第一篇：高中數(shù)學(xué)定理大全

兩角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

倍角公式

tan2A=2tanA/(1-tan2A)cot2A=(cot2A-1)/2cota

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

四倍角公式：

sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))

cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)

tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)

五倍角公式：

sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA

cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA

tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)

六倍角公式：

sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))

cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))

tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)

七倍角公式：

sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))

cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))

tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6)八倍角公式：

sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))

cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)

tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8)

九倍角公式：

sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))

cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))

tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)

十倍角公式：

sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^

4))

cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1))

tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)

·：

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差化積

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB-cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB

某些數(shù)列前n項和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=(n(n+1)/2)^2 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圓半徑

余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是邊a和邊c的夾角

乘法與因式分 a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|

第二篇：高中數(shù)學(xué)相關(guān)定理

2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（文）復(fù)習(xí)資料2013.5.26

高中數(shù)學(xué)相關(guān)定理、公式及結(jié)論證明

（一）三角函數(shù)部分。

一、兩角和（差）的余弦公式證明。

內(nèi)容：cos(???)?cos?cos??sin?sin?,cos(???)?cos?cos??sin?sin?

證明：

①如圖（1），在單位圓中設(shè)P（cos?,sin?）,Q（cos?,-sin?）

則：OP?OQ?????)?cos(???)?OP?OQ?cos?cos??sin?sin?

?cos(???)?cos?cos??sin?sin?圖（1）

②如圖（2），在單位圓中設(shè)P（cos?,sin?）,Q（cos?,sin?）

則：OP?OQ?????)?cos(???)?OP?OQ?cos?cos??sin?sin?

?cos(???)?cos?cos??sin?sin?圖（2）

二、兩角和（差）的正弦公式證明。

內(nèi)容：sin(???)?sin?cos??cos?sin?,sin(???)?sin?cos??cos?sin?

證明：

sin(???)?cos[?

2?(???)]?cos[(?

2??)??]?cos(?

2??)cos??sin(?

2??)sin?

?sin?cos??cos?sin?

sin(???)?cos[?

2?(???)]?cos[(?

2??)??]?cos(?

2??)cos??sin(?

2??)sin?

?sin?cos??cos?sin?

三、兩角和（差）的正切公式證明。內(nèi)容：tan(???)?

證明： tan??tan?1?tan?tan?，tan(???)?tan??tan?1?tan?tan?

sin?cos?

tan(???)?

sin(???)cos(???)

?

sin?cos??cos?sin?cos?cos??sin?sin?

?

cos?cos?cos?cos?cos?cos?

??

cos?sin?cos?cos?sin?sin?cos?cos?

?

tan??tan?1?tan?tan?

sin?cos?

tan(???)?

sin(???)cos(???)

?

sin?cos??cos?sin?cos?cos??sin?sin?

?

cos?cos?cos?cos?cos?cos?

??

cos?sin?cos?cos?sin?sin?cos?cos?

?

tan??tan?1?tan?tan?

四、半角公式證明。內(nèi)容：sin

?2??

1?cos?,cos

?

2??

1?cos?,tan

?2

?

1?cos?1?cos?

?

2sin?1?cos?

?

1?cos?2sin?

??cos2??1?2sin?

證明：由二倍角公式? 2

??cos2??2cos??

1?2?cos??1?2sin???2

??用?代替2?，得?，得sin2

?cos??2cos2??1?2?

sin?cos

?cos?,cos

?2

??

?cos?

?2

tan

?2

sin?cos

?2

?2cos?2cos

?2

?2

?2

?2

?

2sin?1?cos?，tan

?2

sin?cos

?2

sin?cos

?2

?2sin?2sin

?2

?2

?2

?2

?

1?cos?2sin?

五、正弦定理證明。

內(nèi)容：在?ABC中，a,b,c分別為角A,B,C的對邊，則證明：①如圖（3），在Rt?ABC中，sinA?

?

asinAbc,?

bsinB

?

csinC

.ac,sinB?

asinA

?

bsinB

?c，?C?90?,sinC?1.?

asinA

?

bsinB

?

csinC

.圖（3）

②如圖（4），在銳角?ABC中，以B為原點，BC所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，作AC??y軸于點C?，易知BA和CA在軸上的射影均為BC?

?C?bsinC??

?

2?B)?csinB,bsinB

?

csinC,同理

asinA

?

bsinB

?

asinA

?

bsinB

?

csinC

.圖（4）

③如圖（5），在鈍角?ABC中，以C為原點，BC所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，作AC??y軸于點C?，易知BA和CA在軸上的射影均為CC?

?B?csinB?C?

?

?2)?bsinC,bsinBasinA

??

csinCbsinB,同理?

c

asinA

?

bsinB

?

sinC

.圖（5）

六、余弦定理證明。

?a2?b2?c2?2bccosA

?

2?ABC內(nèi)容：在中，a,b,c分別為角A,B,C的對邊，則?b?a2?c2?2accosB

?222

c?a?b?2abcosC?

證明：如圖（6），在?ABC中，a?a?BC

?(AC?AB)(AC?AB)

??2AC?AB?

?2

?2AC?ABcosA?2

?b?c?2bccosA圖（6）

222

??a?b?c?2bccosA

同理可證：?2 22

??c?a?b?2abcosC

（二）平面向量部分。

一、平面向量基本定理。

內(nèi)容：如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意一向量a，存在唯一一對 實數(shù)?1,?2，使得a??1e1??2e2.證明：如圖（7），過平面內(nèi)一點O，作OA?e1,OB?e2,OC?a，過點C分別作直 線OA和直線OB的平行線，交OA于點M，交OB于點N，有且只有一組實數(shù)，使

得OM??1OA,ON??2OB圖（7）

?OC?OM?ON?OC??1OA??2OB

即a??1e1??2e2.二、共線向量定理。

內(nèi)容：如圖（8），A,B,C為平面內(nèi)的三點，且A,B不重合，點P為平面內(nèi)任一點，若C在直線AB上，則有

PC??PA?(1??)PB

證明：由題意，BC與BA共線，?BC??BA

BC?PC?PB,BA?PA?PB?PC?PB??(PA?PB)

圖（8）

化簡為：PC??PA?(1??)PB

三、平行向量定理。

內(nèi)容：若兩個向量（與坐標(biāo)軸不平行）平行，則它們相應(yīng)的坐標(biāo)成比例；若兩個向量相對應(yīng)的坐標(biāo)成比例，則兩向量平行。

證明：設(shè)a,b是非零向量，且a?(x1,y1),b?(x2,y2)若a//b，則存在實數(shù)?使a??b，且由平面向量基本定理可知

x1i?y1j??(x2i?y2j)??x2i??y2j.?x1??x2①，y1??y2②

①?y2?②?x2得：x1y2?x2y1?0

若y1?0,y2?0（即向量a,b不與坐標(biāo)軸平行）則

x1y

1?x2y

2（三）立體幾何部分。

一、三垂線定理及其逆定理。

內(nèi)容：在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

三垂線定理的逆定理：如果平面內(nèi)一條直線和穿過該平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。

證明：已知：如圖（9），直線l與平面?相交與點A，l在?上的射影OA垂直于a,a??

求證：l⊥a

證明：過P作PO垂直于?

∵PO⊥α∴PO⊥a

又a⊥OA，PO∩OA=O ∴a⊥平面POA

∴a⊥l圖（9）

（四）解析幾何部分。

一、點到直線距離公式證明。

內(nèi)容：已知直線l:Ax?By?C?0,直線外一點M(x0,y0).則其到直線l的距離為d?

Ax

?ByA

?C。

?B

證明：如圖（10），設(shè)直線l:Ax?By?C?0,直線外一點M(x0,y0).直線上一點P(x,y).可得直線的 一個方向向量為v?(?B,A),設(shè)其法向量為n?(s,t)則v?n??Bs?At?0，可得直線一法向量為n?(A,B),n的單位向量為n0?

?（AA

?B,A

B

?B)圖（10）

由題意，點M到直線的距離為PM在n0上的射影，所以，d???

A(x0?x)?B(y0?y)

A

?B

?

Ax

?By

0

2?(Ax?By)?B

②

A

因為點P(x,y)在直線上，所以C??(Ax?By)①

Ax

?ByA

所以，把①代入②中，得d?

00

?C

?B

（五）數(shù)列部分

一、等差數(shù)列前n項和公式證明。

內(nèi)容：?an?是等差數(shù)列，公差為d，首項為a1，Sn為其n前項和，則Sn?a1n?證明：由題意，Sn?a1?(a1?d)?(a1?2d)?.......?(a1?(n?1)d)① 反過來可寫為：Sn?an?(an?d)?(an?2d)?.......?(an?(n?1)d)②

①+②得：2Sn?a1?n?a1?n.......?a1?n

???????????

n個

n(n?1)

d?

n(a1?an)

所以，Sn?

n(a1?an)

③，把an?a1?(n?1)d代入③中，得Sn?a1n?

二、等比數(shù)列前n項和公式證明。

n(n?1)

d?

n(a1?an)

?na1,(q?1)

?n

內(nèi)容：?an?是等比數(shù)列，公比為q，首項為a1，Sn為其n前項和，則Sn=?a1?anq a1(1?q)

?,(q?1)?

1?q1?q?

證明：Sn?a1?a1q?a1q?.......?a1qqS

n

2n?

1①

n

?a1q?a1q

?a1q

?.......?a1q②

n

①—②得：(1?q)Sn?a1?a1q，當(dāng)q?1時，Sn?

a1?a1q1?q

n

?

a1(1?q)1?q

n

③

把an?a1q

n?1

代入③中，得Sn?

a1?anq1?q

當(dāng)q?1時。很明顯Sn?na1

?na1,(q?1)

?n

所以，Sn=?a1?anq a1(1?q)

?,(q?1)?

1?q1?q?

（六）函數(shù)和導(dǎo)數(shù)部分

一、換底公式證明。內(nèi)容：log

N?

loglog

aa

Nb

b

(N,a,b?0;a,b?1)

證明：設(shè)log

a

N?X,log

a

b?Y，則b?a,N?a

YX

?log

b

N?log

a

Y

a

X

?

XY

log

a

a?

XY

?

loglog

aa

Nb

第三篇：高中數(shù)學(xué)定理

高中數(shù)學(xué)

? 復(fù)數(shù)

1.定義：z=a+bi.(a、b∈R)，a叫做復(fù)數(shù)z的實部，b叫做復(fù)

數(shù)z的虛部。

1<=>b=0, ○2<=>z2≥0 2.復(fù)數(shù)為實數(shù)的條件：○

1<=>a＝0且b≠0○2<=>z23.復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的條件：○＜0

1a+bi=c+di（a,b,c,d∈R）<=>a=c且b=d 4.復(fù)數(shù)的相等：○

2a+bi=0<=>a=0且b=0 ○

1（a+bi）±5.復(fù)數(shù)的運算：○(c+di)=(a±c)+(b±d)i

2z1z2=（a＋bi）○（c+di）=（ac-bd）+（bc-ad)i，3(a+bi)÷(c+di)＝（ac+bd)∕(c2+d2)+(bc-ad)∕(c2○

+d2)(c+di≠0)

6.復(fù)數(shù)加法、乘法滿足交換律和結(jié)合律；乘法還滿足分配律。

7.復(fù)平面：建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面，x軸叫實軸

（實軸上的點都是實數(shù)），y軸叫虛軸（虛軸上的點除原點外都是純虛數(shù)）。

? 解三角形

1.解三角形的方法：㈠公式法：①已知三角形中的兩邊及其

一邊的對角，或兩角及其一角的對邊時，用正弦定理②已知三邊或兩邊及其夾角，用余弦定理。㈡邊角互化

2.利用正弦定理可以解決：㈠已知兩角和任意一邊，求其他

兩邊和一角。㈡已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，從而進一步求出其他的邊和角。

3.利用余弦定理可以解決：㈠已知三邊求三個角 ㈡已知兩

邊和他們的夾角，求第三邊和其他兩個角。

? 幾何證明選講

1.平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等。

推論⒈經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊。

推論⒉經(jīng)過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線平分另一

腰。

2.平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。

推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例。

3.相似三角形的判定——

㈠定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。相似三角形對應(yīng)邊的比值叫做相似比(或相似系數(shù))㈡預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。

㈢判定定理：①兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似

②兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似

引理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的③三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似。

㈣定理：①如果兩個直角三角形有一個銳角對應(yīng)相等，那

么它們相似。

②如果兩個直角三角形的兩條直角邊對應(yīng)成比

例，那么它們相似。

③如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與

另一個三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似。

4.相似三角形的性質(zhì);①相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比，相似三角形周長的比，外接圓的直徑比都等于相似比。②相似三角形面積的比，外接圓的面積比等于相似比的平方。

第四篇：高中數(shù)學(xué)常用公式定理匯總

2011年高考數(shù)學(xué)資料整理

高中數(shù)學(xué)常用公式定理匯總

集合類：

A?B?A?A?BA?B?B?A?B

邏輯關(guān)系類：

對數(shù)類：

logaM+logaN=logaMNlogMaM-logaN=logaN

logaMN=NlogaM logab

MN

=

Nb

logaMloga1=0

logaa=1loga1=-1a

loga^b

a

=b

logaa^b=blogab=a?logba=1a

三角函數(shù)類：

sin,一二正

co，s一四正tan，一三正

sin??????sin???

cos?????cos?

tan??????tan?

sin

2?

cos

2?

1sin???2???

??cos?si?n???????

??cos??2?

cos??????

??sin?

cos??2?

??2???

???sin?

??

??1

asinA

?

bsinB

?

csinC

?2R

a?b?csinA?sinB?sinC

????

a*b?a*b*cos????a*b

cos???

a*b

xx

?

yy

a

?

b

?

c

?2bccosA

cosA?

?

?

2bc

xx

221

?*

yy

x

?

y

x

?

y

流程圖類：

Int2.5??2.5??2（取不大于2.5的最大整數(shù)）mod?10,3??1

平面幾何類：

（取10除以3的余數(shù)）

圓標(biāo)方程?x?a?圓心：?a,b?

?

?y?b?

?

r

函數(shù)類：

斜率：k

?

yx

y(x?x

?

圓一般方程x

?

y

?Dx?Ey?F?0

?

x)

?D

?

E

?4F?0

?

點斜式：y?y

y?

?k?x?

x?

x?

y

兩點式：

y?y

?

x?x

DE?

圓心：?,??;半徑：??

2??2

?

?4F

點點距離： PP

截距式：

xa

?

yb

?1

?0 ba

?

x2?x1?y2?y1

?

一般式：Ax?By?C韋達定理：x

?

x

??

?1//?2?k1?k2

點線距離：d

c

xx?

a

A?

x

?B

y

?C

A

?

B

A

x?

B

y?C1?0

與A2x?B2y?C2?0

平行：AB垂直：AA

??

AB BB

橢圓：ab

?

yb

?1?a?b?0?

?

?0

a

?c

焦點：(c,0),(-c,0)

c

平行：A1x?B1y?C3?0 垂直：B1x?A1y?C3?0

平面向量類：

??a?b?

??a//b?

離心率：e?準(zhǔn)線：x??

a

c

雙曲線：a

?

yb

?1?a,b?0?

b

?

c

?

a

?x?x,2

y

?

y?

焦點：(c,0),(-c,0)離心率：e?

a

c

xy

?

xy

?0

準(zhǔn)線：x??漸近線：y??

c

ba

x

拋物線：y

?2px

(p>0)

p?

焦點：F??,0?

?2?

?x??2x

2,1?1?

????2?x?x,?x??,??x

??1

離心率：e?ca

準(zhǔn)線：x??p2

數(shù)列類：

等差：an?a1??n?1??d

a

n

?

a

m

??n?m??d

S

1?

n

?n

?

n?2

?n

a

?n?n?1?2

d

m?n?p?q?

a

m

?

a

n

?

a

p

?

aq

等比：an?1

n?a1?q

a

n

?

a

n?m

m

?

q

??

S

a?1?1?n

?

q

??

a1?

anq

n

?

1?q1?q(q≠1)

m?n?p?q?

am

a

n

?

ap

aq

線性規(guī)劃類：

?n

?

n?x?n

??niyi???xi

?????y?

i??i?1??b?i?1

?i?1*???n2

?

n?x2

?ni???x?

i??i?1?i?1

?

??a?y?bx

?

n??xiyi?nxy??x

i

?x??yi?y?

??**??b?i?1

?n

?n

?

?x2

x2i?n??x

i

?x

?

?i?1

i?1

??a?y?bx

導(dǎo)數(shù)類：

?kx?b?,?kC,?（0C為常數(shù)）

x,?1

?ax?,?

a

x

lna?a?0,且a?1??e

x?,?

ex

?log

a

x

?,?1e

xloga

?

1xlna

?a

?0,且a?1?

?lnx?,??sinx?,x

?cosx

?cosx?,??sinx

?f?x??g?x??,?f,?x??g,?x?

?Cf?x??,?Cf,?x??C為常數(shù)?

?f?x?g?x??,?f,?x?g?x??f?x?g,?x?

?f?x??,f,?x?g?x??f?x?g,?x?

??g?x??

??

g2

?x?

?g?x??0? 復(fù)數(shù)：

i

??1

a?bi?c?di??a?c,b?d

?a?bi???c?di???a?c???b?d?i ?a?bi???c?di???a?c???b?d?i ?a?bi??c?di???ac

?bd???bc?ad?i

x2?y

??x?yi??x?yi?

Z?a?r,以?a,0?為圓心，r為半徑的圓

Z??a?b?i?r,以?a,b?為圓心，r為半徑的圓

????1

3?-2?

2i?

???1

??

?1?i?2

??2i1????2

?0

ax

?bx?c?0,?

b2

?4ac?0

?

x?

?b?

4ac?b2

求根公式：

?i

2a

向量與向量模關(guān)系：

Z1?Z2?Z1?Z2?Z1?Z2

Z1,Z2是二次方程的根，那么即Z1?a?bi,Z2?a???b?i

Z1,Z2共軛。

等式與不等式：

a?b??a?b?a?ab?b

??

?a?c?2

?2a

?

?b

?

a?ab?b

b?3b?

??a???

2?4?

?a?b?c?2

?3a?b?c

?

?

a?b?2ab,a?b2

?ab,a?b時取“?”

a?b?2ab

a?b?c?ab?bc?ac

222

平面幾何類：

內(nèi)心：三條角平分線的交點

（到交邊距離相等，為內(nèi)切圓圓心）外心：三條中垂線的交點（外接圓的圓心）垂心：三條高線的交點 重心：三條中線的交點

S三角形?

1??

pp?ap?bp?c?注：p??a?b?c??

2??

角平分線：中

AD?

ABAC

?BDDC

：

線

2AB

長

?AC

?BC

12???

S扇形??r???r?弧長

?2??2

立體幾何類：

S直棱柱側(cè)?ch

ch,V柱體?V長方體?abc?Sh

V球?

?R

S正棱錐側(cè)?S正棱臺側(cè)?

1212，V椎體?V臺體?

1313

Sh

SS,S球?

4?R

?S,?c?c??h

hS?

??

公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)。

公理2：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，這些公共點的集合是經(jīng)過這個公共點的一條直線。

公理3：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面。公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面。推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面。推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面。

定理1：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等。

定理2：過平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，和這個平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線。

點、線、平面垂直：過一點有且只有一條直線與已知平面垂直，過一點有且只有一個平面與已知直線垂直。

直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。

直線與平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行。

直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面。

直線與平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行。

兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。

兩個平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么所得的兩條交線平行。

兩個平面垂直的判定定理：如果一個平面經(jīng)過；另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面相互垂直。

兩個平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個平面相互垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于他們交線的直線垂直于另一個平面。

第五篇：2014年高中數(shù)學(xué)定理匯總

124推論2 經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心

125切線長定理 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角

126圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等

127弦切角定理 弦切角等于它所夾的弧對的圓周角

128推論 如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等

129相交弦定理 圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等

130推論 如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項

131切割線定理 從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割

線與圓交點的兩條線段長的比例中項

132推論 從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等

133如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上

134①兩圓外離 d﹥r+r ②兩圓外切 d=r+r

③兩圓相交 r-r﹤d﹤r+r(r﹥r)

④兩圓內(nèi)切 d=r-r(r﹥r)⑤兩圓內(nèi)含d﹤r-r(r﹥r)

135定理 相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦

136定理 把圓分成n(n≥3):

?依次連結(jié)各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形

?經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形137定理 任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓

138正n邊形的每個內(nèi)角都等于（n-2）3180°/n

139定理 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形149正n邊形的面積sn=pnrn/2 p表示正n邊形的周長

141正三角形面積√3a²/4(a表示邊長)

142如果在一個頂點周圍有k個正n邊形的角，由于這些角的和應(yīng)為

360°，因此k3(n-2)180°/n=360°化為（n-2）(k-2)=

4143弧長計算公式：l=nπr/180

144扇形面積公式：s扇形=nπr2/360=lr/

2145內(nèi)公切線長= d-(r-r)外公切線長= d-(r+r)

146等腰三角形的兩個底角相等

147等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合148如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等

149三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形

150兩邊的平方的和等于第三邊的三角形是直角三角形

編輯本段數(shù)學(xué)歸納法

（—）第一數(shù)學(xué)歸納法：

一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，有如下步驟：

（1）證明當(dāng)n取第一個值時命題成立

（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥n的第一個值，k為自然數(shù)）時命題成立，證明當(dāng)n=k+1時命題也成立。

（二）第二數(shù)學(xué)歸納法：

第二數(shù)學(xué)歸納法原理是設(shè)有一個與自然數(shù)n有關(guān)的命題，如果：

（1）當(dāng)n=1回時，命題成立；

（2）假設(shè)當(dāng)n≤k時命題成立，則當(dāng)n=k+1時，命題也成立。

那么，命題對于一切自然數(shù)n來說都成立。

（三）螺旋歸納法：

螺旋歸納法是歸納法的一種變式，其結(jié)構(gòu)如下：

Pi和Qi是兩組命題，如果：

P1成立

Pi成立=>Qi成立

那么Pi,Qi對所有自然數(shù)i成立

利用第一數(shù)學(xué)歸納法容易證明螺旋歸納法是正確的編輯本段排列，組合2階乘：

n！=132333……3n，（n為不小于0的整數(shù)）

規(guī)定0！=1。

2排列

從n個不同元素中取m個元素的所有排列個數(shù)，A（n，m）= n！/(nsinx

⑤(e^x)' = e^x

⑥(a^x)' =(a^x)* Ina（ln為自然對數(shù)）

⑦(Inx)' = 1/x（ln為自然對數(shù) X>0）

⑧(log a x)'=1/(xlna),(a>0且a不等于1)

⑨(sinh(x))'=cosh(x)

⑩(cosh(x))'=sinh(x)

(tanh(x))'=sech^2(x)

(coth(x))'=-csch^2(x)

(sech(x))'=-sech(x)tanh(x)

(csch(x))'=-csch(x)coth(x)

(arcsinh(x))'=1/sqrt(x^2+1)

(arccosh(x))'=1/sqrt(x^2-1)(x>1)

(arctanh(x))'=1/(1+x^2)(|x|<1)

(arccoth(x))'=1/(1-x^2)(|x|>1)

(chx)‘=shx,（ch為雙曲余弦函數(shù)）

（shx）'=chx:（sh為雙曲正弦函數(shù)）

（3）導(dǎo)數(shù)的四則運算法則：

①(u±v)'=u'±v'

②(uv)'=u'v+uv'

③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^

2（4）復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)，等于已知函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)（鏈?zhǔn)椒▌t）：

d f[u（x）]/dx=（d f/du）*（du/dx）。

[∫（上限h（x），下限g（x））f（x）dx]’=f[h（x）]2h'（x）-f[g（x）]2g'（x）洛必達法則(L'Hospital)：

是在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法。

設(shè)

(1)當(dāng)x→a時，函數(shù)f(x)及F(x)都趨于零

(2)在點a的去心鄰域內(nèi)，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0

(3)當(dāng)x→a時lim f'(x)/F'(x)存在(或為無窮大)，那么

x→a時 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

再設(shè)

(1)當(dāng)x→∞時，函數(shù)f(x)及F(x)都趨于零

(2)當(dāng)|x|>N時f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0

(3)當(dāng)x→∞時lim f'(x)/F'(x)存在(或為無窮大)，那么

x→∞時 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

利用洛必達法則求未定式的極限是微分學(xué)中的重點之一，在解題中應(yīng)注意：

①在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足0/0或∞/∞型，否則濫用洛必達法則會出錯。當(dāng)不存在時（不包括∞情形），就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則失效，應(yīng)從另外途徑求極限。比如利用泰勒公式求解。

②洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。

③洛必達法則是求未定式極限的有效工具，但是如果僅用洛必達法則，往往計算會十分繁瑣，因此一定要與其他方法相結(jié)合，比如及時將非零極限的乘積因子分離出來以簡化計算、乘積因子用等價量替換等。

曲率

K = lim(Δs→0)|Δα/Δs|

當(dāng)曲線y=f(x)存在二階導(dǎo)數(shù)時，K=|y''|/(1+ y' ^2)^(3/2);

曲率半徑R=1/K;

不定積分

設(shè)F(x)是函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，我們把函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)F(x)+C（C為任意常數(shù)）叫做函數(shù)f(x)的不定積分。

記作∫f(x)dx。

其中∫叫做積分號，f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式，C叫做積分常數(shù)，求已知函數(shù)的不定積分的過程叫做對這個函數(shù)進行積分。

由定義可知：

求函數(shù)f(x)的不定積分，就是要求出f(x)的所有的原函數(shù)，由原函數(shù)的性質(zhì)可知，只要求出函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，再加上任意的常數(shù)C，就得到函數(shù)f(x)的不定積分。也可以表述成,積分是微分的逆運算，即知道了導(dǎo)函數(shù),求原函數(shù)。

2基本公式：

1）∫0dx=c;

∫a dx=ax+c;

2）∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c;

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4)）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

10）∫1/√（1-x^2)dx=arcsinx+c

11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c

12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c;

13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c

14）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c

15）∫1/√(a^2-x^2)dx=arcsin(x/a)+c;

16)∫sec^2 x dx=tanx+c;

17)∫shx dx=chx+c;

18)∫chx dx=shx+c;

19)∫thx dx=ln(chx)+c;

2分部積分法:

∫u(x)2v'(x)dx=∫u(x)d v(x)=u(x)2v(x)-∫v(x)d u(x)=u(x)2v(x)-∫u'(x)2v(x)dx.一元函數(shù)泰勒公式(Taylor's formula)

泰勒中值定理：若f(x)在開區(qū)間（a，b）有直到n+1階的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)時，可以展開為一個關(guān)于（x-x0)多項式和一個余項的和：

f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)/2!?(x-x0)^2,+f'''(x0)/3!?(x-x0)^3+……+f的n階導(dǎo)數(shù)?(x0)/n!?(x-x0)^n+Rn

其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x0)^(n+1)為拉格朗日型的余項，這里ξ在x和x0之間。定積分

形式為∫f(x)dx(上限a寫在∫上面，下限b寫在∫下面)。之所以稱其為定積分，是因為它積分后得出的值是確定的，是一個數(shù)，而不是一個函數(shù)。

牛頓-萊布尼茲公式：若F'(x)=f(x)，那么∫f(x)dx(上限a下限b)=F(a)-F(b)

牛頓-萊布尼茲公式用文字表述，就是說一個定積分式的值，就是上限在原函數(shù)的值與下限在原函數(shù)的值的差。微分方程凡是表示未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及自變量之間的關(guān)系的方程，就叫做微分方程。

如果在一個微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)只含一個自變量，這個方程就叫做常微分方程特征根法是解常系數(shù)齊次線性微分方程的一種通用方法。

如 二階常系數(shù)齊次線性微分方程y''+py'+qy=0的通解：

設(shè)特征方程r*r+p*r+q=0兩根為r1，r2。若實根r1不等于r2

y=C1*e^(r1x)+C2*e^(r2x).若實根r=r1=r2

y=(C1+C2x)*e^(rx)若有一對共軛復(fù)根 r1, 2=λ±ib ：

y=e^（λx）2[C12cos（bx）+ C22sin（bx）]

普通分類

兩點成一線，多線成面，多面成體，多體成界，多界成。。圓柱體

v:體積 h:高 s;底面積 r:底面半徑 c:底面周長

(1)側(cè)面積=底面周長3高

(2)表面積=側(cè)面積+底面積32

(3)體積=底面積3高

（4）體積=側(cè)面積÷23半徑

植樹問題非封閉線路上的植樹問題主要可分為以下三種情形:

?如果在非封閉線路的兩端都要植樹,那么:

株數(shù)=段數(shù)+1=全長÷株距－1

全長=株距3(株數(shù)－1)

株距=全長÷(株數(shù)－1)

?如果在非封閉線路的一端要植樹,另一端不要植樹,那么:

株數(shù)=段數(shù)=全長÷株距

全長=株距3株數(shù)

株距=全長÷株數(shù)

?如果在非封閉線路的兩端都不要植樹,那么:

株數(shù)=段數(shù)－1=全長÷株距－1

全長=株距3(株數(shù)+1)

株距=全長÷(株數(shù)+1)封閉線路上的植樹問題的數(shù)量關(guān)系如下

株數(shù)=段數(shù)=全長÷株距

全長=株距3株數(shù)

株距=全長÷株數(shù)

盈虧問題

(盈+虧)÷兩次分配量之差=參加分配的份數(shù)

(大盈－小盈)÷兩次分配量之差=參加分配的份數(shù)(大虧－小虧)÷兩次分配量之差=參加分配的份數(shù)相遇問題

相遇路程=速度和3相遇時間

相遇時間=相遇路程÷速度和

速度和=相遇路程÷相遇時間

追及問題

追及距離=速度差3追及時間

追及時間=追及距離÷速度差

速度差=追及距離÷追及時間

流水問題

順流速度=靜水速度+水流速度

逆流速度=靜水速度－水流速度

靜水速度=(順流速度+逆流速度)÷2

水流速度=(順流速度－逆流速度)÷2

濃度問題

溶質(zhì)的重量+溶劑的重量=溶液的重量

溶質(zhì)的重量÷溶液的重量3100%=濃度

溶液的重量3濃度=溶質(zhì)的重量

溶質(zhì)的重量÷濃度=溶液的重量

利潤與折扣問題

利潤=售出價－成本

利潤率=利潤÷成本3100%=(售出價÷成本－1)3100%漲跌金額=本金3漲跌百分比

折扣=實際售價÷原售價3100%(折扣<1)

利息=本金3利率3時間

稅后利息=本金3利率3時間3(1－20%)注：扣稅要扣20%