第一篇：一元函數(shù)極限與連續(xù)知識(框架)

一元函數(shù)極限與連續(xù)理念知識體系

函數(shù)?基本初等函數(shù)??初等函數(shù)特殊性質(zhì)（4個）?y?f(x)???????合函數(shù)??非初等函數(shù)?復(fù)?

??無窮大???limf(x)??

x?x0?

??極限充要條件?limf(x)?A　???無窮小???limf(x)?0xx左右極限x?0x?0???

階?性質(zhì)

重要極限?|極限 ?存在準(zhǔn)則?

?間斷點?????運算性質(zhì)?x?0??閉區(qū)間上連續(xù)limf(x)?f(x0)連續(xù)lim?y?0 充要條件?左右連續(xù)

x?x0

?

導(dǎo)數(shù)

第二篇：函數(shù)極限與連續(xù)

函數(shù)、極限與連續(xù)

一、基本題

1、函數(shù)f?

x??ln?6?x?的連續(xù)區(qū)間?ax2?x?2x?

12、設(shè)函數(shù)f?x???，若limf?x??0，且limf?x?存在，則 x?1x??1x?1?2ax?b

a?-1，b?

41sin2x??

3、lim?x2sin???-2x?0xx??

4、n2x?4/(√2-3)?k?

5、lim?1???e2，則k=-1x???x?

x2?ax?b?5，則a?3，b?-

46、設(shè)limx?1x?

17、設(shè)函數(shù)f?x??2x?sinx?1,g?x??kx，當(dāng)x?0時，f?x?~g?x?，則k

?ex?2x?0?

8、函數(shù)f?x???2x?10?x?1的定義域R ；連續(xù)區(qū)間(-oo,1),(1,+oo)?3x?1x?1?

?1?xsinx

?a9、函數(shù)f?x????1?xsin?bx?x?0x?0在x?0處連續(xù)，則a?1，b?1x?010、函數(shù)f?x??e?

1e?11

x1x的間斷點為x=0，類型是 跳躍間斷點。

11、f?x,y??x2?y2?xycosx，則f?0,1??f?t,1??y12、f?xy,x?y??x2?y2，則f?x,y??y^2+x13、函數(shù)z?ln?

2?x2?y2??的定義域為 {(x,y)|1=0}

14、1?e2?xylim?-1?2；?x,y???0,0?x2?y2?exy?x,y???0,0?1?x2?y2x2?y2lim

3?-12；lim?1?2xy?x?15、x?0

y?0

二、計算題

1、求下列極限

（1）0

0型：

1）limex?e?x?2x

x?0xsin3x；=0

2）limex?x?

1x?0x1?e2x;=-1/

43）limtan3x?ln?1?2x?

x?01?cos2x;=-

34）limtanx?sinx

x?0xsin2x2;=1/4

（2）?

?型：

1）lnsin3x

xlim?0?lnsin2x=1

lim2n?1?3n?1

2）n??2n?3n=3

（3）???型：

1）lim?11?

x?0??x?ex?1??=1/

22）lim?

x?1?11??x?1?lnx??=-1/2

3)xlim???arccosx?=π/3

4)xlim???x?=-1 x?0y?2

（4）0??型：

???1）limx??arctanx?=1x????2?

2)lim?x?1?tanx?1?x2=-π/2

（5）1?型：

?2?1）lim?1??x???x?3x?2=e^(-6)

4x?2?3x?1?2）lim??x??3x?2??

3)lim?1?2x?x?0 =e^(-4)=e^(2/5)1sin5x

1??4)lim?cos?=e^(-1/2)x??x??

（6）00型：1）lim?xsinx=1 x?0x2

方法:lim x^sinx=lim e^(sinxlnx)

公式：f(x)^g(x)=e^(g(x)ln(f(x)))

（7）?型：1）lim?x?20x

x????1x=2

同上

2、已知：f?x??sin2x?ln?1?3x??2limf?x?，求f?x? x?0x

f(x)=(sin2x)/x+ln(1-3x)+

2(方法：兩邊limf(x)x->0)

x2?x3、求函數(shù)f?x??的間斷點，并判定類型。2xx?1駐點x=0,x=1,x=-

11）當(dāng)x=0+時，f(x)=-1；當(dāng)x=0-時，f(x)=1 跳躍間斷點

2）當(dāng)x=1時，f(x)=oo;第二類間斷點

3）當(dāng)x=-1時，f(x)=1/2;但f(-1)不存在，所以x=-1是可去間斷點

?sin2x?x??

4、設(shè)函數(shù)f?x???a

?ln1?bx?????1?e2xx?0x?0在定義域內(nèi)連續(xù)，求a與b x?0

Lim sin(2x)/x|x->0-=2=a=b/-2=>a=2,b=-

45、證明方程：x3?3x2?9x?1?0在?0,1?內(nèi)有唯一的實根。（存在性與唯一性）證明：

1）存在性：

令f(x)=x^3-3x^2-9x+1

f(0)=1>0;

f(1)=-10<0;

因為f(0).f(1)<0所以在（0,1）內(nèi)存在一個實根

2）唯一性

f’(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)

所以f(x)在(0,1)內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)

故x3?3x2?9x?1?0在?0,1?內(nèi)有唯一的實根。

第三篇：函數(shù)極限與連續(xù)教案

第四講

Ⅰ 授課題目（章節(jié)）

1.8：函數(shù)的連續(xù)性

Ⅱ 教學(xué)目的與要求：

1、正確理解函數(shù)在一點連續(xù)及在某一區(qū)間內(nèi)連續(xù)的定義；

2、會判斷函數(shù)的間斷點.4、了解初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的、基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的；

5、了解初等函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性，反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性； 6 掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

教學(xué)重點與難點：

重點：函數(shù)在一點連續(xù)的定義，間斷點，初等函數(shù)的連續(xù)性

難點：函數(shù)在一點連續(xù)的定義，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

Ⅳ 講授內(nèi)容：

一 連續(xù)函數(shù)的概念函數(shù)的增量

定義1設(shè)變量u從它的初值u0變到終值u1，終值與初值之差u1?u0，稱為變量u的增

量，或稱為u的改變量，記為?u，即?u?u1?u0

?x?x1?x0

?y?f(x0??x)?f(x0)函數(shù)的連續(xù)性

定義2 設(shè)函數(shù)y?f(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，若當(dāng)自變量的增量?x趨近于零

時，相應(yīng)函數(shù)的增量?y也趨近于零，即

lim?y?0或 ?x?0

?x?0limf(x0??x)?f(x0)?0

則稱函數(shù)f(x)在x0點連續(xù)

2例1 用連續(xù)的定義證明y?3x?1在點x0?2處是連續(xù)的證明 略

若令x??x0?x則當(dāng)?x?0時，x?x0又?y?f(x0??x)?f(x0)即

f(x)?f(x0)??y故?y?0就是f(x)?f(x0)

因而lim?y?0可以改寫成limf(x)?f(x0)?x?0x?x0

定義3 設(shè)函數(shù)y?f(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，若

x?x0limf(x)?f(x0)

則稱函數(shù)f(x)在x0點連續(xù)

由定義3知函數(shù)f?x?在點x0連續(xù)包含了三個條件：

（1）f?x?在點x0有定義

（2）limf(x)存在x?x0

（3）limf(x)?f(x0)x?x0

?sinx,x?0?例2 考察函數(shù)f(x)??x在點x?0處得連續(xù)性

?1,x?0?

解略

3左連續(xù)及右連續(xù)的概念.定義4 若limf(x)?f(x0)，則函數(shù)f(x)在x0點左連續(xù) x?x0?

若limf(x)?f(x0)，則函數(shù)f(x)在x0點右連續(xù) x?x0+

由此可知函數(shù)f(x)在x0點連續(xù)的充分必要條件函數(shù)f(x)在x0點左連續(xù)又右連續(xù)

4、函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的定義

（a,b）（a,b）定義5 若函數(shù)f(x)在開區(qū)間內(nèi)每一點都連續(xù)，則稱函數(shù)f(x)在開區(qū)間內(nèi)連

續(xù)

（a,b）若函數(shù)f(x)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且在左端點a右連續(xù)，在右端點b左連續(xù)，則

稱稱函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)

（-?,+?）例3 討論函數(shù)y?x在內(nèi)的連續(xù)性

解 略

二 函數(shù)的間斷點定義6函數(shù)f(x)不連續(xù)的點x0稱為函數(shù)f(x)的間斷點

由定義6可知函數(shù)f(x)不連續(xù)的點x0有下列三種情況

（1）f?x?在點x0沒有定義

（2）limf(x)不存在x?x0

（3）limf(x)?f(x0)x?x0

2間斷點的分類

??左右極限都相等（可去間斷點）第一類間斷點：左右極限都存在??間斷點? ?左右極限不相等（跳躍間斷點）

?第二類間斷點：左右極限至少有一個不存在?

?x2?1,x?0例4考察函數(shù)f(x)??在x?0處得連續(xù)性

?0,x?0

解 略

例5考察函數(shù)f(x)??

解 略

?1?,x?0例6考察函數(shù)f(x)??x在x?0處得連續(xù)性

?0,x?0??x,x?0?x?1,x?0在x?0處得連續(xù)性

解 略

三 連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性

1、連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性

2、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性

3、初等函數(shù)的連續(xù)性：基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的．一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的．對于初等函數(shù),由于連續(xù)性x?x0limf(x)?f(x0),求其極限即等價于求函數(shù)的函數(shù)值

四閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

定理1（最大值最小值定理）

若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上必有最大值和最小值

定理2（介值定理）

若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，m 和M分別為f(x)在?a,b?上的最小值和最大值，則對于介于m 和M之間的任一實數(shù)C，至少存在一點???a,b?，使得

f(?)?C

定理3（零點定理）

若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號，則至少存在一點???a,b?，使得f(?)?0

例7 證明x5?2x?2?0在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個實根 證明 略

Ⅴ 小結(jié)與提問：

Ⅵ 課外作業(yè)：

習(xí)題1-8 2，5，7，9

第四篇：函數(shù)極限與連續(xù)習(xí)題(含答案)

1、已知四個命題：（1）若

（2）若

（3）若

（4）若f(x)在x0點連續(xù)，則f(x)在x?x0點必有極限 f(x)在x?x0點有極限，則f(x)在x0點必連續(xù) f(x)在x?x0點無極限，則f(x)在x?x0點一定不連續(xù)f(x)在x?x0點不連續(xù)，則f(x)在x?x0點一定無極限。其中正確的命題個數(shù)是（B、2）

2、若limf(x)?a，則下列說法正確的是（C、x?x0f(x)在x?x0處可以無意義）

3、下列命題錯誤的是（D、對于函數(shù)f(x)有l(wèi)imf(x)?f(x0)）

x?x04、已知f(x)?1

x，則limf(x??x)?f(x)的值是（C、?1）

?x?0?xx2

x?125、下列式子中，正確的是（B、limx?1?1）2(x?1)

26、limx?ax?b?5，則a、x?11?xb的值分別為（A、?7和6）

7、已知f(3)?2,f?(3)??2,則lim2x?3f(x)的值是（C、8）

x?3x?38、limx?a

x?x?aa?（D、3a2）

29、當(dāng)定義f(?1)?f(x)?1?x

2在x??1處是連續(xù)的。1?x10、lim16?x?12。

x?27x?31111、lim12、x2?1?xx?x?12x???3??1

limx?2x?1?12 ?3x?1?113、lim(x2?x?x2?1)?1

x???

214、lim(x2?x?x2?1)??1

x???2

?x,0?x?1?115、設(shè)(1)求x?f(x)??,x?1

?2

??1,1?x?2

?1時，f(x)的左極限和右極限；(2)求f(x)在x?1的函數(shù)值，它在這點連續(xù)嗎？(3)求出的連續(xù)區(qū)間。

答：（1）左右極限都為1（2）不連續(xù)（3）（0，1）（1，2）

第五篇：高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第二章極限與連續(xù)

第二章 極限與連續(xù)

一、教學(xué)要求

1.了解極限概念，了解無窮小量的定義與基本性質(zhì)，掌握求極限的方法.2.了解函數(shù)連續(xù)性的概念，掌握函數(shù)連續(xù)性的性質(zhì)及運算.重點：極限的計算，函數(shù)連續(xù)性的性質(zhì)及運算。難點：極限、連續(xù)的概念。

二、課程內(nèi)容導(dǎo)讀

1.掌握求簡單極限的常用方法。求極限的常用方法有(1)利用極限的四則運算法則；(2)利用兩個重要極限；

(3)利用無窮小量的性質(zhì)（無窮小量乘以有界變量還是無窮小量）；(4)利用連續(xù)函數(shù)的定義。

例1 求下列極限：

（1）limx?09?sin3x?

3x1x

（2）limsin(x?1)2x?1x?1（3）lim(1?2x)

x?0

x2?cos2x?

1（4）lim

x??(x?sinx)2（5）lim(xe?x?0x1)x?1 解（1）對分子進(jìn)行有理化，然后消去零因子，再利用四則運算法則和第一重要極限計算，即 limx?09?sin3x?3

x =lim(9?sin3x?3)(9?sin3x?3)

x?0x(9?sin3x?3)=limsin3x1 ?limx?0x?0x9?sin3x?3 =3?11? 62（2）利用第一重要極限和函數(shù)的連續(xù)性計算，即 limsin(x?1)sin(x?1)?lim

x?1x?1(x?1)(x?1)x2?1 ?lim sin(x?1)1 ?limx?1x?1x?1x?111 ?1??

1?12（3）利用第二重要極限計算，即

lim(1?2x)＝lim[(1?2x)x?0x?01x1?2x?2]?e?2。

（4）利用無窮小量的性質(zhì)（無窮小量乘以有界變量還是無窮小量）計算，即

cos2x?1cos2x?11?lim[1?]22x??x2?cos2x?1xx

lim= 1 ?lim?2x??(x?sinx)x??sinx2sinx2(1?)lim(1?)x??xxcos2x?11sinx1注：其中當(dāng)x??時，?2(cos2x?1)都是無窮小量乘以有?sinx，2xxxx界變量，即它們還是無窮小量。

（5）利用函數(shù)的連續(xù)性計算，即

lim(xe?x?0x11)＝0?e0???1 x?10?1 2.知道一些與極限有關(guān)的概念

(1)知道數(shù)列極限、函數(shù)極限、左右極限的概念，知道函數(shù)在某點極限存在的充分必要條件是該點左右極限都存在且相等；

(2)了解無窮小量的概念，了解無窮小量與無窮大量的關(guān)系，知道無窮小量的性質(zhì)；(3)了解函數(shù)在某點連續(xù)的概念，知道左連續(xù)和右連續(xù)的概念，了解“初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)”的結(jié)論；會判斷函數(shù)在某點的連續(xù)性，會求函數(shù)的間斷點；

例2 填空、選擇題

(1)下列變量中，是無窮小量的為（）A.ln?1(x?0?)

B.lnx(x?1)x1x C.e(x?0)

D.?x?2(x?2)2x?4111???，故 ln???，ln不是無窮小量； xxx 選項B中：因為x?1時，lnx?0，故lnx是無窮小量； 解 選項A中：因為 x?0時，?11? 選項C中：因為 x?0時，故ex?0；但是x?0時，????，? ???，xx?1???，因此e當(dāng)x?0時不是無窮小量。

x?21x?21x?2 選項D中：因為2，故當(dāng)x?2時，2不是無窮小??，2x?4x?2x?44x?4故e量。

因此正確的選項是B。

（2）下列極限計算正確的是（）。A.limxsinx?0?1x?1x11?limxlimsin?0

xx?0x?0xtan2xtan2x B.lim?lim2x?1

x?0sin2xx?0sin2x2x C.lim(x2?x?x)?limx??x??x2?x?limx?0

x??x?1x?1x?1xx?1?1e?1)?lim()lim()??1e?e

x??x?1x??x?1x??x?1e1 解 選項A不正確。因為limsin不存在，故不能直接用乘積的運算法則，即

x?0x11limxsin?limxlimsin x?0xx?0x?0x D.lim(選項B正確。將分子、分母同除以2x，再利用第一個重要極限的擴(kuò)展形式，得到

tan2xtan2xlim?lim2x?1 x?0sin2xx?0sin2x2x 選項C不正確。因為x??時，x?x??，x??，故不能直接用極限的減法運算法則，即

2lim(x2?x?x)?limx2?x?limxx??x??x??

x?1x?1)可以分成兩項乘積，即

x??x?1x?1x?1x?1xx?1?1lim()=lim()lim()x??x?1x??x?1x??x?1111?lim(1?)xx?1xx)x=x??x?e 其中第一項lim()=lim(x??x??x?111xe?11?lim(1?)x??xx11?x?1?1x)?1?1?e?1 而第二項lim()?lim(x??x??x?111?x 選項D不正確。lim(故原算法錯誤。

正確選項應(yīng)是B。

?x?1（3）當(dāng)k?（）時，f(x)??2?x?kx?0x?0在x?0處連續(xù)。

A.0 B.－1 C.2 D.1 解 函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足既是左連續(xù)又是右連續(xù)。因為函數(shù)已是右連續(xù)，且

f(0)?0?1?1

?2而左連續(xù)f(0)?lim?(x?k)?k?f(0)

x?0 故當(dāng)k?1時，f(x)在x?0處連續(xù)。

正確的選項是D。