第一篇：高中數(shù)學(xué)立體幾何模塊公理定理
高中數(shù)學(xué)立體幾何模塊公理定理匯編
Hzoue/2009-12-12
公理1 如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．
A?l，B?l，且A?α，B?α?l?α．（作用：證明直線在平面內(nèi)）
公理2 過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．（作用：確定平面）推論 ①直線與直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面．
②兩條相交直線確定一個(gè)平面．
③兩條平行直線確定一個(gè)平面．
公理3 如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線． P?α，且P?β?α?β＝l，且P?l．（作用：證明三點(diǎn)/多點(diǎn)共線）
公理4平行于同一條直線的兩條直線互相平行．（平行線的傳遞性）空間等角定理 空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)． 線面平行判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行． 面面平行判定定理 一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行． 推論 一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線與另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線分別平行，則這兩個(gè)平面平行． 線面平行性質(zhì)定理 一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任意平面與此平面的交線與該直線平行． 面面平行性質(zhì)定理 如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，則它們的交線平行． 線面垂直判定定理 一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面平行． 三垂線定理 如果平面內(nèi)一條直線和平面的一條斜線的射影垂直，則它和這條斜線垂直． 逆定理 如果平面內(nèi)一條直線與平面的一條斜線垂直，則它和這條直線的射影垂直． 射影定理 從平面外一點(diǎn)出發(fā)的所有斜線段中，若斜線段長(zhǎng)度相等則射影相等，斜線段較長(zhǎng)則射影較長(zhǎng)，斜線段較短則射影較短． 面面垂直判定定理 一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直．
線面垂直性質(zhì)定理1 如果一條直線垂直于一個(gè)平面，則它垂直于平面內(nèi)的所有直線． 線面垂直性質(zhì)定理2 垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行．
面面垂直性質(zhì)定理1 兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直． 面面垂直性質(zhì)定理2 兩個(gè)平面垂直，過(guò)一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)與另一個(gè)平面垂直的直線在該平面內(nèi)．
第二篇：高中數(shù)學(xué)立體幾何部分定理
高中數(shù)學(xué)立體幾何部分定理
公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。
公理2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線。
公理3： 過(guò)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。推論1: 經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面。
推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面。
公理4 ：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。
等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等。
空間兩直線的位置關(guān)系：空間兩條直線只有三種位置關(guān)系：平行、相交、異面
1、按是否共面可分為兩類(lèi)：
（1）共面：平行、相交
（2）異面：
異面直線的定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線或既不平行也不相交。異面直線判定定理：用平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線。
兩異面直線所成的角：范圍為(0°，90°)esp.空間向量法 兩異面直線間距離: 公垂線段(有且只有一條)esp.空間向量法
2、若從有無(wú)公共點(diǎn)的角度看可分為兩類(lèi)：
（1）有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)——相交直線；（2）沒(méi)有公共點(diǎn)——平行或異面
直線和平面的位置關(guān)系： 直線和平面只有三種位置關(guān)系：在平面內(nèi)、與平面相交、與平面平行
①直線在平面內(nèi)——有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)
②直線和平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)
直線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角。esp.空間向量法(找平面的法向量)
規(guī)定：a、直線與平面垂直時(shí)，所成的角為直角，b、直線與平面平行或在平面內(nèi)，所成的角為0°角
由此得直線和平面所成角的取值范圍為 [0°，90°]
最小角定理: 斜線與平面所成的角是斜線與該平面內(nèi)任一條直線所成角中的最小角
三垂線定理及逆定理: 如果平面內(nèi)的一條直線,與這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也與這條斜線垂直
esp.直線和平面垂直
直線和平面垂直的定義：如果一條直線a和一個(gè)平面 內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線a和平面 互相垂直.直線a叫做平面 的垂線，平面 叫做直線a的垂面。
直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。
直線與平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。
③直線和平面平行——沒(méi)有公共點(diǎn)
直線和平面平行的定義：如果一條直線和一個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，那么我們就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面平行。
直線和平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。
直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行。
兩個(gè)平面的位置關(guān)系：
（1）兩個(gè)平面互相平行的定義：空間兩平面沒(méi)有公共點(diǎn)
（2）兩個(gè)平面的位置關(guān)系：
兩個(gè)平面平行-----沒(méi)有公共點(diǎn)； 兩個(gè)平面相交-----有一條公共直線。a、平行
兩個(gè)平面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。
兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么交線平行。
b、相交
二面角
（1）半平面：平面內(nèi)的一條直線把這個(gè)平面分成兩個(gè)部分，其中每一個(gè)部分叫做半平面。
（2）二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。二面角的取值范圍為 [0°，180°]
（3）二面角的棱：這一條直線叫做二面角的棱。
（4）二面角的面：這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。
（5）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。
（6）直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。
esp.兩平面垂直
兩平面垂直的定義：兩平面相交，如果所成的角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直。記為 ⊥
兩平面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直
兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面。
Attention：
二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂線定理及逆定理、面積射影定理、空間向量之法向量法（注意求出的角與所需要求的角之間的等補(bǔ)關(guān)系）
多面體
棱柱
棱柱的定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每?jī)蓚€(gè)四邊形的公共邊都互相平行，這些面圍成的幾何體叫做棱柱。
棱柱的性質(zhì)
（1）側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形
（2）兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形
（3）過(guò)不相鄰的兩條側(cè)棱的截面（對(duì)角面）是平行四邊形
棱錐
棱錐的定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，這些面圍成的幾何體叫做棱錐
棱錐的性質(zhì)：
（1）側(cè)棱交于一點(diǎn)。側(cè)面都是三角形
（2）平行于底面的截面與底面是相似的多邊形。且其面積比等于截得的棱錐的高與遠(yuǎn)棱錐高的比的平方
正棱錐
正棱錐的定義：如果一個(gè)棱錐底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。
正棱錐的性質(zhì)：
（1）各側(cè)棱交于一點(diǎn)且相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等，它叫做正棱錐的斜高。
（3）多個(gè)特殊的直角三角形
esp： a、相鄰兩側(cè)棱互相垂直的正三棱錐，由三垂線定理可得頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的垂心。
b、四面體中有三對(duì)異面直線，若有兩對(duì)互相垂直，則可得第三對(duì)也互相垂直。且頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的垂心。
Attention：
1、注意建立空間直角坐標(biāo)系
2、空間向量也可在無(wú)坐標(biāo)系的情況下應(yīng)用
多面體歐拉公式：V（角）+F（面）-E（棱）=
2正多面體只有五種：正四、六、八、十二、二十面體。
球
attention：
1、球與球面積的區(qū)別
2、經(jīng)度（面面角）與緯度（線面角）
3、球的表面積及體積公式
4、球內(nèi)兩平行平面間距離的多解性
cool2009-01-29 15:44
兩點(diǎn)確定一直線，兩直線確定一平面。
一條直線a與一個(gè)平面o垂直，則該直線與平面o內(nèi)任何一條直線垂直。
一條直線a與一平面o內(nèi)兩條相交直線都垂直，則該直線與該平面垂直。若直線a在平面y內(nèi)，則平面y與平面o垂直。
平面o與平面y相交，相交直線為b，若平面o內(nèi)衣直線a與直線b垂直，則平面o與平面y垂直。
一條直a與平面o內(nèi)任何一條直線平行，則直線a與平面o平行。
直線a與平面o以及平面y都垂直，則平面o與平面y平行。
第三篇：高二數(shù)學(xué) 立體幾何的概念、公理、定理
立體幾何的概念、公理、定理
王 春 老師 編輯 2007-12-20
一．寫(xiě)出以下公理、定理，并根據(jù)圖形寫(xiě)出它們的條件與結(jié)論。
（一）立體幾何三公理
公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。A∈a，B∈aA∈a，B∈a
公理
2a?bA耷ab=a,A a aìa a
公理3：經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。
A、B、C不在同一直線上
T有且只有一個(gè)平面α，使A∈α，B∈α，C∈α
推論
1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。
∈a A?a T有且只有一個(gè)平面a，使 ìa
推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面。
a∩b＝ATìa 有且只有一個(gè)平面a，使ìa
推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面。
a∥b＝AT有且只有一個(gè)平面a，使ìa ìa
（二）空間直線
公理4 ：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。c
a
b a∥Tb∥a//c 等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等。
AB//A/B/
?BAC B/A/C/
//AC//ACT
推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等。
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Zishi2007-12-20
異面直線判定定理：用平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，A∈a
P?a l與a異面 aìa
（三）直線和平面
T
直線和平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和 這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。
l
ab?
a//b bìa a?a
T
a//a
aìa
直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行。
ab
?
a//aa?bbaìb
?
T
a//b
直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么
baa燙a,ba
a//b a?bOb^a轣cab^b? c^a,c^
T
定理 ：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也垂直這個(gè)平面。
a
定理：一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面。
α∥βl⊥α
l⊥β
直線與平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。
a
b
a^a
b^
b
T
a//b
?
射影定理：從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中，（1）射影相等的兩條斜線段相等，射影較長(zhǎng)的斜線段也較長(zhǎng)；（2）相等的斜線段的射影相等，較長(zhǎng)的斜線段的射影也較長(zhǎng)；（3）垂線段比任何一條斜線段都短。
三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。
三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直。
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PA^aPA^a
aaìa定理：aì
轣POa逆定理：
AO^a
PO^a
轣AOa
（四）平面與平面
兩個(gè)平面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。
推論：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行另一個(gè)平面的兩條相交直線，那么這兩個(gè)平面平行。
a燙a,baa?b
O
a//b,b//b
定理Ta//b
?
b///推論
a?bO
a燙a,baa/燙b,b/
a//a/,b//b/a?bO
?Ta//b
/
b
/
定理：垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行。定理：平行于同一平面的兩個(gè)平面平行。
a
a^a a^b
T
a//b
a//b
g//b
Ta//g
?
兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么交線平行。
a//b
a?gaTa//bb?gb
兩個(gè)平面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面
互相垂直。
a^aaìb
T
a
a^b
?
兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直
線垂直于另一個(gè)平面。a^b
a?b CD
轣ABb ABìa
AB^CD
定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線，在第一個(gè)平面內(nèi)。a^b P?a
尢aaP?a
a^b
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二、概念與性質(zhì)
（一）空間兩直線的位置關(guān)系：空間兩條直線只有三種位置關(guān)系：平行、相交、異面
1、異面直線的定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線。
（二）直線和平面的位置關(guān)系： 直線和平面只有三種位置關(guān)系：在平面內(nèi)、與平面相交、與平面平行
1、直線和平面平行的定義：如果一條直線和一個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，那么我們就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面平行。
2、直線和平面垂直的定義：如果一條直線a和一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線a和平面互相垂直.直線a叫做平面 的垂線，平面叫做直線a的垂面。
（三）兩個(gè)平面的位置關(guān)系：平行、相交
1、兩個(gè)平面互相平行的定義：空間兩平面沒(méi)有公共點(diǎn)。
2、兩平面垂直的定義：兩平面相交，如果所成的角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直。
（四）角
1．兩異面直線所成的角：過(guò)空間任意一點(diǎn)引兩條直線分別平行
ba
b'a'
（或重合）于兩條異面直線，它們所成的銳角（或直角）。范圍為(0°，90°]
2、直線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影 所成的銳角。
所成的角為0°角。直線和平面所成角的取值范圍為 [0°，90°]
（2）最小角定理: 斜線與平面所成的角是斜線與該平面內(nèi)任一條直線所成角中的最小角。
（3）若斜線與平面所成的角為α，其在此平面內(nèi)的射影與平面內(nèi)的一 條直線所成的為β，斜線與這條直線所成的角為γ則cosγ＝cosα·cosβ
3、二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。二面角的取值范圍為 [0°，180°]
（1）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。（2）直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。
（五）距離
1、兩點(diǎn)的距離：連結(jié)兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度。
B
A?
a（1）規(guī)定：a、直線與平面垂直時(shí)，所成的角為直角，b、直線與平面平行或在平面內(nèi)，2、平行平面間距離：兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離。
3、兩異面直線間距離: 兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長(zhǎng)度。
4、兩異面直線上兩點(diǎn)的距離：若兩條異面直線a、b所成的角為θ，它們的公垂線段AA'的長(zhǎng)度為d．在直線a、b上分別取點(diǎn)E、F，設(shè)，A'E＝m，AF＝n，則
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5、點(diǎn)到平面的距離．從平面外一點(diǎn)引一個(gè)平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離。
6、平行直線和平面的距離：直線上任意一點(diǎn)到平面的距離。
（六）棱柱
1、棱柱的定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每?jī)蓚€(gè)四邊形的公共邊都互相平行，這些面圍成的幾何體叫做棱柱。
2、棱柱的性質(zhì)
（1）側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形
（2）兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形
（3）過(guò)不相鄰的兩條側(cè)棱的截面（對(duì)角面）是平行四邊形
（七）棱錐
1、棱錐的定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，這些面圍成的幾何體叫做棱錐
2、棱錐的性質(zhì)：
（1）側(cè)棱交于一點(diǎn)。側(cè)面都是三角形
（2）平行于底面的截面與底面是相似的多邊形。且其面積比等于截得的棱錐的高與遠(yuǎn)棱錐高的比的平方
3、正棱錐
（1）正棱錐的定義：如果一個(gè)棱錐底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。（2）正棱錐的性質(zhì)：
①各側(cè)棱交于一點(diǎn)且相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等，它叫做正棱錐的斜高。②多個(gè)特殊的直角三角形
4、a、相對(duì)棱互相垂直的正三棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的垂心。b、側(cè)棱相等的棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的外心。
c、側(cè)面與底面所成的二面角相等的棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的內(nèi)心。
（八）多面體歐拉公式：V（角）+F（面）-E（棱）=
2（九）正多面體只有五種：正四、六、八、十二、二十面體。
（十）球
1、球面：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡。
2、球體：與定點(diǎn)的距離等于或小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合．
3、經(jīng)度：某地點(diǎn)的經(jīng)度就是經(jīng)過(guò)這點(diǎn)的經(jīng)線和地軸確定的半平面與本初子午線與地軸確定的半平面所成二面角的平面角的度數(shù)．
4、緯度：某地的緯度就是經(jīng)過(guò)這點(diǎn)的球半徑和赤道平面所成的角度．
5、兩點(diǎn)的球面距離：球面上兩點(diǎn)之間的最短連線的長(zhǎng)度，就是經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度。
6、定理：球心與小圓的圓心的連線與小圓所在的平面垂直。
437、球的表面積：S球面=4pR8、體積公式：V球=pR9、V圓錐=
Zishi2007-12-20
133
pRV圓柱=pR333
用心 愛(ài)心 專(zhuān)心116號(hào)編輯
第四篇：高中數(shù)學(xué)相關(guān)定理
2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（文）復(fù)習(xí)資料2013.5.26
高中數(shù)學(xué)相關(guān)定理、公式及結(jié)論證明
（一）三角函數(shù)部分。
一、兩角和（差）的余弦公式證明。
內(nèi)容：cos(???)?cos?cos??sin?sin?,cos(???)?cos?cos??sin?sin?
證明：
①如圖（1），在單位圓中設(shè)P（cos?,sin?）,Q（cos?,-sin?）
則：OP?OQ?????)?cos(???)?OP?OQ?cos?cos??sin?sin?
?cos(???)?cos?cos??sin?sin?圖（1）
②如圖（2），在單位圓中設(shè)P（cos?,sin?）,Q（cos?,sin?）
則：OP?OQ?????)?cos(???)?OP?OQ?cos?cos??sin?sin?
?cos(???)?cos?cos??sin?sin?圖（2）
二、兩角和（差）的正弦公式證明。
內(nèi)容：sin(???)?sin?cos??cos?sin?,sin(???)?sin?cos??cos?sin?
證明：
sin(???)?cos[?
2?(???)]?cos[(?
2??)??]?cos(?
2??)cos??sin(?
2??)sin?
?sin?cos??cos?sin?
sin(???)?cos[?
2?(???)]?cos[(?
2??)??]?cos(?
2??)cos??sin(?
2??)sin?
?sin?cos??cos?sin?
三、兩角和（差）的正切公式證明。內(nèi)容：tan(???)?
證明： tan??tan?1?tan?tan?，tan(???)?tan??tan?1?tan?tan?
sin?cos?
tan(???)?
sin(???)cos(???)
?
sin?cos??cos?sin?cos?cos??sin?sin?
?
cos?cos?cos?cos?cos?cos?
??
cos?sin?cos?cos?sin?sin?cos?cos?
?
tan??tan?1?tan?tan?
sin?cos?
tan(???)?
sin(???)cos(???)
?
sin?cos??cos?sin?cos?cos??sin?sin?
?
cos?cos?cos?cos?cos?cos?
??
cos?sin?cos?cos?sin?sin?cos?cos?
?
tan??tan?1?tan?tan?
四、半角公式證明。內(nèi)容：sin
?2??
1?cos?,cos
?
2??
1?cos?,tan
?2
?
1?cos?1?cos?
?
2sin?1?cos?
?
1?cos?2sin?
??cos2??1?2sin?
證明：由二倍角公式? 2
??cos2??2cos??
1?2?cos??1?2sin???2
??用?代替2?，得?，得sin2
?cos??2cos2??1?2?
sin?cos
?cos?,cos
?2
??
?cos?
?2
tan
?2
sin?cos
?2
?2cos?2cos
?2
?2
?2
?2
?
2sin?1?cos?，tan
?2
sin?cos
?2
sin?cos
?2
?2sin?2sin
?2
?2
?2
?2
?
1?cos?2sin?
五、正弦定理證明。
內(nèi)容：在?ABC中，a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊，則證明：①如圖（3），在Rt?ABC中，sinA?
?
asinAbc,?
bsinB
?
csinC
.ac,sinB?
asinA
?
bsinB
?c，?C?90?,sinC?1.?
asinA
?
bsinB
?
csinC
.圖（3）
②如圖（4），在銳角?ABC中，以B為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，作AC??y軸于點(diǎn)C?，易知BA和CA在軸上的射影均為BC?
?C?bsinC??
?
2?B)?csinB,bsinB
?
csinC,同理
asinA
?
bsinB
?
asinA
?
bsinB
?
csinC
.圖（4）
③如圖（5），在鈍角?ABC中，以C為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，作AC??y軸于點(diǎn)C?，易知BA和CA在軸上的射影均為CC?
?B?csinB?C?
?
?2)?bsinC,bsinBasinA
??
csinCbsinB,同理?
c
asinA
?
bsinB
?
sinC
.圖（5）
六、余弦定理證明。
?a2?b2?c2?2bccosA
?
2?ABC內(nèi)容：在中，a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊，則?b?a2?c2?2accosB
?222
c?a?b?2abcosC?
證明：如圖（6），在?ABC中，a?a?BC
?(AC?AB)(AC?AB)
??2AC?AB?
?2
?2AC?ABcosA?2
?b?c?2bccosA圖（6）
222
??a?b?c?2bccosA
同理可證：?2 22
??c?a?b?2abcosC
（二）平面向量部分。
一、平面向量基本定理。
內(nèi)容：如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意一向量a，存在唯一一對(duì) 實(shí)數(shù)?1,?2，使得a??1e1??2e2.證明：如圖（7），過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)O，作OA?e1,OB?e2,OC?a，過(guò)點(diǎn)C分別作直 線OA和直線OB的平行線，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N，有且只有一組實(shí)數(shù)，使
得OM??1OA,ON??2OB圖（7）
?OC?OM?ON?OC??1OA??2OB
即a??1e1??2e2.二、共線向量定理。
內(nèi)容：如圖（8），A,B,C為平面內(nèi)的三點(diǎn)，且A,B不重合，點(diǎn)P為平面內(nèi)任一點(diǎn)，若C在直線AB上，則有
PC??PA?(1??)PB
證明：由題意，BC與BA共線，?BC??BA
BC?PC?PB,BA?PA?PB?PC?PB??(PA?PB)
圖（8）
化簡(jiǎn)為：PC??PA?(1??)PB
三、平行向量定理。
內(nèi)容：若兩個(gè)向量（與坐標(biāo)軸不平行）平行，則它們相應(yīng)的坐標(biāo)成比例；若兩個(gè)向量相對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)成比例，則兩向量平行。
證明：設(shè)a,b是非零向量，且a?(x1,y1),b?(x2,y2)若a//b，則存在實(shí)數(shù)?使a??b，且由平面向量基本定理可知
x1i?y1j??(x2i?y2j)??x2i??y2j.?x1??x2①，y1??y2②
①?y2?②?x2得：x1y2?x2y1?0
若y1?0,y2?0（即向量a,b不與坐標(biāo)軸平行）則
x1y
1?x2y
2（三）立體幾何部分。
一、三垂線定理及其逆定理。
內(nèi)容：在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過(guò)這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。
三垂線定理的逆定理：如果平面內(nèi)一條直線和穿過(guò)該平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。
證明：已知：如圖（9），直線l與平面?相交與點(diǎn)A，l在?上的射影OA垂直于a,a??
求證：l⊥a
證明：過(guò)P作PO垂直于?
∵PO⊥α∴PO⊥a
又a⊥OA，PO∩OA=O ∴a⊥平面POA
∴a⊥l圖（9）
（四）解析幾何部分。
一、點(diǎn)到直線距離公式證明。
內(nèi)容：已知直線l:Ax?By?C?0,直線外一點(diǎn)M(x0,y0).則其到直線l的距離為d?
Ax
?ByA
?C。
?B
證明：如圖（10），設(shè)直線l:Ax?By?C?0,直線外一點(diǎn)M(x0,y0).直線上一點(diǎn)P(x,y).可得直線的 一個(gè)方向向量為v?(?B,A),設(shè)其法向量為n?(s,t)則v?n??Bs?At?0，可得直線一法向量為n?(A,B),n的單位向量為n0?
?（AA
?B,A
B
?B)圖（10）
由題意，點(diǎn)M到直線的距離為PM在n0上的射影，所以，d???
A(x0?x)?B(y0?y)
A
?B
?
Ax
?By
0
2?(Ax?By)?B
②
A
因?yàn)辄c(diǎn)P(x,y)在直線上，所以C??(Ax?By)①
Ax
?ByA
所以，把①代入②中，得d?
00
?C
?B
（五）數(shù)列部分
一、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式證明。
內(nèi)容：?an?是等差數(shù)列，公差為d，首項(xiàng)為a1，Sn為其n前項(xiàng)和，則Sn?a1n?證明：由題意，Sn?a1?(a1?d)?(a1?2d)?.......?(a1?(n?1)d)① 反過(guò)來(lái)可寫(xiě)為：Sn?an?(an?d)?(an?2d)?.......?(an?(n?1)d)②
①+②得：2Sn?a1?n?a1?n.......?a1?n
???????????
n個(gè)
n(n?1)
d?
n(a1?an)
所以，Sn?
n(a1?an)
③，把a(bǔ)n?a1?(n?1)d代入③中，得Sn?a1n?
二、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式證明。
n(n?1)
d?
n(a1?an)
?na1,(q?1)
?n
內(nèi)容：?an?是等比數(shù)列，公比為q，首項(xiàng)為a1，Sn為其n前項(xiàng)和，則Sn=?a1?anq a1(1?q)
?,(q?1)?
1?q1?q?
證明：Sn?a1?a1q?a1q?.......?a1qqS
n
2n?
1①
n
?a1q?a1q
?a1q
?.......?a1q②
n
①—②得：(1?q)Sn?a1?a1q，當(dāng)q?1時(shí)，Sn?
a1?a1q1?q
n
?
a1(1?q)1?q
n
③
把a(bǔ)n?a1q
n?1
代入③中，得Sn?
a1?anq1?q
當(dāng)q?1時(shí)。很明顯Sn?na1
?na1,(q?1)
?n
所以，Sn=?a1?anq a1(1?q)
?,(q?1)?
1?q1?q?
（六）函數(shù)和導(dǎo)數(shù)部分
一、換底公式證明。內(nèi)容：log
N?
loglog
aa
Nb
b
(N,a,b?0;a,b?1)
證明：設(shè)log
a
N?X,log
a
b?Y，則b?a,N?a
YX
?log
b
N?log
a
Y
a
X
?
XY
log
a
a?
XY
?
loglog
aa
Nb
第五篇：萬(wàn)全高中數(shù)學(xué)2---1立體幾何基本定理與公式
萬(wàn)全高中數(shù)學(xué)基本公式
知識(shí)要點(diǎn)
1.經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)面.2.兩個(gè)平面可將平面分成部分.3.過(guò)三條互相平行的直線可以確定.4.三個(gè)平面最多可把空間分成部分.空間直線.1.空間直線位置分三種：相交、平行、異面.相交直線—共面有且有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線—共面沒(méi)有公共點(diǎn)；異面直線—不同在任一平面內(nèi)
2.異面直線判定定理：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線.（不在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線）
3.平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.4.等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等（如下圖）.（二面角的取值范圍???0?,180??）（直線與直線所成角???0?,90??）
121（斜線與平面成角???0?,90??）
2（直線與平面所成角???0?,90??）
方向相同方向不相同（向量與向量所成角??[0?,180?])
推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角（或直角）相等.5.兩異面直線的距離：公垂線的長(zhǎng)度.一、直線與平面平行、直線與平面垂直.1.空間直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內(nèi).2.直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行.（“線線平行，線面平行”）
3.直線和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行.（“線面平行，線線平行”）
4.直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線和一個(gè)平
P面垂直，過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和一條直線垂直.? 若PA⊥?，a⊥AO，得a⊥PO（三垂線定理），O
A得不出?⊥PO.因?yàn)閍⊥PO，但PO不垂直O(jiān)A.? 三垂線定理的逆定理亦成立.直線與平面垂直的判定定理一：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于這個(gè)平面.（“線線垂直，線面垂直”）
直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面.推論：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行.5.⑴垂線段和斜線段長(zhǎng)定理：從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中，①射影．．
相等的兩條斜線段相等，射影較長(zhǎng)的斜線段較長(zhǎng)；②相等的斜線段的射影相等，較長(zhǎng)的斜線
1段射影較長(zhǎng)；③垂線段比任何一條斜線段短.⑵射影定理推論：如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，那么這點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在這個(gè)角的平分線上
一、平面平行與平面垂直.1.空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系：相交、平行.2.平面平行判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.（“線面平行，面面平行”）
推論：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行；平行于同一平面的兩個(gè)平面平行.[注]：一平面間的任一直線平行于另一平面.3.兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面平行同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們交線平行.（“面面平行，線線平行”）
4.兩個(gè)平面垂直性質(zhì)判定一：兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，則兩個(gè)平面垂直.兩個(gè)平面垂直性質(zhì)判定二：如果一個(gè)平面與一條直線垂直，那么經(jīng)過(guò)這條直線的平面垂直于這個(gè)平面.（“線面垂直，面面垂直”）
注：如果兩個(gè)二面角的平面對(duì)應(yīng)平面互相垂直，則兩個(gè)二面角沒(méi)有什么關(guān)系.5.兩個(gè)平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線也垂直于另一個(gè)平面.P推論：如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面.?
五、棱錐、棱柱.1.棱柱.O⑴①直棱柱側(cè)面積：S?Ch（C為底面周長(zhǎng)，h是高）
②斜棱住側(cè)面積：S?C1l（C1是斜棱柱直截面周長(zhǎng)，l是斜棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)）
⑵{四棱柱}?{平行六面體}?{直平行六面體}?{長(zhǎng)方體}?{正四棱柱}?{正方體}.{直四棱柱}?{平行六面體}={直平行六面體}.⑶棱柱具有的性質(zhì)：
①棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等；直棱柱的各個(gè)側(cè)面都是矩形；正棱．．．．．．．．柱的各個(gè)側(cè)面都是全等的矩形.．．．．．
②棱柱的兩個(gè)底面與平行于底面的截面是對(duì)應(yīng)邊互相平行的全等多邊形.．．
③過(guò)棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形.（直棱柱定義）：棱柱有一條側(cè)棱和底面垂直.⑷平行六面體：
定理一：平行六面體的對(duì)角線交于一點(diǎn)，并且在交點(diǎn)處互相平分.．．．．．．．．．．．．．
[注]：四棱柱的對(duì)角線不一定相交于一點(diǎn).定理二：長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線長(zhǎng)的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)的平方和.[注]：①一個(gè)棱錐可以四各面都為直角三角形.②一個(gè)棱柱可以分成等體積的三個(gè)三棱錐；所以V棱柱?Sh?3V棱柱.正棱錐定義：底面是正多邊形；頂點(diǎn)在底面的射影為底面的中心.[注]：i.正四棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形.（不是等邊三角形）
ii.正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正△側(cè)棱與底棱不一定相等
iii.正棱錐定義的推論：若一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形（即側(cè)棱相
等）；底面為正多邊形.正棱錐的側(cè)面積：S?1Ch'（底面周長(zhǎng)為C，斜高為h'）
2⑵棱錐具有的性質(zhì)：
①正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它
叫做正棱錐的斜高）.②正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個(gè)直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)
棱在底面內(nèi)的射影也組成一個(gè)直角三角形.3.球：⑴球的截面是一個(gè)圓面.4①球的表面積公式：S?4?R2.②球的體積公式：V??R3.31②圓錐體積：V??r2h（r為半徑，h為高）3
1③錐形體積：V?Sh（S為底面積，h為高）3
六.空間向量.1（1）共線向量：共線向量亦稱(chēng)平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合.（2）共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a,b(b?0)，a ∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)?（具
有唯一性），使a??b.（3）共面向量：若向量a使之平行于平面?或a在?內(nèi)，則a與?的關(guān)系是平行，記作a∥?.（4）①共面向量定理：如果兩個(gè)向量a,b不共線，則向量P與向量a,b共面的充要條件是存
在實(shí)數(shù)對(duì)x、y使P?xa?yb.②空間任一點(diǎn)、B、C，則OP?xOA?yOB?zOC(x?y?z?1)是PABC四．．．O．和不共線三點(diǎn)．．．．．．A．．．．．點(diǎn)共面的充要條件.（簡(jiǎn)證：OP?(1?y?z)OA?yOB?zOC?AP?yAB?zAC?P、A、B、C四點(diǎn)共面）
注： 是證明四點(diǎn)共面的常用方法.2.空間向量基本定理：如果三個(gè)向量，那么對(duì)空間任一向量P，存在一個(gè)唯一．．．．a(chǎn),b,c不共面．．．的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使p?xa?yb?zc.推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P, 都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z使 ?x?y?z(這里隱含x+y+z≠1).注：設(shè)四面體ABCD的三條棱，AB?b,AC?c,AD?d,其
B
1中Q是△BCD的重心，則向量?(??)用?
?3D
3.（1）空間向量的坐標(biāo)：空間直角坐標(biāo)系的x軸是橫軸（對(duì)應(yīng)為橫坐標(biāo)），y軸是縱軸（對(duì)應(yīng)為縱軸），z軸是豎軸（對(duì)應(yīng)為豎坐標(biāo)）.①令a=(a1,a2,a3),b?(b1,b2,b3)，則
??(a1?b1,a2?b2,a3?b3)?a?(?a1,?a2,?a3)(??R)a?b?a1b1?a2b2?a3b3a∥b?a1??b1,a2??b2,a3??b3(??R)?
??a12?a22?a32a1a2a3??a?b?a1b1?a2b2?a3b3?0
b1b2b3（?a?a??)
???a1b1?a2b2?a3b3?a?b cos?a,b???222222|a|?|b|a1?a2?a3?1?b2?b3
②空間兩點(diǎn)的距離公式：d?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2.（2）法向量：若向量所在直線垂直于平面?，則稱(chēng)這個(gè)向量垂直于平面?，記作??，如果??那么向量叫做平面?的法向量.（3）用向量的常用方法：
①利用法向量求點(diǎn)到面的距離定理：如圖，設(shè)n是平面?的法向量，AB是平面?的一條射線，其中A??，則點(diǎn)B到平面?②利用法向量求二面角的平面角定理：設(shè)n1,n2分別是二面角??l??中平面?,?的法向量，則1,n2所成的角就是所求二面角的平面角或其補(bǔ)角大?。?,n2方向相同，1,n2反方，則為其夾角）.③證直線和平面平行定理：已知直線a??平面?，A?B?a,C?D??，且CDE三點(diǎn)不共線，則a∥?的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)???使AB??CD??CE.（常設(shè)AB??CD??CE求解?,?若?,?存在即證畢，若?,?不存在，則直線AB與平面相交）.
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