第一篇：2010年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題優(yōu)秀論文

兩篇重要論文------詳見百度文庫鏈接

(一)儲油罐變位識別與罐容表標(biāo)定問題探究

華中科技大學(xué);梅正陽指導(dǎo)

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(二)數(shù)值解法在儲油罐變位標(biāo)定中的應(yīng)用

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第二篇：2007年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模優(yōu)秀論文

2007高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽C題評閱要點

[說明]本要點僅供參考，各賽區(qū)評閱組應(yīng)根據(jù)對題目的理解及學(xué)生的解答，自主地進行評閱。該問題主要是根據(jù)2007年初北京、上海等地移動公司相繼推出的“暢聽99套餐”、“全球通68套餐”等所謂的單向收費方案提出的。這里套餐方案看似簡單，但對名目繁多的“套餐”很多人并不清楚其實質(zhì)內(nèi)容，事實上這里面隱含著很多數(shù)學(xué)問題。

注意到所有的“套餐”都不是真正意義上的單向收費方案，而且都是針對全球通用戶，其他的手機用戶（如神州行、動感地帶等）無效。為此，只能針對全球通用戶的資費方案來考慮問題。北京、上海的“套餐”都是針對本地通話費的，沒有涉及長途通話費和IP通話費，也沒有涉及基本月租費和漫游資費問題，這些因素可以不予考慮。雖然北京和上海“套餐”優(yōu)惠都是針對本地通話資費的，但其內(nèi)容還有區(qū)別，北京的套餐內(nèi)分主叫和被叫，而上海的套餐無主叫和被叫之分。

問題（１）：要認(rèn)真分析各“套餐”方案與原計費方案的關(guān)系和區(qū)別。對各種“套餐”而言，每月至少要消費一定的數(shù)額（套餐月租費），只要套餐用戶的本地通話時間T不超過相應(yīng)的包打時間T0則不另計費，超過部分按相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)計費。如果實際通話時間達

不到“套餐”規(guī)定的最低本地通話時間T0，則同樣也按T0計算，并當(dāng)月核算，不可累計。

本地通話時間T包括：本市通話時間t1、國內(nèi)長途通話時間t2、國際長途通話時間t3、港澳臺長途通話時間t4，以及撥打IP長途（國內(nèi)、港澳臺、國際）相應(yīng)的本地通話時間，分別記為t5,t6,t7。于是可以計算出本地通話的總時間為T??ti，并要給出明確的i?17

計費算法公式。北京、上海的不同方案的計算公式均不同，計算項目要全面。

關(guān)于各“套餐”方案適應(yīng)什么用戶的討論，首先要計算出原資費方案中每一次通話的本地通話費，再求出一個月的本地通話費用總和，然后與各“套餐”方案的月租費進行比較分析，根據(jù)用戶的通話量和相應(yīng)費用選擇確定適用的“套餐”方案。

問題（２）：判斷一個“套餐”方案的優(yōu)劣，首先要根據(jù)實際適當(dāng)?shù)卮_定一個評判指標(biāo)，然后對各方案進行比較分析。評判指標(biāo)要能反映各通話內(nèi)容（市話、長途、IP等）的影響作用，需要時可以參考2006年各通話內(nèi)容相應(yīng)的通話量（見附件１）所占總通話量的比例。一種可行有效的方法是從經(jīng)濟學(xué)的角度，考慮投入與產(chǎn)出的費效比，即利用“費效分析法”進行研究，一個好的方案應(yīng)該使得費效比盡量地大。

問題（３）：實際上“被叫全免計劃”方案，也是一個有條件的單向收費方案，與北京的“暢聽99套餐”方案相比并無太大優(yōu)惠，可以用問題（2）中所采用的方法對比兩方案的評判指標(biāo)。例如，不妨可以采用費效比來判斷。

問題（４）：一個合理的“套餐”方案，就應(yīng)該是使得在某種意義下的綜合評判指標(biāo)盡量地大，例如采用問題（2）和（3）中的綜合費效比或邊際效能使其盡量地大。無論是從運營商，還是從用戶的角度都是合理的。為此，根據(jù)題目的要求和北京、上海的實際情況，在已有“套餐”方案的基礎(chǔ)上，通過建立優(yōu)化模型（一般為線性規(guī)劃）來設(shè)計出更合理的“套餐”方案，并要分析說明其合理性。

第三篇：2006全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目(A題)

2006全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目

-------A題:出版社的資源配置

出版社的資源主要包括人力資源、生產(chǎn)資源、資金和管理資源等，它們都捆綁在書號上，經(jīng)過各個部門的運作，形成成本（策劃成本、編輯成本、生產(chǎn)成本、庫存成本、銷售成本、財務(wù)與管理成本等）和利潤。

某個以教材類出版物為主的出版社，總社領(lǐng)導(dǎo)每年需要針對分社提交的生產(chǎn)計劃申請書、人力資源情況以及市場信息分析，將總量一定的書號數(shù)合理地分配給 各個分社，使出版的教材產(chǎn)生最好的經(jīng)濟效益。事實上，由于各個分社提交的需求書號總量遠(yuǎn)大于總社的書號總量，因此總社一般以增加強勢產(chǎn)品支持力度的原則優(yōu) 化資源配置。資源配置完成后，各個分社（分社以學(xué)科劃分）根據(jù)分配到的書號數(shù)量，再重新對學(xué)科所屬每個課程作出出版計劃，付諸實施。

資源配置是總社每年進行的重要決策，直接關(guān)系到出版社的當(dāng)年經(jīng)濟效益和長遠(yuǎn)發(fā)展戰(zhàn)略。由于市場信息（主要是需求與競爭力）通常是不完全的，企業(yè)自身的數(shù)據(jù)收集和積累也不足，這種情況下的決策問題在我國企業(yè)中是普遍存在的。本題附錄中給出了該出版社所掌握的一些數(shù)據(jù)資料，請你們根據(jù)這些數(shù)據(jù)資料，利用數(shù)學(xué)建模的方法，在信息不足的條件下，提出以量化分析為基礎(chǔ)的資源（書號）配置方法，給出一個明確的分配方案，向出版社提供有益的建議。

第四篇：2013全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題參考答案

2013高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題評閱要點

[說明]本要點僅供參考，各賽區(qū)評閱組應(yīng)根據(jù)對題目的理解及學(xué)生的解答，自主地進行評閱。本題的難點在于通過視頻資料獲得車流數(shù)據(jù)，并以此為基礎(chǔ)建立數(shù)學(xué)模型，分析部分車道被占用后，道路擁塞程度與上游來車量的關(guān)系。評閱時請關(guān)注如下方面：建模的準(zhǔn)備工作（視頻中車流數(shù)據(jù)的提取，包括視頻缺失及錯誤的處理），模型的建立、求解和分析方法，結(jié)果的表述，模型的合理性分析及其模型的拓廣。

問題1.1.1．道路被占用后，實際的通行能力需要通過視頻中的車流數(shù)據(jù)得到，不能僅由交通道路設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)估計；

1.2．應(yīng)該根據(jù)視頻信息給出不同時段、不同情況下車流量的變化，需要給出通行能力的計算方法、理由的陳述或分析；

1.3.在被占用道路沒有車輛排隊時，通行能力等同于單車道情形，但當(dāng)被占用道路有車輛排隊時，由于被占用道路車輛的變道搶行，會使道路的通行能力下降，好的結(jié)果應(yīng)該明確指出這一點。

問題2.2.1.對于視頻2 的分析同視頻1，需要通過視頻2與視頻1的數(shù)據(jù)對比給出通行能力的差異及原因分析；

2.2．由于事故橫斷面下游交通流方向需求不同，會導(dǎo)致上游每條車道分配到的車輛數(shù)不同，使兩種情況事故所處道路橫斷面形成多車道排隊的機率不同，從而影響實際通行能力。如果在模型中注意到這一點則更好。

問題3.3.1．建立數(shù)學(xué)模型，給出交通事故所引起的路段車輛排隊長度與事故橫斷面實際通行能力、事故持續(xù)時間、路段上游車流量間的關(guān)系；

3.2.模型的形式可以多樣，但需要包含上述各種因素。關(guān)鍵考察模型假設(shè)的合理性、參數(shù)確定的原則、及模型的可計算性。

問題 4.4.1．本問題是問題1 及問題 3 的擴展，可利用問題1 得到的通行能力及 問題3 的模型計算結(jié)果；

4.2．和問題1、3不同，當(dāng)事故橫斷面離紅綠燈路口較近時，司機無充分時間調(diào)整車道，會增大多車道占用情形，影響通行能力，模型計算中應(yīng)考慮這一點；

4.3.附件中給出了上游路口信號燈的控制方案，會影響上游來車的流量分布，如果學(xué)生能夠利用附件給出上游路口信號燈配時方案和交通組織方案則更好。

第五篇：2014全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽

嫦娥三號軟著陸軌道設(shè)計與控制策略

摘要

隨著月球探測任務(wù)的發(fā)展,未來月球探測考察目標(biāo)將主要是 復(fù)雜地形特性的高科學(xué)價值區(qū)域。為了能夠安全地在這些遍布巖石、的區(qū)域內(nèi)完成高精度軟著陸，這就要求導(dǎo)航和控制系統(tǒng)具有較強的自主性和實時性。本文針對最終著陸段安全、精確的需求，對月球軟著陸導(dǎo)航與控制方法進行較深入研究，主要內(nèi)容包括：

首先，提出一種基于單幀圖像信息的障礙檢測方法。該方法根據(jù)著陸區(qū)內(nèi)障礙成像的特點，通過匹配相應(yīng)的陰影區(qū)與光照區(qū)完成對巖石、彈坑的檢測，利用圖像灰度方差對粗糙區(qū)域進行提?。涸跈z測出故障信息的基礎(chǔ)上，選取安全著陸點以保證軟著陸任務(wù)的成功。

其次，給出一種基于矢量觀測信息的自主光學(xué)導(dǎo)航方法。該方法利用光學(xué)相機和激光測距儀測量值構(gòu)建著陸點相對著陸器的矢量信息，結(jié)合著陸器的姿態(tài)信息確定著陸器的位置。為了消除測量噪聲帶來的干擾，利用擴展Kalman濾波理論設(shè)計了導(dǎo)航濾波器。

再次，提出一種李雅普諾夫函數(shù)障礙規(guī)避制導(dǎo)方法。該方法通過對狀態(tài)函數(shù)、危險地形勢函數(shù)的設(shè)計，以滿足平移過程中減低障礙威脅與精確定點著陸器，設(shè)計PWPF（調(diào)頻調(diào)寬）調(diào)節(jié)器實現(xiàn)定推理等效變推力控制效果。

最后，針對采用變推力主發(fā)動機的月球著陸器，提出一種垂直軟著陸控制方法。該方法采用標(biāo)稱控制與閉環(huán)控制相結(jié)合的方式，規(guī)劃標(biāo)稱軌跡以保證著陸器到達著陸點時其下降速度、加速度亦為零，設(shè)計閉環(huán)控制器產(chǎn)生附加控制量消除初始偏差、著陸器質(zhì)量變化的干擾，以保證著陸器沿標(biāo)稱軌跡到達著陸點。

本文分別對所提出的最終著陸段導(dǎo)航與控制方法進行數(shù)學(xué)仿真以驗證個方法的可行性。仿真結(jié)果表明，本文多給出導(dǎo)航方法能夠達到較高的性能指標(biāo)，滿足在危險區(qū)域?qū)崿F(xiàn)高精度軟著陸的需要。

關(guān)鍵詞： 月球軟著陸；自主導(dǎo)航與控制；障礙檢測；規(guī)避制導(dǎo)；適量測量

一、問題重述

嫦娥三號于2013年12月2日1時30分成功發(fā)射，12月6日抵達月球軌道。根據(jù)計劃，嫦娥三號將在北京時間12月14號在月球表面實施軟著陸。嫦娥三號如何實現(xiàn)軟著陸以及能否成功成為外界關(guān)注焦點。嫦娥三號在著陸準(zhǔn)備軌道上的運行質(zhì)量為2.4t，其安裝在下部的主減速發(fā)動機是目前中國航天器上最大推力的發(fā)動機，能夠產(chǎn)生1500N到7500N的可調(diào)節(jié)推力，進而對嫦娥三號實現(xiàn)精準(zhǔn)控制。其比沖（即單位質(zhì)量的推進劑產(chǎn)生的推力）為2940m/s，可以滿足調(diào)整速度的控制要求。在四周安裝有姿態(tài)調(diào)整發(fā)動機，在給定主減速發(fā)動機的推力方向后，能夠自動通過多個發(fā)動機的脈沖組合實現(xiàn)各種姿態(tài)的調(diào)整控制。嫦娥三號的預(yù)定著陸點為19.51W，44.12N，海拔為-2641m。嫦娥三號將在近月點15公里處以拋物線下降，相對速度從每秒1.7公里逐漸降為零。整個過程大概需要十幾分鐘的時間。在距月面100米處時，嫦娥三號要進行短暫的懸停，掃描月面地形，避開障礙物，尋找著陸點。之后，嫦娥三號在反推火箭的作用下繼續(xù)慢慢下降，直到離月面4米高時再度懸停。此時，關(guān)掉反沖發(fā)動機，探測器自由下落。

嫦娥三號在高速飛行的情況下，要保證準(zhǔn)確地在月球預(yù)定區(qū)域內(nèi)實現(xiàn)軟著陸，關(guān)鍵問題是著陸軌道與控制策略的設(shè)計。其著陸軌道設(shè)計的基本要求：著陸準(zhǔn)備軌道為近月點15km，遠(yuǎn)月點100km的橢圓形軌道；著陸軌道為從近月點至著陸點，其軟著陸過程共分為6個階段，分別為著陸準(zhǔn)備軌道、主減速段、快速調(diào)整段、粗避障段、精避障段、緩速下降階段，要求滿足每個階段在關(guān)鍵點所處的狀態(tài)；盡量減少軟著陸過程的燃料消耗。

根據(jù)上述的基本要求，請你們建立數(shù)學(xué)模型解決下面的問題：

（1）確定著陸準(zhǔn)備軌道近月點和遠(yuǎn)月點的位置，以及嫦娥三號相應(yīng)速度的大小與方向。（2）確定嫦娥三號的著陸軌道和在6個階段的最優(yōu)控制策略。

（3）對于你們設(shè)計的著陸軌道和控制策略做相應(yīng)的誤差分析和敏感性分析。

二、問題分析

對于問題一：

嫦娥三號從15公里左右的高度下降到月球表面，在這一過程中不考慮月球表面太陽風(fēng)的影響，忽略月球的自轉(zhuǎn)速度引起的科氏力的影響，由于下降時間比較短也不考慮太陽、地球?qū)︽隙鹑柕臄z動影響，嫦娥三號水平速度要從1.692km/s降為0m/s由于3000m處時嫦娥三號已經(jīng)基本位于著陸點上方，所以此時假設(shè)在3000m處的速度只存在豎直向下的速度而不存在水平分速度，因為降落減速時間比較短只有垂直于月面的方向運動才能實現(xiàn)，所以在確定著陸點位置和著陸軌跡時應(yīng)當(dāng)考慮燃料最優(yōu)情況下推力最大，方向自由的方法即取F?7500N建立主減速段動力學(xué)模型。

三、符號說明

四、模型假設(shè)

對于問題一：

忽略月球的自傳和太陽、地球?qū)︽隙鹑栃l(wèi)星的引力攝動 月球近似為一個質(zhì)量均勻的標(biāo)準(zhǔn)球體 將嫦娥三號是為一個質(zhì)點

主減速忽略動作調(diào)整所產(chǎn)生的燃料消耗段不考慮太陽風(fēng)的影響

五、模型建立與求解

5.1問題一的建模與求解 解法一： 假設(shè)嫦娥三號在t時刻在遠(yuǎn)月點開始緩慢下降，在n時刻到達近月點，整個過程遵循開普勒第三定律，即

v0?0

在t時刻有：v1?2??R1????? ??R0?R0?R1?r0 R0?r1?r2 其中v1：遠(yuǎn)月點速度

v2：近月點速度

R0：遠(yuǎn)月點月心距

R1：近月點月心距（已知月球的半徑為1738千米）

R0?1738?100?1838km

R1?1738?15?1753km 在t1時刻處v2? k?2??R1??? ?R0?R0?R1??R0?0.512k?0.488 R0?R1利用能量平衡式求得近地點速度為

2?0.512?49012（）?1.692km/s（沿切線方向）v2?，比當(dāng)?shù)氐沫h(huán)境速度17531.672km/s大?vk?0.0196km/s，徑向速度vk?0。

1同理解得v1?1.6139km/s（沿切線方向）

vri?0

解得主減速段動力學(xué)模型的建立：

根據(jù)題意，在橫向飛行的水平距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于月球半徑的平均值，所以可以將整個減速段過程簡化為水平和豎直方向運動方程，根據(jù)牛頓第二定律、速度計算公式有：

ax?Tx may?tTymTxt?a

?1.692km/s ?m?0?Qdt0??Ty???a?dt?57m/s t?0??m??Qdt?0??t?T22x?Ty2??7500N

v2?2at?S

運用matlab編程解得S?451810.4m； 其中 ax：水平方向加速度

ay：豎直方面加速度

a：月球表面重力加速度a? Tx：推力的水平方向分力

Ty：推力的豎直方向分力

t:主減速段時間

S:嫦娥三號主減速段水平位移

Q:嫦娥三號發(fā)動機燃料秒消耗率

根據(jù)已知資料得到嫦娥三號著陸過程中緯度改變，經(jīng)度基本不變，月球赤緯和地球緯度一樣也分為南北各90個分度,又因為月球極區(qū)半徑為1735.843km，所以每一個緯度的豎直高度差為19.2871

4g 6千米。即近月點位置坐標(biāo)為?19.0464W,28.9989N?海拔15km,遠(yuǎn)月點位置坐標(biāo)為?160.9536E,28.9989S?海拔100km。

解法2:軌跡方程法。

眾所周知,太陽系中的八大行星都在按照各自的橢圓軌道繞太陽進行公轉(zhuǎn),太陽位于橢圓的一個焦點上,行星的運動遵循開普勒三定律,筆者發(fā)現(xiàn),在各類物理競賽中,常會涉及到天體運動速度的計算,本文擬從能量和行星運動的軌跡方程兩個不同的角度來探索行星在近日點和遠(yuǎn)日點的速度。

該解法的指導(dǎo)思想是對橢圓的軌跡方程求導(dǎo),并結(jié)合一般曲線的曲率半徑通式求出近日點和遠(yuǎn)日點的曲率半徑表達式,然后利用萬有引力提供向心力列方程求解。如圖1所示,橢圓的軌跡方程為

x2y2?2?1 ?5? 2ba將?5?式變形為

a2x2?b2y2?a2b2 ?6?

根據(jù)隱函數(shù)的求導(dǎo)法則將?6?式對x求導(dǎo)有

2a2x?2b2yy??0 ?7? 即

a2xy???2 ?8?

by將?7?式再次對x求導(dǎo)得

2a2?2b2(y?y??yy??)?0 ?9? 將?8?、?9?兩式聯(lián)立得

a2b2y2?a4x2 ?10? y???-43by根據(jù)曲率半徑公式有 r?(1?y?)?11? ??y122 將?8?、?10?、?11?式聯(lián)立并將A點坐標(biāo)A(0，a)代入可得A點的曲率半徑為

b2RA? ?12?

a根據(jù)橢圓的對稱性,遠(yuǎn)日點B的曲率半徑為

b2RB?RA? ?13?

a 由于在A、B兩點行星運行速度方向與萬有引力方向垂直,萬有引力只改變速度方向,并不改變速度大小,故分別根據(jù)萬有引力提供向心力得

GMmmvA ?14? ?(a?c)2RAGMmmvB ?15? ?2(a?c)RB將?13?至?15?式聯(lián)立可得 22vA?bGMbGM，vB? ??a?caa?ca

5.2問題二的建模與求解 模型一：動力學(xué)模型

典型的月球軟著陸任務(wù)中,探測器一般首先發(fā)射到100km的環(huán)月停泊軌道,然后根據(jù)所選定的著陸位置,在合適的時間給著陸器一個有限脈沖,使得著陸器轉(zhuǎn)入近月點(在著落位置附近)為15km,遠(yuǎn)月點為100km的月球橢圓軌道,這一階段稱為霍曼轉(zhuǎn)移段。當(dāng)著陸器運行到近月點時,制動發(fā)動機開始工作,其主要任務(wù)是抵消著陸器的初始動能和勢能,使著陸器接觸地面時,相對月面速度為零,即實現(xiàn)所謂的軟著陸,這一階段稱為動力下降段。著陸器的大部分燃料都是消耗在此階段,所以月球軟著陸軌跡優(yōu)化主要是針對動力下降段這一階段。由于月球表面附近沒有大氣,所以在飛行器的動力學(xué)模型中沒有大氣阻力項。而且從15km左右的軌道高度軟著陸到月球表面的時間比較短,一般在幾百秒的范圍內(nèi),所以諸如月球引力非球項、日月引力攝動等影響因素均可忽略不計,所以這一過程可以在二體模型下描述。其示意圖如圖1所示,其中o為月球質(zhì)心,x軸方向為由月心指向著陸器的初始位置,y軸方向為初始位置著陸器速度方向。

圖 1 月球軟著陸極坐標(biāo)系

其動力學(xué)方程如下: r??v ????

v??(F/m)sin???/r?r

2?2 ????((F/m)cos??2v?)/r

m???F/ISP

在上式中r為著陸器與月心距離,v為著陸器徑向速度,?為著陸器極角,?為著陸器極角角速度,?為月球引力常數(shù),F著陸器制動發(fā)動機推力,m為著陸器質(zhì)量,?為制動發(fā)動機推力方向角,其定義為F與當(dāng)?shù)厮椒较驃A角,ISP為制動發(fā)動機比沖。根據(jù)動力下降段的起點位置可以確定動力學(xué)方程初始條件,由于起點處于霍曼轉(zhuǎn)移軌道的近地點,故其初始條件為: r0?rp

?0?0

v0?0 ?0?1rp?rp(2ra)ra?rp其中rp和ra分別為霍曼轉(zhuǎn)移段的近地點半徑和遠(yuǎn)地點半徑。

終端條件為實現(xiàn)軟著陸, 即

rf?R

vf?0

?f?0

其中R為月球半徑,終端條件中對終端極角?f及終端時間tf無約束。

優(yōu)化變量為制動發(fā)動機推力方向角?(t)。

優(yōu)化的性能指標(biāo)為在滿足上述初始條件和終端條件的前提下, 使著陸過程中燃料消耗最少,即

J??m(t)dt

t0f設(shè)計主減速段制導(dǎo)控制律 2動力下降段燃料最優(yōu)精確著陸問題描述 2.1 燃料最優(yōu)精確著陸問題

著陸器運動方程：考慮采用變推力發(fā)動機情況，有

r?v

.v?g?a

(1)

a?Tmm??aT..其中r?[rhrxry]T，v?[vhvxvy]T分別表示著陸器相對期望著陸點的位置和速度矢量；T為推力器提供的推力矢量，幅值為 T，對應(yīng)控制加速度矢量 a；g為火星的重力加速度矢量，此處認(rèn)為是常值；m為著陸器質(zhì)量，對應(yīng)推力器質(zhì)量排除系數(shù)?。指標(biāo)函數(shù)：考慮燃料消耗

min(m0?mf)???min?0fTdt

(2)邊界條件：即初始條件和終端條件

r(0)?r0,v(0)?v0,m(0)?m0,r(tf)?v(tf)?[000]

(3)控制約束：考慮發(fā)動機一旦啟動不能關(guān)閉，存在最大和最小推力約束

0?T1?T?T

2(4)狀態(tài)約束：為避免在著陸前撞擊到火星地表，需確保整個下降段位于火星地平面以上，即

rh?0

（5）進一步地，若著陸區(qū)域附近表面崎嶇不平，僅僅確保地表約束不能滿足需求時，可以考慮下降傾角約束，即將著陸器下降軌線約束到以著陸點為頂點的圓錐體內(nèi)

2.2 等效后燃料最優(yōu)精確著陸問題 定義等效變換變量

Ttrx2?ry2rh?tan?alt

（6）

u?a?T

?m

（7）

??Tmz?lnm??等效著陸器運動方程： ?.??r??0I3.?.??

y??v??00??.??00?z????其中p?[u?T0??r??0?v???I0?????30??z????0?7*7?0??u?g??0????Acy?Bc(p?g4)

（8）????????],g4?[gTT?0]T

t指標(biāo)函數(shù)：

min?0f?(t)dt

（9）

邊界條件：同式(3)。

控制約束：由文獻[10]可知，控制約束(4)可等效表示為

u??1T1e?z0[1?(z?z0)?(z?z0)2]???T2e?z0[1?(z?z0)]

（10）（11）

2狀態(tài)約束：地表約束同式(5)，傾角約束(6)可等效表示為

T

Sy?cy?0

（12）

其中

?0100000?S???

0010000??c???tan?alt

T000000?

3.燃料最優(yōu)精確著陸問題的離散化及變換 3.1 等效燃料最優(yōu)精確著陸問題的離散化

首先將整個飛行時間均分成 n 段（對應(yīng) n +1 個點），每段步長為?t，離散化后的著陸器運動方程為：yk?1?Ayk?B(pk?g4)

其中A?R7?7,B?R7?4分別為離散系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣

12A?e?tAc?I3??tAc??tAc??

2?t?t112B??e??t?s?AcBcds??esAcds?Bc??tBc??tBc??t2Bc??

0026其中I3為三階單位陣。

有系統(tǒng)性質(zhì)可知，整個控制時域內(nèi)系統(tǒng)狀態(tài)滿足 y3?Ay2?B?p2?g4??A3y0?A2B?p0?g4??AB?p1?g4??B?p2?g4??yn?Ayn?1?B?pn?1?g4??Any0?An?1B?p0?g4????AB?pn?2?g4??B?pn?1?g4?y1?Ay0?B?p0?g4?y2?Ay1?B?p1?g4??A2y0?AB?p0?g4??B?pn?2?g4??B?p1?g4?

為表達方便，令

?y0??p0???0??A0??y??p?????1??1??1??1??A? ,p??p2?，????2???A2? Y??y2?????????????????????n?????yn??7?n?1??1?pn??4?n?1??1??n????A?7?n?1??7??0??0????B?1??????AB???2???2??3??AB????????n?1?A??n????則(15)可等價于

0???0??0?????B?0?1???????2??AB?B?B000???????2? ?ABB00???3??A?AB?B??????????0????n?1???A???AB?B?A2BABB????n????7?n?1??4?n?1???000000Y??y0??p??g4

分別定義如下常值矩陣：

最終可得離散化后的燃料最優(yōu)化問題如下： 指標(biāo)函數(shù)：式(9)可表示為

邊界條件：式(3)可表示為

控制約束：式(10)和式(11)分別可表示為

狀態(tài)約束：式(5)和式(12)分別可表示為

含有 p個線性約束和 q個二階錐約束的最優(yōu)化問題的標(biāo)準(zhǔn)形式為 指標(biāo)函數(shù)

min(?Tx)滿足約束

DTx?f?0Ax?ci?b?dinTiTi

（k=1,?，n）

n*pp其中x?R為待優(yōu)化向量，??R，線性約束參數(shù)D?R,f?R，二階錐約束參數(shù)維數(shù)n(Ai,bi,ci,di)由相應(yīng)約束確定

則式(17)～式(23)可最終轉(zhuǎn)換為如下最優(yōu)化問題： 指標(biāo)函數(shù)：min(vpp)滿足：

初值約束:MxΨ0p?Mx(Ψ0y0)?A0g4?r0末值約束:MxΨ0p?Mx(Ψ0y0)?A0g4控制約束:Murkp?v?rkp 控制上限:?(vzΨk?TT?TTv0?T?0

?0

T1vr)p?1?vTz(Φky0?Akg4)?z0,z?0 ?z0?kT2e 控制下限：

4數(shù)值仿真結(jié)果與分析本節(jié)以某火星著陸器為例，計算了典型初始條件下滿足各種約束的燃料最優(yōu)精確著陸軌跡。其中探測器各參數(shù)分別取為：m0?2000kg,g?[?3.711400]ms2,c?2kms,T1?1.3kN,T2?13kN.。著陸器初始位置矢量r0= [1500,-600, 800] m，初始速度矢量v0= [-30, 10, 40]m/s，傾角?alt=86°。二階錐優(yōu)化問題可以通過大量免費的優(yōu)化工具求解，如 CSDP、DSDP、OpenOpt、SeDuMi、SDPA、SDPLR等。本文選用 SDPT3 進行計算，通過執(zhí)行線性搜索確定燃料最優(yōu)下降時間tf為 43s，圖 1 給出了相應(yīng)的最優(yōu)著陸軌跡、下降速度、加速度、控制推力、推力幅值以及探測器質(zhì)量變化曲線。

由優(yōu)化結(jié)果可以看出，探測器在給定時間飛行并軟著陸到指定位置，且在整個下降過程始終與火星地表保持一定的安全距離，驗證了下降傾角約束的有效性。其推力幅值曲線呈現(xiàn)“最大-最小-最大”的最優(yōu)控制形式，不過為了保持發(fā)動機始終處于點火狀態(tài)，在中間段對應(yīng)最小推力約束，這與文獻中的分析結(jié)論一致。此外，通過利用如 TOMLAB 等商業(yè)最優(yōu)控制軟件進行復(fù)核計算，也驗證了此計算結(jié)果的燃料最優(yōu)性能。

*

圖 1 給定初始條件下火星著陸器動力下降段燃料最優(yōu)計算結(jié)果

需要注意到，此燃料最優(yōu)軌跡的獲取對著陸器的實時在線計算性能提出了較高的要求，經(jīng)測試，無論使用何種優(yōu)化工具，計算給定飛行任務(wù)時間的最優(yōu)軌跡均需數(shù)秒，而全局最優(yōu)則需要數(shù)十秒甚至更長，這在實際任務(wù)中是不允許的。因此，可行的方案是通過在地面計算大量的燃料最優(yōu)軌跡，并尋找規(guī)律，選取關(guān)鍵路徑點狀態(tài)存儲到著陸器計算機中，通過在線查表或者在利用對計算量要求較小的反饋制導(dǎo)律完成安全著陸任務(wù)。

因此，為了研究探測器燃料最優(yōu)軌跡特性，選取相同的探測器參數(shù)，暫不考慮推力器最小幅值約束和傾斜角約束（但考慮地表約束），固定初始高度為 1500m，初始位置水平方向從-8000m 到 8000m 內(nèi)取值，分別選取各種不同的初始速度，可得燃料最優(yōu)精確著陸軌跡簇如圖 2 所示。

圖 2 各種不同初始速度對應(yīng)的火星著陸器動力下降段燃料最優(yōu)軌跡簇

1)對任意探測器初始位置，特定初始速度對應(yīng)的燃料最優(yōu)著陸軌跡在末端必然收斂到一個固定的近似圓錐體內(nèi)。

2)取決于探測器初始位置和速度的關(guān)系，燃料最優(yōu)軌跡有兩種形式：S 型和 C 型，其中 S 型主要對應(yīng)于期望著陸點位置水平距離較大情況。3)當(dāng)探測器初始水平速度為零時，圓錐體軸線垂直于火星地表，所有最優(yōu)軌線關(guān)于該軸線中心對稱。4)初始速度的大小也直接影響到任務(wù)的可靠性，因此需要在超聲速進入段和降落傘減速段將著陸器速度下降到合理范圍內(nèi)。

上述結(jié)論對上注探測器關(guān)鍵點的選取有著較強的指導(dǎo)意義，比如基于最優(yōu)軌線的斜率對路徑點合并、基于最優(yōu)軌線簇的對稱性對上注軌線進行等效延伸、或者嘗試僅將 S 型和 C 型的轉(zhuǎn)折點作為路徑點等，這樣可以大大降低探測器自主存儲與計算需求，進而有效提升任務(wù)的可靠性。重力轉(zhuǎn)彎軟著陸過程

對于最終著陸點，假設(shè)探測器的下降軌跡在一平面內(nèi)，且月球引力場為垂直于月面XY的均勻引力場，引力加速度g沿-Z，如圖1所示，制動推力方向沿探測器的本體軸z。重力轉(zhuǎn)彎軟著陸過程中探測器質(zhì)心動力學(xué)方程可表示為

上式中各變量的物理意義如圖1中所示，其中m>0為探測器質(zhì)量；k>0為制動發(fā)動機比沖；u表示制動發(fā)動機的秒耗量

可通過一定的機構(gòu)加以調(diào)節(jié)，故作為軟著陸問題的控制變量。假定制動發(fā)動機的最大推力與初始質(zhì)量比大于月面引力加速度，并且制動推進系統(tǒng)能夠在一定的初始條件下將探測器停止月面上。

重力轉(zhuǎn)彎過程中，探測器的高度、速度和姿態(tài)角度可由雷達高度表、多普勒雷達及慣性儀表測得。令軟著陸初始條件探測器到達月面時速度減小到給定的值，故終端條件自由。軟著陸燃耗最優(yōu)問題的描述 對于最終著陸段，可假設(shè)

為一小角度。由此可將系統(tǒng)方程（1）化簡為

要設(shè)計制導(dǎo)律實現(xiàn)軟著陸，就是使

著陸時間

對于月球軟著陸的燃耗最優(yōu)控制問題，其性能指標(biāo)可表示為

對于系統(tǒng)（2）的軟著陸過程，燃耗最優(yōu)問題等價于著陸時間最優(yōu)問題，性能指標(biāo)為

在月球重力轉(zhuǎn)彎軟著陸過程中，如果存在一個推力控制程序?qū)⑻綔y器從初始條件轉(zhuǎn)移到終端條件，并使性能指標(biāo)（3）或（4）式最大，則稱這個推力程序為軟著陸燃耗最優(yōu)或時間最優(yōu)制導(dǎo)律。根據(jù)pontryagin極大值原理，系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)及其對u的偏導(dǎo)數(shù)為

使哈密頓函數(shù)（5）式達到極大地控制輸入u就是最優(yōu)控制，科表示為。

如果存在一個有限區(qū)間

則最優(yōu)控制u（t）取值不能由哈密頓函數(shù)確定。此時如果最優(yōu)解存在，則稱為奇異解，（8）式稱為奇異條件。

最優(yōu)制導(dǎo)問題的性質(zhì)：1）對于自治系統(tǒng)（2）的時間最優(yōu)控制問題，沿最優(yōu)軌跡其哈密頓函數(shù)滿足

將其對時間求導(dǎo)并將（2c）和（6c）式代入，得

另外，由于自由，根據(jù)橫截條件有3）根據(jù)（6a）式。又由（9）式可得T（t）=0，4）根據(jù)極大值原理，系統(tǒng)的狀態(tài)變量和共軛變量都是時間的連續(xù)可微函數(shù)，將切換函數(shù)對時間求導(dǎo)，利用（2），（6）式和性質(zhì)2）得 軟著陸最優(yōu)控制中奇異條件的分析

對于月球重力轉(zhuǎn)彎軟著陸問題，最優(yōu)制導(dǎo)律具有兩個很好的性質(zhì)。

定理一。月球重力轉(zhuǎn)彎軟著陸系統(tǒng)（2）的燃耗最優(yōu)制導(dǎo)或時間最優(yōu)制導(dǎo)問題不存在奇異條件。證明。用反證法，假設(shè)存在奇異條件，則在某個閉區(qū)間設(shè)，并由（5）式得

。根據(jù)反正假將（10）式兩邊對時間求導(dǎo)，并將（2）和（6）式代入化簡得性質(zhì)2），并考慮到或者情形1.得

下面證明這兩種情形均與反證假設(shè)矛盾。根據(jù)式

及性質(zhì)2）可知，由性質(zhì)3）必有

根據(jù)

是時間t的斜率非零的線性函數(shù)，m和情形2.1）若定，根據(jù)橫截條件有在區(qū)間內(nèi)為常數(shù)。這與反證假設(shè)矛盾。

。下面再分三種情況進行分析。

又因為

不與此時由（6b）式有反證假設(shè)矛盾。2）若盾。3），與反證假設(shè)矛又

因

為

因此有成立，這與

此時（10）式在上根據(jù)定理一，重力轉(zhuǎn)彎軟著陸的最優(yōu)制導(dǎo)律是一種開關(guān)（Bang-Bang）控制，只須控制發(fā)動機開關(guān)，不需要調(diào)節(jié)推力的大小。

定理2.對于月球重力轉(zhuǎn)彎軟著陸過程，其開關(guān)控制器的最優(yōu)推力程序（7）最多進行一次切換。

證明。只要證明最多只在一個時間點成立即可。軟著陸系統(tǒng)（2）在最優(yōu)推力控制程序（7）的作用下，按最后軌跡降落。由性質(zhì)3）知，為常數(shù)。根據(jù)性質(zhì)4），若嚴(yán)格單調(diào)，因而在上至多有一個零點，即至多進行一次切換；若，則上為常數(shù)。由定理1，5 軟著陸最優(yōu)開關(guān)制導(dǎo)律

不可能在任何區(qū)間上成立，故必有既沒有切換點。

對于最優(yōu)推力控制程序（7），其切換函數(shù)中含有共軛變量，它是一個關(guān)于狀態(tài)變量的穩(wěn)式表達式。為實現(xiàn)實時制導(dǎo)，需求出關(guān)于狀態(tài)變量的切換函數(shù)來。

根據(jù)定理一和定理二，重力轉(zhuǎn)彎軟著陸最優(yōu)控制程序沒有奇異值狀態(tài)，并且在著陸過程中最多切換一次，其工作方式有4種：1）全開；2）全關(guān)；3）先開有關(guān)；4）先關(guān)后開。對于方式1）軟著陸起始點即是開機點；方式2），3）不能實現(xiàn)軟著陸；最后一種是通常情況下的最優(yōu)著陸方式，即探測器先做無制動下降，然后打開發(fā)動機軟著陸到月面。設(shè)開機時刻為到發(fā)動機工作時間為

式，在區(qū)間

內(nèi)積分，并考慮

將（11）式中的對數(shù)按泰勒展開，忽略

并令

消掉T得到切換函數(shù)為

由切換函數(shù)（12）式可以看出，速度、位置的誤差和制動發(fā)動機推動的將直接影響著陸的效果。一種方法是將終端高度從到達月面時實現(xiàn)軟著陸設(shè)置為離月面還有幾米時實現(xiàn)軟著陸。另一種方法是考慮制動過程由一個主發(fā)動機和一組小推力發(fā)動機共同完成，通過調(diào)整開啟的小發(fā)動機的數(shù)量，來實現(xiàn)變推力降落。具體地，令切換函數(shù)為

式中各符號的含義如圖2所示

關(guān)機點可取為2m,可取為20m，可取為1m/s。為實現(xiàn)著陸的最優(yōu)性，減速度

取為

其中T如（12）式中所示，m0為探測器的初始質(zhì)量。

圖三為最優(yōu)著陸過程與其改進方法按圖2降落的次優(yōu)著陸過程的對比圖。由此圖中可看出，改進方法提高了著陸的安全性，當(dāng)探測器的初始質(zhì)量mo=350kg，發(fā)動機著陸過程多消耗燃料2.2kg。

時，改進方法比最優(yōu)

（a）

（b）

問題三 協(xié)方差分析方法的基本原理 對于如下非線性函數(shù)關(guān)系

y?f?x1,x2??xn?（1）

可以使用一階泰勒級數(shù)展開對其進行線性化，有

y??y?f??f?f?x1????xn???x1?xn?（2）?x1?xn其中，??x1??xn?為x1??xn的高階項。從而得到線性化方程

?y???f?xi（3）i?1?xin或表示為

?Y?P?X(4)

這里 P 是偏導(dǎo)數(shù)矩陣: Pi??f（5）?xi若自變量?x1???xn是隨機變量，則線性化方程的函數(shù)?y的協(xié)方差矩陣為：

E?Y??YT?EP?X?XTPT?PE?X?XTPT(6)即 ??????Cy?PCXPT(7)式中Cx是自變量的協(xié)方差矩陣；Cy是函數(shù)?Y的協(xié)方差矩陣。

協(xié)方差矩陣中對角線元素是方差，非對角線元素為協(xié)方差。顯然，只要求出傳遞矩陣 P ,便可確定源誤差與欲求量誤差之間的關(guān)系。若給定各種源誤差，如發(fā)動機安裝誤差、敏感器測量誤差或發(fā)動機推力和點火時間等誤差時，便可以分析其對目標(biāo)軌道誤差的影響以及對控制系統(tǒng)精度的影響，進一步對各系統(tǒng)及元部件提出適當(dāng)?shù)木纫?。計算向月飛行軌道誤差的協(xié)方差迭代方程

考慮到軌道參數(shù)的誤差之相對于軌道參數(shù)的標(biāo)稱值是小量，因此可以將軌道運動方程進行線性化，從而得到能夠反映軌道參數(shù)偏差量的傳播關(guān)系的誤差方程。在應(yīng)用雙二體模型且在地球影響球范圍內(nèi)時，對軌道運動產(chǎn)生攝動影響的各項，如月球引力攝動、太陽引力攝動、大氣阻力攝動和太陽光壓攝動等對誤差方程的影響很小，因此在誤差方程中將它們忽略掉。反映軌道位置和速度誤差的線性化方程如下：

?????v??r???g??（8）??v????r??rT?u???r，其中u?為地球引力常數(shù)。式中 g?r????3rr?rx2?ry2?rz2（9）

寫成狀態(tài)方程形式：

?????0I???r??r???????????(10)??v??G0???v??????????g式中 G??T

?r??0I???r?令F?????G0??,X????v?（11）

????則式（9）變?yōu)?/p>

??F?X(12)X下面推導(dǎo)矩陣 F 的表達式：

??g??u??G??T??T??3r??r?r?r?????u???u???r?r?T?3????3??T?r?r??r??r????u????u????u????u???r???3???3???3????3I3??rr?rr?r?y??z?r?????x???r（13）

式中 r x，r y 和 r z 是探測器在地心慣性坐標(biāo)系里的軌道位置坐標(biāo)。則G??u?3??T(I?rr)(14)332rr?rx2rxry?rx????T??2rr??ry??rxryrz???ryrxry??r??rzrxrzry?z??rxrz??ryrz?（15）2?rz??

將式（15）、（14）代入（10），得： ?0?0??02?-u?rx(1?32)F??r3r??3u?rxry?r5v??3u?rxrz?r5?

積分式（11），得到： 0003u?rxryr520003u?rxrzr53u?rzryr5210000ry-u?(1?3)32rr3u?rzryr5-u?rz(1?3)0r3r200?10??01??00?（16）

??00??00???

X??t??eF?tX?0?

（17）式中

(F?t)2(F?t)3(F?t)4(F?t)ne?I?F?t??????2!3!4!n!

（18）iN?t??Fi.()i!i?0F?t取前 6 階截斷，即：

eF?t??ti???F??i!??

（19）i?0??6i

得到計算誤差方程的迭代方程：

X?ti??t??eF?tX?ti?

（20）

eF?t相當(dāng)于式（4）中的 P 陣，由于誤差方程是時變方程，因此每一步迭代都需要重新計算 P 陣，計算 P 陣需要利用標(biāo)稱軌道參數(shù)數(shù)據(jù)。

進一步根據(jù)式（7），得到協(xié)方差矩陣的迭代方程：

T

Ci?1?PCPiii

（21）向月飛行軌道誤差的協(xié)方差分析

引起軌道誤差的誤差源主要是導(dǎo)航誤差，包括位 置 誤 差 和 速 度 誤 差。其 中 ： 位 置 誤 差 ：?r??rx,?ry,?rz,?rx,?ry,?rz分別為在地心慣性坐標(biāo)系中 X 軸、Y 軸、Z 軸的分量。速度誤差：?v??vx,?vy,?vz,?vx,?vy,?vz分別是在地心慣性坐標(biāo)系 X 軸、Y 軸、Z 軸的分量。向月飛行軌道的初始軌道位置和速度誤差由運載火箭的發(fā)射入軌精度決定，若探測器在飛行途中進行軌道修正，則經(jīng)過軌道修正以后的軌道位置誤差將由導(dǎo)航誤差決定，速度誤差將由姿態(tài)誤差和制導(dǎo)誤差決定。

上述誤差決定了軌道誤差協(xié)方差分析的計算初始條件，表 1 給出了在不進行中途軌道修正情況????下，在地心慣性坐標(biāo)系里，初始軌道位置誤差和初始速度誤差對軌道終點的位置和速度誤差的影響。圖 1 和圖 2 給出了在算例三中探測器從近地軌道入軌點開始至進入月球軌道為止軌道位置的相應(yīng)的軌道位置和速度總誤差（3σ）的時間歷程。

表 1 初始軌道位置和速度誤差

對軌道終點誤差的影響

圖 1 軌道位置總誤差時間歷程（3σ）

圖 2 速度總誤差時間歷程（3σ）基于敏感系數(shù)矩陣的制導(dǎo)誤差分析

在月球軟著陸主制動段，影響制導(dǎo)精度的誤差源主要有偏離標(biāo)準(zhǔn)飛行軌跡的初始條件誤差和導(dǎo)航與控制傳感器誤差。初始條件誤差由主制動段以前的任務(wù)決定，傳感器誤差則由導(dǎo)航系統(tǒng)和傳感器本身決定。此外，影響制導(dǎo)精度的因素還包括月球自轉(zhuǎn)、月球不規(guī)則攝動等誤差，對它們的研究可單獨進行，這里暫不做介紹。2.1 誤差模型建立

2.1.1 初始狀態(tài)誤差模型

記著陸器的實際初始狀態(tài)為Xi，標(biāo)準(zhǔn)初始狀態(tài)為Xn,則定義初始狀態(tài)偏差xi為

xi?Xi?Xn

(7)對于主制動段這一特定的飛行過程，這些偏差都是確定的；而針對整個月球探測任務(wù)，這些偏差就變得具有隨機性。在本文中，假定xi 的所有元素均服從零均值高斯分布，相互不獨立，其相關(guān)性取決于前一階段任務(wù)的特性。2.1.2 傳感器誤差模型

由于只研究誤差對制導(dǎo)律的影響，所以這里假設(shè)需要測量的量均可由導(dǎo)航系統(tǒng)直接測得，誤差大小

???????均考慮為典型誤差值。由上一目設(shè)計的制導(dǎo)律可以看出，需要由導(dǎo)航與控制傳感器測量的量主要為著陸器相對于著陸場坐標(biāo)系的位置、速度和加速度。定義待測量量Q為

?Q??X其估計值記為Q，則傳感器誤差定義為 ???YZUVWA?

T

q?Q?Q

(8)那么，單個測量量的估計誤差模型可用誤差向量 q的第j(j =1，2?7)個元素qj 來表示。由參考文獻[5]可知，第 j個觀測量的總估計誤差qj 由以下四部分組成

~?~???-?~qjbsqjn?st???????qt?q?Qt?qt?Qj?t?

(9)jjbcjnc

j100100~~~~~針對主制動這一特定操作階段，上述四部分誤差具有如下特性：

qjbc—第 j 個觀測量的測量誤差，恒為常值，其分布服從零均值高斯分布； qjbs—第 j 個觀測量的刻度因素誤差系數(shù)，恒為常值，其分布服從零均值高斯分布； qjnc—第 j 個觀測量的隨機誤差，其為一高斯白噪聲；

qjns

—第 j 個觀測量的刻度因素隨機誤差系數(shù)，其為一高斯白噪聲。

2.2 制導(dǎo)誤差分析

由于采用閉環(huán)制導(dǎo)，制導(dǎo)控制系統(tǒng)對隨機誤差具有一定魯棒性，所以本文將著重對初始偏差和類似于qjbc和qjbs這樣的傳感器常值誤差進行仿真研究，分析它們對制導(dǎo)精度的影響。2.2.1 誤差分析系統(tǒng)建立

誤差分析系統(tǒng)框圖如圖 1 所示，下面將對其結(jié)構(gòu)進行分析。~~~~~~

圖 1 誤差分析系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

圖中所示初始狀態(tài)偏差實際上是加在相應(yīng)積分器中。

由前面的分析可知，觀測量的實際輸出值受到初始狀態(tài)偏差、傳感器測量誤差以及傳感器刻度因素誤差的影響，故誤差分析系統(tǒng)模擬程序的實際輸入應(yīng)包含以下幾部分(以 X通道為例)：

X?X?xi?xbc???~xbsX

(10)100~~

其中，X為觀測量的實際輸出值，X 為標(biāo)準(zhǔn)值，xi 為初始狀態(tài)偏差(只在初始時刻存在)，xbc 為傳感器測量偏差，xbs為傳感器刻度因素誤差系數(shù)。由圖 1 可以看出，為了更準(zhǔn)確地表示傳感器誤差模型，這里考慮了傳感器的動態(tài)性能，其傳遞函數(shù)設(shè)為一階慣性環(huán)節(jié)1?1?Ts?，其中，T 為傳感器時間常數(shù)，因傳感器的不同而取不同值。

由誤差分析系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖可以看出，其輸入量主要包括：標(biāo)準(zhǔn)初始狀態(tài)向量、初始狀態(tài)偏差、傳感器測量誤差、傳感器刻度因素誤差系數(shù)、傳感器時間常數(shù)、期望終端狀態(tài)；輸出量為加入誤差前后的仿真終端狀態(tài)向量。2.2.2 誤差敏感系數(shù)矩陣求取

在有形如(7)式誤差輸入的情況下，首先根據(jù)圖 1 生成一個模擬整個閉環(huán)制導(dǎo)控制系統(tǒng)的數(shù)字仿真程序，然后運行該程序，對比程序輸出即可得到誤差敏感系數(shù)矩陣。具體運行過程如下：

第一步：將傳感器誤差設(shè)置為零，初始狀態(tài)設(shè)置為標(biāo)準(zhǔn)值，運行模擬程序。這一步稱為標(biāo)準(zhǔn)運行。第二步： 將其中一個傳感器誤差設(shè)置為非零輸入或者設(shè)置一個非標(biāo)準(zhǔn)初始狀態(tài)，然后進行一系列運行。

第三步： 將第二步運行的系統(tǒng)輸出和標(biāo)準(zhǔn)運行的系統(tǒng)輸出進行比較即可確定各誤差源的影響。如X 通道標(biāo)準(zhǔn)初始偏差為xi，輸入該誤差前后，X 通道終端狀態(tài)分別為X0 和X1，則 X 通道對標(biāo)準(zhǔn)初始偏差xi的敏感性可用(X1?X0)/xi來反映。

通過這種方法，可得到一組反映月球軟著陸主制動段終端總誤差向量pf和兩個傳感器誤差向量~??~~qbc、qbs以及初始狀態(tài)偏差向量pi之間關(guān)系的誤差敏感系數(shù)矩陣。由參考文獻[6]可知，其相互關(guān)系可表示為

??~~pf?S1pi?S2qbc?S3qbs（11）

其中，S1、S2和S3分別表示相對于pi、qbc和qbs的誤差敏感系數(shù)矩陣。

終端誤差向量能用這種形式表示的假設(shè)條件是動力學(xué)的線性化必須在標(biāo)準(zhǔn)軌跡區(qū)域內(nèi)。驗證該假設(shè)條件的方法有兩種： 擴大輸入誤差仿真法和復(fù)合仿真法，這里略去其驗證過程。2.2.3 誤差分析

假設(shè)導(dǎo)航系統(tǒng)采用常規(guī)慣性測量單元，表 1 列出了其典型誤差值，其中，位置誤差能保持在10數(shù)量級，速度在10數(shù)量級，加速度為 10g 數(shù)量級。1-52?~~

運用上述方法得到的敏感系數(shù)矩陣給出如下：

?5.502?10-3?-4-3.850?10??1.692?10-3S1??-3?8.362?10?-5.860?10-4?-3?-2.575?10?-2.080?10-4-1.050?10-31.418?10-11.401?10-57.301?10-5-1.001?10-26.411?10-53.240?10-4-4.407?10-2-2.570?10-4-1.862?10-3-5.580?10-11.410?10-57.902?10-51.312?10-55.710?10-4-1.157?10-38.100?10-53.936?10-21.732?10-2-2.743?1017.746?10-1-4.024?10-2-8.939?10-2??3.210?10-34.030?10-3?1.239?10-21.833?10-2?-2-1?8.742?101.414?10?-1.196?10-2-9.901?10-3??-2-2-2.690?10-4.577?10??-6.812?10-1-8.695?10-2-5.203?1002.110?10-14.235?10-16.170?10-3-3.281?1008.202?10-2-5.760?10-35.633?10-1-3.489?102??2.443?101?4.401?102??-9.833?102?6.864?101??23.020?10???-9.859?10-1-1.154?10-3?-40?-3.130?10-1.000?10?-1.379?10-33.560?10-4S2??-2-3?-5.402?101.540?10?1.045?10-31.864?10-3?-34.770?10-4??4.598?109.999?10-13.408?100-7.210?10-43.504?1005.000?10-55.643?10-3-1.527?10-19.368?10-1-6.721?10-1-1.306?10-1?-5.6314?100?-28.479?10??3.730?10-1S3??0?-8.924?10?4.619?10-1?0??2.033?10-5.494?10-1-3.533?10-1-2.810?1001.600?10-31.692?10-16.755?10-18.996?10-1-2095?10-12.473?10-21.664?10-1-1.027?1007.165?10-23.344?100-1.112?1008.613?10-17.852?1003.246?100-1.618?1003.540?10-14.982?10-17.670?10-1-1.122?100-2.397?100-2.380?10-1-3.650?100-2.563?100??2.556?10-1-4.291?10-2?3.401?100-1.888?10-1??-5.103?100-3.230?10-1?3.566?10-12.256?10-1??0-1-7.005?109.930?10??A1、A3:?1??2.759?2,3?0.1297?j2.1329 A2:?1?1.552?2,3??0.6761?j1.8978

由于數(shù)值仿真的起始點選為(1，0，-1)，靠近平衡點(1.5，0，-1.05)，仿真實驗中混沌系統(tǒng)的基頻w0=2.1329，基周期為為T0?2??0?2.9443S。由前面的數(shù)值仿真實驗知要使 Chua’s混沌系統(tǒng)保持其類隨機性，仿真步長選在(0.0001，0.7)較為合適，用基周期來表達即為?129940T015T0? ,15T0?內(nèi)，綜觀三個連續(xù)混沌系統(tǒng)仿真步長的理論計算，我們可以統(tǒng)一選取?15000T0這樣即可以提高仿真運算速度，又可以使混沌吸引子的形狀和類隨機性不發(fā)生變化，這個選擇范圍也與通常連續(xù)混沌系統(tǒng)數(shù)值仿真步長的經(jīng)驗取值相吻合六、模型結(jié)果及分析

七、結(jié)果分析

八、模型評價與改進方向

九、參考文獻