第一篇：2013高考數(shù)學(xué)(理)一輪復(fù)習(xí)教案：第二篇 函數(shù)與基本初等函數(shù)Ⅰ第7講 函數(shù)圖象

幻燈片1

第7講 函數(shù)圖象

幻燈片2

【2013年高考會(huì)這樣考】 1．考查函數(shù)圖象的識(shí)辨． 2．考查函數(shù)圖象的變換． 3．利用函數(shù)圖象研究函數(shù)性質(zhì)或求兩函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 函數(shù)圖象是研究函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式的重要工具，是數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)，是高考考查的熱點(diǎn)，復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)重點(diǎn)掌握幾種基本初等函數(shù)的圖象，并在審題、識(shí)圖上多下功夫，學(xué)會(huì)分析“數(shù)”與“形”的結(jié)合點(diǎn)，把幾種常見題型的解法技巧理解透徹．

幻燈片3

基礎(chǔ)梳理

1．圖象變換法(1)平移變換 ①水平平移：y＝f(x±a)(a＞0)的圖象，可由y＝f(x)的圖象向(＋)或向(－)平移 單位而得到． ②豎直平移：y＝f(x)±b(b＞0)的圖象，可由y＝f(x)的圖象向(＋)或向(－)平移 單位而得到．

左

右

a個(gè)

上

下 b個(gè)

幻燈片4

(2)對(duì)稱變換 ①y＝f(－x)與y＝f(x)的圖象關(guān)于 對(duì)稱． ②y＝－f(x)與y＝f(x)的圖象關(guān)于 對(duì)稱． ③y＝－f(－x)與y＝f(x)的圖象關(guān)于 對(duì)稱． 由對(duì)稱變換可利用y＝f(x)的圖象得到y(tǒng)＝|f(x)|與y＝f(|x|)的圖象．

y軸

x軸

原點(diǎn)

幻燈片5

①作出y＝f(x)的圖象，將圖象位于x軸下方的部分以x軸為對(duì)稱軸翻折到上方，其余部分不變，得到y(tǒng)＝|f(x)|的圖象； ②作出y＝f(x)在y軸上及y軸右邊的圖象部分，并作y軸右邊的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的圖象，即得y＝f(|x|)的圖象． ①作出y＝f(x)的圖象，將圖象位于x軸下方的部分以x軸為對(duì)稱軸翻折到上方，其余部分不變，得到y(tǒng)＝|f(x)|的圖象； ②作出y＝f(x)在y軸上及y軸右邊的圖象部分，并作y軸右邊的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的圖象，即得y＝f(|x|)的圖象．

幻燈片6(3)伸縮變換 ①y＝af(x)(a＞0)的圖象，可將y＝f(x)圖象上每點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸(a＞1時(shí))或縮(a＜1時(shí))到原來的a倍，橫坐標(biāo)不變． ②y＝f(ax)(a＞0)的圖象，可將y＝f(x)的圖象上每點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸1(a＜1時(shí))或縮(a＞1時(shí))到原來的倍，縱坐標(biāo)不變． a(4)翻折變換 ①作為y＝f(x)的圖象，將圖象位于x軸下方的部分以x軸為對(duì)稱軸翻折到上方，其余部分不變，得到y(tǒng)＝|f(x)|的圖象； ②作為y＝f(x)在y軸上及y軸右邊的圖象部分，并作y軸右邊的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的圖象，即得y＝f(|x|)的圖象．

幻燈片7

2．等價(jià)變換 例如：作出函數(shù)y＝1－x2的圖象，可對(duì)解析式等價(jià)變形 ?y≥0?22y＝1－x??1－x≥0?y2＝1－x2? ??y≥0??22??y＝1－x ?x2＋y2＝1(y≥0)，可看出函數(shù)的圖象為半圓．此過程可歸納為：(1)寫出函數(shù)解析式的等價(jià)組；(2)化簡等價(jià)組；(3)作圖．

幻燈片8 3．描點(diǎn)法作圖 方法步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)化簡函數(shù)的解析式；(3)討論函數(shù)的性質(zhì)即奇偶性、周期性、單調(diào)性、最值(甚至變化趨勢(shì))；(4)描點(diǎn)連線，畫出函數(shù)的圖象．

幻燈片9

一條主線 數(shù)形結(jié)合的思想方法是學(xué)習(xí)函數(shù)內(nèi)容的一條主線，也是高考考查的熱點(diǎn)．作函數(shù)圖象首先要明確函數(shù)圖象的形狀和位置，而取值、列表、描點(diǎn)、連線只是作函數(shù)圖象的輔助手段，不可本末倒置．

幻燈片10

兩個(gè)區(qū)別(1)一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱與兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱不同，前者是自身對(duì)稱，且為奇函數(shù)，后者是兩個(gè)不同的函數(shù)對(duì)稱．(2)一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱與兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱也不同，前者也是自身對(duì)稱，且為偶函數(shù)，后者也是兩個(gè)不同函數(shù)的對(duì)稱關(guān)系．

幻燈片11 三種途徑 明確函數(shù)圖象形狀和位置的方法大致有以下三種途徑．(1)圖象變換：平移變換、伸縮變換、對(duì)稱變換．(2)函數(shù)解析式的等價(jià)變換．(3)研究函數(shù)的性質(zhì)．

幻燈片12

雙基自測 x＋31．(人教A版教材習(xí)題改編)為了得到函數(shù)y＝lg10的圖象，只需把函數(shù)y＝lg x的圖象上所有的點(diǎn)()． A．向左平移3個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度 B．向右平移3個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度 C．向左平移3個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度 D．向右平移3個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度 x＋3解析 y＝lg＝lg(x＋3)－1可由y＝lg x的圖象向左平移3個(gè)10單位長度，向下平移1個(gè)單位長度而得到． 答案 C

幻燈片13

2．(2011·安徽)若點(diǎn)(a，b)在y＝lg x圖象上，a≠1，則下列點(diǎn)也在此圖象上的是()． ?1?A.?a，b? ?? B．(10a,1－b)D．(a2,2b)?10?C.?a，b＋1? ??解析 本題主要考查對(duì)數(shù)運(yùn)算法則及對(duì)數(shù)函數(shù)圖象，屬于簡單題．當(dāng)x＝a2時(shí)，y＝lg a2＝2lg a＝2b，所以點(diǎn)(a2,2b)在函數(shù)y＝lg x圖象上． 答案 D

幻燈片14 13．函數(shù)y＝1－的圖象是()． x－1

幻燈片15

－1解析 將y＝的圖象向右平移1個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單x1位，即可得到函數(shù)y＝1－的圖象． x－1答案 B

幻燈片16

14．(2011·陜西)函數(shù)y＝x3的圖象是()． 解析 該題考查冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解決此類問題首先是考慮函數(shù)的性質(zhì)，尤其是奇偶性和單調(diào)性，再與函數(shù)y＝x比較即可． 111由(－x)3＝－x3知函數(shù)是奇函數(shù)．同時(shí)由當(dāng)0＜x＜1時(shí)，x3＞x，1當(dāng)x＞1時(shí)，x＜x，知只有B選項(xiàng)符合． 3答案 B

幻燈片17

5．已知圖①中的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y＝f(x)，則圖②的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為()． A．y＝f(|x|)B．y＝|f(x)| C．y＝f(－|x|)D．y＝－f(|x|)解析 ??f?－x?，x≥0，y＝f(－|x|)＝???f?x?，x＜0.答案 C

幻燈片18

考向一 作函數(shù)圖象 【例1】?分別畫出下列函數(shù)的圖象：(1)y＝|lg x|；(2)y＝2x＋2；(3)y＝x2－2|x|－1； x＋2(4)y＝.x－1[審題視點(diǎn)] 象． 根據(jù)函數(shù)性質(zhì)通過平移，對(duì)稱等變換作出函數(shù)圖

幻燈片19

解 ??lg x(1)y＝???－lg x ?x≥1?，圖象如圖①.?0＜x＜1?.(2)將y＝2x的圖象向左平移2個(gè)單位．圖象如圖②.2??x－2x－1(3)y＝?2??x＋2x－1 ?x≥0?.圖象如圖③.?x＜0? 33(4)因y＝1＋，先作出y＝的圖象，將其圖象向右平移1個(gè)xx－1x＋2單位，再向上平移1個(gè)單位，即得y＝的圖象，如圖④.x－1

幻燈片20

(1)熟練掌握幾種基本函數(shù)的圖象，如二次函數(shù)、反1比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、形如y＝x＋x的函數(shù)；(2)掌握平移變換、伸縮變換、對(duì)稱變換、翻折變換、周期變換等常用的方法技巧，來幫助我們簡化作圖過程．

幻燈片21

【訓(xùn)練1】 作出下列函數(shù)的圖象：(1)y＝2x1－1； ＋(2)y＝sin|x|；(3)y＝|log2(x＋1)|.解(1)y＝2x1－1的圖象可由y＝2x的圖象向左平移1個(gè)單位，＋得y＝2x＋1的圖象，再向下平移一個(gè)單位得到y(tǒng)＝2x＋1－1的圖象，如圖①所示．

幻燈片22

(2)當(dāng)x≥0時(shí)，y＝sin|x|與y＝sin x的圖象完全相同，又y＝sin|x|為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，如圖②所示．(3)首先作出y＝log2x的圖象c1，然后將c1向左平移1個(gè)單位，得到y(tǒng)＝log2(x＋1)的圖象c2，再把c2在x軸下方的圖象翻折到x軸上方，即為所求圖象c3：y＝|log2(x＋1)|.如圖③所示(實(shí)線部分)．

幻燈片23

考向二 函數(shù)圖象的識(shí)辨 【例2】?函數(shù)f(x)＝1＋log2x與g(x)＝21x在同一直角坐標(biāo)系下－的圖象大致是()． [審題視點(diǎn)] 在同一個(gè)坐標(biāo)系中判斷兩個(gè)函數(shù)的圖象，可根據(jù) 函數(shù)圖象上的特征點(diǎn)以及函數(shù)的單調(diào)性來判斷．

幻燈片24 解析 f(x)＝1＋log2x的圖象由函數(shù)f(x)＝log2x的圖象向上平移一個(gè)單位而得到，所以函數(shù)圖象經(jīng)過(1,1)點(diǎn)，且為單調(diào)增函數(shù)，顯然，A項(xiàng)中單調(diào)遞增的函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)(1,0)，而不是(1,1)，故不滿足； 函數(shù)g(x)＝21－x＝2×?1???x，其圖象經(jīng)過(0,2)點(diǎn)，且為單調(diào)減函?2?數(shù)，B項(xiàng)中單調(diào)遞減的函數(shù)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)，故不滿足；D項(xiàng)中兩個(gè)函數(shù)都是單調(diào)遞增的，故也不滿足． 綜上所述，排除A，B，D.故選C.答案 C

幻燈片25

函數(shù)圖象的識(shí)辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；(4)從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)． 利用上述方法，排除、篩選錯(cuò)誤與正確的選項(xiàng)．

幻燈片26 【訓(xùn)練2】(2010·山東)函數(shù)y＝2x－x2的圖象大致是()． 解析 當(dāng)x＞0時(shí)，2x＝x2有兩根x＝2,4；當(dāng)x＜0時(shí)，根據(jù)圖象法易得到y(tǒng)＝2x與y＝x2有一個(gè)交點(diǎn)，則y＝2x－x2在R上有3個(gè)零點(diǎn)，故排除B、C；當(dāng)x→－∞時(shí)，2x→0.而x2→＋∞，故y＝2x－x2＜0，故選A.答案 A

幻燈片27

考向三 函數(shù)圖象的應(yīng)用 【例3】?已知函數(shù)f(x)＝|x2－4x＋3|.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，并指出其增減性；(2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四個(gè)不相等的實(shí)根}． [審題視點(diǎn)] 作出函數(shù)圖象，由圖象觀察． 幻燈片28

?解f(x)＝???x－2?2 －1，x∈?－∞，1]∪[3，＋∞??－?x－2?2＋1，x∈?1，3?，作出圖象如圖所示．(1)遞增區(qū)間為[1,2]和[3，＋∞)，遞減區(qū)間為(－∞，1]和[2,3]．(2)由圖象可知，y＝f(x)與y ＝m圖象，有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則0＜m＜1，∴集合M＝{m|0＜m＜1}．

幻燈片29

?，(1)從圖象的左右分布，分析函數(shù)的定義域；從圖象的上下分布，分析函數(shù)的值域；從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對(duì)稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢(shì)，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．(2)利用函數(shù)的圖象可解決方程和不等式的求解問題，比如判斷方程是否有解，有多少個(gè)解？數(shù)形結(jié)合是常用的思想方法．

幻燈片30

【訓(xùn)練3】(2010·湖北)若直線y＝x＋b與曲線y＝3－4x－x2有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是()． A．[－1,1＋22] B．[1－22，1＋22] C．[1－22，3] D．[1－2，3] 解析 在同一坐標(biāo)系下畫出曲線y＝3－4x－x2(注：該曲線是以點(diǎn)C(2,3)為圓心、2為半徑的圓不在直線y＝3上方的部分)與

幻燈片31

直線y＝x的圖象，平移該直線，結(jié)合圖形分析可知，當(dāng)直線沿y軸正方向平移到點(diǎn)(0,3)的過程中的任何位置相應(yīng)的直線與曲線y＝3－4x－x2都有公共點(diǎn)；注意到與y＝x平行且過點(diǎn)(0,3)的直線的方程是y＝x＋3；當(dāng)直線y＝x＋b與以點(diǎn)C(2,3)為圓心、2為半徑的圓相切時(shí)(圓不在直線y＝3上方的部分)，有|2－3＋b|＝2，b＝1－22.結(jié)合圖形可知，滿足題意的只有C選2項(xiàng)． 答案 C

幻燈片32

難點(diǎn)突破5——高考中函數(shù)圖象的考查題型

涉及函數(shù)圖象的知識(shí)點(diǎn)在高考中的考查形式主要有三種類型：

一、由解析式選配圖象 解決時(shí)需要從定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性等方面綜合考查，有時(shí)也可以根據(jù)特殊情況(如特殊點(diǎn)、特殊位置)進(jìn)行分析．

幻燈片33

x【示例】?(2011·山東)函數(shù)y＝2－2sin x的圖象大致是()．

幻燈片34

幻燈片35

二、圖象平移問題 一般地，平移按“左加右減，上正下負(fù)”進(jìn)行函數(shù)式的變換． 【示例】?(2011·鄭州模擬)若函數(shù)f(x)＝kax－ax(a＞0且a≠1)－在(－∞，＋∞)上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，則g(x)＝loga(x＋k)的圖象是()．

幻燈片36

幻燈片37

三、圖象對(duì)稱問題 【示例】?(2011·廈門質(zhì)檢)函數(shù)y＝log2|x|的圖象大致是()．

幻燈片38

單擊此處進(jìn)入

活頁限時(shí)訓(xùn)練

第二篇：示范教案(第2章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ 2.3.2)

http://004km.cn 或http://004km.cn

2.3.2 對(duì)數(shù)函數(shù)

整體設(shè)計(jì)

教材分析

對(duì)數(shù)函數(shù)是我們學(xué)習(xí)了正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等最簡單的函數(shù)后，在新的知識(shí)平臺(tái)上系統(tǒng)研究的又一類基本初等函數(shù).對(duì)數(shù)函數(shù)的有關(guān)知識(shí)是以對(duì)數(shù)概念和運(yùn)算法則、換底公式作為基礎(chǔ)知識(shí)來學(xué)習(xí)的.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象是對(duì)照指數(shù)函數(shù)的圖象，運(yùn)用計(jì)算機(jī)(器)描繪出來的，通過比較分析來研究對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的教學(xué)可利用類比指數(shù)函數(shù)的教學(xué)進(jìn)行.對(duì)數(shù)函數(shù)的概念是通過一個(gè)關(guān)于細(xì)胞分裂次數(shù)的實(shí)際問題提出的，這說明對(duì)數(shù)函數(shù)的概念來自于實(shí)踐，便于學(xué)生接受，但在教學(xué)中，學(xué)生往往容易忽略定義域，因此，要結(jié)合指數(shù)式強(qiáng)調(diào)說明對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域.本章節(jié)教學(xué)的重點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)、會(huì)求簡單對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域、值域.在研究對(duì)數(shù)函數(shù)的時(shí)候，底數(shù)的取值范圍對(duì)圖象的影響(即單調(diào)性的影響)是本節(jié)的一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，因此在教學(xué)過程中可以通過指數(shù)函數(shù)的的圖象對(duì)比著學(xué)習(xí)，加強(qiáng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想.在比較系統(tǒng)的學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)的基礎(chǔ)上，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)研究一些含有對(duì)數(shù)式的、形式上比較復(fù)雜的函數(shù)的圖象和性質(zhì)、復(fù)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性也成為本節(jié)的教學(xué)難點(diǎn).三維目標(biāo)

1.理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，能正確描繪和辨別對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象.2.掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及簡單應(yīng)用.3.通過對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生分清指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)這兩類基本的初等函數(shù)在研究方法上的異同之處.使學(xué)生體會(huì)到知識(shí)之間的有機(jī)聯(lián)系以及蘊(yùn)含在其中的數(shù)學(xué)思想和方法.4.通過對(duì)數(shù)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)的研究，加深對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的理解，深化學(xué)生對(duì)函數(shù)圖象變化規(guī)律的理解，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納的思維能力以及數(shù)學(xué)交流能力.5.通過對(duì)數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)，樹立相互聯(lián)系、互相轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生與人合作、共同探討的優(yōu)良品質(zhì).重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：

1.對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)以及應(yīng)用.2.對(duì)數(shù)函數(shù)的特性以及函數(shù)的通性在解決有關(guān)問題中的靈活使用.教學(xué)難點(diǎn)：

1.對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)的變化對(duì)函數(shù)圖象的影響，對(duì)于含參數(shù)的對(duì)數(shù)式滲透分類討論思想.2.函數(shù)圖象的平移、翻轉(zhuǎn)變化以及復(fù)合對(duì)數(shù)式函數(shù)的圖象研究.課時(shí)安排

3課時(shí)

教學(xué)過程

第一課時(shí)

對(duì)數(shù)函數(shù)(一)導(dǎo)入新課

設(shè)計(jì)思路一(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)

1.在前面通過系統(tǒng)地學(xué)習(xí)指數(shù)和對(duì)數(shù)這兩種運(yùn)算，請(qǐng)同學(xué)們回顧指數(shù)冪運(yùn)算和對(duì)數(shù)運(yùn)算的定義并說出這兩種運(yùn)算的本質(zhì)區(qū)別.2.回顧指數(shù)函數(shù)定義、圖象和性質(zhì)，并繪制指數(shù)函數(shù)圖象，根據(jù)圖象指出指數(shù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)(定義域、值域、過定點(diǎn)、單調(diào)性).在等式ab=N(a＞0，且a≠1，N＞0)中已知底數(shù)a和指數(shù)b，求冪值N，就是指數(shù)問題；

中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司

http://004km.cn 或http://004km.cn

已知底數(shù)a和冪值N，求指數(shù)b，就是我們前面剛剛學(xué)習(xí)過的對(duì)數(shù)問題，而且無論是求冪值N還是求指數(shù)b，結(jié)果都只有一個(gè)，有指數(shù)函數(shù)，那么也有對(duì)數(shù)函數(shù).設(shè)計(jì)思路二(情境導(dǎo)入)

x

在某細(xì)胞分裂過程中，細(xì)胞個(gè)數(shù)y是分裂次數(shù)x的函數(shù)y=2.因此，當(dāng)已知細(xì)胞的分裂次數(shù)x的值(即輸入值是分裂次數(shù)x)，就能求出細(xì)胞個(gè)數(shù)y的值(即輸出值是細(xì)胞個(gè)數(shù)y),這樣，就建立起細(xì)胞個(gè)數(shù)y和分裂次數(shù)x之間的一個(gè)關(guān)系式，你還記得這個(gè)函數(shù)模型的類型嗎？ 反過來，在等式y(tǒng)=2x中，如果我們知道了細(xì)胞個(gè)數(shù)y，求分裂次數(shù)x，這將會(huì)是我們研究的哪類問題？

x

能否根據(jù)等式y(tǒng)=2，把分裂次數(shù)x表示出來？

在關(guān)系式x=log2y中每輸入一個(gè)細(xì)胞個(gè)數(shù)y的值，是否一定都能得到唯一一個(gè)分裂次數(shù)x的值？

(生思考，并交流思考結(jié)果，師總結(jié))

我們通過研究發(fā)現(xiàn)：在關(guān)系式x=log2y中把細(xì)胞個(gè)數(shù)y看作自變量，則每輸入一個(gè)y的值，都能得到唯一一個(gè)分裂次數(shù)x的值，根據(jù)函數(shù)的定義，分裂次數(shù)x就可以看作是細(xì)胞個(gè)數(shù)y的函數(shù)，這樣就得到我們生活中的又一類與指數(shù)函數(shù)有密切關(guān)系的函數(shù)模型——對(duì)數(shù)函數(shù).這就是我們下面將要研究的問題.推進(jìn)新課

新知探究

在前面學(xué)習(xí)中所提到的放射性物質(zhì)，經(jīng)過時(shí)間x(年)與物質(zhì)剩留量y的關(guān)系為y=0.84x，我們也可把它寫成對(duì)數(shù)式：x=log0.84y，其中時(shí)間x(年)也可以看作物質(zhì)剩留量y的函數(shù)，可見這樣的問題在實(shí)際生活中還是不少的.一般地，函數(shù)y=logax(a＞0，a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，由對(duì)數(shù)概念可知，對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax的定義域是(0，+∞).合作探究：為什么對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域是(0，+∞)？

函數(shù)y=logax和函數(shù)y=ax(a＞0，且a≠1)的定義域、值域之間有什么關(guān)系？

分析：由指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化可得到：對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域就是相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的值域，對(duì)數(shù)函數(shù)的值域就是相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的定義域.由指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)?-∞，+∞)，值域?yàn)?0，+∞)，故對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)?0，+∞)，值域?yàn)?-∞，+∞).由此探究可以得出，研究對(duì)數(shù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)完全可以由指數(shù)函數(shù)入手研究，因?yàn)閮烧咧g是緊密聯(lián)系的，根據(jù)我們研究指數(shù)函數(shù)的經(jīng)歷，你覺得下面應(yīng)該學(xué)習(xí)什么內(nèi)容了？ 請(qǐng)回顧一下指數(shù)函數(shù)的圖象的研究過程，根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，列舉幾個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式，并嘗試在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出它們的圖象.合作探究：借助于計(jì)算器或計(jì)算機(jī)在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出它們的圖象，并觀察各組函數(shù)的圖象，探究它們之間的關(guān)系.(1)y=2x，y=log2x；

(2)y=(12)x，y=log1x；

2中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司

http://004km.cn 或http://004km.cn

(組織學(xué)生討論，互相交流自己獲得的結(jié)論，師用多媒體顯示以上兩組函數(shù)圖象，借助

x于《幾何畫板》軟件動(dòng)態(tài)演示圖象的形成過程，揭示函數(shù)y=

2、y=log2x圖象間的關(guān)系及函數(shù)y=(12)x，y=log1x圖象間的關(guān)系，得出如下結(jié)論)

2結(jié)論：(1)函數(shù)y=2和y=log2x的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱；

(2)函數(shù)y=(12x)和y=log1x圖象也關(guān)于直線y=x對(duì)稱.2x

合作探究：分析你所畫的兩組函數(shù)圖象,看看一般的指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象有什么關(guān)系？即當(dāng)a＞0，且a≠1時(shí)，函數(shù)y=ax，y=logax的圖象之間有什么關(guān)系？

結(jié)論：函數(shù)y=ax和y=logax(a＞0，且a≠1)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.觀察歸納：觀察課本第66頁圖233的函數(shù)圖象，對(duì)照指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，你發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax的哪些性質(zhì)？

對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a＞1

0＜a＜1 圖象

(1)定義域：(0，+∞)；

性質(zhì)

(2)值域：R；

(3)過點(diǎn)(1，0)，即當(dāng)x=1時(shí)，y=0；

(4)在(0，+∞)上是單調(diào)增函數(shù)；(4)在(0，+∞)上是單調(diào)減函數(shù)

函數(shù)y=ax稱為y=logax的反函數(shù)，反之，y=logax稱為y=ax的反函數(shù).一般地，如果函數(shù)y=f(x)存在反函數(shù)，那么它的反函數(shù)記作y=f-1(x).應(yīng)用示例

例

1求下列函數(shù)的定義域：

(1)y=log0.2(4-x)；

(2)y=loga

(3)y=logx?1(a＞0，a≠1)；

12(5x?3).解：(1)由題意可得4-x＞0，解之得x＜4，中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司

http://004km.cn 或http://004km.cn

所以函數(shù)y=log0.2(4-x)的定義域?yàn)閧x|x＜4}.(2)由題意可得x?1＞0，又因?yàn)榕即胃?hào)下非負(fù)，所以x-1＞0，即x＞1，所以函數(shù)y=logax?1(a＞0，a≠1)的定義域?yàn)閧x|x＞1}.(3)由題意可得要偶次根號(hào)下非負(fù)，又因?yàn)檎鏀?shù)要大于0，?log1(5x?3)?0,?5x?3?1,??2

所以?即? 3??x?,?5x?3?0,5?

解得35＜x≤45，(5x?3)的定義域?yàn)閧x|

5故函數(shù)y=log12＜x≤

45}.點(diǎn)評(píng)：解決有關(guān)函數(shù)求定義域的問題時(shí)可以從以下幾個(gè)方面考慮，列出相應(yīng)不等式或不等式組，解之即可.①若函數(shù)解析式中含有分母，則分母不等于0；

②若函數(shù)解析式中含有根號(hào)，要注意偶次根號(hào)下非負(fù)；

③0的0次冪沒有意義；

④若函數(shù)解析式中含有對(duì)數(shù)式，要注意對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0.求函數(shù)的定義域的本質(zhì)是解不等式或不等式組.問題①：請(qǐng)大家課后總結(jié)在求對(duì)數(shù)函數(shù)定義域時(shí)需要注意哪些問題？ 問題②：在建立不等式組求解的過程中，你認(rèn)為哪些地方比較容易出錯(cuò)？

例2

比較下列各組數(shù)中兩個(gè)數(shù)的大小：

(1)log23.4，log23.8；

(2)log0.51.8，log0.52.1；

(3)log20.8，log0.52.5；

(4)loga5.1，loga5.9；

(5)log75，log67.分析：(1)(2)兩個(gè)對(duì)數(shù)是同底數(shù)的，故可直接根據(jù)單調(diào)性進(jìn)行比較；(3)雖然不同底但是可以化為同底數(shù)的對(duì)數(shù)，然后再利用單調(diào)性進(jìn)行比較；(4)的底數(shù)是個(gè)參數(shù)，遇到參數(shù)的題討論是必不可少的，于是分類討論，當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)是減函數(shù).(5)是上述所說情況中沒有的，不能化同底，那么只能尋求中介值進(jìn)行比較，一般都找1或0作為中介值.解：(1)考查函數(shù)y=log2x，因?yàn)樗牡讛?shù)是2，且2＞1,所以它在(0，+∞)上是單調(diào)增函數(shù).又因?yàn)?＜3.4＜3.8，所以log23.4＜log23.8；

(2)考查函數(shù)y=log0.5x，因?yàn)樗牡讛?shù)是0.5，且0＜0.5＜1,所以它在(0，+∞)上是單調(diào)減函數(shù).又因?yàn)?＜1.8＜2.1，所以log0.51.8＞log0.52.1；

(3)考查兩個(gè)log20.8，log0.52.5的底數(shù)不相同，但是出現(xiàn)的是2和0.5，故可轉(zhuǎn)化同底log20.8與log20.4的大小比較，與(1)同，因?yàn)閘og20.8＞log20.4，所以log20.8＞log0.52.5；

(4)當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)y=logax在(0，+∞)上是單調(diào)遞增的,所以loga5.1＜loga5.9；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)y=logax在(0，+∞)上是單調(diào)遞減的,所以loga5.1＞loga5.9；

(5)考查函數(shù)y=log7x，因?yàn)樗牡讛?shù)是7，且7＞1,所以它在(0，+∞)上是單調(diào)增函數(shù).又因?yàn)?＜5＜7，所以log75＜log77=1.同理log67＞log66=1，所以log75＜log67.中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司

http://004km.cn 或http://004km.cn

點(diǎn)評(píng)：本例是利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來比較兩個(gè)對(duì)數(shù)式的大小的問題，一般是根據(jù)所給對(duì)數(shù)式的特征，確定一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，把需要比較大小的對(duì)數(shù)式看作是對(duì)應(yīng)函數(shù)中兩個(gè)能比較大小的自變量的值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，再根據(jù)所確定的目標(biāo)函數(shù)的單調(diào)性比較對(duì)數(shù)式的大小.當(dāng)?shù)讛?shù)為變量時(shí)，要分情況對(duì)底數(shù)進(jìn)行討論來比較兩個(gè)對(duì)數(shù)的大小.例

3已知logm4＜logn4，試比較m，n的大小.分析：要比較的兩個(gè)對(duì)數(shù)真數(shù)相同，屬于比較底數(shù)的大小的問題，所以和前面例2很類似，但是不同的是沒有給出它的符號(hào)，所以難度要大點(diǎn)，但是m，n的范圍都是大于0且不等于1的實(shí)數(shù)，于是解答時(shí)要對(duì)m，n的范圍進(jìn)行討論，此時(shí)要利用分類討論的思想.解：logm4＜logn4?1log4m?1log4n，當(dāng)m＞1，n＞1時(shí)，有0＜

1log4m?1log4n，所以log4n＜log4m，此時(shí)m＞n＞1.當(dāng)0＜m＜1，0＜n＜1時(shí)，有

1log4m?1log4n＜0，所以log4n＜log4m，此時(shí)0＜n＜m＜1.當(dāng)0＜m＜1，n＞1時(shí)，有l(wèi)og4m＜0，0＜log4n，此時(shí)滿足.所以0＜m＜1＜n.綜上所述，m，n的大小關(guān)系為m＞n＞1或0＜n＜m＜1或0＜m＜1＜n.點(diǎn)評(píng)：本題也可通過作圖形進(jìn)行觀察比較，在此不作詳解，請(qǐng)學(xué)生自己完成.例

4求下列函數(shù)的值域：

(1)y=log2x+2(x≥1)；(2)y=log1(x+1)(0＜x＜3)；

(3)y=log2(2-x)；(4)y=log2(x?1)(-3≤x≤1).分析：由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象可得定義域?yàn)?0，+∞)，值域?yàn)镽.所以在求對(duì)數(shù)函數(shù)的值域時(shí)要結(jié)合圖象，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來求解.對(duì)于形式上比較復(fù)雜的則要先求出定義域，根據(jù)具體的形式作出判斷，從內(nèi)到外進(jìn)行求解.解：(1)因?yàn)?＞1，所以函數(shù)y=log2x為增函數(shù)，當(dāng)x≥1時(shí)，log2x≥0，所以函數(shù)y=log2x+2(x≥1)的值域?yàn)閇2，+∞).(2)因?yàn)?＜x＜3，所以1＜x+1＜4，又函數(shù)y=log

所以log4＜log(x+1)＜log12x為減函數(shù)，1212121，即得值域?yàn)?-2，0).(3)由題意可得2-x＞0，即得當(dāng)x＜2時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)镽.2

(4)令t=x+1，則當(dāng)-3≤x≤1時(shí)，t∈[1，10]，故log2t∈[0，log210]，所以函數(shù)y=log2(x?1)

2(-3≤x≤1)的值域?yàn)閇0，log210].點(diǎn)評(píng)：前面兩個(gè)比較容易接受，(3)理解有點(diǎn)困難，教學(xué)時(shí)要強(qiáng)調(diào)當(dāng)x＜2時(shí)，真數(shù)2-x能取到所有的大于0的實(shí)數(shù)，所以值域?yàn)镽；(4)是個(gè)根式和對(duì)數(shù)復(fù)合的函數(shù)求值域的問題，中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司

http://004km.cn 或http://004km.cn

此時(shí)要先求根式里面的對(duì)數(shù)的范圍，再結(jié)合根式有意義最終寫出值域.知能訓(xùn)練

一、課本第69頁練習(xí)1、3.2二、1.求函數(shù)y=loga(9-x)(a＞0，a≠1)的定義域.2.比較下列各題中兩個(gè)值的大小:

(1)log36_________log38；(2)log0.56_________log0.54；

(3)log0.10.5________lg0.6；(4)log1.51.6_________log20.4.3.已知下列不等式，比較正數(shù)m，n的大?。?/p>

(1)log3m＜log3n；(2)log0.3m＞log0.3n；

(3)logam＜logan(0＜a＜1)；(4)logam＞logan(a＞0，a≠1).4.將0.3，log20.5，log0.51.5由小到大排列的順序是：____________.解答：

一、1.圖略，y=log3x與y=log1x的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱.323.(1)log35.4＜log35.5；(2)log1π＜log1e；

(3)lg0.02＜lg3.12；(4)ln0.55＜ln0.56.二、1.由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義知：9-x2＞0，解得-3＜x＜3，所以函數(shù)y=loga(9-x2)(a＞0，a≠1)的定義域?yàn)閧x|-3＜x＜3}.2.(1)＜；(2)＜；(3)＞；(4)＞.3.(1)由于3＞1，所以0＜m＜n.(2)由于0＜0.3＜1，所以0＜m＜n.(3)由于0＜a＜1，所以m＞n＞0.(4)當(dāng)a＞1時(shí)，m＞n＞0；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，0＜m＜n.4.因?yàn)?＜0.3＜1，log20.5＜0，log0.51.5=log

2課堂小結(jié)

1.對(duì)數(shù)函數(shù)的概念.2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì).3.會(huì)求對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域.4.利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小的一般方法和步驟.作業(yè)

課本第70頁習(xí)題2.3(2)1、2、3.設(shè)計(jì)感想

本節(jié)是對(duì)數(shù)函數(shù)第一課時(shí)，主要教學(xué)目標(biāo)就是講解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，會(huì)求簡單的對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，根據(jù)單調(diào)性比較對(duì)數(shù)大小.教學(xué)中通過計(jì)算器列表描點(diǎn)或幾何畫板來刻畫對(duì)數(shù)函數(shù)圖象，在教學(xué)中讓學(xué)生在同一個(gè)坐標(biāo)系畫出同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)圖象，將指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)作比較發(fā)現(xiàn)它們的圖象是關(guān)于直線y=x對(duì)稱的.從中發(fā)現(xiàn)指對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域和值域之間的關(guān)系，即對(duì)數(shù)函數(shù)中的定義域就是指數(shù)函數(shù)中的值域，對(duì)數(shù)函數(shù)中的值域就是指數(shù)函數(shù)中的定義域.在教學(xué)中充分利用圖象，幫助學(xué)生理解底數(shù)a的取值對(duì)圖象的影響(即確定函數(shù)的單調(diào)性)，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)檎龑?shí)數(shù)這也是個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生在解題中很容易漏掉.講解定義域時(shí)，要注意函數(shù)求定義域時(shí)需要注意的一些問題，尤其是復(fù)合函數(shù)的定義域要保證每個(gè)部分都要有意義.利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行對(duì)數(shù)的大小比較時(shí)，要讓學(xué)生觀察當(dāng)?shù)讛?shù)相同時(shí)如何比較，當(dāng)?shù)讛?shù)不同時(shí)又怎樣比較.對(duì)于真數(shù)相同而底不同的對(duì)數(shù)大小比較

223＜0，所以log20.5＜log0.51.5＜0.3.2中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司

http://004km.cn 或http://004km.cn

可以采取取倒數(shù)化同底，也可以利用圖象的特征進(jìn)行觀察比較.關(guān)于對(duì)數(shù)求值域的問題，在此只要講解比較簡單的對(duì)數(shù)求值域，即利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行觀察求解，關(guān)于含有對(duì)數(shù)式的復(fù)合函數(shù)的值域在此涉及的不多，到講含對(duì)數(shù)式復(fù)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)后再作加強(qiáng)訓(xùn)練.(設(shè)計(jì)者：顧文艷)

第二課時(shí)

對(duì)數(shù)函數(shù)(二)

導(dǎo)入新課

將函數(shù)y=2的圖象通過怎樣的變換可得到y(tǒng)=2的圖象以及y=2+1的圖象？

xx+1x

結(jié)論：將y=2的圖象向左平移一個(gè)單位可得到y(tǒng)=2的圖象，將y=2的圖象向上平移一個(gè)單位可得到y(tǒng)=2x+1的圖象.那么如何由函數(shù)y=2的圖象得到函數(shù)y=2

(學(xué)生回答，老師顯示如下結(jié)論)

結(jié)論：(1)由函數(shù)的y=2圖象得到函數(shù)y=2的圖象的變化規(guī)律為：

當(dāng)a＞0時(shí)，只需將函數(shù)y=2x的圖象向左平移a個(gè)單位就可得到函數(shù)y=2x+a的圖象.當(dāng)a＜0時(shí)，只需將函數(shù)y=2x的圖象向右平移|a|個(gè)單位就可得到函數(shù)y=2x+a的圖象.(2)由函數(shù)的y=2x圖象得到函數(shù)y=2x+b的圖象的變化規(guī)律為：

當(dāng)b＞0時(shí)，只需將函數(shù)y=2的圖象向上平移b個(gè)單位就可得到函數(shù)y=2+b的圖象.當(dāng)b＜0時(shí)，只需將函數(shù)y=2x的圖象向下平移|b|個(gè)單位就可得到函數(shù)y=2x+b的圖象.以上的變化規(guī)律是否對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)也同樣適用？如何畫y=log2(-x)、y=-log2x、y=log2|x|、y=|log2x|等形式上比較復(fù)雜的函數(shù)圖象呢？這將是本節(jié)課我們所要討論的主要問題.推進(jìn)新課

新知探究

在同一個(gè)坐標(biāo)系作出下列函數(shù)圖象，并指出它們與對(duì)數(shù)函數(shù)y=log2x的圖象的關(guān)系：

(1)y=log2(x+1)與y=log2(x+2)；

(2)y=log2x+1與y=log2x+2.分析：要畫出一個(gè)函數(shù)的圖象，需要描繪圖象上的點(diǎn)，于是就要列表、描點(diǎn)然后連線.解：(1)列出下列的函數(shù)數(shù)據(jù)表：

y=log2x y=log2(x+1)y=log2(x+2)y x x x

0 1 0-1 2 1 0 4 3 2

0.5 2 2-1 2-2

x

x

x

x+a

x

x+ax

x+

1x的圖象呢？

-1 0.5-0.5-1.5

-2 0.25-0.75-1.75

通過上面的數(shù)據(jù)表，進(jìn)行描點(diǎn)連線可以得到函數(shù)y=log2(x+1)和y=log2(x+2)的圖象，如圖(1).由圖象上點(diǎn)的特征可以得出如下結(jié)論：

若點(diǎn)(x0，y0)在函數(shù)y=log2x的圖象上，那么對(duì)應(yīng)點(diǎn)(x0-1，y0)必在函數(shù)y=log2(x+1)的圖象上.于是函數(shù)y=log2(x+1)的圖象就是由函數(shù)y=log2x的圖象向左平移1個(gè)單位得到.若點(diǎn)(x0，y0)在函數(shù)y=log2x的圖象上，那么對(duì)應(yīng)點(diǎn)(x0-2，y0)必在函數(shù)y=log2(x+2)的圖象上.于是函數(shù)y=log2(x+2)的圖象就是由函數(shù)y=log2x的圖象向左平移2個(gè)單位得到.(2)列出下列函數(shù)數(shù)據(jù)表：

函數(shù) Y=log2x y=log2x+1 x y y 1 0 1 0.5-1 0 2 1 2 4 2 3 0.25-2-1 8 3 4

中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司 http://004km.cn 或http://004km.cn

y=log2x+2 y 2 1 3 4 0 5

通過上面的數(shù)據(jù)表，進(jìn)行描點(diǎn)連線可以得到函數(shù)y=log2x+1和y=log2x+2的圖象，如圖(2).由圖象上點(diǎn)的特征可以得出如下結(jié)論:若點(diǎn)(x0，y0)在函數(shù)y=log2x的圖象上，那么對(duì)應(yīng)點(diǎn)(x0，y0+1)在函數(shù)y=log2x+1的圖象上；對(duì)應(yīng)點(diǎn)(x0，y0+2)在函數(shù)y=log2x+2的圖象上,于是，函數(shù)y=log2x+1的圖象可由函數(shù)y=log2x的圖象向上平移1個(gè)單位；函數(shù)y=log2x+2的圖象可由函數(shù)y=log2x的圖象向上平移2個(gè)單位得到.圖(1)

圖(2)

點(diǎn)評(píng)：通過列表、描點(diǎn)、連線繪圖的三步驟，可以畫出函數(shù)的圖象，并由圖形上點(diǎn)的特征觀察圖象之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系.這樣便于學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握?qǐng)D象變化的規(guī)律.可參照課本第68頁例3.思考

如何由函數(shù)y=log2x的圖象得到函數(shù)y=log2(x-1)與函數(shù)y=log2x-1的圖象呢？并說出函數(shù)y=log2(x+a)和函數(shù)y=log2x+b的圖象以及函數(shù)y=log2(x+a)+b的圖象可由函數(shù)y=log2x的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？

解：函數(shù)y=log2(x-1),y=log2x-1的圖象與函數(shù)y=log2x的圖象的變化規(guī)律如下：函數(shù)y=log2(x-1)的圖象是由函數(shù)y=log2x的圖象向右平移1個(gè)單位就得到；函數(shù)y=log2x-1的圖象是由函數(shù)y=log2x的圖象向下平移1單位就得到.由函數(shù)的y=log2x圖象得到函數(shù)y=log2(x+a)的圖象的變化規(guī)律為：

當(dāng)a＞0時(shí)，只需將函數(shù)y=log2x的圖象向左平移a個(gè)單位就可得到函數(shù)y=log2(x+a)的圖象.當(dāng)a＜0時(shí)，只需將函數(shù)y=log2x的圖象向右平移|a|個(gè)單位就可得到函數(shù)y=log2(x+a)的圖象.由函數(shù)的y=log2x圖象得到函數(shù)y=log2x+b的圖象的變化規(guī)律為：

當(dāng)b＞0時(shí)，只需將函數(shù)y=log2x的圖象向上平移b個(gè)單位就可得到函數(shù)y=log2x+b的圖象.當(dāng)b＜0時(shí)，只需將函數(shù)y=log2x的圖象向下平移|b|個(gè)單位就可得到函數(shù)y=log2x+b的圖象.由函數(shù)y=log2x的圖象得到函數(shù)y=log2(x+a)+b的圖象的變化規(guī)律為：

先將函數(shù)y=log2x的圖象向左(當(dāng)a＞0時(shí))或向右(當(dāng)a＜0時(shí))平移|a|個(gè)單位，得到函數(shù)y=log2(x+a)的圖象，再將函數(shù)y=log2(x+a)的圖象向上(當(dāng)b＞0時(shí))或向下(當(dāng)b＜0時(shí))平移|b|個(gè)單位就可得到函數(shù)y=log2(x+a)+b的圖象.點(diǎn)評(píng)：由列表繪制的圖象同樣可觀察出對(duì)應(yīng)圖象上點(diǎn)之間的關(guān)系，從而得出函數(shù)圖象之間的變換關(guān)系.當(dāng)函數(shù)y=log2x中的自變量x變?yōu)閤+a的時(shí)候，此時(shí)函數(shù)y=log2(x+a)的圖象就是由函數(shù)y=log2x的圖象進(jìn)行左右平移得到，即a＞0(左移)和a＜0(右移).當(dāng)在函數(shù)整體后變化時(shí)，即f(x)變?yōu)閒(x)+b時(shí)，此時(shí)函數(shù)y=log2x+b的圖象是由函數(shù)y=log2x的圖象進(jìn)行上下平移，即b＞0(上移)和b＜0(下移).對(duì)于圖象進(jìn)行多次平移變換所得的函數(shù)圖象，則要將上述的兩種情況合起來，先進(jìn)行左右平移，再將所得圖象進(jìn)行上下平移，對(duì)于平移的先后順序

中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司

http://004km.cn 或http://004km.cn

是沒有影響的.應(yīng)用示例

例

1探究函數(shù)y=-logax、y=loga(-x)的圖象和函數(shù)y=logax的圖象之間的關(guān)系.分析：我們需找出函數(shù)圖象上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系.若點(diǎn)(x0，y0)是函數(shù)y=logax上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)(x0，-y0)在函數(shù)y=-logax的圖象上，所以函數(shù)y=-logax的圖象和函數(shù)y=logax的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱；若點(diǎn)(x0，y0)是函數(shù)y=logax上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)(-x0，y0)在函數(shù)y=loga(-x)的圖象上，所以函數(shù)y=loga(-x)的圖象和函數(shù)y=logax的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.(有條件的學(xué)校可以利用幾何畫板讓學(xué)生直接觀察得出結(jié)論)

解：設(shè)點(diǎn)(x0，y0)是函數(shù)y=logax上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)(x0，-y0)在函數(shù)y=-logax的圖象上；點(diǎn)(-x0，y0)在函數(shù)y=loga(-x)的圖象上，所以函數(shù)y=-logax的圖象和函數(shù)y=logax的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱；函數(shù)y=loga(-x)的圖象和函數(shù)y=logax的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.點(diǎn)評(píng)：函數(shù)圖象上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)若關(guān)于x軸對(duì)稱，則函數(shù)圖象就關(guān)于x軸對(duì)稱；若函數(shù)圖象上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，則函數(shù)圖象就關(guān)于y軸對(duì)稱.例

2畫出函數(shù)y=log2|x|的圖象，并根據(jù)圖象寫出它的單調(diào)區(qū)間.分析：對(duì)于遇到含絕對(duì)值的問題的時(shí)候，基本思想方法是去掉絕對(duì)值，于是就要用到分類討論的思想方法，將函數(shù)y=log2|x|寫成分段函數(shù)的形式，然后在畫圖象就比較簡單了，那么在本題中如何去掉絕對(duì)值呢？去掉絕對(duì)值以后又該怎么辦呢？

(學(xué)生回答，老師板書如下)

?log2x,x?0,解：由于y=log2|x|=?

log(?x),x?0.2?

當(dāng)x＞0時(shí)，畫出函數(shù)y=log2x的圖象；當(dāng)x＜0時(shí)，畫出函數(shù)y=log2(-x)的圖象.如圖所示：

由圖象可得函數(shù)y=log2|x|的單調(diào)增區(qū)間為：(0，+∞)；單調(diào)減區(qū)間為(-∞，0).探究：在例2中除了利用去掉絕對(duì)值畫出圖象，你還能想到用其他的方法解答嗎？

(學(xué)生相互交流)

結(jié)論：由于函數(shù)y=log2|x|是偶函數(shù)，所以只要先畫出函數(shù)y=log2x(x＞0)的圖象，再將函數(shù)y=log2x(x＞0)的圖象關(guān)于坐標(biāo)軸y軸對(duì)稱過來，就可得到y(tǒng)=log2|x|(x＜0時(shí))的圖象，兩部分合起來就是函數(shù)y=log2|x|的圖象.例

3已知函數(shù)f(x)=log12(1-x)，(1)求此函數(shù)的定義域，值域；(2)判斷它的單調(diào)性并證明你的結(jié)論，并指出單調(diào)區(qū)間.分析：對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域只要真數(shù)大于0，值域必須在定義域的范圍內(nèi)先求內(nèi)函數(shù)的值域，然后根據(jù)底數(shù)的取值確定外函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)外函數(shù)的單調(diào)性把值域求出即可.對(duì)于函數(shù)單調(diào)性的證明，要在定義域內(nèi)任取兩個(gè)值，然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的證明方法和步驟對(duì)函數(shù)值進(jìn)行作差或作商比較，進(jìn)而判斷單調(diào)性，求出單調(diào)區(qū)間.解：(1)因?yàn)?-x＞0，即x＜1，所以函數(shù)f(x)=log12(1-x)的定義域?yàn)?-∞,1)；

中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司

http://004km.cn 或http://004km.cn

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=log值域?yàn)椋篟.(2)函數(shù)f(x)=log1212(1-x)的定義域?yàn)?-∞，1)，當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí)，有1-x＞0，所以函數(shù)的(1-x)在定義域(-∞,1)上為單調(diào)遞增.證明：任取x1,x2∈(-∞,1)且x1＜x2，則有

f(x1)-f(x2)=log1(1-x1)-log212(1-x2)=log1?x1121?x21?x11?x2，因?yàn)閤1＜x2＜1，所以1-x1＞1-x2＞0，得

＞1，所以f(x1)-f(x2)=log

所以函數(shù)f(x)=log1?x1121?x2＜0，即f(x1)＜f(x2)，12(1-x)在定義域(-∞,1)上為單調(diào)遞增.例

4判斷下列函數(shù)的奇偶性:

(1)函數(shù)f(x)=lg(x+1)+lg(x-1)；

(2)函數(shù)f(x)=ln(x+1)+ln(1-x).分析：判斷函數(shù)奇偶性的方法和步驟請(qǐng)學(xué)生回顧一下，首先定義域要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后看f(-x)與f(x)之間的關(guān)系，解答如下：

解：(1)由題意可得??x?1?0,?x?1?0即??x??1,?x?1,解得x＞1，所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1，+∞)，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)f(x)=lg(x+1)+lg(x-1)是非奇非偶函數(shù).?x?1?0,?x??1,(2)由題意可得?即?解得-1＜x＜1，所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-1，1)，1?x?0x?1,??定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，而f(-x)=ln(-x+1)+ln(1+x)=f(x)，所以函數(shù)f(x)=ln(x+1)+ln(1-x)是偶函數(shù).點(diǎn)評(píng)：在判斷函數(shù)奇偶性的時(shí)候，一定要保證定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這點(diǎn)學(xué)生在解題時(shí)很容易遺漏，所以老師在講解時(shí)一定要強(qiáng)調(diào).有些學(xué)生會(huì)根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算法則將函數(shù)進(jìn)行化簡，這個(gè)想法很好，但是一定要注意在化簡的時(shí)候注意不要改變函數(shù)的定義域，化簡的基本要求是實(shí)施的是等價(jià)變形.如(1)，有學(xué)生會(huì)發(fā)生下面出現(xiàn)的錯(cuò)解：

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=lg(x+1)+lg(x-1)=lg(x2-1)，由x2-1＞0得其定義域?yàn)閤∈(-∞，-1)∪(1,+∞)，又f(-x)=lg(x2-1)=f(x)，所以函數(shù)f(x)=lg(x+1)+lg(x-1)為偶函數(shù).因此老師在講解時(shí)特別要注意這一點(diǎn)，避免出現(xiàn)上述不該出現(xiàn)的錯(cuò)誤.知能訓(xùn)練

課本第69頁練習(xí)2、4、5.解答：

2.(1)因?yàn)?x+1＞0，所以x＞?1212，所以函數(shù)y=log2(2x+1)的定義域?yàn)??，+∞).中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司

http://004km.cn 或http://004km.cn

2因?yàn)閥=log2(2x+1)=1+log2(x+函數(shù)y=log2(x+1212)，所以先將函數(shù)y=log2x的圖形向左平移

12個(gè)單位得到)的圖象，再將函數(shù)y=log2(x+)的圖象向上平移1個(gè)單位就可得到函數(shù)y=log2(2x+1)的圖象.如圖(一).圖(一)

圖(二)

(2)因?yàn)?x?11x?11x?1＞0，所以x＞1，所以函數(shù)y=lg的定義域?yàn)?1，+∞).因?yàn)閥=lg=-lg(x-1)，所以將函數(shù)y=lgx的圖形向右平移1個(gè)單位得到函數(shù)y=lg(x-1)的圖象，再將函數(shù)y=lg(x-1)的圖象作關(guān)于x軸對(duì)稱所得到的圖象就是所求函數(shù)的圖象.如圖(二).4.解：(1)由題意可得：3x=2x+1＞0，解得x=1.?2x?1?0??x=3.(2)由題意可得：?x2?2?0?2?2x?1?x?2?x?1?0?x=2.(3)由題意可得：??x?1?x?

15.解：(1)由題意可得3x+5=3?x=-

23.12

(2)由題意可得2x=log212=2+log23?x=1+

(3)由題意可得1-x=log32?x=1-log32.log23.課堂小結(jié)

前面一節(jié)課主要學(xué)習(xí)了對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，那么這節(jié)課主要是為了加深對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象以及性質(zhì)的學(xué)習(xí)而給出的.講解了對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象變換，即左右平移和上下平移以及關(guān)于軸對(duì)稱和關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱圖象的畫法，會(huì)作出函數(shù)圖象并能根據(jù)圖象準(zhǔn)確地求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；能根據(jù)定義判斷含對(duì)數(shù)式的復(fù)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，定義域一定要首先考慮.作業(yè)

1.課本第70頁習(xí)題2.3(2)、4、5、6、8.2.請(qǐng)大家利用計(jì)算機(jī)作出函數(shù)y=logax，y=loga(x+m)，y=logax+n的圖象，加深對(duì)函數(shù)圖象變換的規(guī)律的理解；隨意畫一個(gè)函數(shù)y=f(x)的圖象，觀察函數(shù)y=f(|x|)的圖象和函數(shù)y=|f(x)|的圖象，看看它們的圖象之間的變換關(guān)系又如何.是否與本節(jié)課得到的變化規(guī)律一致.寫出你的結(jié)論，并加以相關(guān)的解釋說明.設(shè)計(jì)感想

中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司

http://004km.cn 或http://004km.cn

這節(jié)課的圖象比較多，所以在剛開始的時(shí)候針對(duì)不同層次的學(xué)生，在這里直接給出幾個(gè)函數(shù)的圖象和圖象上相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，讓他們從圖象上一些具體的點(diǎn)觀察圖象之間的關(guān)系并得出結(jié)論，然后由具體的例子從特殊性推廣到一般性，從而達(dá)到對(duì)知識(shí)的學(xué)習(xí)和掌握.例1和例2給出了圖象關(guān)于軸對(duì)稱的關(guān)系式和畫法，例3和例4解決了含對(duì)數(shù)式的復(fù)合函數(shù)的定義域、值域的求解和單調(diào)性、奇偶性的判斷，講解時(shí)要利用相關(guān)的數(shù)學(xué)工具作出圖象讓學(xué)生從直觀上掌握?qǐng)D形變換，也為以后我們學(xué)習(xí)圖象的變換打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).(設(shè)計(jì)者：趙家法)

第三課時(shí)

對(duì)數(shù)函數(shù)(三)導(dǎo)入新課

回顧前面所學(xué)有關(guān)對(duì)數(shù)函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容：

1.對(duì)數(shù)函數(shù)的概念.2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及相應(yīng)指數(shù)函數(shù)圖象之間的關(guān)系.3.利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行對(duì)數(shù)大小比較.4.求解對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域要注意真數(shù)大于0，遇到對(duì)數(shù)函數(shù)的復(fù)合形式要注意根據(jù)條件建立不等式組進(jìn)行求解；求對(duì)數(shù)函數(shù)的值域要根據(jù)單調(diào)性進(jìn)行求解.5.掌握對(duì)數(shù)函數(shù)圖象平移的變化規(guī)律以及圖象的翻轉(zhuǎn)，并能根據(jù)圖象寫出單調(diào)區(qū)間.6.利用定義判斷對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性.今天我們來繼續(xù)學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，并利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決一些比較復(fù)雜的綜合問題.在指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，我們學(xué)習(xí)了利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解不等式，以及指數(shù)函數(shù)和其他函數(shù)復(fù)合形式的相關(guān)問題，如復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷以及單調(diào)區(qū)間的求解問題.我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些對(duì)數(shù)函數(shù)基本的性質(zhì)，這節(jié)課我們來學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性在對(duì)數(shù)方程以及對(duì)數(shù)不等式中的應(yīng)用；復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解等復(fù)合函數(shù)的綜合應(yīng)用.應(yīng)用示例

例

1解下列方程：

(1)4x-3×2x-4=0；(2)(log2x)2-2log2x-3=0.解：(1)原方程可化為(2x)2-3×2x-4=0，令t=2x(t＞0)，則t2-3t-4=0，解得t=-1或t=4，因?yàn)閠＞0，所以t=4，即2x=4.解得x=2，所以原方程的解集為{x|x=2}.2(2)令t=log2x，則原方程可化為t-2t-3=0，解得t=-1或t=3，因?yàn)閠=log2x，所以log2x=-1或log2x=3，解得x=12或x=8，1

2所以原方程的解集為{x|x=或x=8}.點(diǎn)評(píng)：本例題是解指對(duì)數(shù)方程的問題，遇到這種類型的題目時(shí)，應(yīng)設(shè)法將方程化為可解的代數(shù)方程的形式，利用換元法將方程轉(zhuǎn)化為我們比較熟悉的代數(shù)方程進(jìn)行求解，最后再求出本題的解，其中要對(duì)求出的解進(jìn)行檢驗(yàn)，這一點(diǎn)要對(duì)學(xué)生多強(qiáng)調(diào).例2

求下列不等式的解集.(1)log2(x+1)＞log2(2x-1)；

(2)logx(3x-2)＞2.分析：解對(duì)數(shù)不等式時(shí)，若底數(shù)相同則直接根據(jù)對(duì)數(shù)的單調(diào)性建立不等式組，注意真數(shù)大于0不要遺漏；若對(duì)數(shù)的底數(shù)不相同，則根據(jù)運(yùn)算法則化為底數(shù)相同，然后建立不等式組進(jìn)行求解；若底數(shù)是個(gè)參數(shù)，則要進(jìn)行分類討論.解：(1)因?yàn)閍=2＞1，所以函數(shù)y=log2x為單調(diào)遞增函數(shù)，中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司

http://004km.cn 或http://004km.cn

?x??1?x?1?0?11??

則有?2x?1?0＜x＜2.??x??22?x?1?2x?1????x?2

所以不等式的解集為{x|

12＜x＜2}.(2)由題意可知要對(duì)x進(jìn)行分類討論，?x?1?

當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時(shí)，有下列不等式組：?3x?2?0?1＜x＜2；

?2?3x?2?x?0?x?12?

當(dāng)?shù)讛?shù)大于0且小于1時(shí)，有下列不等式組：?3x?2?0?＜x＜1.3?2?3x?2?x

綜上可得，原不等式的解集為{x|

23＜x＜2且x≠1}.點(diǎn)評(píng)：利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解對(duì)數(shù)不等式時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：定義域要考慮；利用單調(diào)性得到正確的不等式；當(dāng)?shù)讛?shù)為自變量x時(shí)，對(duì)x進(jìn)行討論所得不等式的解集最后要合并；當(dāng)?shù)讛?shù)為參數(shù)a時(shí)，對(duì)a討論所得不等式的解集不能合并，要分開給出.老師在講解時(shí)一定要強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)，因?yàn)閷W(xué)生對(duì)最后的結(jié)果該如何寫掌握的還不是很好.例

3已知x∈[2，4]，求函數(shù)y=log12x-log1x+5的值域.4

4分析：本題采用換元法將函數(shù)化為一元二次函數(shù)，然后利用單調(diào)性求函數(shù)的最值.解：令u=log1x，由x∈[2，4]，得log14≤log14x≤log12，即-1≤u≤?444412.又y=u2-u+5=(u?當(dāng)u=?1212)2+

194?，在u∈[-1，12]上單調(diào)遞減，所以當(dāng)u=-1即x=4時(shí)，ymax=7；

234即x=2時(shí)，ymin=

234，所以函數(shù)的值域?yàn)閇，7].點(diǎn)評(píng)：利用函數(shù)單調(diào)性是求函數(shù)的最值或值域的主要方法之一，而換元法是化歸的常用手段.若函數(shù)形式比較復(fù)雜則要通過相關(guān)變換找出換元的部分，然后利用單調(diào)性進(jìn)行最值的求解，進(jìn)而求出函數(shù)的值域.例4

求函數(shù)y=log0.2(x-x2)的單調(diào)區(qū)間.分析：對(duì)于復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解問題，要先求函數(shù)的定義域，再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解.解：設(shè)t=x-x=-(x?2

12)+

14，則有y=log0.2t.由x-x2＞0解得函數(shù)的定義域?yàn)?0,1).在(0，12]上t隨x的增大而增大，而y隨t的增大而減小，所以y隨x的增大而減小，中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司

http://004km.cn 或http://004km.cn

即函數(shù)在區(qū)間(0，12]上是減函數(shù)；在[

12，1)上t隨x的增大而減小，而y隨t的增大而減

12小，所以y隨x的增大而增大，即函數(shù)在區(qū)間[

所以函數(shù)y=log0.2(x-x2)的增區(qū)間為[

12，1)上是增函數(shù).12，1)，減區(qū)間為(0，].點(diǎn)評(píng)：判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性以及求單調(diào)區(qū)間的時(shí)候，要注意先求函數(shù)的定義域，然后依據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，遵循增、增為增，減、減為增，增、減為減的原則.當(dāng)對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)為參數(shù)時(shí)，則要對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論.例

5求證：函數(shù)f(x)=loga

1?x1?x(0＜a＜1)是減函數(shù).分析：對(duì)于函數(shù)單調(diào)性的證明一般利用定義來證明.證明：由

設(shè)g(x)= 1?x＞0可得-1＜x＜1，即函數(shù)的定義域?yàn)?-1，1).，任取x1,x2∈(-1,1)且x1＜x2，1?x11?x11?x21?x22(x1?x2)(1?x1)(1?x2)1?x1?x1?x

則有g(shù)(x1)-g(x2)=??.因?yàn)?1＜x1＜x2＜1，所以x1-x2＜0，1-x1＞0，1-x2＞0，所以g(x1)-g(x2)＜0，即0＜g(x1)＜g(x2).因?yàn)?＜a＜1，所以logag(x1)＞logag(x2)，即f(x1)＞f(x2).所以函數(shù)f(x)=loga1?x1?x在定義域(-1，1)上是減函數(shù).點(diǎn)評(píng)：本例是對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的證明問題，利用定義直接證明即可，但是要考慮到定義域.本題中給出了底數(shù)的范圍，即0＜a＜1，由此可知外函數(shù)是單調(diào)遞減的.若沒有給出底數(shù)的具體范圍則要對(duì)底數(shù)進(jìn)行討論.知能訓(xùn)練

1.解下列方程：(1)9x?xx?123=81；(2)45x=54x.2解：(1)原方程可化為

32x?2x3x?1=34，即32x?3x?12=34

于是有2x2-3x+1=4，解得x=543?433.(2)原方程可化為(45)x=1，所以x=0.2.函數(shù)y=logax在區(qū)間[2，10]上的最大值與最小值的差為1，則常數(shù)a=__________.解：當(dāng)a＞1時(shí)，ymax=loga10，ymin=loga2，則有l(wèi)oga10-loga2=loga

102=loga5=1，所以a=5；

中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司

http://004km.cn 或http://004km.cn

210

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，ymax=loga2，ymin=loga10，則有l(wèi)oga2-loga10=loga

3.函數(shù)y=log

A.(-∞,3212=loga

15=1，所以a=

15.(x-3x+2)的遞增區(qū)間是（）

322]

B.(-∞,1)

C.[,+∞)

D.(2,+∞)

解：由x2-3x+2＞0，可得x＜1或x＞2，即函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,1)∪(2,+∞)

設(shè)t=x2-3x+2，則y=log以函數(shù)y=log1212t在(-∞,1)上t隨x的增大而減小，而y隨t的增大而減小，所(x2-3x+2)在區(qū)間(-∞,1)上是增函數(shù)；在(2,+∞)上t隨x的增大而增大，而y隨

(x2-3x+2)在區(qū)間(2，+∞)上是減函數(shù).綜上可得函數(shù)t的增大而減小，所以函數(shù)y=logy=log1212(x2-3x+2)的遞增區(qū)間是(-∞,1)，故選B.4.已知y=loga(2-x)是x的增函數(shù),則a的取值范圍是（）

A.(0，2)

B.(0,1)

C.(1,2)

D.(2,+∞)

解：由2-x＞0，解得函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,2)，令t=2-x,則y=logat.在區(qū)間(-∞,2)上t隨x的增大而減小，而y是x的增函數(shù),所以y隨t的增大而減小,即y是t的減函數(shù)，故0＜a＜1,選B.點(diǎn)評(píng)：此練習(xí)是針對(duì)本節(jié)課所講的內(nèi)容而設(shè)計(jì)的，即對(duì)數(shù)方程的求解、對(duì)數(shù)不等式的求解、復(fù)合對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的判斷以及單調(diào)區(qū)間的求解等問題.對(duì)學(xué)生的訓(xùn)練很有幫助，通過練習(xí)使學(xué)生熟練掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，并學(xué)會(huì)思考問題，提高解決問題的能力.課堂小結(jié)

本節(jié)課是對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)，體會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性在解對(duì)數(shù)方程和對(duì)數(shù)不等式中的應(yīng)用，加強(qiáng)分類討論思想在解題中的應(yīng)用.添加了對(duì)數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的兩種復(fù)合以及和一次函數(shù)的復(fù)合問題，掌握復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，先求定義域，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法進(jìn)行判斷.作業(yè)

1.課本第70頁習(xí)題2、3(2)7、9、10、11、12.2.試總結(jié)求解對(duì)數(shù)方程、對(duì)數(shù)不等式、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷以及單調(diào)區(qū)間的方法和步驟.設(shè)計(jì)感想

本節(jié)課是對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)，主要解決利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行對(duì)數(shù)方程求解、對(duì)數(shù)不等式的求解，以及復(fù)合函數(shù)等相關(guān)問題.設(shè)計(jì)的題目有的比較簡單，基礎(chǔ)一般的學(xué)生比較容易接受和掌握；也有在難度上有所加深的題目，尤其加強(qiáng)了分類討論思想的應(yīng)用.對(duì)于復(fù)合函數(shù)的問題，老師可根據(jù)所教班級(jí)的不同有所選擇地進(jìn)行教學(xué).教學(xué)中要注意強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，不管是在求解對(duì)數(shù)不等式還是求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間.接下來通過練習(xí)的訓(xùn)練加深對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，教學(xué)中老師可讓學(xué)生板演并進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，這樣效果會(huì)更好些.習(xí)題詳解

課本第70頁習(xí)題2.3(2)

1.這兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱.共同點(diǎn)為：定義域是(0，+∞)，值域是R，都過點(diǎn)(1，0)；不同點(diǎn)：函數(shù)y=log4x是定義域上的增函數(shù)，函數(shù)y=log1x是定義域上的減函數(shù).4中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司

http://004km.cn 或http://004km.cn

2.(1)由已知可知3x-1＞0，所以x＞知可知24x?313，所以函數(shù)y=ln(3x-1)的定義域是（3413,+∞).(2)由已＞0，所以4x-3＞0，即x＞，所以函數(shù)的定義域是（3423，+∞).3.(1)log57.8＜log57.9；(2)log0.33＜log0.32；(3)ln0.32＜lg2；(4)log65＜log78.4.證明：函數(shù)y=log0.5(3x-2)的定義域是（3x1?23x2?223，+∞)，任取x1、x2∈（23，+∞)，且x1＜x2，則log0.5(3x1-2)-log0.5(3x2-2)=log0.5，因?yàn)?/p>

＜x1＜x2，所以0＜3x1-2＜3x2-2.所以0＜3x1?23x2?2＜1，可得到

log0.5(3x1-2)-log0.5(3x2-2)=log0.5

3x1?23x2?2＞log0.51=0，即log0.5(3x1-2)＞log0.5(3x2-2).所以函數(shù)y=log0.5(3x-2)在定義域上是單調(diào)減函數(shù).5.證明：設(shè)f(x)=lg1?x1?x，由

1?x1?x＞0得-1＜x＜1，即函數(shù)的定義域?yàn)?-1，1)，又對(duì)于

1?x1?x定義域(-1，1)內(nèi)任意的x，都有f(-x)=lg=-lg

1?x1?x=-f(x)，所以函數(shù)y=lg

1?x1?x是奇函數(shù).6.函數(shù)y=log2(x+1)的圖象可以由函數(shù)y=log2x的圖象向左平移1個(gè)單位得到；函數(shù)y=log2(x-1)的圖象可以由函數(shù)y=log2x的圖象向右平移1個(gè)單位得到，這樣，將函數(shù)y=log2(x+1)的圖象向右平移2個(gè)單位就能得到函數(shù)y=log2(x-1)的圖象，或?qū)⒑瘮?shù)y=log2(x-1)的圖象向左平移2個(gè)單位就能得到函數(shù)y=log2(x+1)的圖象，如圖所示.7.因?yàn)閘og25＞log24=2，log58=log525=2，所以

log25＞log24=2=log525＞log58，即log25＞log58.8.由圖可知，函數(shù)y=loga(x+b)的圖象過(0,2)點(diǎn)和(-2,0)點(diǎn)，將這兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式可得：

中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司

http://004km.cn 或http://004km.cn

?a?3(?3舍去),?b?a2?logab? ? ?????loga(b?2)?0?b?2?1?b?3.9.比較對(duì)數(shù)函數(shù)底數(shù)的大小，只要作直線y=1，其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的大小就是對(duì)數(shù)函數(shù)底數(shù)的大小，由圖可知，有以下關(guān)系：0＜b＜a＜1＜d＜c.10.因?yàn)閤出現(xiàn)在指數(shù)位置，所以本題要利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化公式對(duì)x進(jìn)行求解.(1)由方程21-x=5，可得1-x=log25，所以x=1-log25.(2)由方程2×5x+1-9=0，可得5x+1=

所以x+1=log5923-x

92，所以x=log5x+2

92-1.11.(1)由不等式5＞2，可得x+2＞log52，所以x＞log52-2；

(2)由不等式3＜6，可得3-x＜log36=1+log32，所以x＞2-log32；

(3)由不等式log3(x+2)＞3，可得x+2＞27，所以x＞25；

(4)由不等式lg(x-1)＜1,可得0＜x-1＜10，所以1＜x＜11.(定義域要考慮)

12.證明：對(duì)任意的x1、x2∈(0,+∞)，由f(x)=lgx，有

f(x1)?f(x2)2x1?x22?lgx1?lgx2212?lgx1x2,f（x1?x22)=lg

x1?x22，因?yàn)?x1x2=(x1?x2)≥0，所以

2x1?x22≥

x1x2，又因?yàn)閒(x)=lgx

x1?x22是(0,+∞)上的增函數(shù)，所以lg

x1?x22≥lg

x1x2，即

f(x1)?f(x2)2≤f().中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司

第三篇：示范教案(第2章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ 2.5.2)

http://004km.cn 或http://004km.cn

2.5.2 用二分法求方程的近似解

整體設(shè)計(jì)

教材分析

本課題內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)課程中新增加的內(nèi)容，是《函數(shù)與方程》這一節(jié)內(nèi)容的深入探究.二分法是研究方程問題的新的方法，是數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)，也是創(chuàng)新思想的體現(xiàn)，新課改內(nèi)容的顯露.對(duì)于這些內(nèi)容，教師要把握標(biāo)準(zhǔn)，教學(xué)時(shí)通過學(xué)生對(duì)已有知識(shí)的掌握和函數(shù)的圖象來實(shí)現(xiàn)對(duì)二分法的理解.我們知道方程的根也叫做函數(shù)的零點(diǎn)，從幾何圖形的方面看，是函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，并且在課本內(nèi)容的最后，我們得到一個(gè)結(jié)論：如果二次函數(shù)y=f(x)對(duì)于實(shí)數(shù)m、n,m＜n，有f(m)·f(n)＜0，那么一定存在x0∈(m,n)，使得f(x0)=0.我們把這個(gè)結(jié)論推廣，對(duì)于一般的函數(shù)y=f(x)，只要在(m,n)上圖象連續(xù)，就也有相同的結(jié)論，這個(gè)結(jié)論就是用二分法求方程的近似解的理論支持.求方程的根是常見的數(shù)學(xué)問題，在這之前，我們掌握了諸多就方程的根的代數(shù)方法，但沒有得到所有求方程的根的通法.本節(jié)課試圖從另外一個(gè)角度來研究代數(shù)問題，即從數(shù)形結(jié)合的思想出發(fā)，利用現(xiàn)代化的計(jì)算工具求方程的近似解.二分法盡管也不是一個(gè)通法，但是它對(duì)方程的形式要求比較低，只需在(m,n)上圖象連續(xù)且f(m)·f(n)＜0即可.新課標(biāo)明確提出了在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該恰當(dāng)運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)，提高教學(xué)質(zhì)量.這就是說我們必須重視信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的有機(jī)整合，而這種整合的原則是有利于對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，即信息技術(shù)為數(shù)學(xué)服務(wù)，而不是數(shù)學(xué)課圍繞著信息技術(shù)來展開，教師在教學(xué)中應(yīng)予以關(guān)注.信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的整合還有較大的開發(fā)空間，教師可在這方面進(jìn)行積極的、有意義的探索，恰當(dāng)使用信息技術(shù)，改善學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，引導(dǎo)學(xué)生借助信息技術(shù)學(xué)習(xí)有關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容，探索、研究一些有意義、有價(jià)值的數(shù)學(xué)問題.三維目標(biāo)

1.通過具體實(shí)例理解二分法的概念及其適用條件，并能夠根據(jù)這樣的過程進(jìn)行實(shí)際求解.了解二分法是求方程近似解的常用方法，從中體會(huì)函數(shù)與方程之間的聯(lián)系及其在實(shí)際問題中的應(yīng)用.2.通過學(xué)生的自主探究，了解逼近思想和極限思想；

3.適當(dāng)借助現(xiàn)代化的科學(xué)工具解決問題，變?nèi)斯び?jì)算為機(jī)器運(yùn)算，把人從繁重的重復(fù)勞動(dòng)中解脫出來.使學(xué)生體會(huì)到正面解決問題困難時(shí)可以采取迂回曲折的辦法從側(cè)面解決.重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：

二分法的理解和操作流程.教學(xué)難點(diǎn)：

逼近思想的理解和近似解的取值.課時(shí)安排

1課時(shí)

教學(xué)過程

導(dǎo)入新課

設(shè)計(jì)思路一(情境導(dǎo)入)

播放錄像(CCTV－2《幸運(yùn)52》片斷)

主持人李詠：……規(guī)則：30秒內(nèi)猜出這件商品的價(jià)格，計(jì)價(jià)單位：元，……計(jì)時(shí)開始！(禮儀小姐給現(xiàn)場觀眾展示價(jià)格：1678元)

幸運(yùn)觀眾：2000.中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司

http://004km.cn 或http://004km.cn

主持人：高了！

觀眾：1000.主持人：低了！觀眾：1800.主持人：高了！

觀眾：1300.主持人：低了！

觀眾：1400.主持人：低了！

觀眾：1700.主持人：高了！

……

觀眾：1670.(剩余時(shí)間5秒)

主持人：低了！

觀眾：1671.主持人：低了！

觀眾：1672.主持人：低了！

觀眾：1673.(剩余時(shí)間3秒，現(xiàn)在觀眾和學(xué)生都高呼：“快！跳過去啊！”)

主持人：低了！

觀眾：1674.(學(xué)生替他著急)

主持人：低了！

觀眾：1675.(學(xué)生：“快！”)主持人：低了！觀眾：1676.主持人：時(shí)間到！(學(xué)生嘆息！)

他為什么游戲失??？

學(xué)生甲：他一元一元往上加，太慢了，應(yīng)該幅度大一點(diǎn).那應(yīng)該怎么加？

學(xué)生甲：剛剛開始猜的時(shí)候還可以，變化幅度比較大，后來不好.他過早開始1元1元往上加了，應(yīng)該先100元100元加，再50元50元加，再10元10元，再5元5元，再2元2元，最后1元1元加.學(xué)生乙：還不好，應(yīng)該每次猜的價(jià)錢都是前面最近的一次“高了”的價(jià)錢和“低了”的價(jià)錢的中點(diǎn).大家說剛才兩位同學(xué)的方法哪位更加好？

學(xué)生：乙的好.對(duì)！如果他早一點(diǎn)用同學(xué)乙的辦法，那么獎(jiǎng)品就非他莫屬了.這個(gè)方法在我們數(shù)學(xué)上有沒有理論依據(jù)？我們有沒有學(xué)過和這個(gè)方法類似的知識(shí)？ 我們當(dāng)然知道，游戲中的正確價(jià)格就在一次“高了”和一次“低了”的價(jià)格之間，這就像我們剛剛學(xué)過函數(shù)和方程的內(nèi)容：如果一個(gè)函數(shù)y=f(x)對(duì)于實(shí)數(shù)m、n，m＜n，有f(m)f(n)＜0，那么一定存在x0∈(m,n)，使得f(x0)=0，也就是說，方程f(x)=0的根一定在區(qū)間(m,n)上.由于f(m)·f(n)＜0，相當(dāng)于游戲中幸運(yùn)觀眾猜的兩次價(jià)格為m和n，這時(shí)主持人告訴我們一次“高了”和一次“低了”，正確價(jià)格就是那個(gè)x0.所以這個(gè)方法可以給我們提供一個(gè)解方程的思路：每次把方程的根(游戲中的正確價(jià)格)的所在區(qū)間縮小一半，最后確定出方程的近似解.中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司

http://004km.cn 或http://004km.cn

引入課題：用二分法求方程的近似解

設(shè)計(jì)思路二(事例導(dǎo)入)

在一個(gè)風(fēng)雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪指揮部的電話線路發(fā)生了故障，這是一條10 km長的電話線路，每隔50 m有一根電線桿，維修工人需爬上電線桿測試，如何迅速查出故障所在？如果沿著線路一小段一小段地查找，困難很多，每查一個(gè)電線桿都要爬一次電線桿呢.想一想，你能幫他找到一個(gè)簡單易行的方法嗎？(鼓勵(lì)學(xué)生設(shè)計(jì)方案)

思路引導(dǎo)：如圖所示，他首先從中點(diǎn)C開始查，用隨身帶的話機(jī)向兩端測試時(shí)，發(fā)現(xiàn)AC段正常，斷定故障在BC段，再到BC中點(diǎn)D，這次發(fā)現(xiàn)BD段正常，可見故障在CD段，再到CD段中點(diǎn)E來查.像這樣每查一次，可以把待查的線路長度縮減一半.設(shè)計(jì)思路三(問題導(dǎo)入)

在我們掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)中，解方程既是一個(gè)重要知識(shí)和考查重點(diǎn)，又是解決其他數(shù)學(xué)問題的工具，我們已經(jīng)掌握了不少類型方程的求解方法，但是還有許多方程我們?nèi)匀粺o法求解，例如方程lgx=3-x，要求出這個(gè)方程的解是較為困難的,我們能否求出這個(gè)方程的近似解呢?這節(jié)課我們就來研究這個(gè)問題.(引入課題)推進(jìn)新課

新知探究

求方程x-2x-1=0的根.2當(dāng)然我們可以用一元二次方程的求根公式來解，這時(shí)求得方程的精確解為x1,2=?b?b?4ac2a2=

2?2?422=1±2，精確到0.1的近似解為2.4和－0.4.現(xiàn)在我們作出函數(shù)f(x)=x2-2x-1的圖象〔如圖(1)〕，同學(xué)們能夠估計(jì)根是多少嗎？

根據(jù)前面的知識(shí)，我們知道，方程x2-2x-1=0的根就是函數(shù)f(x)=x2-2x-1的零點(diǎn)，由函數(shù)f(x)=x2-2x-1的圖象〔圖(１)〕，我們可以知道方程x2-2x-1=0的正根大概是多少？由于我們從圖中可以看出f(2)＜0,f(3)＞0，所以這個(gè)根是2點(diǎn)幾.這時(shí)如果我們要求方程的根精確到0.1，是不是可以確定根的近似值了？不行！現(xiàn)在我們把(2,3)的部分局部放大，看圖(2)，我們發(fā)現(xiàn)f(因?yàn)閒(2?322?32)＞0，這時(shí)可以把方程的根限定在比(2，3)更小的范圍內(nèi)嗎？為什么？)＞0，f(2)＜0，所以方程的根就在區(qū)間(2,2.5)內(nèi)，我們繼續(xù)下去，這樣就可以把方程的根進(jìn)一步縮小范圍.定義：像這樣每次取中點(diǎn)，將區(qū)間一分為二，再經(jīng)比較，按需要留下其中一個(gè)子區(qū)間的方法叫二分法，也叫對(duì)分法.中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司

http://004km.cn 或http://004km.cn

當(dāng)我們用二分法來求方程的近似解的時(shí)候，怎么樣的區(qū)間才滿足精確度的要求？對(duì)于這個(gè)問題，同學(xué)們要注意“精確到0.1”和“誤差不超過0.1”是不一樣的，只有當(dāng)區(qū)間左右端點(diǎn)精確到0.1的近似值相等時(shí)，這個(gè)區(qū)間才滿足精確到的要求，而不是區(qū)間長度小于0.1就可以了.(這一點(diǎn)要向同學(xué)們交待清楚，因?yàn)樵S多參考書都把上面兩種說法混為一談了)

現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們用二分法來解決引例(這里作為例１).下面我們利用計(jì)算器來求方程x-2x-1=0的一個(gè)近似解(精確到0.1).解：令f(x)=x2-2x-1，設(shè)方程x2-2x-1=0的正根為x1，作出函數(shù)的簡圖〔“新知探究”中圖(1)和(2)〕.因?yàn)閒(2)=-1＜0，f(3)=2＞0，所以x1∈(2,3)，取2和3的平均數(shù)

因?yàn)閒(2.5)=0.25＞0，又f(2)＜0，所以x1∈(2,2.5)，取2和2.5的平均數(shù)

2?2.522

2?32=2.5，=2.25，因?yàn)閒(2.25)=-0.437 5＜0，又f(2.5)＞0，所以x1∈(2.25,2.5)，取2.25和2.5的平均數(shù)

因?yàn)閒(2.375)=-0.109 375＜0，又f(2.5)＞0，所以x1∈(2.375,2.5)，取2.437 5和2.5的平均數(shù)

2.375?2.522.25?2.52=2.375

=2.437 5，因?yàn)閒(2.437 5)=0.066 406 25＞0，又f(2.375)＜0，所以x1∈(2.375,2.437 5).因?yàn)閰^(qū)間(2.375，2.437 5)的左右端點(diǎn)精確到0.1的近似值都是2.4，所以此方程精確到0.1的近似解為x1≈2.4.利用同樣方法，我們還可以求出方程的另一個(gè)根的近似值.為了書寫簡便，也為了看起來更加清晰，我們用下面更簡潔的方法來表示：

令f(x)=x2-2x-1，設(shè)方程x2-2x-1=0的另一個(gè)根為x2，f(-1)＞0,f(0)＜0?x2∈(-1,0)，f(-0.5)＞0,f(0)＜0?x2∈(-0.5,0)，f(-0.5)＞0,f(-0.25)＜0?x2∈(-0.5,-0.25)，f(-0.5)＞0,f(-0.375)＜0?x2∈(-0.5,-0.375)，f(-0.437 5)＞0,f(-0.375)＜0?x2∈(-0.437 5,-0.375).因?yàn)椋?.437 5與－0.375精確到0.1的近似值都為－0.4，所以此方程的近似解為 x2≈-0.4.錯(cuò)誤解法：由于學(xué)生第一次接觸二分法，計(jì)算又煩瑣，所以容易把自己繞進(jìn)去，對(duì)到底取哪個(gè)區(qū)間無所適從，最后算到什么程度結(jié)束也茫然，容易認(rèn)為最后的區(qū)間長度小于0.1就是符合條件的范圍，例如解出x1∈(2.375,2.5)時(shí)，由于區(qū)間中點(diǎn)為2.437 5，與區(qū)間兩端的誤差都小于0.1，所以就認(rèn)為x1≈2.4.這個(gè)結(jié)果盡管正確，但是思路是有問題的，正確思路應(yīng)該是區(qū)間兩端的近似值相等.點(diǎn)評(píng)：二分法求方程的近似解的方法從一開始就必須嚴(yán)格按照要求一步一步求解，不能為了貪圖方便而隨意省略步驟.具體步驟如下：

1.尋找最初起步區(qū)間；(方法：函數(shù)圖象法、函數(shù)特征法)

2.取區(qū)間中點(diǎn)，求中點(diǎn)的函數(shù)值；

3.選擇符合要求的半?yún)^(qū)間作為新的區(qū)間；(其中的一個(gè)端點(diǎn)是中點(diǎn)，另一個(gè)端點(diǎn)是函數(shù)

中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司

http://004km.cn 或http://004km.cn

值與中點(diǎn)處的函數(shù)值異號(hào)的原區(qū)間的端點(diǎn))

4.判斷這個(gè)半?yún)^(qū)間是否滿足精確度；(要求是左右端點(diǎn)的近似值相等)

5.若符合，這個(gè)相等的近似值就是方程的近似解，若不符合，回到步驟2繼續(xù)計(jì)算，最后得到結(jié)論.為了幫助同學(xué)們理解這個(gè)過程，教師可以在解例１時(shí)用右圖來輔助確定子區(qū)間，圖中負(fù)號(hào)“-”表示此點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為負(fù)，正號(hào)“+”表示此點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為正.從圖中可以更加清晰地看出根所在區(qū)間的不斷減半縮小的過程.應(yīng)用示例

例

1利用計(jì)算器，求方程lgx=3-x的近似解(精確到0.1).分析：例2與例１有明顯的不同，例１的方程對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象容易作出，所以根據(jù)圖象初步判斷方程的根的起步區(qū)間比較容易，而例2中，方程可以化為lgx-3+x=0，對(duì)應(yīng)的函數(shù)是f(x)=lgx-3+x，無法作出它的圖象.但是我們考慮原方程兩邊的對(duì)應(yīng)函數(shù)都是我們熟悉的形式，分別是對(duì)數(shù)函數(shù)y=lgx和一次函數(shù)y=3-x，我們分別畫出y=lgx和y=3-x的圖象，如圖所示.在兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)處，函數(shù)值相等即y值相等.因此，這個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程lgx=3-x的解.由函數(shù)y=lgx與y=3-x的圖象可以發(fā)現(xiàn)，方程lgx=3-x有唯一解，記為x1，并且這個(gè)解在區(qū)間(2，3)內(nèi).然后如同例１，利用二分法，多次把區(qū)間縮小，取其中符合條件的半?yún)^(qū)間，直到精確到符合要求為止.解：在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=lgx和函數(shù)y=3-x的圖象(如上圖)，因?yàn)楹瘮?shù)y=lgx是定義域內(nèi)的增函數(shù)，函數(shù)y=3-x是定義域內(nèi)的減函數(shù)，由圖象可知，方程的根在區(qū)間(2,3)內(nèi)，且只有這一個(gè)根.設(shè)方程的根為x1，令f(x)=lgx-3+x，用計(jì)算器計(jì)算，得

f(2)＜0,f(3)＞0?x1∈(2,3)，f(2.5)＜0,f(3)＞0?x1∈(2.5,3)，f(2.5)＜0,f(2.75)＞0?x1∈(2.5,2.75)，f(2.5)＜0,f(2.625)＞0?x1∈(2.5,2.625)，f(2.562 5)＜0,f(2.625)＞0?x1∈(2.562 5,2.625).因?yàn)?.562 5與2.625精確到0.1的近似值都為2.6，所以原方程的近似解為x1≈2.6.點(diǎn)評(píng)：同樣，在解題過程中，要提醒同學(xué)們注意保證計(jì)算的準(zhǔn)確率，取近似解時(shí)的最后一個(gè)區(qū)間應(yīng)該是哪一個(gè)，怎樣判斷我們的計(jì)算已經(jīng)符合精確度的要求了.例

2作出函數(shù)y=x3與y=3x-1的圖象,并寫出方程x3=3x-1的近似解(精確到0.1).中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司

http://004km.cn

3或http://004km.cn

解：函數(shù)y=x與y=3x-1的圖象如圖所示,在兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)處,函數(shù)值相等.因此,這三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程x=3x-1的解.3由圖象可以知道,方程x3=3x-1的解分別在區(qū)間(-2,-1),(0,1)和(1,2)內(nèi).那么,對(duì)于區(qū)間(-2,-1),(0,1)和(1,2)分別利用二分法就可以求得它精確到0.1的近似解為

x1≈-1.9，x2≈0.3, x3≈1.5.例3

求方程2x+x=4的近似解(精確到0.1).解：方程2x+x=4可以化為2x=4-x.分別畫函數(shù)y=2x與y=4-x的圖象,如右圖所示.由圖象可以知道,方程2x+x=4的解在區(qū)間(1,2)內(nèi),那么對(duì)于區(qū)間(1,2),利用二分法就可以求得它的近似解為x≈1.4.知能訓(xùn)練

課本第79頁練習(xí)1、2.課本第81頁練習(xí)1、2.解答：

課本第79頁練習(xí)

1.設(shè)f(x)=x3+3x-1.因?yàn)閒(0)=-1＜0，f(1)=3＞0，所以方程x3+3x-1=0在(0,1)內(nèi)有解.中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司

http://004km.cn 或http://004km.cn

2.略

3.用二分法求方程f(x)=0近似解的一般步驟.第一步：取一個(gè)區(qū)間(a,b)，使f(a)·f(b)＜0，令a0=a,b0=b；

第二步：取區(qū)間(a0,b0)的中點(diǎn)，x0=

12(a0+b0)；

第三步：計(jì)算f(x0)，①若f(x0)=0，則x0就是f(x)=0的解，計(jì)算終止；②若f(a)·f(x0)＜0，則解位于區(qū)間(a0,x0)中，令a1=a0，b1=x0；③若f(x0)·f(b0)＜0，則解位于區(qū)間(a0,b0)中，令a1=x0，b1=b0；

第四步：取區(qū)間(a1,b1)的中點(diǎn)，x1=程的解總位于區(qū)間(an,bn)內(nèi)；

第五步：當(dāng)an、bn精確到規(guī)定的精確度的近似值相等時(shí)，那么這個(gè)值就是所求的近似解.課本第81頁練習(xí)

1.解法1：由2x2=3x-1，得2x2-3x+1=0，即(2x-1)(x-1)=0，所以x1=1，x2=解法2：由2x=3x-1，得2x-3x+1=0，即(x-

32212(a1+b1)，重復(fù)第二步和第三步，直到第n步，方

1234.-142

34)=

116，所以x1=

34+

14=1，x2=

=

12.2.設(shè)f(x)=x-2x-1.因?yàn)閒(-1)=0，所以x1=-1是方程的解.所以f(x)=(x+1)(x-x-1).由x-x-1=0，得x=1?25，即x2≈-0.6，x3≈1.6.課堂小結(jié)

二分法是求方程的近似解一種方法，但是并不能求所有方程的解，只有在零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)并且圖象連續(xù)的函數(shù)，才能用二分法求解.求解時(shí)先根據(jù)圖象或函數(shù)性質(zhì)得到初始區(qū)間，然后取區(qū)間中點(diǎn)，求中點(diǎn)函數(shù)值，再取其中的一個(gè)子區(qū)間，如此循環(huán)，直到區(qū)間兩端的近似值相等為止.當(dāng)然，如果在求中點(diǎn)函數(shù)值的時(shí)候結(jié)果恰為0，則運(yùn)算立即終止，中點(diǎn)值就是方程的零點(diǎn).作業(yè)

課本第81頁習(xí)題2.5 3、5.設(shè)計(jì)感想

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求能“根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠借助計(jì)算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法”.因此在教學(xué)過程中，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生甲聯(lián)系的觀點(diǎn)理解知識(shí)，溝通函數(shù)、方程、不等式及算法等內(nèi)容，體現(xiàn)知識(shí)與知識(shí)之間、知識(shí)與實(shí)際之間的聯(lián)系，使學(xué)生能夠感受到多方面的聯(lián)系，從整體上把握所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，加強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力.函數(shù)應(yīng)用的一個(gè)重要內(nèi)容就是利用函數(shù)的性質(zhì)和圖象求解函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的根，二分法就是體現(xiàn)這種應(yīng)用的方法.通過對(duì)二分法的學(xué)習(xí)，不僅使學(xué)生掌握一種求方程近似解的方法，而且通過對(duì)二分法的步驟的理解，開始懂得“有步驟、程序化”是算法思想的重要特征，為必修3中學(xué)習(xí)算法內(nèi)容埋下伏筆.在本節(jié)課的教學(xué)中，我們通過求具體的方程的近似解介紹“二分法”并總結(jié)其實(shí)施步驟，注意讓學(xué)生歸納概括所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論或規(guī)律，并用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表述出來.近似的思想和逼近的思想在以往傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中被忽視了，好像數(shù)學(xué)不講究近似，其實(shí)這兩種數(shù)學(xué)思想很重要.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生體會(huì)到函數(shù)與方程之間的緊密聯(lián)系.有了函數(shù)的觀點(diǎn)，中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司

http://004km.cn 或http://004km.cn

對(duì)方程的認(rèn)識(shí)和理解將會(huì)更加深入.二分法就是函數(shù)知識(shí)的一個(gè)應(yīng)用，通過它可以求得方程的近似解.在選定的初始區(qū)間時(shí)，注意分析函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，通過試驗(yàn)確定端點(diǎn).初始區(qū)間可以選的不同，不影響最終計(jì)算結(jié)果.二分法只是求方程近似解的一種方法，類似的還有0.618法、牛頓法與迭代法等.在教學(xué)過程中，我們要聯(lián)系函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，利用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，求相應(yīng)方程的近似解.培養(yǎng)學(xué)生“函數(shù)與方程的思想方法”，即對(duì)于某些函數(shù)的問題，從方程的角度去解決，或方程的問題用函數(shù)的觀點(diǎn)去解決，充分體現(xiàn)函數(shù)與方程的有機(jī)聯(lián)系.很多參考資料是源于人教版教材，而人教版(A)中的精確度是這樣定義的：給定精度ε，若|a-b|＜ε，則得到零點(diǎn)近似值a(或b).教材第105頁給出例2，要求“精確到0.1”，解答中提到“由于|1.375－1.437 5|＝0.062 5＜0.1，此時(shí)區(qū)間(1.375－1.437 5)的兩個(gè)端點(diǎn)精確到0.1的近似值都是1.4，所以原方程精確到0.1的近似解為1.4”，所以兩套教材并不矛盾.人教版(B)中精確度的定義與(A)版一致，在教材第79頁給出一個(gè)例題，要求是“誤差不超過0.1”，所以用|a-b|＜ε也是正確的.但是按照蘇教版精確度的定義，正確的處理方法應(yīng)該是“區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)的近似值相等”.習(xí)題詳解

課本第81頁習(xí)題2.5

1.解法1：∵Δ=12-4×1×1=-3＜0，∴方程x2+x+1=0沒有實(shí)數(shù)根.解法2：令f(x)=x2+x+1它的圖象是開口向上，對(duì)稱軸為直線x=?

∴當(dāng)x=?1212的拋物線，時(shí)，y有最小值ymin=f(?12)=(?12)2+(?12)+1=

34＞0.∴函數(shù)的圖象全部在x軸上方，∴方程x2+x+1=0沒有實(shí)數(shù)根.2.令f(x)=5x2-7x-1

∵f(-1)·f(0)=(5+7-1)×(-1)=-11＜0，∴方程的一個(gè)根在區(qū)間(－1，0)內(nèi).同理f(1)·f(2)=(5-7-1)×(5×22-7×2-1)=-15＜0，∴方程的另一個(gè)根在區(qū)間(1，2)內(nèi).2

3.令f(x)=x-2x-2，作出函數(shù)的示意圖，設(shè)函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為x1，由圖象可知，f(2)＜0,f(3)＞0.用計(jì)算器計(jì)算，得

f(2)＜0,f(3)＞0?x1∈(2,3)，f(2.5)＜0,f(3)＞0?x1∈(2.5,3)，f(2.5)＜0,f(2.75)＞0?x1∈(2.5,2.75)，f(2.625)＜0,f(2.75)＞0?x1∈(2.625,2.75)，f(2.718 75)＜0,f(2.75)＞0?x1∈(2.718 75,2.75)，f(2.718 75)＜0,f(2.734 375)＞0?x1∈(2.718 75,2.734 375).中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司

http://004km.cn 或http://004km.cn

因?yàn)?.718 75與2.734 375精確到0.1的近似值都為2.7，所以原方程的近似解為x1≈2.7.類似地可以求得另一個(gè)近似解為x2≈-0.7.點(diǎn)評(píng)：本題嚴(yán)格按照要求嚴(yán)格這樣算，但是在具體計(jì)算過程中，可少算一步.當(dāng)計(jì)算得到x1∈(2.718 75,2.75)時(shí)，盡管區(qū)間兩端的近似值不同，左端點(diǎn)的近似值為2.7，右端點(diǎn)的近似值為2.8，但是由于x1＜2.75，所以只要比2.75小任何一點(diǎn)點(diǎn)，近似值都只能是2.7，所以到這一步其實(shí)我們已經(jīng)可以確定x1的近似值只能是2.7了.至于另一個(gè)根x2，我們完全可以利用二次函數(shù)的對(duì)稱性得到，因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱軸為直線x=1，所以x1+x2=2，所以x2≈-0.7，而沒有必要再進(jìn)行如此重復(fù)的運(yùn)算了.所以這里可以告誡學(xué)生，知識(shí)是死的，方法是活的，我們應(yīng)該靈活應(yīng)用所掌握的知識(shí).4.解法1：由x2-3x-10=0，得(x-5)(x+2)=0，所以x1=-2，x2=5.解法2：由x-3x-10=0，得x=2

3?9?402?3?72，所以x1=-2，x2=5.5.(1)作出函數(shù)y=lg2x和函數(shù)y=-x+1的圖象〔圖(1)〕

圖(1)

令f(x)=lg2x+x-1，由圖象可知，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(0.5，1)內(nèi).由計(jì)算器計(jì)算，可得：

f(0.5)＜0,f(1)＞0?x1∈(0.5,1), f(0.75)＜0,f(1)＞0?x1∈(0.75,1)，f(0.75)＜0,f(0.875)＞0?x1∈(0.75,0.875)，f(0.75)＜0,f(0.812 5)＞0?x1∈(0.75,0.812 5)，因?yàn)?.75與0.812 5精確到0.1的近似值都為0.8，所以原方程的近似解為x1≈0.8.x

(2)作出函數(shù)y=3和函數(shù)y=x+4的圖象〔圖(2)〕.令f(x)=3x-x-4，由圖象可知，函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1，2)內(nèi)，設(shè)其為x1

圖(2)

由計(jì)算器計(jì)算，可得：

f(1)＜0,f(2)＞0?x1∈(1,2)，f(1.5)＜0,f(2)＞0?x1∈(1.5,2)，f(1.5)＜0,f(1.75)＞0?x1∈(1.5,1.75)，f(1.5)＜0,f(1.625)＞0?x1∈(1.5,1.625)，f(1.5)＜0,f(1.562 5)＞0?x1∈(1.5,1.562 5)，f(1.531 25)＜0,f(1.562 5)＞0?x1∈(1.531 25,1.562 5)，中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司

http://004km.cn 或http://004km.cn

f(1.546 875)＜0,f(1.562 5)＞0?x1∈(1.546 875,1.562 5)，f(1.554 687 5)＜0,f(1.562 5)＞0?x1∈(1.554 687 5,1.5625).因?yàn)?.554 687 5與1.562 5精確到0.1的近似值都為1.6，所以原方程的近似解為x1≈1.6.類似地可以求得另一個(gè)近似解為x2≈-4.0.中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司

第四篇：示范教案(第2章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ習(xí)題課(二))

http://004km.cn 或http://004km.cn

習(xí)題課(二)

(函數(shù)的概念和圖象)

教學(xué)過程

復(fù)習(xí)(教師引導(dǎo)，學(xué)生回答)

1.函數(shù)單調(diào)性的定義.2.證明函數(shù)單調(diào)性的基本步驟.3.函數(shù)奇、偶性的定義.4.根據(jù)定義判定函數(shù)奇、偶性的步驟.5.根據(jù)奇偶性可以把函數(shù)分為四類：奇函數(shù)；偶函數(shù)；既是奇函數(shù)，也是偶函數(shù)；既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).6.既是奇函數(shù)，也是偶函數(shù)的函數(shù)有無數(shù)個(gè)，解析式都為f(x)=0，只要定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即可.7.映射的定義.8.映射f:A→B說的是兩個(gè)集合A與B間的一種對(duì)應(yīng)，兩個(gè)集合是有序的.映射是由集合A、集合B和對(duì)應(yīng)法則三部分組成的一個(gè)整體，判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)是不是映射應(yīng)該抓住關(guān)鍵：A中之任一對(duì)B中之唯一.A中不能有多余的元素，應(yīng)該一個(gè)不剩，而B中元素沒有這個(gè)要求，可以允許有剩余；映射只能是“一對(duì)一”或“多對(duì)一”，而不能是“一對(duì)多”或“多對(duì)多”，A到B的映射與B到A的映射往往不是同一個(gè)映射.映射所涉及兩個(gè)集合A、B，可以是數(shù)集，也可以是點(diǎn)集或其他類元素構(gòu)成的集合.導(dǎo)入新課

前面一段，我們一起研究了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性以及映射有關(guān)概念及問題，并掌握了一定的分析問題、解決問題的方法，這一節(jié)，我們將對(duì)這部分內(nèi)容集中訓(xùn)練一下，使大家進(jìn)一步熟悉函數(shù)的有關(guān)概念、基本方法與基本的解題思想；并通過典型例題進(jìn)一步提高大家的分析問題、解決問題的能力.推進(jìn)新課

基礎(chǔ)訓(xùn)練

思路1

1.對(duì)應(yīng)①：A={x|x∈R}，B={y||y|＞0}，對(duì)應(yīng)法則f:

1→y； x

對(duì)應(yīng)②：A={(x,y)||x|＜2,|y|＜2,x∈Z,y∈Z}，B={-2,-1,0,1,2}，對(duì)應(yīng)法則f:(x,y)→x+y，下列判斷正確的是（）

A.只有①為映射

B.只有②為映射

C.①和②都是映射

D.①和②都不是映射

2.已知f(x)、g(x)是定義在R上的兩個(gè)不恒為零的函數(shù)，若f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則f(x)·g(x)是（）

A.奇函數(shù)

B.偶函數(shù)

C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

D.非奇非偶函數(shù)

3.設(shè)f(x)、g(x)都是單調(diào)函數(shù)，有如下四個(gè)命題：

①若f(x)單調(diào)遞增，g(x)單調(diào)遞增，則f(x)-g(x)單調(diào)遞增；

②若f(x)單調(diào)遞增，g(x)單調(diào)遞減，則f(x)-g(x)單調(diào)遞增；

③若f(x)單調(diào)遞減，g(x)單調(diào)遞增，則f(x)-g(x)單調(diào)遞減；

④若f(x)單調(diào)遞減，g(x)單調(diào)遞減，則f(x)-g(x)單調(diào)遞減.其中正確的命題是（）

A.①和③

B.①和④

C.②和③

D.②和④

中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司

http://004km.cn 或http://004km.cn

4.指出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并說明在單調(diào)區(qū)間上函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)：

(1)f(x)=-x2+x-6;(2)f(x)=?

解答：1.A 2.A 3.C

4.(1)函數(shù)f(x)=-x2+x-6單調(diào)區(qū)間為(-∞，(-∞，x;(3)f(x)=-x3+1.11]，[，+∞)，f(x)在 2211]上為增函數(shù)，f(x)在[，+∞)上為減函數(shù).2

2(2)f(x)=?x單調(diào)區(qū)間是[0，+∞)，f(x)在[0，+∞)上是減函數(shù)；

(3)f(x)=-x3+1單調(diào)區(qū)間為(-∞，+∞)，f(x)在(-∞,+∞)上是減函數(shù).思路2

1.映射f:X→Y是定義域X到值域Y上的函數(shù)，則下面四個(gè)結(jié)論中正確的是…（）

A.Y中元素在X中不一定有元素與之對(duì)應(yīng)

B.X中不同的元素在Y中有不同的元素與之對(duì)應(yīng)

C.Y可以是空集

D.以上結(jié)論都不對(duì)

2.下列函數(shù)中，既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)，并且在(-∞,0)上是增函數(shù)的是（）

A.f(x)=5x+2

B.f(x)=

C.f(x)=

x

1-1

D.f(x)=x2 x

3.設(shè)f(x)為定義在數(shù)集A上的增函數(shù)，且f(x)＞0，有下列函數(shù)：①y=3-2f(x)；②y=

1；f(x)③y=[f(x)]2；④y=f(x).其中減函數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)

1?x2

4.函數(shù)f(x)=（）x

A.是偶函數(shù)

B.是奇函數(shù)

C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

D.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

5.函數(shù)f(x)=a(a≠0)在區(qū)間(-∞,0)上是（）x

A.增函數(shù)

B.減函數(shù)

C.a＞0時(shí)是增函數(shù)，a＜0時(shí)是減函數(shù)

D.a＞0時(shí)是減函數(shù)，a＜0時(shí)是增函數(shù)

6.對(duì)于定義在R上的函數(shù)f(x)，有下列判斷：

(1)f(x)是單調(diào)遞增的奇函數(shù)；

(2)f(x)是單調(diào)遞減的奇函數(shù)；

(3)f(x)是單調(diào)遞增的偶函數(shù)；

(4)f(x)是單調(diào)遞減的偶函數(shù).其中一定不成立的是_________________.解答：1.D 2.A 3.B 4.B 5.D 6.(3)(4)

中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司

http://004km.cn 或http://004km.cn

應(yīng)用示例

思路1

例

1若函數(shù)f(x)=x2+bx+c對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(2+x)=f(2-x)，那么…（）

A.f(2)＜f(1)＜f(4)

B.f(1)＜f(2)＜f(4)

C.f(2)＜f(4)＜f(1)

D.f(4)＜f(2)＜f(1)

分析：此題解決的關(guān)鍵是將函數(shù)的對(duì)稱語言轉(zhuǎn)化為對(duì)稱軸方程.解法一：由f(2+x)=f(2-x)可知：函數(shù)f(x)=x2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=2，由二次函數(shù)f(x)開口方向向上，可得f(2)最小，又f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0)，因?yàn)楫?dāng)x＜2時(shí)，y=f(x)為單調(diào)減函數(shù)，又因?yàn)?＜1＜2，所以f(0)＞f(1)＞f(2)，即f(2)＜f(1)＜f(4)，故選A.解法二：由f(2+x)=f(2-x)可知：函數(shù)f(x)=x2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=2，由二次函數(shù)f(x)開口方向向上，畫出函數(shù)f(x)=x2+bx+c的草圖如右圖所示：

由草圖易知：f(2)＜f(1)＜f(4)，故選A.點(diǎn)評(píng)：(1)解法一是先將要比較大小的幾個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的自變量通過函數(shù)圖象的對(duì)稱軸化到該函數(shù)的同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后再利用該函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性來比較這幾個(gè)數(shù)的大小；解法二是根據(jù)所給條件畫出函數(shù)的草圖，只需將要比較大小的幾個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的自變量進(jìn)行比較大小即可，當(dāng)然，這與函數(shù)圖象的開口方向也有關(guān).記憶技巧：若函數(shù)圖象開口向上，則當(dāng)自變量離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)時(shí)函數(shù)值越大；

若函數(shù)圖象開口向下，則當(dāng)自變量離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)時(shí)函數(shù)值越小.(2)通過此題可將對(duì)稱語言推廣如下：

①若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f(a+x)=f(a-x)成立，則x=a是函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸；

②若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f(a+x)=f(b-x)成立，則x=

a?b是函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸.2

例2

有下列說法：

①函數(shù)f(x)在兩個(gè)區(qū)間A、B上都是單調(diào)減函數(shù)，則函數(shù)f(x)在A∪B上也是單調(diào)減函數(shù)；

②反比例函數(shù)y=1在定義域內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)； x

③函數(shù)y=-x在R上是減函數(shù)；

④函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，則y=[f(x)]2在定義域內(nèi)也是單調(diào)增函數(shù).其中正確的說法有（）

A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)

分析：本題是有關(guān)函數(shù)單調(diào)性的選擇題，解決時(shí)采取各個(gè)擊破的方法.解：①不正確.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=

1在區(qū)間A=(-∞,0)，B=(0,+∞)上都是單調(diào)減函數(shù)，但f(x)x在區(qū)間A∪B=(-∞,0)∪(0,+∞)上是沒有單調(diào)性的，所以①不正確、②不正確.反比例函數(shù)y=

1在定義域(-∞,0)∪(0,+∞)內(nèi)是沒有單調(diào)性的、x中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司

http://004km.cn 或http://004km.cn

③正確、④不正確.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x在定義域(-∞,+∞)內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，但是函數(shù)y=[f(x)]2=x2在區(qū)間(-∞,0]上單調(diào)減，在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)增，而在定義域(-∞,+∞)內(nèi)是沒有單調(diào)性的，所以④不正確.所以正確的說法只有1個(gè)，故本題選A.點(diǎn)評(píng)：(1)在“反比例函數(shù)y=

1在定義域(-∞,0)∪(0,+∞)內(nèi)是沒有單調(diào)性”這一點(diǎn)上，學(xué)生x經(jīng)常會(huì)出錯(cuò)，教師應(yīng)向?qū)W生強(qiáng)調(diào).(2)對(duì)于要讓我們判斷正確與否的問題，要學(xué)會(huì)通過舉反例的方法來判斷.(3)要判斷某個(gè)說法正確，需要嚴(yán)密的推理論證；要判斷某個(gè)說法不正確，只需要取出一個(gè)反例即可.例

3定義在(-1,1)上的奇函數(shù)f(x)在整個(gè)定義域上是減函數(shù)，若f(1-a)+f(1-3a)＜0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.分析：本題所給函數(shù)為抽象函數(shù)，沒有具體的函數(shù)解析式，要求實(shí)數(shù)a的取值范圍，關(guān)鍵是脫去“f”，因此要通過討論，在f(x)的單調(diào)區(qū)間上，利用函數(shù)的單調(diào)性使問題獲得解決.解：因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)?-1,1)，所以???1?1?a?1,2解得0＜a＜.①

3??1?1?3a?1,原不等式f(1-a)+f(1-3a)＜0化為f(1-3a)＜-f(1-a)，因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以-f(1-a)=f(a-1)，所以原不等式化為f(1-3a)＜f(a-1)，因?yàn)閒(x)是減函數(shù)，所以1-3a＞a-1，即a＜

由①和②得實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,1.② 21).2點(diǎn)評(píng)：(1)學(xué)生容易忘記定義域的限制，因此要重視定義域在解題中的作用.(2)解關(guān)于抽象函數(shù)的函數(shù)方程或函數(shù)不等式，基本思路是依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性脫去“f”，要注意函數(shù)單調(diào)性定義與奇偶性定義的正確運(yùn)用.若函數(shù)f(x)在區(qū)間A上遞增，且f(x1)＜f(x2)，則??x1,x2?A；

?x1?x2?x1,x2?A

若函數(shù)f(x)在區(qū)間A上遞減，且f(x1)＜f(x2)，則?.x?x2?

1變式訓(xùn)練

問題：請(qǐng)對(duì)題目條件作適當(dāng)改變，并寫出解答過程.(學(xué)生有可能會(huì)得出如下變式)

(錯(cuò)誤)變式一：定義在(-1,1)上的偶函數(shù)f(x)在整個(gè)定義域上是減函數(shù)，若f(1-a)+f(1-3a)＜0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.點(diǎn)撥：教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)此變式一是錯(cuò)誤的，因?yàn)榕己瘮?shù)f(x)在整個(gè)定義域上不可能是單調(diào)函數(shù)(圖象關(guān)于ｙ軸對(duì)稱)，鼓勵(lì)學(xué)生再改.(不當(dāng))變式二：定義在(-1，1)上的偶函數(shù)f(x)在(-1,0]上是減函數(shù)，若f(1-a)+f(1-3a)＜0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.點(diǎn)撥：教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)此變式二的題目是正確的，但是沒有辦法解決.因?yàn)榻鉀Q此類問題是依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性脫去“f”，由f(1-a)+f(1-3a)＜0，得f(1-a)＜-f(1-3a)，不等式右邊的中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司

http://004km.cn 或http://004km.cn

負(fù)號(hào)沒有辦法去掉.例3中的函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，不等式右邊的負(fù)號(hào)可以拿到括號(hào)里面，再根據(jù)函數(shù)f(x)的單調(diào)性來解決即可，而變式二中的函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，不等式右邊的負(fù)號(hào)去不掉就沒有辦法利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性來解決.拓展探究：

(正確)變式三：定義在(-1,1)上的偶函數(shù)f(x)在(-1,0]上是減函數(shù)，若f(1-a)＜f(1-3a)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.例

4已知函數(shù)f(x)=ax3+bx+1，常數(shù)a、b∈R，且f(4)=0，則f(-4)=____________.分析：本題所給的函數(shù)雖然給出了函數(shù)解析式，但解析式中含有兩個(gè)參數(shù).想要將這兩個(gè)參數(shù)全部求出來再來求解顯然是不可能的，因?yàn)轭}目中只給出了一個(gè)條件，根據(jù)一個(gè)條件想要求出兩個(gè)未知數(shù)的值是辦不到的.因此嘗試著用整體思想來解決本題.解：(方法一)設(shè)g(x)=ax3+bx，則f(x)=g(x)+1.因?yàn)間(-x)=a(-x)3+b(-x)=-ax3-bx=-g(x)，所以g(x)是奇函數(shù).因?yàn)閒(4)=g(4)+1=0，所以g(4)=-1；又因?yàn)間(x)是奇函數(shù)，所以g(-4)=-g(4)=1，所以f(-4)=g(-4)+1=2.(方法二)因?yàn)閒(x)=ax3+bx+1，所以f(-x)=a(-x)3+b(-x)+1=-ax3-bx+1，則f(-x)+f(x)=-ax3-bx+1+ax3+bx+1=2，即f(-x)=2-f(x)，所以f(-4)=2-f(4)=2-0=2.點(diǎn)評(píng)：(1)審題要重視問題的特征；(2)整體代換是解決此類問題常用的思想方法.例

5求函數(shù)f(x)=x2-2ax+2在[2，4]上的最小值.分析：本題中的函數(shù)是二次函數(shù)，求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題按照“配方——草圖——有效圖象”三部進(jìn)行.解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的對(duì)稱軸是x=a，可分以下三種情況：

(1)當(dāng)a＜2時(shí)，f(x)在[2，4]上為增函數(shù)，所以f(x)min=f(2)=6-4a；

(2)當(dāng)2≤a≤4時(shí)，f(x)min=f(a)=2-a2；

(3)當(dāng)a＞4時(shí)，f(x)在[2，4]上為減函數(shù)，所以f(x)min=f(4)=18-8a.(a?2),?6?7a,?

2綜上所述：f(x)min=?2?a,(2?a?4)，?18?8a,(a?2).?

點(diǎn)評(píng)：本題屬于二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題，由于二次函數(shù)的系數(shù)含有參數(shù)，對(duì)稱軸是變動(dòng)的，屬于“軸動(dòng)區(qū)間定”，由于圖象開口向上，所以求最小值要根據(jù)對(duì)稱軸x=a與區(qū)間[2，4]的位置關(guān)系，分三種情況討論；最大值在端點(diǎn)取得時(shí)，只須比較f(2)與f(4)的大小，按兩種情況討論即可，實(shí)質(zhì)上是討論對(duì)稱軸位于區(qū)間中點(diǎn)的左、右兩種情況.變式訓(xùn)練

1.求函數(shù)f(x)=x2-2ax+2在[2，4]上的最大值.解：由例5可知f(x)max為f(2)與f(4)中較大者，根據(jù)函數(shù)f(x)=x2-2ax+2的草圖可知：

(1)當(dāng)a≥3時(shí)，f(2)≥f(4)，則f(x)max=f(2)=6-4a；

(2)當(dāng)a＜3時(shí)，f(2)＜f(4)，則f(x)max=f(4)=18-8a.中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司

http://004km.cn 或http://004km.cn

故f(x)max=??6?4a,(a?3)，?8?8a,(a?3).2.求函數(shù)f(x)=x2-2ax+2在[2，4]上的最值.解：因?yàn)閒(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2，函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸是x=a，(1)當(dāng)a≤2時(shí)，f(x)min=f(2)=6-4a，f(x)max=f(4)=18-8a;

(2)當(dāng)2＜a＜3時(shí)，f(x)min=f(a)=2-a2，f(x)max=f(4)=18-8a；

(3)當(dāng)3≤a＜4，f(x)min=f(a)=2-a2，f(x)max=f(2)=6-4a；

(4)當(dāng)a≥4時(shí)，f(x)min=f(4)=18-8a，f(x)max=f(2)=6-4a.例6

設(shè)x1，x2為方程4x2-4mx+m+2=0的兩個(gè)實(shí)根，當(dāng)m為何實(shí)數(shù)值時(shí)，x12+x22有最小值，并求這個(gè)最小值.錯(cuò)解：因?yàn)閤1、x2是方程4x2-4mx+m+2=0的兩個(gè)實(shí)根，m?2.4m?2117

所以x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2=m2-=(m-)2-.4162117

所以當(dāng)m=時(shí)，x12+x22有最小值，且最小值為-.416

由韋達(dá)定理，得x1+x2=m，x1·x2=

分析：關(guān)于x的一元二次方程4x2-4mx+m+2=0有兩個(gè)實(shí)根，則它的判別式：Δ=(-4m)2-4×4(m+2)≥0，即m∈(-∞-1]∪[2,+∞)，m取不到

1，不能忽視一元二次方程有實(shí)根4的充要條件.正解：因?yàn)閤1、x2是方程4x2-4mx+m+2=0的兩個(gè)實(shí)根，由韋達(dá)定理，得x1+x2=m，x1·x2=m?2.4m?2117=(m-)2-.41621217)-的416

所以x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2=m2-

又因?yàn)棣?(-4m)2-4×4(m+2)≥0，解得m≤-1或m≥2.可根據(jù)二次函數(shù)f(m)=(m-草圖，知當(dāng)m=-1時(shí)，ymin=

1.2

點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)值域、最值，解方程、不等式等均要考慮字母的取值范圍，有些問題的定義域非常隱蔽.因此，我們要注意充分挖掘題目中的隱含條件.思路2

例

1是否存在實(shí)數(shù)λ，使函數(shù)f(x)=x4+(2-λ)x2+2-λ在區(qū)間(-∞,-2]上是減函數(shù)，而在區(qū)間[-1,0)上是增函數(shù)？若存在，求出λ的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.分析：已知函數(shù)在規(guī)定區(qū)間上的單調(diào)性，運(yùn)用定義可得出λ與所設(shè)的x1、x2的不等關(guān)系式，再根據(jù)變量x1、x2的兩個(gè)范圍，求出λ的范圍，由兩個(gè)已知條件求出λ的兩個(gè)范圍，中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司

http://004km.cn 或http://004km.cn

若有公共部分則λ存在，若無公共部分，則λ不存在.解：因?yàn)閒(x1)-f(x2)=x14-x24+(2-λ)(x12-x22)=(x12-x22)(x12+x22+2-λ).若x1＜x2≤-2，則x12-x22＞0，且x12+x22+2＞4+4+2=10，所以當(dāng)且僅當(dāng)λ≤10時(shí)，f(x1)-f(x2)＞0恒成立，從而f(x)在區(qū)間(-∞,-2]上是減函數(shù).若-1≤x1＜x2＜0，則x12-x22＞0，且x12+x22+2＜1+1+2=4，所以當(dāng)且僅當(dāng)λ≥4時(shí)，f(x1)-f(x2)＜0恒成立，從而f(x)在區(qū)間[-1,0)上是增函數(shù).綜上所述，存在實(shí)數(shù)λ使f(x)在區(qū)間(-∞,-2]上是減函數(shù)，而在區(qū)間[-1,0)上是增函數(shù)，且實(shí)數(shù)λ的取值范圍為[4,10].點(diǎn)評(píng)：本題是一道探索性命題，是一道求函數(shù)單調(diào)性的逆向問題，定義是解決此類問題的最佳方法.例

2設(shè)定義在R上的偶函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,+∞)上是減函數(shù)，若實(shí)數(shù)x滿足f(x)＞f(2x+1)，試求x的取值范圍.分析：要求x的取值范圍，關(guān)鍵是脫去“f”，因此要通過討論，在f(x)的單調(diào)區(qū)間上，利用函數(shù)的單調(diào)性使問題獲得解決.解：可分為三類來加以討論：

(1)若x≥0，則2x+1＞0，由題設(shè)，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,+∞)上是減函數(shù)，得0≤x＜2x+1，解之得x≥0.(2)若??x?0,1即x＜-，由于函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)，所以f(-x)=f(x)，故f(x)＞

2?2x?1?0,f(2x+1)f(-x)＞f(-2x-1)，而-x＞0，-2x-1＞0,且函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,+∞)上是減函數(shù)，得1?x??,?解之，得x＜-1.2????x??2x?1,?x?0,1(3)若?即-＜x＜0，仿上可得f(x)＞f(2x+1)f(-x)＞f(2x+1)，22x?1?0,??11???x?0,有?2解之，得?＜x＜0.3???x?2x?1,綜上所述，x的取值范圍是(-∞,-1)∪(?1,+∞).3點(diǎn)評(píng)：(1)解關(guān)于抽象函數(shù)的函數(shù)方程或函數(shù)不等式，基本思路是依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性脫去“f”，要注意函數(shù)單調(diào)性定義的正確運(yùn)用；

若f(x)在區(qū)間A上遞增，且f(x1)＜f(x2)，則??x1,x2?A，x?x,2?1?x1,x2?A,若f(x)在區(qū)間A上遞減，且f(x1)＜f(x2)，則?

x?x,2?1

(2)若能注意到偶函數(shù)y=f(x)具有如下性質(zhì)：f(x)=f(|x|)，則由題意可得，f(x)=f(|2x+1|)，從而有|x|＞|2x+1|，本題的求解可避開討論，過程更為簡捷.中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司

http://004km.cn 或http://004km.cn

例3

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽，且對(duì)于任意x1,x2∈R，都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，又當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＜0,f(1)=-

1.求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-4,4]上的最大值和最小值.2

分析：問題中的函數(shù)解析式?jīng)]有給出，求最值應(yīng)從哪里入手呢？只要知道了函數(shù)的單調(diào)性，問題也就迎刃而解了.解：由題意知，對(duì)于任意x1,x2∈R，都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)①

在①中，令x1=x2=0，可得f(0)=0.在①中，令x1=x,x2=-x，可得f(0)=f(x)+f(-x)，即f(-x)=-f(x).設(shè)x1,x2∈R且x1＜x2，則f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1).因?yàn)閤2-x1＞0，由題設(shè)知f(x2-x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)，所以函數(shù)y=f(x)在R上是減函數(shù)，因此在區(qū)間[-4,4]上，有f(4)≤f(x)≤f(-4).又因?yàn)閒(1)=-1，2

所以f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=-1,f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)=-2，則f(-4)=-f(4)=2.故在區(qū)間[-4,4]上函數(shù)y=f(x)的最大值為2，最小值為-2.點(diǎn)評(píng)：(1)求解有關(guān)抽象函數(shù)的問題時(shí)，賦值法是常用的方法，給自變量x賦以一些特殊的數(shù)值，構(gòu)造出含有某個(gè)函數(shù)值的方程，通過解方程使問題獲解；

(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值是常用方法之一，如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上是增(或減)函數(shù)，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值為f(b)〔或f(a)〕，最小值為f(a)[或f(b)].例

4有甲、乙兩種商品，經(jīng)營、銷售這兩種商品所能獲得的利潤依次為P萬元和Q萬元，它們與投入資金x萬元的關(guān)系有經(jīng)驗(yàn)公式P=

13x，現(xiàn)有3萬元資金投入經(jīng)營x，Q=

55甲、乙兩種商品，設(shè)其中有x萬元投入經(jīng)營甲種商品，這時(shí)所獲得的總利潤為y萬元.(1)試將y表示為x的函數(shù)；

(2)為使所獲得的總利潤最大，對(duì)甲、乙兩種商品的資金投入應(yīng)分別為多少萬元？這時(shí)的最大利潤是多少萬元？

分析：這是一道實(shí)際應(yīng)用問題，建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式是實(shí)現(xiàn)問題解決的基礎(chǔ)，要注意：充分利用題目中所給的信息，不要忘記定義域.解：(1)當(dāng)有x萬元投入經(jīng)營甲種商品時(shí)，則有(3-x)萬元投入經(jīng)營乙種商品，根據(jù)題意得：y=13x?3?x(x∈[0,3]).5

5這就是所求的函數(shù)關(guān)系式.(2)設(shè)y=3?x=t，則x=3-t2(t∈[0,3])，于是原函數(shù)關(guān)系式可化為123131(3-t)+t=-(t?)2+20(t∈[0,3]).555223213339

當(dāng)t=時(shí)，ymax=.此時(shí)，x=3-()2=，3-x=3-=.220244

4因此，為獲得最大利潤，對(duì)甲、乙兩種商品的資金投入應(yīng)分別投入0.75萬元和2.25萬元，所獲最大利潤是1.05萬元.點(diǎn)評(píng)：(1)遇到實(shí)際應(yīng)用問題，建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式是實(shí)現(xiàn)問題解決的基礎(chǔ)，另外要注意：充分利用題目中所給的信息，不要忘記定義域.(2)求函數(shù)的最大值和最小值，方法比較靈活，對(duì)一些復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系式，通過換元，中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司

http://004km.cn 或http://004km.cn

將其轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)來求解，體現(xiàn)了化歸思想的運(yùn)用，值得我們好好地加以體會(huì).本題中通過換元，將十分復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為我們較為熟悉的二次函數(shù)，求函數(shù)的最值就變得輕而易舉了.ax2?1

5例5

已知函數(shù)f(x)=是奇函數(shù)，且f(1)=2,f(2)=.2bx?c

(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；

(2)當(dāng)x＞0時(shí)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并寫出證明過程.分析：用方程確定a,b,c的值，用定義來證明函數(shù)單調(diào)性.解：(1)由f(-x)=-f(x)得-bx+c=-(bx+c)，所以c=0.又f(1)=2，即a+1=2b.因?yàn)閒(2)=

5，所2?a?1,x2?14a?15?以=，得a=1，故?b?1,從而得f(x)=.a?12x?c?0,?x2?1

1(2)f(x)==x+在(0,1]上是單調(diào)減函數(shù)，在[1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù).證明如下：

xx任取0＜x1＜x2，則f(x1)-f(x2)=(x1+

(x?x2)(x1x2?1)11111)-(x2+)=(x1-x2)+()=1.?)=(x1-x2)(1-x1x2x1x2x1x2x1x21x1x

①若0＜x1＜x2≤1，則x1-x2＜0,0＜x1x2＜1，于是f(x1)-f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2).所以y=x+在區(qū)間(0,1]上是單調(diào)減函數(shù).②若1≤x1＜x2，所以x1-x2＜0,x1x2＞1，于是f(x1)-f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2).所以y=x+在區(qū)間[1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù).x2?11

綜上所述，函數(shù)f(x)==x+在(0,1]上是單調(diào)減函數(shù)，在[1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù).xx

點(diǎn)評(píng)：解題時(shí)值得注意的是奇(偶)函數(shù)條件的使用，函數(shù)是奇函數(shù)(或偶函數(shù))也就意味著等式f(-x)=-f(x)[或f(-x)=f(x)]對(duì)于定義域內(nèi)的任意x都成立，通過恒等式有關(guān)知識(shí)尋求等量關(guān)系.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間一般有三種方法：(1)圖象法；(2)定義法；(3)利用已知函數(shù)的單調(diào)性法.本例圖象不易作出，利用函數(shù)y=x和y=

1的單調(diào)性也不行，故只能使用函數(shù)單調(diào)性的定x義來確定.例6

已知y=f(x)是定義在區(qū)間(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數(shù)，且在(0,+∞)上是增函數(shù)，f(1)=0.(1)解不等式f(x)≥0；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=-x2+mx-2m(x∈[0,1],m∈R)，集合M={m|g(x)＜0}，集合N={m|f[g(x)]＜0}，求M∩N.分析：本題中的函數(shù)f(x)是抽象函數(shù)，因此只能由函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的草圖來解決本題.中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司

http://004km.cn 或http://004km.cn

解：(1)因?yàn)閒(x)為定義在區(qū)間(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數(shù)且f(1)=0，所以f(-x)=-f(x)，則f(-1)=-f(1)=0；

當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，因?yàn)閒(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)，由f(x)≥0得x≥1；

因?yàn)槠婧瘮?shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，又f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間(-∞,0)上也是增函數(shù)，又因?yàn)閒(-1)=0，所以當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí)，由f(x)≥0得-1≤x＜0.綜上所述，不等式f(x)≥0的解集為[-1,0)∪[1,+∞).(2)由(1)可知f(x)≥0的解集為[-1,0)∪[1,+∞)，因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞)，所以f(x)＜0的解集為(-∞,-1)∪(0,1).所以由f[g(x)]＜0得g(x)＜-1或0＜g(x)＜1，即N={m|g(x)＜-1或0＜g(x)＜1}，因?yàn)镸={m|g(x)＜0}，所以M∩N={m|g(x)＜-1}.因?yàn)間(x)=-x2+mx-2m(x∈[0,1])，所以g(x)＜-1化為-x2+mx-2m+1＜0，即(x-2)m+1-x2＜0，因?yàn)閤∈[0,1]，所以m＞x2?1(x?2)2?4(x?2)?333?=(x-2)++4=-[(2-x)+]+4，當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，2-x＞0，x?22?xx?2x?2根據(jù)函數(shù)h(t)=t+的圖象可知：-[(2-x)+m＞?21t3]+4≤?23+4，當(dāng)x=2?3時(shí)取等號(hào)，所以2?x3+4.點(diǎn)評(píng)：本題所給函數(shù)是抽象函數(shù)，具有一定的綜合性；在解決第一問時(shí)可以借助函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性畫出草圖來幫助我們解題；在解決第二問時(shí)，可能有學(xué)生會(huì)分別求出集合M與N，然后再取交集，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生按照以上解答過程來解決省時(shí)省力.鞏固訓(xùn)練

思路1

1.已知函數(shù)f(x)=(m-1)x2+2mx+3為偶函數(shù)，則f(x)在區(qū)間(-5，-2)上是（）

A.增函數(shù)

B.減函數(shù)

C.部分為增函數(shù)，部分為減函數(shù)

D.無法確定增減性

解答：A

2.設(shè)函數(shù)f(x)=ax3+cx+5，已知f(-3)=3，則f(3)等于（）

A.3

B.-3

C.2

D.7

解答：D

3.已知偶函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0，4]上是增函數(shù)，則f(-3)和f(π)的大小關(guān)系是（）

A.f(-3)＞f(π)

B.f(-3)＜f(π)

C.f(-3)=f(π)

D.無法確定

解答：B

4.已知f(x)=x2+1在[-3，-2]上是減函數(shù)，下面結(jié)論正確的是（）|x|

A.f(x)是偶函數(shù)，在[2，3]上單調(diào)遞減

B.f(x)是奇函數(shù)，在[2，3]上單調(diào)遞減

C.f(x)是偶函數(shù)，在[2，3]上單調(diào)遞增

D.f(x)是奇函數(shù)，在[2，3]上單調(diào)遞增

解答：C

5.已知f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)=x(1-x)，則當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)等于 …（）

A.x(x+1)

B.x(x-1)

C.x(1-x)

D.-x(1+x)

中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司

http://004km.cn 或http://004km.cn

解答：A

6.定義在R上的函數(shù)f(x)、g(x)都是奇函數(shù)，函數(shù)F(x)=af(x)+bg(x)+3在區(qū)間(0，+∞)上的最大值為10，那么函數(shù)F(x)在(-∞，0)上的最小值是.解答：-4

7.函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx是奇函數(shù)，函數(shù)g(x)=x2+(c-2)x+5是偶函數(shù)，則b=__________，c=__________.解答：0 2

8.函數(shù)f(x)=|x-a|-|x+a|(a∈R)的奇偶性是__________.解答：a≠0奇函數(shù)，a=0既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

9.偶函數(shù)f(x)是定義在R上的函數(shù)，且在(0，+∞)上單調(diào)遞減，則f(-

3)和f(a2-a+1)的大4小關(guān)系是__________.10.f(x)是(-∞，+∞)上的奇函數(shù)，且在(-∞，+∞)上是減函數(shù)，那么滿足f(a)+f(a2)＞0的實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.解答：f(-3)≥f(a2-a+1)10.-1＜a＜0

4點(diǎn)評(píng)：本組練習(xí)以基礎(chǔ)題為主，難度不大.思路2

1.已知二次函數(shù)y=f(x)滿足條件f(0)=1及f(x+1)-f(x)=2x.(1)求y=f(x)的表達(dá)式；

(2)求y=f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最大值和最小值.2.已知y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x+2)=?1，若當(dāng)2≤x≤3時(shí)，f(x)=x，則f(x)f(5.5)＝___________.3.某產(chǎn)品的總成本y萬元與產(chǎn)量x臺(tái)之間的函數(shù)關(guān)系式是y=3 000+20x-0.1x2,x∈(0,240)，若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬元，則生產(chǎn)者不虧本的最低產(chǎn)量為多少？

4.已知函數(shù)f(x)=ax2+a2x+2b-a3，(1)當(dāng)x∈(-2，6)時(shí)，其值為正；x∈(-∞,-2)∪(6,+∞)時(shí)，其值為負(fù)，求a,b的值及f(x)的表達(dá)式；

(2)設(shè)F(x)=?kf(x)+4(k+1)x+2(6k-1)，k為何值時(shí)，函數(shù)F(x)的值恒為負(fù)值.4a10a，該集團(tuán)今年計(jì)劃對(duì)這兩項(xiàng)生產(chǎn)共投入,Q=

35.某農(nóng)工貿(mào)集團(tuán)開發(fā)的養(yǎng)殖業(yè)和養(yǎng)殖加工生產(chǎn)業(yè)的年利潤分別是T和Q(萬元)，這兩項(xiàng)生產(chǎn)與投入的獎(jiǎng)金a(萬元)的關(guān)系是P=獎(jiǎng)金60萬元，為獲得最大利潤，對(duì)養(yǎng)殖業(yè)與養(yǎng)殖加工生產(chǎn)業(yè)投入應(yīng)各為多少萬元？最大利潤為多少萬元？

解答：

1.解：(1)由題意可設(shè)f(x)=ax2+bx+1，則f(x+1)-f(x)=2ax+a+b=2x，因此a=1,b=-1, 所以f(x)=x2-x+1.123)+，x∈[-1,1], 2413

所以ymax=f(-1)=3，ymin=f()=.24

(2)因?yàn)閒(x)=x2-x+1=(x-

中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司

http://004km.cn 或http://004km.cn

2.解：因?yàn)閒(x+2)=?11，所以f(x+4)=?=f(x)，f(x?2)f(x)

則f(5.5)=f(1.5)，f(1.5)=f(-2.5)，又因?yàn)閥=f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)2≤x≤3時(shí)，f(x)=x，所以f(-2.5)=f(2.5)=2.5，因此f(5.5)=2.5.3.解：因?yàn)?5x≥3 000+20x-0.1x2，即x2+50x-30 000≥0，所以x≥150(x≤-200舍去)，所以最低產(chǎn)量為150臺(tái).23??f(?2)?4a?2a?2b?a?0,4.解：(1)由已知?解得：32a+8a2=0(a＜0)，所以a=-4，23??f(6)?36a?6a?2b?a?0,從而b=-8，所以f(x)=-4x2+16x+48.(2)F(x)=?k(-4x2+16x+48)+4(k+1)x+2(6k-1)=kx2+4x-2，要使F(x)＜0，只要4?k?0,得k＜-2.????16?8k?0,5.解：設(shè)投入養(yǎng)殖業(yè)為x萬元，則投入養(yǎng)殖加工生產(chǎn)業(yè)為60-x萬元

x10?60?x(0≤x≤60)，設(shè)t=60?x,則0≤t≤60，x=60-t2，則33110185P+Q=(60-t2)+t=-(t-5)2+，33338

5所以當(dāng)t=5，即x=35時(shí)，(P+Q)max=.385

因此對(duì)養(yǎng)殖業(yè)投入35萬元，對(duì)養(yǎng)殖加工生產(chǎn)業(yè)投入25萬元，可獲最大利潤萬元.3由題意，P+Q=

點(diǎn)評(píng)：本組練習(xí)對(duì)學(xué)生的能力要求比較高.課堂小結(jié)

函數(shù)的基本性質(zhì)中單調(diào)性與奇偶性是緊密地聯(lián)系在一起的，在許多問題中常常需要結(jié)合在一起加以運(yùn)用，因此，學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，要正確理解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，把握其本質(zhì)特征，學(xué)會(huì)靈活地運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解題.研究函數(shù)問題時(shí)，要重視函數(shù)圖象的功能，掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合解題的意識(shí)，提高數(shù)形結(jié)合解題的能力.作業(yè)

課本第43頁習(xí)題2.1(3)

3、11.設(shè)計(jì)感想

深刻理解函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：

概念是數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)、概念性強(qiáng)是中學(xué)數(shù)學(xué)中函數(shù)理論的一個(gè)顯著特征，函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，最大(小)值等是函數(shù)有關(guān)概念的重要內(nèi)容.本章學(xué)習(xí)的內(nèi)容中數(shù)學(xué)概念較多，正確地理解數(shù)學(xué)概念在于準(zhǔn)確把握概念的本質(zhì)特征.函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)重要概念之一，應(yīng)明確：

(1)它是一個(gè)區(qū)間概念，即函數(shù)的單調(diào)性是針對(duì)定義域內(nèi)的區(qū)間而言的，談到函數(shù)的單調(diào)性必須指明區(qū)間(可以是定義域，也可以是定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間)

(2)用函數(shù)單調(diào)性定義來確定函數(shù)在某區(qū)間是增函數(shù)還是減函數(shù)的一般方法步驟是：取值——作差——變形——定號(hào)——結(jié)論.中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司

http://004km.cn 或http://004km.cn

(3)由函數(shù)單調(diào)性的定義知，當(dāng)自變量由小到大，函數(shù)值也由小到大時(shí)，則為增函數(shù)，反之，為減函數(shù)；由于函數(shù)圖象的走向能直觀反映函數(shù)的變化趨勢(shì)，所以當(dāng)函數(shù)的圖象(曲線)從左到右是逐漸上升的，它是增函數(shù)，反之為減函數(shù).函數(shù)的奇偶性：奇偶性是對(duì)于函數(shù)的整個(gè)定義域而言的.判斷函數(shù)是否具有奇偶性時(shí)，首先要檢查其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后再根據(jù)定義求出f(-x)并判斷它與f(x)的關(guān)系.函數(shù)圖象可直觀、生動(dòng)地反映函數(shù)的某些性質(zhì)，因此在研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，應(yīng)密切結(jié)合函數(shù)圖象的特征，對(duì)應(yīng)研究函數(shù)的性質(zhì).函數(shù)是用以描述客觀世界中量的存在關(guān)系的數(shù)學(xué)概念，函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)是用聯(lián)系與變化的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對(duì)象，抽象數(shù)量特征，建立函數(shù)關(guān)系、解決各種問題.縱觀近幾年的高考試題，考查函數(shù)的思想方法已放在一個(gè)突出的位置上，特別是近三年加大了應(yīng)用題的考查力度，選用的題目都要應(yīng)用函數(shù)的思想、知識(shí)、方法才能解答的，因此在函數(shù)的學(xué)習(xí)中，一定要認(rèn)識(shí)函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)，一定要強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí).中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司

第五篇：第1課時(shí) 正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)

4.3 一次函數(shù)的圖象

第1課時(shí) 正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1．會(huì)作正比例函數(shù)的圖象．

2．通過作圖歸納正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)． 【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】 作正比例函數(shù)圖象． 【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】

正比例函數(shù)圖象和性質(zhì)及應(yīng)用．

學(xué)習(xí)行為提示：讓學(xué)生通過閱讀教材后，獨(dú)立完成“自學(xué)互研”的所有內(nèi)容，并要求做完了的小組長督促組員迅速完成．

學(xué)習(xí)行為提示：認(rèn)真閱讀課本，獨(dú)立完成“自學(xué)互研”中的題目．在探究練習(xí)的指導(dǎo)下，自主的完成有關(guān)的練習(xí)，并在練習(xí)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從猜測到探索到理解知識(shí)．

說明：加強(qiáng)學(xué)生用描點(diǎn)法畫正比例函數(shù)圖象的能力，體會(huì)函數(shù)圖象上的點(diǎn)都滿足函數(shù)關(guān)系式，并通過觀察得出正比例函數(shù)圖象的特點(diǎn)．情景導(dǎo)入 生成問題

把一次函數(shù)自變量的每一個(gè)值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)，所有這些點(diǎn)組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象．前面第1節(jié)就是摩天輪上一點(diǎn)的高度h(m)與旋轉(zhuǎn)時(shí)間t(min)之間函數(shù)關(guān)系的圖象．

正比例函數(shù)y＝kx的圖象是怎樣的呢？它具有哪些性質(zhì)呢？下面，我們一起去研究吧！【說明】 給出函數(shù)圖象的定義，學(xué)生一目了然，結(jié)合實(shí)例便于學(xué)生理解它的含義，為下面學(xué)習(xí)畫函數(shù)圖象指明了方向．

自學(xué)互研 生成能力

知識(shí)模塊一 正比例函數(shù)圖象的畫法

先閱讀教材第83頁例1及解答過程．

思考：(1)你準(zhǔn)備用什么方法畫出正比例函數(shù)y＝2x的圖象？(2)畫出函數(shù)圖象的一般步驟有哪些？

【說明】 讓學(xué)生經(jīng)歷列表、描點(diǎn)、連線等畫函數(shù)圖象的具體過程，既可以加深對(duì)圖象意義的認(rèn)識(shí)，了解圖象上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)與自變量值、函數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，又為學(xué)習(xí)如何畫函數(shù)圖象及對(duì)用描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象的一般步驟進(jìn)行歸納做了準(zhǔn)備．

【歸納結(jié)論】 畫函數(shù)圖象的一般步驟：列表、描點(diǎn)、連線．

與同伴合作交流完成教材第83頁“做一做”的學(xué)習(xí)與探究． 做一做：

(1)畫出正比例函數(shù)y＝－3x的圖象．

(2)在所畫的圖象上任意取幾個(gè)點(diǎn)，找出它們的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，并驗(yàn)證它們是否都滿足關(guān)系式y(tǒng)＝－3x.討論：(1)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝－3x的x，y所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(x，y)都在正比例函數(shù)y＝－3x的圖象上嗎？(2)正比例函數(shù)y＝－3x的圖象上的點(diǎn)(x，y)都滿足關(guān)系式y(tǒng)＝－3x嗎？(3)正比例函數(shù)y＝kx的圖象有何特點(diǎn)？你是怎樣理解的？

【歸納結(jié)論】 正比例函數(shù)y＝kx的圖象是一條經(jīng)過原點(diǎn)(0，0)的直線．因此，畫正比例函數(shù)圖象時(shí)，只需要確定一個(gè)點(diǎn)，過這點(diǎn)和原點(diǎn)畫直線就可以了．

知識(shí)模塊二 正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)

做一做：

1在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出正比例函數(shù)y＝x，y＝3x，y＝－x和y＝－4x的圖象．

學(xué)習(xí)行為提示：教會(huì)學(xué)生怎么交流．先對(duì)學(xué)，再群學(xué)．充分在小組內(nèi)展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解決(可按結(jié)對(duì)子學(xué)—幫扶學(xué)—組內(nèi)群學(xué)來開展)．在群學(xué)后期教師可有意安排每組展示問題，并給學(xué)生板書題目和組內(nèi)演練的時(shí)間．

思考：上述四個(gè)函數(shù)中，隨著x值的增大，y的值如何變化？

【說明】 利用正比例函數(shù)的圖象，學(xué)生很直觀地歸納出正比例函數(shù)的增減性，注意不要受算術(shù)中正比例概念的影響，片面地認(rèn)為正比例函數(shù)總是隨著自變量的增加而增加，它的增或減是由k的正或負(fù)決定的．

【歸納結(jié)論】 在正比例函數(shù)y＝kx中，當(dāng)k>0時(shí)，y的值隨著x值的增大而增大；當(dāng)k<0時(shí)，y的值隨著x值的增大而減小．

討論：

(1)正比例函數(shù)y＝x和y＝3x中，隨著x值的增大，y的值都增加了，其中哪一個(gè)增加得更快？你能解釋其中的道理嗎？

1(2)類似地，正比例函數(shù)y＝－x和y＝－4x中，隨著x的增大，y的值都減小了，其中哪一個(gè)

2減小得更快？你是如何判斷的？

【說明】 通過圖象讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)正比例函數(shù)增減的快慢是由|k|決定的，加深了對(duì)正比例函數(shù)圖象性質(zhì)的理解．

交流展示 生成新知

1．將閱讀教材時(shí)“生成的問題”和通過“自主探究、合作探究”得出的“結(jié)論”展示在各小組的小黑板上，并將疑難問題也板演到黑板上，再一次通過小組間就上述疑難問題相互釋疑．

2．各小組由組長統(tǒng)一分配展示任務(wù)，由代表將“問題和結(jié)論”展示在黑板上，通過交流“生成新知”．

知識(shí)模塊一 正比例函數(shù)圖象的畫法 知識(shí)模塊二 正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)

檢測反饋 達(dá)成目標(biāo)

【當(dāng)堂檢測】見所贈(zèng)光盤和學(xué)生用書；【課后檢測】見學(xué)生用書．

課后反思 查漏補(bǔ)缺

1．收獲：________________________________________________________________________ 2．

存

在困

惑

：________________________________________________________________________