第一篇：高中數(shù)學(xué)數(shù)列遞推定理

定理（二階線(xiàn)性遞推數(shù)列）

已知數(shù)列{an}的項(xiàng)滿(mǎn)足an?2?pan?1?qan，a1=a，a2=b,n?N+，稱(chēng)方程x2?px?q?0為數(shù)列?an?的特征方程。若x1,x2是特征方程的兩個(gè)根，則

n?1n?1

（1）當(dāng)x1?x2時(shí)，數(shù)列?an?的通項(xiàng)為an?A?x1?B?x2，其中A，B由

初始值決定；

（2）當(dāng)x1?x2時(shí)，數(shù)列?an?的通項(xiàng)為an?(A1?B1?n)x1n?1，其中A1，B1由初始值決定。

3122、已知數(shù)列a1?1,a2?,且an?an?1?an?2(n?3,4,5,?)，求通項(xiàng)公式an。

（略解：二階線(xiàn)性遞推數(shù)列，x1?x2型！x2?x?,x1?x2?，用公式得

1n?1

an?(n?1)?()n?n）

定理（一次分式遞推數(shù)列）

已知數(shù)列{an}的項(xiàng)滿(mǎn)足： a1?a且對(duì)于n?N?，都有an?1?

pan?q

p、ran?h

q、r、h?R，且ph?qr,r?0,a1??），稱(chēng)方程x?

（i）若a1??,則數(shù)列{an}為常數(shù)數(shù)列（ii）若a1??，則數(shù)列{

h

r

（1）當(dāng)特征方程有兩個(gè)相同的特征根?時(shí)，px?q

為數(shù)列?an?特征方程.rx?h

為等差數(shù)列。an??

an??1

為等比數(shù)列。an??2

（2）當(dāng)特征方程有兩個(gè)相異的特征根?

1、?2時(shí)，數(shù)列

第二篇：高中數(shù)學(xué)教學(xué)情景創(chuàng)設(shè)優(yōu)秀案例15：遞推數(shù)列教學(xué)

遞推數(shù)列教學(xué)情境創(chuàng)設(shè)案例

在遞推數(shù)列教學(xué)時(shí)，創(chuàng)設(shè)有趣的游戲情境，學(xué)生喜歡做游戲，簡(jiǎn)短有趣的游戲也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

案例：

漢諾塔問(wèn)題

起源傳說(shuō)：相傳在盤(pán)古開(kāi)天辟地創(chuàng)造世界之初，便在印度貝納雷斯的一座寺廟的一塊紅木板上插了三根鉆石棒，并在其中的一根棒上安放了６４枚純金圓盤(pán)。有一個(gè)婆羅門(mén)門(mén)徒不休不眠地趕到廟里來(lái)，然后又費(fèi)盡了千心萬(wàn)苦把這６４個(gè)金燦燦的圓盤(pán)移到另一根鉆石棒上。等到七七四十九天后，婆羅門(mén)門(mén)徒終于完成了這項(xiàng)工作，剛要松口氣，但只聽(tīng)“轟嚨”一聲巨響，寺廟、門(mén)徒以及世界全都崩潰了?。ㄕf(shuō)得夠玄的吧！其實(shí)，解開(kāi)此游戲后，你有的是成功的喜悅和無(wú)限的得意）

規(guī)則： ①一次只能移一個(gè)盤(pán)子； ②盤(pán)子只能在三個(gè)柱子上存放； ③任何時(shí)候大盤(pán)不能放在小盤(pán)上面。遞推關(guān)系探求 學(xué)生自主探求 交流總結(jié)

設(shè)三根寶石柱分別為：A、B、C，設(shè)aE為將A上的鐵片按上述規(guī)定全部移到C上所需要移動(dòng)的最少次數(shù)，則a1=1，a2=3，a3=7。

當(dāng)n=3，即A上有3個(gè)鐵片時(shí)，為了能將A上的最下面一個(gè)大鐵片能移到C上，應(yīng)先將A上的前2個(gè)鐵片移到B上。根據(jù)n=2時(shí)的結(jié)論，這樣要先移3次，第4次就可將A上的最下面的大鐵片移到C上，然后再將B上的2個(gè)鐵片移到C上，借助A，利用n=2時(shí)的結(jié)論，又需移動(dòng)3次，這樣一共移了7次，即a3=7。

以此類(lèi)推，若當(dāng)A上有n個(gè)鐵片時(shí)，共需要移動(dòng)an次才能將鐵片全部移到C上，則當(dāng)A上有n+1個(gè)鐵片時(shí)，為了將A上面的n個(gè)鐵片先移到B上，根據(jù)假設(shè)為此需移動(dòng)an次，這樣在移動(dòng)1次就可將A上的最下面的一個(gè)大鐵片移到C上，然后將B上的n各鐵片移到C上，這又需要移動(dòng)an次，于是一共移動(dòng)a n?1=2an+1，（n∈N）次。（移動(dòng)圓片的次數(shù))***709551615，看來(lái)，眾僧們耗盡畢生精力也不可能完成金片的移動(dòng)。

第三篇：數(shù)列的遞推公式教案

數(shù)列的遞推公式教案

普蘭店市第六中學(xué)

陳娜

一、教學(xué)目標(biāo)

1、知識(shí)與技能：了解數(shù)列遞推公式定義，能根據(jù)數(shù)列遞推公式求項(xiàng)，通過(guò)數(shù)列遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

2、過(guò)程與方法：通過(guò)實(shí)例“觀(guān)察、分析、類(lèi)比、試驗(yàn)、歸納”得出遞推公式概念，體會(huì)數(shù)列遞推公式與通項(xiàng)公式的不同，探索研究過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的觀(guān)察歸納、猜想等能力。

3、情感態(tài)度與價(jià)值觀(guān)：培養(yǎng)學(xué)生積極參與，大膽探索精神，體驗(yàn)探究樂(lè)趣，感受成功快樂(lè)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生一切從實(shí)際出發(fā)，認(rèn)識(shí)并感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)

重點(diǎn)：數(shù)列的遞推定義以及應(yīng)用數(shù)列的遞推公式求出通項(xiàng)公式。難點(diǎn)：數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式。關(guān)鍵：同本節(jié)難點(diǎn)。

三、教學(xué)方法

通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題的情境，在熟悉與未知的認(rèn)知沖突中激發(fā)學(xué)生的探索欲望；引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自主探究和合作交流相結(jié)合的方式進(jìn)行研究；引導(dǎo)學(xué)生積極思考，運(yùn)用觀(guān)察、試驗(yàn)、聯(lián)想、類(lèi)比、歸納、猜想等方法不斷地提出問(wèn)題、解決問(wèn)題，再提出問(wèn)題，解決問(wèn)題…… 經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程，并注意總結(jié)規(guī)律和知識(shí)的鞏固與深化。

四、教學(xué)過(guò)程

環(huán)節(jié)1：新課引入

一老漢為感激梁山好漢除暴安良，帶了些千里馬要送給梁山好漢，見(jiàn)過(guò)宋江以后，宋江吧老漢帶來(lái)的馬匹的一半和另外一匹馬作為回禮送給了他，老漢又去見(jiàn)盧俊義，把 1

現(xiàn)有的馬匹全送給了他，盧俊義也把老漢送來(lái)的馬匹的一半和另外一匹馬作為回禮送給了老漢……… 一直送到108名好漢的最后一名段景住都是這樣的，老漢下山回家時(shí)還剩下兩匹馬，問(wèn)老漢上山時(shí)一共帶了多少匹千里馬？

通過(guò)這個(gè)小故事讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活同時(shí)又為生活所服務(wù)。同時(shí)也能引起學(xué)生的興趣和好奇心。環(huán)節(jié)2：引例探究

(1）1 2

16………

(2)1

cos?1?

cos?cos1?

cos[c?ocsos1?]

…….(3)0 1 7 10 13 …….通過(guò)設(shè)置問(wèn)題的情境，讓學(xué)生分析找出這些數(shù)列從第二項(xiàng)（或后幾項(xiàng)）后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的關(guān)系，從而引出數(shù)列的遞推公式的定義，便于學(xué)生對(duì)于數(shù)列遞推公式的理解、記憶和應(yīng)用。遞推公式定義：

如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且從第二項(xiàng)（或某一項(xiàng)）開(kāi)始的任意一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式。遞推公式是數(shù)列一種的表示法，它包含兩個(gè)部分，一是遞推關(guān)系，一是初始條件，二者缺一不可． 環(huán)節(jié)3：應(yīng)用舉例及練習(xí)

例1：已知數(shù)列｛an｝的第1項(xiàng)是1，以后的各項(xiàng)由公式

a n

(n≥2)給出，寫(xiě)出這個(gè)給出，寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng).= 1+an-11解：據(jù)題意可知：a1=1, a3=1+

a2=1+1a1=1+1a311=2,23531a21=1+=1+12=35=32,.a4=1+=1+=,a5=1+85a42

?an?的前五項(xiàng)是3581，2，，235

練習(xí)：已知一個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)a1=1, a3=2, an= an-1+ an-2(n≥3)求這個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng)。這個(gè)例題和習(xí)題是為了讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)通過(guò)數(shù)列的的遞推公式來(lái)求數(shù)列中的項(xiàng)，同時(shí)也能讓學(xué)生感受到如果要是中間有一個(gè)環(huán)節(jié)做錯(cuò)了就會(huì)關(guān)聯(lián)到其他的結(jié)果也是錯(cuò)誤的，因此要培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真的品質(zhì)。

例2：已知數(shù)列{ an}滿(mǎn)足a1 =1，an+1 =an +（2n-1）

(1)(2)寫(xiě)出其數(shù)列的前五項(xiàng)，歸納出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式。利用數(shù)列的遞推公式求其通項(xiàng)公式。

a2?a1?(2*1?1)?1?1?2a3?a2?(2*2?1)?2?3?5解（1）a1?1，a4?a3?(2*3?1)?5?5?10，a5?a4?(2*4?1)?10?7?17 猜想：an=（n-1）2+1（2）a2?a1?2*1?1

a3?a2?2*2?1

a4?a3?2*3?1

…………………

an =an-1 +（2n-3）

an =a1 +2[1+2+3+…+(n-1)]—（n-1）an=1+2*（n?1)[1?(n?1)]2_(n-1), 即an=（n-1）2+1 當(dāng)n=1時(shí)也滿(mǎn)足上式。

所設(shè)問(wèn)題中的（1）是起著承上啟下的作用，同時(shí)也引出了（2）的結(jié)論引起學(xué)生的興趣，讓學(xué)生感受到如何能在數(shù)列的遞推公式得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，體會(huì)到事物之間的互相轉(zhuǎn)化的思想。

跟蹤練習(xí)：已知數(shù)列{ an }中，a1 =1，an+1= an +

1n(n?1)，求數(shù)列的{ an }的通項(xiàng)公式。

在例2解題過(guò)程中從等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的累和法進(jìn)行引導(dǎo)，讓學(xué)生體會(huì)到同類(lèi)問(wèn)題的知識(shí)的遷移過(guò)程。同時(shí)也引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到an+1—an=f(n)這樣形式的都可以用累和法來(lái)求解。

環(huán)節(jié)4：歸納總結(jié) ① 定義

② 累加法：an+1—an= f(n)環(huán)節(jié)5：作業(yè)：必做與選作

五、板書(shū)設(shè)計(jì)

第四篇：高中數(shù)學(xué)相關(guān)定理

2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（文）復(fù)習(xí)資料2013.5.26

高中數(shù)學(xué)相關(guān)定理、公式及結(jié)論證明

（一）三角函數(shù)部分。

一、兩角和（差）的余弦公式證明。

內(nèi)容：cos(???)?cos?cos??sin?sin?,cos(???)?cos?cos??sin?sin?

證明：

①如圖（1），在單位圓中設(shè)P（cos?,sin?）,Q（cos?,-sin?）

則：OP?OQ?????)?cos(???)?OP?OQ?cos?cos??sin?sin?

?cos(???)?cos?cos??sin?sin?圖（1）

②如圖（2），在單位圓中設(shè)P（cos?,sin?）,Q（cos?,sin?）

則：OP?OQ?????)?cos(???)?OP?OQ?cos?cos??sin?sin?

?cos(???)?cos?cos??sin?sin?圖（2）

二、兩角和（差）的正弦公式證明。

內(nèi)容：sin(???)?sin?cos??cos?sin?,sin(???)?sin?cos??cos?sin?

證明：

sin(???)?cos[?

2?(???)]?cos[(?

2??)??]?cos(?

2??)cos??sin(?

2??)sin?

?sin?cos??cos?sin?

sin(???)?cos[?

2?(???)]?cos[(?

2??)??]?cos(?

2??)cos??sin(?

2??)sin?

?sin?cos??cos?sin?

三、兩角和（差）的正切公式證明。內(nèi)容：tan(???)?

證明： tan??tan?1?tan?tan?，tan(???)?tan??tan?1?tan?tan?

sin?cos?

tan(???)?

sin(???)cos(???)

?

sin?cos??cos?sin?cos?cos??sin?sin?

?

cos?cos?cos?cos?cos?cos?

??

cos?sin?cos?cos?sin?sin?cos?cos?

?

tan??tan?1?tan?tan?

sin?cos?

tan(???)?

sin(???)cos(???)

?

sin?cos??cos?sin?cos?cos??sin?sin?

?

cos?cos?cos?cos?cos?cos?

??

cos?sin?cos?cos?sin?sin?cos?cos?

?

tan??tan?1?tan?tan?

四、半角公式證明。內(nèi)容：sin

?2??

1?cos?,cos

?

2??

1?cos?,tan

?2

?

1?cos?1?cos?

?

2sin?1?cos?

?

1?cos?2sin?

??cos2??1?2sin?

證明：由二倍角公式? 2

??cos2??2cos??

1?2?cos??1?2sin???2

??用?代替2?，得?，得sin2

?cos??2cos2??1?2?

sin?cos

?cos?,cos

?2

??

?cos?

?2

tan

?2

sin?cos

?2

?2cos?2cos

?2

?2

?2

?2

?

2sin?1?cos?，tan

?2

sin?cos

?2

sin?cos

?2

?2sin?2sin

?2

?2

?2

?2

?

1?cos?2sin?

五、正弦定理證明。

內(nèi)容：在?ABC中，a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊，則證明：①如圖（3），在Rt?ABC中，sinA?

?

asinAbc,?

bsinB

?

csinC

.ac,sinB?

asinA

?

bsinB

?c，?C?90?,sinC?1.?

asinA

?

bsinB

?

csinC

.圖（3）

②如圖（4），在銳角?ABC中，以B為原點(diǎn)，BC所在直線(xiàn)為x軸，建立直角坐標(biāo)系，作AC??y軸于點(diǎn)C?，易知BA和CA在軸上的射影均為BC?

?C?bsinC??

?

2?B)?csinB,bsinB

?

csinC,同理

asinA

?

bsinB

?

asinA

?

bsinB

?

csinC

.圖（4）

③如圖（5），在鈍角?ABC中，以C為原點(diǎn)，BC所在直線(xiàn)為x軸，建立直角坐標(biāo)系，作AC??y軸于點(diǎn)C?，易知BA和CA在軸上的射影均為CC?

?B?csinB?C?

?

?2)?bsinC,bsinBasinA

??

csinCbsinB,同理?

c

asinA

?

bsinB

?

sinC

.圖（5）

六、余弦定理證明。

?a2?b2?c2?2bccosA

?

2?ABC內(nèi)容：在中，a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊，則?b?a2?c2?2accosB

?222

c?a?b?2abcosC?

證明：如圖（6），在?ABC中，a?a?BC

?(AC?AB)(AC?AB)

??2AC?AB?

?2

?2AC?ABcosA?2

?b?c?2bccosA圖（6）

222

??a?b?c?2bccosA

同理可證：?2 22

??c?a?b?2abcosC

（二）平面向量部分。

一、平面向量基本定理。

內(nèi)容：如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意一向量a，存在唯一一對(duì) 實(shí)數(shù)?1,?2，使得a??1e1??2e2.證明：如圖（7），過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)O，作OA?e1,OB?e2,OC?a，過(guò)點(diǎn)C分別作直 線(xiàn)OA和直線(xiàn)OB的平行線(xiàn)，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N，有且只有一組實(shí)數(shù)，使

得OM??1OA,ON??2OB圖（7）

?OC?OM?ON?OC??1OA??2OB

即a??1e1??2e2.二、共線(xiàn)向量定理。

內(nèi)容：如圖（8），A,B,C為平面內(nèi)的三點(diǎn)，且A,B不重合，點(diǎn)P為平面內(nèi)任一點(diǎn)，若C在直線(xiàn)AB上，則有

PC??PA?(1??)PB

證明：由題意，BC與BA共線(xiàn)，?BC??BA

BC?PC?PB,BA?PA?PB?PC?PB??(PA?PB)

圖（8）

化簡(jiǎn)為：PC??PA?(1??)PB

三、平行向量定理。

內(nèi)容：若兩個(gè)向量（與坐標(biāo)軸不平行）平行，則它們相應(yīng)的坐標(biāo)成比例；若兩個(gè)向量相對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)成比例，則兩向量平行。

證明：設(shè)a,b是非零向量，且a?(x1,y1),b?(x2,y2)若a//b，則存在實(shí)數(shù)?使a??b，且由平面向量基本定理可知

x1i?y1j??(x2i?y2j)??x2i??y2j.?x1??x2①，y1??y2②

①?y2?②?x2得：x1y2?x2y1?0

若y1?0,y2?0（即向量a,b不與坐標(biāo)軸平行）則

x1y

1?x2y

2（三）立體幾何部分。

一、三垂線(xiàn)定理及其逆定理。

內(nèi)容：在平面內(nèi)的一條直線(xiàn)，如果和穿過(guò)這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線(xiàn)垂直。

三垂線(xiàn)定理的逆定理：如果平面內(nèi)一條直線(xiàn)和穿過(guò)該平面的一條斜線(xiàn)垂直，那么這條直線(xiàn)也垂直于這條斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影。

證明：已知：如圖（9），直線(xiàn)l與平面?相交與點(diǎn)A，l在?上的射影OA垂直于a,a??

求證：l⊥a

證明：過(guò)P作PO垂直于?

∵PO⊥α∴PO⊥a

又a⊥OA，PO∩OA=O ∴a⊥平面POA

∴a⊥l圖（9）

（四）解析幾何部分。

一、點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式證明。

內(nèi)容：已知直線(xiàn)l:Ax?By?C?0,直線(xiàn)外一點(diǎn)M(x0,y0).則其到直線(xiàn)l的距離為d?

Ax

?ByA

?C。

?B

證明：如圖（10），設(shè)直線(xiàn)l:Ax?By?C?0,直線(xiàn)外一點(diǎn)M(x0,y0).直線(xiàn)上一點(diǎn)P(x,y).可得直線(xiàn)的 一個(gè)方向向量為v?(?B,A),設(shè)其法向量為n?(s,t)則v?n??Bs?At?0，可得直線(xiàn)一法向量為n?(A,B),n的單位向量為n0?

?（AA

?B,A

B

?B)圖（10）

由題意，點(diǎn)M到直線(xiàn)的距離為PM在n0上的射影，所以，d???

A(x0?x)?B(y0?y)

A

?B

?

Ax

?By

0

2?(Ax?By)?B

②

A

因?yàn)辄c(diǎn)P(x,y)在直線(xiàn)上，所以C??(Ax?By)①

Ax

?ByA

所以，把①代入②中，得d?

00

?C

?B

（五）數(shù)列部分

一、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式證明。

內(nèi)容：?an?是等差數(shù)列，公差為d，首項(xiàng)為a1，Sn為其n前項(xiàng)和，則Sn?a1n?證明：由題意，Sn?a1?(a1?d)?(a1?2d)?.......?(a1?(n?1)d)① 反過(guò)來(lái)可寫(xiě)為：Sn?an?(an?d)?(an?2d)?.......?(an?(n?1)d)②

①+②得：2Sn?a1?n?a1?n.......?a1?n

???????????

n個(gè)

n(n?1)

d?

n(a1?an)

所以，Sn?

n(a1?an)

③，把a(bǔ)n?a1?(n?1)d代入③中，得Sn?a1n?

二、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式證明。

n(n?1)

d?

n(a1?an)

?na1,(q?1)

?n

內(nèi)容：?an?是等比數(shù)列，公比為q，首項(xiàng)為a1，Sn為其n前項(xiàng)和，則Sn=?a1?anq a1(1?q)

?,(q?1)?

1?q1?q?

證明：Sn?a1?a1q?a1q?.......?a1qqS

n

2n?

1①

n

?a1q?a1q

?a1q

?.......?a1q②

n

①—②得：(1?q)Sn?a1?a1q，當(dāng)q?1時(shí)，Sn?

a1?a1q1?q

n

?

a1(1?q)1?q

n

③

把a(bǔ)n?a1q

n?1

代入③中，得Sn?

a1?anq1?q

當(dāng)q?1時(shí)。很明顯Sn?na1

?na1,(q?1)

?n

所以，Sn=?a1?anq a1(1?q)

?,(q?1)?

1?q1?q?

（六）函數(shù)和導(dǎo)數(shù)部分

一、換底公式證明。內(nèi)容：log

N?

loglog

aa

Nb

b

(N,a,b?0;a,b?1)

證明：設(shè)log

a

N?X,log

a

b?Y，則b?a,N?a

YX

?log

b

N?log

a

Y

a

X

?

XY

log

a

a?

XY

?

loglog

aa

Nb

第五篇：高中數(shù)學(xué)求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的九種方法

求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的九種方法

利用遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式，在理論上和實(shí)踐中均有較高的價(jià)值.自從二十世紀(jì)八十年代以來(lái)，這一直是全國(guó)高考和高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的熱點(diǎn)之一.一、作差求和法

例1在數(shù)列{a

1n}中，a1?3,an?1?an?

n(n?1)，求通項(xiàng)公式an.解：原遞推式可化為：a111111

n?1?an?n?n?1則a2?a1?1?2,a3?a2?2?

3a111111

4?a3?3?4，……，an?an?1?n?1?n逐項(xiàng)相加得：an?a1?1?n.故an?4?n

.二、作商求和法

例2設(shè)數(shù)列{a

22n}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且(n?1)an?1?nan?an?1an?0（n=1,2,3…），則它的通項(xiàng)公式是an=▁▁▁（2000年高考15題）

解：原遞推式可化為：

[(n?1)aan?1n

n?1?nan](an?1?an)=0∵ an?1?an＞0，a?

n?

1n則

a21a32a43an?1aa?,?,?,……，n?

逐項(xiàng)相乘得：n?1，即a1n=.12a23a34an?1na1n

n

三、換元法

例3已知數(shù)列{a4n}，其中a1?

3,a1

312?9，且當(dāng)n≥3時(shí)，an?an?1?3

(an?1?an?2)，求通項(xiàng)公式an（1986年高考文科第八題改編）.解：設(shè)bn?1?an?an?1，原遞推式可化為：b1n?3b,{b是一個(gè)等比數(shù)列，b134111?

n?2n}1?a2?a1?9?3?9，公比為3.故bn?1

?b?(1)n?2?19(13)n?2?(13)n.故a?a1311

1nn?1?(3)n.由逐差法可得：an?2?2(3)n3.例4已知數(shù)列{an}，其中a1?1,a2?2，且當(dāng)n≥3時(shí)，an?2an?1?an?2?1，求通項(xiàng)公式an。解 由an?2an?1?an?2?1得：(an?an?1)?(an?1?an?2)?1，令bn?1?an?an?1，則上式為bn?1?bn?2?1，因此{(lán)bn}是一個(gè)等差數(shù)列，b1?a2?a1?1，公差為1.故bn?n.。

由于b1?b2???bn?1?a2?a1?a3?a2???an?an?1?an?1

又bn(n?1)

1?b2???bn?1?

2所以a1n?1?

2n(n?1)，即a1

n?2

(n2?n?2)

四、積差相消法

例5（1993年全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽題一試第五題）設(shè)正數(shù)列a0，a1，an…，an，…滿(mǎn)足

anan?2?an?1an?2=2an?1(n?2)且a0?a1?1，求{an}的通項(xiàng)公式.解將遞推式兩邊同除以aann?1an?2整理得：

?2a

n?1aa?1 n?1n?

2設(shè)ban

a

1n=

a，則b1?na=1，bn?2bn?1?1，故有 ?10

b2?2b1?1⑴b3?2b2?1⑵

…………

bn?2bn?1?1(n?1)

由⑴?2

n?2

+ ⑵?2

n?

3+…+(n?1)20得b?22???2n?1=2n

n?1?2?1，即

ana=2n

?1.n?1

逐項(xiàng)相乘得：an=(2?1)2?(22?1)2???(2n?1)2，考慮到a0?1，故 a?

n??

1(2?1)???(2?1)

(n?0).?(2?1)222n2

(n?1)

五、取倒數(shù)法

例6已知數(shù)列{aan?

1n}中，其中a1?1,，且當(dāng)n≥2時(shí)，an?

2a，求通項(xiàng)公式an。

n?1?1

解將aan?1n?

2a兩邊取倒數(shù)得：1n?1?1

a?1?2，這說(shuō)明{1

}是一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)

nan?1an是

a?1，公差為2，所以1?1?(n?1)?2?2n?1，即a1n?.1

an2n?1

六、取對(duì)數(shù)法

例7若數(shù)列{aa

2n}中，1=3且an?1?an（n是正整數(shù)），則它的通項(xiàng)公式是an=▁▁▁（2002

年上海高考題）.解由題意知an＞0，將an?1?a2

?2lgalgan?

1n兩邊取對(duì)數(shù)得lgan?1

n，即

lga?2，所以數(shù)n

列{lga?lga?1n?1

n}是以lga1=lg3為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，lgan1?2n?lg32，即

a2n?1

n?3.七、平方（開(kāi)方）法

例8若數(shù)列{an}中，a1=2且an?3?a

2n?1（n?2），求它的通項(xiàng)公式是an.解將an?

?a22?a22

2n?1兩邊平方整理得ann?1?3。數(shù)列{an}是以a1=4為首項(xiàng)，3為公

差的等差數(shù)列。a2

n?a21?(n?1)?3?3n?1。因?yàn)閍n＞0，所以an?n?1。

八、待定系數(shù)法

待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是從策略上規(guī)范一個(gè)遞推式可變成為何種等比數(shù)列，可以少走彎路.其變換的基本形式如下：

1、an?1?Aan?B（A、B為常數(shù)）型，可化為an?1??=A（an??）的形式.例9若數(shù)列{an}中，a1=1，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和，且SSn

n?1?3?4S（n?1），n

求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an.解 遞推式SSnn?1?

3?4S可變形為1n

S?3?

1?4（1）

n?1Sn設(shè)（1）式可化為

1S???3（n?1

S??)（2）n

比較（1）式與（2）式的系數(shù)可得??2，則有

1S?2?3(1S?2)。故數(shù)列{1

?2}是

n?1

nSn

以

11S?2?3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列。1

S?2=3?3n?1?3n。所以Sn?n3n

?1。當(dāng)n?2，an?Sn?S?13?2?1?2?3n

n?1

n3n?1?2?32n?8?3n

?1

2。?數(shù)列{a?

1?2?3n(n?1)n}的通項(xiàng)公式是an????32n?8?3n?12

(n?2)。

2、an

n?1?Aan?B?C（A、B、C為常數(shù)，下同）型，可化為an?1???Cn?1=A(an???Cn）的形式.例10在數(shù)列{an}中，a1??1,an?1?2an?4?3n?1,求通項(xiàng)公式an。解：原遞推式可化為：

an?1???3n?2(an???3n?1)①

比較系數(shù)得?=-4，①式即是：an?1?4?3n?2(an?4?3n?1).則數(shù)列{a?1n?4?3n}是一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)a1?4?31?1??5，公比是2.∴an?4?3n?1??5?2n?1 即a1n?4?3n??5?2n?1.3、an?2?A?an?1?B?an型，可化為an?2??an?1?(A??)?(an?1??an)的形式。例11在數(shù)列{an}中，a1??1,a2?2，當(dāng)n?N，an?2?5an?1?6an ①求通項(xiàng)公式

an.解：①式可化為：

an?2??an?1?(5??)(an?1??an)

比較系數(shù)得?=-3或?=-2，不妨取?=-2.①式可化為：

an?2?2an?1?3(an?1?2an)

則{an?1?2an}是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)a2?2a1=2-2（-1）=4，公比為3.∴an?1?2a1n?4?3n?.利用上題結(jié)果有：

an?4?3n?1?5?2n?1.4、an?1?Aan?Bn?C型，可化為an?1??1n??2?A[an??1(n?1)??2]的形式。例12 在數(shù)列{a

3n}中，a1?

2，2an?an?1=6n?3① 求通項(xiàng)公式an.解①式可化為：

2(an??1n??2)?an?1??1(n?1)??2②比較系數(shù)可

得：

=-6，?2?9，②式為2bn?bn?1 ?

1{bn} 是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)b1?a1?6n?9?

∴bn?

91，公比為.22

91n?1

()22

n

即 an?6n?9?9?()故an?9?()?6n?9.九、猜想法

運(yùn)用猜想法解題的一般步驟是：首先利用所給的遞推式求出a1,a2,a3,……，然后猜想出滿(mǎn)足遞推式的一個(gè)通項(xiàng)公式an，最后用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想是正確的。

例13 在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}中，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn=通項(xiàng)公式。

n

(an+)，求其2an