第一篇：2012高考總復(fù)習(xí)《走向清華北大》精品21

第二十一講 三角函數(shù)的性質(zhì) 班級(jí)________ 姓名________ 考號(hào)________ 日期________ 得分________

一、選擇題：(本大題共6小題，每小題6分，共36分，將正確答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi)．)

ππ1．(精選考題·重慶)下列函數(shù)中，周期為π，且在??42上為減函數(shù)的是()

ππ2x＋?B．y＝cos?2x＋? A．y＝sin?2?2???

πx＋?C．y＝sin??2? πx D．y＝cos??2πππ2x＋＝cos2x的最小正周期為π，且在?上是減函數(shù)，故選解析：由于y＝sin?2??42A.答案：A

2．(精選考題·陜西)函數(shù)f(x)＝2sinxcosx是()

A．最小正周期為2π的奇函數(shù)

B．最小正周期為2π的偶函數(shù)

C．最小正周期為π的奇函數(shù)

D．最小正周期為π的偶函數(shù)

解析：因?yàn)閒(x)＝2sinxcosx＝sin2x是奇函數(shù)，T＝π，所以選C.答案：C

3．(精選考題·陜西)對(duì)于函數(shù)f(x)＝2sinxcosx，下列選項(xiàng)中正確的是()

ππ?A．f(x)在??42?上是遞增的B．f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

C．f(x)的最小正周期為2π

D．f(x)的最大值為2

ππ?解析：f(x)＝2sinxcosx＝sin2x，故f(x)在??42?上是遞減的，A錯(cuò)；f(x)的最小正周期

為π，最大值為1，C、D錯(cuò)．故選B.答案：B

4．在下列關(guān)于函數(shù)y3sin2x＋cos2x的結(jié)論中，正確的是()

kπ，＋kπ?(k∈Z)上是增函數(shù) A．在區(qū)間?6?3?

πB．周期是

2C．最大值為1，最小值為－1

D．是奇函數(shù)

答案：A

ππ－?上是增函數(shù)，那么()5．ω是正實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝2sin(ωx)在??34?

3A．0＜ω≤ B．0＜ω≤2 2

C．0＜ω≤24 D．ω≥2 7

ππωπωπππ－，則ωx∈?－，.又y＝sinx是?－，上的單調(diào)增函數(shù)，解析：x∈??34?34?22?

則?ωππ－≥－?32

答案：A ωππ≤423?0＜ω≤2

1－1，?，則b－a的值不可能是()6．已知函數(shù)y＝sinx定義域?yàn)閇a，b]，值域?yàn)?2??

π2π4πA.B.C．πD.333

2π4π?解析：畫(huà)出函數(shù)y＝sinx的草圖分析知b－a的取值范圍為??33?，故選A.答案：A

二、填空題：(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題后的橫線上．)

π2x－?－22sin2x的最小正周期是________． 7．(精選考題·浙江)函數(shù)f(x)＝sin?4??

1－cos2xπ2222x－?－22sin2x＝sin2x－cos2x－22×解析：f(x)＝sin?＝sin2x＋4??2222

π22π2x＋?2＝π.cos2x－2＝sin?4??22

答案：π

0，上的函數(shù)y＝6cosx的圖象與y＝5tanx的圖象8．(精選考題·江蘇)設(shè)定義在區(qū)間??2交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為P1，直線PP1與函數(shù)y＝sinx的圖象交于點(diǎn)P2，則線段P1P2的長(zhǎng)為_(kāi)_______．

??y0＝6cosx0解析：設(shè)P(x0，y0)，則由?消去y0得，6cosx0＝5tanx0?6cos2x0＝5sinx0，即?y0＝5tanx0?

326sin2x0＋5sinx0－6＝0，解得sinx0＝－舍去)或，∵PP1⊥x軸，且點(diǎn)P、P1、P2共線，∴|P1P2|2

32＝sinx0＝.3

2答案： 3

9．(精選考題·山東濰坊模擬)對(duì)于函數(shù)

??sinx，sinx≤cosxf(x)＝?給出下列四個(gè)命題： ?cosx，sinx>cosx?

①該函數(shù)是以π為最小正周期的周期函數(shù)；

②當(dāng)且僅當(dāng)x＝π＋kπ(k∈Z)時(shí)，該函數(shù)取得最小值是－1；

5π③該函數(shù)的圖象關(guān)于x＝＋2kπ(k∈Z)對(duì)稱； 4

π2④當(dāng)且僅當(dāng)2kπ

其中正確命題的序號(hào)是________．(請(qǐng)將所有正確命題的序號(hào)都填上)

答案：③④

10．給出下列五個(gè)命題，其中正確命題的序號(hào)為_(kāi)_____．

π1π2x＋－的最小正周期是； sin?①函數(shù)y＝?33??2

3π3πx－?在區(qū)間?π?上單調(diào)遞減； ②函數(shù)y＝sin?2?2???

③直線x＝5π5π2x＋的圖象的一條對(duì)稱軸； 是函數(shù)y＝sin?2?4

4，x∈(0，π)的最小值是4； sinx④函數(shù)y＝sinx＋xcosx⑤函數(shù)y＝tan的一個(gè)對(duì)稱中心為點(diǎn)(π，0)． 2sinx

5π?3解析：①最小正周期是π，②y在區(qū)間[π，π]上單調(diào)遞增，③4，0?為對(duì)稱中心，2

④sinx≠2，∴y的最小值不是4.答案：⑤

三、解答題：(本大題共3小題，11、12題13分，13題14分，寫(xiě)出證明過(guò)程或推演步驟．)

111．已知函數(shù)f(x)＝log(sinx－cosx)． 2

(1)求它的定義域和值域；

(2)判定它的奇偶性；

(3)判定它的周期性，若是周期函數(shù)，求出它的最小正周期．

πx>0，解：(1)由sinx－cosx>0?2sin??4

π5π2kπ＋，2kπ＋(k∈Z)． ∴定義域?yàn)?44?

π1x－?∈(02]，∴值域?yàn)?－，＋∞?.∵2sin??4??2?(2)∵定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，∴f(x)是非奇非偶函數(shù)．

1(3)∵f(x＋2π)＝log[sin(x＋2π)－cos(x＋2π)] 2

1＝log(sinx－cosx)＝f(x)，2

∴已知函數(shù)是周期函數(shù)，且最小正周期T＝2π.1312．求當(dāng)函數(shù)y＝sin2x＋acosx－1時(shí)a的值． 22

分析：先通過(guò)變形化為關(guān)于cosx的二次函數(shù)，配方后，根據(jù)函數(shù)式的特點(diǎn)，對(duì)a進(jìn)行分類討論．

a2a2a1a1132?解：y＝1－cosx＋acosx－a－cosx＋acosx?cosx－2＋－22224222

設(shè)cosx＝t，∵－1≤cosx≤1，∴－1≤t≤1.aaa1t－?2＋－－1≤t≤1.∴y＝－??2?422

a33(1)當(dāng)1，即a＜－2時(shí)，t＝－1，y有最大值－a－.222335由已知條件可得－a－1，∴a＝－＞－2(舍去)． 223

aaa2a1(2)當(dāng)－1≤≤1時(shí)，即－2≤a≤2時(shí)，t＝，y有最大值－－22422

a2a1由已知條件可得－＝1，解得a＝1－7或a＝1＋7(舍去)． 422

aa3(3)當(dāng)1，即a＞2時(shí)，t＝1，y有最大值.222a3由已知條件可得＝1，∴a＝5.22

綜上可得a＝1－7或a＝5.評(píng)析：解答此類問(wèn)題的一般步驟：

(1)化為關(guān)于sinx或cosx的二次函數(shù)；

(2)利用配方法或換元法，轉(zhuǎn)化為閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值問(wèn)題；

(3)對(duì)于字母系數(shù)的問(wèn)題需進(jìn)行分類討論．

π13．(精選考題·廣東)已知函數(shù)f(x)＝Asin(3x＋φ)(A>0，x∈(－∞，＋∞),0<φ<π)在x＝12

時(shí)取得最大值4.(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)的解析式；

2π12＋?＝sinα.(3)若f312?5

解：(1)T2π3

π3×φ?＝1，(2)由題設(shè)可知A＝4且sin??12?

πππ則φ＋＝2kπ(k∈Z)，得φ＝2kπ(k∈Z)． 424

ππ3x＋?.∵0<φ<π，∴φ＝.∴f(x)＝4sin?4??4

2ππ12＋?＝4sin?2α＋＝4cos2α＝(3)∵f2312??5

3∴cos2α5

115∴sin2α＝(1－cos2α).∴sinα＝.255

第二篇：2012高考總復(fù)習(xí)《走向清華北大》精品32

第三十二講 一元二次不等式及其解法

班級(jí)________ 姓名________ 考號(hào)________ 日期________ 得分________

一、選擇題：(本大題共6小題，每小題6分，共36分，將正確答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi)．)

1．在R上定義運(yùn)算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，則滿足x⊙(x－2)<0的實(shí)數(shù)x的取值范圍為

()

A．(0,2)B．(－2,1)

D．(－1,2)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

解析：x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2<0?x2＋x－2<0?－2

x＋52．不等式2的解集是()(x－1)11－3，?B.?－3? A.?2???2?

1?11∪(1,3]D.?－1?∪(1,3] C.??2??2?

12???2x≤3，?x＋5≥2(x－1)x＋5解析：≥2????(x－1)?x－1≠0???x≠1.1－1?∪(1，3].故選D.∴x∈??2?

答案：D

x>0??2，3．設(shè)函數(shù)f(x)＝?若f(－4)＝f(0)，x?bx?c,x≤0,?2

f(－2)＝0，則關(guān)于x的不等式f(x)≤1的解集為()

A．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)

B．[－3，－1]

C．[－3，－1]∪(0，＋∞)

D．[－3，＋∞)

b解析：由f(－4)＝f(0)，得函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c(x≤0)的對(duì)稱軸x＝－2＝－，所以b＝4.f(－2

2)＝0得c＝4.??x>0時(shí)－2≤1，不等式f(x)≤1等價(jià)于? 2?x≤0時(shí)x＋4x＋4≤1，?

解得x>0或－3≤x≤－1.故選C.答案：C

44．不等式≤x－1的解集是()x－1

A．(－∞，－1]∪[3，＋∞)

B．[－1,1)∪[3，＋∞)

C．[－1,3]

D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)

x2－2x－3解析：原不等式化為0，由數(shù)軸標(biāo)根法解得－1≤x<1或x≥3.x－1

答案：B

10，?成立，則a的取值范圍是()5．若不等式x2＋ax＋1≥0對(duì)于一切x∈??2?

A．a(chǎn)≥0

B．a(chǎn)≥－2 D．a(chǎn)≥－3 5C．a(chǎn)≥－2

1aa10，?解析：設(shè)f(x)＝x2＋ax＋1，則對(duì)稱軸為x若－≥，即a≤－1時(shí)，則f(x)在??2?222

1?5上是減函數(shù)，應(yīng)有f?≥0?－≤a≤－1 ?2?2

1a0，上是增函數(shù)，應(yīng)有f(0)＝1>0恒成立，故a≥0 0，即a≥0時(shí)，則f(x)在??22

aa2a2a1a2?若0≤即－1≤a≤0，則應(yīng)有f?－2＝＋1＝1－0恒成立，故－1≤a≤0.2242

45綜上，有－a.2

答案：C

評(píng)析：考查一元二次不等式與函數(shù)相結(jié)合，利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式問(wèn)題．

6．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，f(x)>0恒成立，則b的取值范圍是()

A．－1

B．b>2 D．不能確定 C．b<－1或b>2

a解析：由f(1－x)＝f(1＋x)，知f(x)的對(duì)稱軸為x＝1，故a＝2.2

又f(x)開(kāi)口向下，所以當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，f(x)為增函數(shù)，f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，f(x)>0恒成立，即f(x)min＝b2－b－2>0恒成立，解得b<－1或b>2.答案：C

二、填空題：(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題后的橫線上．)

7．若關(guān)于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，則m＝________.解析：根據(jù)不等式與方程之間的關(guān)系知1為方程ax2－6x＋a2＝0的根，即a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3，當(dāng)a＝2時(shí)，不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1,2)，符合要求；當(dāng)a＝－3時(shí)，不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不符合要求，舍去．故m＝2.答案：2

8．(2009·青島市模擬)已知不等式ax2＋bx＋a<0(ab>0)的解集是空集，則a2＋b2－2b的取值范圍是________．

解析：∵不等式ax2＋bx＋a<0(ab>0)的解集是空集，∴a>0，b>0，且Δ＝b2－4a2≤0，∴b2≤4a2.4b22544b－?2≥－.∴a＋b－2b≥b－2b＝445?5522

4∞?.∴a2＋b2－2b的取值范圍是??5?

4－? 答案：??5?

9．(精選考題·西城模擬)已知二次函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為a，且不等式f(x)>0的解集為(1,2)，若f(x)的最大值小于1，則a的取值范圍是________．

解析：由題意知a<0，可設(shè)f(x)＝a(x－1)(x－2)＝ax2－3ax＋2a，又a<0，∴f(x)max＝8a2－(－3a)2－a2－a＝<1，∴－4

答案：(－4,0)

x－110．(2009·石家莊質(zhì)檢一)若不等式m<0的解集為{x|x<3或x>4}，則m的值為x＋m

________．

x－1(1＋m)x＋m2－1解析：由＋m<0，得，即當(dāng)1＋m<0時(shí)有(x＋m－1)(x＋m)>0，其x＋mx＋m

大根為1－m，小根為－m.??1－m＝4所以?，推得m＝－3，故填：－3.?－m＝3?

答案：－3

三、解答題：(本大題共3小題，11、12題13分，13題14分，寫(xiě)出證明過(guò)程或推演步驟．)

11．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋x－a，a∈R.17(1)若函數(shù)f(x)有最大值a的值； 8

(2)解不等式f(x)>1(a∈R)．

11＋4ax＋2－解：(1)a≥0時(shí)不合題意，f(x)＝a? ?2a4a

1＋4a217當(dāng)a<0時(shí)，f(x)有最大值，且－＝ 4a8

1解得a＝－2或a＝－.8

(2)f(x)>1，即ax2＋x－a>1，(x－1)(ax＋a＋1)>0，①當(dāng)a＝0時(shí)，解集為{x|x>1}；

1x＋1＋>0，②當(dāng)a>0時(shí)，(x－1)?a?

1解集為{x|x>1或x<－1}； a

1③當(dāng)a＝－(x－1)2<0，解集為?； 2

11x＋1＋<0，④當(dāng)－a<0時(shí)，(x－1)?a?2

1解集為{x|1

11x＋1＋?<0，⑤當(dāng)a<－時(shí)，(x－1)?a??2

1解集為{x|－1－x<1}． a

ax－112．解關(guān)于x的不等式：x－a

1解：當(dāng)a＝0時(shí)，不等式化為－>0，解得x<0； x

1xa??ax－a若a≠0，則原不等式可化為11當(dāng)0； aa

x－1當(dāng)a＝1，解得x∈R且x≠1； x－1

11當(dāng)a>1時(shí)，ax<或x>a； aa

1x－a若a<0，則不等式可化為x－a

11當(dāng)a<－1時(shí)，a

當(dāng)a＝－1時(shí)，不等式可化為x＋1<0，其解集為?； x＋1

11當(dāng)－1，解得

1??綜上，當(dāng)a<－1時(shí)，不等式解集為?x|a

當(dāng)a＝－1時(shí)，不等式解集為?；

當(dāng)－1

a

當(dāng)a＝0時(shí)，不等式解集為{x|x<0}；

當(dāng)0

a?；

當(dāng)a＝1時(shí)，不等式解集為{x|x∈R且x≠1}； 當(dāng)a>1時(shí)，不等式解集為???x|x<1?

a或x>a??.13．關(guān)于x的不等式組??2

?x－x－2>0，??2x2＋(2k＋5)x＋5k<0，取值范圍．

?

解：原不等式組等價(jià)于?x>2或x<－1，?????x＋52(x＋k)<0.x>2或x<－1，由題意知－k>5??

2??5?－2x<－k.又知解集內(nèi)僅有一整數(shù)－2，所以－2<－k≤3，即－3≤k<2.的整數(shù)解的集合為{－2}，求實(shí)數(shù)k的

第三篇：2012高考總復(fù)習(xí)《走向清華北大》精品31

第三十一講 不等關(guān)系與不等式

班級(jí)________ 姓名________ 考號(hào)________ 日期________ 得分________

一、選擇題：(本大題共6小題，每小題6分，共36分，將正確答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi)．)

1．若a>b>0，則下列不等式中一定成立的是()

A．a(chǎn)＋11b>baB．a(chǎn)11bb－a

bb

a＋1

a＋1D.2a＋b

a＋2bab

解析：由已知a>b>0及不等式的基本性質(zhì)易得a＋1b>b＋1aA.答案：A

2．下列命題中，真命題有()

①若a>b>011

ab；

②若a>b，則c－2a

③若a>b，e>f，則f－ac

④若a>b，則11abA．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

解析：①②為真命題，故選B.答案：B

3．(2011·濰坊市模擬)已知0

A．loga(xy)<0B．0

C．12

解析：由0logaa2＝2，故選D.答案：D

4．已知a>b，則下列不等式一定成立的是()

A．lga>lgb

11C.abB．a(chǎn)2>b2 D．2a>2b

解析：只有指數(shù)函數(shù)y＝2x在R上為增函數(shù)，所以D正確，而A、C顯然不是對(duì)于一切實(shí)數(shù)都成立的，B的等價(jià)條件是|a|>|b|，顯然也錯(cuò)誤，故選D.答案：D

5．(2011·德州市模擬)若1

A．(－1,3)

C．(－3,3)B．(－3,6)D．(1,4)

解析：∵－4

cd6．(2009·菏澤市模擬)已知三個(gè)不等式：①ab>0；②bc－ad>0；③>0(其中a、b、c、ab

d均為實(shí)數(shù))，用其中兩個(gè)不等式作為條件，余下的一個(gè)不等式作為結(jié)論組成一個(gè)命題，可組成的正確命題的個(gè)數(shù)是()

A．0

C．2B．1 D．3

1解析：若①②bc－ad)>0，ab

cd∴，故③成立； ab

cd若①③成立，則ab??ab>0，∴bc－ad>0，故②成立；

若②③成立，即bc－ad>0，bc－ad>0，ab

∴ab>0，故①成立．

故正確命題的個(gè)數(shù)為3，應(yīng)選D.答案：D

二、填空題：(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題后的橫線上．)

117．以下四個(gè)不等式：①a<0

件是________．

11解析：在①中：a<0，b>0，則； ab

11在②中：b； ba

11在④中：0； ba

11在③中：當(dāng)b＝－2，a＝1 ab

答案：①②④

8．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋b(0≤x≤1)，則a＋2b>0是f(x)>0在[0,1]上恒成立的________條件．(充分但不必要，必要但不充分，充要，既不充分也不必要)

??f(0)>0?b>0，解析：??? ?f(1)>0??a＋b>0.∴a＋2b>0.而僅有a＋2b>0，無(wú)法推出f(0)>0和f(1)>0同時(shí)成立．

答案：必要但不充分

9．若－1＜a＜b＜1，－2＜c＜3則(a－b)·c的取值范圍是________．

解析：∵－1＜a＜b＜1，∴－2＜a－b＜0

∴2＞－(a－b)＞0

當(dāng)－2＜c＜0時(shí)，2＞－c＞0，∴4＞(－c)[－(a－b)]＞0，即4＞c·(a－b)＞0；

當(dāng)c＝0時(shí)，(a－b)·c＝0

當(dāng)0＜c＜3時(shí)，0＜c·[－(a－b)]＜6

∴－6＜(a－b)·c＜0

綜上得：當(dāng)－2＜c＜3時(shí)，－6＜(a－b)·c＜4.答案：－6＜(a－b)·c＜4

10．(精選考題·青島質(zhì)檢題)給出以下四個(gè)命題：

①a>b?an>bn(n∈N*)；

②a>|b|?an>bn(n∈N*)；

11③a； ab

11④a

解析：①中取a＝－1，b＝－2，n＝2，不成立；②a>|b|，得a>0，∴an>bn成立；③aa，故<，④不成立． aba－ba

答案：②③

三、解答題：(本大題共3小題，11、12題13分，13題14分，寫(xiě)出證明過(guò)程或推演步驟．)

11．設(shè)m∈R，x∈R，比較x2－x＋1與－2m2－2mx的大?。?/p>

解：解法一：(x2－x＋1)－(－2m2－2mx)＝x2＋(2m－1)x＋(2m2＋1)．

關(guān)于x的二次三項(xiàng)式x2＋(2m－1)x＋(2m2＋1)的判別式為Δ＝(2m－1)2－4(2m2＋1)＝－4m2－4m－3.二次三項(xiàng)式－4m2－4m－3的判別式為Δ′＝(－4)2－4×(－4)×(－3)＝－32<0，∴Δ<0恒成立．

∴(x2－x＋1)－(－2m2－2mx)>0，即x2－x＋1>－2m2－2mx.解法二：∵(x2－x＋1)－(－2m2－2mx)

＝x2＋(2m－1)x＋(2m2＋1)

＝x2＋(2m－1)x＋?2m－1?22m－12＋2m2＋1－??2??2?

2m－123＝?x＋＋m2＋m＋ 42?

1?2?3?1?22m－12?2＝?x＋＋?m＋m＋??2??＋4?2? 2?

12112m－12?＝?x＋＋?m2＋2≥2>0，2?

∴x2－x＋1>－2m2－2mx.12．已知a、b、c∈{正實(shí)數(shù)}，且a2＋b2＝c2，當(dāng)n∈N且n>2時(shí)，比較cn與an＋bn的大小．

分析：考慮比較的是冪的形式，作差不可行，作商處理．

解：∵a、b、c∈{正實(shí)數(shù)}，∴an，bn，cn>0

an＋bn?an?bn而＝?c＋?c ca2?b2∵a2＋b2＝c2，∴??c＋?c＝1

ab∴0<<1,0<<1 cc

ana2?bn?b2∵n∈N，n>2，∴c

an＋bn?an?bna2＋b2

∴＝?c＋?c<1 cc∴an＋bn

評(píng)析：作商法比較大小，作商——變形——判斷商與1的關(guān)系．

13．有三個(gè)實(shí)數(shù)m、a、b(a≠b)，如果在a2(m－b)＋m2b中，把a(bǔ)和b互換，所得的代數(shù)式的值比原式的值小，那么關(guān)系式a＜m＜b是否可能成立？請(qǐng)說(shuō)明你的理由．

解：不妨設(shè)P＝a2(m－b)＋m2b，Q＝b2(m－a)＋m2a.由題意知Q＜P，即Q－P＜0.∴b2(m－a)＋m2a－a2(m－b)－m2b＜0，(a－b)m2＋(b2－a2)m＋ab(a－b)＜0.∴(a－b)(m－a)(m－b)＜0.(*)

若a＜m＜b成立，則a＜b，這時(shí)不等式(*)的解為m＞b或m＜a，矛盾． 故a＜m＜b不可能成立．

第四篇：2012高考總復(fù)習(xí)《走向清華北大》精品14

第十四講 導(dǎo)數(shù)的概念及其運(yùn)算

班級(jí)________ 姓名________ 考號(hào)________ 日期

________ 得分________

一、選擇題：(本大題共6小題，每小題6分，共36分，將正確答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi)．)

1．下列結(jié)論不正確的是()

A．若y＝3，則y′＝0

B．若y＝11y′＝－xx1C．若yx，則y 2x

D．若y＝3x，則y′＝3

1?11－31解析：∵y′＝′＝(x－)′＝－x2，22x?x∴選B.答案：B

評(píng)析：簡(jiǎn)單函數(shù)的求導(dǎo)，關(guān)鍵是將函數(shù)關(guān)系式合理地轉(zhuǎn)化為可以直接應(yīng)用公式的基本函數(shù)的模式．

2．已知奇函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－∞，0]上的解析式為f(x)＝x2＋x，則切點(diǎn)橫坐標(biāo)為1的切線方程是()

A．x＋y＋1＝0B．x＋y－1＝0

C．3x－y－1＝0D．3x－y＋1＝0

解析：由題意得，x>0時(shí)，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x.又因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2＋x.又函數(shù)f(x)過(guò)(1,0)，k＝f′(1)＝－1.所以所求的切線方程為y－0＝－1×(x－1)，即x＋y－1＝0.答案：B

3．已知直線y＝kx＋1與曲線y＝x3＋ax＋b切于點(diǎn)(1,3)，則b的值為()

A．3B．－3

C．5D．－5

解析：∵點(diǎn)(1,3)在直線y＝kx＋1上，∴k＝2.∴2＝f′(1)＝3×12＋a?a＝－1.∴f(x)＝x3－x＋b.∵點(diǎn)(1,3)在曲線上，∴b＝3.故選A.答案：A

評(píng)析：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和曲線方程求法的綜合應(yīng)用．

4．(精選考題·江西)若函數(shù)f(x)＝ax4＋bx2＋c滿足f′(1)＝2，則f′(－1)＝()

A．－1B．－2

C．2D．0

解析：∵f′(x)＝4ax3＋2bx，∴f′(－x)＝－4ax3－2bx＝－f′(x)，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.答案：B

5．(精選考題·全國(guó)Ⅱ)若曲線y＝x2＋ax＋b在點(diǎn)(0，b)處的切線方程是x－y＋1＝0，則

()

A．a(chǎn)＝1，b＝1B．a(chǎn)＝－1，b＝1

C．a(chǎn)＝1，b＝－1D．a(chǎn)＝－1，b＝－1

解析：求導(dǎo)得y′＝2x＋a，因此曲線y＝x2＋ax＋b在點(diǎn)(0，b)處的切線l的方程是x－y

??0＋a＝1＋1＝0，所以切線l的斜率k＝1＝y(tǒng)′|x＝0，且點(diǎn)(0，b)在切線l上，于是有?，?0－b＋1＝0?

?a＝1?解得?.?b＝1?

答案：A

46．(精選考題·遼寧)已知點(diǎn)P在曲線y＝α為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，e＋1

則α的取值范圍是()

πππ0，?B.?，A.??4??42π3π?3πD.?，π? C.??24??4?

4ex4ex4t解析：y′＝－.設(shè)t＝ex∈(0，＋∞)，則y′＝－＝－＝－(e＋1)e＋2e＋1t＋2t＋1

3π?41，π.∵t＋≥2，∴y′∈[－1,0)，α∈?4??1t?t＋＋2?t答案：D

二、填空題：(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題后的橫線上．)

7．曲線y＝x2－2x＋a與直線y＝3x＋1相切時(shí)，常數(shù)a的值是________．

5解析：y′＝2x－2，令y′＝3得x

217代入y＝3x＋1得y＝ 2

51729，代入y＝x2－2x＋a得a＝.將??224

29答案：4

8．已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)＝3x2＋2xf′(2)，則f′(5)＝________.解析：對(duì)f(x)＝3x2＋2xf′(2)求導(dǎo)數(shù)，得f′(x)＝6x＋2f′(2)．

令x＝2，得f′(2)＝－12.再令x＝5，得f′(5)＝6×5＋2f′(2)＝6.答案：6

9．若曲線f(x)＝ax3＋lnx存在垂直于y軸的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．

1解析：f′(x)＝3ax2 x

因?yàn)榇嬖诖怪庇趛軸的切線，則f′(x)＝0在x>0時(shí)有解，1即3ax20有解，x

1即3a＝－ x1∵－<0，x∴當(dāng)3a<0，即a<0時(shí)，方程有解，所以a的取值范圍為(－∞，0)．

答案：(－∞，0)

10．(精選考題·江蘇)函數(shù)y＝x2(x>0)的圖象在點(diǎn)(ak，a2k)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ak＋1，其中k∈N*.若a1＝16，則a1＋a3＋a5的值是________．

2解析：∵y′＝2x，∴過(guò)點(diǎn)(ak，ak)處的切線方程為y－a2k＝2ak(x－ak)，又該切線與x軸

11的交點(diǎn)為(ak＋1,0)，所以ak＋1＝ak，即數(shù)列{ak}是等比數(shù)列，首項(xiàng)a1＝16，其公比q＝，∴a322

＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.答案：21

三、解答題：(本大題共3小題，11、12題13分，13題14分，寫(xiě)出證明過(guò)程或推演步驟．)

11．已知曲線y＝x3＋x－2在點(diǎn)P0處的切線l1平行于直線4x－y－1＝0，且點(diǎn)P0在第三象限．

(1)求P0的坐標(biāo)；

(2)若直線l⊥l1，且l也過(guò)切點(diǎn)P0，求直線l的方程．

解：(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，由已知得3x2＋1＝4，解之得x＝±1.當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0；當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝－4.又∵點(diǎn)P0在第三象限，∴切點(diǎn)P0的坐標(biāo)為(－1，－4)．

(2)∵直線l⊥l1，l1的斜率為4，1∴直線l的斜率為－4

∵l過(guò)切點(diǎn)P0，點(diǎn)P0的坐標(biāo)為(－1，－4)，1∴直線l的方程為y＋4＝－(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.4

12．已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16，(1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，－6)處的切線的方程；

(2)直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)；

1(3)如果曲線y＝f(x)的某一切線與直線y＋3垂直，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線的方程． 4

分析：首先要判斷已知點(diǎn)是否在曲線上，再根據(jù)切線的斜率即導(dǎo)數(shù)值列方程解決問(wèn)題． 解：(1)∵f(2)＝23＋2－16＝－6，∴點(diǎn)(2，－6)在曲線上．

∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴在點(diǎn)(2，－6)處的切線的斜率為

k＝f′(2)＝3×22＋1＝13.∴切線的方程為y＝13(x－2)＋(－6)．

即y＝13x－32.(2)解法一：設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則直線l的斜率為f′(x0)＝3x20＋1，∴直線l的方程為：

3y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x0＋x0－16.又∵直線l過(guò)點(diǎn)(0,0)，2∴0＝(3x0＋1)(－x0)＋x30＋x0－16，整理得x30＝－8，∴x0＝－2，y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，∴k＝3(－2)2＋1＝13，∴直線l的方程為y＝13x，切點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，－26)．

解法二：設(shè)直線l的方程為y＝kx，切點(diǎn)為(x0，y0)，y0－0x30＋x0－16則k＝.x0x0－0

又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，3x＋x－16∴＝3x20＋1，解得x0＝－2，x0

∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3(－2)2＋1＝13.∴直線l的方程為y＝13x，切點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，－26)．

x(3)∵切線與直線y＝－3垂直，4

∴斜率k＝4，∴設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則f′(x0)＝3x20＋1＝4，???x0＝1?x0＝－1∴x0＝±1，∴?或?.??y＝－14y＝－18?0?0

即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－14)或(－1，－18)．

切線方程為y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即y＝4x－18或y＝4x－14.評(píng)析：解題過(guò)程中，很容易把所給的點(diǎn)當(dāng)作曲線上的點(diǎn)，錯(cuò)誤原因是沒(méi)有把點(diǎn)代入方程進(jìn)行檢驗(yàn)．

113．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為y＝3.x＋b

(1)求f(x)的解析式；

(2)證明：函數(shù)y＝f(x)的圖象是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，并求其對(duì)稱中心；

(3)證明：曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)的切線與直線x＝1和直線y＝x所圍的三角形的面積為定值，并求出此定值．

解：(1)f′(x)＝a－1(x＋b)?

于是?1a－?(2＋b)＝0，12a＝3，2＋b ??a＝1，解得???b＝－1 ?a4或?8b＝－?39

1∵a，b∈Z，∴f(x)＝x＋.x－1

1(2)證明：已知函數(shù)y1＝x，y2＝都是奇函數(shù)，x

1∴函數(shù)g(x)＝x＋也是奇函數(shù)，其圖象是以原點(diǎn)為中心的中心對(duì)稱圖形．而f(x)＝x＋x

11(x－1)1，x－1(x－1)

可知f(x)的圖象是由g(x)的圖象沿x軸正方向向右平移1個(gè)單位，再沿y軸正方向向上平移1個(gè)單位得到的．故函數(shù)f(x)的圖象是以點(diǎn)(1,1)為中心的中心對(duì)稱圖形．

1(3)證明：在曲線上任取一點(diǎn)?x0，x0x－1，??0

1由f′(x0)＝1－(x0－1)1x20－x0＋1?y－1－(x－1)(x－x0)． ??x0－10

令x＝1，得y＝x＋1 x0－1

?x0＋1?.∴切線與直線x＝1交點(diǎn)為?1，??x0－1?

令y＝x，得x＝2x0－1，∴切線與直線y＝x交點(diǎn)為(2x0－1,2x0－1)．

直線x＝1與y＝x交點(diǎn)為(1,1)．

從而所圍的三角形的面積為

1?x0＋1?12－1|2x－1－1|＝x－1·|2x－2|＝2.?·2?20?0?x0－1?0

∴所圍的三角形的面積為定值2.

第五篇：2012高考總復(fù)習(xí)《走向清華北大》精品36

第三十六講 直接證明與間接證明

班級(jí)________ 姓名________ 考號(hào)________ 日期________ 得分________

一、選擇題：(本大題共6小題，每小題6分，共36分，將正確答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi)．)

1．命題“對(duì)于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的證明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”過(guò)程應(yīng)用了()

A．分析法

B．綜合法

C．綜合法、分析法綜合使用

D．間接證明法

解析：因?yàn)樽C明過(guò)程是“從左往右”，即由條件?結(jié)論．

故選B.答案：B

xn·(x2n＋3)2．已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝n＝1,2，?)，試證：“數(shù)列{xn}對(duì)任意的正整3xn＋1

數(shù)n，都滿足xn>xn＋1，”當(dāng)此題用反證法否定結(jié)論時(shí)應(yīng)為()

A．對(duì)任意的正整數(shù)n，有xn＝xn＋1

B．存在正整數(shù)n，使xn≤xn＋1

C．存在正整數(shù)n，使xn≥xn－1，且xn≥xn＋1

D．存在正整數(shù)n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0

解析：根據(jù)全稱命題的否定，是特稱命題，即“數(shù)列{xn}對(duì)任意的正整數(shù)n，都滿足xn>xn＋1”的否定為“存在正整數(shù)n，使xn≤xn＋1”，故選B.答案：B

3．要證：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要證明()

A．2ab－1－a2b2≤0

a4＋b4B．a(chǎn)＋b－1－≤0 222

(a＋b)2－1－a2b2≤0 2

D．(a2－1)(b2－1)≥0

解析：因?yàn)閍2＋b2－1－a2b2≤0?(a2－1)(b2－1)≥0，故選D.答案：D

4．已知a、b是非零實(shí)數(shù)，且a>b，則下列不等式中成立的是()

ba

C．|a＋b|>|a－b|B．a(chǎn)2>b2 11abab

b－ab解析：??a(a－b)>0.aa

∵a>b，∴a－b>0.而a可能大于0，也可能小于0，因此a(a－b)>0不一定成立，即A不一定成立；

a2>b2?(a－b)(a＋b)>0，∵a－b>0，只有當(dāng)a＋b>0時(shí)，a2>b2才成立，故B不一定成立；

|a＋b|>|a－b|?(a＋b)2>(a－b)2?ab>0，而ab<0也有可能，故C不一定成立；

11a－b?>0?(a－b)·a2b2>0.ababab∵a，b非零，a>b，∴上式一定成立，因此只有D正確．故選D.答案：D

1?x?a＋b，B＝fab)，5．(2009·杭州市模擬)已知函數(shù)f(x)＝?，a，b∈(0，＋∞)，A＝f?2??22abC＝f?a＋b，則A、B、C的大小關(guān)系為()??

A．A≤B≤C

C．B≤C≤AB．A≤C≤B D．C≤B≤A

a＋b1?x2ab解析：因?yàn)楫?dāng)a，b∈(0，＋∞)時(shí)，ab≥f(x)＝??2?，在R上為減2a＋b

函數(shù)，所以A≤B≤C，故選A.答案：A

16．設(shè)0

A．a(chǎn)

C．cB．b D．不能確定

解析：易得1＋x>2x2x.∵(1＋x)(1－x)＝1－x2<1，又00.1∴1＋x<.1－x

答案：C

二、填空題：(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題后的橫線上．)

7．否定“任何三角形的外角都至少有兩個(gè)鈍角”其正確的反設(shè)應(yīng)是________． 解析：本題為全稱命題，其否定為特稱命題．

答案：存在一個(gè)三角形，它的外角至多有一個(gè)鈍角

8．已知a，b是不相等的正數(shù)，xab，ya＋b，則x，y的大小關(guān)系是________． 2(a＋b)(a＋b)2

2解析：y＝a＋b)＝a＋b＝＝x.2222

答案：x

199．已知a，b，μ∈(0，＋∞)且1，則使得a＋b≥μ恒成立的μ的取值范圍是________． ab

19b9ab9a＝＋10≥16(＝解析：因?yàn)閍＋b＝(a＋b)?即b＝3a時(shí)取等號(hào))，?ababab

a＋b≥μ恒成立?μ≤(a＋b)min，所以μ≤16.又μ∈(0，＋∞)，故0<μ≤16.答案：(0,16]

10．(原創(chuàng)題)如果a＋b>b＋a，則a、b應(yīng)滿足的條件是________． 解析：∵aa＋bb>ab＋a?(a－b)2(a＋b)>0?a≥0，b≥0且a≠b.答案：a≥0，b≥0且a≠b

三、解答題：(本大題共3小題，11、12題13分，13題14分，寫(xiě)出證明過(guò)程或推演步驟．)

11．已知a，b，c是不等正數(shù)，且abc＝1.111a＋b＋c＋＋.abc

證明：∵a，b，c是不等正數(shù)，且abc＝1，111111＋1bccaab111＝ab222abc∴a＋b＋c＝1bc1＋ca12．已知：a>0，b>0，a＋b＝1.求證： 1a＋21b＋2.2

b＋≤2.2

(ab≤4，22證明：要證 a＋211只要證：a＋b＋＋22

∵由已知知a＋b＝1，故只要證：(a＋)(b＋≤1，22

11只要證：(a＋)(b＋≤1，22

1只要證：ab 4

1∵a>0，b>0,1＝a＋b≥ab，∴ab≤，4

故原不等式成立．

13．(精選考題·浦東模擬)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c分別為三

內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊．求證：113＝a＋bb＋ca＋b＋c

a＋b＋ca＋b＋c113ca解：要證明＝，只需證明3，只需證明a＋bb＋ca＋b＋ca＋bb＋ca＋bb＋c

＝1，只需證明c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)·(b＋c)，只需證明c2＋a2＝ac＋b2.∵△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，∴B＝60°，則余弦定理，有b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，∴c2＋a2＝ac＋b2成立．故原命題成立，得證．