第一篇：2018考研數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)極限及連續(xù)性內(nèi)容總結(jié)

為學(xué)生引路，為學(xué)員服務(wù)

2018考研數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)極限及連續(xù)性內(nèi)容總結(jié)

考研數(shù)學(xué)中的高等數(shù)學(xué)，為學(xué)生引路，為學(xué)員服務(wù)

大量的概念、性質(zhì)以及無(wú)窮小量的階的比較等等，特別是階的比較，是?？嫉牡胤?。

3.函數(shù)的連續(xù)性的定義，間斷點(diǎn)的分類,以及連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，特別是在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，也是常考的地方。

以上是本章的主要內(nèi)容，既然是微積分學(xué)的基礎(chǔ)啊，那么其重要性就不言而喻了，同時(shí)也每年都考。當(dāng)然，由于本章的基本概念、基本理論和基本方法比較多，而這也是相關(guān)的考點(diǎn)。從以往的考試分析來(lái)說(shuō)，得分率比較低，希望同學(xué)們一定概要重視三基的復(fù)習(xí)。通過(guò)試卷的分析，可以大致歸納一下?？嫉娜N題型：求解極限;無(wú)窮小量的比較;間斷點(diǎn)的分類判斷。對(duì)于無(wú)窮小量的比較，實(shí)際上是求解blob.png型這一未定式的極限，而判斷間斷點(diǎn)的類型，也是求解極限。因此，這三種題型的中心就是求極限，實(shí)際上求極限是貫穿始終的。那么同學(xué)們的復(fù)習(xí)重點(diǎn)就在于求極限的常用方法：如倒代換，有理化，等價(jià)代換，洛必達(dá)法則，兩個(gè)基本極限等等。

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第二篇：函數(shù)的極限和函數(shù)的連續(xù)性（本站推薦）

第一部分高等數(shù)學(xué)

第一節(jié)函數(shù)的極限和函數(shù)的連續(xù)性

考點(diǎn)梳理

一、函數(shù)及其性質(zhì)

1、初等函數(shù)

冪函數(shù)：y?xa(a?R)

指數(shù)函數(shù)y?ax(a?1且a?1)

對(duì)數(shù)函數(shù)：y?logax(a?0且a?1)

三角函數(shù)：sin x , cos x , tan x , cot x

反三角函數(shù)：arcsin x , arcos x , arctan x , arccot x2、性質(zhì)（定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性、有界性）

【注】奇偶性、單調(diào)性相對(duì)考察的可能性打，但一般不會(huì)單獨(dú)出題，常與其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合起來(lái)考察（比如與積分、導(dǎo)數(shù)結(jié)合）

二、函數(shù)極限

1． 數(shù)列極限

定義（略）

收斂性質(zhì)：極限的唯一性、極限的有界性、極限的保號(hào)性。

·類比數(shù)列極限，函數(shù)極限有唯一性、局部有界性、局部保號(hào)性。

單側(cè)極限（左極限、右極限）

【注】函數(shù)極限為每年的必考內(nèi)容，常見于客觀題中。一般為2~3題。

2． 兩個(gè)重要極限

（1）limsinx?1 x?0x

x類似得到：x→0時(shí)，x～ln(x+1)～arcsin x～arctan x～tan x（2）lim(1?x)?e x?0

類似得到：lim(1?)?elim(1?)?x??x??1xx

1xx1 e

·此處，需提及無(wú)窮大，無(wú)窮小的概念，希望讀者進(jìn)行自學(xué)。

三、函數(shù)的連續(xù)性

1． 概念：函數(shù)f(x)在x0處的連續(xù)（f(x)在x0點(diǎn)左連續(xù)、f(x)在x0點(diǎn)右連續(xù)）函數(shù)f(x)在開區(qū)間（a,b）上的連續(xù)

函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)

2． 函數(shù)的間斷點(diǎn)分類

● 跳躍式間斷點(diǎn)：函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的左右極限都存在但不相等。

● 函數(shù)在點(diǎn)x0的左右極限都存在且相等，但不等于該點(diǎn)的函數(shù)值（或函數(shù)值在該

點(diǎn)無(wú)定義）

● 振蕩間斷點(diǎn)：f(x)在點(diǎn)x0的左右極限至少有一個(gè)不存在。

3． 連續(xù)函數(shù)的和、積、商，初等函數(shù)的連續(xù)性

● 有限個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的和是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)。

● 有限個(gè)再某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的積是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)。

● 兩個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的商事一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)（分母在該點(diǎn)不為零）● 一切基本初等函數(shù)在定義域（或定義區(qū)間）上是連續(xù)的。

4． 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

●（最大、最小定理）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值。

●（有界性定理）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界。

●（零點(diǎn)定理）設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(hào)（即f(a)·f(b)<0），那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)。

● 介值定理：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)處取不同的函

數(shù)值f(a)=A及f(b)=B，那么，對(duì)于A與B之間的任意一個(gè)數(shù)C，在開區(qū)間(a,b)

內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使得f(b)=C(a<ξ

【注】函數(shù)的連續(xù)性，一般在客觀題目中出現(xiàn)，分值不大，一般1~2題。

典型例題分析

【例1】（2010年真題）（工程類）計(jì)算極限limx?sinx? x?0x?sinx

A.1B.-1C.0D.2sinx?1這一重要極限。如此，我們不難解x?0x

sinxsinx1?1?limx?sinxx?0??0。出該極限為0.即lim?limx?0x?sinxx?01?1?limx?0xx

x?cx)?e6,則常數(shù)c=_________?！纠?】（2010年真題）（工程類）設(shè)lim(x??x?c

1x1【解析】解決此類題目，我們要靈活運(yùn)用lim(1?)?。x??xe【解析】：解決此類題目，我們要深刻掌握l(shuí)im

2cxx?cx2cx

2?ccx?clim()?lim(1?)?limex??x?cx??x??x?c?2c1?c?e?2c?e6。則c=-3。

1???xsin,x?0【例3】（2009年真題）（工程類）設(shè)f(x)??若f(x)在點(diǎn)x=0處連續(xù)，則αx??0,x?0的取值范圍是

A．(-∞,+ ∞)B.[0,+ ∞]C.(0,+ ∞)D.(1,+ ∞)

【解析】函數(shù)f(x)為一個(gè)分段函數(shù)，要使其在點(diǎn)x=0處連續(xù)，只需limxsinx?0?1?0，不難x

發(fā)現(xiàn)x→0時(shí)，sin x 為有界的，我們只需滿足limx?0即可。易得，α>0。但α不能等于x?0?

0，否則limsinx?01?0。x

提高訓(xùn)練

1、求下列函數(shù)的定義域

（1）y?

（2）y?1 2x?2x

（3）y=lg(3x+1)

(4)y?1? 1?x22、判斷一下函數(shù)的奇偶性

ax?a?x

(1)y = tan x(2)y?a(3)y? 2x3、求下列函數(shù)的極限

1x3?4x2(1)lim(3x?1)(2)lim3(3)limxsinx?3x?0x?0x?xx

sin3x15sin2x(4)lim(5)lim(6)lim(1?)x?0x??x?01?cosxxx

?1?ex,x?0??

4、討論f(x)??0,x?0在x=0點(diǎn)的連續(xù)性。

x?05、證明方程x?3x?1至少有一個(gè)根介于1和2之間。

【答案】

1、（1）[-1,1](2)(-∞,0)∪(0,2)∪(2,+∞)(3)(-1/3,+∞)

(4)[-2,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)

2、（1）奇（2）非奇非偶（3）偶

3、（1）8（2）4（3）0（4）2（5）3（6）

14、連續(xù)

5、證明：記f(x)?x?3x?1，f(1)=-3<0,f(2)=25>0。由零點(diǎn)存在定理知，至少存在一個(gè)零點(diǎn)介于1和2之間。即方程x?3x?1在1和2之間至少有一個(gè)根。555

第三篇：極限的四則運(yùn)算函數(shù)的連續(xù)性

極限的四則運(yùn)算函數(shù)的連續(xù)性

極限的四則運(yùn)算，函數(shù)的連續(xù)性

二.教學(xué)重、難點(diǎn)： 1.函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)

2.函數(shù)在開區(qū)間，閉區(qū)間上連續(xù) 3.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

（1）若與在處連續(xù)，則，（）在處也連續(xù)。

（2）最大、最小值，若是[]上的連續(xù)函數(shù)，那么在上有最大值和最小值，最值可在端點(diǎn)處取得，也可以在內(nèi)取得。

【典型例題】 [例1] 求下列極限（1）（2）（3）（4）解：（1）原式（2）原式

（3）原式

（4）原式

[例2] 求下列各數(shù)列的極限（1）（2）（3）解：（1）原式（2）原式（3）原式

[例3] 已知數(shù)列是正數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，且滿足，其中是大于1的整數(shù)，是正數(shù)。

（1）求的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；（2）求的值。解：

（1）由已知得

∴ 是公比為的等比數(shù)列，則

（2）① 當(dāng)時(shí)，原式 ② 當(dāng)時(shí)，原式 ③ 當(dāng)時(shí)，原式

[例4] 判定下列函數(shù)在給定點(diǎn)處是否連續(xù)。（1）在處；（2），在處。解：（1），但

故函數(shù)在處不連續(xù)（2）函數(shù)在處有定義，但，即

故不存在，所以函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)。

[例5] 已知函數(shù)，試求：（1）的定義域，并畫出的圖象；（2）求，；

（3）在哪些點(diǎn)處不連續(xù)。解：

（1）當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，不存在 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即或時(shí)，∴

∴ 定義域?yàn)椋ǎǎ?，圖象如圖所示

（2）

∴ 不存在

（3）在及處不連續(xù)

∵ 在處無(wú)意義 時(shí)，即不存在∴ 在及處不連續(xù)

[例6] 證明方程至少有一個(gè)小于1的正根。證明：令，則在（0，1）上連續(xù)，且當(dāng)時(shí)。時(shí)，∴ 在（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)，使

即：至少有一個(gè)，滿足且，所以方程至少有一個(gè)小于1的正根。

[例7] 函數(shù)在區(qū)間（0，2）上是否連續(xù)？在區(qū)間[0，2]上呢？ 解：（且）任取，則

∴ 在（0，2）內(nèi)連續(xù)，但在處無(wú)定義 ∴ 在處不連續(xù)，從而在[0，2]上不連續(xù)

[例8] 假設(shè)，在上不連續(xù)，求的取值范圍。

解：若函數(shù)，在上連續(xù)，由函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的定義，必有，因?yàn)椋?，所以，若不連續(xù)，則且。

[例9] 設(shè)

（1）若在處的極限存在，求的值；（2）若在處連續(xù)，求的值。解：

（1），因?yàn)樵谔帢O限存在，所以，所以，即（2）因?yàn)樵谔庍B續(xù)，所以在處的極限存在，且，由（1）知，且，又，所以。

【模擬試題】 一.選擇題：

1.已知，則下列結(jié)論正確的是（）

A.B.不存在C.=1

D.= 2.的值為（）

A.5

B.4

C.7

D.0 3.的值為（）

A.1

B.0

C.D.4.的值為（）

A.B.C.1

D.5.若，則的取值范圍是（）

A.B.C.D.6.若在上處處連續(xù)，則常數(shù)等于（）

A.0

B.1

C.2

D.7.在點(diǎn)處連續(xù)是在點(diǎn)處連續(xù)的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

8.的不連續(xù)點(diǎn)是（）

A.無(wú)不連續(xù)點(diǎn)

B.C.D.二.解答題： 1.求下列極限：

（1）

（2）

（3）2.為常數(shù)，1，求。

3.已知

（1）在處是否連續(xù)？說(shuō)明理由；（2）討論在和上的連續(xù)性。

【試題答案】 一.1.B

2.C

3.C D

二.1.解：（1）（2）

① 當(dāng)時(shí)，∴

② 當(dāng)時(shí)，∴

③ 當(dāng)時(shí)，（3）2.解：∵

∴

∴，4.B

5.C

6.C

7.A

8.3.解：

（1）∵，則

∴

∵，且

∴

∵

∴ 不存在∴ 在處不連續(xù)（2）∵

∴ 在上是不連續(xù)函數(shù) ∵

∴ 在上是連續(xù)函數(shù)。

第四篇：函數(shù)的極限及函數(shù)的連續(xù)性典型例題

函數(shù)的極限及函數(shù)的連續(xù)性典型例題

一、重點(diǎn)難點(diǎn)分析：

①

此定理非常重要，利用它證明函數(shù)是否存在極限。② 要掌握常見的幾種函數(shù)式變形求極限。③ 函數(shù)f(x)在x=x0處連續(xù)的充要條件是在x=x0處左右連續(xù)。

。④ 計(jì)算函數(shù)極限的方法，若在x=x0處連續(xù)，則

⑤ 若函數(shù)在[a,b]上連續(xù)，則它在[a,b]上有最大值，最小值。

二、典型例題

例1．求下列極限

①

②

③

④

解析：①。

②。

③。

④。

例2．已知，求m,n。

解：由可知x2+mx+2含有x+2這個(gè)因式，∴ x=-2是方程x2+mx+2=0的根，∴ m=3代入求得n=-1。

例3．討論函數(shù)的連續(xù)性。

解析：函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,+∞)，由初等函數(shù)的連續(xù)性知，在非分界點(diǎn)處函數(shù)是連續(xù)的，又

∴

由

從而f(x)在點(diǎn)x=-1處不連續(xù)。

∴ f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上連續(xù)，x=-1為函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)。，∴ f(x)在x=1處連續(xù)。，例4．已知函數(shù)

試討論a,b為何值時(shí)，f(x)在x=0處連續(xù)。,(a,b為常數(shù))。

解析：∵

且，∴，∴ a=1, b=0。

例5．求下列函數(shù)極限

①

②

解析：①。

②。

例6．設(shè)

解析：∵

要使存在，只需，問(wèn)常數(shù)k為何值時(shí)，有存在？。，∴ 2k=1，故 時(shí)，存在。

例7．求函數(shù)

在x=-1處左右極限，并說(shuō)明在x=-1處是否有極限？

解析：由∵，∴ f(x)在x=-1處極限不存在。，三、訓(xùn)練題：

1．已知，則

2．的值是_______。

3.已知，則=______。

4．已知

5．已知，2a+b=0，求a與b的值。，求a的值。

參考答案：1.3

2.3.4.a=2, b=-45.a=0

第五篇：第十三章多元函數(shù)的極限和連續(xù)性

《數(shù)學(xué)分析（1，2，3）》教案

第十三章 多元函數(shù)的極限和連續(xù)性

§

1、平面點(diǎn)集

一 鄰域、點(diǎn)列的極限

定義1 在平面上固定一點(diǎn)M0?x0,y0?，凡是與M0的距離小于?的那些點(diǎn)M組成的平面點(diǎn)集，叫做M0的?鄰域，記為O?M0,??。

定義2 設(shè)Mn??xn,yn?，M0??x0,y0?。如果對(duì)M0的任何一個(gè)?鄰域O?M0,??，總存在正整數(shù)N，當(dāng)n?N時(shí)，有Mn?O?M0,??。就稱點(diǎn)列?Mn?收斂，并且收斂于

M0，記為limMn??n?M0或?xn,yn???x0,y0??n???。

性質(zhì)：（1）?xn,yn???x0,y0??xn?x0,yn?y0。（2）若?Mn?收斂，則它只有一個(gè)極限，即極限是唯一的。二 開集、閉集、區(qū)域

設(shè)E是一個(gè)平面點(diǎn)集。

1． 內(nèi)點(diǎn)：設(shè)M0?E，如果存在M0的一個(gè)?鄰域O?M0,??，使得O?M0,???E，就稱M0是E的內(nèi)點(diǎn)。2． 外點(diǎn)：設(shè)M1?E，如果存在M1的一個(gè)?鄰域O?M1,??，使得O?M1,???E??，就稱M1是E的外點(diǎn)。

3． 邊界點(diǎn)：設(shè)M*是平面上的一點(diǎn)，它可以屬于E，也可以不屬于E，如果對(duì)M*的任何?鄰域O?M*,??，其中既有E的點(diǎn)，又有非E中的點(diǎn)，就稱M*是E的邊界點(diǎn)。E的邊界點(diǎn)全體叫做E的邊界。4． 開集：如果E的點(diǎn)都是E的內(nèi)點(diǎn)，就稱E是開集。

5． 聚點(diǎn)：設(shè)M*是平面上的一點(diǎn)，它可以屬于E，也可以不屬于E，如果對(duì)M*的任何?鄰域O?M*,??，至少含有E中一個(gè)（不等于M*的）點(diǎn)，就稱M*是E的聚點(diǎn)。性質(zhì)：設(shè)M0是E的聚點(diǎn)，則在E中存在一個(gè)點(diǎn)列?Mn?以M0為極限。6． 閉集：設(shè)E的所有聚點(diǎn)都在E內(nèi)，就稱E是閉集。

7． 區(qū)域：設(shè)E是一個(gè)開集，并且E中任何兩點(diǎn)M1和M2之間都可以用有限條直線段所組成的折線連接起來(lái)，而這條折線全部含在E中，就稱E是區(qū)域。一個(gè)區(qū)域加上它的邊界就是一個(gè)閉區(qū)域。三平面點(diǎn)集的幾個(gè)基本定理

1．矩形套定理：設(shè)?an?x?bn,cn?y?dn?是矩形序列，其中每一個(gè)矩形都含在前一個(gè)矩形中，并且

13-1

《數(shù)學(xué)分析（1，2，3）》教案

bn?an?0，dn?cn?0，那么存在唯一的點(diǎn)屬于所有的矩形。

2.致密性定理：如果序列?Mn?xn,yn??有界，那么從其中必能選取收斂的子列。

3.有限覆蓋定理：若一開矩形集合???????x??,??y???覆蓋一有界閉區(qū)域。那么從???里，必可選出有限個(gè)開矩形，他們也能覆蓋這個(gè)區(qū)域。

N4．收斂原理：平面點(diǎn)列?Mn?有極限的充分必要條件是：對(duì)任何給定的??0，總存在正整數(shù)N，當(dāng)n,m?時(shí)，有r?Mn,Mm???。

§2 多元函數(shù)的極限和連續(xù)

一 多元函數(shù)的概念

不論在數(shù)學(xué)的理論問(wèn)題中還是在實(shí)際問(wèn)題中，許多量的變化，不只由一個(gè)因素決定，而是由多個(gè)因素決定。例如平行四邊行的面積A由它的相鄰兩邊的長(zhǎng)x和寬y以及夾角?所確定,即A?xysin?;圓柱體體積V由底半徑r和高h(yuǎn)所決定,即V??rh。這些都是多元函數(shù)的例子。

2一般地，有下面定義：

定義1 設(shè)E是R的一個(gè)子集，R是實(shí)數(shù)集，f是一個(gè)規(guī)律，如果對(duì)E中的每一點(diǎn)(x,y)，通過(guò)規(guī)律f，在R中有唯一的一個(gè)u與此對(duì)應(yīng)，則稱f是定義在E上的一個(gè)二元函數(shù)，它在點(diǎn)(x,y)的函數(shù)值是u，并記此值為f(x,y)，即u?f(x,y)。

有時(shí)，二元函數(shù)可以用空間的一塊曲面表示出來(lái)，這為研究問(wèn)題提供了直觀想象。例如，二元函數(shù)x?R22?x2?y2就是一個(gè)上半球面，球心在原點(diǎn)，半徑為R，此函數(shù)定義域?yàn)闈M足關(guān)系式x?y?R222222的x，y全體，即D?{(x,y)|x?y?R}。又如，Z?xy是馬鞍面。二 多元函數(shù)的極限

2定義2

設(shè)E是R的一個(gè)開集，A是一個(gè)常數(shù)，二元函數(shù)f?M??f(x,y)在點(diǎn)M0?x0,y0??E附近有定義．如果???0，???0，當(dāng)0?r?M,M0???時(shí)，有f(M)?A??，就稱A是二元函數(shù)在M0點(diǎn)的極限。記為limf?M??A或f?M??A?M?M0?。

M?M02定義的等價(jià)敘述1 設(shè)E是R的一個(gè)開集，A是一個(gè)常數(shù)，二元函數(shù)f?M??f(x,y)在點(diǎn)M0?x0,y0??E附近有定義．如果???0，???0，當(dāng)0??x?x0???y?y0???時(shí)，有f(x,y)?A??，就稱A是13-2

《數(shù)學(xué)分析（1，2，3）》教案

二元函數(shù)在M0點(diǎn)的極限。記為limf?M??A或f?M??A?M?M0?。

M?M02定義的等價(jià)敘述2 設(shè)E是R的一個(gè)開集，A是一個(gè)常數(shù)，二元函數(shù)f?M??f(x,y)在點(diǎn)M0?x0,y0??E附近有定義．如果???0，???0，當(dāng)0?x?x0??,0?y?y0??且?x,y???x0,y0?時(shí)，有

f0f(x,y)?A??，就稱A是二元函數(shù)在M0點(diǎn)的極限。記為limM?M?M??A或f?M??A?M?M0 ?。注：（1）和一元函數(shù)的情形一樣，如果limf(M)?A，則當(dāng)M以任何點(diǎn)列及任何方式趨于M0時(shí)，f(M)M?M0的極限是A；反之，M以任何方式及任何點(diǎn)列趨于M0時(shí)，f(M)的極限是A。但若M在某一點(diǎn)列或沿某一曲線?M0時(shí)，f(M)的極限為A，還不能肯定f(M)在M0的極限是A。所以說(shuō)，這里的“”或“”要比一元函數(shù)的情形復(fù)雜得多，下面舉例說(shuō)明。例：設(shè)二元函數(shù)f(x,y)?xyx2?y22，討論在點(diǎn)(0,0)的的二重極限。

例：設(shè)二元函數(shù)f(x,y)?2xyx2?y或2，討論在點(diǎn)(0,0)的二重極限是否存在。

??0,例：f(x,y)????1,x?y其它y?0，討論該函數(shù)的二重極限是否存在。

二元函數(shù)的極限較之一元函數(shù)的極限而言，要復(fù)雜得多，特別是自變量的變化趨勢(shì)，較之一元函數(shù)要復(fù)雜。例：limx??y??x?yx2?xy?ysinxyx2。

例：① limx?0y?0② lim(x?y)ln(x?y)③ lim(x?y)ex?0y?0x??y??2222222?(x?y)

例：求f(x,y)?xy3223x?y在（０，０）點(diǎn)的極限，若用極坐標(biāo)替換則為limrr?0coscos32?sin2?3??sin??0?（注意：cos3??sin?在??37?4時(shí)為０，此時(shí)無(wú)界）。

xyx22例：（極坐標(biāo)法再舉例）：設(shè)二元函數(shù)f(x,y)??y2，討論在點(diǎn)(0,0)的二重極限．

證明二元極限不存在的方法．

基本思想：根據(jù)重極限定義，若重極限存在，則它沿任何路徑的極限都應(yīng)存在且相等，故若１）某個(gè)特殊路徑的極限不存在；或２）某兩個(gè)特殊路徑的極限不等；３）或用極坐標(biāo)法，說(shuō)明極限與輻角有關(guān)． 例：f(x,y)?xyx2?y2在(0,0)的二重極限不存在．

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《數(shù)學(xué)分析（1，2，3）》教案

三

二元函數(shù)的連續(xù)性

定義3

設(shè)f?M?在M0點(diǎn)有定義，如果limf(M)?f(M0)，則稱f?M?在M0點(diǎn)連續(xù)．

M?M0“???語(yǔ)言”描述：???0,???0,當(dāng)0

????四 有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

有界性定理

若f?x,y?再有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則它在D上有界。一致連續(xù)性定理

若f?x,y?再有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則它在D上一致連續(xù)。

最大值最小值定理

若f?x,y?再有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則它在D上必有最大值和最小值。

nP0和P1是D內(nèi)任意兩點(diǎn)，f是D內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，零點(diǎn)存在定理

設(shè)D是R中的一個(gè)區(qū)域，如果f(P0)?0，????????f(P1)?0，則在D內(nèi)任何一條連結(jié)P0,P1的折線上，至少存在一點(diǎn)Ps，使f(Ps)?0。

五

二重極限和二次極限

在極限limf(x,y)中，兩個(gè)自變量同時(shí)以任何方式趨于x0,y0，這種極限也叫做重極限（二重極限）．此x?x0y?y0外，我們還要討論當(dāng)x,y先后相繼地趨于x0與y0時(shí)f(x,y)的極限．這種極限稱為累次極限（二次極限），其定義如下：

若對(duì)任一固定的y，當(dāng)x?x0時(shí)，f(x,y)的極限存在：limf(x,y)??(y),而?(y)在y?y0時(shí)的x?x0極限也存在并等于A，亦即lim?(y)?A，那么稱A為f(x,y)先對(duì)x，再對(duì)y的二次極限，記為y?y0limlimf(x,y)?A．

y?y0x?x0同樣可定義先y后x的二次極限：limlimf(x,y)．

x?x0y?y0上述兩類極限統(tǒng)稱為累次極限。

注意：二次極限（累次極限）與二重極限（重極限）沒(méi)有什么必然的聯(lián)系。例：（二重極限存在，但兩個(gè)二次極限不存在）．設(shè)

11?xsin?ysin?yxf(x,y)???0?x?0,y?0x?0ory?0

由f(x,y)?x?y 得limf(x,y)?0（兩邊夾）;由limsinx?0y?0y?01y不存在知f(x,y)的累次極限不存在。

例：（兩個(gè)二次極限存在且相等，但二重極限不存在）。設(shè)

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《數(shù)學(xué)分析（1，2，3）》教案

f(x,y)?xyx2?y2，(x,y)?(0,0)

由limlimf(x,y)?limlimf(x,y)?0知兩個(gè)二次極限存在且相等。但由前面知limf(x,y)不存在。

x?0y?0y?0x?0x?0y?0例：（兩個(gè)二次極限存在，但不相等）。設(shè)

f(x,y)xx22?y?y22，(x,y)?(0,0)

則 limlimf(x,y)?1，limlimf(x,y)??1;limlimf(x,y)?limlimf(x,y)（不可交換）

x?0y?0y?0x?0x?0y?0y?0x?0上面諸例說(shuō)明：二次極限存在與否和二重極限存在與否，二者之間沒(méi)有一定的關(guān)系。但在某些條件下，它們之間會(huì)有一些聯(lián)系。

定理1 設(shè)（1）二重極限limf(x,y)?A；（2）?y,y?y0，limf(x,y)??(y)。則

x?x0y?y0x?x0y?y0lim?(y)?limlimf(x,y)?A。

y?y0x?x0（定理1說(shuō)明：在重極限與一個(gè)累次極限都存在時(shí)，它們必相等。但并不意味著另一累次極限存在）。推論1

設(shè)（1）limf(x,y)?A；（2）?y,y?y0，limf(x,y)存在；（3）?x,x?x0，limf(x,y)x?x0y?y0x?x0y?y0存在；則limlimf(x,y)，limlimf(x,y)都存在，并且等于二重極限limf(x,y)。

y?y0x?x0x?x0y?y0x?x0y?y0推論2 若累次極限limlimf(x,y)與limlimf(x,y)存在但不相等，則重極限limf(x,y)必不存在（可x?x0y?y0y?y0x?x0x?x0y?y0用于否定重極限的存在性）。例：求函數(shù)f?x,y??xy22222xy??x?y?在?0,0?的二次極限和二重極限。

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