值域為?,7?.?7?2x2?bx?c例2 函數(shù)y?的值域為?1,3?，求b，c的值.2x?1解：化為?y?2?x?bx?y?c?0，⑴當(dāng)y?2時x?R???b?4?y?2??y?c?≥0，?4y2?4?c?2?y?8c?b2≥0，由已知4y2?4?c?2?y?8c?b2?0的兩根為1，3，由韋達定理得，c?2，b??2.⑵當(dāng)y?2時x?2?c?0有解 b綜上⑴和⑵，b??2，c?2.由這兩個例題我們知道在利用判別式法求分式函數(shù)的值域時要注意下列問題：

1、函數(shù)定義域為R（即分母恒不為0）時用判別式求出的值域是完備的.2、當(dāng)x不能取某些實數(shù)時（分母為零），若要用判別式法求它的值域則需要對使y?a2x2?b2x?c2??a1x2?b1x?c1的判別式??0的y值進行檢驗.3、轉(zhuǎn)換后的一元二次方程若二次項系數(shù)中含有字母則需要討論其是否為0只有在其不為0的情況下才可以使用判別式法.3.利用函數(shù)單調(diào)性求分式函數(shù)的值

對于求函數(shù)的值域問題，我們通常使用能夠揭示此類函數(shù)本質(zhì)特征的通性通法即利用函數(shù)的單調(diào)性來求其值域.例1求函數(shù)y?解：y?2x?1(x?R,x??1)的值域.x?12x?12(x?1)?33，?2??x?1x?1x?13是x減函數(shù)進而y是x的增函數(shù)，于是y????,?2?； x?1當(dāng)x??1時，當(dāng)x??1時，同樣y是x的增函數(shù)，于是y??2,???； 所以y?2x?1(x??1)的值域為???,?2?∪?2,???.x?1a的單調(diào)性的結(jié)論： x在求分式函數(shù)時我們常運用函數(shù)y?x??⑴當(dāng)a?0時在??,a和??a,??上增函數(shù)，在??a,0和0,a上是減函數(shù).??????⑵當(dāng)a?0時在???,0?和?0,???上是增函數(shù).例求函數(shù)y?x（1≤x≤3）的值域.2x?x?4解：x?0所以y?x.4x??1x4令t?x?在?1,2?上是減函數(shù)，在?2,3?是上增函數(shù)，x所以x?2時，tmin?4；

x?1時，tmax?5；

所以t??4,5?，t?1??3,t?，?11?故值域為?,?.?43?4.利用反函數(shù)法(反解)求分式函數(shù)的值域

設(shè)y?f(x)有反函數(shù)，則函數(shù)y?f(x)的定義域是它反函數(shù)的值域，函數(shù)y?f(x)的值域是其反函數(shù)的定義域.那么如果一個分式函數(shù)的反函數(shù)存在，我們就可以通過求反函數(shù)的定義域來求其值域.例1 求函數(shù)y?2x的值域.5x?12x1(x??)的映射是一一映射因此反函數(shù)存在，其反函數(shù)為5x?152??，5?解：由于函數(shù)y?y?x? 明顯知道該函數(shù)的定義域為?x|x?2?5x?2??2??故函數(shù)的值域為???,?∪?,???.5??5??說明：由于本方法中所具有的某些局限性，一般說來，用此方法求值域只用y?ax?b(c≠0)的函數(shù)，并且用此方法求函數(shù)的值域，也不是比較理想的方法.我們用這種cx?d方法目的是找關(guān)于y的不等式所以反函數(shù)求值域的實質(zhì)是反函數(shù)的思想樹立這種思想是我們的宗旨.下面這種方法就是利用了反函數(shù)的思想比較通用的方法.5.利用方程法求分式函數(shù)的值域

4x2?7x??0,1?求函數(shù)例1（2005年全國高考理科卷Ⅲ第22題）已知函數(shù)f(x)?2?xf(x)的值域

4x2?7解：f(x)?，x??0,1?，2?x所以2y?xy?4x2?7，x??0,1?，即4x2?yx?(7?2y)?0，x??0,1?.這樣函數(shù)的值域即為關(guān)于x的方程4x2?yx?(7?2y)?0在x??0,1?內(nèi)有解的y的取值集.令g(x)?4x2?yx?(7?2y)，x??0,1?，則關(guān)于x的方程4x2?yx?(7?2y)?0在x??0,1?內(nèi)有解?g(0)?g(1)≤0 ?g(0)?0?g(1)?0?77?或???≤y≤?3或?4≤y≤???4≤y≤3，by22?0??2a??2?4?1???b?4ac?y?4?(?7?2y)?0即所求函數(shù)的值域為??4,?3?..利用換元法求分式函數(shù)的值域

當(dāng)題目的條件與結(jié)論看不出直接的聯(lián)系（甚至相去甚遠）時，為了溝通已知與未知的聯(lián)系，我們常常引進一個（或幾個）新的量來代替原來的量，實行這種“變量代換”往往可以暴露已知與未知之間被表面形式掩蓋著的實質(zhì)，發(fā)現(xiàn)解題方向.換元法是一種重要的數(shù)學(xué)解題方法，掌握它的關(guān)鍵在于通過觀察、聯(lián)想，發(fā)現(xiàn)與構(gòu)造出變換式（或新元換舊式、或新式換舊元、或新式換舊式）.在中學(xué)數(shù)學(xué)問題中，常見的基本換元形式有式代換、三角代換、點代換、參數(shù)代換等.x2?4x?4,x?[?1,0]的值域． 例1 求函數(shù)f(x)?2x?4x?5解：令t?x?2，t2則y?2?t?111,?[,1]． 1t21?2t115因為1?2?[,2]，t414所以函數(shù)f(x)的值域是[,]．

25x4例2 求函數(shù)y?的值域．

(1?x2)3解：令x?tan?，??(???,)，22tan4?tan4??則y??sin4?cos2? 233(1?tan?)sec?1?sin2?sin2?2cos2?21?sin2??sin2??2cos2??4≤?.??2?327?6

3當(dāng)且僅當(dāng)tan2??2時“?”成立.x4?4?所以函數(shù)y?的值域為0,?.?(1?x2)3?27?在這道例題中不僅用了換元法還用了均值不等式.利用三角函數(shù)來代換是我們在用換元法解題最常用的在換元后根據(jù)三角函數(shù)的有界性求能求出函數(shù)的值域.在用換元法的時候重要的就是要注意換元后的自變量發(fā)生了改變，那么它的定義域也就變了.注意到這點才能準(zhǔn)確地求出值域.7.利用不等式法求分式函數(shù)的值域

“不等式法”就是通過利用不等式的一些性質(zhì)和均值不等式來求某些具有一定特性的分式函數(shù)的值域.若原函數(shù)通過變形后的分子分母符和下列條件①各變數(shù)為正；②各變數(shù)的和或積為常數(shù).則可以考慮用均值不等式求它的值域.要注意在得到結(jié)論之后要說明其中等號能夠取到.例1 求函數(shù)y?解：y?24(x?1)(x??1)的值域.(x?3)224(x?1)24.?24(x?1)?4(x?1)?4(x?1)??4x?14因為x?1?0，所以x?1?≥4，x?14則x?1??4?8，x?124所以0?y≤?3（當(dāng)x?1時取等號），8故函數(shù)的值域為?0,3?.例2 設(shè)Sn?1?2?3???n，n?N求f(n)?中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）

解：f(n)?Sn(n?32)Sn?1Sn的最大值.（2000年全國高

(n?32)Sn?1n(n?1)nn2??2，?(n?1)(n?2)(n?32)(n?2)n?34n?64(n?32)?27 即化為了求分式函數(shù)最值的問題f(n)?164n?34?n.又因為n?34?當(dāng)n?6464?34?50，≥2n?nn641即n?8時“?”成立，所以對任何n?N有f(n)≤，n501故f(n)的最大值為.50例2表面上看是數(shù)列的問題而實際是我們可以將其轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域的問題在這里我們利用均值不等式的性質(zhì)來求其值域就使得整個解題過程利用數(shù)更簡單.8.斜率法求分式函數(shù)的值域

數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一種重要的數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn).華羅庚先生指出：數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.這種方法不僅僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的其它領(lǐng)域中，在求函數(shù)的值域與最值時也有良好的反映.聯(lián)想到過A(x1,y1)，B(x2,y2)的直線LAB的斜率為kAB?函數(shù)化為斜率式并利用數(shù)形結(jié)合法來求函數(shù)的值域.3t22(t?)的最小值.例1 求函數(shù)f(t)?2(3t?2)3y2?y1，我們可以考慮把分式x2?x13t2?02解：函數(shù)f(t)可變形為f(t)?(t?)，6t?43設(shè)A(6t,3t2)，B(4,0)則f(t)看作是直線AB的斜率，令x?6t，y?3t2則x2?12y(x?4).在直角坐標(biāo)系中A點的軌跡為拋物線的一部分直線與拋物線相切是斜率最小.過點B(4,0)直線方程為：y?k(x?4)將它代入x2?12y，有x2?12kx?48k?0，則??0推算出k?即t?8時，f(t)min?4.34此時x?8，38 x2?x?11例2 求y?(?≤x≤1)的值域.x?12(x2?x)?1解：y?，令A(yù)(?1,1)，B(x,x2?x)，x?(?1)則y?kAB，點B的軌跡方程為y?x2?x(?1≤x≤1)，21151B1(?,?)，B2(1,2)，kAB1??，kAB2?，2422所以y?k?51?AB????2,2??，即函數(shù)的值域為??51???2,2??.