第一篇：高中數(shù)學(xué)人教A版理科目錄

必修

1第一章 集合與函數(shù)概念1．1 集合閱讀與思考集合中元素的個數(shù)1．2 函數(shù)及其表示

閱讀與思考函數(shù)概念的發(fā)展歷程1．3 函數(shù)的基本性質(zhì)

信息技術(shù)應(yīng)用用計算機繪制函數(shù)圖象實習(xí)作業(yè)

第二章 基本初等函數(shù)（Ⅰ）2．1 指數(shù)函數(shù)

信息技術(shù)應(yīng)用借助信息技術(shù)探究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

2．2 對數(shù)函數(shù)

閱讀與思考對數(shù)的發(fā)明

探究與發(fā)現(xiàn)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖象之間的關(guān)系

2．3 冪函數(shù)

第三章 函數(shù)的應(yīng)用3．1 函數(shù)與方程

閱讀與思考中外歷史上的方程求解

信息技術(shù)應(yīng)用借助信息技術(shù)求方程的近似解3．2 函數(shù)模型及其應(yīng)用

信息技術(shù)應(yīng)用收集數(shù)據(jù)并建立函數(shù)模型實習(xí)作業(yè)

必修

2第一章 空間幾何體1．1 空間幾何體的結(jié)構(gòu)

1．2 空間幾何體的三視圖和直觀圖閱讀與思考畫法幾何與蒙日

1．3 空間幾何體的表面積與體積

探究與發(fā)現(xiàn)祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積

實習(xí)作業(yè)

第二章 點、直線、平面之間的位置關(guān)系2．1 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

2．2 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)2．3 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

閱讀與思考歐幾里得《原本》與公理化方法

第三章 直線與方程

3．1 直線的傾斜角與斜率

探究與發(fā)現(xiàn)魔術(shù)師的地毯3．2 直線的方程

3．3 直線的交點坐標與距離公式閱讀與思考笛卡爾與解析幾何

第四章 圓與方程

4.1 圓的方程

閱讀與思考坐標法與機器證明4.2 直線、圓的位置關(guān)系4.3 空間直角坐標系

信息技術(shù)應(yīng)用用《幾何畫板》探究點的軌跡：圓

必修

3第一章 算法初步1．1 算法與程序框圖

1．2 基本算法語句1．3 算法案例閱讀與思考割圓術(shù)

第二章 統(tǒng)計2．1 隨機抽樣

閱讀與思考 一個著名的案例閱讀與思考 廣告中數(shù)據(jù)的可靠性

閱讀與思考 如何得到敏感性問題的誠實反應(yīng)2．2 用樣本估計總體

閱讀與思考 生產(chǎn)過程中的質(zhì)量控制圖2．3 變量間的相關(guān)關(guān)系

閱讀與思考 相關(guān)關(guān)系的強與弱實習(xí)作業(yè)

第三章 概率

3．1 隨機事件的概率

閱讀與思考 天氣變化的認識過程3．2 古典概型3．3 幾何概型

閱讀與思考 概率與密碼

必修

4第一章 三角函數(shù)1．1 任意角和弧度制

1．2 任意角的三角函數(shù)1．3 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式1．4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．5 函數(shù)y=Asin（ωx+ψ）1．6 三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用

第二章平面向量

2．1平面向量的實際背景及基本概念

2．2平面向量的線性運算

2．3平面向量的基本定理及坐標表示2．4平面向量的數(shù)量積2．5平面向量應(yīng)用舉例

第三章 三角恒等變換

3．1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

3．2 簡單的三角恒等變換

必修

5第一章解三角形

1.1正弦定理和余弦定理

探究與發(fā)現(xiàn)解三角形的進一步討論 1.2應(yīng)用舉例

閱讀與思考海倫和秦九韶 1.3實習(xí)作業(yè)

第二章 數(shù)列

2.1數(shù)列的概念與簡單表示法 閱讀與思考斐波那契數(shù)列 信息技術(shù)應(yīng)用估計2的值

2.2等差數(shù)列

2.3等差數(shù)列的前n項和 2.4等比數(shù)列

2.5等比數(shù)列的前n項和 閱讀與思考九連環(huán) 探究與發(fā)現(xiàn)購房中的數(shù)學(xué)

第三章不等式

3.1不等關(guān)系與不等式 3.2一元二次不等式及其解法

3.3二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題

閱讀與思考錯在哪兒

信息技術(shù)應(yīng)用用Excel解線性規(guī)劃問題舉例 3.4基本不等式

選修2-

1第一章 常用邏輯用語1.1 命題及其關(guān)系1.2 充分條件與必要條件1.3 簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞

閱讀與思考“且”“或”“非”與“交”“并”“補”

1.4 全稱量詞與存在量詞

第二章 圓錐曲線與方程2.1 曲線與方程2.2 橢圓

探究與發(fā)現(xiàn)為什么截口曲線是橢圓

信息技術(shù)應(yīng)用用《幾何畫板》探究點的軌跡：橢圓

2.3 雙曲線

探究與發(fā)現(xiàn)為什么y??b

a

x是雙曲線

x2

2a2?yb

2?1的漸近線 2.4 拋物線

探究與發(fā)現(xiàn)為什么二次函數(shù)

y?ax2

?bx?c(a?0)的圖象是拋物線

閱讀與思考

一、圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用

二、圓錐曲線的離心率與統(tǒng)一方程

第三章 空間向量與立體幾何

3.1 空間向量及其運算閱讀與思考向量概念的推廣與應(yīng)用

3.2 立體幾何中的向量方法

選修2-2

第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

1.1 變化率與導(dǎo)數(shù)1.2 導(dǎo)數(shù)的計算

探究與發(fā)現(xiàn)牛頓法——用導(dǎo)數(shù)方法求方程的近似解

1.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用信息技術(shù)應(yīng)用圖形技術(shù)與函數(shù)性質(zhì)

1.4 生活中的優(yōu)化問題舉例 1.5 定積分的概念信息技術(shù)應(yīng)用曲邊梯形的面積

1.6 微積分基本定理

1.7 定積分的簡單應(yīng)用 實習(xí)作業(yè)走進微積分

第二章 推理與證明

2.1 合情推理與演繹推理

閱讀與思考平面與空間中的余弦定理

2.2 直接證明與間接證明 2.3 數(shù)學(xué)歸納法

第三章 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入

3.1 數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念3.2 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算閱讀與思考代數(shù)基本定理

選修2-3

第一章 計數(shù)原理

1.1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理 探究與發(fā)現(xiàn)子集的個數(shù)有多少

1.2 排列與組合探究與發(fā)現(xiàn)組合數(shù)的兩個性質(zhì)

1.3 二項式定理

探究與發(fā)現(xiàn)“楊輝三角”中的一些秘密

第二章 隨機變量及其分布

2.1 離散型隨機變量及其分布列2.2 二項分布及其應(yīng)用

探究與發(fā)現(xiàn)服從二項分布的隨機變量取何值時概率最大

2.3 離散型隨機變量的均值與方差 2.4 正態(tài)分布信息技術(shù)應(yīng)用

第三章 統(tǒng)計案例

3.1 回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用3.2 獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用實習(xí)作業(yè)

?,?

對正態(tài)分布的影響

第二篇：高中數(shù)學(xué)人教B版必修二同步教案：1.1.7祖暅原理

人教B版 數(shù)學(xué) 必修2：祖暅原理

[使用章節(jié)] 數(shù)學(xué)②中1.1.7棱柱、棱錐、臺和球的體積 [使用目的] 幫助學(xué)生通過操作、觀察理解祖暅原理和它的兩個推論。[操作說明] 祖暅原理的圖形如圖2118： ? cm S???? = 1.95 ??·? cm S???? = 1.95 ??·S???? = 1.95 ??·? cm

圖2118 1．理解祖暅原理

圖中按鈕（見課件界面）的功能是：（1）“變位”：用此按鈕說明幾何體的形狀可以改變，但是一定要滿足夾在兩平行平面間這一條件。

（2）“截面”、“0”和“度量”、“0”：這兩組按鈕中的前一個用于顯示截面并

使截面運動，或顯示截面面積的度量結(jié)果。后一個用于隱去截面或度量值。由此可以說明被夾幾何體要滿足的另一個條件：與夾著幾何體的兩平面平行的截面面積相等。（3）“調(diào)整”、“0”：此按鈕用于顯示、隱藏調(diào)整圖形用的點或線，如需要調(diào)整高及底面時就要顯示這些點或線。當各截面度量值稍有出入時，也可以微調(diào)高或底面進行修正。（4）“公理六”：此按鈕用于恢復(fù)公理六的初始圖形。

講解：把每一個被夾的幾何體的截面想象成很薄的同一種紙片，因為高度相同的截面（紙片）面積相等，所以摞成的幾個幾何體的重量和體積是應(yīng)該相等的。這一結(jié)論在中學(xué)里不加證明而作為公理。

2．講解由祖暅原理推出的兩個結(jié)論：

（1）使用按鈕“V柱”可以把祖暅原理的圖形變化為關(guān)于柱體的圖形。可以用截面按鈕使截面運動而變化截面位置。不必度量就可以說明只要底面積相等，平行底的截面面積就相等（柱體性質(zhì)），又由等高得出可以夾在兩平行平面間。因此由公理六推出：等底等高的柱體等體積。

（2）使用按鈕“V錐”可以類似底說明等底等高的錐體等體積，截面面積相等可以證明也可以用按鈕“度量”驗證。3．理解柱體體積公式

結(jié)合圖說明對于任何一個柱體，都可以做出一個和它等底等高的長方體。（例如原柱體 底面積為100，我們可以取長方體底面邊長為4和25或10和10等值，高與原柱體相同）。根據(jù)關(guān)于柱體體積的推論，可知柱體的體積與長方體一樣，等于底面積與高的積即V柱= s h

對于圓柱，只需把圓面積公式代入可得 V圓柱=??Rh。

第三篇：高中數(shù)學(xué)人教A版必修5第一章解三角形知識小結(jié)+測試題_經(jīng)典附答案

人教A版必修五 解三角形

（一）、知識總結(jié)：

知識梳理

abc

1.正弦定理：sinA=sinB=sinC=2R，其中R是三角形外接圓半徑.2.余弦定理：

（1）形式一：a2?b2?c2?2bc?cosA，b2?a2?c2?2ac?cosB，c2?a2?b2?2ab?cosC 222222222b?c?aa?c?ba?b?c形式二：cosA?，cosB?，cosC?，（角到邊的轉(zhuǎn)換）2bc2ac2ab

1(S?a)(S?b)(S?c)3.S△ABC=2absinC=2bcsinA=2acsinB,S△=S=Sr abca?b?c

2(S=,r為內(nèi)切圓半徑)=4R(R為外接圓半徑).4.在三角形中大邊對大角，反之亦然.5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6.三角形內(nèi)角的誘導(dǎo)公式 CA?B

(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos2=sin2, CA?B

sin2=cos2……

在△ABC中，熟記并會證明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC;

(2)A、B、C成等差數(shù)列的充要條件是B=60°；

(3)△ABC是正三角形的充要條件是A、B、C成等差數(shù)列且a、b、c成等比數(shù)列.7.解三角形常見的四種類型

abc

(1)已知兩角A、B與一邊a,由A+B+C=180°及sinA=sinB=sinC，可求出角C，再求b、c.(2)已知兩邊b、c與其夾角A，由a2=b2+c2-2bccosA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C.(3)已知三邊a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.ab

(4)已知兩邊a、b及其中一邊的對角A，由正弦定理sinA=sinB，求出另一邊b的對角B，由C=π-(A+B)，acab

求出c，再由sinA=sinC求出C，而通過sinA=sinB求B時，可能出一解，兩解或無解的情況，其判

斷方法，如下表：

8.9.三角形的分類或形狀判斷的思路，主要從邊或角兩方面入手.（二）鞏固練習(xí)

一

單項選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分。）

S?

1.△ABC中，b?8，c??ABC，則?A等于

（）

???

???

30603015060120ABC 或D 或

abc

??

2.△ABC中，cosAcosBcosC，則△ABC一定是（）

A 直角三角形B鈍角三角形C等腰三角形D等邊三角形

3.已知△ABC中，A?30?，C?105?，b?8，則等于（）A4B4.△ABC中，B?45，C?60，c?1，則最短邊的邊長等于（）

ABC2D

?

?

5.長為5、7、8的三角形的最大角與最小角之和為()

A90°B120°C135°D150°

?

26.△ABC中，B?60，b?ac，則△ABC一定是（）

A銳角三角形B鈍角三角形C等腰三角形D等邊三角形

7.△ABC中，∠A=60°6 , b=4, 那么滿足條件的△ABC()

A有 一個解B有兩個解C無解D不能確定

a?b?c

?

8.△ABC中，若A?60，a?sinA?sinB?sinC等于（）

1A 2B2

9.△ABC中，A:B?1:2，C的平分線CD把三角形面積分成3:2兩部分，則cosA?（）11

3ABCD 0 32

410.如果把直角三角形的三邊都增加同樣的長度，則這個新的三角形的形狀為（）

A銳角三角形 B 直角三角形C 鈍角三角形D 由增加的長度決定在200米高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30°、60°，則塔高為（）A.4003400

米B.米C.200米D.200米

312 海上有A、B兩個小島相距10海里，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，則B、C間的距離是()

A.10 海里B.5海里C.56 海里D.5 海里

二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

?

13.在△ABC

中，已知b?，c?150，B?30，則邊長a?。

14.在△ABC中，如果sinA:sinB:sinC?2:3:4，那么cosC等于。15.在鈍角△ABC中，已知a?1，b?2，則最大邊c的取值范圍是。

16.三角形的一邊長為14，這條邊所對的角為60，另兩邊之比為8：5，則這個三角形的 面積為。

三、解答題：（本大題共6小題，70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。）

?

17（本題12分）在△ABC中，已知2a?b?c，sinA?sinBsinC，試判斷△ABC的形狀。

cosAb

4??cosBa3，求邊a、b 的長。18（本題10分）在△ABC中，已知邊c=10, 又知

19（本題12分）在銳角三角形中，邊a、b是方程x2－23 x+2=0的兩根，角A、B滿足： 2sin(A+B)－3 =0，求角C的度數(shù)，邊c的長度及△ABC的面積。

20（本題12分）在奧運會壘球比賽前，C國教練布置戰(zhàn)術(shù)時，要求擊球手以與連結(jié)本壘及游擊手的直線成15°的方向把球擊出，根據(jù)經(jīng)驗及測速儀的顯示，通常情況下球速為游擊手最大跑速的4倍，問按這樣的布置，游擊手能不能接著球？（如圖所示）

參考答案

一、選擇題（5?10）

二、填空題（4?4）

13、或14 ?15?c?316、4三、解答題

17、（本題8分）

abcab

解：由正弦定理，sinB?，???2R得：sinA?

sinAsinBsinC2R2R

c

。sinC?2R2sinA?sinBsinC可得：(a)2?b?c，即：a2?bc。所以由

2R2R2R

又已知2a?b?c，所以4a2?(b?c)2，所以4bc?(b?c)2，即(b?c)2?0，因而b?c。故由2a?b?c得：2a?b?b?2b，a?b。所以a?b?c，△ABC 為等邊三角形。

18、（本題8分）

cosAbsinBbcosAsinB

解：由 ?,可得，變形為sinAcosA=sinBcosB ?，?

cosBasinAacosBsinA

∴sin2A=sin2B, 又∵a≠b, ∴2A=π－2B,∴A+B=由a2+b2=102和

b

4?，解得a=6, b=8。a

3?

.∴△ABC為直角三角形.219、（本題9分）

解：由2sin(A+B)3 =0，得sin(A+B)=,∵△ABC為銳角三角形

2∴A+B=120°,C=60°, 又∵a、b是方程x2－3 x+2=0的兩根，∴a+b=23 , ∴c=6 ,S?ABC

31?absinC= ×2×。

222

2a·b=2, ∴c2=a2+b2－2a·bcosC=(a+b)2－3ab=12－6=6,∴c=6 ,S?ABC?

20、（本題9分）

1331

absinC= ×2×。

2222

解： 設(shè)游擊手能接著球，接球點為B，而游擊手從點A跑出，本壘為O點（如圖所示）.設(shè)從擊

出球到接著球的時間為t，球速為v，則∠AOB＝15°，OB＝vt，AB?v

?t。

在△AOB中，由正弦定理，得

OBAB

sin?OAB?

sin15?

∴sin?OAB?

OBvtABsin15?

?vt/4?而2?8??8?4?1.74?1，sin∠OAB>1,∴這樣的∠OAB不存在，因此，游擊手不能接著球.6，即

第四篇：2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教B版必修5學(xué)案：2.2等差數(shù)列名師導(dǎo)航學(xué)案及答案

2.2 等差數(shù)列

知識梳理

1.等差數(shù)列的定義

一般地,如果一個數(shù)列從第二項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列,這個常數(shù)叫等差數(shù)列的公差,通常用字母d表示,定義的表達式為an+1-an=d(n∈N+).2.等差數(shù)列的通項公式

如果等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,那么它的通項公式為an=a1+(n-1)d.3.等差中項

若三個數(shù)a、A、b成等差數(shù)列,則A叫做a、b的等差中項,且A=4.等差數(shù)列前n項和公式 Sn=

a?b.2n(a1?an)n(n?1)d或na1+.225.等差數(shù)列的單調(diào)性

等差數(shù)列{an}的公差為d,若d＞0,則數(shù)列為遞增數(shù)列,且當a1＜0時,前n項和Sn有最小值;若d＜0,則數(shù)列為遞減數(shù)列,且當a1＞0時,前n項和Sn有最大值.6.等差數(shù)列的常用性質(zhì)

已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,首項為a1,公差為d.(1)若m+n=p+q,則am+an=ap+aq;推論:若m+n=2p,則am+an=2ap.2(2)等差數(shù)列中連續(xù)m項的和組成的新數(shù)列是等差數(shù)列,公差等于md,即 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,?為等差數(shù)列,則有S3m=3(S2m-Sm).(3)從等差數(shù)列中抽取等距離的項組成的數(shù)列是一個等差數(shù)列.如a1,a4,a7,a10,?(下標成等差數(shù)列).知識導(dǎo)學(xué)

等差數(shù)列是一種特殊的數(shù)列,所以學(xué)習(xí)前先對上節(jié)有關(guān)數(shù)列的概念、性質(zhì)進行回顧,同時復(fù)習(xí)前面學(xué)習(xí)過的一次函數(shù)的形式與圖象,并且思考一次函數(shù)與等差數(shù)列的區(qū)別.本節(jié)內(nèi)容的重點是等差數(shù)列的定義和等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式,要能夠運用公式解決簡單問題,在實際解題中注意有關(guān)技巧的運用.在理解定義時,要重視兩點:一是“從第二項起”,二是“同一常數(shù)”,同時要對a,d的取值對單調(diào)性的影響加以分析,以加深對概念的理解和知識的鞏固.疑難突破

1.如何去判斷或證明一個數(shù)列為等差數(shù)列呢? 剖析:判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列,最基本也最常用的就是看這個數(shù)列是否符合等差數(shù)列的定義.一般有以下五種方法:(1)定義法:an+1-an=d(常數(shù))(n∈N+)?{an}是等差數(shù)列;(2)遞推法:2an+1=an+an+2(n∈N+)?{an}是等差數(shù)列;(3)性質(zhì)法:利用性質(zhì)來判斷;(4)通項法:an=pn+q(p、q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列;2(5)求和法:Sn=An+Bn(A、B為常數(shù),Sn為{an}的前n項和)?{an}是等差數(shù)列.其中(4)(5)兩種方法主要應(yīng)用于選擇、填空題中,在解答題中判斷一個數(shù)列是否是等差數(shù)列,一般用(1)(2)(3)這三種方法,而方法(3)還經(jīng)常與(1)(2)混合運用.證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列有兩種基本方法:(1)利用等差數(shù)列的定義,證明an+1-an(n≥1)為常數(shù);(2)利用等差中項的性質(zhì),即證明2an=an-1+an+1(n≥2).2.如何求等差數(shù)列前n項和的最值? 剖析:可從以下兩個方面思考:(1)利用前n項和公式,轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問題.n(n?1)dddd?n2?(a1?)n,當d≠0時,此式可看作二次項系數(shù)為,一次項系2222dd2d數(shù)為a1-,常數(shù)項為0的二次函數(shù),其圖象為拋物線y=x+(a1-)x上的點集,坐標為222Sn=na1+(n,Sn)(n∈N+),因此,由二次函數(shù)的性質(zhì)立即可以得出結(jié)論:當d＞0時,Sn有最小值;當d＜0時,Sn有最大值.(2)結(jié)合數(shù)列的特征,運用函數(shù)單調(diào)性的思路.當d＞0時,則數(shù)列為遞增數(shù)列,且當a1＜0時,一定會出現(xiàn)某一項,在此之前的項都是非正數(shù),而后面的項都是正數(shù),前n項和Sn有最小值;當d＜0時,則數(shù)列為遞減數(shù)列,且當a1＞0時,一定會出現(xiàn)某一項,在此之前的項都是非負數(shù),而后面的項都是負數(shù),前n項和Sn有最大值.顯然最值問題很容易判斷.第二種思路運算量小.

第五篇：《步步高 學(xué)案導(dǎo)學(xué)設(shè)計》2013-2014學(xué)年 高中數(shù)學(xué)人教B版選修2-2數(shù)學(xué)歸納法

§2.3 數(shù)學(xué)歸納法

2.3.1 數(shù)學(xué)歸納法

一、基礎(chǔ)過關(guān)

1．某個命題與正整數(shù)有關(guān)，如果當n＝k(k∈N*)時，該命題成立，那么可推得n＝k＋1時，該命題也成立．現(xiàn)在已知當n＝5時，該命題成立，那么可推導(dǎo)出

A．當n＝6時命題不成立

B．當n＝6時命題成立

C．當n＝4時命題不成立

D．當n＝4時命題成立

2．一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，當n＝2時命題成立，且由n＝k時命題成立可以推得n＝k＋2時命題也成立，則()()

A．該命題對于n>2的自然數(shù)n都成立

B．該命題對于所有的正偶數(shù)都成立

C．該命題何時成立與k取值無關(guān)

D．以上答案都不對

13．在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n－3)條時，第一步驗證n等于()2

A．1B．2C．3D．0

()1114．若f(n)＝1＋＋…＋(n∈N*)，則n＝1時f(n)是232n＋1

A．1

1B.3D．以上答案均不正確

11C．1＋＋2311115．已知f(n)＋ nn＋1n＋2n()

11A．f(n)中共有n項，當n＝2時，f(2)＝ 23

111B．f(n)中共有n＋1項，當n＝2時，f(2)＝＋＋234

11C．f(n)中共有n2－n項，當n＝2時，f(2)23

111D．f(n)中共有n2－n＋1項，當n＝2時，f(2)＝＋ 234

a6．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝n∈N*)，依次計算a2，a3，a4，歸納推測出an的通項3an＋1

表達式為

2A.4n－3

2C.4n＋3

二、能力提升

7．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)，從k到k＋1左端需要增乘的代數(shù)式為

A．2k＋1

2k＋1C.k＋1()()2 6n－52D.2－1B．2(2k＋1)2k＋3D.k＋1

1118．已知f(n)(n∈N*)，則f(k＋1)＝f(k)＋______________________.n＋1n＋23n－1

9．用數(shù)學(xué)歸納法證明：

11112(1－)(1)…(1－＝(n∈N*)． 345n＋2n＋

210．用數(shù)學(xué)歸納法證明：

－－n?n＋1?12－22＋32－42＋…＋(－1)n1·n2＝(－1)n1(n∈N*)． 2

11．已知數(shù)列{an}的第一項a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N*)，Sn為數(shù)列{an}的前n項和．

(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表達式；

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明{an}的通項公式．

三、探究與拓展

n?n＋1?212．是否存在常數(shù)a、b、c，使得等式1×22＋2×32＋3×42＋…＋n(n＋1)2an＋bn12

＋c)對一切正整數(shù)成立？并證明你的結(jié)論．

答案

1．B2．B 3．C 4．C5．D 6．B 7．B

11118.＋ 3k3k＋13k＋2k＋1

12229．證明(1)當n＝1時，左邊＝1－，等式成立． 331＋23

11112(2)假設(shè)當n＝k(k≥1，k∈N*)時等式成立，即(1)(1)…(1＝，345k＋2k＋2

那么當n＝k＋1時，1111121(1－)(1－)(1－)…(1－＝(1－345k＋2k＋3k＋2k＋3

＝2?k＋2?2 ?k＋2??k＋3?k＋3

所以當n＝k＋1時等式也成立．

由(1)(2)可知，對于任意n∈N*等式都成立．

10．證明(1)當n＝1時，左邊＝1，右邊＝(－1)11×－1×21，結(jié)論成立． 2

(2)假設(shè)當n＝k時，結(jié)論成立．

－－k?k＋1?即12－22＋32－42＋…＋(－1)k1k2＝(－1)k1 2

那么當n＝k＋1時，12－22＋32－42＋…＋(－1)k1k2＋(－1)k(k＋1)2 －

－k?k＋1?＝(－1)k1(－1)k(k＋1)2 2

－k＋2k＋2＝(－1)k·(k＋ 2

?k＋1??k＋2?＝(－1)k.2

即當n＝k＋1時結(jié)論也成立．

由(1)(2)可知，對一切正整數(shù)n等式都成立．

11．(1)解 a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20，??5?n＝1?猜想an＝?.n－2*?5×2，?n≥2，n∈N??

(2)證明 ①當n＝2時，a2＝5×222＝5，公式成立． －

②假設(shè)n＝k(k≥2，k∈N*)時成立，即ak＝5×2k2，－

那么當n＝k＋1時，由已知條件和假設(shè)有

ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋a3＋…＋ak

＝5＋5＋10＋…＋5×2k2.－

5?1－2k1?－＝55×2k1.1－2－

故當n＝k＋1時公式也成立．

由①②可知，對n≥2，n∈N*，有an＝5×2n2.－

所以數(shù)列{an}的通項公式為

??5?n＝1?an＝?.n－2*?5×2?n≥2，n∈N??

12．解 假設(shè)存在a、b、c使上式對n∈N*均成立，則當n＝1,2,3時上式顯然也成立，此時可得

??1?1×2＋2×3＝24a＋2b＋c?，??1×2＋2×3＋3×4＝9a＋3b＋c，2222211×22＝?a＋b＋c?，6

解此方程組可得a＝3，b＝11，c＝10，n?n＋1?下面用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1×22＋2×32＋3×42＋…＋n(n＋1)2＝×(3n2＋11n＋10)12

對一切正整數(shù)均成立．

(1)當n＝1時，命題顯然成立．

(2)假設(shè)當n＝k時，命題成立．

k?k＋1?2即1×22＋2×32＋3×42＋…＋k(k＋1)2＝(3k＋11k＋10)，12

則當n＝k＋1時，有

1×22＋2×32＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2

＝

＝

＝

＝k?k＋1?2k＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2 12k?k＋1?k＋2)(3k＋5)＋(k＋1)(k＋2)2 12?k＋1??k＋2?2k＋5k＋12k＋24)12?k＋1??k＋2?k＋1)2＋11(k＋1)＋10]． 12

即當n＝k＋1時，等式也成立．

由(1)(2)可知，對任何正整數(shù)n，等式都成立．