第一篇：函數(shù)的值域與最值教案

專題課

函數(shù)的值域與最值

教材分析：1.值域是函數(shù)的三要素之一，函數(shù)的值域與最值，特別是最值是高考重點，而且考察的題型涉及選擇、填空、解答題.2.值域與最值知識在教材中比較分散，且方法較多，因此教學(xué)中要善于總結(jié).教學(xué)設(shè)計：通過對例題的變式訓(xùn)練，讓學(xué)生在問題的認(rèn)知、探索、發(fā)現(xiàn)、設(shè)計、解決、創(chuàng)造等全過程、全方位、深層次中進(jìn)行主體性、實質(zhì)性的參與.教學(xué)目標(biāo)：1.知識目標(biāo)：讓學(xué)生掌握求值域的基本方法及基本函數(shù)的的值域.2.能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、總結(jié)、化歸的能力，熟練各種方法.3.情感目標(biāo)：在探究的過程中形成良好的數(shù)學(xué)素質(zhì)和正確的學(xué)習(xí)態(tài)度.教學(xué)重點：求值域的方法.教學(xué)難點：判別式法、單調(diào)性法.教學(xué)方法：導(dǎo)練法 教學(xué)過程： 一.知識提煉：

1.函數(shù)的值域

值域是__________組成的集合，它是由_________和______________確定的.2.基本函數(shù)的值域

（1）.一次函數(shù)y?kx?b?k?0?的值域是______.（2）.二次函數(shù)y?ax2?bx?c(a?0),當(dāng)a?0時，值域是_______________，當(dāng)a?0時，值域是_______________.（3）.反比例函數(shù)y?kx?k?0?的值域是__________________.（4）.指數(shù)函數(shù)y?ax?a?0且a?1?的值域是_____________.（5）.對數(shù)函數(shù)y?logax?a?0且a?1?的值域是_____________.3.求值域的基本方法（1）.形如y?ax?bmx?n?mn?0?的函數(shù)，用________________________________求值域.（2）.形如y?ax2?bx?c(a?0)的函數(shù)，用___________求值域，要特別注意定義域.二次函數(shù)在給出區(qū)間上的最值有兩類：

一是求閉區(qū)間?a,b?上函數(shù)的最值問題；

二是求區(qū)間確定（運動），對稱軸運動（確定）時函數(shù)的最值問題。在求二次函數(shù)的最值問題時，一定要注意數(shù)形結(jié)合，注意“兩看”： 一看開口方向；

二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關(guān)系。

（3）.形如y?ax2?bx?cmx2?nx?e?m,a至少一個不為0?的函數(shù)，可用____________求值域.（4）.形如y?f?x??g?x?的函數(shù)用_______________求值域.（5）.其它方法：不等式法，導(dǎo)數(shù)法，單調(diào)性法，函數(shù)的有界性，圖象法等.二.典例示范：

例1.求下列各函數(shù)的值域.（1）y?x2?4x?3?x?R?

變式1：當(dāng)x??－1,3?時，求函數(shù)值域.變式2：當(dāng)x??t，t?1??t?R?時，求函數(shù)的最小值.點評：（2）y?x?4x?x?0?

變式：當(dāng)x??1，5?時，求函數(shù)的值域.點評：

（3）y?x2?x?1x?1

變式1：將函數(shù)式改為y?x2－x－2x?1，值域如何求？

變式2：將函數(shù)式改為y?x2?x?1x2?1，值域如何求？

點評：

（4）y?x?1?x

變式1：將函數(shù)式改為y?x－1?x，值域如何求？

變式2：將函數(shù)式改為y?x?1?x2，值域如何求？

點評：

例2.已知f(x)?2?log3x(1?x?9)，求函數(shù)g(x)?f2(x)?f(x2)的最大值與最小值.點評：

探究題.已知函數(shù)f(x)?x2?2x?ax,x?[1,??)（1）當(dāng)a?

時，求函數(shù)f(x)的最小值 ；（2）若對任意x?[1,??)，f(x)?0恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍.三.基礎(chǔ)練習(xí)：

1.函數(shù)y?x2?5的值域為x2______________.?42.y?3?2x?x2 的值域是______________.3.y?x?2x?1的最小值是______________.4.y?2x?1x?3的值域是______________.5.函數(shù)f?x??2x2?13x3在區(qū)間[－1，5]上的最大值是______

6.函數(shù)y?2?2x2x?1的值域為（）

A．（??,?2]?[?1,??)B．(??,?2)?(?1,??)

C．?yy??1,y?R? D．?yy??2,y?R?

7.已知函數(shù)f(x)的值域是[3,489]，試求y?f(x)?1?2f(x)的值域.8.已知函數(shù)f?x??logmx2?8x?n3x2?1的定義域為R，值域為?0,2?，求實數(shù)m,n的值.四.歸納總結(jié)：

1.求值域時不但要重視對應(yīng)法則的作用，而且要特別注意定義域的制約作用.2.求值域問題的結(jié)果要寫成集合或區(qū)間形式.3.熟練掌握求值域的幾種方法，積累經(jīng)驗，掌握規(guī)律，根據(jù)問題的不同特點，綜合而靈活地運用條件選擇方法求之.五.布置作業(yè)

第二篇：函數(shù)的值域與最值的求法一教案

函數(shù)的值域與最值的求法一（2課時）

2011年2月14號 星期一

重難點：函數(shù)值域與最值的求法

口訣：分式分，單調(diào)單，拋物找軸最關(guān)鍵；絕對脫，根式換，化為二次方程判；

x2?13x1、觀察法: 例題： ①y=2;②y=x

x?23?

12、配方法：y=a（f（x））2+bf（x）+c(a≠0)例題：①求y=-x2+2x+5,x ∈[2,3]的值域；②y=4-3?2x?x2;③y= 3x2-x+2;④y=?x2?6x?5

3、代數(shù)換元法:y=ax+b±cx?d

例題：①y=2x+1?2x;②y=x+41?x;③y=x+2x?1;④y=2x-5+15?4x;⑤y=2x-4x?13 ⑥y=2x-1?x⑦y=x-1?2x

4、中間變量法（定義域為R）

x2?1例題：y=2

x?

25、三角函數(shù)的有界性法（幾何意義法：斜率公式）

3x?21?x例題：①y=②y=

5?4x2x?5??, ]或設(shè)x=cos22??θ, θ∈[0,Л] 題中出現(xiàn)1?x2可設(shè)x=tanθ, θ∈(-,)或設(shè)x=cosθ，22θ∈(0,Л)ax?ba7、分離常量法:y=（結(jié)果規(guī)律：y≠）

cx?dc6、三角函數(shù)換元法:題中出現(xiàn)1?x2可設(shè)x=sinθ, θ∈[-ax?b3x?21?x10x?10?x8、反函數(shù)法:y=例題：①y=②y= ③y=x

cx?d5?4x2x?510?10?xa1x2?b1x?c19、判別式法:y=（定義域為R）即分子或分母中含有二次三項式a2x2?b2x?c2的分式函數(shù) 3xx2?x?32x2?x?2x2?2x?2例題：①y=2;②y=2;③y=2④y=2⑤x?4x?x?1x?x?1x?x?12xx2?x?2x2?xy=2⑥y=2 ⑦y=2 x?x?1x?4x?3x?x?1kx2?

310、均值不等式法y=f（x）+（f（x）＞0,k>0）y=

2f(x)x?

211、單調(diào)性法（對勾函數(shù)y=ax+

12、數(shù)形結(jié)合法（分段函數(shù)）

b（a,b>0））x例題：設(shè)函數(shù)g(x)?x2?2(x?R)，(x)?x?4,x?g(x),f(x)?{gg(x)?x,x?g(x).則f(x)的值域是()

9?9??9?（A）??,0??(1,??)（B）[0,??)（C）[?,??)（D）??,0??(2,??)

4?4??4?

13、導(dǎo)數(shù)法

課堂練習(xí)題：

1、求下列函數(shù)的值域：

x2?x（1）y=2 解法一：配方法;解法二：判別式法

x?x?1（2）y=x-1?2x 解法一：換元法;解法二：單調(diào)性法（3）y=-xx?2x?22換元法

10x?10?x（4）y=x ?x10?10 反函數(shù)法

（5）f（x）=（x-1）3x2在[-1，1]上的最值。

2五、課下練習(xí)作業(yè)：練習(xí)冊P121

第三篇：函數(shù)值域問題

努力今天成就明

天

知識就是財富

求分式函數(shù)值域的幾種方法

求分式函數(shù)值域的常見方法 1 用配方法求分式函數(shù)的值域

如果分式函數(shù)變形后可以轉(zhuǎn)化為y?配方，用直接法求得函數(shù)的值域.例1 求y?解：y?1的值域.22x?3x?113?1?2?x???4?8?2a?b的形式則我們可以將它的分母2a1x?b2x?c22，3?11?因為2?x???≥?，4?88?所以函數(shù)的值域為：???,?8?∪?0,???.x2?x例2 求函數(shù)y?2的值域.x?x?1解：y?2?1?1，2x?x?121?33?因為x?x?1??x???≥，2?44?所以?3?1≤2?0，4x?x?12 ?1?故函數(shù)的值域為??,1?.?3?先配方后再用直接法求值域的時候，要注意自變量的取值范圍.取“?”的條件.利用判別式法求分式函數(shù)的值域

我們知道若ax2?bx?c?0?a?0,a,b?R?有實根，則??b2?4ac≥0常常利用這一結(jié)論來求分式函數(shù)的值域.x2?3x?4例1 求y?2的值域.x?3x?4解：將函數(shù)變形為?y?1?x2??3y?3?x??4y?4??0?①，當(dāng)y?1時①式是一個關(guān)于x的一元二次方程.因為x可以是任意實數(shù)，所以?≥0，即?3y?3??4?y?1??4y?4???7y?50y?7≥0，解得，17≤y≤1或1?y≤7，又當(dāng)y?1時，x?0，?1?故函數(shù)的值域為?,7?.?7?2x2?bx?c例2 函數(shù)y?的值域為?1,3?，求b，c的值.2x?1解：化為?y?2?x?bx?y?c?0，⑴當(dāng)y?2時x?R???b?4?y?2??y?c?≥0，?4y2?4?c?2?y?8c?b2≥0，由已知4y2?4?c?2?y?8c?b2?0的兩根為1，3，由韋達(dá)定理得，c?2，b??2.⑵當(dāng)y?2時x?2?c?0有解 b綜上⑴和⑵，b??2，c?2.由這兩個例題我們知道在利用判別式法求分式函數(shù)的值域時要注意下列問題：

1、函數(shù)定義域為R（即分母恒不為0）時用判別式求出的值域是完備的.2、當(dāng)x不能取某些實數(shù)時（分母為零），若要用判別式法求它的值域則需要對使y?a2x2?b2x?c2??a1x2?b1x?c1的判別式??0的y值進(jìn)行檢驗.3、轉(zhuǎn)換后的一元二次方程若二次項系數(shù)中含有字母則需要討論其是否為0只有在其不為0的情況下才可以使用判別式法.3.利用函數(shù)單調(diào)性求分式函數(shù)的值

對于求函數(shù)的值域問題，我們通常使用能夠揭示此類函數(shù)本質(zhì)特征的通性通法即利用函數(shù)的單調(diào)性來求其值域.例1求函數(shù)y?解：y?2x?1(x?R,x??1)的值域.x?12x?12(x?1)?33，?2??x?1x?1x?13是x減函數(shù)進(jìn)而y是x的增函數(shù)，于是y????,?2?； x?1當(dāng)x??1時，當(dāng)x??1時，同樣y是x的增函數(shù)，于是y??2,???； 所以y?2x?1(x??1)的值域為???,?2?∪?2,???.x?1a的單調(diào)性的結(jié)論： x在求分式函數(shù)時我們常運用函數(shù)y?x??⑴當(dāng)a?0時在??,a和??a,??上增函數(shù)，在??a,0和0,a上是減函數(shù).??????⑵當(dāng)a?0時在???,0?和?0,???上是增函數(shù).例求函數(shù)y?x（1≤x≤3）的值域.2x?x?4解：x?0所以y?x.4x??1x4令t?x?在?1,2?上是減函數(shù)，在?2,3?是上增函數(shù)，x所以x?2時，tmin?4；

x?1時，tmax?5；

所以t??4,5?，t?1??3,t?，?11?故值域為?,?.?43?4.利用反函數(shù)法(反解)求分式函數(shù)的值域

設(shè)y?f(x)有反函數(shù)，則函數(shù)y?f(x)的定義域是它反函數(shù)的值域，函數(shù)y?f(x)的值域是其反函數(shù)的定義域.那么如果一個分式函數(shù)的反函數(shù)存在，我們就可以通過求反函數(shù)的定義域來求其值域.例1 求函數(shù)y?2x的值域.5x?12x1(x??)的映射是一一映射因此反函數(shù)存在，其反函數(shù)為5x?152??，5?解：由于函數(shù)y?y?x? 明顯知道該函數(shù)的定義域為?x|x?2?5x?2??2??故函數(shù)的值域為???,?∪?,???.5??5??說明：由于本方法中所具有的某些局限性，一般說來，用此方法求值域只用y?ax?b(c≠0)的函數(shù)，并且用此方法求函數(shù)的值域，也不是比較理想的方法.我們用這種cx?d方法目的是找關(guān)于y的不等式所以反函數(shù)求值域的實質(zhì)是反函數(shù)的思想樹立這種思想是我們的宗旨.下面這種方法就是利用了反函數(shù)的思想比較通用的方法.5.利用方程法求分式函數(shù)的值域

4x2?7x??0,1?求函數(shù)例1（2005年全國高考理科卷Ⅲ第22題）已知函數(shù)f(x)?2?xf(x)的值域

4x2?7解：f(x)?，x??0,1?，2?x所以2y?xy?4x2?7，x??0,1?，即4x2?yx?(7?2y)?0，x??0,1?.這樣函數(shù)的值域即為關(guān)于x的方程4x2?yx?(7?2y)?0在x??0,1?內(nèi)有解的y的取值集.令g(x)?4x2?yx?(7?2y)，x??0,1?，則關(guān)于x的方程4x2?yx?(7?2y)?0在x??0,1?內(nèi)有解?g(0)?g(1)≤0 ?g(0)?0?g(1)?0?77?或???≤y≤?3或?4≤y≤???4≤y≤3，by22?0??2a??2?4?1???b?4ac?y?4?(?7?2y)?0即所求函數(shù)的值域為??4,?3?..利用換元法求分式函數(shù)的值域

當(dāng)題目的條件與結(jié)論看不出直接的聯(lián)系（甚至相去甚遠(yuǎn)）時，為了溝通已知與未知的聯(lián)系，我們常常引進(jìn)一個（或幾個）新的量來代替原來的量，實行這種“變量代換”往往可以暴露已知與未知之間被表面形式掩蓋著的實質(zhì)，發(fā)現(xiàn)解題方向.換元法是一種重要的數(shù)學(xué)解題方法，掌握它的關(guān)鍵在于通過觀察、聯(lián)想，發(fā)現(xiàn)與構(gòu)造出變換式（或新元換舊式、或新式換舊元、或新式換舊式）.在中學(xué)數(shù)學(xué)問題中，常見的基本換元形式有式代換、三角代換、點代換、參數(shù)代換等.x2?4x?4,x?[?1,0]的值域． 例1 求函數(shù)f(x)?2x?4x?5解：令t?x?2，t2則y?2?t?111,?[,1]． 1t21?2t115因為1?2?[,2]，t414所以函數(shù)f(x)的值域是[,]．

25x4例2 求函數(shù)y?的值域．

(1?x2)3解：令x?tan?，??(???,)，22tan4?tan4??則y??sin4?cos2? 233(1?tan?)sec?1?sin2?sin2?2cos2?21?sin2??sin2??2cos2??4≤?.??2?327?6

3當(dāng)且僅當(dāng)tan2??2時“?”成立.x4?4?所以函數(shù)y?的值域為0,?.?(1?x2)3?27?在這道例題中不僅用了換元法還用了均值不等式.利用三角函數(shù)來代換是我們在用換元法解題最常用的在換元后根據(jù)三角函數(shù)的有界性求能求出函數(shù)的值域.在用換元法的時候重要的就是要注意換元后的自變量發(fā)生了改變，那么它的定義域也就變了.注意到這點才能準(zhǔn)確地求出值域.7.利用不等式法求分式函數(shù)的值域

“不等式法”就是通過利用不等式的一些性質(zhì)和均值不等式來求某些具有一定特性的分式函數(shù)的值域.若原函數(shù)通過變形后的分子分母符和下列條件①各變數(shù)為正；②各變數(shù)的和或積為常數(shù).則可以考慮用均值不等式求它的值域.要注意在得到結(jié)論之后要說明其中等號能夠取到.例1 求函數(shù)y?解：y?24(x?1)(x??1)的值域.(x?3)224(x?1)24.?24(x?1)?4(x?1)?4(x?1)??4x?14因為x?1?0，所以x?1?≥4，x?14則x?1??4?8，x?124所以0?y≤?3（當(dāng)x?1時取等號），8故函數(shù)的值域為?0,3?.例2 設(shè)Sn?1?2?3???n，n?N求f(n)?中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）

解：f(n)?Sn(n?32)Sn?1Sn的最大值.（2000年全國高

(n?32)Sn?1n(n?1)nn2??2，?(n?1)(n?2)(n?32)(n?2)n?34n?64(n?32)?27 即化為了求分式函數(shù)最值的問題f(n)?164n?34?n.又因為n?34?當(dāng)n?6464?34?50，≥2n?nn641即n?8時“?”成立，所以對任何n?N有f(n)≤，n501故f(n)的最大值為.50例2表面上看是數(shù)列的問題而實際是我們可以將其轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域的問題在這里我們利用均值不等式的性質(zhì)來求其值域就使得整個解題過程利用數(shù)更簡單.8.斜率法求分式函數(shù)的值域

數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一種重要的數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn).華羅庚先生指出：數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.這種方法不僅僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的其它領(lǐng)域中，在求函數(shù)的值域與最值時也有良好的反映.聯(lián)想到過A(x1,y1)，B(x2,y2)的直線LAB的斜率為kAB?函數(shù)化為斜率式并利用數(shù)形結(jié)合法來求函數(shù)的值域.3t22(t?)的最小值.例1 求函數(shù)f(t)?2(3t?2)3y2?y1，我們可以考慮把分式x2?x13t2?02解：函數(shù)f(t)可變形為f(t)?(t?)，6t?43設(shè)A(6t,3t2)，B(4,0)則f(t)看作是直線AB的斜率，令x?6t，y?3t2則x2?12y(x?4).在直角坐標(biāo)系中A點的軌跡為拋物線的一部分直線與拋物線相切是斜率最小.過點B(4,0)直線方程為：y?k(x?4)將它代入x2?12y，有x2?12kx?48k?0，則??0推算出k?即t?8時，f(t)min?4.34此時x?8，38 x2?x?11例2 求y?(?≤x≤1)的值域.x?12(x2?x)?1解：y?，令A(yù)(?1,1)，B(x,x2?x)，x?(?1)則y?kAB，點B的軌跡方程為y?x2?x(?1≤x≤1)，21151B1(?,?)，B2(1,2)，kAB1??，kAB2?，2422所以y?k?51?AB????2,2??，即函數(shù)的值域為??51???2,2??.

第四篇：二次函數(shù)的最值教案

豐林中學(xué) 任志庫

一、教學(xué)目標(biāo)

（一）知識與技能

1、會通過配方或公式求出二次函數(shù)的最大或最小值；

2、在實際應(yīng)用中體會二次函數(shù)作為一種數(shù)學(xué)模型的作用，會利用二次函數(shù)的性質(zhì)求實際問題中的最大或最小值；

（二）過程與方法

通過實例的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生嘗試解決實際問題，逐步提高分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識。

（三）情感態(tài)度價值觀

1、使學(xué)生經(jīng)歷克服困難的活動，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中獲得成功的體驗，建立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心；

2、通過對解決問題過程的反思，獲得解決問題的經(jīng)驗和獲得新的思想知識的方法，從而體會熟悉活動中多動腦筋、獨立思考、合作交流的重要性。

四、教學(xué)重點與難點

1、教學(xué)重點：實際問題中的二次函數(shù)最值問題。

2、教學(xué)難點：自變量有范圍限制的最值問題。

二、課堂教學(xué)設(shè)計過程

（一）復(fù)習(xí)導(dǎo)入 以舊帶新

1、二次函數(shù)的一般形式是什么？并說出它的開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)。

2、二次函數(shù)y=－x2+4x－3的圖象頂點坐標(biāo)是（）

當(dāng)x

時，y有最

值，是______。

3、二次函數(shù)y=x2+2x-4的圖象頂點坐標(biāo)是（）當(dāng)x

時，y有最

值，是______。

分析：由于函數(shù)的自變量的取值范圍是全體實數(shù)，所以只要確定他們的圖像有最高點或最低點，就可以確定函數(shù)有最大值或最小值。

設(shè)計意圖：復(fù)習(xí)與本節(jié)課有關(guān)的知識，可充分調(diào)動學(xué)生思維的積極性，又為新課做好準(zhǔn)備。

（二）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

1、試一試：

1.有長為30米得籬笆，利用一面墻（墻的長度不超過10米），圍成中間隔有一道籬笆（平行于BC）的矩形花圃。設(shè)花圃的一邊BC為x米，面積為y平方米。

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）能否使所圍矩形花圃的面積最大？如果能，求出最大的面積；如果不能，請說明理由。設(shè)計意圖：讓學(xué)生從已學(xué)的用配方法或公式法求二次函數(shù)的最值，在教學(xué)時，可讓學(xué)生充分討論、發(fā)言，培養(yǎng)學(xué)生的合作探究精神，可讓學(xué)生感受到成功的喜悅。

2。直擊中考：

例2.某商店購進(jìn)一批單價為20元的日用品,如果以單價30元銷售,那么一個月內(nèi)可以售出400件.根據(jù)銷售經(jīng)驗,提高單價會導(dǎo)致銷售量的減少,即銷售單價每提高1元,銷售量相應(yīng)減少20件.售價提高多少元時,才能在一個月內(nèi)獲得最大利潤? 分析：解決實際問題時，應(yīng)先分析問題中的數(shù)量關(guān)系，列出函數(shù)關(guān)系式，求出自變量的取值范圍，結(jié)合圖像和二次函數(shù)的性質(zhì)求w的最大值。

（四）課堂練習(xí)，見導(dǎo)學(xué)案

（五）課堂小結(jié)，回顧提升

本節(jié)課我們研究了二次函數(shù)的最值問題，主要分兩種類型：

（1）如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取最值；

（2）如果自變量的取值范圍不是全體實數(shù)，要根據(jù)具體范圍加以分析，結(jié)合函數(shù)圖像的同時利用函數(shù)的增減性分析題意，求出函數(shù)的最大值或最小值。

另：當(dāng)給出了函數(shù)的一般形式時，不管自變量是否受限制，常常要配方化為頂點式來求最值問題。

（六）布置作業(yè)，

第五篇：分式函數(shù)值域解法

分式函數(shù)值域解法匯編

甘肅省定西工貿(mào)中專文峰分校 張占榮

函數(shù)既是中學(xué)數(shù)學(xué)各骨干知識的交匯點，是數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)方法應(yīng)用的載體，是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的銜接點，還是中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)系實際的切入點，因此函數(shù)便理所當(dāng)然地成為了歷年高考的重點與熱點，考查函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)以及函數(shù)圖象。而對函數(shù)值域的考查或是單題形式出現(xiàn)，但更多的是以解題的一個環(huán)節(jié)形式出現(xiàn)，其中求分式函數(shù)的值域更是學(xué)生失分較大知識點之一。為此，如何提高學(xué)生求分式函數(shù)值域的能力，是函數(shù)教學(xué)和復(fù)習(xí)中較為重要的一環(huán)，值得探討。下面就本人對分式函數(shù)值域的教學(xué)作如下探究，不餒之處、敬請同仁指教。

一、相關(guān)概念

函數(shù)值是指在函數(shù)y＝f(x)中，與自變量x的值對應(yīng)的y值。

函數(shù)的值域是函數(shù)值的集合，是指圖象在y軸上的投影所覆蓋的實數(shù)y的集合。函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域及其對應(yīng)法則唯一確定；當(dāng)函數(shù)由實際問題給出時，函數(shù)的值域由問題的實際意義確定。

分式函數(shù)是指函數(shù)解析式為分式形式的函數(shù)。

二、分式函數(shù)的類型及值域解法

類型一：一次分式型

一次分式型是指分子與分母都是關(guān)于自變量x（或參數(shù)）的一次函數(shù)的分式函數(shù)。

1.y=(a0)型

例１ 求函數(shù)y=的值域。

解法一：常數(shù)分離法。將y=轉(zhuǎn)化為y=（k1,k2為常數(shù)），則yk1 解：∵y==，∴

y。

解法二：反函數(shù)法。利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系，通過求反函數(shù)的定義域，得到原函數(shù)的值域。

解：反解y=得x=，對調(diào) y=（x)，∴函數(shù)y=的值域為

y。

2.y=(a0)型

分析：這是一道含三角函數(shù)的一次分式函數(shù)，由于含三角函數(shù)，不易直接解出x，但其有一個特點：只出現(xiàn)一種三角函數(shù)名?？梢钥紤]借助三角函數(shù)值域解題，其實質(zhì)跟y=（t=sinx）在t的指定區(qū)間上求值域類似。

即：將y=反解得sinx=f(y),而-1≤sinx≤1,即-1≤f(y)≤1，解之即可。

例２ 求函數(shù)y=的值域。

解：由y=得，sinx=，∵-1≤sinx≤1，∴-1≤≤1，解之得≤y≤3。

3.y=或y=(a0)型

分析：這道題不僅含有三角函數(shù)，且三角函數(shù)不同，例2解法行不通，但反解之后會出現(xiàn)正、余弦的和、差形式，故可考慮用疊加法。

即：去分母以后，利用疊加公式和|sinx|≤1解題。

例３ 求函數(shù)y=

解：∵2cosx+100，∴3sinx-2ycosx=10y+3。的值域。

∴, 其中，由∴和,整理得8y+5y≤0。2得，∴≤y≤0 即原函數(shù)的值域為[，0]。

總結(jié)：求一次分式函數(shù)的值域，首先要看清楚是在整個定義域內(nèi)，還是在指定區(qū)間上；其次用反函數(shù)法解題；再次還要注意含三角函數(shù)的分式函數(shù)，其實質(zhì)是在指定區(qū)間上求分式函數(shù)的值域。

類型二：二次分式型

二次分式型是指分子與分母的最高次項至少有一項是關(guān)于x的二次函數(shù)。由于出現(xiàn)了x2項，直接反解x的方法行不通。但我們知道，不等式、函數(shù)、方程三者相互聯(lián)系，可以相互轉(zhuǎn)化。所以可考慮將其轉(zhuǎn)化為不等式或方程來解題。

１.y=(a、d不同時為0)，x∈R型

分析：去分母后，可將方程看作是含參數(shù)y的二次方程f(x)=0。由于函數(shù)的定義域并非空集，所以方程一定有解，≥0(f(y)≥0),解該不等式便可求出原函數(shù)的值域。

≥0（=f(y)）,即：用判別式法。先去分母，得到含參數(shù)y的二次方程f(x)=0,根據(jù)判別式

即可求出值域。

例４ 求函數(shù)y=的值域。

解：由y＝得yx2－3x＋4y＝0。

當(dāng)y＝0時，x＝0，當(dāng)y≠0時，由△≥0得-

∵函數(shù)定義域為R，≤y≤。

∴函數(shù)y＝的值域為[-，]。

說明：判別式法求二次函數(shù)的值域只適用于在整個定義域內(nèi)，但不能用其在指定的區(qū)間上求二次函數(shù)的值域，否則就會放大值域。

2.y=(a、d不同時為0)，指定的區(qū)間上求值域型。

例５ 求（x<）的值域。

分析：因為x<，所以若用判別式法，可能會放大其值域?？梢钥紤]使用均值定理解題。解：∵x<，∴5-4x>0,>0。

∴=1-4x+

=[(5-4x)+ ]-

4≥

2=-2，∴原函數(shù)的值域為。-4

例６ 求的值域。

錯解：=≥2。

分析：在使用均值定理時一定要注意使用條件“一定、二正、三相等”，顯然上述解法中和不能相等，“相等”條件不能成立。所以不能使用均值定理。但若用判別式法又無法解決根式問題，此時可考慮借函數(shù)的單調(diào)性求值域。

解：用單調(diào)性法

=，令=t，顯然t≥2，則y=t

+(t≥2)，任取2≤t1≤t2,則f(t1)= t1+, f(t2)= t2+，f(t1)-f(t2)=(t1+)-(t2+)=(t1-t2)(1-)，∵2≤t1≤t2∴t1-t2<0, t1· t2≥4, 1->0，∴f(t1)-f(t2)=(t1-t2)(1-)<0。

∴f(t1)< f(t2)，即函數(shù)y=t+ 在t≥2上單調(diào)遞增。

∴當(dāng)t=

2、即=

2、x=0時，ymin

=，∴原函數(shù)的值域為。

總結(jié)：不管是求一次分式函數(shù)，還是求二次分式函數(shù)的值域，都必須注意自變量的取值范圍。雖然我們提倡通解通法的培養(yǎng)，但一定要看到只有對一類題才可以用通解通法。若失去同一類前提，只強調(diào)通解通法，便是空中樓閣。故要因題而論，就事論事，防止一概而論的錯誤，用辯證和發(fā)展的眼光看待問題，這樣才會起到事半功倍的效果。

三、提煉知識，總結(jié)分式函數(shù)值域解法

求函數(shù)的值域是高中數(shù)學(xué)的難點之一，它沒有固定的方法和模式。但我們可以針對不同的題型進(jìn)行歸類總結(jié)，盡最大可能地尋找不同類型分式函數(shù)求值域的通解通法。常用的方法有：

1.反函數(shù)法。反函數(shù)法是求一次分式函數(shù)的基本方法，是利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系，通過求反函數(shù)的定義域，得到原函數(shù)的值域。但要注意看清楚是在整個定義域內(nèi)，還是在指定區(qū)間上求值域。

2.判別式法。判別式法是求二次分式函數(shù)的基本方法之一，即先去分母，把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的二次方程f(x，y)＝0，因為方程有實根，所以判別式△≥0，通過解不等式求得原函數(shù)的值域。需注意的是判別式法求二次函數(shù)的值域只適用于在整個定義域內(nèi)。

3.不等式法。不等式法是利用基本不等式：a＋b≥2(a、b∈R＋)，是在指定區(qū)間上求二次分式函數(shù)的基本方法之一，當(dāng)二次分式函數(shù)在指定區(qū)間上求值域時可考慮用不等式法。用不等式法求值域，要注意均值不等式的使用條件：“一正、二定、三相等”。

4.換元法。換元法是求復(fù)合型分式函數(shù)值域的常用方法。當(dāng)分式函數(shù)的分子或分母出現(xiàn)子函數(shù)（如三角函數(shù)）時，可考慮用換元法，將所給函數(shù)化成值域容易確定的另一函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域。要注意換元后自變量的取值范圍。

5.單調(diào)性法。單調(diào)性法是通過確定函數(shù)在定義域(或某個定義域的子集)上的單調(diào)性求出函數(shù)的值域的方法。

另外，還可以根據(jù)函數(shù)的特點，利用數(shù)形結(jié)合或求導(dǎo)數(shù)的方法求分式函數(shù)的值域。由于這些方法不是很常用，在此就不多做說明