第一篇：數(shù)學-立體幾何

立體幾何

1、空間的直線與平面

⒈平面的基本性質

（1）三個公理及公理三的三個推論和它們的用途；⑵斜二測畫法． ⒉空間兩條直線的位置關系：相交直線、平行直線、異面直線．

（1）公理四（平行線的傳遞性）．等角定理．

（2）異面直線的判定：判定定理、反證法．

（3）異面直線所成的角：定義（求法）、范圍．

⒊直線和平面平行于平面和平面平行

（1）直線與平面平行：直線和平面的位置關系、直線和平面平行的判定與性質．

（2）平行平面：兩個平面的位置關系、兩個平面平行的判定與性質． ⒋直線和平面垂直

（1）直線和平面垂直：定義、判定定理．

（2）垂線定理及逆定理． 典型例題 例1 如圖，P是⊿ABC所在平面外一點，M，N分別是PA和AB的中點，試過點M，N做平行于AC的平面?，要求：（1）畫出平面?分別與平面ABC，平面PBC，平面PAC的交線；

（2）試對你的畫法給出證明．

解：（1）過N點作NE//AC交BC于E，過M點作MF//AC交PC于F，連結EF，則平面MNEF為平行于AC的平面?，NE，EF，MF分別是平面?與平面ABC，平面PBC，平面PAC的交線．

（2）∵NE//AC，MF//AC，∴NE//MF.∴直線NE與MF共面，NE，EF，MF分別是平面MNEF與平面ABC，平面PBC，平面PAC的交線．

∵NE//AC，NE?平面MNEF，∴AC//平面MNEF．

∴平面MNEF為所求的平面?．

2、空間向量

1、空間向量及其運算

（1）空間向量及其加減與數(shù)乘運算（幾何方法）．

（2）共線向量定理與共面向量定理．

（3）空間向量基本定理．

（4）兩個向量的數(shù)量積：定義、幾何意義．

2、空間向量的坐標運算

（1）空間直角坐標系：坐標向量、點的坐標、向量的坐標表示．

（2）向量的直角坐標運算．

（3）夾角和距離公式．

3、夾角與距離

1、直線和平面所成的角與二面角

（1）平面的斜線和平面所成的角：三面角余弦公式、最小角定理、斜線和平面所成的角、直線和平面所成的角．

（2）二面角的定義、范圍、二面角的平面角、直二面角；互相垂直的平面及其判定定 理、性質定理．

2、距離：點到平面的距離；直線到與它平行平面的距離；兩個平行平面的公垂線、公垂線段；異面直線的公垂線及其性質、公垂線段。

典型例題

例1 在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，且PA⊥底面ABCD，PD與底面成30°（PD和其在底面上的射影所成⑴若AE⊥PD，垂足為E，求證：BE⊥PD；

⑵求異面直線AE與CD解：以A為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系A－xyz，由題意知A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,2a,0)

證明⑴：∵PD在底面上的射影是DA，且PD與底面成2a), ∴∠PDA＝30°，?P(0,0,3∵AE⊥PD，?||?113||?a,E(0,a,a)22

2132??(?a,a,a),?(0,2a,?3a), 223

???0?(?a)?aa2?2a??(?a)?0,??，即BE⊥

223

a3aa2

解⑵：由⑴知?(0，),?(?a,a,0),???, 222

又|AE|?a,|CD|?2a,???2，4∴異面直線AE與CD所成角的大小為arccos2.44、簡單多面體與球

1、棱柱與棱錐：（1）多面體；（2）棱柱、直棱柱、正棱柱、棱柱的性質；（3）平行六面體、直平行六面體、長方體、正四棱柱的性質；（4）棱錐、正棱錐、棱錐的性質、正棱錐的性質；直棱柱和正棱錐的直觀圖的畫法。

2、球

⑴球和它的性質：球體、球面、球的大圓、小圓、球面距離．

⑵球的體積公式和表面積公式．

典型例題

例題1．在三棱錐P-ABC中，三條側棱PA，PB，PC兩

兩垂直，H是△ABC的垂心

求證：⑴PH?底面ABC⑵△ABC是銳角三角形

證明：⑴∵PA?PBPA?PC且PB∩PC=P

∴PA?側面PBC又∵BC?平面PBD∴PA?BC

∵H是△ABC的垂心∴AH?BC

∵PA∩AH=A∴BC?截面PAH

又PH?平面PAH∴BC?PH

同理可證：AB?PH又AB?BC=B∴PH?面ABC

⑵設AH與直線BC的交點為E，連接PE

由⑴知PH?底面ABC∴AE為PE在平面ABC的射影

由三垂線定理：PE?BC

∵PB?PC即△BPC是直角三角形，BC為斜邊

∴E在BC邊上由于AE?BC，故B∠C都是銳角

同理可證：∠A也是銳角∴△ABC為銳角三角形

A C

第二篇：2018高二數(shù)學立體幾何學習方法

2018高二數(shù)學立體幾何學習方法

數(shù)學是利用符號語言研究數(shù)量、結構、變化以及空間模型等概念的一門學科。查字典數(shù)學網(wǎng)為大家推薦了高二數(shù)學立體幾何學習方法，請大家仔細閱讀，希望你喜歡。

一、逐漸提高邏輯論證能力

論證時，首先要保持嚴密性，對任何一個定義、定理及推論的理解要做到準確無誤。符號表示與定理完全一致，定理的所有條件都具備了，才能推出相關結論。切忌條件不全就下結論。其次，在論證問題時，思考應多用分析法，即逐步地找到結論成立的充分條件，向已知靠攏，然后用綜合法(推出法)形式寫出。

二、立足課本，夯實基礎

直線和平面這些內容，是立體幾何的基礎，學好這部分的一個捷徑就是認真學習定理的證明，尤其是一些很關鍵的定理的證明。例如：三垂線定理。定理的內容都很簡單，就是線與線，線與面，面與面之間的關系的闡述。但定理的證明在出學的時候一般都很復雜，甚至很抽象。掌握好定理有以下三點好處：

(1)深刻掌握定理的內容，明確定理的作用是什么，多用在那些地方，怎么用。

(2)培養(yǎng)空間想象力。

(3)得出一些解題方面的啟示。

在學習這些內容的時候，可以用筆、直尺、書之類的東西搭出一個圖形的框架，用以幫助提高空間想象力。對后面的學習也打下了很好的基礎。

三、轉化思想的應用

我個人覺得，解立體幾何的問題，主要是充分運用轉化這種數(shù)學思想，要明確在轉化過程中什么變了，什么沒變，有什么聯(lián)系，這是非常關鍵的。例如：

(1)兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線的夾角即過空間任意一點引兩條異面直線的平行線。斜線與平面所成的角轉化為直線與直線所成的角即斜線與斜線在該平面內的射影所成的角。

(2)異面直線的距離可以轉化為直線和與它平行的平面間的距離，也可以轉化為兩平行平面的距離，即異面直線的距離與線面距離、面面距離三者可以相互轉化。而面面距離可以轉化為線面距離，再轉化為點面距離，點面距離又可轉化為點線距離。

(3)面和面平行可以轉化為線面平行，線面平行又可轉化為線線平行。而線線平行又可以由線面平行或面面平行得到，它們之間可以相互轉化。同樣面面垂直可以轉化為線面垂直，進而轉化為線線垂直。

(4)三垂線定理可以把平面內的兩條直線垂直轉化為空間的兩條直線垂直，而三垂線逆定理可以把空間的兩條直線垂直轉化為平面內的兩條直線垂直。

以上這些都是數(shù)學思想中轉化思想的應用，通過轉化可以使問題得以大大簡化。

四、培養(yǎng)空間想象力 為了培養(yǎng)空間想象力，可以在剛開始學習時，動手制作一些簡單的模型用以幫助想象。例如：正方體或長方體。在正方體中尋找線與線、線與面、面與面之間的關系。通過模型中的點、線、面之間的位置關系的觀察，逐步培養(yǎng)自己對空間圖形的想象能力和識別能力。其次，要培養(yǎng)自己的畫圖能力?？梢詮暮唵蔚膱D形(如：直線和平面)、簡單的幾何體(如：正方體)開始畫起。最后要做的就是樹立起立體觀念，做到能想象出空間圖形并把它畫在一個平面(如：紙、黑板)上，還要能根據(jù)畫在平面上的立體圖形，想象出原來空間圖形的真實形狀?？臻g想象力并不是漫無邊際的胡思亂想，而是以提設為根據(jù)，以幾何體為依托，這樣就會給空間想象力插上翱翔的翅膀。

五、總結規(guī)律，規(guī)范訓練

立體幾何解題過程中，常有明顯的規(guī)律性。例如：求角先定平面角、三角形去解決，正余弦定理、三角定義常用，若是余弦值為負值，異面、線面取銳角。對距離可歸納為：距離多是垂線段，放到三角形中去計算，經(jīng)常用正余弦定理、勾股定理，若是垂線難做出，用等積等高來轉換。不斷總結，才能不斷高。

還要注重規(guī)范訓練，高考中反映的這方面的問題十分嚴重，不少考生對作、證、求三個環(huán)節(jié)交待不清，表達不夠規(guī)范、嚴謹，因果關系不充分，圖形中各元素關系理解錯誤，符號語言不會運用等。這就要求我們在平時養(yǎng)成良好的答題習慣，具體來講就是按課本上例題的答題格式、步驟、推理過程等一步步把題目演算出來。答題的規(guī)范性在數(shù)學的每一部分考試中都很重要，在立體幾何中尤為重要，因為它更注重邏輯推理。對于即將參加高考的同學來說，考試的每一分都是重要的，在按步給分的原則下，從平時的每一道題開始培養(yǎng)這種規(guī)范性的好處是很明顯的，而且很多情況下，本來很難答出來的題，一步步寫下來，思維也逐漸打開了。

六、典型結論的應用

在平時的學習過程中，對于證明過的一些典型命題，可以把其作為結論記下來。利用這些結論可以很快地求出一些運算起來很繁瑣的題目，尤其是在求解選擇或填空題時更為方便。對于一些解答題雖然不能直接應用這些結論，但其也會幫助我們打開解題思路，進而求解出答案。

小編為大家提供的高二數(shù)學立體幾何學習方法，大家仔細閱讀了嗎?最后祝同學們學習進步。

第三篇：高二數(shù)學立體幾何基本知識及定理

1、柱、錐、臺、球的結構特征

（1）棱柱：

定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各頂點字母，如五棱柱 或用對角線的端點字母，如五棱柱

幾何特征：兩底面是對應邊平行的全等多邊形；側面、對角面都是平行四邊形；側棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。

（2）棱錐

定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示：用各頂點字母，如五棱錐

幾何特征：側面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方。

（3）棱臺：

定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側面是梯形③側棱交于原棱錐的頂點

（4）圓柱：

定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉,其余三邊旋轉所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側面展開圖是一個矩形。

（5）圓錐：

定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉軸,旋轉一周所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是一個圓；②母線交于圓錐的頂點；③側面展開圖是一個扇形。

（6）圓臺：

定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分

幾何特征：①上下底面是兩個圓；②側面母線交于原圓錐的頂點；③側面展開圖是一個弓形。

（7）球體：

定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的幾何體

幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點到球心的距離等于半徑。

2、空間點、直線、平面的位置關系

（1）公理1：如果一條直線的兩點在一個平面內，那么這條直線是所有的點都在這個平面內。（即直線在平面內，或者平面經(jīng)過直線）

（2）公理2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面。

推論：一直線和直線外一點確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面。

（3）公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線

（4）公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行

（5）空間直線與直線之間的位置關系

① 異面直線定義：不同在任何一個平面內的兩條直線

② 異面直線性質：既不平行，又不相交。

③ 異面直線判定：過平面外一點與平面內一點的直線與平面內不過該店的直線是異面直線

④ 異面直線所成角：直線a、b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點O，分別引直線a’∥a，b’∥b，則把直線a’和b’所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是（0°，90°]，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直。

（6）等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補。

（7）空間直線與平面之間的位置關系——平行、相交、線在面內

（8）平面與平面之間的位置關系：平行——沒有公共點；相交——有一條公共直線。

3、空間中的平行問題

（1）直線與平面平行的判定及其性質

線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內一條直線平行,則該直線與此平面平行。

線面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。

（2）平面與平面平行的判定及其性質

兩個平面平行的判定定理（1）如果一個平面內的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行，（2）如果在兩個平面內，各有兩組相交直線對應平行，那么這兩個平面平行。，（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行，兩個平面平行的性質定理（1）如果兩個平面平行，那么某一個平面內的直線與另一個平面平行。（面面平行→線面平行）

（2）如果兩個平行平面都和第三個平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行→線線平行）

7、空間中的垂直問題

（1）線線、面面、線面垂直的定義

①兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直。

②線面垂直：如果一條直線和一個平面內的任何一條直線垂直，就說這條直線和這個平面垂直。

③平面和平面垂直：如果兩個平面相交，所成的二面角（從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說這兩個平面垂直。

（2）垂直關系的判定和性質定理

①線面垂直判定定理和性質定理

判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個平面。

性質定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。

②面面垂直的判定定理和性質定理

判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。

性質定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于他們的交線的直線垂直于另一個平面。

第四篇：職高數(shù)學立體幾何教學隨筆

職高數(shù)學立體幾何教學隨筆

立體幾何中直線和平面的這些內容，是立體幾何的基礎，也是學好這塊知識的關鍵。學好立體幾何，不僅要有豐富的空間想象能力，也要有嚴密的邏輯論證能力。職高的學生數(shù)學基礎較為薄弱，對于立體幾何的學習更是困難。下面我簡要談談學習立體幾何的幾點想法：

一、培養(yǎng)空間想象力

為了培養(yǎng)空間想象力，可以在剛開始學習時，動手制作一些簡單的模型用以幫助想象。其次，要培養(yǎng)自己的畫圖能力?？梢詮暮唵蔚膱D形、簡單的幾何體開始畫起。最后要做的就是樹立起立體觀念，做到能想象出空間圖形并把它畫在一個平面（如：紙、黑板）上，還要能根據(jù)畫在平面上的“立體”圖形，想象出原來空間圖形的真實形狀?？臻g想象力并不是漫無邊際的胡思亂想，而是以題設為根據(jù)，以幾何體為依托，這樣就會給空間想象力插上翱翔的翅膀。

二、提高邏輯論證能力

數(shù)學是一門邏輯嚴密的學科，對于每一個定理的理解都要做到準確無誤，在證明時要將定理的所有條件都具備了，才能推出結論。在論證問題時，思考應多用分析法，即逐步地找到結論成立的充分條件，向已知靠攏，然后用綜合法形式寫出。

三、總結規(guī)律，多加練習

立體幾何解題過程中，常有明顯的規(guī)律性。學生對立體幾何的內容應該勤加練習，鞏固對定義、定理及各種推論的理解和記憶。許多學生在論證問題時存在表達不夠規(guī)范、嚴謹，因果關系不充分，符號語言不會運用等多種問題。這就要求我們在平時養(yǎng)成良好的答題習慣，平時練習時注重答題格式，多參照課本中的例題，夯實課本基礎知識，多加練習，提高自己的論證能力。從平時的每一道題開始培養(yǎng)這種規(guī)范性的好處是很明顯的，而且很多情況下，本來很難答出來的題，一步步寫下來，思維也逐漸打開了。

第五篇：高三數(shù)學總復習立體幾何復習

高三數(shù)學總復習立體幾何復習(1)

一、基本知識回顧

(1)重要的幾何位置關系；平行與垂直。主要包括線線、線面、面面三種情況。證明的基本思路：一般情況下，利用判定定理。而構造滿足判定定理的條件時一般采用性質定理，即利用性質定理逆推來尋找滿足判定定理的條件(關鍵圖形)。一般的思路是：線線←→線面←→面面，即高維的位置關系借助低維的位置關系來證明(判定)，低維位置關系作為高維位置關系的性質。下面列表說明證明的一般方法。(需要說明的是，表中的性質定理并不是該表格所判定的位置關系的性質定理。如表1中的性質定理并不僅限于線線平行的性質。)

①線線平行的判定：

平行公理

性質定理

②線面平行的判定：

判定定理

性質定理

③面面平行的判定；

判定定理

性質定理

線面平行

面面平行

④線線垂直的判定：

判定定理

性質定理

⑤線面垂直的判定：

判定定理

性質定理

⑥面面垂直的判定：

判定定理

總結：從中可以看出，一般情況下，往往借助一些“性質定理”來構造滿足“判定定理”的條件。

(2)還會考查到的位置關系：異面直線的判定。

判定方法：定義(排除法與反證法)、判定定理。

二、基本例題

例1 已知：

分析：利用線面平行的性質與平行公理。注意嚴格的公理化體系的推理演繹。

說明：過l分別作平面

∴l(xiāng)∥m同理l∥n

∴m∥n

又

又

例2.已知：AB是異面直線a、b的公垂線段，P是AB的中點，平面AB垂直，設M是a上任意一點，N是b上任意一點。

經(jīng)過點P且與

求證：線段MN與平面的交點Q是線段MN的中點。

分析：利用線線平行、線面平行的性質。

證明：連結BM，設，連結PR，QR

在平面ABM中，AB⊥PR，AB⊥AM

∴AM∥PR，同理可證

∵BNì平面BMN且平面

且R為BM中點

∴BN∥RQ

△BMN中，由R為BM中點可知Q為MN中點。

例3.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點。

(1)求證：MN∥平面PAD；(2)求證：MN⊥CD

分析：利用性質定理來構造滿足判定定理的條件。

(1)法一：取PD中點E，連結NE，AE

∴△PCD中NE，又AM，∴AMNE

∴四邊形AMNE為平行四邊形，∴MN∥AE

∴MN∥平面PAD

法二：連結CM并延長與DA延長線交于F，連結PF

∴M為CF中點，∴MN∥PF，∴MN∥平面PAD

法三：取CD中點G，連結NG，MG

∴NG∥PD，MG∥AD，∴平面AD∥平面MNG

∴MN∥平面PAD

(2)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD又CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD

由(1)知CD⊥AE(或PF)，∴CD⊥MN

[或CD⊥平面MNG，∴CD⊥MN]

例4.已知：正三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1上一點，平面AMC1⊥平面A1ACC1，N是A1C1的中點，P是A1A的中點，求證：平面AMC1∥平面B1NP

證明：在平面AMC1中作MD⊥AC1

∴MD⊥平面ACC1A1

由正三棱柱的性質，B1N⊥平面ACC1A1

∴MD∥B1N

又△A1AC1中，DN∥AC1且AC1∩MD=D，DN∩B1N=N

∴平面AMC1∥B1NP

例5 如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD。過A且垂直于PC的平面分別交PB、PC、PD于E、F、G。求證：AE⊥PB，AG⊥PD

分析：利用線面垂直的性質。

證明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC

由已知BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AE ∵PC⊥平面AGFE，∴PC⊥AE

∴AE⊥平面PBC

∴AE⊥PB，同理AG⊥PD

例6.已知：三棱錐A-BCD，AO1⊥平面BCD，O1為垂足，且O1是△BCD的垂心。求證：D在平面ABC上的射影是△ABC的垂心。

分析：利用線面垂直的性質。

證明：連結DO1，AO1設D在平面ABC內的射影為O2，連結DO2，AO2，∵AO1⊥平面BCD，∴DO1為AD在平面BCD內射影

同理AO2為AD在平面ABC內射影

∵O1為BCD的垂心 ∴DO1⊥BC ∴BC⊥AD ∴BC⊥AO2同理AB⊥CO

2∴O2為△ABC的垂心

例7已知：正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB1⊥BC1，求證：A1C⊥AB1

分析：三垂線定理的逆定理的應用(線面垂直的性質)

證明：取AB、A1B1中點DD1，連結A1D，CD，C1D1

由正三棱柱的性質C1D1⊥平面ABB1A1，CD⊥平面ABB1A1，∴A1D、BD1分別為A1C與BC1在平面ABB1A1內的射影

∵AB1⊥BC1，∴AB1⊥BD1。

在矩形ABB1A1中A1D∥BD1，∴AB1⊥A1D ∴AB1⊥A1C

例8 如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分別是AB、PC的中點。

求證：平面MND⊥平面PCD。

證明：取PD中點E，連結NE、AE 由例3，MN∥AE，CD⊥MN，CD⊥平面PAD ∵PA⊥平面ABCD ∴PA⊥AD ∴等腰Rt△PAD中AE⊥PD Rt△PCD中NE∥CD，∴NE⊥PD ∴PD⊥平面MNEA，∴PD⊥MN ∴MN⊥平面PCD ∴平面MND⊥平面PCD