第一篇：三垂線定理及逆定理-高中數(shù)學(xué)知識(shí)口訣

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三垂線定理及逆定理

上海市同洲模范學(xué)校宋立峰

三垂線定理及逆定理

面內(nèi)直線面外點(diǎn)，過點(diǎn)引出兩直線； 斜線斜足定射影，斜垂射影必共面。面內(nèi)直線垂射影，該直線就垂斜線。面內(nèi)直線垂斜線，垂直射影來作伴。

三垂線定理

影垂不怕線斜(形影不離)

即:垂直射影垂斜線

三垂線定理逆定理

斜垂影隨其身(影隨其身)

即:垂直斜線垂射影

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第二篇：三垂線定理及其逆定理的練習(xí)課教案

三垂線定理及其逆定理的練習(xí)課教案

教學(xué)目標(biāo)

1．進(jìn)一步理解、記憶并應(yīng)用三垂線定理及其逆定理；

2．理解公式cosθ1·cosθ2＝cosθ的證明及其初步應(yīng)用；（課本第122頁第3題）

3．理解正方體的體對(duì)角線與其異面的面對(duì)角線互相垂直及其應(yīng)用； 4．了解課本第33頁第11題． 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

教學(xué)的重點(diǎn)是進(jìn)一步掌握三垂線定理及其逆定理并應(yīng)用它們來解有關(guān)的題．教學(xué)的難點(diǎn)是在講公式cosθ1·cosθ2＝cosθ應(yīng)用時(shí)比較θ2與θ的大?。?/p>

教學(xué)設(shè)計(jì)過程

師：上一節(jié)課我們講了三垂線定理及其逆定理的證明并初步應(yīng)用了這兩個(gè)定理來解一些有關(guān)的題．今天我們要進(jìn)一步應(yīng)用這兩個(gè)定理來解一些有關(guān)的題，先看例1．

例1 如圖1，AB和平面α所成的角是θ1；AC在平面α內(nèi)，BB′⊥平面α于B′，AC和AB的射影AB′成角θ2，設(shè)∠BAC＝θ．求證：

cosθ1·cosθ2＝cosθ．

師：這是要證明三個(gè)角θ，θ2和θ的余弦的關(guān)系，θ已經(jīng)在直角△ABB′中，我們能否先作出兩個(gè)直角三角形分別使θ2和θ是這兩個(gè)直角三角形中的銳角．

11生：作B′D⊥AC于D，連BD，則BD⊥AC于D．這時(shí)θ2是直角△B′DA中的一個(gè)銳角，θ是直角△ABD中的一個(gè)銳角．

師：剛才的表述是應(yīng)用三垂線定理及其逆定理時(shí)常常使用的“套話”，我們一定要很好理解并能熟練地應(yīng)用．現(xiàn)在已經(jīng)知道θ

1、θ2和θ分別在三個(gè)直角三角形中，根據(jù)三角函數(shù)中的余弦的定義分別寫出這三個(gè)角的余弦，再來證明這公式．

師：這個(gè)公式的證明是利用余弦的定義把它們轉(zhuǎn)化成鄰邊與斜邊的比，為此要先作出直角三角形，為了作出直角三角形我們應(yīng)用了三垂線定理．當(dāng)然也可用它的逆定理．

這個(gè)公式是在課本第121頁總復(fù)習(xí)參考題中的第3題．我們?yōu)槭裁匆崆爸v這個(gè)公式呢？講這個(gè)公式的目的是為了用這個(gè)公式，因?yàn)樵诮庠S多有關(guān)題時(shí)都要用到這公式．那我們要問在什么條件下可用這個(gè)公式？

生：因?yàn)棣?是斜線AB與平面α所成的角，所以只有當(dāng)圖形中出現(xiàn)斜線與平面所成的角時(shí)，才有可能考慮用這公式．

師：為了在使用這個(gè)公式時(shí)方便、易記，我們規(guī)定θ1表示斜線與平面所成的角，θ2是平面內(nèi)過斜足的一條射線與斜線射影所成的角，θ是這條射線與斜線所成的角．下面我們來研究一下這個(gè)公式的應(yīng)用．

應(yīng)用這個(gè)公式可解決兩類問題．

第一是求值．即已知這公式中的兩個(gè)角，即可求出第三個(gè)角或其余弦值． 例如：

θ＝60°，這時(shí)θ2＜θ；

當(dāng)θ1＝45°，θ2＝135°時(shí)，cosθ＝cos45°·cos135°＝

第二是比較θ2與θ的大小．因?yàn)槲覀円呀?jīng)規(guī)定θ1是斜線與平面所成的角，一定有0°＜θ1＜90°，它的大小不變，為了比較θ2與θ的大小，下面分三種情況進(jìn)行討論．

（1）θ2＝90°，因?yàn)棣?＝90°，所以cosθ2＝0，因此cosθ＝cosθ1·cosθ2＝0，故θ＝90°．當(dāng)θ＝90°時(shí)，我們也可以證明θ＝90°．

2一條直線如果和斜線的射影垂直，那么它就和斜線垂直．這就是三垂線定理．

一條直線如果和斜線垂直，那么它就和斜線的射影垂直．這就是三垂線定理的逆定理．

所以，我們可以這樣說，這個(gè)公式是三垂線定理及其逆定理的一般情況，而三垂線定理及其逆定理是這公式的特殊情況．

現(xiàn)在我們來研究在θ2是銳角時(shí)，θ2與θ的大?。?）0°＜θ2＜90°．

師：在這個(gè)條件下，我們?cè)鯓觼肀容^θ2與θ的大??？

生：因?yàn)?°＜θ1＜90°，所以0＜cosθ1＜1，又因?yàn)?°＜θ2＜90°，所以0＜cosθ2＜1．又因?yàn)閏osθ＝cosθ1·cosθ2，所以0＜cosθ1＜1，而且cosθ＝cosθ1·cosθ2＜cosθ2，在銳角條件下，余弦函數(shù)值大的它所對(duì)應(yīng)的角?。驭?＜θ．

師：現(xiàn)在我們來討論當(dāng)θ是鈍角時(shí)，θ2與θ的大?。?/p>

2（3）90°＜θ2＜180°．

在這個(gè)條件下，我們不再用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ做理論上的證明來比較θ2與θ的大小，而是一起來看模型（或圖形）．

我們假設(shè)θ2的鄰補(bǔ)角為θ′2，θ的鄰補(bǔ)角為θ′，即θ＋θ′2＝180°，θ＋θ′＝180°．在模型（或圖形）中我們可以看出當(dāng)θ2是鈍角時(shí)，θ也是鈍角，所以它們的兩個(gè)鄰補(bǔ)角θ′2和θ′都是銳角，由對(duì)第二種情況的討論我們

2知道θ′2＜θ′．由等量減不等量減去小的大于減去大的，所以由θ2＝180°－θ′2，θ＝180°－θ′，可得θ2＞θ．

根據(jù)以上討論現(xiàn)在小結(jié)如下：

當(dāng)θ2＝90°時(shí)，θ＝θ2＝90°，它們都是直角． 當(dāng)0°＜θ2＜90°時(shí)，θ2＜θ，它們都是銳角； 當(dāng)90°＜θ2＜180°時(shí)，θ2＞θ，它們都是鈍角．

關(guān)于公式cosθ1·cosθ2＝cosθ的應(yīng)用，今后還要隨著課程的進(jìn)展而反復(fù)提到．現(xiàn)在我們來看例2．

例2 如圖2，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：

（1）A1C⊥平面C1DB于G；（2）垂足G為正△C1DB的中心；（3）A1G＝2GC．

師：我們先來證明第（1）問．要證直線與平面垂直即要證什么？ 生：要證A1C與平面C1DB內(nèi)兩條相交的直線垂直． 師：我們先證A1C為什么與DB垂直？

生：連AC，對(duì)平面ABCD來說，A1A是垂線，A1C是斜線，AC是A1C在平面ABCD上的射影，因?yàn)锳C⊥DB（正方形的性質(zhì)），所以 A1C⊥DB．（三垂線定理）

同理可證A1C⊥BC1． 因?yàn)锳1C⊥平面C1DB（直線與平面垂直的判定理）

（在證A1C⊥BC1時(shí)，根據(jù)情況可詳、可略，如果學(xué)生對(duì)應(yīng)用三垂線定理還不太熟悉，則可讓學(xué)生把這證明過程再敘述一遍，因?yàn)檫@時(shí)是對(duì)平面B1BCC1來說，A1B1是垂線，A1C是斜線，B1C是A1C在平面B1BCC1上的射影，由B1C⊥BC1，得A1C⊥BC1）

師：現(xiàn)在來證第（2）問，垂足G為什么是正△C1DB的中心？

生：因?yàn)锳1B＝A1C1＝A1D，所以BG＝GC1＝DG，故G是正△C1DB的外心，正三角形四心合一，所以G是正△C1DB的中心．

師：現(xiàn)在來證第（3）問，我們注意看正方體的對(duì)角面A1ACC1，在這對(duì)角面內(nèi)有沒有相似三角形？

生：在正方體的對(duì)角面A1ACC1內(nèi)，由平面幾何可知△A1GC1∽△OGC，且A1C1∶OC＝A1G∶GC，所以A1G∶GC＝2∶1，因此A1G＝2GC．

師：例2是在正方體的體對(duì)角線與其異面的面對(duì)角線互相垂直引申而來，而例2也是一個(gè)基本的題型，對(duì)于以后證有關(guān)綜合題型時(shí)很有用．所以對(duì)例2的證明思路和有關(guān)結(jié)論，盡可能的理解、記?。F(xiàn)在我們來看例3．

例3 如圖3，已知：Rt△ABC在平面α內(nèi)，PC⊥平面α于C，D為斜邊AB的中點(diǎn)，CA＝6，CB＝8，PC＝12．求：

（1）P，D兩點(diǎn)間的距離；（2）P點(diǎn)到斜邊AB的距離．

師：現(xiàn)在先來解第（1）問，求P，D兩點(diǎn)間的距離．

師：現(xiàn)在我們來解第（2）問，求P點(diǎn)到AB邊的距離．

生：作PE⊥AB于E，連CE則CE⊥AB．（三垂線定理的逆定理）PE就是P點(diǎn)到AB邊的距離．

師：要求PE就要先求CE，CE是直角三角形ABC斜邊上的高，已知直角三角形的三邊如何求它斜邊上的高呢？

生：可用等積式CE·AB＝AC·CB，即斜邊上的高與斜邊的乘積等于兩直角邊的乘積．

師：這個(gè)等積式是怎樣證明的？

生：有兩種證法．因CE·AB是Rt△ABC面積的二倍，而AC·CB也是Rt△ABC面積的二倍，所以它們相等；也可用△BCE∽△ABC，對(duì)應(yīng)邊成比例推出這個(gè)等積式．

師：這個(gè)等積式很有用，根據(jù)這個(gè)等積式，我們可以由直角三角形的三邊求出斜邊上的高，這個(gè)等積式以后在求有關(guān)距離問題時(shí)會(huì)常常用到，所以要理解、記住、會(huì)用．現(xiàn)在就利用這等積式先求CE，再求PE．

師：通過這一題我們要區(qū)分兩種不同的距離概念及求法；在求點(diǎn)到直線距離時(shí)，經(jīng)常要用到三垂線定理或其道定理；在求直角三角形斜邊上的高時(shí)會(huì)利用上述的等積式來求斜邊上的高．現(xiàn)在我們來看例4．

例4 如圖4，已知：∠BAC在平面α內(nèi)，PO α，PO⊥平面α于O．如果∠PAB＝∠PAC．

求證：∠BAO＝∠CAO．

（這個(gè)例題就是課本第32頁習(xí)題四中的第11題．這個(gè)題也可以放在講完課本第30頁例1以后講．不論在講課本第30頁例1，還是在講這個(gè)例時(shí)，都應(yīng)先用模型作演示，使學(xué)生在觀察模型后，得出相關(guān)的結(jié)論，然后再進(jìn)行理論上的證明，這樣使學(xué)生對(duì)問題理解得具體、實(shí)在，因而效果也較好）

師：當(dāng)我們觀察了模型后，很容易就猜想到了結(jié)論．即斜線PA在平面α上的射線是∠BAC的角平分線所在的直線，現(xiàn)在想一想可以有幾種證法？

生：作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，連PD，PE，則PD⊥AB，PE⊥AC． 所以Rt△PAD≌Rt△PAE，因此PD＝PE，故OD＝OE，所以∠BAO＝∠CAO． 師：今天我們講了公式cosθ1·cosθ2＝cosθ．能否用這公式來證明這題．（利用這公式來證明這個(gè)題，完全是由學(xué)生想到的，當(dāng)然如果有的班學(xué)生成績較差，思路不活，也可做些必要的提示）

生：因?yàn)椤螾AO是斜線與平面α所成的角，所以可以考慮用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ．∠PAO相當(dāng)于θ1；∠PAB＝∠PAC它們都相當(dāng)于θ，由公式可得θ2＝θ′2，即∠BAO＝∠CAO．

師：今天我們是應(yīng)用三垂線定理及其逆定理來解這四個(gè)例題．例

1、例

2、例4是三個(gè)基本題．對(duì)這三個(gè)題一定要會(huì)證、記住、會(huì)用．關(guān)于這三個(gè)題的應(yīng)用，以后還會(huì)在講課過程中反復(fù)出現(xiàn)．在高考題中也曾用到．

作業(yè)

課本第33頁第13題． 補(bǔ)充題

1．已知：∠BSC＝90°，直線SA∩平面BSC＝S．∠ASB＝∠ASC＝60°，求：SA和平面BSC所成角的大?。?5°］

2．已知：AB是平面α的一斜線，B為斜足，AB＝a．直線AB與平面α所成的角等于θ，AB在平面α內(nèi)的射影A1B與平面α內(nèi)過B

3．已知：P為Rt△ABC所在平面外一點(diǎn)，∠ACB＝90°，P到直角頂點(diǎn)C的距離等于24，P到平面ABC的距離等于12，P到AC

4．已知：∠BAC在平面α內(nèi)，PA是平面α的斜線，∠BAC＝60°，∠PAB＝∠PAC＝45°．PA＝a，PO⊥平面α于O．PD⊥AC于D，PE⊥AB于E．求：

（1）PD的長；

課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明

1．如前所述，在學(xué)習(xí)過三垂線定理及其逆定理以后，教學(xué)要達(dá)到第二個(gè)“高潮”．也就是說要學(xué)生在這一學(xué)科的學(xué)習(xí)上攀登上第二個(gè)高峰．攀登第二個(gè)高峰要比攀登第一個(gè)高峰（求異面直線所成的角）要困難得多．因?yàn)轭}型較雜，知識(shí)面較廣，思路較活．這都給學(xué)習(xí)造成很大的困難．但是，也正是這種困難才能激發(fā)起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性．所以我不論是在北京師大二附中還是在北京九十二中教學(xué)時(shí)都安排了一節(jié)新課，三節(jié)到四節(jié)練習(xí)課，采用精講多練的方法，使學(xué)生見到的題型更多，解題的思路更活．使他們比較容易地登上新的高峰，從而使以后的學(xué)習(xí)較為順利．

2．在解每一個(gè)例題時(shí)，如何靈活地應(yīng)用三垂線定理及其逆定理是我們講課的重點(diǎn)，也是時(shí)刻要把握住的中心環(huán)節(jié)．特別是一個(gè)空間圖形有多個(gè)平面時(shí)，首先要找出“基準(zhǔn)平面”，也就是說對(duì)于哪一個(gè)平面來用三垂線定理或其逆定理，在“基準(zhǔn)平面”找出后，再找出“第一垂線”，也就是垂直“基準(zhǔn)平面”的直線，然后斜線、射影也就迎刃而解了．

3．在講練習(xí)課時(shí)，要講的例題很多，但一定要講下述四個(gè)基本題：（1）△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，PA⊥平面ABC．求證：BC⊥平面PAC．

（2）課本第122頁第3題．（3）課本第33頁第11題．

（4）正方體的體對(duì)角線與其異面的面對(duì)角線互相垂直． 因?yàn)樯鲜鏊膫€(gè)基本題和與之對(duì)應(yīng)的基本圖形常常包含于某些綜合題和與之對(duì)應(yīng)的綜合圖形之中，并且往往起著決定性作用．因此，在我們解一些綜合題時(shí)，通過觀察和分析，如果發(fā)現(xiàn)存在上述情況，就可以將它們化歸為上述基本題和與之對(duì)應(yīng)的基本圖形去解．這是在解立體幾何題時(shí)又一重要的化歸思想——“綜合圖形基本化”．（請(qǐng)參看《數(shù)學(xué)通報(bào)》1998年第2期《化歸方法與立體幾何教學(xué)》）

這四個(gè)基本題都是應(yīng)用三垂線定理與其逆定理解題典型．對(duì)這四個(gè)基本題和與之對(duì)應(yīng)的基本圖形，一定要讓學(xué)生會(huì)證、理解、掌握、記住．這樣才有可能應(yīng)用它們來解綜合題，這四個(gè)基本題是四個(gè)臺(tái)階，是向上攀登必不可缺的臺(tái)階． 4．為了利用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ來比較θ2與θ的大小，特選三題供老師們選用．

（1）二面角α-AB-β的平面角是銳角，C是α內(nèi)一點(diǎn)（它不在棱上），點(diǎn)D是C在β內(nèi)的射影，點(diǎn)E是棱AB上任一點(diǎn)，∠CEB為銳角，求證：∠BEC＞∠DEB．

（提示：∠CED相當(dāng)于θ1，∠DEB相當(dāng)于θ2，∠CEB相當(dāng)于θ，θ＞θ2）（2）在△ABC中，∠B，∠C是兩個(gè)銳角，BC在平面α內(nèi)，AA′⊥平面α于A′，A′ BC上，求證：∠BAC＜∠BA′C．

（提示：∠ABA′相當(dāng)于θ1，∠A′BC相當(dāng)于θ2，∠ABC相當(dāng)于θ，因?yàn)椤螦BC為銳角，所以∠A′BC也為銳角，故 θ＞θ2）

AC＝15，A1B＝5，A1C＝9．試比較這兩個(gè)三角形的內(nèi)角A和A1的大?。ㄌ崾荆河蒫os∠BAC＝cos∠BA1C，得∠BAC＝∠BA1C，又因?yàn)椤螦BC是鈍角，∠ABC＜∠A1BC，而∠ACB是銳角，∠ACB＞∠A1CB，所以才有可能得出∠BAC＝∠BA1C）

第三篇：高中數(shù)學(xué)知識(shí)口訣

高中數(shù)學(xué)知識(shí)口訣

根據(jù)多年的實(shí)踐，總結(jié)規(guī)律繁化簡；概括知識(shí)難變易，高中數(shù)學(xué)巧記憶。言簡意賅易上口，結(jié)合課本勝一籌。始生之物形必丑，拋磚引得白玉出。

一、《集合與函數(shù)》

內(nèi)容子交并補(bǔ)集，還有冪指對(duì)函數(shù)。性質(zhì)奇偶與增減，觀察圖象最明顯。復(fù)合函數(shù)式出現(xiàn)，性質(zhì)乘法法則辨，若要詳細(xì)證明它，還須將那定義抓。指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)，兩者互為反函數(shù)。底數(shù)非１的正數(shù)，１兩邊增減變故。函數(shù)定義域好求。分母不能等于０，偶次方根須非負(fù)，零和負(fù)數(shù)無對(duì)數(shù)； 正切函數(shù)角不直，余切函數(shù)角不平；其余函數(shù)實(shí)數(shù)集，多種情況求交集。兩個(gè)互為反函數(shù)，單調(diào)性質(zhì)都相同；圖象互為軸對(duì)稱，Ｙ＝Ｘ是對(duì)稱軸； 求解非常有規(guī)律，反解換元定義域；反函數(shù)的定義域，原來函數(shù)的值域。冪函數(shù)性質(zhì)易記，指數(shù)化既約分?jǐn)?shù)；函數(shù)性質(zhì)看指數(shù)，奇母奇子奇函數(shù)，奇母偶子偶函數(shù)，偶母非奇偶函數(shù)；圖象第一象限內(nèi)，函數(shù)增減看正負(fù)。

二、《三角函數(shù)》

三角函數(shù)是函數(shù)，象限符號(hào)坐標(biāo)注。函數(shù)圖象單位圓，周期奇偶增減現(xiàn)。同角關(guān)系很重要，化簡證明都需要。正六邊形頂點(diǎn)處，從上到下弦切割； 中心記上數(shù)字１，連結(jié)頂點(diǎn)三角形；向下三角平方和，倒數(shù)關(guān)系是對(duì)角，頂點(diǎn)任意一函數(shù)，等于后面兩根除。誘導(dǎo)公式就是好，負(fù)化正后大化小，變成稅角好查表，化簡證明少不了。二的一半整數(shù)倍，奇數(shù)化余偶不變，將其后者視銳角，符號(hào)原來函數(shù)判。兩角和的余弦值，化為單角好求值，余弦積減正弦積，換角變形眾公式。和差化積須同名，互余角度變名稱。計(jì)算證明角先行，注意結(jié)構(gòu)函數(shù)名，保持基本量不變，繁難向著簡易變。逆反原則作指導(dǎo)，升冪降次和差積。條件等式的證明，方程思想指路明。萬能公式不一般，化為有理式居先。公式順用和逆用，變形運(yùn)用加巧用； １加余弦想余弦，１ 減余弦想正弦，冪升一次角減半，升冪降次它為范；三角函數(shù)反函數(shù)，實(shí)質(zhì)就是求角度，先求三角函數(shù)值，再判角取值范圍； 利用直角三角形，形象直觀好換名，簡單三角的方程，化為最簡求解集；

三、《不等式》

解不等式的途徑，利用函數(shù)的性質(zhì)。對(duì)指無理不等式，化為有理不等式。高次向著低次代，步步轉(zhuǎn)化要等價(jià)。數(shù)形之間互轉(zhuǎn)化，幫助解答作用大。證不等式的方法，實(shí)數(shù)性質(zhì)威力大。求差與０比大小，作商和１爭高下。直接困難分析好，思路清晰綜合法。非負(fù)常用基本式，正面難則反證法。還有重要不等式，以及數(shù)學(xué)歸納法。圖形函數(shù)來幫助，畫圖建模構(gòu)造法。

四、《數(shù)列》

等差等比兩數(shù)列，通項(xiàng)公式Ｎ項(xiàng)和。兩個(gè)有限求極限，四則運(yùn)算順序換。數(shù)列問題多變幻，方程化歸整體算。數(shù)列求和比較難，錯(cuò)位相消巧轉(zhuǎn)換，取長補(bǔ)短高斯法，裂項(xiàng)求和公式算。歸納思想非常好，編個(gè)程序好思考： 一算二看三聯(lián)想，猜測證明不可少。還有數(shù)學(xué)歸納法，證明步驟程序化： 首先驗(yàn)證再假定，從 Ｋ向著K加１，推論過程須詳盡，歸納原理來肯定。

五、《復(fù)數(shù)》

虛數(shù)單位ｉ一出，數(shù)集擴(kuò)大到復(fù)數(shù)。一個(gè)復(fù)數(shù)一對(duì)數(shù)，橫縱坐標(biāo)實(shí)虛部。對(duì)應(yīng)復(fù)平面上點(diǎn)，原點(diǎn)與它連成箭。箭桿與Ｘ軸正向，所成便是輻角度。箭桿的長即是模，常將數(shù)形來結(jié)合。代數(shù)幾何三角式，相互轉(zhuǎn)化試一試。代數(shù)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)，有ｉ多項(xiàng)式運(yùn)算。ｉ的正整數(shù)次慕，四個(gè)數(shù)值周期現(xiàn)。一些重要的結(jié)論，熟記巧用得結(jié)果。虛實(shí)互化本領(lǐng)大，復(fù)數(shù)相等來轉(zhuǎn)化。利用方程思想解，注意整體代換術(shù)。幾何運(yùn)算圖上看，加法平行四邊形，減法三角法則判；乘法除法的運(yùn)算，逆向順向做旋轉(zhuǎn)，伸縮全年模長短。三角形式的運(yùn)算，須將輻角和模辨。利用棣莫弗公式，乘方開方極方便。輻角運(yùn)算很奇特，和差是由積商得。四條性質(zhì)離不得，相等和模與共軛，兩個(gè)不會(huì)為實(shí)數(shù)，比較大小要不得。復(fù)數(shù)實(shí)數(shù)很密切，須注意本質(zhì)區(qū)別。

六、《排列、組合、二項(xiàng)式定理》

加法乘法兩原理，貫穿始終的法則。與序無關(guān)是組合，要求有序是排列。兩個(gè)公式兩性質(zhì)，兩種思想和方法。歸納出排列組合，應(yīng)用問題須轉(zhuǎn)化。排列組合在一起，先選后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考慮。不重不漏多思考，捆綁插空是技巧。排列組合恒等式，定義證明建模試。關(guān)于二項(xiàng)式定理，中國楊輝三角形。兩條性質(zhì)兩公式，函數(shù)賦值變換式。

七、《立體幾何》

點(diǎn)線面三位一體，柱錐臺(tái)球?yàn)榇?。距離都從點(diǎn)出發(fā)，角度皆為線線成。垂直平行是重點(diǎn)，證明須弄清概念。線線線面和面面、三對(duì)之間循環(huán)現(xiàn)。方程思想整體求，化歸意識(shí)動(dòng)割補(bǔ)。計(jì)算之前須證明，畫好移出的圖形。立體幾何輔助線，常用垂線和平面。射影概念很重要，對(duì)于解題最關(guān)鍵。異面直線二面角，體積射影公式活。公理性質(zhì)三垂線，解決問題一大片。

八、《平面解析幾何》

有向線段直線圓，橢圓雙曲拋物線，參數(shù)方程極坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合稱典范。笛卡爾的觀點(diǎn)對(duì)，點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對(duì)，兩者—一來對(duì)應(yīng)，開創(chuàng)幾何新途徑。兩種思想相輝映，化歸思想打前陣；都說待定系數(shù)法，實(shí)為方程組思想。三種類型集大成，畫出曲線求方程，給了方程作曲線，曲線位置關(guān)系判。四件工具是法寶，坐標(biāo)思想?yún)?shù)好；平面幾何不能丟，旋轉(zhuǎn)變換復(fù)數(shù)求。解析幾何是幾何，得意忘形學(xué)不活。圖形直觀數(shù)入微，數(shù)學(xué)本是數(shù)形學(xué)。

第四篇：高中數(shù)學(xué)知識(shí)口訣

高中數(shù)學(xué)知識(shí)口訣

根據(jù)多年的實(shí)踐，總結(jié)規(guī)律繁化簡；概括知識(shí)難變易，高中數(shù)學(xué)巧記憶。言簡意賅易上口，結(jié)合課本勝一籌。始生之物形必丑，拋磚引得白玉出。

一、《集合與函數(shù)》

內(nèi)容子交并補(bǔ)集，還有冪指對(duì)函數(shù)。性質(zhì)奇偶與增減，觀察圖象最明顯。復(fù)合函數(shù)式出現(xiàn)，性質(zhì)乘法法則辨，若要詳細(xì)證明它，還須將那定義抓。指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)，兩者互為反函數(shù)。底數(shù)非１的正數(shù)，１兩邊增減變故。函數(shù)定義域好求。分母不能等于０，偶次方根須非負(fù)，零和負(fù)數(shù)無對(duì)數(shù)；正切函數(shù)角不直，余切函數(shù)角不平；其余函數(shù)實(shí)數(shù)集，多種情況求交集。兩個(gè)互為反函數(shù)，單調(diào)性質(zhì)都相同；圖象互為軸對(duì)稱，Ｙ＝Ｘ是對(duì)稱軸； 求解非常有規(guī)律，反解換元定義域；反函數(shù)的定義域，原來函數(shù)的值域。冪函數(shù)性質(zhì)易記，指數(shù)化既約分?jǐn)?shù)；函數(shù)性質(zhì)看指數(shù)，奇母奇子奇函數(shù)，奇母偶子偶函數(shù)，偶母非奇偶函數(shù)；圖象第一象限內(nèi)，函數(shù)增減看正負(fù)。

二、《三角函數(shù)》

三角函數(shù)是函數(shù)，象限符號(hào)坐標(biāo)注。函數(shù)圖象單位圓，周期奇偶增減現(xiàn)。同角關(guān)系很重要，化簡證明都需要。正六邊形頂點(diǎn)處，從上到下弦切割；中心記上數(shù)字１，連結(jié)頂點(diǎn)三角形；向下三角平方和，倒數(shù)關(guān)系是對(duì)角，頂點(diǎn)任意一函數(shù)，等于后面兩根除。誘導(dǎo)公式就是好，負(fù)化正后大化小，變成稅角好查表，化簡證明少不了。二的一半整數(shù)倍，奇數(shù)化余偶不變，將其后者視銳角，符號(hào)原來函數(shù)判。兩角和的余弦值，化為單角好求值，余弦積減正弦積，換角變形眾公式。和差化積須同名，互余角度變名稱。計(jì)算證明角先行，注意結(jié)構(gòu)函數(shù)名，保持基本量不變，繁難向著簡易變。逆反原則作指導(dǎo)，升冪降次和差積。條件等式的證明，方程思想指路明。萬能公式不一般，化為有理式居先。公式順用和逆用，變形運(yùn)用加巧用；１加余弦想余弦，１減余弦想正弦，冪升一次角減半，升冪降次它為范；三角函數(shù)反函數(shù)，實(shí)質(zhì)就是求角度，先求三角函數(shù)值，再判角取值范圍； 利用直角三角形，形象直觀好換名，簡單三角的方程，化為最簡求解集；

三、《不等式》

解不等式的途徑，利用函數(shù)的性質(zhì)。對(duì)指無理不等式，化為有理不等式。高次向著低次代，步步轉(zhuǎn)化要等價(jià)。數(shù)形之間互轉(zhuǎn)化，幫助解答作用大。證不等式的方法，實(shí)數(shù)性質(zhì)威力大。求差與０比大小，作商和１爭高下。直接困難分析好，思路清晰綜合法。非負(fù)常用基本式，正面難則反證法。還有重要不等式，以及數(shù)學(xué)歸納法。圖形函數(shù)來幫助，畫圖建模構(gòu)造法。

四、《數(shù)列》

等差等比兩數(shù)列，通項(xiàng)公式Ｎ項(xiàng)和。兩個(gè)有限求極限，四則運(yùn)算順序換。數(shù)列問題多變幻，方程化歸整體算。數(shù)列求和比較難，錯(cuò)位相消巧轉(zhuǎn)換，取長補(bǔ)短高斯法，裂項(xiàng)求和公式算。歸納思想非常好，編個(gè)程序好思考： 一算二看三聯(lián)想，猜測證明不可少。還有數(shù)學(xué)歸納法，證明步驟程序化：首先驗(yàn)證再假定，從Ｋ向著K加１，推論過程須詳盡，歸納原理來肯定。

五、《復(fù)數(shù)》

虛數(shù)單位ｉ一出，數(shù)集擴(kuò)大到復(fù)數(shù)。一個(gè)復(fù)數(shù)一對(duì)數(shù)，橫縱坐標(biāo)實(shí)虛部。對(duì)應(yīng)復(fù)平面上點(diǎn)，原點(diǎn)與它連成箭。箭桿與Ｘ軸正向，所成便是輻角度。箭桿的長即是模，常將數(shù)形來結(jié)合。代數(shù)幾何三角式，相互轉(zhuǎn)化試一試。代數(shù)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)，有ｉ多項(xiàng)式運(yùn)算。ｉ的正整數(shù)次慕，四個(gè)數(shù)值周期現(xiàn)。一些重要的結(jié)論，熟記巧用得結(jié)果。虛實(shí)互化本領(lǐng)大，復(fù)數(shù)相等來轉(zhuǎn)化。利用方程思想解，注意整體代換術(shù)。幾何運(yùn)算圖上看，加法平行四邊形，減法三角法則判；乘法除法的運(yùn)算，逆向順向做旋轉(zhuǎn)，伸縮全年模長短。三角形式的運(yùn)算，須將輻角和模辨。利用棣莫弗公式，乘方開方極方便。輻角運(yùn)算很奇特，和差是由積商得。四條性質(zhì)離不得，相等和模與共軛，兩個(gè)不會(huì)為實(shí)數(shù)，比較大小要不得。復(fù)數(shù)實(shí)數(shù)很密切，須注意本質(zhì)區(qū)別。

六、《排列、組合、二項(xiàng)式定理》

加法乘法兩原理，貫穿始終的法則。與序無關(guān)是組合，要求有序是排列。兩個(gè)公式兩性質(zhì)，兩種思想和方法。歸納出排列組合，應(yīng)用問題須轉(zhuǎn)化。排列組合在一起，先選后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考慮。不重不漏多思考，捆綁插空是技巧。排列組合恒等式，定義證明建模試。關(guān)于二項(xiàng)式定理，中國楊輝三角形。兩條性質(zhì)兩公式，函數(shù)賦值變換式。

七、《立體幾何》

點(diǎn)線面三位一體，柱錐臺(tái)球?yàn)榇怼＞嚯x都從點(diǎn)出發(fā)，角度皆為線線成。垂直平行是重點(diǎn)，證明須弄清概念。線線線面和面面、三對(duì)之間循環(huán)現(xiàn)。方程思想整體求，化歸意識(shí)動(dòng)割補(bǔ)。計(jì)算之前須證明，畫好移出的圖形。立體幾何輔助線，常用垂線和平面。射影概念很重要，對(duì)于解題最關(guān)鍵。異面直線二面角，體積射影公式活。公理性質(zhì)三垂線，解決問題一大片。

八、《平面解析幾何》

有向線段直線圓，橢圓雙曲拋物線，參數(shù)方程極坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合稱典范。笛卡爾的觀點(diǎn)對(duì)，點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對(duì)，兩者—一來對(duì)應(yīng)，開創(chuàng)幾何新途徑。兩種思想相輝映，化歸思想打前陣；都說待定系數(shù)法，實(shí)為方程組思想。三種類型集大成，畫出曲線求方程，給了方程作曲線，曲線位置關(guān)系判。四件工具是法寶，坐標(biāo)思想?yún)?shù)好；平面幾何不能丟，旋轉(zhuǎn)變換復(fù)數(shù)求。解析幾何是幾何，得意忘形學(xué)不活。圖形直觀數(shù)入微，數(shù)學(xué)本是數(shù)形學(xué)。

中學(xué)數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)解題方法

數(shù)學(xué)的解題方法是隨著對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的研究的深入而發(fā)展起來的。教師鉆研習(xí)題、精通解題方法，可以促進(jìn)教師進(jìn)一步熟練地掌握中學(xué)數(shù)學(xué)教材，練好解題的基本功，提高解題技巧，積累教學(xué)資料，提高業(yè)務(wù)水平和教學(xué)能力。下面介紹的解題方法，都是初中數(shù)學(xué)中最常用的，有些方法也是中學(xué)教學(xué)大綱要求掌握的。

1、配方法 所謂配方，就是把一個(gè)解析式利用恒等變形的方法，把其中的某些項(xiàng)配成一個(gè)或幾個(gè)多項(xiàng)式正整數(shù)次冪的和形式。通過配方解決數(shù)學(xué)問題的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是數(shù)學(xué)中一種重要的恒等變形的方法，它的應(yīng)用十分非常廣泛，在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函數(shù)的極值和解析式等方面都經(jīng)常用到它。

2、因式分解法 因式分解，就是把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積的形式。因式分解是恒等變形的基礎(chǔ)，它作為數(shù)學(xué)的一個(gè)有力工具、一種數(shù)學(xué)方法在代數(shù)、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許多，除中學(xué)課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外，還有如利用拆項(xiàng)添項(xiàng)、求根分解、換元、待定系數(shù)等等。

3、換元法 換元法是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要而且應(yīng)用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元，所謂換元法，就是在一個(gè)比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子中，用新的變?cè)ゴ嬖降囊粋€(gè)部分或改造原來的式子，使它簡化，使問題易于解決。

4、判別式法與韋達(dá)定理 一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c屬于R，a≠0）根的判別，△=b2-4ac，不僅用來判定根的性質(zhì)，而且作為一種解題方法，在代數(shù)式變形，解方程(組)，解不等式，研究函數(shù)乃至幾何、三角運(yùn)算中都有非常廣泛的應(yīng)用。韋達(dá)定理除了已知一元二次方程的一個(gè)根，求另一根；已知兩個(gè)數(shù)的和與積，求這兩個(gè)數(shù)等簡單應(yīng)用外，還可以求根的對(duì)稱函數(shù)，計(jì)論二次方程根的符號(hào)，解對(duì)稱方程組，以及解一些有關(guān)二次曲線的問題等，都有非常廣泛的應(yīng)用。

5、待定系數(shù)法 在解數(shù)學(xué)問題時(shí)，若先判斷所求的結(jié)果具有某種確定的形式，其中含有某些待定的系數(shù)，而后根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于待定系數(shù)的等式，最后解出這些待定系數(shù)的值或找到這些待定系數(shù)間的某種關(guān)系，從而解答數(shù)學(xué)問題，這種解題方法稱為待定系數(shù)法。它是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的方法之一。

6、構(gòu)造法 在解題時(shí)，我們常常會(huì)采用這樣的方法，通過對(duì)條件和結(jié)論的分析，構(gòu)造輔助元素，它可以是一個(gè)圖形、一個(gè)方程(組)、一個(gè)等式、一個(gè)函數(shù)、一個(gè)等價(jià)命題等，架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數(shù)學(xué)方法，我們稱為構(gòu)造法。運(yùn)用構(gòu)造法解題，可以使代數(shù)、三角、幾何等各種數(shù)學(xué)知識(shí)互相滲透，有利于問題的解決。

7、反證法 反證法是一種間接證法，它是先提出一個(gè)與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，然后，從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致矛盾，從而否定相反的假設(shè)，達(dá)到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結(jié)論的反面只有一種)與窮舉反證法(結(jié)論的反面不只一種)。用反證法證明一個(gè)命題的步驟，大體上分為：

(1)反設(shè)；(2)歸謬；(3)結(jié)論。反設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，為了正確地作出反設(shè)，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一個(gè)/一個(gè)也沒有；至少有n個(gè)/至多有(n一1)個(gè)；至多有一個(gè)/至少有兩個(gè)；唯一/至少有兩個(gè)。歸謬是反證法的關(guān)鍵，導(dǎo)出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設(shè)出發(fā)，否則推導(dǎo)將成為無源之水，無本之木。推理必須嚴(yán)謹(jǐn)。導(dǎo)出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設(shè)矛盾；自相矛盾。

8、面積法平面幾何中講的面積公式以及由面積公式推出的與面積計(jì)算有關(guān)的性質(zhì)定理，不僅可用于計(jì)算面積，而且用它來證明平面幾何題有時(shí)會(huì)收到事半功倍的效果。運(yùn)用面積關(guān)系來證明或計(jì)算平面幾何題的方法，稱為面積方法，它是幾何中的一種常用方法。用歸納法或分析法證明平面幾何題，其困難在添置輔助線。面積法的特點(diǎn)是把已知和未知各量用面積公式聯(lián)系起來，通過運(yùn)算達(dá)到求證的結(jié)果。所以用面積法來解幾何題，幾何元素之間關(guān)系變成數(shù)量之間的關(guān)系，只需要計(jì)算，有時(shí)可以不添置補(bǔ)助線，即使需要添置輔助線，也很容易考慮到。

9、幾何變換法 在數(shù)學(xué)問題的研究中，常常運(yùn)用變換法，把復(fù)雜性問題轉(zhuǎn)化為簡單性的問題而得到解決。所謂變換是一個(gè)集合的任一元素到同一集合的元素的一個(gè)一一映射。中學(xué)數(shù)學(xué)中所涉及的變換主要是初等變換。有一些看來很難甚至于無法下手的習(xí)題，可以借助幾何變換法，化繁為簡，化難為易。另一方面，也可將變換的觀點(diǎn)滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中。將圖形從相等靜止條件下的研究和運(yùn)動(dòng)中的研究結(jié)合起來，有利于對(duì)圖形本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。幾何變換包括：（1）平移；（2）旋轉(zhuǎn)；（3）對(duì)稱。

10.客觀性題的解題方法 選擇題是給出條件和結(jié)論，要求根據(jù)一定的關(guān)系找出正確答案的一類題型。選擇題的題型構(gòu)思精巧，形式靈活，可以比較全面地考察學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，從而增大了試卷的容量和知識(shí)覆蓋面。填空題是標(biāo)準(zhǔn)化考試的重要題型之一，它同選擇題一樣具有考查目標(biāo)明確，知識(shí)復(fù)蓋面廣，評(píng)卷準(zhǔn)確迅速，有利于考查學(xué)生的分析判斷能力和計(jì)算能力等優(yōu)點(diǎn)，不同的是填空題未給出答案，可以防止學(xué)生猜估答案的情況。要想迅速、正確地解選擇題、填空題，除了具有準(zhǔn)確的計(jì)算、嚴(yán)密的推理外，還要有解選擇題、填空題的方法與技巧。下面通過實(shí)例介紹常用方法。（1）直接推演法：直接從命題給出的條件出發(fā)，運(yùn)用概念、公式、定理等進(jìn)行推理或運(yùn)算，得出結(jié)論，選擇正確答案，這就是傳統(tǒng)的解題方法，這種解法叫直接推演法。（2）驗(yàn)證法：由題設(shè)找出合適的驗(yàn)證條件，再通過驗(yàn)證，找出正確答案，亦可將供選擇的答案代入條件中去驗(yàn)證，找出正確答案，此法稱為驗(yàn)證法（也稱代入法）。當(dāng)遇到定量命題時(shí)，常用此法。（3）特殊元素法：用合適的特殊元素（如數(shù)或圖形）代入題設(shè)條件或結(jié)論中去，從而獲得解答。這種方法叫特殊元素法。（4）排除、篩選法：對(duì)于正確答案有且只有一個(gè)的選擇題，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)或推理、演算，把不正確的結(jié)論排除，余下的結(jié)論再經(jīng)篩選，從而作出正確的結(jié)論的解法叫排除、篩選法。（5）圖解法：借助于符合題設(shè)條件的圖形或圖象的性質(zhì)、特點(diǎn)來判斷，作出正確的選擇稱為圖解法。圖解法是解選擇題常用方法之一。（6）分析法：直接通過對(duì)選擇題的條件和結(jié)論，作詳盡的分析、歸納和判斷，從而選出正確的結(jié)果，稱為分析法。

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有妙法

往往有同學(xué)進(jìn)入高中以后不能適應(yīng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，進(jìn)而影響到學(xué)習(xí)的積極性，甚至成績一落千丈。為什么會(huì)這樣呢？讓我們先看看高中數(shù)學(xué)和初中數(shù)學(xué)有些什么樣的轉(zhuǎn)變吧。

一、高中數(shù)學(xué)的特點(diǎn)

1、理論加強(qiáng)

2、課程增多

3、難度增大

4、要求提高

二、掌握數(shù)學(xué)思想

高中數(shù)學(xué)從學(xué)習(xí)方法和思想方法上更接近于高等數(shù)學(xué)。學(xué)好它，需要我們從方法論的高度來掌握它。我們?cè)谘芯繑?shù)學(xué)問題時(shí)要經(jīng)常運(yùn)用唯物辯證的思想去解決數(shù)學(xué)問題。數(shù)學(xué)思想，實(shí)質(zhì)上就是唯物辯證法在數(shù)學(xué)中的運(yùn)用的反映。中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要重點(diǎn)掌握的的數(shù)學(xué)思想有以上幾個(gè)：集合與對(duì)應(yīng)思想，初步公理化思想，數(shù)形結(jié)合思想，運(yùn)動(dòng)思想，轉(zhuǎn)化思想，變換思想。

例如，數(shù)列、一次函數(shù)、解析幾何中的直線幾個(gè)概念都可以用函數(shù)（特殊的對(duì)應(yīng)）的概念來統(tǒng)一。又比如，數(shù)、方程、不等式、數(shù)列幾個(gè)概念也都可以統(tǒng)一到函數(shù)概念。

數(shù)學(xué)思想方法與解題技巧是不同的，在證明或求解中，運(yùn)用歸納、演繹、換元等方法解題問題可以說是解題的技術(shù)性問題，而數(shù)學(xué)思想是解題時(shí)帶有指導(dǎo)性的普遍思想方法。在解一道題時(shí)，從整體考慮，應(yīng)如何著手，有什么途徑？就是在數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)下的普遍性問題。

有了數(shù)學(xué)思想以后，還要掌握具體的方法，比如：換元、待定系數(shù)、數(shù)學(xué)歸納法、分析法、綜合法、反證法等等。只有在解題思想的指導(dǎo)下，靈活地運(yùn)用具體的解題方法才能真正地學(xué)好數(shù)學(xué)，僅僅掌握具體的操

作方法，而沒有從解題思想的角度考慮問題，往往難于使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)入更高的層次，會(huì)為今后進(jìn)入大學(xué)深造帶來很有麻煩。

在具體的方法中，常用的有：觀察與實(shí)驗(yàn)，聯(lián)想與類比，比較與分類，分析與綜合，歸納與演繹，一般與特殊，有限與無限，抽象與概括等。

要打贏一場戰(zhàn)役，不可能只是勇猛沖殺、一不怕死二不怕苦就可以打贏的，必須制訂好事關(guān)全局的戰(zhàn)術(shù)和策略問題。解數(shù)學(xué)題時(shí)，也要注意解題思維策略問題，經(jīng)常要思考：選擇什么角度來進(jìn)入，應(yīng)遵循什么原則性的東西。一般地，在解題中所采取的總體思路，是帶有原則性的思想方法，是一種宏觀的指導(dǎo)，一般性的解決方案。

中學(xué)數(shù)學(xué)中經(jīng)常用到的數(shù)學(xué)思維策略有：以簡馭繁、數(shù)形結(jié)全、進(jìn)退互用、化生為熟、正難則反、倒順相還、動(dòng)靜轉(zhuǎn)換、分合相輔。

如果有了正確的數(shù)學(xué)思想方法，采取了恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思維策略，又有了豐富的經(jīng)驗(yàn)和扎實(shí)的基本功，一定可以學(xué)好高中數(shù)學(xué)。

三、學(xué)習(xí)方法的改進(jìn)

身處應(yīng)試教育的怪圈，每個(gè)教師和學(xué)生都不由自主地陷入“題海”之中，教師拍心某種題型沒講，高考時(shí)做不出，學(xué)生怕少做一道題，萬一考了損失太慘重，在這樣一種氛圍中，往往忽視了學(xué)習(xí)方法的培養(yǎng)，每個(gè)學(xué)生都有自己的方法，但什么樣的學(xué)習(xí)方法才是正確的方法呢？是不是一定要“博覽群題”才能提高水平呢？

現(xiàn)實(shí)告訴我們，大膽改進(jìn)學(xué)習(xí)方法，這是一個(gè)非常重大的問題。

（一）學(xué)會(huì)聽、讀

我們每天在學(xué)校里都在聽老師講課，閱讀課本或者資料，但我們聽和讀對(duì)不對(duì)呢？

讓我們從聽（聽講、課堂學(xué)習(xí)）和讀（閱讀課本和相關(guān)資料）兩方面來談?wù)劙伞?/p>

學(xué)生學(xué)習(xí)的知識(shí)，往往是間接的知識(shí)，是抽象化、形式化的知識(shí)，這些知識(shí)是在前人探索和實(shí)踐的基礎(chǔ)上提煉出來的，一般不包含探索和思維的過程。因此必須聽好老師講課，集中注意力，積極思考問題。弄清講得內(nèi)容是什么？怎么分析？理由是什么？采用什么方法？還有什么疑問？只有這樣，才可能對(duì)教學(xué)內(nèi)容有所理解。

聽講的過程不是一個(gè)被動(dòng)參預(yù)的過程，在聽講的前提下，還要展開來分析：這里用了什么思想方法，這樣做的目的是什么？為什么老師就能想到最簡捷的方法？這個(gè)題有沒有更直接的方法？

“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆”，在聽講的過程中一定要有積極的思考和參預(yù)，這樣才能達(dá)到最高的學(xué)習(xí)效率。

閱讀數(shù)學(xué)教材也是掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的非常重要的方法。只有真正閱讀和數(shù)學(xué)教材，才能較好地掌握數(shù)學(xué)語言，提高自學(xué)能力。一定要改變只做題不看書，把課本當(dāng)成查公式的辭典的不良傾向。閱讀課本，也要爭取老師的指導(dǎo)。閱讀當(dāng)天的內(nèi)容或一個(gè)單元一章的內(nèi)容，都要通盤考慮，要有目標(biāo)。

比如，學(xué)習(xí)反正弦函數(shù)，從知識(shí)上來講，通過閱讀，應(yīng)弄請(qǐng)以下幾個(gè)問題：

(1)是不是每個(gè)函數(shù)都有反函數(shù)，如果不是，在什么情況下函數(shù)有反函數(shù)？

（2）正弦函數(shù)在什么情況下有反函數(shù)？若有，其反函數(shù)如何表示？

（3）正弦函數(shù)的圖象與反正弦函數(shù)的圖象是什么關(guān)系？

（4）反正弦函數(shù)有什么性質(zhì)？

（5）如何求反正弦函數(shù)的值？

（二）學(xué)會(huì)思考

愛因斯坦曾說：“發(fā)展獨(dú)立思考和獨(dú)立判斷的一般能力應(yīng)當(dāng)始終放在首位”，勤于思考，善于思考，是對(duì)我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)提出的最基本的要求。一般來說，要盡力做到以下兩點(diǎn)。

1、善于發(fā)現(xiàn)問題和提出問題

2、善于反思與反求

第五篇：三垂線定理說課

三垂線定理說課

一 關(guān)于教材分析方面

高一《立體幾何》中的“三垂線定理”是安排在“直線與平面的垂直的判定與性質(zhì)”后進(jìn)行學(xué)習(xí)的。它是線面垂直性質(zhì)的延伸。利用三垂線定理及其逆定理，可把判斷空間兩直線的垂直問題轉(zhuǎn)化為判斷平面上兩直線的垂直問題：也可以把判斷平面上兩直線的垂直問題，轉(zhuǎn)化為判斷空間兩直線的垂直問題，它是證明空間兩直線垂直的主要依據(jù)，在立體幾何中有核心定理的作用。根據(jù)教學(xué)大綱的要求和加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的素質(zhì)教育，培養(yǎng)學(xué)生基本能力的需要，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，我認(rèn)為本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)有三個(gè)：

1理解和掌握三垂線定理及其逆定理的內(nèi)容、證明和應(yīng)用。

2、通過對(duì)定理的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想和論證數(shù)學(xué)問題的能力。

3、培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理證明的能力和相互轉(zhuǎn)化的思想。

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為定理的理解和應(yīng)用。針對(duì)學(xué)生剛學(xué)立體幾何空間想象能力不夠強(qiáng)，識(shí)圖和分析問題的能力較弱的實(shí)際情況，我確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為如何在具體圖形中找出適合三垂線定理（或逆定理）的直線和平面。

二 關(guān)于教法和學(xué)法方面

為使學(xué)生深刻理解定理，靈活應(yīng)用定理，并培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)基本能力，我根據(jù)教與學(xué)的實(shí)際情況，確定了以學(xué)生為主體，教師主導(dǎo)為原則，以“形成命題 證明命題 剖析命題 應(yīng)用命題”為主線組織教學(xué)。用提問法創(chuàng)設(shè)情景，激發(fā)學(xué)生的思維積極性，通過觀察、猜想、歸納總結(jié)、邏輯論證等手段，講練結(jié)合的方式，幫助學(xué)生掌握教材的重點(diǎn)。通過從模型到圖形，從簡單到復(fù)雜，從具體到抽象的方法，引導(dǎo)學(xué)生觀察分析圖形，剖析定理，抓住主要矛盾，總結(jié)出定理應(yīng)用規(guī)律和方法，幫助學(xué)生突破教學(xué)難點(diǎn)。達(dá)到靈活應(yīng)用定理的目的，具體的措施將體現(xiàn)于教學(xué)的全過程之中。

三 關(guān)于教學(xué)過程

為了達(dá)到上述各項(xiàng)教學(xué)目標(biāo)，我是按下面的程序，有目的地實(shí)施教學(xué)的：

1.復(fù)習(xí)提問。因?yàn)槠矫娴拇咕€、平面的斜線及射影是三垂線定理的基礎(chǔ)，直線與平面垂直的判定與性質(zhì)又是證明三垂線定理的基本方法，因此我用提問的形式讓學(xué)生溫故知新，作好新課的鋪墊。

2.有意設(shè)疑，引入新課。為了喚起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，把學(xué)生的注意力集中起來，調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維積極性，我通過提出問題，創(chuàng)設(shè)情景，引導(dǎo)學(xué)生觀察、猜想，發(fā)現(xiàn)新的知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的探索能力。主要分下面幾個(gè)步驟進(jìn)行：

(1).設(shè)問：根據(jù)直線和平面垂直的定義，我們知道，平面內(nèi)的任意一條直線都和平面的垂線垂直。我們想一想，平面內(nèi)的任意一條直線是否也都和平面的一條斜線垂直呢？

(2).學(xué)生思考后，我再引導(dǎo)學(xué)生利用三角板和直尺在桌面上搭建模型（如圖），使直尺與三角板的斜邊垂直，引導(dǎo)學(xué)生猜想發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

經(jīng)過實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)直尺與三角板在平面內(nèi)的直角邊垂直時(shí)便與

斜邊垂直。

(3).設(shè)問：如果直尺在平面內(nèi)移動(dòng)到其它位置，那么直尺與三角板的斜邊是否仍垂直呢？學(xué)生 根據(jù)

“兩異面直線所成的角”的定理很快得到了垂直的結(jié)論。

(4)我再啟發(fā)學(xué)生把猜想、實(shí)驗(yàn)后得到的結(jié)論總結(jié)出來，表達(dá)成數(shù)學(xué)命題：

平面內(nèi)的一條直線如果和平面的斜線的射影垂直，那么就和平面的這條斜線垂直（板書）

3.（1）證明命題。通過對(duì)猜想得到的命題的論證，加深學(xué)生對(duì)命題內(nèi)容的認(rèn)識(shí)，使學(xué)生的思維提高到演繹推理的水平上來。我通過啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考討論后再進(jìn)行歸納小結(jié)，幫助學(xué)生理清證明的基本思路，培養(yǎng)學(xué)生相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。具體體現(xiàn)為思路：要證線線垂直 線面垂直 線線垂直（平面外一直線與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直），具體證明過程由學(xué)生自己完成。

（2）.利用命題變換，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，進(jìn)一步深化對(duì)定理的學(xué)習(xí)和理解。我把命題中的已知條件“斜線的射影”與結(jié)論中的“斜線”相對(duì)換，得到新的命題：

平面內(nèi)的一條直線如果和平面的斜線垂直，那么它就和斜線的射影垂直（板書）通過對(duì)比啟發(fā)，學(xué)生輕而易舉地掌握了新命題的內(nèi)容和證明。

（3）.利用列表對(duì)比教學(xué)法，強(qiáng)化對(duì)三垂線定理及其逆定理內(nèi)容的理解和記憶。

4.剖析命題

為了加深對(duì)定理的理解，為靈活應(yīng)用定理奠定基礎(chǔ)，幫助學(xué)生化解難點(diǎn)，我通過設(shè)問的方式啟發(fā)學(xué)生積極思維，經(jīng)學(xué)生討論后再總結(jié)，揭示定理的應(yīng)用方法：

（1）.三垂線定理及其逆定理的內(nèi)容反映了“四線一面”的相互關(guān)系，當(dāng)平面的垂線和斜線確定后，斜線在平面的射影也可確定，如果在平面內(nèi)能找到一條直線，它與斜線的射影垂直（或與斜線垂直），那么它就與斜線垂直（或與斜線射影垂直）。

（2）.通過教具演示、圖形分析、設(shè)問啟發(fā)后，我再對(duì)靈活應(yīng)用定理的程序進(jìn)行總結(jié)，使學(xué)生對(duì)應(yīng)用定理有章可循，便于操作，提高學(xué)生應(yīng)用定理的自覺性和

效率。大部分學(xué)生對(duì)程序：“一找垂、面，二找斜線，三定射影，四證直線”理解深刻，掌握牢固，具體內(nèi)容為：

二找斜線：接著確定平面的斜線：

一找垂面：即先確定平面及平面的垂線：

三定射影：由上面的垂足和斜足確定斜線的射影；

四證直線：即在平面內(nèi)證明某一條直線與平面的斜線或斜線的射影垂直。（板書）

5應(yīng)用命題

為了培養(yǎng)學(xué)生靈活應(yīng)用定理的能力，幫助學(xué)生掌握重點(diǎn)，化解難點(diǎn)，我精選了兩條有層次的、由易到難的例題，通過引導(dǎo)學(xué)生觀察，分析后，我用設(shè)問的方法，深入淺出地引導(dǎo)學(xué)生尋找證題的基本思路，確定適應(yīng)定理的“四線一面”，然后，由學(xué)生板書解答后，我再較正學(xué)生的證明過程，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的書面語言表達(dá)能力和邏輯推理能力。

6課堂小結(jié)并布置作業(yè)。

為了培養(yǎng)學(xué)生思維的完整性，我利用提問的方式引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行課堂小結(jié)，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)重點(diǎn)內(nèi)容的掌握和規(guī)律問題的認(rèn)識(shí)，再布置有代表性的課外作業(yè)幫助學(xué)生鞏固教材的重點(diǎn)。

四 教學(xué)效果

本節(jié)課采用教師為主導(dǎo)學(xué)生為主體的啟發(fā)式教學(xué)方式，學(xué)生反映較好，定理記得牢，理解深刻，應(yīng)用靈活，不僅讓學(xué)生學(xué)習(xí)了新的知識(shí)，而且培養(yǎng)了能力。從學(xué)生的課后作業(yè)看，書寫規(guī)范，推理正確，取得較好的教學(xué)效果，圓滿完成本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)。

（注：本說課稿獲2002年揭陽市高中數(shù)學(xué)說課稿評(píng)比二等獎(jiǎng)）