第一篇：高一數(shù)學(xué)立體幾何解題技巧口訣

高一數(shù)學(xué)解題技巧口訣

《立體幾何》

點(diǎn)線面三位一體，柱錐臺(tái)球?yàn)榇怼＞嚯x都從點(diǎn)出發(fā)，角度皆為線線成。

垂直平行是重點(diǎn)，證明須弄清概念。線線線面和面面、三對(duì)之間循環(huán)現(xiàn)。

方程思想整體求，化歸意識(shí)動(dòng)割補(bǔ)。計(jì)算之前須證明，畫好移出的圖形。

立體幾何輔助線，常用垂線和平面。射影概念很重要，對(duì)于解題最關(guān)鍵。

異面直線二面角，體積射影公式活。公理性質(zhì)三垂線，解決問(wèn)題一大片?！镀矫娼馕鰩缀巍?/p>

有向線段直線圓，橢圓雙曲拋物線，參數(shù)方程極坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合稱典范。

笛卡爾的觀點(diǎn)對(duì)，點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對(duì)，兩者—一來(lái)對(duì)應(yīng)，開(kāi)創(chuàng)幾何新途徑。

兩種思想相輝映，化歸思想打前陣;都說(shuō)待定系數(shù)法，實(shí)為方程組思想。

三種類型集大成，畫出曲線求方程，給了方程作曲線，曲線位置關(guān)系判。

四件工具是法寶，坐標(biāo)思想?yún)?shù)好;平面幾何不能丟，旋轉(zhuǎn)變換復(fù)數(shù)求。

解析幾何是幾何，得意忘形學(xué)不活。圖形直觀數(shù)入微，數(shù)學(xué)本是數(shù)形學(xué)?！都吓c函數(shù)》

內(nèi)容子交并補(bǔ)集，還有冪指對(duì)函數(shù)。性質(zhì)奇偶與增減，觀察圖象最明顯。復(fù)合函數(shù)式出現(xiàn)，性質(zhì)乘法法則辨，若要詳細(xì)證明它，還須將那定義抓。指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)，兩者互為反函數(shù)。底數(shù)非1的正數(shù)，1兩邊增減變故。函數(shù)定義域好求。分母不能等于0，偶次方根須非負(fù)，零和負(fù)數(shù)無(wú)對(duì)數(shù);正切函數(shù)角不直，余切函數(shù)角不平;其余函數(shù)實(shí)數(shù)集，多種情況求交集。兩個(gè)互為反函數(shù)，單調(diào)性質(zhì)都相同;圖象互為軸對(duì)稱，Y=X是對(duì)稱軸;求解非常有規(guī)律，反解換元定義域;反函數(shù)的定義域，原來(lái)函數(shù)的值域。冪函數(shù)性質(zhì)易記，指數(shù)化既約分?jǐn)?shù);函數(shù)性質(zhì)看指數(shù)，奇母奇子奇函數(shù)，奇母偶子偶函數(shù)，偶母非奇偶函數(shù);圖象第一象限內(nèi)，函數(shù)增減看正負(fù)。

第二篇：立體幾何解題技巧

立體幾何解題技巧

李明健 發(fā)布時(shí)間： 2010-8-4 16:07:19

立體幾何解答題的設(shè)計(jì)，注意了求解方法既可用向量方法處理，又可以用傳統(tǒng)的幾何方法解決，并且一般來(lái)說(shuō)，向量方法比用傳統(tǒng)方法解決較為簡(jiǎn)單。由于立體幾何解答題屬于常規(guī)題、中檔題，因而，立體幾何的復(fù)習(xí)應(yīng)緊扣教材，熟練掌握課本中的每一個(gè)概念、每一個(gè)定理的種種用途，突破畫圖、讀圖、識(shí)圖、用圖的道道難關(guān)，同時(shí)要注意總結(jié)證明垂直、平行的常用方法和技巧，掌握角、距離、面積、體積等的轉(zhuǎn)化和計(jì)算方法，在做題的過(guò)程中進(jìn)行反思，在反思中總結(jié)、提煉，不斷提升空間想象能力及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

1．平行、垂直位置關(guān)系的論證的策略:

（1）由已知想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證題思路。

（2）利用題設(shè)條件的性質(zhì)適當(dāng)添加輔助線（或面）是解題的常用方法之一。

（3）三垂線定理及其逆定理在高考題中使用的頻率最高，在證明線線垂直時(shí)應(yīng)優(yōu)先考慮。

2．空間角的計(jì)算方法與技巧:

主要步驟：一作、二證、三算；若用向量，那就是一證、二算。

（1）兩條異面直線所成的角①平移法：②補(bǔ)形法：③向量法：

（2）直線和平面所成的角

①作出直線和平面所成的角，關(guān)鍵是作垂線，找射影轉(zhuǎn)化到同一三角形中計(jì)算，或用向量計(jì)算。

②用公式計(jì)算.（3）二面角

①平面角的作法：（i）定義法；（ii）三垂線定理及其逆定理法；（iii）垂面法。②平面角的計(jì)算法：

（i）找到平面角，然后在三角形中計(jì)算（解三角形）或用向量計(jì)算；（ii）射影面積法 ；（iii）向量夾角公式.3． 空間距離的計(jì)算方法與技巧:

（1）求點(diǎn)到直線的距離：經(jīng)常應(yīng)用三垂線定理作出點(diǎn)到直線的垂線，然后在相關(guān)的三角形中求解，也可以借助于面積相等求出點(diǎn)到直線的距離。

（2）求兩條異面直線間距離：一般先找出其公垂線，然后求其公垂線段的長(zhǎng)。在不能直接作出公垂線的情況下，可轉(zhuǎn)化為線面距離求解（這種情況高考不做要求）。

（3）求點(diǎn)到平面的距離：一般找出（或作出）過(guò)此點(diǎn)與已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性質(zhì)過(guò)該點(diǎn)作出平面的垂線，進(jìn)而計(jì)算；也可以利用“三棱錐體積法”直接求距離；有時(shí)直接利用已知點(diǎn)求距離比較困難時(shí)，我們可以把點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為直線到平面的距離，從而“轉(zhuǎn)移”到另一點(diǎn)上去求“點(diǎn)到平面的距離”。求直線與平面的距離及平面與平面的距離一般均轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離來(lái)求解。

4． 熟記一些常用的小結(jié)論，諸如：正四面體的體積公式是 ；面積射影公式；“立平斜關(guān)系式”；最小角定理。弄清楚棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影為底面的內(nèi)心、外心、垂心的條件，這可能是快速解答某些問(wèn)題的前提。

5．平面圖形的翻折、立體圖形的展開(kāi)等一類問(wèn)題，要注意翻折前、展開(kāi)前后有關(guān)幾何元素的“不變性”與“不變量”。

6．與球有關(guān)的題型，只能應(yīng)用“老方法”，求出球的半徑即可。

第三篇：高二數(shù)學(xué)立體幾何解題技巧

在做難題的時(shí)候，要注意方法。其實(shí)數(shù)學(xué)也是有方法可找的。就比如說(shuō)解析幾何，橢圓這類型的題，是聯(lián)立還是點(diǎn)差法，下面給大家分享一些關(guān)于高二數(shù)學(xué)立體幾何解題技巧，希望對(duì)大家有所幫助。

高二數(shù)學(xué)立體幾何解題技巧

1平行、垂直位置關(guān)系的論證的策略

(1)由已知想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證題思路。

(2)利用題設(shè)條件的性質(zhì)適當(dāng)添加輔助線(或面)是解題的常用方法之一。

(3)三垂線定理及其逆定理在高考題中使用的頻率最高，在證明線線垂直時(shí)應(yīng)優(yōu)先考慮。

2空間角的計(jì)算方法與技巧

主要步驟：一作、二證、三算;若用向量，那就是一證、二算。

(1)兩條異面直線所成的角①平移法：②補(bǔ)形法：③向量法：

(2)直線和平面所成的角

①作出直線和平面所成的角，關(guān)鍵是作垂線，找射影轉(zhuǎn)化到同一三角形中計(jì)算，或用向量計(jì)算。

②用公式計(jì)算。

(3)二面角

①平面角的作法：(i)定義法;(ii)三垂線定理及其逆定理法;(iii)垂面法。

②平面角的計(jì)算法：

(i)找到平面角，然后在三角形中計(jì)算(解三角形)或用向量計(jì)算;(ii)射影面積法;(iii)向量夾角公式。

3空間距離的計(jì)算方法與技巧

(1)求點(diǎn)到直線的距離：經(jīng)常應(yīng)用三垂線定理作出點(diǎn)到直線的垂線，然后在相關(guān)的三角形中求解，也可以借助于面積相等求出點(diǎn)到直線的距離。

(2)求兩條異面直線間距離：一般先找出其公垂線，然后求其公垂線段的長(zhǎng)。在不能直接作出公垂線的情況下，可轉(zhuǎn)化為線面距離求解(這種情況高考不做要求)。

(3)求點(diǎn)到平面的距離：一般找出(或作出)過(guò)此點(diǎn)與已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性質(zhì)過(guò)該點(diǎn)作出平面的垂線，進(jìn)而計(jì)算;也可以利用“三棱錐體積法”直接求距離;有時(shí)直接利用已知點(diǎn)求距離比較困難時(shí)，我們可以把點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為直線到平面的距離，從而“轉(zhuǎn)移”到另一點(diǎn)上去求“點(diǎn)到平面的距離”。求直線與平面的距離及平面與平面的距離一般均轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離來(lái)求解。

4熟記一些常用的小結(jié)論

諸如：正四面體的體積公式是;面積射影公式;“立平斜關(guān)系式”;最小角定理。弄清楚棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影為底面的內(nèi)心、外心、垂心的條件，這可能是快速解答某些問(wèn)題的前提。

5平面圖形的翻折、立體圖形的展開(kāi)等一類問(wèn)題

要注意翻折前、展開(kāi)前后有關(guān)幾何元素的“不變性”與“不變量”。

6與球有關(guān)的題型

只能應(yīng)用“老方法”，求出球的半徑即可。

7立體幾何讀題

(1)弄清楚圖形是什么幾何體，規(guī)則的、不規(guī)則的、組合體等。

(2)弄清楚幾何體結(jié)構(gòu)特征。面面、線面、線線之間有哪些關(guān)系(平行、垂直、相等)。

(3)重點(diǎn)留意有哪些面面垂直、線面垂直，線線平行、線面平行等。

8解題程序劃分為四個(gè)過(guò)程

①弄清問(wèn)題。也就是明白“求證題”的已知是什么?條件是什么?未知是什么?結(jié)論是什么?也就是我們常說(shuō)的審題。

②擬定計(jì)劃。找出已知與未知的直接或者間接的聯(lián)系。在弄清題意的基礎(chǔ)上,從中捕捉有用的信息,并及時(shí)提取記憶網(wǎng)絡(luò)中的有關(guān)信息,再將兩組信息資源作出合乎邏輯的有效組合,從而構(gòu)思出一個(gè)成功的計(jì)劃。即是我們常說(shuō)的思考。

③執(zhí)行計(jì)劃。以簡(jiǎn)明、準(zhǔn)確、有序的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和數(shù)學(xué)符號(hào)將解題思路表述出來(lái),同時(shí)驗(yàn)證解答的合理性。即我們所說(shuō)的解答。

④回顧。對(duì)所得的結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證,對(duì)解題方法進(jìn)行總結(jié)。

高二數(shù)學(xué)采取針對(duì)性措施提升成績(jī)

(1)記數(shù)學(xué)筆記，特別是對(duì)概念理解的不同側(cè)面和數(shù)學(xué)規(guī)律，教師在課堂中拓展的課外知識(shí)。記錄下來(lái)本章你覺(jué)得最有價(jià)值的思想方法或例題，以及你還存在的未解決的問(wèn)題，以便今后將其補(bǔ)上。

(2)建立數(shù)學(xué)糾錯(cuò)本。把平時(shí)容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的知識(shí)或推理記載下來(lái)，以防再犯。爭(zhēng)取做到：找錯(cuò)、析錯(cuò)、改錯(cuò)、防錯(cuò)。達(dá)到：能從反面入手深入理解正確東西;能由果朔因把錯(cuò)誤原因弄個(gè)水落石出、以便對(duì)癥下藥;解答問(wèn)題完整、推理嚴(yán)密。

(3)熟記一些數(shù)學(xué)規(guī)律和數(shù)學(xué)小結(jié)論，使自己平時(shí)的運(yùn)算技能達(dá)到了自動(dòng)化或半自動(dòng)化的熟練程度。

(4)經(jīng)常對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行梳理，形成板塊結(jié)構(gòu)，實(shí)行“整體集裝”，如表格化，使知識(shí)結(jié)構(gòu)一目了然;經(jīng)常對(duì)習(xí)題進(jìn)行類化，由一例到一類，由一類到多類，由多類到統(tǒng)一;使幾類問(wèn)題歸納于同一知識(shí)方法。

(5)閱讀數(shù)學(xué)課外書籍與報(bào)刊，參加數(shù)學(xué)學(xué)科課外活動(dòng)與講座，多做數(shù)學(xué)課外題，加大自學(xué)力度，拓展自己的知識(shí)面。

(6)及時(shí)復(fù)習(xí)，強(qiáng)化對(duì)基本概念知識(shí)體系的理解與記憶，進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆磸?fù)鞏固，消滅前學(xué)后忘。

(7)學(xué)會(huì)從多角度、多層次地進(jìn)行總結(jié)歸類。如：①?gòu)臄?shù)學(xué)思想分類②從解題方法歸類③從知識(shí)應(yīng)用上分類等，使所學(xué)的知識(shí)系統(tǒng)化、條理化、專題化、網(wǎng)絡(luò)化。

(8)經(jīng)常在做題后進(jìn)行一定的“反思”，思考一下本題所用的基礎(chǔ)知識(shí)，數(shù)學(xué)思想方法是什么，為什么要這樣想，是否還有別的想法和解法，本題的分析方法與解法，在解其它問(wèn)題時(shí)，是否也用到過(guò)。

(9)無(wú)論是作業(yè)還是測(cè)驗(yàn)，都應(yīng)把準(zhǔn)確性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，這是學(xué)好數(shù)學(xué)的重要問(wèn)題。

高二數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法

用好筆記本

從高一開(kāi)始，我就有筆記本，老師上課的板書從來(lái)沒(méi)有漏過(guò)一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，沒(méi)有漏掉過(guò)一個(gè)例題，都記在筆記本上。而且一定要上課的時(shí)候就聽(tīng)懂老師的思路，即使有不懂的，下課一定要去找老師提問(wèn)。我借了筆記，看不懂就去問(wèn)他。

筆記本上，基礎(chǔ)概念，公式，例題，老師讓我們課上做的題，都要記下來(lái)。其實(shí)目的很簡(jiǎn)單，以后好復(fù)習(xí)，而且寫一遍有助于記憶。

下課之后，在每天做作業(yè)之前，我都會(huì)把筆記本拿出來(lái)先看一遍，今天主要什么知識(shí)，什么例題，主要的思路方法是什么，然后再去做作業(yè)。

其實(shí)作業(yè)里的很多題都不超出老師上課所涉及到的題型知識(shí)。有些確實(shí)難的，一定要自己先思考怎么做，實(shí)在做不出來(lái)就標(biāo)注一下，拿答案來(lái)看。搞清楚自己到底卡在哪個(gè)地方了，然后把這個(gè)題當(dāng)作一個(gè)典型記下來(lái)，當(dāng)作一個(gè)方法的示例。

跟著老師走

另外就是自己做的練習(xí)了。我當(dāng)時(shí)每一門課都有一本輔導(dǎo)書，或者是中學(xué)教材全解或者是王后雄或者是其他的，都是我自己親自到書店去挑的，自己覺(jué)得好才去買。我是以自己學(xué)習(xí)情況來(lái)做題的，會(huì)的題做一兩個(gè)就行了。如果是不會(huì)的，就一定會(huì)好好做，仔細(xì)研究題目整個(gè)的思路。后來(lái)發(fā)現(xiàn)考試?yán)锲鋵?shí)也就是很多見(jiàn)過(guò)的題型，方法都有共通之處。

高考復(fù)習(xí)，我就是很乖地跟著老師走。然后做老師的練習(xí)。然后自己做高考題，做別的模擬題。查缺補(bǔ)漏，多總結(jié)做題的方法。有些題型一開(kāi)始我也不知道該怎么想，后來(lái)做多了，再加上老師一輪復(fù)習(xí)過(guò)方法，看看例題，自己慢慢就開(kāi)竅了，看到之后也不會(huì)害怕了。

一定要有自信，不可以有抵觸心理，不可以厭惡一門科目，否則你絕對(duì)學(xué)不好。我并不喜歡數(shù)學(xué)，但是我為了高考是一定會(huì)把它好好學(xué)好的。得數(shù)學(xué)者得天下，這句話沒(méi)錯(cuò)!

別太在乎分?jǐn)?shù)

關(guān)于所有的考試和練習(xí)：

請(qǐng)大家珍惜每一次練習(xí)，考試。

這種時(shí)候都是對(duì)自己這一階段學(xué)習(xí)的一次檢查。是非常必要的，查缺補(bǔ)漏都靠這個(gè)了。

不要太過(guò)于在乎分?jǐn)?shù)

每次做完一定要找出自己的問(wèn)題，是基礎(chǔ)不牢，還是粗心大意，還是方法沒(méi)有掌握等等。在困惑的時(shí)候一定要和老師好好交流。

一定記住，不要把問(wèn)題歸結(jié)于什么心態(tài)不好，不在狀態(tài)這種虛無(wú)縹緲的原因上，一定要找到最基礎(chǔ)最根本的原因!否則你就永遠(yuǎn)暈頭轉(zhuǎn)向，不知道該朝哪個(gè)方向努力!

關(guān)于考試作弊，提前查答案等等不誠(chéng)實(shí)的行為。我只能說(shuō)，出來(lái)混的，遲早要還的，不信的話，高考見(jiàn)吧。浪費(fèi)掉的是你每次練習(xí)檢驗(yàn)自己的機(jī)會(huì)，浪費(fèi)掉的是自己這么多年來(lái)的學(xué)習(xí)，你自己的心里也會(huì)不安的!

在一輪復(fù)習(xí)中，老師會(huì)按照知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)。復(fù)習(xí)中，老師在課堂上會(huì)講一些經(jīng)典的例題和一些必會(huì)的基礎(chǔ)題型。這些題型請(qǐng)大家務(wù)必做好做透，將它的方法吃透。上完課后做作業(yè)前，請(qǐng)大家把這些題再仔細(xì)看一遍，之后再開(kāi)始做作業(yè)，事半功倍。

請(qǐng)大家在每個(gè)知識(shí)點(diǎn)結(jié)束時(shí)爭(zhēng)取將這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的問(wèn)題解決。不說(shuō)難題都沒(méi)有問(wèn)題，至少基本的概念，方法要會(huì)。

在做難題的時(shí)候，要注意方法。其實(shí)數(shù)學(xué)也是有方法可找的。就比如說(shuō)解析幾何，橢圓這類型的題，是聯(lián)立還是點(diǎn)差法，在每次做完題后，根據(jù)題目設(shè)問(wèn)的類型要進(jìn)行反思和整理。

考試的時(shí)候，大家務(wù)必拿到的分，就是選擇除最后一道，填空除最后一道，大題的前幾道，這些題拿到了，上100肯定沒(méi)問(wèn)題。那些難題，再提升提升，120以上應(yīng)該是可以的。

第四篇：高一數(shù)學(xué)解題技巧

高一數(shù)學(xué)解題技巧：巧用知識(shí)點(diǎn)解題口訣

二、《立體幾何》

點(diǎn)線面三位一體，柱錐臺(tái)球?yàn)榇?。距離都從點(diǎn)出發(fā)，角度皆為線線成。垂直平行是重點(diǎn)，證明須弄清概念。線線線面和面面、三對(duì)之間循環(huán)現(xiàn)。方程思想整體求，化歸意識(shí)動(dòng)割補(bǔ)。計(jì)算之前須證明，畫好移出的圖形。立體幾何輔助線，常用垂線和平面。射影概念很重要，對(duì)于解題最關(guān)鍵。異面直線二面角，體積射影公式活。公理性質(zhì)三垂線，解決問(wèn)題一大片。

三、《平面解析幾何》

有向線段直線圓，橢圓雙曲拋物線，參數(shù)方程極坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合稱典范。笛卡爾的觀點(diǎn)對(duì)，點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對(duì)，兩者—一來(lái)對(duì)應(yīng)，開(kāi)創(chuàng)幾何新途徑。兩種思想相輝映，化歸思想打前陣;都說(shuō)待定系數(shù)法，實(shí)為方程組思想。三種類型集大成，畫出曲線求方程，給了方程作曲線，曲線位置關(guān)系判。四件工具是法寶，坐標(biāo)思想?yún)?shù)好;平面幾何不能丟，旋轉(zhuǎn)變換復(fù)數(shù)求。解析幾何是幾何，得意忘形學(xué)不活。圖形直觀數(shù)入微，數(shù)學(xué)本是數(shù)形學(xué)。

第五篇：高一數(shù)學(xué)函數(shù)值域解題技巧

一．觀察法

通過(guò)對(duì)函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察，結(jié)合函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的值域。例1求函數(shù)y=3+√(2－3x)的值域。

點(diǎn)撥：根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)，先求出√(2－3x)的值域。解：由算術(shù)平方根的性質(zhì)，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3?！嗪瘮?shù)的知域?yàn)?點(diǎn)評(píng)：算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性，即：（1）被開(kāi)方數(shù)的非負(fù)性，（2）值的非負(fù)性。

本題通過(guò)直接觀察算術(shù)平方根的性質(zhì)而獲解，這種方法對(duì)于一類函數(shù)的值域的求法，簡(jiǎn)捷明了，不失為一種巧法。

練習(xí)：求函數(shù)y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域?yàn)椋海?，1，2，3，4，5｝）二．反函數(shù)法

當(dāng)函數(shù)的反函數(shù)存在時(shí)，則其反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域。例2求函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的值域。

點(diǎn)撥：先求出原函數(shù)的反函數(shù)，再求出其定義域。

解：顯然函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的反函數(shù)為:x=(1－2y)/（y－1）,其定義域?yàn)閥≠1的實(shí)數(shù),故函數(shù)y的值域?yàn)椋鹹∣y≠1,y∈R｝。點(diǎn)評(píng)：利用反函數(shù)法求原函數(shù)的定義域的前提條件是原函數(shù)存在反函數(shù)。這種方法體現(xiàn)逆向思維的思想，是數(shù)學(xué)解題的重要方法之一。

練習(xí)：求函數(shù)y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函數(shù)的值域?yàn)椋鹹∣y<－1或y>1｝）三．配方法

當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)時(shí),可以利用配方法求函數(shù)值域

例3：求函數(shù)y=√(－x2+x+2)的值域。

點(diǎn)撥：將被開(kāi)方數(shù)配方成完全平方數(shù)，利用二次函數(shù)的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函數(shù)的定義域?yàn)閤∈[－1，2]。此時(shí)－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函數(shù)的值域是[0,3/2] 點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)的值域不但要重視對(duì)應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用,而且要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用。配方法是數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法。

練習(xí)：求函數(shù)y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域?yàn)閧y∣y≤3})四．判別式法

若可化為關(guān)于某變量的二次方程的分式函數(shù)或無(wú)理函數(shù),可用判別式法求函數(shù)的值域。

例4求函數(shù)y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。

點(diǎn)撥：將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為自變量的二次方程，應(yīng)用二次方程根的判別式，從而確定出原函數(shù)的值域。

解：將上式化為（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0（＊）

當(dāng)y≠2時(shí),由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3 當(dāng)y=2時(shí),方程(＊)無(wú)解?！嗪瘮?shù)的值域?yàn)?＜y≤10/3。

點(diǎn)評(píng)：把函數(shù)關(guān)系化為二次方程F(x,y)=0，由于方程有實(shí)數(shù)解，故其判別式為非負(fù)數(shù)，可求得函數(shù)的值域。常適應(yīng)于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函數(shù)。

練習(xí)：求函數(shù)y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域?yàn)閥≤－8或y>0）。五．最值法

對(duì)于閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)的極值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數(shù)的最值,可得到函數(shù)y的值域。

例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函數(shù)z=xy+3x的值域。

點(diǎn)撥：根據(jù)已知條件求出自變量x的取值范圍，將目標(biāo)函數(shù)消元、配方，可求出函數(shù)的值域。

解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2)，∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函數(shù)z在區(qū)間[-1,3/2]上連續(xù)，故只需比較邊界的大小。

當(dāng)x=-1時(shí)，z=－5；當(dāng)x=3/2時(shí)，z=15/4?！嗪瘮?shù)z的值域?yàn)椋鹺∣－5≤z≤15/4｝。

點(diǎn)評(píng)：本題是將函數(shù)的值域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值。對(duì)開(kāi)區(qū)間，若存在最值，也可通過(guò)求出最值而獲得函數(shù)的值域。

練習(xí)：若√x為實(shí)數(shù)，則函數(shù)y=x2+3x-5的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A．（－∞，＋∞）B．[－7，＋∞] C．[0，＋∞）D．[－5，＋∞）（答案：D）。六．圖象法

通過(guò)觀察函數(shù)的圖象，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法得到函數(shù)的值域。例6求函數(shù)y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。

點(diǎn)撥：根據(jù)絕對(duì)值的意義，去掉符號(hào)后轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，作出其圖象。解：原函數(shù)化為 －2x+1(x≤1)y= 3(-12)它的圖象如圖所示。

顯然函數(shù)值y≥3,所以，函數(shù)值域[3，＋∞]。

點(diǎn)評(píng)：分段函數(shù)應(yīng)注意函數(shù)的端點(diǎn)。利用函數(shù)的圖象

求函數(shù)的值域，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。是解決問(wèn)題的重要方法。

求函數(shù)值域的方法較多，還適應(yīng)通過(guò)不等式法、函數(shù)的單調(diào)性、換元法等方法求函數(shù)的值域。七．單調(diào)法

利用函數(shù)在給定的區(qū)間上的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減求值域。例1求函數(shù)y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。

點(diǎn)撥：由已知的函數(shù)是復(fù)合函數(shù)，即g(x)= －√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定義域?yàn)閤≤1/3，在此區(qū)間內(nèi)分別討論函數(shù)的增減性，從而確定函數(shù)的值域。

解：設(shè)f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它們?cè)诙x域內(nèi)為增函數(shù)，從而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x

在定義域?yàn)閤≤1/3上也為增函數(shù)，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函數(shù)值域?yàn)椋鹹|y≤4/3｝。

點(diǎn)評(píng)：利用單調(diào)性求函數(shù)的值域，是在函數(shù)給定的區(qū)間上，或求出函數(shù)隱含的區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的增減性，求出其函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，進(jìn)而可確定函數(shù)的值域。練習(xí)：求函數(shù)y=3+√4-x 的值域。(答案：｛y|y≥3｝)八．換元法

以新變量代替函數(shù)式中的某些量，使函數(shù)轉(zhuǎn)化為以新變量為自變量的函數(shù)形式，進(jìn)而求出值域。

例2求函數(shù)y=x-3+√2x+1 的值域。

點(diǎn)撥：通過(guò)換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為某個(gè)變量的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的最值，確定原函數(shù)的值域。

解：設(shè)t=√2x+1（t≥0）,則 x=1/2(t2-1)。

于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.所以，原函數(shù)的值域?yàn)椋鹹|y≥－7/2｝。

點(diǎn)評(píng)：將無(wú)理函數(shù)或二次型的函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，通過(guò)求出二次函數(shù)的最值，從而確定出原函數(shù)的值域。這種解題的方法體現(xiàn)換元、化歸的思想方法。它的應(yīng)用十分廣泛。

練習(xí)：求函數(shù)y=√x-1 –x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝ 九．構(gòu)造法

根據(jù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，賦予幾何圖形，數(shù)形結(jié)合。例3求函數(shù)y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。

點(diǎn)撥：將原函數(shù)變形，構(gòu)造平面圖形，由幾何知識(shí)，確定出函數(shù)的值域。解：原函數(shù)變形為f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22 作一個(gè)長(zhǎng)為

4、寬為3的矩形ABCD，再切割成12個(gè)單位 正方形。設(shè)HK=x,則ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 , KC=√(x+2)2+1。

由三角形三邊關(guān)系知，AK+KC≥AC=5。當(dāng)A、K、C三點(diǎn)共 線時(shí)取等號(hào)。

∴原函數(shù)的知域?yàn)椋鹹|y≥5｝。

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于形如函數(shù)y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均為正數(shù))，均可通過(guò)構(gòu)造幾何圖形，由幾何的性質(zhì)，直觀明了、方便簡(jiǎn)捷。這是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。

練習(xí)：求函數(shù)y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域。（答案：｛y|y≥5√2｝）十．比例法

對(duì)于一類含條件的函數(shù)的值域的求法，可將條件轉(zhuǎn)化為比例式，代入目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而求出原函數(shù)的值域。

例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函數(shù)z=x2+y2的值域。

點(diǎn)撥：將條件方程3x-4y-5=0轉(zhuǎn)化為比例式，設(shè)置參數(shù)，代入原函數(shù)。解：由3x-4y-5=0變形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k為參數(shù))∴x=3+4k,y=1+3k, ∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。當(dāng)k=－3/5時(shí)，x=3/5,y=－4/5時(shí)，zmin=1。函數(shù)的值域?yàn)椋鹺|z≥1｝.點(diǎn)評(píng)：本題是多元函數(shù)關(guān)系，一般含有約束條件，將條件轉(zhuǎn)化為比例式，通過(guò)設(shè)參數(shù)，可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為單函數(shù)的形式，這種解題方法體現(xiàn)諸多思想方法，具有一定的創(chuàng)新意識(shí)。

練習(xí)：已知x,y∈R，且滿足4x-y=0,求函數(shù)f(x,y)=2x2-y的值域。（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝）

十一．利用多項(xiàng)式的除法

例5求函數(shù)y=(3x+2)/(x+1)的值域。

點(diǎn)撥：將原分式函數(shù)，利用長(zhǎng)除法轉(zhuǎn)化為一個(gè)整式與一個(gè)分式之和。解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)?！?/(x+1)≠0，故y≠3。

∴函數(shù)y的值域?yàn)閥≠3的一切實(shí)數(shù)。

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函數(shù)均可利用這種方法。練習(xí)：求函數(shù)y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。（答案：y≠2）十二．不等式法

例6求函數(shù)Y=3x/(3x+1)的值域。

點(diǎn)撥：先求出原函數(shù)的反函數(shù)，根據(jù)自變量的取值范圍，構(gòu)造不等式。解：易求得原函數(shù)的反函數(shù)為y=log3[x/(1-x)], 由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義知 x/(1-x)＞0 1-x≠0

解得，0＜x<1。

∴函數(shù)的值域（0，1）。

點(diǎn)評(píng)：考查函數(shù)自變量的取值范圍構(gòu)造不等式（組）或構(gòu)造重要不等式，求出函數(shù)定義域，進(jìn)而求值域。不等式法是重要的解題工具，它的應(yīng)用非常廣泛。是數(shù)學(xué)解題的方法之一。

以下供練習(xí)選用：求下列函數(shù)的值域 1．Y=√(15－4x)+2x-5；（｛y|y≤3｝）2．Y=2x/(2x－1)。（y>1或y<0）