第一篇：12-13-2工科數(shù)學(xué)分析期中試卷

河南理工大學(xué) 2012-2013 學(xué)年第 二 學(xué)期

《高等數(shù)學(xué)a2》期中試卷（A卷）

一、填空題（共30分，每題5分）

1、二元函數(shù)z?x

?ln(1?y2

1xy

y)的定義域?yàn)?2、極限

(x,y)?(0,0)

lim(1?sinxy)=

.3、函數(shù)u?x2?y2?z2在點(diǎn)M(2,?2,1)處沿著從點(diǎn)M到點(diǎn)N(3,?3,1)方向的方向?qū)?shù)為

....4、曲面x2?y2?z2?3在點(diǎn)P(1,1,1)處的切平面方程為

5、設(shè)區(qū)域D由?1?x?1,?1?y?1確定，則

6、xy??dxdy?D

?

dx?

x?x20

f(x,y)dy在極坐標(biāo)下的二次積分為．．

二、試解下列各題（共48分，每題8分）

1、設(shè)z?f?x,y??exysin?y??x?1?x

?(1,1).，求fx

y

?z?z和.?x?y2、設(shè)z?z?x,y?是由方程z?e?xy所確定的二元函數(shù)，求

z3、設(shè)函數(shù)u?

x2?y2，試問(wèn)在點(diǎn)M?1,1,1?函數(shù)u沿著哪一個(gè)方向其方向?qū)?shù)取得最大z

值，并求出方向?qū)?shù)的最大值.4、設(shè)有曲線L:?

?xyz?1，試求曲線在點(diǎn)M?1,1,1?處的切線方程.2

?y?x

x?y22

??，其中dxdyD?x,yx?y?1,x?y?1.??22

Dx?y5、計(jì)算二重積分

??

6、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，試證明等式

?

dx?f(y)dy??f(x)(1?x)dx成立.x1

三、試解下列各題（共22分，每題11分）

?z?2z1、設(shè)函數(shù)z?f?x,xy?，其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求和.?x?x?y2、求函數(shù)z?x?y?3xy?5的極值.3

第二篇：工科數(shù)學(xué)分析作業(yè)

多

1、多元函數(shù)的極限與連續(xù)

海因定理：lim

1110810316賈金達(dá)

f(P)?A的充分必要條件是：P以任何點(diǎn)列、任

P?P0何方式趨于P0時(shí)，f(P)的極限都是A。

換句話說(shuō)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P以不同的方式或路徑趨于P0時(shí)，極限不相等，則可以判定二重極限不存在。例1 求下列極限

?1? lim(22?(x?y)22x??x?y)e

(2)lim(x?y)lnx(?y)x?0

y??y?0

解:?1? 對(duì)于充分大的x和y x2?y2xyxex?y?e?eex?y?e??e?y?0

或者 x2?y2?(x?y)2

令x?y?u

則x2?y2(x?y)2ex?y?ex?y?u2eu

當(dāng)u???時(shí)，上式趨于0。

(2)利用極坐標(biāo)變換

?x?rsin???y?rcos?

(x?y)ln(x2?y2)?rcos??sin?lnr2?4rlnr?0

例2 ?

設(shè)f(x,y)??(x2?y2)cos1,x2?2?x2?y2y?0 ??0,x2?y2?0

試問(wèn)在點(diǎn)(0,0)處，是否連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)是否存在？

f(P)的由于

f(x,y)?f(0,0)?f(x,y)?0 ?(x?y)cos221x?y22?x?y?022

所以，f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處連續(xù)

由偏導(dǎo)數(shù)的定義得

fx?(0,0)?limf(x,0)?f(0,0)xx?0?limxcosx?01x?0，同理f?(0,0)?0

y

于是，f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處的偏導(dǎo)數(shù)存在。

2、偏導(dǎo)數(shù)與全微分 f(x,y)若在點(diǎn)(x0,y0)處可微，則z?f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)fx?(x0,y0)處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)dz和。

fy?(x0,y0)都存在，且有=fx?(x0,y0)dx+fy?(x0,y0)dy 2 則必在(x,y)連續(xù)，且該函數(shù)在f(x,y)若在點(diǎn)(x0,y0)處可微，(x0,y0)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)fx?(x0,y0)，fy?(x0,y0)都存在。

全微分的形式不變性可理解為：對(duì)什么變量求偏導(dǎo)數(shù)就乘以什么變量的微分，無(wú)論這個(gè)變量是自變量，還是中間變量。多元函數(shù)的復(fù)合求偏導(dǎo)不論復(fù)合關(guān)系多復(fù)雜，其基本原則是：有幾個(gè)中間變量求出來(lái)就有幾項(xiàng)，每項(xiàng)先對(duì)中間變量求偏導(dǎo)再乘以中間變量對(duì)自變量的偏導(dǎo)數(shù)。例（武漢大學(xué)1995）

設(shè)二元函數(shù)

解：

(1)fx?(0,0)?fy?(0,0)?0，易得(2)(x,y)?(0,0)1?2222(x?y)cos,x?y?0?22 f(x,y)??x?y22?0,x?y?0?(1)求fx?(0,0)fy?(0,0)

(2)證明：fx?(x,y)，fy?(x,y)在(0,0)(3)證明：f(x,y)在(0,0)不連續(xù)

處可微

時(shí)

1x?y2 fx?(x,y)?2xcos?xx?y22sin1x?y22

利用極坐標(biāo)變換

lim11?1??limcos?sinfx?(x,y)?lim?2rcos?cos?cos?sin?r?0rr?r?0r?(x,y)?(0,0)顯

然不存在。

故fx?在(0,0)不連續(xù)，類似可得f?在(0,0)不連續(xù)。

y(3)證 lim?z?fx?(0,0)?x?fy?(0,0)?y??0??0

即化為

(x?y)cos221x?y22

(x,y)?(0,0)limx?y22?lim?cos??01??0

此式顯然成立。

3、隱函數(shù)微分法 隱函數(shù)可分為由單個(gè)方程確定的隱函數(shù)以及由隱函數(shù)組確定的隱函數(shù)，隱函數(shù)可以是一元的，也可以是多元的，首先要掌握隱函數(shù)的存在唯一性定理，然后再熟悉隱函數(shù)求導(dǎo)的公式和程序。

一、單個(gè)方程確定的隱函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法

1.公式法

若F對(duì)各個(gè)變量皆存在連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且Fz??0,則由F(x,y,z)?0確定的隱函數(shù)z?z(x,y)也是連續(xù)可偏導(dǎo)的，并且有公式

?z?x??Fx?Fz??z?y??Fy?Fz?;

2.鏈?zhǔn)椒▌t的應(yīng)用

在方程F(x,y,z)?0中

z?z(x,y)，即

F(x,y,z(x,y))?0

上式的兩邊分別對(duì)x，y求偏導(dǎo)，得：

?F?x?F?y???F?z?z?x?F?z?z?y?0

?03.全微分法

一階全微分具有形式不變性的優(yōu)點(diǎn)，可廣泛應(yīng)用于求隱函數(shù)的微分以及各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，且不易出錯(cuò)。

Fx?dx?Fy?dy?Fz?dz?0

例1 設(shè)z?z(x,y)由方程z5?xz?yz?1確定43，求

?z?x?y2|(0,0)。解

在原方程兩邊對(duì)x，y求偏導(dǎo)，分別得到：

5z4?z?x?z?4xz43?z?x3?3yz2?z?x?0

5z4?z?y?4xz3?z?y?z?3yz3?z?y?0以x=y=0代人原方程的z=1，再以x=y=0，z=1代入以上兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)方程得

?z?x|(0,0)?1?z,|(0,0)??0.2 5?y然后再對(duì)式子兩邊關(guān)于y求導(dǎo)，并將數(shù)據(jù)代入得：

?z?x?y2|(0,0)??325

例2

設(shè)u?f(x,y,xyz)，函數(shù)z?(x,y)由方程?g(xy?z?t)dt?exyzxyz確定，其中f可微，g連續(xù)，求x

解：令v?xy?z?txyzz?u?x?y?u?y.z則?xyg(xy?z?t)dt.g(z)?z?x??xyg(v)dv，得方程

?zxyg(v)dv?e兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)有 得?z?x?yg(xy)?yzeg(z)?xyexyz?yg(x,y)?exyz?y(z?x?z?x)，xyz.?f1??f3??y(z?x?z?x)又y和x類似，?u?x代入并整理得：x?u?x?y?u?yxf1??yf2?.二、隱函數(shù)組微分法 對(duì)于多變量多個(gè)方程確定的隱函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法，亦如單個(gè)方程的情形，有公式法、利用復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒ㄒ约叭⒎值姆椒ā?.公式法

定理

設(shè)隱函數(shù)組方程?（1）F(x0?F(x,y,u,v)?0?G(x,y,u,v)?0滿足，初始條件；

F,G以及它們的,y0,u0,v0)?0,G(x0,y0,u0,v0)?0（2）在P(x0,y0,u0,v0)?0的某鄰域內(nèi)，函數(shù)各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)皆連續(xù)；（3）J??(F,G)?(u,v)在點(diǎn)P0不等于零。

則在點(diǎn)P0的某鄰域內(nèi)，由方程組唯一的確定了兩個(gè)二元隱函數(shù)

u?u(x,y),v?v(x,y)

并且u(x,y),v(x,y)連續(xù)可偏導(dǎo)，求導(dǎo)公式為

1?(F,G)J?(x,v)1?(F,G)J?(y,v)?u?x?u?y??，?v?x?v?y??1?(F,G)J?(u,x)1?(F,G)J?(u,y)。????2.復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t的應(yīng)用

對(duì)方程組的兩邊關(guān)于x，y分別求偏導(dǎo)數(shù)的方法，視u和v為x，y的函數(shù)。

?Fx?Fuux?Fvvx?0 ?G?Gu?Gv?0uxvx?x我們?cè)诮忸}時(shí)只要掌握了其中的數(shù)學(xué)思想，就不必死記硬背某些公式，這樣才減輕負(fù)擔(dān)的同時(shí)反而提高了學(xué)習(xí)效率。

3.全微分法

對(duì)方程組的兩邊求微分，利用微分的形式不變性，得到

?Fudu?Fvdv?Fxdx?Fydy?0 ??Gudu?Gvdv?Gxdx?Gydy?0這是一種單純的不易出錯(cuò)的方法，同時(shí)采用這種方法也很普遍。

下面對(duì)這三種方法舉例子： 例

?h?u?f(x,y)?設(shè)函數(shù)u(x)是由方程組?g(x,y,z)?0?h(x,z)?0??0,?g?y?0,求dudx.所確定，且

?z

分析

方程組含有三個(gè)方程，四個(gè)變量x、y、z、u，故應(yīng)該有一個(gè)是自由變量。可選取x作為自變量，y、z、u皆是x的一元函數(shù)，這樣，求導(dǎo)數(shù)或是偏導(dǎo)數(shù)時(shí)才不易出錯(cuò)。解一 對(duì)??g(x,y,z)?0?h(x,z)?0兩邊關(guān)于x求導(dǎo)數(shù)，視y?y(x),z?z(x),得

?gx?gyy??gzz??0 ??h?hz?0xz?解出

?u?x?fx?gxfygy?gzfyhxgyhz。

解二

原方程組求全微分

du?fxdx?fydy???gxdx?gydy?gzdz?0 ?hxdx?hzdz?0?一樣能夠得出結(jié)論。

將兩種方法做一個(gè)比較，不難看出，利用全微分方法簡(jiǎn)便易行。

例 若u(x,y)的二階導(dǎo)數(shù)存在，證明u(x,y)條件是u?u?x?y2?f(x)g(y)的充要

??u?u??x?y

（清華大學(xué)）

注：方法獨(dú)特 令v??u?x，原方程化為u?v?y?u?y?0

?v?y?v?u?y。

u?vu2等價(jià)化為即

v??v????0,知??1(x)u?y?u??lnu?x

湊微分得 解得

從而

??1(x)

lnu???1(x)dx??2(y)

u?f(x)g(y)。

4.多元函數(shù)的極值 極值的定義

若在(x0,y0)的某空心鄰域內(nèi)恒f(x,y)?f(x0,y0)(或(?f(x0,y0))

則稱f(x,y)在(x0,y0)取到極大值或是極小值，對(duì)于自變量的取值有附加條件的極值稱為條件極值。2 極值存在的必要條件

設(shè)z?f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在(x0,y0)處有極值，,y0)?0，令 則必有fx?(x0,y0)?0，f?(xy0??(x0,y0)，C?fyy??(x0,y0)，??(x0,y0)，B?fyxA?fxx則：（1）（2）B2?A2?0時(shí)，(x0,y0)不是極值點(diǎn)； B2?A2?0時(shí)，(x0,y0)為極值點(diǎn)，當(dāng)

A<0時(shí)，為極大值點(diǎn)；當(dāng)A>0時(shí)，為極小值點(diǎn)。

注：求極值的基本步驟：先解方程組f?(x,y)?0,f?(x,y)?0,所有

xy駐點(diǎn)；對(duì)每一個(gè)駐點(diǎn)(x0,y0)，求A,B,C的值；由B2?AC的符號(hào)確定是否為極值點(diǎn)，由A的符號(hào)確定是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)。條件極值 函數(shù)z?f(x,y)在條件?(x,y)?0下的極值成為條件極值。求

條件極值的常用方法是拉格朗日數(shù)乘法：先構(gòu)造輔助函數(shù)

F(x,y)?f(x,y)???(x,y)，?(x,y),?Fx??fx?(x,y)???x?再解方程組?Fy??fy?(x,y)???y?(x,y)，?F????(x,y)?0,?得x，y以及?，則其中x，y，就是可能極值點(diǎn)的坐標(biāo)。類似可求函數(shù)u?f(x,y,z)在條件?(x,y,z)?0下的可能極值點(diǎn)。多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡(jiǎn)單應(yīng)用

閉區(qū)域上連續(xù)多元函數(shù)的最大值就是區(qū)域內(nèi)部的極大值和邊界上的條件下的極大值中的最大的數(shù)，它可能在區(qū)域內(nèi)部或邊界上達(dá)到。對(duì)于實(shí)際問(wèn)題一般根據(jù)實(shí)際背景來(lái)確定是否取最大值，最小值也一樣。例

設(shè)曲面

x2a2?yb22?zc22?1在點(diǎn)P(x,y,z)處使在該點(diǎn)處的切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的四面體的體積最??；并說(shuō)明函數(shù)u?ax?by?cz222在點(diǎn)（1,1,1）處沿向量OP上的方向?qū)?shù)是否是該函數(shù)在改點(diǎn)處的方向?qū)?shù)的最大值?！窘狻壳?/p>

x2a2?yb22?zc22?1在P(x,y,z)處的法向量為(xa2,yb2,zc2)，在P處的切平面方程為

xa2(X?x)?yb2(Y?y)?zc2(Z?z)?0，所以，切平面在x,y,z軸上的截距分別是與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的四面體的體積為V1abc6xyz222a2x,b2y2,c2z，于是，切平面

?1abc6xyz22，即求條件極值的問(wèn)題，作F(x,y,z,?)???(xa22?yb22?zc22?1)，求解方程組

?Fx????Fy???Fz?F????0,?0,?0,?0.解方程并結(jié)合實(shí)際問(wèn)題知,當(dāng)P為(a3b3?u?yc3a3,b3,c31)時(shí)，體積最小。

向量OP=(?u?x，)的單位向量為

?u?y(1,1,1)a?b?c222(a,b,c)，又

?2a;(1,1,1)?2b;(1,1,1)?2c;

所以，所求方向的方向?qū)?shù)是2(a2?b2?c2)，求出u的梯度可知u在(1,1,1)處OP的方向?qū)?shù)是u在點(diǎn)（1,1,1）處的方向?qū)?shù)的最大值。

空間曲線的切線與法平面（略）；

*本章的難點(diǎn)偏微分方程的綜合題，其中往往要用到字符的代換

【例1】 設(shè)函數(shù)f(u)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且z??z?x22f(ecosx)y滿足

??z?y22?e2yz,zx??2?1,?z?xx???2?0，求f(u)。

【解】 由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)鏈導(dǎo)法則，可得

?z?x?z?y?f?(u)e(?sinx),y?zx222y?f??(u)esin22yx?f?(u)ecosx，?f?(u)ecosx,y?zx222y22y?f??(u)ecosx?f?(u)ecosx，所以

?z?x22??z?2?z?2y2y22y?f??(u)e.又

?z?x22??f(u)e2y.所以 f??(u)?f(u).這是一個(gè)二階常系數(shù)線性微分方程，解此方程得

f(u)?C1e?C2eu?u.將初值條件代入得

C1?C2?12，u?u故

f(u)?0.5(e?e).【例2】設(shè)u?u(?u?x22x?y)具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，且滿足

22??u?y22?1?u22??u?x?y, x?x試求函數(shù)u的表達(dá)式.【解】 令r??u?x?x?y22，則 u變?yōu)榱酥缓蛂有關(guān)的因變量。

xdu?, rdr?u?x2221duxdu?2?2???3?r?rrdrrdr1duydu?2?2???3?r?rrdrrdry2x2?u22，?u?y2?u22代入原方程，即得

dudr?u?r.2再解二階常系數(shù)線性微分方程方程，得

u?C1cosx?y?C2sin22x?y?x?y?2.2222其中C1,C2是任意常數(shù)。

第三篇：河南理工大學(xué) 2011-2012 學(xué)年第 一 學(xué)期 《工科數(shù)學(xué)分析》期中試卷(A卷)

河南理工大學(xué) 2011-2012 學(xué)年第 一 學(xué)期

《工科數(shù)學(xué)分析》其中試卷（A卷）

一、填空題（共35分，每小題5分）１．limcosx?cos3x?x?01?cosx．２．limn?4?n?n???

2??３．lim?1?n?n??3??3n?

４．設(shè)y?1?x2??sinx，則dy?dx

y d2y５．設(shè)y?y?x?由方程y?1?xe確定，則dx2

?x?3e?td2y?６．設(shè)?，則2tdx?y?2e?x?0 ．

.７．設(shè)f?x??2x3?x2?x?3，它在x0?1處的三階Taylor多項(xiàng)式為

二、試解下列各題（共35分，每小題7分）

8．試確定a,b的值，使函數(shù)

?x2,x?0 f?x????ax?b,x?0

在x?1處連續(xù)且可導(dǎo)．

９．求曲線y?lnx在點(diǎn)?e,1?處的切線方程和法線方程．

10．設(shè)f?x??xsin2x，求f2?x?．

11．設(shè)f?x???x?1??x?2??x?3??x?4?，問(wèn)方程f??x??0有幾個(gè)實(shí)根，并指出它們所在的區(qū)間．

12．求函數(shù)f?x??x?ln?1?x2?的單調(diào)區(qū)間與極值． ?50?

三、證明題（共30分，每小題10分）

13．設(shè)函數(shù)f在???,???上滿足Lipschitz條件:

?L?0，使得?xy????,???恒有f?x??f?y?L?x?y?，證明：f在???,???上一致連續(xù)．

2214.設(shè)f在?a,b?上可微，且a與b同號(hào)，證明：存在???a,b?，使得2??f?b??f?a????b?a?f????．

n3?11?． 15．試用數(shù)列極限的“??N”定義證明：3n??2n?52

《工科數(shù)學(xué)分析》期中考試 第1頁(yè)（共1頁(yè)）

第四篇：數(shù)學(xué)分析三22

《數(shù)學(xué)分析》(三)一.計(jì)算題（共8題，每題9分，共72分）。

111.求函數(shù)f(x,y)?3xsin?3ysin在點(diǎn)(0,0)處的二次極限與二重極限.yx解： f(x,y)?131因此二重極限為0.……(4分)?ysin?3x?3y，yx1111因?yàn)閘im3xsin?3ysin與lim3xsin?3ysin均不存在，x?0yxy?0yx故二次極限均不存在?！?9分)3xsin

?y?y(x),?z?xf(x?y),2.設(shè)? 是由方程組?所確定的隱函數(shù),其中f和F分別

?F(x,y,z)?0?z?z(x)dz具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù),求.dx解： 對(duì)兩方程分別關(guān)于x求偏導(dǎo):

dy?dz?f(x?y)?xf?(x?y)(?1)，??dxdx? ……(4分)dydz?F?F?Fz?0。xy?dxdx?dzFy?f(x?y)?xf?(x?y)(Fy?Fx)解此方程組并整理得.……(9分)??dxFy?xf(x?y)Fz

3.取?,?為新自變量及w?w(?,v)為新函數(shù)，變換方程

?2z?2z?z???z。2?x?x?y?xx?yx?y,??,w?zey（假設(shè)出現(xiàn)的導(dǎo)數(shù)皆連續(xù)）.設(shè)??22解：z看成是x,y的復(fù)合函數(shù)如下：

wx?yx?yz?y,w?w(?,?),??,??。……(4分)e22代人原方程，并將x,y,z變換為?,?,w。整理得：

?2w?2w 2??2w?！?9分)??????

4.要做一個(gè)容積為1m3的有蓋圓桶,什么樣的尺寸才能使用料最省? 解： 設(shè)圓桶底面半徑為r,高為h,則原問(wèn)題即為：求目標(biāo)函數(shù)在約束條件下的最小值，其中

目標(biāo)函數(shù): S表?2?rh?2?r2, 《數(shù)學(xué)分析(三)》參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

約束條件: ?r2h?1。……(3分)構(gòu)造Lagrange函數(shù)：F(r,h,?)?2?rh?2?r2??(?r2h?1)。

?Fr?2?h?4?r?2?rh??0,令 ? ……(6分)2?Fh?2?r??r??0.14 解得h?2r，故有r?3,h?3.由題意知問(wèn)題的最小值必存在，當(dāng)?shù)酌姘?/p>

2??14徑為r?3,高為h?3時(shí)，制作圓桶用料最省?！?9分)2??

y35.設(shè)F(y)??e?xydx,計(jì)算F?(y).y22解：由含參積分的求導(dǎo)公式

?y3y322???x2yF?(y)???2edx???2?x2e?xydx?3y2e?xyy?y?y ???2x2e?xydx?3y2e?y?2ye?y

yy3275x?y3?2ye?x2yx?y2 ……(5分)72?y75?y51y3?x2yedx。……(9分)?ye?ye?222y?y2

?x2y2?xy6.求曲線?2?2??2所圍的面積，其中常數(shù)a,b,c?0.b?c?a?x?a?cos?,解：利用坐標(biāo)變換? 由于xy?0，則圖象在

11?? ?cos?,cos?,cos????0,?,?。……(3分)

22??由Stokes公式得

cos?cos?cos? ?3zdx?5xdy?2ydz???L???x3z???y5x?dS ?z?2y ?2??dS ……(6分)?2x2?y2?1??2dxdy

?2? ……(9分)

x2y2z28.計(jì)算積分??yzdzdx,S為橢球2?2?2?1的上半部分的下側(cè).abcS解：橢球的參數(shù)方程為x?asin?cos?,y?bsin?sin?,z?ccos?，其中

?0???2?,0???,且

2?(z,x)?acsin2?sin??！?3分)

?(?,?)積分方向向下，取負(fù)號(hào)，因此，2322?d?bacsin?cos?sin?d?yzdzdx??0?0??2?? ……(6分)

? ??bac2?sin2?d??2sin3?cos?d?002?????4abc2

……(9分)

二。

.證明題（共3題，共28分）

?xy322,x?y?0?249.（9分）討論函數(shù)f(x)??x?y在原點(diǎn)(0,0)處的連續(xù)性、?0,x2?y2?0?可偏導(dǎo)性和可微性.解：連續(xù)性：當(dāng)x2?y2?0時(shí)，xy2x2?y4yyf(x)?2?y????0，當(dāng)?x,y???0,0?，424x?yx?y22從而函數(shù)在原點(diǎn)?0,0?處連續(xù)。……(3分)可偏導(dǎo)性：fx?0,0??lim?x?0f?0??x,0??f?0,0??0，?x《數(shù)學(xué)分析(三)》參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

f?0,0??y??f?0,0??0，?y?0?y即函數(shù)在原點(diǎn)?0,0?處可偏導(dǎo)。……(5分)fy?0,0??lim可微性：?x2??y2?0lim?f?fx?x?fy?y?x??y22?x?y3?lim24?x2??y2?0?x??y1?x??y22 不存在，從而函數(shù)在原點(diǎn)?0,0?處不可微?！?9分)

10.（9分）（9分）設(shè)F?x,y?滿足：（1）在D???x,y?x?x0?a,y?y0?b上連續(xù)，?（2）F?x0,y0??0，（3）當(dāng)x固定時(shí)，函數(shù)F?x,y?是y的嚴(yán)格單減函數(shù)。試證：存在??0，使得在???x?x?x0??上通過(guò)F?x,y??0定義了一個(gè)

?函數(shù)y?y(x)，且y?y(x)在??上連續(xù)。

證明：（i）先證隱函數(shù)的存在性。

由條件（3）知，F(xiàn)?x0,y?在?y0?b,y0?b?上是y的嚴(yán)格單減函數(shù)，而由條件（2）知F?x0,y0??0，從而由函數(shù)F?x0,y?的連續(xù)性得

F?x0,y0?b??0，F(xiàn)?x0,y0?b??0。

現(xiàn)考慮一元連續(xù)函數(shù)F?x,y0?b?。由于F?x0,y0?b??0，則必存在?1?0使得

F?x,y0?b??0，?x?O(x0,?1)。

同理，則必存在?2?0使得

F?x,y0?b??0，?x?O(x0,?2)。

取??min(?1,?2)，則在鄰域O(x0,?)內(nèi)同時(shí)成立

F?x,y0?b??0，F(xiàn)?x,y0?b??0?！?3分)于是，對(duì)鄰域O(x0,?)內(nèi)的任意一點(diǎn)x，都成立

?固定此x，考慮一元連續(xù)函數(shù)F?x,y?。由上式和函數(shù)F?x,y?關(guān)于y的連續(xù)性可知，存在F?x,y?的零點(diǎn)y??y?b,y?b?使得

F?x,y?＝0。

而F?x,y?關(guān)于y嚴(yán)格單減，從而使F?x,y?＝0的y是唯一的。再由x的任意性，F(xiàn)x,y0?b?0，F(xiàn)x,y0?b?0。

00???證明了對(duì)??:?O(x0,?)內(nèi)任意一點(diǎn)，總能從F?x,y??0找到唯一確定的y與x相對(duì)應(yīng)，即存在函數(shù)關(guān)系f:x?y或y?f(x)。此證明了隱函數(shù)的存在性。

……(6分)（ii）下證隱函數(shù)y?f(x)的連續(xù)性。

設(shè)x*是??:?O(x0,?)內(nèi)的任意一點(diǎn)，記y*:?f?x*?。

《數(shù)學(xué)分析(三)》參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

對(duì)任意給定的??0，作兩平行線

y?y*??，y?y*??。

由上述證明知

F?x*,y*????0，F(xiàn)?x*,y*????0。由F?x,y?的連續(xù)性，必存在x*的鄰域O(x*,?)使得

F?x,y*????0，F(xiàn)?x,y*????0，?x?O(x*,?)。

對(duì)任意的x?O(x*,?)，固定此x并考慮y的函數(shù)F?x,y?，它關(guān)于y嚴(yán)格單減且

F?x,y*????0，F(xiàn)?x,y*????0。于是在?y*??,y*???內(nèi)存在唯一的一個(gè)零點(diǎn)y使

F?x,y??0，即 對(duì)任意的x?O(x*,?)，它對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y滿足y?y*??。這證明了函數(shù)y?f(x)是連續(xù)的?！?9分)

11111.（10分）判斷積分??sindx在0???2上是否一致收斂，并給出證明。

0xx證明：此積分在0???2上非一致收斂。證明如下：

1作變量替換x?，則

t11??11sindx??0x?x?1t2??sintdt。……(3分)

?3???不論正整數(shù)n多么大，當(dāng)t??A?,A?????2n??,2n???時(shí)，恒有

44??2?！?5分)sint?2因此，?A??1t2??A?2A??1sintdt?dt ……(7分)

2?A?t2??2?14t2?? ? ?

t?A??2?2??3???4?2n???4??因此原積分在0???2上非一致收斂?！?10分)注：不能用Dirichlet判別法證明原積分是一致收斂的。原因如下：

B1盡管對(duì)任意的B?1積分?sintdt一致有界，且函數(shù)2??關(guān)于x單調(diào)，但是當(dāng)

1t1x???時(shí)，2??關(guān)于???0,2?并非一致趨于零。事實(shí)上，取t?n, 相應(yīng)地取t1111??2?，則lim2???lim1??1?0，并非趨于零。1t??tn??nnnlimnnn???2??0，當(dāng)??2?時(shí)。4《數(shù)學(xué)分析(三)》參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

第五篇：工科數(shù)學(xué)分析試題B

一．計(jì)算極限（每小題5分，共10分）

（1）lim(x2?2x?x)（2）lim?xx x???x?0

1??xsin,x?0?二．（10分）設(shè)f(x)??, 試根據(jù)?和?的值, 討論f(x)x

?ex??,x?0?

在x?0處的連續(xù)性(包括左連續(xù)、右連續(xù)及間斷點(diǎn)的類型).d2yy22三．（10分）設(shè)方程arctan?lnx?y確定函數(shù)y?f(x), 求2.dxx

四．（10分）試確定數(shù)列{n}中的最大項(xiàng).五．（10分）設(shè)a?0, 試討論方程lnx?ax實(shí)根的個(gè)數(shù).六．計(jì)算下列積分（每小題5分，共10分）

（1）?dx

?ex?2?（2）??x(sinx?e)dx

??

0x4七．（10分）設(shè)In??xne?x dx(n為正整數(shù)), 試建立數(shù)列{In}的遞推

公式, 并求In的值.八．（10分）求拋物線y2?2x與直線x?

旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積.九.（10分）設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上二階可導(dǎo), |f(x)|?a, |f??(x)|?b, 1所圍成的圖形繞直線y??12

c?(0,1), 試證明|f?(c)|?2a?b.2

十．（10分）已知a?0, x1?a, xn?1?a?xn, 證明數(shù)列{xn}收斂

并求其極限.《工科數(shù)學(xué)分析》試卷