第一篇：線面垂直的判定

漯河高中2013—2014高一數(shù)學(xué)必修二導(dǎo)學(xué)案

2.3.3直線與平面垂直的性質(zhì)

2.3.4平面與平面垂直的性質(zhì)

編制人：魏艷麗方玉輝審核人：高一數(shù)學(xué)組時(shí)間：2013.12.0

3【課前預(yù)習(xí)】

一、預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)

1、直線與平面垂直的性質(zhì)定理：_________________________________________.2、垂直于同一條直線的兩個(gè)平面____________.3、平面與平面垂直的性質(zhì)定理：_________________________________________.4、如果兩個(gè)平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線在___________.二、預(yù)習(xí)檢測教材P71、P7

3【課內(nèi)探究】

［例1］如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，那么它們的交線垂直于第三個(gè)平面.［例2］如圖，已知矩形ABCD，過A作SA⊥平面AC，再過A作AE⊥SB交SB于E，過E作EF⊥SC交SC于F.（1）求證：AF⊥SC；

（2）若平面AEF交SD于G，求證：AG⊥SD.我主動，我參與，我體驗(yàn)，我成功第1頁（共4頁）

［例3］

10、在三棱錐P—ABC中，△PAB是等邊三角形，∠PAC=∠PBC=90o.（1）證明：AB⊥PC；

（2）若PC=4，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱錐P—ABC的體積.［例4］如圖所示，在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，側(cè)面BB1C1C⊥底面ABC.（1）若D是BC的中點(diǎn)，求證：AD⊥CC1；

（2）過側(cè)面BB1C1C的對角線BC1的平面交側(cè)棱于M，若AM=MA1，求證：截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C；

（3）若截面MBC1⊥平面BB1C1C，則AM=MA1嗎？請敘述你的判斷理由

.我主動，我參與，我體驗(yàn)，我成功第2頁（共4頁）

【鞏固訓(xùn)練】

1．已知兩個(gè)平面互相垂直，那么下列說法中正確的個(gè)數(shù)是

()

①一個(gè)平面內(nèi)的直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線；

②一個(gè)平面內(nèi)垂直于這兩個(gè)平面交線的直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線； ③過一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)垂直于另一個(gè)平面的直線，垂足必落在交線上； ④過一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)作交線的垂線，則此直線必垂直于另一個(gè)平面． A．

4B．

3C．

2D．

1()()

2．在圓柱的一個(gè)底面上任取一點(diǎn)(該點(diǎn)不在底面圓周上)，過該點(diǎn)作另一底面的垂線，則這條垂線與圓柱的母線所在直線的位置關(guān)系是A．相交

B．平行

C．異面

D．相交或平行

3．若m、n表示直線，α表示平面，則下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為

m∥n?m⊥α???

???m∥n； ①?n⊥α；②??m⊥α?n⊥α?

m⊥α?m∥α??????n⊥α.③?m⊥n;④??n∥α?m⊥n?A．

4B．

3C．

2D．1D．重心

o

o

4．在△ABC所在的平面α外有一點(diǎn)P，且PA＝PB＝PC，則P在α內(nèi)的射影是△ABC的()A．垂心

B．外心

C．內(nèi)心

5.如圖所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與兩平面α、β所成的角分別為45和30.過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足分別為A′、B′，則AB∶A′B′等于()

A．3∶1

B．2∶1

C．3∶2

D．4∶3

6．設(shè)α－l－β是直二面角，直線a?α，直線b?β，a，b與l都不垂直，那么()

A．a(chǎn)與b可能垂直，但不可能平行 B．a(chǎn)與b不可能垂直，但可能平行 C．a(chǎn)與b可能垂直，也可能平行 D．a(chǎn)與b不可能垂直，也不可能平行

7．若α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，則a與β的關(guān)系為________．

8．直線a和b在正方體ABCD－A1B1C1D1的兩個(gè)不同平面內(nèi)，使a∥b成立的條件是________．

①a和b垂直于正方體的同一個(gè)面； ②a和b在正方體兩個(gè)相對的面內(nèi)，且共面； ③a和b平行于同一條棱；

④a和b在正方體的兩個(gè)面內(nèi)，且與正方體的同一條棱垂直． 9.如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.我主動，我參與，我體驗(yàn)，我成功第3

頁（共4頁）

求證：BC⊥AB.10.如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一點(diǎn)，N是A1C的中點(diǎn)，MN⊥平面A1DC.求證：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中點(diǎn)．

11．如圖所示，在多面體P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4(1)設(shè)M是PC上的一點(diǎn)，求證：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱錐P—ABCD的體積．

※12．如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝1，D是棱AA1

2的中點(diǎn)，DC1⊥BD.(1)證明：DC1⊥BC；

(2)求二面角A1－BD－C1的大?。?/p>

我主動，我參與，我體驗(yàn)，我成功第4頁（共4頁）

第二篇：線面垂直判定經(jīng)典證明題

線面垂直判定

1、已知：如圖，PA⊥AB，PA⊥AC。

求證：PA⊥平面ABC。

2、已知：如圖，PA⊥AB，BC⊥平面PAC。

求證：PA⊥BC。

3、如圖，在三棱錐V-ABC中，VA=VC，AB=BC。求證：VB?AC4、在正方體ABCD-EFGH中，O為底面ABCD中心。求證：BD?平面AEGC5、如圖，AB是圓O的直徑，PA⊥AC, PA⊥AB,求證： BC⊥平面PAC6、如圖，AD⊥BD, AD⊥DC,AD=BD=CD,∠BAC=60°

求證： BD⊥平面ADC7、.如圖所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn).(1)求證：MN∥平面PAD.(2)求證：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求證：MN⊥平面PCD.8、已知：如圖，P是棱形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且PA=PC 求證：AC?平面PBD

_

_

C9、已知四面體ABCD中，AB?AC,BD?CD,平面ABC?平面BCD,E為棱BC的中點(diǎn)。（1）求證：AE?平面BCD;（2）求證：AD?BC;

B

E

C

D10、三棱錐A-BCD中，AB=1，AD=2，求證：AB⊥平面BCD11、在四棱錐S-ABCD中，SD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形

求證：AC⊥平面SBD12、如圖，正方形ABCD所在平面與三角形CDE所在平面相交于CD，AE?平面CDE，求證：AB?平面ADE；

A

E

D13、三棱錐P-ABC中，三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩垂直，H是△ABC的垂心

求證:PH?底面ABC14、正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：A1C⊥平面BC1D._A

_

115、S是△ABC所在平面外一點(diǎn)，SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求證AB⊥BC

S

C

A

B16、如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA1 ＝2，D 是A1B1 中點(diǎn)． 求證C1D ⊥平面A1B ；

第三篇：教案《線面垂直的判定》

陜西省西安中學(xué)附屬遠(yuǎn)程教育學(xué)校

線面垂直的判定

教學(xué)目標(biāo)

1．知識與技能

掌握直線和平面、平面和平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理，并能應(yīng)用．

2．過程與方法

通過“觀察”“認(rèn)識”“畫出”空間圖形及垂直關(guān)系相關(guān)定理的學(xué)習(xí)過程，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力及合情推理能力．

3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀

垂直關(guān)系在日常生活中有廣泛的實(shí)例，通過本節(jié)的教學(xué)，可讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識到數(shù)學(xué)和生活的聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)原理的廣泛應(yīng)用．

教材分析

教材以旗桿與地面、書脊與桌面等日常生活中學(xué)生熟悉的實(shí)例人手，讓學(xué)生在直觀感知的基礎(chǔ)上借助直角三角板形成直線與平面垂直的概念．然后以長方體模型為基礎(chǔ)，讓學(xué)生思考：如何判定一條直線與一個(gè)平面垂直呢?結(jié)合長方體模型中具體的線面關(guān)系，讓學(xué)生進(jìn)行操作確認(rèn)，從而得到直線與平面垂直的判定定理．突出了長方體模型在幫助學(xué)生思考垂直關(guān)系中的作用．

在平面與平面垂直的判定這一節(jié)中，教材的展開思路與

教學(xué)目標(biāo)

1．知識與技能

掌握直線和平面、平面和平面垂直的判定定理，并能進(jìn)行簡單應(yīng)用．

2．過程與方法

在合作探究中，逐步構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)；在實(shí)踐操作中進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力和空間想象能力．

3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀

垂直關(guān)系在日常生活中有廣泛的實(shí)例，通過本節(jié)的教學(xué)，可讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識到數(shù)學(xué)和生活的聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)原理的廣泛應(yīng)用．

教材分析

本節(jié)課是第6節(jié)的第一課時(shí)，是立體幾何的核心內(nèi)容之一．在學(xué)生學(xué)習(xí)了線面平行關(guān)

系之后，仍以長方體為載體，是對學(xué)生“直觀感知、操作確認(rèn)、歸納總結(jié)、初運(yùn)用”的認(rèn)知過程的一個(gè)再強(qiáng)化．

學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線和平面、平面和平面平行的判定及性質(zhì)，學(xué)習(xí)了兩直線(共面或異面)互相垂直的位置關(guān)系，有了“通過觀察、操作并抽象概括等活動獲得數(shù)學(xué)結(jié)論”的體會，有了一定的空間想象能力、幾何直觀能力和推理論證能力． 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

本節(jié)的重點(diǎn)：垂直關(guān)系的判定定理．

本節(jié)的難點(diǎn)：對直線和平面垂直判定定理的理解．

教學(xué)過程

問題提出

問題1空間一條直線與平面有哪幾種位置關(guān)系?

問題2在直線與平面相交的位置關(guān)系中，哪種相交最特殊?

在我們的生活中，隨處可見線、面的垂直：在操場上豎立的國旗桿與地面、豎直的墻角線與地面、燈塔與海平面.思考

1如何用語言表述直線和平面的垂直關(guān)系?

直線和平面垂直的定義：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個(gè)平面垂直．

用符號記作： l

用圖形表示： ?a．

思考

2怎樣判定直線與平面垂直呢?

思考

3? 如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的一

條直線，那么這條直線是否與這個(gè)平面垂直?

? 如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的兩條條直線，那么這條直線是否與這個(gè)平

面垂直?

? 如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線是否與這個(gè)平

面垂直?

? 如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這條直線是否與這個(gè)

平面垂直?

抽象概括

直線和平面垂直判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個(gè)平面．

關(guān)鍵：線不在多，相交則行

符號語言表示：若a?,b?,a?b?P,且l?a,l?b，則l??

圖形語言表示：

動手實(shí)踐

過△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，再將翻折后的紙片豎起放置在桌面上

（BD、DC與桌面接觸），進(jìn)行觀察并思考：

（1）折痕AD與桌面垂直嗎？

（2）如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？若不過頂點(diǎn)A翻折紙片呢？

（3）翻折前后垂直關(guān)系發(fā)生變化了嗎？由此你能得到什么結(jié)論？

知識應(yīng)用

例1如圖所示，在Rt△ABC中，?B?90，P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，PA?平0

面ABC問：四面體P—ABC中有幾個(gè)直角三角形?

解：因?yàn)镻A?平面ABC，所以 PA?AB，PA?AC，PA?BC．

所以△PAB，△PAC為直角三角形．

又PA?BC，AB?BC，且PA?AB?A，所以BC?平面PAB．

又PB平面PAB，于是BC?PB，所以△PBC也為直角三角形．

所以四面體PABC中的四個(gè)面都是

直角三角形．

例2如圖所示，已知三棱錐A-BCD中，CA?CB,DA?DB,BE?CD,AH?BE,且F為棱AB的中點(diǎn)，求證：AH?平面BCD.證明：取AB的中點(diǎn)F，連接CF，DF，因?yàn)镃A=CB，DA=DB，所以CF?AB,DF?AB,又CF?DF

又CD?F,所以AB?平面CDF.平面CDF，于是AB?CD,由已知BE?CD,且AB?BE?B,所以CD?平面ABH.又AH平面ABH，于是CD?AH,已知AH?BE,且BE?CD?E,所以AH?平面BCD.課堂小結(jié)

判定直線和平面是否垂直，有兩種方法：

(1)定義：強(qiáng)調(diào)是“任何一條直線”；

(2)判定定理：必須是“兩條相交直線”．

線線垂直線面垂直

布置作業(yè)

課本習(xí)題1—6 A組5、6（1）B組2（1）

思考交流

如圖，直線m、n都是線段AA/的垂直平分線，設(shè)m、n確定的平面為?，能否證明：AA/⊥g，其中g(shù)為平面內(nèi)過點(diǎn)B的任意直線.

第四篇：線面垂直的判定定理 教案

線面垂直的判斷定理

數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 劉桂欽 2007220113

5一、教學(xué)目標(biāo)

（一）知識與技能目標(biāo)

理解直線與平面垂直的定義，掌握直線與平面垂直的判定定理及其應(yīng)用。

（二）過程與方法目標(biāo)

通過直觀感知、操作，歸納概括出直線與平面垂直的判定定理。

（三）情感與態(tài)度目標(biāo)

通過該內(nèi)容的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力及合情推理能力，并從中體會“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想。

二、教學(xué)重、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：直線與平面垂直的判定定理的理解掌握。

教學(xué)難點(diǎn)：直線與平面垂直的判定定理的推導(dǎo)歸納。

三、教學(xué)過程

（一）構(gòu)建定義

1、直觀感知

通過觀察圖片，如地面上樹立的旗桿、水面上大橋的橋柱等，使學(xué)生直觀感知直線和平面垂直的位置關(guān)系，并在頭腦中產(chǎn)生直線與地面垂直的初步印象，為下一步的數(shù)學(xué)抽象做準(zhǔn)備。然后再引導(dǎo)學(xué)生舉出更多直線與平面垂直的例子，如教室內(nèi)直立的墻角線和地面位置關(guān)系，桌子腿與地面的位置關(guān)系，直立書的書脊與桌面的位置關(guān)系等，由此引出課題。

2、觀察思考

首先讓學(xué)生思考如何定義一條直線與一個(gè)平面垂直，然后帶著問題觀察在陽光下直立于地面的旗桿AB及它在地面的影子BC所在直線的位置關(guān)系，這可以通過多媒體課件演示旗桿在地面上的影子隨著時(shí)間的變化而移動的過程，并引導(dǎo)學(xué)生得出旗桿所在直線與地面內(nèi)的直線都垂直這一結(jié)論。

3、抽象概括

問題：通過上述觀察分析，你認(rèn)為應(yīng)該如何定義一條直線與一個(gè)平面垂直？ 這可以讓學(xué)生討論后口頭回答，老師再根據(jù)學(xué)生回答構(gòu)建出線面垂直的定義與畫法。（板書）

定義：如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線 l與平面α互相垂直，記作： l⊥α.直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直時(shí)，它們唯一l 的公共點(diǎn)P叫做垂足。

畫法：畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面P 的平行四邊形的一邊垂直，如右圖所示。

4、加深理解

在給出了線面垂直的定義和畫法之后，可以繼續(xù)問學(xué)生：

（1）如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線是否就與這個(gè)平面垂直？

（2）如果一條直線垂直一個(gè)平面，那么這條直線是否就垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任一直線？

這樣通過問題的辨析，加深學(xué)生對概念的理解，以掌握概念的本質(zhì)屬性。由（1）使學(xué)生明確定義中的“任意一條直線”是“所有直線”的意思，定義的實(shí)質(zhì)就是直線與平面內(nèi)所有直線都垂直。由（2）使學(xué)生明確，線面垂直的定義既是線面垂直的判定又是性質(zhì)，線線垂直與線面垂直可以相互轉(zhuǎn)化。

（二）探索發(fā)現(xiàn)

1、觀察猜想

思考：我們該如何檢驗(yàn)學(xué)校廣場上的旗桿是否與地面垂直？

雖然可以根據(jù)定義判定直線與平面垂直，但這種方法實(shí)際上難以實(shí)施。有沒有比較方便可行的方法來判斷直線和平面垂直呢？

然后讓學(xué)生觀察跨欄、簡易木架等實(shí)物的圖片，并引導(dǎo)學(xué)生觀察思考，給出猜想：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)兩相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

2、操作確認(rèn)

如圖，請同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的一塊（任意）三角形的紙片，我們一起來做一個(gè)實(shí)驗(yàn)：過△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上，（BD、DC與桌面接觸）.觀察并思考：

（1）折痕AD與桌面垂直嗎？如何翻折才能使折痕

AD與桌面所在的平面垂直？

（2）由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直關(guān)系，即AD⊥

CD，AD⊥BD發(fā)生變化嗎？由此你能得到什么結(jié)論？ C 通過這個(gè)實(shí)驗(yàn)，可以引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立發(fā)現(xiàn)直線與平面D垂直的條件，并培養(yǎng)學(xué)生的動手操作能力和幾何直

觀能力。

3、合情推理

在上面的試驗(yàn)后，可以引導(dǎo)學(xué)生回憶出“兩條相交直線確定一個(gè)平面”，以及直觀過程中獲得的感知，將“與平面內(nèi)所有直線垂直”逐步歸結(jié)到“與平面內(nèi)兩條相交直線垂直”，進(jìn)而歸納出直線與平面垂直的判定定理，這充分體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。用符號語言表示為：m??,n??,m?n?P???l?? l?m,l?n?

（三）例題分析

例

1、求證：與三角形的兩條邊都垂直的直線必與第三條邊垂直。

分析：這道題主要是讓學(xué)生感受如何運(yùn)用直線與平面垂直的判定定理與定義解決問題，明確運(yùn)用線面垂直判定定理的條件。

例

2、如右圖，已知a∥b，a⊥α，求證：b⊥α。分析：這道題主要是讓學(xué)生進(jìn)一步感受如何運(yùn)用直線與平面垂直的判定定理證明線面垂直，體會轉(zhuǎn)化思想在證題中的作用，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力與一定的推理論證能力。首先引導(dǎo)學(xué)生分析思路，可利用線面垂直的定義證，也可

用判定定理證，再提示輔助線的添法，將思路集中在如何在平面內(nèi)α內(nèi)找到兩條與直線b垂直的相交直線上。

（四）課堂小結(jié)

（1）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)會了哪些判斷直線與平面垂直的方法？

（2）上述判斷直線與平面垂直的方法體現(xiàn)的什么數(shù)學(xué)思想？

（3）關(guān)于直線與平面垂直你還有什么問題？

P

（五）鞏固練習(xí)

1、如圖，點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，O是對角線AC與BD的交點(diǎn)，且PA=PC，PB=PD.求證： D

PO⊥平面ABCD B

2、已知：菱形ABCD在平面M內(nèi)，P為M外一點(diǎn)，PA=PC．

求證：AC⊥平面PBD．

（六）布置作業(yè)

1．課本：課后練習(xí)1、2題．

2．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，求證：A1C⊥平面BDC1．

（七）板書設(shè)計(jì)

第五篇：專題線面垂直

專題九： 線面垂直的證明

題型一：共面垂直(實(shí)際上是平面內(nèi)的兩條直線的垂直)例1：如圖在正方體ABCD?A1BC11D1中，O為底面ABCD的中心，E為CC1中點(diǎn),求證：AO?OE

1題型二：線面垂直證明（利用線面垂直的判斷定理）

例2：在正方體ABCD?AO為底面ABCD的中心，E為CC1,1BC11D1中，?平面BDE 求證：AO1

題型三：異面垂直（利用線面垂直的性質(zhì)來證明，高考中的意圖）例3.在正四面體ABCD中，求證AC?BD

P N D C A M B 練：如圖，PA?平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，求證：MN?AB

題型四：面面垂直的證明(本質(zhì)上是證明線面垂直)

例4.已知PA垂直于正方形ABCD所在平面,連接PB、PC、PD、AC、BD,則下列垂直關(guān)系中正確的序號

是.①平面PAB?平面PBC ②平面PAB?平面PAD ③平面PAB?平面PCD

例5.如圖，AB是圓Ｏ的直徑，Ｃ是圓周上一點(diǎn)，PA?平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ為垂足，Ｆ是PB上任意一點(diǎn)，求證：平面AEF⊥平面PBC．