第一篇：§1.7 復變函數(shù)的極限和連續(xù)性

§1.7復變函數(shù)的極限和連續(xù)性 復變函數(shù)設E??是非空點集.稱映射f:E??為復變函數(shù),也可用w?f(z)表示.若記z?x?iy,w?u?iv,則

w?f(z)?f(x,y)?u(z)?iv(z)?u(x,y)?iv(x,y).于是,復變函數(shù)w?f(z)的極限、連續(xù)、一致連續(xù)等概念就是映射(u,v):E??2的相應概念.有關(guān)映射的各種性質(zhì)也對復變函數(shù)成立.重要注記由于x?z?2z?2i,y?,故一般將w?f(z)理解為以z,為自變量的函數(shù),即w?f(z,)?u(z,)?iv(z,).以后將看到,這樣 做會帶來很多方便,并且具有“復風格”.習題1.7(P33)3,4,5.

第二篇：函數(shù)的極限和函數(shù)的連續(xù)性（本站推薦）

第一部分高等數(shù)學

第一節(jié)函數(shù)的極限和函數(shù)的連續(xù)性

考點梳理

一、函數(shù)及其性質(zhì)

1、初等函數(shù)

冪函數(shù)：y?xa(a?R)

指數(shù)函數(shù)y?ax(a?1且a?1)

對數(shù)函數(shù)：y?logax(a?0且a?1)

三角函數(shù)：sin x , cos x , tan x , cot x

反三角函數(shù)：arcsin x , arcos x , arctan x , arccot x2、性質(zhì)（定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性、有界性）

【注】奇偶性、單調(diào)性相對考察的可能性打，但一般不會單獨出題，常與其他知識點結(jié)合起來考察（比如與積分、導數(shù)結(jié)合）

二、函數(shù)極限

1． 數(shù)列極限

定義（略）

收斂性質(zhì)：極限的唯一性、極限的有界性、極限的保號性。

·類比數(shù)列極限，函數(shù)極限有唯一性、局部有界性、局部保號性。

單側(cè)極限（左極限、右極限）

【注】函數(shù)極限為每年的必考內(nèi)容，常見于客觀題中。一般為2~3題。

2． 兩個重要極限

（1）limsinx?1 x?0x

x類似得到：x→0時，x～ln(x+1)～arcsin x～arctan x～tan x（2）lim(1?x)?e x?0

類似得到：lim(1?)?elim(1?)?x??x??1xx

1xx1 e

·此處，需提及無窮大，無窮小的概念，希望讀者進行自學。

三、函數(shù)的連續(xù)性

1． 概念：函數(shù)f(x)在x0處的連續(xù)（f(x)在x0點左連續(xù)、f(x)在x0點右連續(xù)）函數(shù)f(x)在開區(qū)間（a,b）上的連續(xù)

函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)

2． 函數(shù)的間斷點分類

● 跳躍式間斷點：函數(shù)f(x)在點x0的左右極限都存在但不相等。

● 函數(shù)在點x0的左右極限都存在且相等，但不等于該點的函數(shù)值（或函數(shù)值在該

點無定義）

● 振蕩間斷點：f(x)在點x0的左右極限至少有一個不存在。

3． 連續(xù)函數(shù)的和、積、商，初等函數(shù)的連續(xù)性

● 有限個在某點連續(xù)的函數(shù)的和是一個在該點連續(xù)的函數(shù)。

● 有限個再某點連續(xù)的函數(shù)的積是一個在該點連續(xù)的函數(shù)。

● 兩個在某點連續(xù)的函數(shù)的商事一個在該點連續(xù)的函數(shù)（分母在該點不為零）● 一切基本初等函數(shù)在定義域（或定義區(qū)間）上是連續(xù)的。

4． 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

●（最大、最小定理）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值。

●（有界性定理）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界。

●（零點定理）設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號（即f(a)·f(b)<0），那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有函數(shù)f(x)的一個零點。

● 介值定理：設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點處取不同的函

數(shù)值f(a)=A及f(b)=B，那么，對于A與B之間的任意一個數(shù)C，在開區(qū)間(a,b)

內(nèi)至少有一點ξ，使得f(b)=C(a<ξ

【注】函數(shù)的連續(xù)性，一般在客觀題目中出現(xiàn)，分值不大，一般1~2題。

典型例題分析

【例1】（2010年真題）（工程類）計算極限limx?sinx? x?0x?sinx

A.1B.-1C.0D.2sinx?1這一重要極限。如此，我們不難解x?0x

sinxsinx1?1?limx?sinxx?0??0。出該極限為0.即lim?limx?0x?sinxx?01?1?limx?0xx

x?cx)?e6,則常數(shù)c=_________?！纠?】（2010年真題）（工程類）設lim(x??x?c

1x1【解析】解決此類題目，我們要靈活運用lim(1?)?。x??xe【解析】：解決此類題目，我們要深刻掌握lim

2cxx?cx2cx

2?ccx?clim()?lim(1?)?limex??x?cx??x??x?c?2c1?c?e?2c?e6。則c=-3。

1???xsin,x?0【例3】（2009年真題）（工程類）設f(x)??若f(x)在點x=0處連續(xù)，則αx??0,x?0的取值范圍是

A．(-∞,+ ∞)B.[0,+ ∞]C.(0,+ ∞)D.(1,+ ∞)

【解析】函數(shù)f(x)為一個分段函數(shù)，要使其在點x=0處連續(xù)，只需limxsinx?0?1?0，不難x

發(fā)現(xiàn)x→0時，sin x 為有界的，我們只需滿足limx?0即可。易得，α>0。但α不能等于x?0?

0，否則limsinx?01?0。x

提高訓練

1、求下列函數(shù)的定義域

（1）y?

（2）y?1 2x?2x

（3）y=lg(3x+1)

(4)y?1? 1?x22、判斷一下函數(shù)的奇偶性

ax?a?x

(1)y = tan x(2)y?a(3)y? 2x3、求下列函數(shù)的極限

1x3?4x2(1)lim(3x?1)(2)lim3(3)limxsinx?3x?0x?0x?xx

sin3x15sin2x(4)lim(5)lim(6)lim(1?)x?0x??x?01?cosxxx

?1?ex,x?0??

4、討論f(x)??0,x?0在x=0點的連續(xù)性。

x?05、證明方程x?3x?1至少有一個根介于1和2之間。

【答案】

1、（1）[-1,1](2)(-∞,0)∪(0,2)∪(2,+∞)(3)(-1/3,+∞)

(4)[-2,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)

2、（1）奇（2）非奇非偶（3）偶

3、（1）8（2）4（3）0（4）2（5）3（6）

14、連續(xù)

5、證明：記f(x)?x?3x?1，f(1)=-3<0,f(2)=25>0。由零點存在定理知，至少存在一個零點介于1和2之間。即方程x?3x?1在1和2之間至少有一個根。555

第三篇：極限的四則運算函數(shù)的連續(xù)性

極限的四則運算函數(shù)的連續(xù)性

極限的四則運算，函數(shù)的連續(xù)性

二.教學重、難點： 1.函數(shù)在一點處連續(xù)

2.函數(shù)在開區(qū)間，閉區(qū)間上連續(xù) 3.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

（1）若與在處連續(xù)，則，（）在處也連續(xù)。

（2）最大、最小值，若是[]上的連續(xù)函數(shù)，那么在上有最大值和最小值，最值可在端點處取得，也可以在內(nèi)取得。

【典型例題】 [例1] 求下列極限（1）（2）（3）（4）解：（1）原式（2）原式

（3）原式

（4）原式

[例2] 求下列各數(shù)列的極限（1）（2）（3）解：（1）原式（2）原式（3）原式

[例3] 已知數(shù)列是正數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，且滿足，其中是大于1的整數(shù)，是正數(shù)。

（1）求的通項公式及前項和；（2）求的值。解：

（1）由已知得

∴ 是公比為的等比數(shù)列，則

（2）① 當時，原式 ② 當時，原式 ③ 當時，原式

[例4] 判定下列函數(shù)在給定點處是否連續(xù)。（1）在處；（2），在處。解：（1），但

故函數(shù)在處不連續(xù)（2）函數(shù)在處有定義，但，即

故不存在，所以函數(shù)在點處不連續(xù)。

[例5] 已知函數(shù)，試求：（1）的定義域，并畫出的圖象；（2）求，；

（3）在哪些點處不連續(xù)。解：

（1）當，即時，當時，不存在 當時，當時，即或時，∴

∴ 定義域為（）（），圖象如圖所示

（2）

∴ 不存在

（3）在及處不連續(xù)

∵ 在處無意義 時，即不存在∴ 在及處不連續(xù)

[例6] 證明方程至少有一個小于1的正根。證明：令，則在（0，1）上連續(xù)，且當時。時，∴ 在（0，1）內(nèi)至少有一個，使

即：至少有一個，滿足且，所以方程至少有一個小于1的正根。

[例7] 函數(shù)在區(qū)間（0，2）上是否連續(xù)？在區(qū)間[0，2]上呢？ 解：（且）任取，則

∴ 在（0，2）內(nèi)連續(xù)，但在處無定義 ∴ 在處不連續(xù)，從而在[0，2]上不連續(xù)

[例8] 假設，在上不連續(xù)，求的取值范圍。

解：若函數(shù)，在上連續(xù)，由函數(shù)在點處連續(xù)的定義，必有，因為，所以，所以，若不連續(xù)，則且。

[例9] 設

（1）若在處的極限存在，求的值；（2）若在處連續(xù)，求的值。解：

（1），因為在處極限存在，所以，所以，即（2）因為在處連續(xù)，所以在處的極限存在，且，由（1）知，且，又，所以。

【模擬試題】 一.選擇題：

1.已知，則下列結(jié)論正確的是（）

A.B.不存在C.=1

D.= 2.的值為（）

A.5

B.4

C.7

D.0 3.的值為（）

A.1

B.0

C.D.4.的值為（）

A.B.C.1

D.5.若，則的取值范圍是（）

A.B.C.D.6.若在上處處連續(xù)，則常數(shù)等于（）

A.0

B.1

C.2

D.7.在點處連續(xù)是在點處連續(xù)的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

8.的不連續(xù)點是（）

A.無不連續(xù)點

B.C.D.二.解答題： 1.求下列極限：

（1）

（2）

（3）2.為常數(shù)，1，求。

3.已知

（1）在處是否連續(xù)？說明理由；（2）討論在和上的連續(xù)性。

【試題答案】 一.1.B

2.C

3.C D

二.1.解：（1）（2）

① 當時，∴

② 當時，∴

③ 當時，（3）2.解：∵

∴

∴，4.B

5.C

6.C

7.A

8.3.解：

（1）∵，則

∴

∵，且

∴

∵

∴ 不存在∴ 在處不連續(xù)（2）∵

∴ 在上是不連續(xù)函數(shù) ∵

∴ 在上是連續(xù)函數(shù)。

第四篇：函數(shù)的極限及函數(shù)的連續(xù)性典型例題

函數(shù)的極限及函數(shù)的連續(xù)性典型例題

一、重點難點分析：

①

此定理非常重要，利用它證明函數(shù)是否存在極限。② 要掌握常見的幾種函數(shù)式變形求極限。③ 函數(shù)f(x)在x=x0處連續(xù)的充要條件是在x=x0處左右連續(xù)。

。④ 計算函數(shù)極限的方法，若在x=x0處連續(xù)，則

⑤ 若函數(shù)在[a,b]上連續(xù)，則它在[a,b]上有最大值，最小值。

二、典型例題

例1．求下列極限

①

②

③

④

解析：①。

②。

③。

④。

例2．已知，求m,n。

解：由可知x2+mx+2含有x+2這個因式，∴ x=-2是方程x2+mx+2=0的根，∴ m=3代入求得n=-1。

例3．討論函數(shù)的連續(xù)性。

解析：函數(shù)的定義域為(-∞,+∞)，由初等函數(shù)的連續(xù)性知，在非分界點處函數(shù)是連續(xù)的，又

∴

由

從而f(x)在點x=-1處不連續(xù)。

∴ f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上連續(xù)，x=-1為函數(shù)的不連續(xù)點。，∴ f(x)在x=1處連續(xù)。，例4．已知函數(shù)

試討論a,b為何值時，f(x)在x=0處連續(xù)。,(a,b為常數(shù))。

解析：∵

且，∴，∴ a=1, b=0。

例5．求下列函數(shù)極限

①

②

解析：①。

②。

例6．設

解析：∵

要使存在，只需，問常數(shù)k為何值時，有存在？。，∴ 2k=1，故 時，存在。

例7．求函數(shù)

在x=-1處左右極限，并說明在x=-1處是否有極限？

解析：由∵，∴ f(x)在x=-1處極限不存在。，三、訓練題：

1．已知，則

2．的值是_______。

3.已知，則=______。

4．已知

5．已知，2a+b=0，求a與b的值。，求a的值。

參考答案：1.3

2.3.4.a=2, b=-45.a=0

第五篇：復變函數(shù)總結(jié)

第一章

復數(shù)

=-1

歐拉公式

z=x+iy

實部Re

z

虛部

Im

z

2運算

①

②

③

④

⑤

共軛復數(shù)

共軛技巧

運算律

P1頁

3代數(shù)，幾何表示

z與平面點一一對應，與向量一一對應

輻角

當z≠0時，向量z和x軸正向之間的夾角θ，記作θ=Arg

z=

k=±1±2±3…

把位于-π＜≤π的叫做Arg

z輻角主值

記作=

4如何尋找arg

z

例：z=1-i

z=i

z=1+i

z=-1

π

極坐標：，利用歐拉公式

可得到

高次冪及n次方

凡是滿足方程的ω值稱為z的n次方根，記作

即

第二章解析函數(shù)

1極限

2函數(shù)極限

①

復變函數(shù)

對于任一都有

與其對應

注：與實際情況相比，定義域，值域變化

例

②

稱當時以A為極限

☆

當時，連續(xù)

例1

證明在每一點都連續(xù)

證：

所以在每一點都連續(xù)

3導數(shù)

例2

時有

證：對有

所以

例3證明不可導

解：令

當時，不存在，所以不可導。

定理：在處可導u，v在處可微，且滿足C-R條件

且

例4證明不可導

解：

其中

u,v

關(guān)于x,y可微

不滿足C-R條件

所以在每一點都不可導

例5

解：

不滿足C-R條件

所以在每一點都不可導

例6：

解：

其中

根據(jù)C-R條件可得

所以該函數(shù)在處可導

4解析

若在的一個鄰域內(nèi)都可導，此時稱在處解析。

用C-R條件必須明確u,v

四則運算

☆

例：證明

解：

則

任一點處滿足C-R條件

所以處處解析

練習：求下列函數(shù)的導數(shù)

解:

所以

根據(jù)C-R方程可得

所以當時存在導數(shù)且導數(shù)為0，其它點不存在導數(shù)。

初等函數(shù)

Ⅰ常數(shù)

Ⅱ指數(shù)函數(shù)

①

定義域

②

③

④

Ⅲ對數(shù)函數(shù)

稱滿足的叫做的對數(shù)函數(shù)，記作

分類：類比的求法（經(jīng)驗）

目標：尋找

幅角主值

可用：

過程：

所以

例：求的值

Ⅳ冪函數(shù)

對于任意復數(shù)，當時

例1：求的值

解：

例2：求

Ⅴ三角函數(shù)

定義：對于任意復數(shù)，由關(guān)系式可得的余弦函數(shù)和正弦函數(shù)

例：求

解：

第三章復變函數(shù)的積分

1復積分

定理3.1

設C是復平面上的逐段光滑曲線在C上連續(xù)，則在C上可積，且有

注：①C是線

②方式跟一元一樣

方法一：思路：復數(shù)→實化

把函數(shù)與微分相乘，可得

方法二：參數(shù)方程法

☆核心：把C參數(shù)

C：

例：

求

①C：0→的直線段②；

解：①C：

②

★

結(jié)果不一樣

2柯西積分定理

例：

C：以a為圓心，ρ為半徑的圓，方向：逆時針

解：C：

☆

積分與路徑無關(guān)：①單聯(lián)通

②處處解析

例：求，其中C是連接O到點的擺線：

解：已知，直線段L與C構(gòu)成一條閉曲線。因在全平面上解析，則

即

把函數(shù)沿曲線C的積分化為沿著直線段L上的積分。由于

故

★關(guān)鍵：①恰當參數(shù)

②合適準確帶入z

3不定積分

定義3.2

設函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，若D內(nèi)的一個函數(shù)滿足條件

定理3.7

若可用上式，則

例：

計算

解：

練習：計算

解：

4柯西積分公式

定理

處處解析在簡單閉曲線C所圍成的區(qū)域內(nèi)則

例1：

解：

例2：

解：

例3：

解：

注：①C：

②

一次分式

③找到

在D內(nèi)處處解析

例4：

解：5

解析函數(shù)的高階導數(shù)

公式：

n=1，2……

應用要點：①

②

③精準分離

例：

調(diào)和函數(shù)

若滿足則稱叫做D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)

若在D內(nèi)解析

所以

把稱為共軛調(diào)和函數(shù)

第四章

級數(shù)理論

1復數(shù)到

距離

談極限

對若有使得

此時

為的極限點

記作

或

推廣：對一個度量空間都可談極限

極限的性質(zhì)

級數(shù)問題

部分和數(shù)列

若

則收斂，反之則發(fā)散。

性質(zhì)：1若

都收斂，則收斂

2若一個收斂，一個發(fā)散，可推出發(fā)散

若

絕對收斂

若

但收斂，為條件收斂

等比級數(shù)

：

時收斂，其他發(fā)散

冪級數(shù)

則

求收斂域

例：求的收斂半徑及收斂圓

解：因為

所以級數(shù)的收斂半徑為R=1，收斂圓為

泰勒級數(shù)

泰勒定理：設函數(shù)在圓K：內(nèi)解析，則在K內(nèi)可以展成冪級數(shù)

其中，（n=0,1,2……），且展式還是唯一的。

例

1：求在處的泰勒展式

解

：在全平面上解析，所以在處的泰勒展式為

例2：

將函數(shù)展成的冪級數(shù)

解：

羅朗級數(shù)

羅朗定理

若函數(shù)在圓環(huán)D：內(nèi)解析，則當時，有

其中

例：將函數(shù)在圓環(huán)（1）

（2）

內(nèi)展成羅朗級數(shù)。

解：（1）在內(nèi)，由于，所以

（2）在內(nèi)，由于，所以

孤立奇點

定義：若函數(shù)在的去心鄰域內(nèi)解析，在點不解析，則稱為的孤立奇點。

例

：

為可去奇點

為一級極點

為本性奇點

第5章

留數(shù)理論（殘數(shù)）

定義：

設函數(shù)以有限項點為孤立奇點，即在的去心鄰域內(nèi)解析，則稱積分的值為函數(shù)在點處的留數(shù)

記作：

其中，C的方向是逆時針。

例1：求函數(shù)在處的留數(shù)。

解：因為以為一級零點，而，因此以為一級極點。

例2：求函數(shù)在處的留數(shù)

解：是的本性奇點，因為

所以

可得

第7章

傅里葉變換

通過一種途徑使復雜問題簡單化，以便于研究。

定義：對滿足某些條件的函數(shù)

在上有定義，則稱

為傅里葉變換。

同時

為傅里葉逆變換

注：①傅里葉變換是把函數(shù)變?yōu)楹瘮?shù)

②傅里葉逆變換是把函數(shù)變?yōu)楹瘮?shù)

③求傅里葉變換或傅里葉逆變換，關(guān)鍵是計算積分

④兩種常見的積分方法：湊微分、分部積分

復習積分：①

②

③

④

⑤

注：

例1：求的解：

例2：求的解：

-函數(shù)

定義：如果對于任意一個在區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，恒有，則稱為-函數(shù)。

例1：求-函數(shù)的解：

例2：求正弦函數(shù)的傅氏變換

解：

☆

第8章

拉普拉斯變換

設在時有定義