第一篇：2013屆高考數(shù)學(xué)(理)一輪復(fù)習(xí)教案：第三篇導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用專(zhuān)題一 高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)命題動(dòng)向(人教A版)

2013屆高考數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)教案：第三篇導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)

用

專(zhuān)題一 高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)命題動(dòng)向

高考命題分析

函數(shù)是數(shù)學(xué)永恒的主題，是中學(xué)數(shù)學(xué)最重要的主干知識(shí)之一；導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的有力工具，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)不僅是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，還是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，而且函數(shù)的觀(guān)點(diǎn)及其思想方法貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的全過(guò)程，高考對(duì)函數(shù)的考查更多的是與導(dǎo)數(shù)的結(jié)合，發(fā)揮導(dǎo)數(shù)的工具性作用，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)、證明不等式問(wèn)題等，體現(xiàn)出高考的綜合熱點(diǎn)．所以在高考中函數(shù)知識(shí)占有極其重要的地位，是高考考查數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、能力和素質(zhì)的主要陣地．

高考命題特點(diǎn)

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)在高考試卷中形式新穎且呈現(xiàn)出多樣性，既有選擇題、填空題，又有解答題．其命題特點(diǎn)如下：

(1)全方位：近年新課標(biāo)的高考題中，函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)基本都有所涉及，雖然高考不強(qiáng)調(diào)知識(shí)點(diǎn)的覆蓋率，但函數(shù)知識(shí)點(diǎn)的覆蓋率依然沒(méi)有減?。?/p>

(2)多層次：在近年新課標(biāo)的高考題中，低檔、中檔、高檔難度的函數(shù)題都有，且題型齊全．低檔難度題一般僅涉及函數(shù)本身的內(nèi)容，諸如定義域、值域、單調(diào)性、周期性、圖象等，且對(duì)能力的要求不高；中、高檔難度題多為綜合程度較高的試題，或者函數(shù)與其他知識(shí)結(jié)合，或者是多種方法的滲透．

(3)巧綜合：為了突出函數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的主體地位，近年高考強(qiáng)化了函數(shù)與其他知識(shí)的滲透，加大了以函數(shù)為載體的多種方法、多種能力(甚至包括閱讀能力、理解能力、表述能力、信息處理能力)的綜合程度．

(4)變角度：出于“立意”和創(chuàng)設(shè)情景的需要，函數(shù)試題設(shè)置問(wèn)題的角度和方式也不斷創(chuàng)新，重視函數(shù)思想的考查，加大了函數(shù)應(yīng)用題、探索題、開(kāi)放題和信息題的考查力度，從而使函數(shù)考題顯得新穎、生動(dòng)、靈活．

(5)重能力：以導(dǎo)數(shù)為背景與其他知識(shí)(如函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列等)交匯命題．利用導(dǎo)數(shù)解決相關(guān)問(wèn)題，是命題的熱點(diǎn)，而且不斷豐富創(chuàng)新．解決該類(lèi)問(wèn)題要注意函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．綜合考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

高考動(dòng)向透視

函數(shù)的概念和性質(zhì)

函數(shù)既是高中數(shù)學(xué)中極為重要的內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)．函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)涉及函數(shù)的三要素、函數(shù)的表示方法、單調(diào)性、奇偶性、周期性等內(nèi)容．縱觀(guān)全國(guó)各地的高考試題，可以發(fā)現(xiàn)對(duì)函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的考查主要以客觀(guān)題為主，難度中等偏下，在解答題中主要與多個(gè)知識(shí)點(diǎn)交匯命題，難度中等．

【示例1】?(2011·安徽)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝2x2－x，則f(1)＝()．

A．－3B．－1C．1D．

3解析 法一 ∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且x≤0時(shí)，f(x)＝2x2－x，∴f(1)＝－f(－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.故選A.法二 設(shè)x＞0，則－x＜0，∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且x≤0時(shí)，f(x)＝2x2－x，∴f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x，又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－2x2－x，∴f(1)＝－2×12－1＝－3，故選A.答案

A

本題考查函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的求值，解題思路有兩個(gè)：一是利用奇

函數(shù)的性質(zhì)，直接通過(guò)f(1)＝－f(－1)計(jì)算；二是利用奇函數(shù)的性質(zhì)，先求出x＞0時(shí)f(x)的解析式，再計(jì)算f(1)．

指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)

指數(shù)函數(shù)在新課標(biāo)高考中占有十分重要的地位，因此高考對(duì)指數(shù)函數(shù)的考查有升溫的趨勢(shì)，重點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題．對(duì)于冪函數(shù)應(yīng)重點(diǎn)掌握五種常用冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)，此時(shí)，冪的運(yùn)算是解決有關(guān)指數(shù)問(wèn)題的基礎(chǔ)，也要引起重視．對(duì)數(shù)函數(shù)在新課標(biāo)中適當(dāng)?shù)亟档土艘?，因此高考?duì)它的考查也會(huì)適當(dāng)降低難度，但它仍是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，重點(diǎn)考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)及其應(yīng)用．

?1【示例2】?(2011·天津)已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝?5log30.3，則()．

??A．a(chǎn)＞b＞cB．b＞a＞cC．a(chǎn)＞c＞bD．c＞a＞b

1010

解析 因?yàn)閏＝5－log30.3＝5log33，又log23.4＞log3 3.4＞log331＞log43.6＞0，且指數(shù)函數(shù)y＝5x是R上的增函數(shù)，所以a＞c＞b.故選C.答案

C

本題主要考查指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、對(duì)數(shù)式的大小比較．一般是利

用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較．對(duì)數(shù)式的比較類(lèi)似指數(shù)式的比較，也可以尋找中間量．

函數(shù)的應(yīng)用

函數(shù)的應(yīng)用歷來(lái)是高考重視的考點(diǎn)，新課標(biāo)高考更是把這個(gè)考點(diǎn)放到了一個(gè)重要的位置．相對(duì)于大綱的高考，新課標(biāo)高考無(wú)論在考查內(nèi)容上還是力度上都有所加強(qiáng)，這主要體現(xiàn)在函數(shù)與方程方面，函數(shù)與方程已經(jīng)成為新課標(biāo)高考的一個(gè)命題熱點(diǎn)，值得考生重視．

【示例3】?(2011·山東)已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0≤x＜2時(shí)，f(x)＝x3－x，則函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間[0,6]上與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()．

A．6B．7C．8D．9

解析 由f(x)＝0，x∈[0,2)可得x＝0或x＝1，即在一個(gè)周期內(nèi)，函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，在區(qū)間[0,6)上共有6個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)x＝6時(shí)，也是符合要求的交點(diǎn)，故共有7個(gè)不同的交點(diǎn)．故選B.答案

B

本小題考查對(duì)周期函數(shù)的理解與應(yīng)用，考查三次方程根的求法、轉(zhuǎn)化

與化歸思想及推理能力，難度較?。蠼獗绢}的關(guān)鍵是將f(x)＝x3－x進(jìn)行因式分解，結(jié)合周期函數(shù)的性質(zhì)求出f(x)＝0在區(qū)間[0,6]上的根，然后將方程f(x)＝0的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題．

導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

從近兩年的高考試題來(lái)看，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線(xiàn)在某點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，解決該類(lèi)問(wèn)題必須熟記導(dǎo)數(shù)公式，明確導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線(xiàn)在某點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率，切點(diǎn)既在切線(xiàn)上又在曲線(xiàn)上．

【示例4】?已知點(diǎn)P在曲線(xiàn)f(x)＝x4－x上，曲線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)平行于直線(xiàn)3x－y＝0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______．

解析 由題意知，函數(shù)f(x)＝x4－x在點(diǎn)P處的切線(xiàn)的斜率等于3，即f′(x0)＝4x0

－1＝3，∴x0＝1，將其代入f(x)中可得P(1,0)． 答案

(1,0)

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及簡(jiǎn)單的邏輯推理能力． 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值

從近兩年的高考試題來(lái)看，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極、最值問(wèn)題已成為高考考查的熱點(diǎn)．解決該類(lèi)問(wèn)題要明確：導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)才是函數(shù)的極值點(diǎn)；求單調(diào)區(qū)間時(shí)一定要注意函數(shù)的定義域；求最值時(shí)需要把極值和端點(diǎn)值逐一求出，比較即可．

【示例5】?已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)x＝1處的切線(xiàn)l不過(guò)第四象限且斜率為3，又坐標(biāo)原點(diǎn)到切線(xiàn)l的距離為有極值．

(1)求a，b，c的值；

(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值． 解(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得 f′(x)＝3x2＋2ax＋b.當(dāng)x＝1時(shí)，切線(xiàn)l的斜率為3，可得2a＋b＝0.① 2?2?

當(dāng)x＝3時(shí)，y＝f(x)有極值，則f′?3?＝0，可得

??4a＋3b＋4＝0②

由①②解得a＝2，b＝－4.設(shè)切線(xiàn)l的方程為y＝3x＋m 10

由原點(diǎn)到切線(xiàn)l的距離為10，|m|10則＝，解得m＝±1.3＋110∵切線(xiàn)l不過(guò)第四象限∴m＝1，由于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x＝1，∴f(1)＝4，∴1＋a＋b＋c＝4 ∴c＝5.(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，10

2x＝時(shí)，y＝f(x)10

3∴f′(x)＝3x＋4x－4.令f′(x)＝0，得x＝－2，x＝3.f(x)和f′(x)的變化情況如下表：

2?29

5在x＝3處取得極小值f?3＝27??又f(－3)＝8，f(1)＝4，95

∴f(x)在[－3,1]上的最大值為13，最小值為27.在解決類(lèi)似的問(wèn)題時(shí)，首先要注意區(qū)分函數(shù)最值與極值的區(qū)別．求解

函數(shù)的最值時(shí)，要先求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]內(nèi)所有使f′(x)＝0的點(diǎn)，再計(jì)算函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間內(nèi)所有使f′(x)＝0的點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，最后比較即得．

突出以函數(shù)與導(dǎo)數(shù)為主的綜合應(yīng)用

高考命題強(qiáng)調(diào)“以能力立意”，就是以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，從問(wèn)題入手，把握數(shù)學(xué)學(xué)科的整體意義，加強(qiáng)對(duì)知識(shí)的綜合性和應(yīng)用性的考查．中學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容可以聚合為數(shù)和形兩條主線(xiàn)，其中數(shù)是以函數(shù)概念來(lái)串聯(lián)代數(shù)、三角和解析幾何知識(shí)，我們可以把方程看作函數(shù)為零，不等式看成兩個(gè)函數(shù)值的大小比較、數(shù)列、三角則是特殊的一類(lèi)函數(shù)．所以，高考試題中涉及函數(shù)的考題面很廣．新課標(biāo)高考對(duì)有關(guān)函數(shù)的綜合題的考查，重在對(duì)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)理解的準(zhǔn)確性、深刻性，重在與方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等相關(guān)知識(shí)的相互聯(lián)系，要求考生具備較高的數(shù)學(xué)思維能力和綜合分析問(wèn)題能力以及較強(qiáng)的運(yùn)算能力，體現(xiàn)了以函數(shù)為載體，多種能力同時(shí)考查的命題思想．

【示例6】?(2011·福建)已知a，b為常數(shù)，且a≠0，函數(shù)f(x)＝－ax＋b＋axln x，f(e)＝2(e＝2.718 28?是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．(1)求實(shí)數(shù)b的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．

(3)當(dāng)a＝1時(shí)，是否同時(shí)存在實(shí)數(shù)m和M(m＜M)，使得對(duì)每一個(gè)t∈[m，M]，直

??1??

線(xiàn)y＝t與曲線(xiàn)y＝f(x)?x∈?e，e??都有公共點(diǎn)？若存在，求出最小的實(shí)數(shù)m和最

????大的實(shí)數(shù)M；若不存在，說(shuō)明理由． 解(1)由f(e)＝2得b＝2.(2)由(1)可得f(x)＝－ax＋2＋axln x.從而f′(x)＝aln x.因?yàn)閍≠0，故

①當(dāng)a＞0時(shí)，由f′(x)＞0得x＞1，由f′(x)＜0得0＜x＜1； ②當(dāng)a＜0時(shí)，由f′(x)＞0得0＜x＜1，由f′(x)＜0得x＞1.綜上，當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)；當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，＋∞)．(3)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝－x＋2＋xln x，f′(x)＝ln x.?1?

由(2)可得，當(dāng)x在區(qū)間?e，e?內(nèi)變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

??

?m＝1，2??1??

又2－e2，所以函數(shù)f(x)?x∈?ee??的值域?yàn)閇1,2]．據(jù)此可得，若?則

?????M＝2.??1??

對(duì)每一個(gè)t∈[

m，M]，直線(xiàn)y＝t與曲線(xiàn)y＝f(x)?x∈?ee??都有公共點(diǎn)；

??????1??

并且對(duì)每一個(gè)t∈(－∞，m)∪(M，＋∞)，直線(xiàn)y＝t與曲線(xiàn)y＝f(x)?x∈?e，e??都

????沒(méi)有公共點(diǎn)．

綜上，當(dāng)a＝1時(shí)，存在最小的實(shí)數(shù)m＝1，最大的實(shí)數(shù)M＝2，使得對(duì)每一個(gè)t??1??

∈[m，M]，直線(xiàn)y＝t與曲線(xiàn)y＝f(x)?x∈?e，e??都有公共點(diǎn)．

????

本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)．考查推理論證能力、抽象概括

能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)與整合思想．

第二篇：2012屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案：13.1 導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算

*第十三章 導(dǎo)數(shù)

●網(wǎng)絡(luò)體系總覽

導(dǎo)數(shù)實(shí)際背景導(dǎo)數(shù)定義導(dǎo)函數(shù)基本導(dǎo)數(shù)公式求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則判斷函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的極大(小)值求函數(shù)的最大(小)值導(dǎo)數(shù)幾何意義 ●考點(diǎn)目標(biāo)定位

1.理解導(dǎo)數(shù)的定義，會(huì)求多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù).2.理解導(dǎo)數(shù)的物理、幾何意義，會(huì)求函數(shù)在某點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率和物體運(yùn)動(dòng)到某點(diǎn)處的瞬時(shí)速度.3.會(huì)用導(dǎo)數(shù)研究多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.4.理解函數(shù)極大（?。┲档母拍?，會(huì)用導(dǎo)數(shù)求多項(xiàng)式、函數(shù)的極值及在閉區(qū)間上的最值，會(huì)求一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題的最大（?。┲?●復(fù)習(xí)方略指南

在本章的復(fù)習(xí)過(guò)程中應(yīng)始終把握對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的認(rèn)識(shí)、計(jì)算及應(yīng)用這條主線(xiàn).復(fù)習(xí)應(yīng)側(cè)重概念、公式、法則在各方面的應(yīng)用，應(yīng)淡化某些公式、法則的理論推導(dǎo).課本只給出了兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，我們只要求記住這幾個(gè)公式，并會(huì)應(yīng)用它們求有關(guān)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可.從2000年高考開(kāi)始，導(dǎo)數(shù)的知識(shí)已成為高考考查的對(duì)象，特別是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是高考必考的重要內(nèi)容之一，題型涉及選擇題、填空題與解答題，要給予充分的重視.但是，本章內(nèi)容是限定選修內(nèi)容，試題難度不大，要重視基本方法和基礎(chǔ)知識(shí)；做練習(xí)題時(shí)要控制好難度，注意與函數(shù)、數(shù)列、不等式相結(jié)合的問(wèn)題.第1頁(yè)（共7頁(yè)）

13.1 導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算

●知識(shí)梳理

1.用定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的步驟.（1）求函數(shù)的改變量Δy；（2）求平均變化率

?y.?x?x?0（3）取極限，得導(dǎo)數(shù)f?（x0）=lim?y.?x2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義

幾何意義：曲線(xiàn)f（x）在某一點(diǎn)（x0，y0）處的導(dǎo)數(shù)是過(guò)點(diǎn)（x0，y0）的切線(xiàn)斜率.物理意義：若物體運(yùn)動(dòng)方程是s=s（t），在點(diǎn)P（i0，s（t0））處導(dǎo)數(shù)的意義是t=t0處的瞬時(shí)速度.3.求導(dǎo)公式

－(c)?=0，(xn)?=n·xn1（n∈N*）.4.運(yùn)算法則 如果f（x）、g（x）有導(dǎo)數(shù)，那么［f（x）±g（x）]?=f?（x）±g′（x），［c·f（x）]?= cf?（x）.●點(diǎn)擊雙基

1.若函數(shù)f（x）=2x2－1的圖象上一點(diǎn)（1，1）及鄰近一點(diǎn)（1+Δx，1+Δy），則等于

A.4

B.4x

?y?x

C.4+2Δx

D.4+2Δx2 ?y=4+2Δx.?x解析：Δy=2（1+Δx）2－1－1=2Δx2+4Δx，答案：C 2.對(duì)任意x，有f?（x）=4x3，f（1）=－1，則此函數(shù)為

A.f（x）=x4－2

B.f（x）=x4+2 C.f（x）=xD.f（x）=－x4 解析：篩選法.答案：A 3.如果質(zhì)點(diǎn)A按規(guī)律s=2t3運(yùn)動(dòng)，則在t=3 s時(shí)的瞬時(shí)速度為 A.6

B.18

C.54

D.81 解析：∵s′=6t2，∴s′|t=3=54.答案：C 4.若拋物線(xiàn)y=x2－x+c上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是－2，拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)恰好過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則c的值為_(kāi)_______.解析：∵y′=2x－1，∴y′|x=－2=－5.6?c又P（－2，6+c），∴=－5.?2∴c=4.答案：4 5.設(shè)函數(shù)f（x）=（x－a）（x－b）（x－c）（a、b、c是兩兩不等的常數(shù)），則

第2頁(yè)（共7頁(yè)）

abc++=________.f?(a)f?(b)f?(c)解析：∵f（x）=x3－（a+b+c）x2+（ab+bc+ca）x－abc，∴f?（x）=3x2－2（a+b+c）x+ab+bc+ca.又f?（a）=（a－b）（a－c），同理f?（b）=（b－a）（b－c），（c－b）.f?（c）=（c－a）代入原式中得值為0.答案：0 ●典例剖析

【例1】（1）設(shè)a＞0，f（x）=ax2+bx+c，曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)P（x0，f（x0））處切線(xiàn)的傾斜角的取值范圍為［0，A.［0，π］，則P到曲線(xiàn)y=f（x）對(duì)稱(chēng)軸距離的取值范圍為 411］

B.［0，］ a2a C.［0，|

b|］ 2a D.［0，|

b?1|］ 2a（2）（2004年全國(guó)，3）曲線(xiàn)y=x3－3x2+1在點(diǎn)（1，－1）處的切線(xiàn)方程為 A.y=3x－4

B.y=－3x+2

C.y=－4x+3

D.y=4x－5 41（3）（2004年重慶，15）已知曲線(xiàn)y=x3+，則過(guò)點(diǎn)P（2，4）的切線(xiàn)方程是______.33（4）（2004年湖南，13）過(guò)點(diǎn)P（－1，2）且與曲線(xiàn)y=3x2－4x+2在點(diǎn)M（1，1）處的切線(xiàn)平行的直線(xiàn)方程是______.剖析：本題的各小題都是考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線(xiàn)在該點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率.解析：（1）∵過(guò)P（x0，f（x0））的切線(xiàn)的傾斜角的取值范圍是［0，∴P到曲線(xiàn)y=f（x）對(duì)稱(chēng)軸x=－

π］，4bbb的距離d=x0－（－）=x0+.2a2a2a又∵f?（x0）=2ax0+b∈［0，1］，∴x0∈［?b1?bb1，］.∴d=x0+∈［0，］.2a2a2a2a（2）∵點(diǎn)（1，－1）在曲線(xiàn)上，y′=3x2－6x，∴切線(xiàn)斜率為3×12－6×1=－3.∴所求切線(xiàn)方程為y+1=－3（x－1）.41（3）∵P（2，4）在y=x3+上，33又y′=x2，∴斜率k=22=4.∴所求直線(xiàn)方程為y－4=4（x－2），4x－y－4=0.（4）y′=6x－4，∴切線(xiàn)斜率為6×1－4=2.∴所求直線(xiàn)方程為y－2=2（x+1），即2x－y+4=0.答案：（1）B（2）B（3）4x－y－4=0（4）2x－y+4=0 評(píng)述：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切線(xiàn)的斜率是導(dǎo)數(shù)的一個(gè)基本應(yīng)用.思考討論

導(dǎo)數(shù)除用來(lái)求切線(xiàn)的斜率外，還有哪些方面的應(yīng)用? 答：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用較廣，如求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的極值、最值等.【例2】 曲線(xiàn)y=x3在點(diǎn)（3，27）處的切線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積是多少?

第3頁(yè)（共7頁(yè)）

剖析：求出切線(xiàn)的方程后再求切線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn).解：曲線(xiàn)在點(diǎn)（3，27）處切線(xiàn)的方程為y=27x－54，此直線(xiàn)與x軸、y軸交點(diǎn)分別為（2，0）和（0，－54），∴切線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是S=

1×2×54=54.2評(píng)述：求切線(xiàn)的斜率是導(dǎo)數(shù)的一個(gè)基本應(yīng)用.【例3】 已知曲線(xiàn)C：y=x3－3x2+2x，直線(xiàn)l：y=kx，且直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C相切于點(diǎn)（x0，y0）（x0≠0），求直線(xiàn)l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo).剖析：切點(diǎn)（x0，y0）既在曲線(xiàn)上，又在切線(xiàn)上，由導(dǎo)數(shù)可得切線(xiàn)的斜率.聯(lián)立方程組解之即可.y解：∵直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，則k=0（x0≠1）.x0由點(diǎn)（x0，y0）在曲線(xiàn)C上，則y0=x03－3x02+2x0，y∴0=x02－3x0+2.x0又y′=3x2－6x+2，∴在（x0，y0）處曲線(xiàn)C的切線(xiàn)斜率應(yīng)為k=f?（x0）=3x02－6x0+2.∴x02－3x0+2=3x02－6x0+2.整理得2x02－3x0=0.解得x0=3（∵x0≠0）.231這時(shí)，y0=－，k=－.84因此，直線(xiàn)l的方程為y=－

133x，切點(diǎn)坐標(biāo)是（，－）.428評(píng)述：對(duì)于高次函數(shù)凡涉及到切線(xiàn)或其單調(diào)性的問(wèn)題時(shí)，要有求導(dǎo)意識(shí).【例4】 證明：過(guò)拋物線(xiàn)y=a（x－x1）·（x－x2）（a≠0，x1

1.函數(shù)f（x）=（x+1）（x2－x+1）的導(dǎo)數(shù)是 A.x2－x+1

B.（x+1）（2x－1）

C.3x2 D.3x2+1 解析：∵f（x）=x3+1，∴f?（x）=3x2.第4頁(yè)（共7頁(yè)）

答案：C 2.曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（x0，f（x0））處的切線(xiàn)方程為3x+y+3=0，則 A.f?（x0）>0

B.f?（x0）<0 C.f?（x0）=0

D.f?（x0）不存在 解析：由題知f?（x0）=－3.答案：B 3.函數(shù)f（x）=ax3+3x2+2，若f?（－1）=4，則a的值等于________.解析： f?（x）=3ax2+6x，從而使3a－6=4，∴a=答案： 10 310.34.曲線(xiàn)y=2x2+1在P（－1，3）處的切線(xiàn)方程是________________.解析：點(diǎn)P（－1，3）在曲線(xiàn)上，k=f?（－1）=－4，y－3=－4（x+1），4x+y+1=0.答案：4x+y+1=0 5.已知曲線(xiàn)y=x2－1與y=3－x3在x=x0處的切線(xiàn)互相垂直，求x0.解：在x=x0處曲線(xiàn)y=x2－1的切線(xiàn)斜率為2x0，曲線(xiàn)y=3－x3的切線(xiàn)斜率為－3x02.1∵2x0·（－3x02）=－1，∴x0=3.61答案： 3

66.點(diǎn)P在曲線(xiàn)y=x3－x+

2上移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P處切線(xiàn)的傾斜角為?，求?的范圍.3解：∵tan?=3x2－1，∴tan?∈［－1，+∞）.當(dāng)tan?∈［0，+∞）時(shí)，?∈［0，當(dāng)tan?∈［－1，0）時(shí)，?∈［∴?∈［0，π）； 23π，π）.4π3π）∪［，π）.24培養(yǎng)能力

7.曲線(xiàn)y=－x2+4x上有兩點(diǎn)A（4，0）、B（2，4）.求：（1）割線(xiàn)AB的斜率kAB及AB所在直線(xiàn)的方程；

（2）在曲線(xiàn)AB上是否存在點(diǎn)C，使過(guò)C點(diǎn)的切線(xiàn)與AB所在直線(xiàn)平行?若存在，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）kAB=4?0=－2，2?4∴y=－2（x－4）.∴所求割線(xiàn)AB所在直線(xiàn)方程為2x+y－8=0.（2）y?=－2x+4，－2x+4=－2，得x=3，y=－32+3×4=3.∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3），所求切線(xiàn)方程為2x+y－9=0.8.有點(diǎn)難度喲！

若直線(xiàn)y=3x+1是曲線(xiàn)y=x3－a的一條切線(xiàn)，求實(shí)數(shù)a的值.解：設(shè)切點(diǎn)為P（x0，y0），對(duì)y=x3－a求導(dǎo)數(shù)是

第5頁(yè)（共7頁(yè)）

y?=3x2，∴3x02=3.∴x0=±1.（1）當(dāng)x=1時(shí)，∵P（x0，y0）在y=3x+1上，∴y=3×1+1=4，即P（1，4）.又P（1，4）也在y=x3－a上，∴4=13－a.∴a=－3.（2）當(dāng)x=－1時(shí)，∵P（x0，y0）在y=3x+1上，∴y=3×（－1）+1=－2，即P（－1，－2）.又P（－1，－2）也在y=x3－a上，∴－2=（－1）3－a.∴a=1.綜上可知，實(shí)數(shù)a的值為－3或1.9.確定拋物線(xiàn)方程y=x2+bx+c中的常數(shù)b和c，使得拋物線(xiàn)與直線(xiàn)y=2x在x=2處相切.解：y?=2x+b，k=y′|x=2=4+b=2，∴b=－2.又當(dāng)x=2時(shí)，y=22+（－2）×2+c=c，代入y=2x，得c=4.探究創(chuàng)新

10.有點(diǎn)難度喲！

曲線(xiàn)y=x3+3x2+6x－10的切線(xiàn)中，求斜率最小的切線(xiàn)方程.解：y?=3x2+6x+6=3（x+1）2+3，∴x=－1時(shí)，切線(xiàn)最小斜率為3，此時(shí)，y=（－1）3+3×（－1）2+6（－1）－10=－14.∴切線(xiàn)方程為y+14=3（x+1），即3x－y－11=0.●思悟小結(jié)

1.理解導(dǎo)數(shù)的定義及幾何和物理方面的意義是解題的關(guān)鍵.2.非多項(xiàng)式函數(shù)要化成多項(xiàng)式函數(shù)求導(dǎo).3.要注意含有參數(shù)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的寫(xiě)法及研究在不定點(diǎn)處切線(xiàn)問(wèn)題時(shí)切點(diǎn)的設(shè)法.●教師下載中心 教學(xué)點(diǎn)睛 1.f?（x0）=lim(x0??x)?f(x0)的幾種等價(jià)形式：

x?0?xf(x)?f(x0)f?（x0）=limx?x0x?x0h?0=lim=limf(x0?h)?f(x0)

hf(x0)?f(x0?h)

hh?02.曲線(xiàn)C：y=f（x）在其上一點(diǎn)P（x0，f（x0））處的切線(xiàn)方程為 y－f（x0）=f?（x0）（x－x0）.3.若質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s=s（t），則質(zhì)點(diǎn)在t=t0時(shí)的瞬時(shí)速度為v=s?（t0）.這就是導(dǎo)數(shù)的物理意義.4.直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，并不一定只有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)曲線(xiàn)是二次曲線(xiàn)時(shí)，由解析幾何知，直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，即切點(diǎn).第6頁(yè)（共7頁(yè)）

拓展題例

【例題】 曲線(xiàn)y=x2+1上過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)與曲線(xiàn)y=－2x2－1相切，求點(diǎn)P的坐標(biāo).解：設(shè)P（x0，y0），由題意知曲線(xiàn)y=x2+1在P點(diǎn)的切線(xiàn)斜率為k=2x0，切線(xiàn)方程為y=2x0x+1－x02，而此直線(xiàn)與曲線(xiàn)y=－2x2－1相切，∴切線(xiàn)與曲線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程2x2+2x0x+2－x02=0的判別式 Δ=4x02－2×4×（2－x02）=0.解得x0=±273，y0=.332723，）或（－

333∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，7）.3第7頁(yè)（共7頁(yè)）

第三篇：高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理配套講義15 函數(shù)與方程、函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

微專(zhuān)題15　函數(shù)與方程、函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

命

題

者

說(shuō)

考

題

統(tǒng)

計(jì)

考

情

點(diǎn)

擊

2018·全國(guó)卷Ⅰ·T9·函數(shù)的零點(diǎn)

2018·全國(guó)卷Ⅲ·T15·函數(shù)的零點(diǎn)

2018·浙江高考·T11·方程組的實(shí)際應(yīng)用

2017·全國(guó)卷Ⅲ·T11·函數(shù)的零點(diǎn)

從近5年高考情況來(lái)看，本部分內(nèi)容一直是高考的熱點(diǎn)，尤其是對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根的個(gè)數(shù)的判定及利用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)是否存在和零點(diǎn)存在區(qū)間的考查較為頻繁，一般會(huì)將本部分內(nèi)容知識(shí)與函數(shù)的圖象和性質(zhì)結(jié)合起來(lái)考查，綜合性較強(qiáng)，一般以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，解題時(shí)要充分利用函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等思想。

考向一

判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)或所在區(qū)間

【例1】(1)函數(shù)f

(x)＝log2x－的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()

A．

B．

C．(1,2)

D．(2,3)

(2)函數(shù)f

(x)＝4cos2cos－2sinx－|ln(x＋1)|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______。

解析(1)函數(shù)f

(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，且函數(shù)f

(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)。f

＝log2－＝－1－2＝－3<0，f

(1)＝log21－＝0－1<0，f

(2)＝log22－＝1－＝>0，f

(3)＝log23－>1－＝>0，即f

(1)·f

(2)<0，所以函數(shù)f

(x)＝log2x－的零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)。故選C。

(2)f

(x)＝4cos2sinx－2sinx－|ln(x＋1)|＝2sinx·－|ln(x＋1)|＝sin2x－|ln(x＋1)|，令f

(x)＝0，得sin2x＝|ln(x＋1)|。在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)y＝sin2x與函數(shù)y＝|ln(x＋1)|的大致圖象如圖所示。令ln(x＋1)＝1，則x＝e－1。觀(guān)察圖象可知，兩函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)f

(x)有2個(gè)零點(diǎn)。

答案(1)C(2)2

(1)函數(shù)零點(diǎn)(即方程的根)的確定問(wèn)題，常見(jiàn)的類(lèi)型有：

①函數(shù)零點(diǎn)值大致存在區(qū)間的確定。

②零點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定。

③兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或有幾個(gè)交點(diǎn)的確定。

(2)判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的主要方法：

①解方程f

(x)＝0，直接求零點(diǎn)。

②利用零點(diǎn)存在定理。

③數(shù)形結(jié)合法：對(duì)于給定的函數(shù)不能直接求解或畫(huà)出圖形，常會(huì)通過(guò)分解轉(zhuǎn)化為兩個(gè)能畫(huà)出的函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題。

變|式|訓(xùn)|練

1．(2018·南寧摸底)設(shè)函數(shù)f

(x)＝lnx－2x＋6，則f

(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

A．3

B．2

C．1

D．0

解析　令f

(x)＝0，則lnx＝2x－6，令g(x)＝lnx，h(x)＝2x－6(x>0)，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖所示，兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)就等于函數(shù)f

(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，容易看出函數(shù)f

(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2，故選B。

答案　B

2．已知函數(shù)f

(x)滿(mǎn)足：①定義域?yàn)镽；②?x∈R，都有f

(x＋2)＝f

(x)；③當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，f

(x)＝－|x|＋1，則方程f

(x)＝log2|x|在區(qū)間[－3,5]內(nèi)解的個(gè)數(shù)是()

A．5　　　　B．6

C．7　　　　D．8

解析　畫(huà)出函數(shù)圖象如圖所示，由圖可知，共有5個(gè)解。故選A。

答案　A

考向二

根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)的范圍

【例2】　已知函數(shù)f

(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零點(diǎn)，則a＝()

A．－　　　B．

C．　　　D．1

解析　解法一：令f

(x)＝0，則x2－2x＝－a(ex－1＋e－x＋1)，設(shè)g(x)＝ex－1＋e－x＋1，則g′(x)＝ex－1－e－x＋1＝ex－1－＝，當(dāng)g′(x)＝0時(shí)，x＝1，故當(dāng)x<1時(shí)，g′(x)<0，函數(shù)g(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減，當(dāng)x>1時(shí)，g′(x)>0，函數(shù)g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)g(x)取得最小值2，設(shè)h(x)＝x2－2x，當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)h(x)取得最小值－1，若－a<0，h(1)＝－ag(1)時(shí)，此時(shí)函數(shù)h(x)和－ag(x)有一個(gè)交點(diǎn)，即－a×2＝－1?a＝。故選C。

解法二：f

(2－x)＝(2－x)2－2(2－x)＋a[e2－x－1＋e－(2－x)＋1]＝x2－2x＋a(e1－x＋ex－1)＝f

(x)，所以f

(x)的圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱(chēng)，而f

(x)有唯一的零點(diǎn)，則f

(x)的零點(diǎn)只能為x＝1，即f

(1)＝－1＋2a＝0，解得a＝。故選C。

答案　C

利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法

(1)利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解。

(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域(最值)問(wèn)題求解。

(3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式求解。

變|式|訓(xùn)|練

已知在區(qū)間(0,2]上的函數(shù)f

(x)＝且g(x)＝f

(x)－mx在區(qū)間(0,2]內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

A．∪

B．∪

C．∪

D．∪

解析

由函數(shù)g(x)＝f

(x)－mx在(0,2]內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，得y＝f

(x)，y＝mx在(0,2]內(nèi)的圖象有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。當(dāng)y＝mx與y＝－3在x∈(0,1]相切時(shí)，mx2＋3x－1＝0，Δ＝9＋4m＝0，m＝－，結(jié)合圖象可得當(dāng)－

(x)－mx在(0,2]內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)。故選A。

答案　A

考向三

函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

【例3】(1)某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位：萬(wàn)人)的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線(xiàn)圖。

根據(jù)該折線(xiàn)圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A．月接待游客量逐月增加

B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D．各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn)

(2)某工廠(chǎng)某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬(wàn)元，每生產(chǎn)x千件該產(chǎn)品需另投入的成本為G(x)(單位：萬(wàn)元)，當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時(shí)，G(x)＝x2＋10x；當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時(shí)，G(x)＝51x＋－1

450。已知每件產(chǎn)品的售價(jià)為0.05萬(wàn)元。通過(guò)市場(chǎng)分析，該工廠(chǎng)生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完，則該工廠(chǎng)在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤(rùn)的最大值是________萬(wàn)元。

解析(1)通過(guò)題圖可知A不正確，并不是逐月增加，但是每一年是遞增的，從圖觀(guān)察C是正確的，D也正確，1～6月比較平穩(wěn)，7～12月波動(dòng)較大。故選A。

(2)因?yàn)槊考a(chǎn)品的售價(jià)為0.05萬(wàn)元，所以x千件產(chǎn)品的銷(xiāo)售額為0.05×1

000x＝50x(萬(wàn)元)。①當(dāng)0

450－250＝1

200－≤1

200－2＝1

200－200＝1

000，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝100時(shí)，L(x)取得最大值1

000萬(wàn)元。由于950<1

000，所以當(dāng)產(chǎn)量為100千件時(shí)，該工廠(chǎng)在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤(rùn)最大，最大年利潤(rùn)為1

000萬(wàn)元。

答案(1)A(2)1

000

解決函數(shù)實(shí)際應(yīng)用題的2個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)

(1)認(rèn)真讀題，縝密審題，準(zhǔn)確理解題意，明確問(wèn)題的實(shí)際背景，然后進(jìn)行科學(xué)地抽象概括，將實(shí)際問(wèn)題歸納為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

(2)要合理選取參變量，設(shè)定變量之后，就要尋找它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，選用恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式表示問(wèn)題中的關(guān)系，建立相應(yīng)的函數(shù)模型，最終求解數(shù)學(xué)模型使實(shí)際問(wèn)題獲解。

變|式|訓(xùn)|練

1．(2018·昆明調(diào)研)下圖是1951～2016年我國(guó)年平均氣溫變化圖。

根據(jù)上圖，下列結(jié)論正確的是()

A．1951年以來(lái)，我國(guó)年平均氣溫逐年增高

B．1951年以來(lái)，我國(guó)年平均氣溫在2016年再創(chuàng)新高

C．2000年以來(lái)，我國(guó)年平均氣溫都高于1981～2010年的平均值

D．2000年以來(lái)，我國(guó)年平均氣溫的平均值高于1981～2010年的平均值

解析　由1951～2016年我國(guó)年平均氣溫變化圖可以看出，年平均氣溫有升高的也有降低的，所以A錯(cuò)誤；2016年的年平均氣溫不是最高的，所以B錯(cuò)誤；2012年的年平均氣溫低于1981～2010年的平均值，所以C錯(cuò)誤；2000年以來(lái)，只有2012年的年平均氣溫低于1981～2010年的平均值，所以2000年以來(lái)，我國(guó)年平均氣溫的平均值高于1981～2010年的平均值，故D正確。故選D。

答案　D

2．(2018·馬鞍山一模)某高校為提升科研能力，計(jì)劃逐年加大科研經(jīng)費(fèi)投入。若該高校2017年全年投入科研經(jīng)費(fèi)1

300萬(wàn)元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的科研經(jīng)費(fèi)比上一年增長(zhǎng)12%，則該高校全年投入的科研經(jīng)費(fèi)開(kāi)始超過(guò)2

000萬(wàn)元的年份是________。(參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)()

A．2020年

B．2021年

C．2022年

D．2023年

解析　若2018年是第一年，則第n年科研費(fèi)為1

300×1.12n，由1

300×1.12n>2

000，可得lg1.3＋nlg1.12>lg2，得n×0.05>0.19，n>3.8，n≥4，即4年后，到2021年科研經(jīng)費(fèi)超過(guò)2

000萬(wàn)元。故選B。

答案　B

1．(考向一)(2018·昆明調(diào)研)已知函數(shù)f

(x)＝則函數(shù)f

(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______。

解析　解法一：當(dāng)x>1時(shí)，由log2(x－1)＝0得x＝2，即x＝2為函數(shù)f

(x)在區(qū)間(1，＋∞)上的一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)x≤1時(shí)，因?yàn)閒

(x)＝x3－3x＋1，所以f

′(x)＝3x2－3，由f

′(x)＝0得x＝－1或x＝1，因?yàn)楫?dāng)x<－1時(shí)，f

′(x)>0，當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，f

′(x)≤0，所以x＝－1為函數(shù)f

(x)＝x3－3x＋1在(－∞，1]上的極大值點(diǎn)，因?yàn)閒

(－1)＝3>0，f

(1)＝－1<0，且當(dāng)x→－∞時(shí)，f

(x)→－∞，所以函數(shù)f

(x)＝x3－3x＋1在(－∞，1]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)。綜上，函數(shù)f

(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3。

解法二：當(dāng)x>1時(shí)，作出函數(shù)y＝log2(x－1)的圖象如圖①所示，當(dāng)x≤1時(shí)，由f

(x)＝x3－3x＋1＝0得，x3＝3x－1，在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y＝x3和y＝3x－1的圖象如圖②所示，由圖①，②可知函數(shù)f

(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3。

答案　3

2．(考向一)(2018·洛陽(yáng)統(tǒng)考)已知函數(shù)f

(x)滿(mǎn)足f

(1－x)＝f

(1＋x)＝f

(x－1)(x∈R)，且當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f

(x)＝2x－1，則方程|cosπx|－f

(x)＝0在[－1,3]上的所有根之和為()

A．8

B．9

C．10

D．11

解析　方程|cosπx|－f

(x)＝0在[－1,3]上的所有根之和即y＝|cosπx|與y＝f

(x)在[－1,3]上的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和。由f

(1－x)＝f

(1＋x)得f

(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝1對(duì)稱(chēng)，由f

(1－x)＝f

(x－1)得f

(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，由f

(1＋x)＝f

(x－1)得f

(x)的一個(gè)周期為2，而當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f

(x)＝2x－1，在同一坐標(biāo)系中作出y＝f

(x)和y＝|cosπx|在[－1,3]上的大致圖象，如圖所示。易知兩圖象在[－1,3]上共有11個(gè)交點(diǎn)，又y＝f

(x)，y＝|cosπx|的圖象都關(guān)于直線(xiàn)x＝1對(duì)稱(chēng)，故這11個(gè)交點(diǎn)也關(guān)于直線(xiàn)x＝1對(duì)稱(chēng)，故所有根之和為11。故選D。

答案　D

3．(考向二)已知函數(shù)f

(x)＝－kx2(x∈R)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()

A．(－∞，0)

B．(－∞，1)

C．(0,1)

D．(1，＋∞)

解析　因?yàn)閤＝0是函數(shù)f

(x)的零點(diǎn)，則函數(shù)f

(x)＝－kx2(k∈R)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)于方程k＝有三個(gè)不同的根，即方程＝|x|(x＋2)有三個(gè)不同的根。記函數(shù)g(x)＝|x|(x＋2)＝由題意y＝與y＝g(x)有三個(gè)不同的交點(diǎn)，作圖可知(圖略)0<<1，所以k>1。故選D。

答案　D

4．(考向二)(2018·四川統(tǒng)考)函數(shù)f

(x)＝若關(guān)于x的方程2f

2(x)－(2a＋3)f

(x)＋3a＝0有五個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是()

A．(1,2)

B．

C．

D．∪

解析

作出f

(x)＝|x|＋1，x≠0的圖象如圖所示。設(shè)t＝f

(x)，則原方程化為2t2－(2a＋3)t＋3a＝0，由圖象可知，若關(guān)于x的方程2f

2(x)－(2a＋3)f

(x)＋3a＝0有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，只有當(dāng)直線(xiàn)y＝a與函數(shù)y＝f

(x)的圖象有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)時(shí)才滿(mǎn)足條件，所以10，解得a≠，綜上，得1

答案　D

5．(考向三)(2018·西城模擬)在標(biāo)準(zhǔn)溫度和大氣壓下，人體血液中氫離子的物質(zhì)的量的濃度(單位：mol/L，記作[H＋])和氫氧根離子的物質(zhì)的量的濃度(單位：mol/L，記作[OH－])的乘積等于常數(shù)10－14。已知pH值的定義為pH＝－lg[H＋]，健康人體血液的pH值保持在7.35～7.45之間，那么健康人體血液中的可以為_(kāi)_______。(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.30，lg3≈0.48)()

A．　　　　B．

C．　　　　D．

解析　因?yàn)閇H＋]·[OH－]＝10－14，所以＝[H＋]2×1014，因?yàn)?.35<－lg[H＋]<7.45，所以10－7.45<[H＋]<10－7.35，所以10－0.9<＝1014·[H＋]2<10－0.7,10－0.9＝>，lg100.7＝0.7>lg3>lg2，所以100.7>3>2,10－0.7<<，所以<<。故選C。

答案　C

第四篇：高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理配套講義17 數(shù)學(xué)文化與高考命題

微專(zhuān)題17　命題有章——數(shù)學(xué)文化與高考命題

教育部考試中心函件《關(guān)于2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知》要求“增加中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的考核內(nèi)容，積極培育和踐行社會(huì)主義核心價(jià)值觀(guān)，充分發(fā)揮高考命題的育人功能和積極導(dǎo)向作用。比如，在數(shù)學(xué)中增加數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容”。因此，我們特別策劃了此專(zhuān)題，將數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合，選取典型樣題深度解讀

考|題|統(tǒng)|計(jì)

卷別

題型

題號(hào)

考查角度

2018年全國(guó)卷Ⅰ

選擇題

10題

幾何概型

2018年全國(guó)卷Ⅱ

選擇題

8題

古典概型

2018年全國(guó)卷Ⅲ

選擇題

3題

三視圖

2018年北京高考

選擇題

4題

等比數(shù)列

預(yù)測(cè)1：古代數(shù)學(xué)書(shū)籍《九章算術(shù)》《數(shù)書(shū)九章》等書(shū)為背景的數(shù)學(xué)文化類(lèi)題目。

預(yù)測(cè)2：與高等數(shù)學(xué)相銜接的題目，如幾類(lèi)特殊的函數(shù)：取整函數(shù)、狄利克雷函數(shù)、符號(hào)函數(shù)。

預(yù)測(cè)3：以課本閱讀和課后習(xí)題為背景的數(shù)學(xué)文化類(lèi)題目：輾轉(zhuǎn)相除法、更相減損術(shù)、秦九韶算法、進(jìn)位制、割圓術(shù)、阿氏圓等。

預(yù)測(cè)4：以中外一些經(jīng)典的數(shù)學(xué)問(wèn)題為背景的題目，如：回文數(shù)、匹克定理、哥尼斯堡七橋問(wèn)題、四色猜想等經(jīng)典數(shù)學(xué)小問(wèn)題。

考向一

數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化

【例1】(2018·安徽模擬)中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責(zé)之粟五斗。羊主曰：“我羊食半馬?！瘪R主曰：“我馬食半牛?！苯裼斨?，問(wèn)各出幾何？此問(wèn)題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償5斗粟。羊主人說(shuō)：“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半?！瘪R主人說(shuō)：“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半?！贝蛩惆创吮嚷蕛斶€，他們各應(yīng)償還多少？已知牛、馬、羊的主人各應(yīng)償還粟a升，b升，c升，1斗為10升，則下列判斷正確的是()

A．a(chǎn)，b，c成公比為2的等比數(shù)列，且a＝

B．a(chǎn)，b，c成公比為2的等比數(shù)列，且c＝

C．a(chǎn)，b，c成公比為的等比數(shù)列，且a＝

D．a(chǎn)，b，c成公比為的等比數(shù)列，且c＝

【解析】　由題意可得，a，b，c成公比為的等比數(shù)列，b＝a，c＝b，三者之和為50升，故4c＋2c＋c＝50，解得c＝。故選D。

【答案】　D

本題以《九章算術(shù)》為背景考查我國(guó)優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化，意在考查考生的閱讀理解能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

【美題嘗試1】(2017·全國(guó)卷Ⅱ)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈()

A．1盞

B．3盞

C．5盞

D．9盞

解析　由題意知由上到下各層燈數(shù)組成一個(gè)等比數(shù)列，該數(shù)列前7項(xiàng)和S7＝381，公比q＝2。設(shè)塔頂層的燈的盞數(shù)為a1，則有S7＝＝381，解得a1＝3。故選B。

答案　B

考向二

三角函數(shù)中的數(shù)學(xué)文化

【例2】　在古希臘數(shù)學(xué)家海倫的著作《測(cè)地術(shù)》中記載了著名的海倫公式，利用三角形的三邊長(zhǎng)求三角形的面積。若三角形的三邊分別為a，b，c，則其面積S＝，這里p＝。已知在△ABC中，BC＝6，AB＝2AC，則當(dāng)△ABC的面積最大時(shí)，sinA＝________。

【解析】　設(shè)AC＝x，AB＝2x，則由海倫公式得

S＝

＝

＝

≤·＝12，當(dāng)且僅當(dāng)x2－4＝36－x2，即x＝2，即AC＝2，AB＝4時(shí)不等式取等號(hào)。所以△ABC的面積的最大值為12，此時(shí)由余弦定理得cosA＝＝，故sinA＝＝。

【答案】

本題具有一定的綜合性，考查的知識(shí)點(diǎn)較多，涉及基本不等式、余弦定理以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系。求解本題的關(guān)鍵是在“設(shè)元”的基礎(chǔ)上，根據(jù)所給三角形面積的計(jì)算公式寫(xiě)出△ABC的面積的表達(dá)式，并利用基本不等式確定最值。

【美題嘗試2】(2017·浙江高考)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”可以估算圓周率π，理論上能把π的值計(jì)算到任意精度。祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術(shù)”，將π的值精確到小數(shù)點(diǎn)后七位，其結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年?！案顖A術(shù)”的第一步是計(jì)算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積S6，S6＝________。

解析　如圖，連接正六邊形的對(duì)角線(xiàn)，將正六邊形分成六個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形，從而S6＝6××12×sin60°＝。

答案

考向三

算法中的數(shù)學(xué)文化

【例3】(2018·貴陽(yáng)監(jiān)測(cè))我國(guó)明朝數(shù)學(xué)家程大位著的《算法統(tǒng)宗》里有一道聞名世界的題目：“一百饅頭一百僧，大僧三個(gè)更無(wú)爭(zhēng)，小僧三人分一個(gè)，大小和尚各幾丁？”如圖所示的程序框圖反映了對(duì)此題的一個(gè)求解算法，則輸出的n的值為()

A．20

B．25

C．30

D．35

【解析】　解法一：執(zhí)行程序框圖，n＝20，m＝80，S＝60＋＝86≠100；n＝21，m＝79，S＝63＋＝89≠100；n＝22，m＝78，S＝66＋＝92≠100；n＝23，m＝77，S＝69＋＝94≠100；n＝24，m＝76，S＝72＋＝97≠100；n＝25，m＝75，S＝75＋＝100，退出循環(huán)。所以輸出的n＝25。

解法二：設(shè)大和尚有x個(gè)，小和尚有y個(gè)，則解得根據(jù)程序框圖可知，n的值即大和尚的人數(shù)，所以n＝25。

【答案】　B

《算法統(tǒng)宗》是我國(guó)古代一部數(shù)學(xué)巨著，本題通過(guò)“僧人分饅頭”體現(xiàn)了方程思想，也折射出古代人民的智慧，增強(qiáng)了我們的民族自豪感。

【美題嘗試3】　秦九韶是我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，普州安岳(現(xiàn)四川省安岳縣)人，他在所著的《數(shù)書(shū)九章》中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法，如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例，若輸入n，x的值分別為4,3，則輸出v的值為()

A．20　　　B．61

C．183

D．548

解析　初始值n，x的值分別為4,3，程序運(yùn)行過(guò)程如下：v＝1，i＝3≥0，v＝1×3＋3＝6，i＝2≥0；v＝6×3＋2＝20，i＝1≥0；v＝20×3＋1＝61，i＝0≥0；v＝61×3＋0＝183，i＝－1<0，跳出循環(huán)，輸出v的值為183。故選C。

答案　C

考向四

立體幾何中的數(shù)學(xué)文化

【例4】(2018·全國(guó)卷Ⅲ)中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái)。構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭。若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是()

A　　　　　　　　　　B

C　　　　　　　　　　D

【解析】　由題意知，在咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件中，從俯視方向看，榫頭看不見(jiàn)，所以是虛線(xiàn)，結(jié)合榫頭的位置知選A。

【答案】　A

本題通過(guò)三視圖考查了古代建筑的木件結(jié)構(gòu)。如果考生對(duì)木件結(jié)構(gòu)沒(méi)有一定的認(rèn)識(shí)，缺乏常見(jiàn)的生活常識(shí)，想象不出木件結(jié)構(gòu)的構(gòu)成就很難答對(duì)本題，這也體現(xiàn)了高考對(duì)考生社會(huì)實(shí)踐能力不斷提高要求的趨勢(shì)。

【美題嘗試4】　祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”?！皟纭笔墙孛娣e，“勢(shì)”是幾何體的高，意思是兩個(gè)等高的幾何體，若在等高處截面的面積恒相等，則體積相等。已知某不規(guī)則幾何體與如下三視圖所對(duì)應(yīng)的幾何體滿(mǎn)足“冪勢(shì)同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為()

A．4－

B．8－

C．8－π

D．8－2π

解析　由祖暅原理可知，該不規(guī)則幾何體的體積與已知三視圖的幾何體體積相等。根據(jù)題設(shè)所給的三視圖，可知題圖中的幾何體是從一個(gè)正方體中挖去一個(gè)半圓柱，正方體的體積為23＝8，半圓柱的體積為×(π×12)×2＝π，因此該不規(guī)則幾何體的體積為8－π，故選C。

答案　C

考向五

概率中的數(shù)學(xué)文化

【例5】(2018·全國(guó)卷Ⅰ)如圖來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形。此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC?！鰽BC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ。在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則()

A．p1＝p2

B．p1＝p3

C．p2＝p3

D．p1＝p2＋p3

【解析】　解法一：設(shè)直角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a2＝b2＋c2，則區(qū)域Ⅰ的面積為S1＝bc，區(qū)域Ⅱ的面積S2＝π×2＋π×2－＝π(c2＋b2－a2)＋bc＝bc，所以S1＝S2，由幾何概型的知識(shí)知p1＝p2，故選A。

解法二：不妨設(shè)△ABC為等腰直角三角形，AB＝AC＝2，則BC＝2，所以區(qū)域Ⅰ的面積為S1＝×2×2＝2，區(qū)域Ⅱ的面積S2＝π×12－＝2，區(qū)域Ⅲ的面積S3＝－2＝π－2。根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式，得p1＝p2＝，p3＝，所以p1≠p3，p2≠p3，p1≠p2＋p3，故選A。

【答案】　A

從中國(guó)古代文學(xué)作品中選取素材考查數(shù)學(xué)問(wèn)題，豐富了數(shù)學(xué)文化題的取材途徑。試題插圖的創(chuàng)新是本題的一個(gè)亮點(diǎn)，其一，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)問(wèn)題的生活化，使數(shù)學(xué)的應(yīng)用更貼近考生的生活實(shí)際；其二，有利于考生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，這對(duì)穩(wěn)定考生在考試中的情緒和心態(tài)起到了較好的效果；其三，探索了數(shù)學(xué)試題插圖的新形式，給出了如何將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀(guān)化的范例。

【美題嘗試5】　一種電子計(jì)時(shí)器顯示時(shí)間的方式如圖所示，每一個(gè)數(shù)字都在固定的全等矩形“顯示池”中顯示，且每個(gè)數(shù)字都由若干個(gè)全等的深色區(qū)域“”組成。已知在一個(gè)顯示數(shù)字8的顯示池中隨機(jī)取一點(diǎn)A，點(diǎn)A落在深色區(qū)域內(nèi)的概率為，若在一個(gè)顯示數(shù)字0的顯示池中隨機(jī)取一點(diǎn)B，則點(diǎn)B落在深色區(qū)域內(nèi)的概率為()

A．

B．

C．

D．

解析　由于數(shù)字“8”是由7個(gè)深色區(qū)域組成，由P(A)＝，得整個(gè)矩形顯示池的面積為14個(gè)深色區(qū)域的面積，而數(shù)字“0”是由6個(gè)深色區(qū)域組成，則P(B)＝＝。故選C。

答案　C

考向六

現(xiàn)代科技中的數(shù)學(xué)文化

【例6】(2017·全國(guó)卷Ⅰ)幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件。為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng)。這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案：已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一項(xiàng)是20，接下來(lái)的兩項(xiàng)是20，21，再接下來(lái)的三項(xiàng)是

20，21，22，依此類(lèi)推。求滿(mǎn)足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪。那么該款軟件的激活碼是()

A．440

B．330

C．220

D．110

【解析】　分段考慮數(shù)列1；1,2；1,2,4；…；1,2，…，2k－1；…該數(shù)列的前1＋2＋…＋k＝項(xiàng)的和為S＝1＋(1＋2)＋…＋(1＋2＋…＋2k－1)＝(20－1)＋(21－1)＋…＋(2k－1)＝2k＋1－k－2。要使得>100，又k∈N，則有k≥14，此時(shí)k＋2<2k＋1，所以k＋2是之后的等比數(shù)列1,2，…，2k＋1的部分和，也即k＋2＝1＋2＋…＋2s－1＝2s－1，所以k＝2s－3≥14，滿(mǎn)足題意的最小的s＝5，此時(shí)k＝25－3＝29，對(duì)應(yīng)最小的滿(mǎn)足條件的N為＋5＝440。

【答案】　A

本題以大學(xué)生創(chuàng)業(yè)為背景設(shè)計(jì)一道具有時(shí)代意義的試題，將歸納推理和演繹推理有機(jī)地結(jié)合在了一起，考查了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

【美題嘗試6】　根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361，而可觀(guān)測(cè)宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080。則下列各數(shù)中與最接近的是()

(參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48)

A．1033

B．1053

C．1073

D．1093

解析　因?yàn)椋?0，所以lg＝lg＝lg3361－lg1080＝361lg3－80≈93.28。所以≈1093。故選D。

答案　D

第五篇：2013高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)3.1 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算精品教學(xué)案(教師版)新人教版

2013年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品教學(xué)案3.1 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算（新課

標(biāo)人教版，教師版）

【考綱解讀】

1．導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義（1）了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景．（2）理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義． 2．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

23（1）能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，求函數(shù)y?c,y?x,y?x,y?x,y?1,y?x的導(dǎo)數(shù)． x（2）能利用下面給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．

（3）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和常用的導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式：，(C)??0（C為常數(shù)）(xn)??nxn?1(n???);(sinx)??cosx;(cosx)???sinx;1(ex)??ex;(ax)??axlna(a?0,且a?1);(lnx)??;x1(logax)??logae(a?0,且a?1)x ·法則1： ·法則2：

?u(x)?v(x)???u?(x)?v?(x)

?u(x)v(x)???u?(x)v(x)?u(x)v?(x)

(v(x)?0)??u(x)?u?(x)v(x)?u(x)v?(x)·法則3：??v(x)???v2(x)??【要點(diǎn)梳理】 1.導(dǎo)數(shù)的概念

(1)f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)就是f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率，記作:y/|x?x0或f(x0),即f(x0)=

/

/?x?0limf(x0??x)?f(x0)?x.(2)當(dāng)把上式中的x0看作變量x時(shí), f(x)即為f(x)的導(dǎo)函數(shù),簡(jiǎn)稱(chēng)導(dǎo)數(shù),即

/y'?f'(x)=lim?x?0f(x??x)?f(x).?x2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:函數(shù)f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)就是曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線(xiàn)的斜率k= f(x0),切線(xiàn)方程為y?y0?f'(x0)(x?x0)./3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

(xn)??nxn?1(n???);(sinx)??cosx;(cosx)???sinx;1(ex)??ex;(ax)??axlna(a?0,且a?1);(lnx)??;x1(logax)??logae(a?0,且a?1)x4.兩個(gè)函數(shù)的四則運(yùn)算法則 若u(x),v(x)的導(dǎo)數(shù)都存在,則 法則1：法則2：

?u(x)?v(x)???u?(x)?v?(x)

?u(x)v(x)???u?(x)v(x)?u(x)v?(x)

(v(x)?0).??u(x)?u?(x)v(x)?u(x)v?(x)法則3：??v(x)???v2(x)??【例題精析】

考點(diǎn)一 導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義

例1.（2012年高考新課標(biāo)全國(guó)卷文科13）曲線(xiàn)y=x(3lnx+1)在點(diǎn)(1,1)處的切線(xiàn)方程為_(kāi)_______ 2

1.（2011年高考江西卷文科4)曲線(xiàn)y?ex在點(diǎn)A（0,1）處的切線(xiàn)斜率為（）A.1 B.2 C.e D.e

1???例2.(2010年高考全國(guó)2卷理數(shù)10）若曲線(xiàn)y?x在點(diǎn)?a,a2?處的切線(xiàn)與兩個(gè)坐標(biāo)圍

???12成的三角形的面積為18，則a?（）

（A）64（B）32（C）16（D）8

422.(2010年高考江西卷文科4)若函數(shù)f(x)?ax?bx?c滿(mǎn)足f'(1)?2，則f'(?1)?（）

A．?1 B．?2 C．2 D．0 【課時(shí)作業(yè)】

1.（山東省濟(jì)南一中2012屆高三上學(xué)期期末）設(shè)曲線(xiàn)y?直線(xiàn)ax?y?1?0垂直，則a?()A．2 B． ?2

C． ?x?1在點(diǎn)（3，2）處的切線(xiàn)與x?11 2

D.2

2.(2010年高考寧夏卷文科4)曲線(xiàn)y?x2?2x?1在點(diǎn)（1,0）處的切線(xiàn)方程為()（A）y?x?1

（B）y??x?1

（C）y?2x?2（D）y??2x?2 【答案】A 【解析】y??3x2?2，所以k?y?x?1?1，所以選A．

3．（2010年高考全國(guó)卷Ⅱ文科7）若曲線(xiàn)y?x2?ax?b在點(diǎn)(0,b)處的切線(xiàn)方程是x?y?1?0，則()（A）a?1,b?1(B)a??1,b?1(C)a?1,b??1(D)a??1,b??1 【答案】A 【解析】∵ y??2x?ax?0?a，∴ a?1，(0,b)在切線(xiàn)x?y?1?0，∴ b?1.4.(2010年全國(guó)高考寧夏卷3）曲線(xiàn)y?x在點(diǎn)（-1，-1）處的切線(xiàn)方程為()x?2（A）y=2x+1(B)y=2x-1 C y=-2x-3 D.y=-2x-2

5．（2010年高考遼寧卷文科12）已知點(diǎn)P在曲線(xiàn)y?的傾斜角，則?的取值范圍是()(A)[0,【答案】D

4上，?為曲線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)xe?1????3?3?](D)[,?))(B)[,)（C）(,422444 4

4ex41x【解析】y???2x，???e??2,??1?y??0，即?1?tan??0，x1e?2ex?1eex?2?xe3????[,?).46.(福建省福州市2012年3月高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查理科)函數(shù)f(x)?x3?ax(x?R)在x?1處有極值，則曲線(xiàn)y?f(x)在原點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是 ___ __.1.（2011年高考重慶卷文科3)曲線(xiàn)y??x3?3x2在點(diǎn)（1，2）處的切線(xiàn)方程為()A．y?3x?1 C．y?3x?5

B．y??3x?5 D．y?2x

【答案】A 【解析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知：切線(xiàn)的斜率為3，所以切線(xiàn)方程為y?3x?1，選A.2.（2011年高考山東卷文科4)曲線(xiàn)y?x?11在點(diǎn)P(1，12)處的切線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是()(A)-9(B)-3(C)9(D)15

23．(2011年高考全國(guó)卷理科8)曲線(xiàn)y=e的三角形的面積為()(A)

?2x+1在點(diǎn)(0，2)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)y=0和y=x圍成112(B)(C)(D)1 323【答案】A 【解析】：?y'??2e?2x，?k??2，切線(xiàn)方程為y?2??2x

由??y?x?y??2x?22?x??121?3得? 則S??1??.故選A.233?y?2?3?sinx1??在點(diǎn)M(,0)處的切線(xiàn)的斜率為

sinx?cosx244．（2011年高考湖南卷文科7)曲線(xiàn)y?（）A．?1122 B． C．? D． 2222 5.(2012年高考廣東卷理科12)曲線(xiàn)y=x-x+3在點(diǎn)（1，3）處的切線(xiàn)方程為.3【答案】2x?y?1?0

【解析】因?yàn)閥'?3x2?1,所以切線(xiàn)的斜率為2，故所求的切線(xiàn)方程為2x?y?1?0.6.(2012年高考山東卷文科22第1問(wèn))已知函數(shù)f(x)?lnx?k(k為常數(shù)，e=2.71828…是自ex然對(duì)數(shù)的底數(shù))，曲線(xiàn)y?f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)與x軸平行.求k的值.