第一篇：高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽中常見(jiàn)的幾何定理

梅涅勞斯定理 ：

梅涅勞斯（Menelaus）定理是由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯首先證明的。他指出：如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線交于F、D、E點(diǎn)，那么AF/FB×BD/DC×CE/EA=1。證明：

過(guò)點(diǎn)A作AG‖BC交DF的延長(zhǎng)線于G

AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG

三式相乘得：

AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=

1它的逆定理也成立：若有三點(diǎn)F、D、E分別在的邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線上，且滿足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，則F、D、E三點(diǎn)共線。利用這個(gè)逆定理，可以判斷三點(diǎn)共線。

塞瓦定理：

在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O，直線AO、BO、CO分別交對(duì)邊于D、E、F，則(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=

1證法簡(jiǎn)介

（Ⅰ）本題可利用梅涅勞斯定理證明：

∵△ADC被直線BOE所截，∴(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ①

而由△ABD被直線COF所截，∴(BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②

②÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1

（Ⅱ）也可以利用面積關(guān)系證明

∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③

同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤

③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

利用塞瓦定理證明三角形三條高線必交于一點(diǎn):

設(shè)三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F，根據(jù)塞瓦定理逆定理，因?yàn)?AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）

/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(BF*ctgA)]=1，所以三條高CD、AE、BF交于一點(diǎn)。

可用塞瓦定理證明的其他定理;

三角形三條中線交于一點(diǎn)（重心）:如圖5 D , E分別為BC , AC 中點(diǎn) 所以BD=DC AE=EC 所以BD/DC=1 CE/EA=

1且因?yàn)锳F=BF 所以 AF/FB必等于1 所以AF=FB 所以三角形三條中線交于一點(diǎn)塞瓦定理推論（趙浩杰定理）：

設(shè)E是△ABD內(nèi)任意一點(diǎn)，AE、BE、DE分別交對(duì)邊于C、G、F，則(BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1，（塞瓦定理）則(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K（K為未知參數(shù)）且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K（K為未知參數(shù)）

由梅涅勞斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=

1所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1（塞瓦定理推論）

托勒密(Ptolemy)定理指出，圓內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積。原文：圓內(nèi)接四邊形中，兩對(duì)角線所包矩形的面積等于 一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和。

一、（以下是推論的證明，托勒密定理可視作特殊情況。）

在任意四邊形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD

因?yàn)椤鰽BE∽△ACD

所以 BE/CD=AB/AC,即BE〃AC=AB〃CD(1)

而∠BAC=∠DAE，∠ACB=∠ADE

所以△ABC∽△AED相似.BC/ED=AC/AD即ED〃AC=BC〃AD(2)

(1)+(2),得

AC(BE+ED)=AB〃CD+AD〃BC

又因?yàn)锽E+ED≥BD

（僅在四邊形ABCD是某圓的內(nèi)接四邊形時(shí)，等號(hào)成立，即“托勒密定理”）所以命題得證

復(fù)數(shù)證明

用a、b、c、d分別表示四邊形頂點(diǎn)A、B、C、D的復(fù)數(shù)，則AB、CD、AD、BC、A

C、BD的長(zhǎng)度分別是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。首先注意到復(fù)數(shù)恒等式：(a ? b)(c ? d)+(a ? d)(b ? c)=(a ? c)(b ? d)，兩邊取模，運(yùn)用三角不等式得。等號(hào)成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、B、C、D四點(diǎn)共圓等價(jià)。四點(diǎn)不限于同一平面。平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。

二、設(shè)ABCD是圓內(nèi)接四邊形。在弦BC上，圓周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。在AC上取一點(diǎn)K，使得∠ABK = ∠CBD； 因?yàn)椤螦BK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。因此△ABK與△DBC相似，同理也有△ABD ~ △KBC。因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD； 因此AK〃BD = AB〃CD，且CK〃BD = BC〃DA； 兩式相加，得(AK+CK)〃BD = AB〃CD + BC〃DA； 但AK+CK = AC，因此AC〃BD = AB〃CD + BC〃DA。證畢。

三、托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積(兩對(duì)角線所包矩形的面積)等于兩組對(duì)邊乘積之和(一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和)．已知：圓內(nèi)接四邊形ABCD，求證：AC〃BD＝AB〃CD＋AD〃BC．

證明：如圖1，過(guò)C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP，AC〃BP=AD〃BC ①。又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP，AC〃DP=AB〃CD ②。①＋②得 AC(BP＋DP)=AB〃CD＋AD〃BC．即AC〃BD=AB〃CD＋AD〃BC．

推論

1.任意凸四邊形ABCD，必有AC〃BD≤AB〃CD+AD〃BC，當(dāng)且僅當(dāng)ABCD四點(diǎn)共圓時(shí)取等號(hào)。

2.托勒密定理的逆定理同樣成立：一個(gè)凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積，則這個(gè)凸四邊形內(nèi)接于一圓。

推廣

托勒密不等式：四邊形的任兩組對(duì)邊乘積不小于另外一組對(duì)邊的乘積，取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)共圓或共線。

簡(jiǎn)單的證明：復(fù)數(shù)恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，兩邊取模，得不等式AC〃BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB〃CD+BC〃AD

注意：

1.等號(hào)成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、B、C、D四點(diǎn)共圓等價(jià)。

2.四點(diǎn)不限于同一平面。

平面幾何里的歐拉定理：

定理內(nèi)容

設(shè)三角形的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，外心與內(nèi)心的距離為d，則d^2=R^2-2Rr．

證明：

O、I分別為⊿ABC的外心與內(nèi)心．

連AI并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，由AI平分ÐBAC，故D為弧BC的中點(diǎn)．連DO并延長(zhǎng)交⊙O于E，則DE為與BC垂直的⊙O的直徑．

由圓冪定理知，R2-d2=(R+d)(R-d)=IA〃ID．（作直線OI與⊙O交于兩點(diǎn)，即可用證明）

但DB=DI（可連BI，證明ÐDBI=ÐDIB得），故只需證2Rr=IA〃DB，即2R∶DB=IA∶r 即可．

而這個(gè)比例式可由⊿AFI∽⊿EBD證得．故得R2-d2=2Rr，即證．

第二篇：高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽幾何定理

高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽幾何定理

梅涅勞斯定理

BFAECD???1。FAECBD

BFAECD?1，逆定理：一直線截△ABC的三邊BC,CA,AB或其延長(zhǎng)線于D,E,F若??FAECBD一直線截△ABC的三邊BC,CA,AB或其延長(zhǎng)線于D,E,F則

則D,E,F三點(diǎn)共線。

塞瓦定理

BDCEAF??=1。在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O,直線AO、BO、CO分別交對(duì)邊于D、E、F，則

托勒密定理

ABCD為任意一個(gè)圓內(nèi)接四邊形，則AB?CD?AD?BC?AC?BD。

逆定理：若四邊形ABCD滿足AB?CD?AD?BC?AC?BD，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓

西姆松定理

過(guò)三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊的垂線，則三垂足共線。（此線常稱為西姆松線）。西姆松定理的逆定理為：若一點(diǎn)在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點(diǎn)在此三角形的外接圓上。

相關(guān)的結(jié)果有：

（1）稱三角形的垂心為H。西姆松線和PH的交點(diǎn)為線段PH的中點(diǎn)，且這點(diǎn)在九點(diǎn)圓上。

（2）兩點(diǎn)的西姆松線的交角等于該兩點(diǎn)的圓周角。

(3）若兩個(gè)三角形的外接圓相同，這外接圓上的一點(diǎn)P對(duì)應(yīng)兩者的西姆松線的交角，跟P的位置無(wú)關(guān)。

（4）從一點(diǎn)向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點(diǎn)落在三角形的外接圓上。斯特瓦爾特定理

設(shè)已知△ABC及其底邊上B、C兩點(diǎn)間的一點(diǎn)D，則有AB·DC+AC·BD-AD·BC＝BC·DC·BD。22

2三角形旁心

1、旁切圓的圓心叫做三角形的旁心。

2、與三角形的一邊及其他兩邊的延長(zhǎng)線都相切的圓叫做三角形的旁切圓。

費(fèi)馬點(diǎn)

在一個(gè)三角形中，到3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的費(fèi)馬點(diǎn)。

(1)若三角形ABC的3個(gè)內(nèi)角均小于120°，那么3條距離連線正好平分費(fèi)馬點(diǎn)所在的周角。所以三角形的費(fèi)馬點(diǎn)也稱為三角形的等角中心。

(2)若三角形有一內(nèi)角不小于120度，則此鈍角的頂點(diǎn)就是距離和最小的點(diǎn)。

判定（1）對(duì)于任意三角形△ABC，若三角形內(nèi)或三角形上某一點(diǎn)E,若EA+EB+EC有最小值,則E為費(fèi)馬點(diǎn)。費(fèi)馬點(diǎn)的計(jì)算

（2）如果三角形有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°，這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)就是費(fèi)馬點(diǎn)；如果3個(gè)內(nèi)角均小于120°，則在三角形內(nèi)部對(duì)3邊張角均為120°的點(diǎn)，是三角形的費(fèi)馬點(diǎn)。

九點(diǎn)圓：三角形三邊的中點(diǎn),三高的垂足和三個(gè)歐拉點(diǎn)（連結(jié)三角形各頂點(diǎn)與垂心所得三線段的中點(diǎn)）九點(diǎn)共圓。通常稱這個(gè)圓為九點(diǎn)圓（nine-point circle），歐拉線：三角形的外心、重心、九點(diǎn)圓圓心、垂心，依次位于同一直線上，這條直線就叫三角形的歐拉線。

幾何不等式

1托勒密不等式:任意凸四邊形

ABCD四點(diǎn)共圓時(shí)取等號(hào)。ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，當(dāng)且僅當(dāng)

2埃爾多斯—莫德?tīng)柌坏仁?設(shè)P是ΔABC內(nèi)任意一點(diǎn)，P到ΔABC三邊BC,CA,AB的距離分別為PD=p,PE=q,PF=r，記PA=x,PB=y,PC=z。則 x+y+z≥2(p+q+r)3外森比克不等式:設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)為a、b、c,面積為S,則a2+b2+c2≥4S 4歐拉不等式:設(shè)△ABC外接圓與內(nèi)切圓的半徑分別為R、r，則R≥2r,當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)取等號(hào)。

圓冪

假設(shè)平面上有一點(diǎn)P，有一圓O，其半徑為R，則OP^2-R^2即為P點(diǎn)到圓O的冪；可見(jiàn)圓外的點(diǎn)對(duì)圓的冪為正，圓內(nèi)為負(fù)，圓上為0；

根軸

1在平面上任給兩不同心的圓，則對(duì)兩圓圓冪相等的點(diǎn)的集合是一條直線，這條線稱為這兩個(gè)圓的根軸。

2另一角度也可以稱兩不同心圓的等冪點(diǎn)的軌跡為根軸。

相關(guān)定理

1，平面上任意兩圓的根軸垂直于它們的連心線；

2，若兩圓相交，則兩圓的根軸為公共弦所在的直線；

3，若兩圓相切，則兩圓的根軸為它們的內(nèi)公切線；

4，蒙日定理（根心定理）：平面上任意三個(gè)圓心不共線的圓，它們兩兩的根軸或者互相平行，或者交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做它們的根心；

第三篇：高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽平面幾何定理

①雞爪定理：設(shè)△ABC的內(nèi)心為I，∠A內(nèi)的旁心為J，AI的延長(zhǎng)線交三角形外接圓于K，則KI=KJ=KB=KC。

由內(nèi)心和旁心的定義可知∠IBC=∠ABC/2，∠JBC=(180°-∠ABC)/2 ∴∠IBC+∠JBC=∠ABC/2+90°-∠ABC/2=90°=∠IBJ 同理，∠ICJ=90° ∵∠IBJ+∠ICJ=180°

∴IBJC四點(diǎn)共圓，且IJ為圓的直徑 ∵AK平分∠BAC ∴KB=KC（相等的圓周角所對(duì)的弦相等）

又∵∠IBK=∠IBC+∠KBC=∠ABC/2+∠KAC=∠ABI+∠BAK=∠KIB ∴KB=KI ∵IBJC四點(diǎn)共圓 且 KB=KI=KC ∴點(diǎn)K是四邊形IBJC的外接圓的圓心（只有圓心滿足與圓周上超過(guò)三個(gè)以上的點(diǎn)的距離相等）∴KB=KI=KJ=KC 雞爪定理逆定理：設(shè)△ABC中∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于K。在AK及延長(zhǎng)線上截取KI=KB=KJ，其中I在△ABC的內(nèi)部，J在△ABC的外部。則I是△ABC的內(nèi)心，J是△ABC的旁心。證明：利用同一法可輕松證明該定理的逆定理。

取△ABC的內(nèi)心I'和旁心J’，根據(jù)定理有KB=KC=KI'=KJ' 又∵KB=KI=KJ ∴I和I'重合，J和J’重合 即I和J分別是內(nèi)心和旁心。

②蝴蝶定理：設(shè)S為圓內(nèi)弦AB的中點(diǎn)，過(guò)S作弦EF和CD。設(shè)CF和DE各相交AB于點(diǎn)M和N，則S是MN的中點(diǎn)。

過(guò)O作OL⊥ED，OT⊥CF，垂足為L(zhǎng)、T，連接ON，OM，OS，SL，ST，易明△ESD∽△CSF 證法1:霍納證法

∴ES/CS=ED/FC 根據(jù)垂徑定理得：LD=ED/2，F(xiàn)T=FC/2 ∴ES/CS=EL/CT 又∵∠E=∠C ∴△ESL∽△CST ∴∠SLN=∠STM ∵S是AB的中點(diǎn)所以O(shè)S⊥AB ∴∠OSN=∠OLN=90°

∴O，S，N，L四點(diǎn)共圓，（一中同長(zhǎng)）同理，O，T，M，S四點(diǎn)共圓

∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON ∴∠SON=∠SOM ∵OS⊥AB ∴MS=NS ③西姆松定理：過(guò)三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊或其延長(zhǎng)線上的垂線，則三垂足共線。（此線常稱為西姆松線）。西姆松定理的逆定理為：若一點(diǎn)在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點(diǎn)在此三角形的外接圓上。

證明一：△ABC外接圓上有點(diǎn)P，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，PD⊥AB于D，分別連FE、FD、BP、CP.易證P、B、D、F和P、F、C、E分別共圓，（四點(diǎn)共圓）

在PBDF圓內(nèi)，∠DBP+∠DFP=180度，在ABPC圓內(nèi)∠ABP+∠ACP =180度，∴∠DFP=∠ACP ①，在PFCE圓內(nèi) ∠PFE=∠PCE②

而∠ACP+∠PCE=180°③ ∴∠DFP+∠PFE=180°④，即D、F、E共線。反之，當(dāng)D、F、E共線時(shí)，由④→②→③→①可見(jiàn)A、B、P、C共圓。④九點(diǎn)圓：三角形三邊的中點(diǎn)，三高的垂足和三個(gè)歐拉點(diǎn)(連結(jié)三角形各頂點(diǎn)與垂心所得三線段的中點(diǎn))九點(diǎn)共圓。作圖如下:△ABC的BC邊垂足為D，BC邊中點(diǎn)為L(zhǎng)，AC邊垂足為E，AC邊中點(diǎn)為M,AB邊垂足為F，AB邊中點(diǎn)為N, 垂心為H，AH,BH,CH中點(diǎn)分別為P,Q,R(思路：以PL為直徑，其它任意某點(diǎn)，去證P某L為90°)證明:(由中位線)PM∥CH，LM∥AB，又CH⊥AB∴PM⊥LM，又PD⊥LD ∴PMDL共圓。

(由中位線)PR∥AC，LR∥BH，BH⊥AC，所以PR⊥LR ∴PMRDL五點(diǎn)共圓。PE為Rt△AHE斜邊中線 ∴∠PEA=∠PAE 同理∠LEC=∠LCE所以∠PEL=180°—∠ADC ∴∠LEP等于90°

∴PEMRDL六點(diǎn)共圓，PL為直徑，同理PFNQL五點(diǎn)共圓,PL為直徑 ∴PEMRDLQNF九點(diǎn)共圓，PL為直徑，PL中點(diǎn)(設(shè)為V)就是圓心 下證 九點(diǎn)圓的圓心在垂心與外心連線的中點(diǎn)

O為外心，OL平行等于AH一半(小定理)所以O(shè)L平行等于PH OLPH為平行四邊形，V是PL中點(diǎn)，就是OH中點(diǎn)。

⑤托勒密定理：圓內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積。

在任意凸四邊形ABCD中(如右圖)，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD,連接DE.則△ABE∽△ACD 所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD(1)由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠EAD, 所以△ABC∽△AED.BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD(2)(1)+(2),得

AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 又因?yàn)锽E+ED≥BD(僅在四邊形ABCD是某圓的內(nèi)接四邊形時(shí)，等號(hào)成立，即“托勒密定理”)⑥三弦定理：圓上一點(diǎn)A,引出三條弦AB(左)、AC(右)、及中間弦AD,BC與AD交于P，則： ABsin∠CAP +ACsin∠BAP= ADsin∠BAC。

證明如下;連BD、CD, 由圓的相交弦定理→△ABP∽△CDP→AB/CD=AP/CP→AB·CP=CD·AP→

AB·CP-CD·AP=0→同理→AC·BP-BD·AP=0, 所以有AB(AB·CP-CD·AP)=0, AC(AC·BP-BD·AP)=0,兩式相加→AB·AB·CP + AC·AC·BP=AB·CD·AP +AC·BD·AP=AP(AB·CD+AC·BD)=AP·BC·AD⑴(托氏定理)。

由AC外分∠BAP, 由《分角定理》→(sin∠CAP/ sin∠BAC)=(CP/BC)·(AB/AP), →

(ABsin∠CAP/ sin∠BAC)=(CP/BC)·(AB·AB/AP)⑵, 同理有, 由AB外分∠CAP, 由《分角定理》→(ACsin∠BAP/ sin∠BAC)=(BP/BC)·(AC·AC/AP)⑶, 由⑵+⑶→

(ABsin∠CAP+ ACsin∠BAP)/ sin∠BAC=(AB·AB·CP+ AC·AC·BP)/BC·AP,由⑴→

(AB·AB·CP+ AC·AC·BP)/BC·AP=AD, 所以(ABsin∠CAP+ ACsin∠BAP)/ sin∠BAC=AD, 所以,ABsin∠CAP+ ACsin∠BAP= ADsin∠BAC。證畢。

第四篇：高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽

高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽

全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（一試）所涉及的知識(shí)范圍不超出教育部2000年《全日制普通高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》。

全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(加試)在知識(shí)方面有所擴(kuò)展，適當(dāng)增加一些教學(xué)大綱之外的內(nèi)容，所增加內(nèi)容是：

1．平面幾何

幾個(gè)重要定理：梅涅勞斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理；三角形旁心、費(fèi)馬點(diǎn)、歐拉線；

幾何不等式；

幾何極值問(wèn)題；

幾何中的變換：對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)；

圓的冪和根軸：

面積方法，復(fù)數(shù)方法，向量方法，解析幾何方法。

2．代數(shù)

周期函數(shù)，帶絕對(duì)值的函數(shù)；

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函數(shù)；

遞歸，遞歸數(shù)列及其性質(zhì)，一階、二階線性常系數(shù)遞歸數(shù)列的通項(xiàng)公式；第二數(shù)學(xué)歸納法；

均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函數(shù)及其應(yīng)用；

復(fù)數(shù)及其指數(shù)形式、三角形式，歐拉公式，棣莫弗定理，單位根；多項(xiàng)式的除法定理、因式分解定理，多項(xiàng)式的相等，整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根*，多項(xiàng)式的插值公式*；

n次多項(xiàng)式根的個(gè)數(shù)，根與系數(shù)的關(guān)系，實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式虛根成對(duì)定理；函數(shù)迭代，求n次迭代*，簡(jiǎn)單的函數(shù)方程*。

3．初等數(shù)論

同余，歐幾里得除法，裴蜀定理，完全剩余系，不定方程和方程組，高斯函數(shù)[x]，費(fèi)馬小定理，格點(diǎn)及其性質(zhì)，無(wú)窮遞降法*，歐拉定理*，孫子定理*。

4．組合問(wèn)題

圓排列，有重復(fù)元素的排列與組合，組合恒等式；

組合計(jì)數(shù)，組合幾何；

抽屜原理；

容斥原理；

極端原理；

圖論問(wèn)題；

集合的劃分；

覆蓋；

平面凸集、凸包及應(yīng)用*。

有*號(hào)的內(nèi)容加試中暫不考，但在冬令營(yíng)中可能考。

注：上述大綱在2006年第十四次普及工作會(huì)上討論通過(guò)

第五篇：高中數(shù)學(xué)相關(guān)定理

2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（文）復(fù)習(xí)資料2013.5.26

高中數(shù)學(xué)相關(guān)定理、公式及結(jié)論證明

（一）三角函數(shù)部分。

一、兩角和（差）的余弦公式證明。

內(nèi)容：cos(???)?cos?cos??sin?sin?,cos(???)?cos?cos??sin?sin?

證明：

①如圖（1），在單位圓中設(shè)P（cos?,sin?）,Q（cos?,-sin?）

則：OP?OQ?????)?cos(???)?OP?OQ?cos?cos??sin?sin?

?cos(???)?cos?cos??sin?sin?圖（1）

②如圖（2），在單位圓中設(shè)P（cos?,sin?）,Q（cos?,sin?）

則：OP?OQ?????)?cos(???)?OP?OQ?cos?cos??sin?sin?

?cos(???)?cos?cos??sin?sin?圖（2）

二、兩角和（差）的正弦公式證明。

內(nèi)容：sin(???)?sin?cos??cos?sin?,sin(???)?sin?cos??cos?sin?

證明：

sin(???)?cos[?

2?(???)]?cos[(?

2??)??]?cos(?

2??)cos??sin(?

2??)sin?

?sin?cos??cos?sin?

sin(???)?cos[?

2?(???)]?cos[(?

2??)??]?cos(?

2??)cos??sin(?

2??)sin?

?sin?cos??cos?sin?

三、兩角和（差）的正切公式證明。內(nèi)容：tan(???)?

證明： tan??tan?1?tan?tan?，tan(???)?tan??tan?1?tan?tan?

sin?cos?

tan(???)?

sin(???)cos(???)

?

sin?cos??cos?sin?cos?cos??sin?sin?

?

cos?cos?cos?cos?cos?cos?

??

cos?sin?cos?cos?sin?sin?cos?cos?

?

tan??tan?1?tan?tan?

sin?cos?

tan(???)?

sin(???)cos(???)

?

sin?cos??cos?sin?cos?cos??sin?sin?

?

cos?cos?cos?cos?cos?cos?

??

cos?sin?cos?cos?sin?sin?cos?cos?

?

tan??tan?1?tan?tan?

四、半角公式證明。內(nèi)容：sin

?2??

1?cos?,cos

?

2??

1?cos?,tan

?2

?

1?cos?1?cos?

?

2sin?1?cos?

?

1?cos?2sin?

??cos2??1?2sin?

證明：由二倍角公式? 2

??cos2??2cos??

1?2?cos??1?2sin???2

??用?代替2?，得?，得sin2

?cos??2cos2??1?2?

sin?cos

?cos?,cos

?2

??

?cos?

?2

tan

?2

sin?cos

?2

?2cos?2cos

?2

?2

?2

?2

?

2sin?1?cos?，tan

?2

sin?cos

?2

sin?cos

?2

?2sin?2sin

?2

?2

?2

?2

?

1?cos?2sin?

五、正弦定理證明。

內(nèi)容：在?ABC中，a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊，則證明：①如圖（3），在Rt?ABC中，sinA?

?

asinAbc,?

bsinB

?

csinC

.ac,sinB?

asinA

?

bsinB

?c，?C?90?,sinC?1.?

asinA

?

bsinB

?

csinC

.圖（3）

②如圖（4），在銳角?ABC中，以B為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，作AC??y軸于點(diǎn)C?，易知BA和CA在軸上的射影均為BC?

?C?bsinC??

?

2?B)?csinB,bsinB

?

csinC,同理

asinA

?

bsinB

?

asinA

?

bsinB

?

csinC

.圖（4）

③如圖（5），在鈍角?ABC中，以C為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，作AC??y軸于點(diǎn)C?，易知BA和CA在軸上的射影均為CC?

?B?csinB?C?

?

?2)?bsinC,bsinBasinA

??

csinCbsinB,同理?

c

asinA

?

bsinB

?

sinC

.圖（5）

六、余弦定理證明。

?a2?b2?c2?2bccosA

?

2?ABC內(nèi)容：在中，a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊，則?b?a2?c2?2accosB

?222

c?a?b?2abcosC?

證明：如圖（6），在?ABC中，a?a?BC

?(AC?AB)(AC?AB)

??2AC?AB?

?2

?2AC?ABcosA?2

?b?c?2bccosA圖（6）

222

??a?b?c?2bccosA

同理可證：?2 22

??c?a?b?2abcosC

（二）平面向量部分。

一、平面向量基本定理。

內(nèi)容：如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意一向量a，存在唯一一對(duì) 實(shí)數(shù)?1,?2，使得a??1e1??2e2.證明：如圖（7），過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)O，作OA?e1,OB?e2,OC?a，過(guò)點(diǎn)C分別作直 線OA和直線OB的平行線，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N，有且只有一組實(shí)數(shù)，使

得OM??1OA,ON??2OB圖（7）

?OC?OM?ON?OC??1OA??2OB

即a??1e1??2e2.二、共線向量定理。

內(nèi)容：如圖（8），A,B,C為平面內(nèi)的三點(diǎn)，且A,B不重合，點(diǎn)P為平面內(nèi)任一點(diǎn)，若C在直線AB上，則有

PC??PA?(1??)PB

證明：由題意，BC與BA共線，?BC??BA

BC?PC?PB,BA?PA?PB?PC?PB??(PA?PB)

圖（8）

化簡(jiǎn)為：PC??PA?(1??)PB

三、平行向量定理。

內(nèi)容：若兩個(gè)向量（與坐標(biāo)軸不平行）平行，則它們相應(yīng)的坐標(biāo)成比例；若兩個(gè)向量相對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)成比例，則兩向量平行。

證明：設(shè)a,b是非零向量，且a?(x1,y1),b?(x2,y2)若a//b，則存在實(shí)數(shù)?使a??b，且由平面向量基本定理可知

x1i?y1j??(x2i?y2j)??x2i??y2j.?x1??x2①，y1??y2②

①?y2?②?x2得：x1y2?x2y1?0

若y1?0,y2?0（即向量a,b不與坐標(biāo)軸平行）則

x1y

1?x2y

2（三）立體幾何部分。

一、三垂線定理及其逆定理。

內(nèi)容：在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過(guò)這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

三垂線定理的逆定理：如果平面內(nèi)一條直線和穿過(guò)該平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。

證明：已知：如圖（9），直線l與平面?相交與點(diǎn)A，l在?上的射影OA垂直于a,a??

求證：l⊥a

證明：過(guò)P作PO垂直于?

∵PO⊥α∴PO⊥a

又a⊥OA，PO∩OA=O ∴a⊥平面POA

∴a⊥l圖（9）

（四）解析幾何部分。

一、點(diǎn)到直線距離公式證明。

內(nèi)容：已知直線l:Ax?By?C?0,直線外一點(diǎn)M(x0,y0).則其到直線l的距離為d?

Ax

?ByA

?C。

?B

證明：如圖（10），設(shè)直線l:Ax?By?C?0,直線外一點(diǎn)M(x0,y0).直線上一點(diǎn)P(x,y).可得直線的 一個(gè)方向向量為v?(?B,A),設(shè)其法向量為n?(s,t)則v?n??Bs?At?0，可得直線一法向量為n?(A,B),n的單位向量為n0?

?（AA

?B,A

B

?B)圖（10）

由題意，點(diǎn)M到直線的距離為PM在n0上的射影，所以，d???

A(x0?x)?B(y0?y)

A

?B

?

Ax

?By

0

2?(Ax?By)?B

②

A

因?yàn)辄c(diǎn)P(x,y)在直線上，所以C??(Ax?By)①

Ax

?ByA

所以，把①代入②中，得d?

00

?C

?B

（五）數(shù)列部分

一、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式證明。

內(nèi)容：?an?是等差數(shù)列，公差為d，首項(xiàng)為a1，Sn為其n前項(xiàng)和，則Sn?a1n?證明：由題意，Sn?a1?(a1?d)?(a1?2d)?.......?(a1?(n?1)d)① 反過(guò)來(lái)可寫(xiě)為：Sn?an?(an?d)?(an?2d)?.......?(an?(n?1)d)②

①+②得：2Sn?a1?n?a1?n.......?a1?n

???????????

n個(gè)

n(n?1)

d?

n(a1?an)

所以，Sn?

n(a1?an)

③，把a(bǔ)n?a1?(n?1)d代入③中，得Sn?a1n?

二、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式證明。

n(n?1)

d?

n(a1?an)

?na1,(q?1)

?n

內(nèi)容：?an?是等比數(shù)列，公比為q，首項(xiàng)為a1，Sn為其n前項(xiàng)和，則Sn=?a1?anq a1(1?q)

?,(q?1)?

1?q1?q?

證明：Sn?a1?a1q?a1q?.......?a1qqS

n

2n?

1①

n

?a1q?a1q

?a1q

?.......?a1q②

n

①—②得：(1?q)Sn?a1?a1q，當(dāng)q?1時(shí)，Sn?

a1?a1q1?q

n

?

a1(1?q)1?q

n

③

把a(bǔ)n?a1q

n?1

代入③中，得Sn?

a1?anq1?q

當(dāng)q?1時(shí)。很明顯Sn?na1

?na1,(q?1)

?n

所以，Sn=?a1?anq a1(1?q)

?,(q?1)?

1?q1?q?

（六）函數(shù)和導(dǎo)數(shù)部分

一、換底公式證明。內(nèi)容：log

N?

loglog

aa

Nb

b

(N,a,b?0;a,b?1)

證明：設(shè)log

a

N?X,log

a

b?Y，則b?a,N?a

YX

?log

b

N?log

a

Y

a

X

?

XY

log

a

a?

XY

?

loglog

aa

Nb