第一篇：線面垂直教學(xué)設(shè)計(jì)

教案

課題：直線與平面垂直的判定

（一）【教學(xué)目標(biāo)】

知識與技能目標(biāo)：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生理解直線與平面垂直的定義和判定定理，并能對它們進(jìn)行簡單的應(yīng)用；

過程與方法目標(biāo)：通過對定義的總結(jié)和對判定定理的探究，不斷提高學(xué)生的抽象概括和邏輯思維能力；

情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：通過學(xué)習(xí)，使學(xué)生在認(rèn)識到數(shù)學(xué)源于生活的同時，體會到數(shù)學(xué)中的嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致之美，簡潔樸實(shí)之美，和諧自然之美，從而使學(xué)生更加熱愛數(shù)學(xué)，熱愛生活．

【教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)】

教學(xué)重點(diǎn)：直線與平面垂直的定義、判定定理以及它們的初步應(yīng)用．

教學(xué)難點(diǎn)：對直線與平面垂直的定義的理解和對判定定理的探究．

【教學(xué)方法】

教法：啟發(fā)誘導(dǎo)式

學(xué)法：合作交流、動手試驗(yàn)

【教具準(zhǔn)備】

計(jì)算機(jī)、多媒體課件、三角形卡紙

【教學(xué)過程】

一、直線與平面垂直定義的構(gòu)建

1、聯(lián)系生活——提出問題在復(fù)習(xí)了直線與平面的三種位置關(guān)系后，給出幾幅現(xiàn)實(shí)生活中常見的圖片，讓學(xué)生思考其中旗桿與地面、豎直的墻角線與地面、大橋的橋柱與水面之間的位置關(guān)系屬于這三種情況中的那一種，它們還給我們留下了什么印象？從而提出問題：什么是直線與平面垂直？

設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生意識到直線與平面垂直是直線與平面相交中的一種特殊情況并引出本節(jié)課的課題．另外這樣設(shè)計(jì)也吸引了學(xué)生的注意力，激發(fā)了學(xué)生的好奇心，使其主動參與到本節(jié)課的學(xué)習(xí)中來．

2、創(chuàng)設(shè)情境——分析感知播放動畫，引導(dǎo)學(xué)生觀察旗桿和它在地面上影子的位置關(guān)系，使其發(fā)現(xiàn)：旗桿所在直線l與地面所在平面?內(nèi)經(jīng)過點(diǎn)B的直線都是垂直的．進(jìn)而提出問題：那么直線l與平面?內(nèi)不經(jīng)過點(diǎn)B的直線垂直嗎？

設(shè)計(jì)意圖：在具體的情境中，讓學(xué)生去體會和感知直線與平面垂直的定義．

3、總結(jié)定義——形成概念由學(xué)生總結(jié)出直線與平面垂直的定義，即如果直線l與平面

?內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面?互相垂直．引導(dǎo)學(xué)生用符號語言將

它表示出來．然后提出問題：如果將定義中的“任意一條直線”改成“無數(shù)條直線”，結(jié)論還成立嗎？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過思考和操作(用三角板和筆在桌面上比試)，加深對定義的認(rèn)識．

二、直線與平面垂直判定定理的構(gòu)建

1、類比猜想——提出問題根據(jù)線面平行的判定定理進(jìn)行類比，通過不斷的猜想和分析，最終提出問題：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直嗎？

設(shè)計(jì)意圖：不少老師都在本環(huán)節(jié)中進(jìn)行了一些有益的嘗試，但考慮到學(xué)生的認(rèn)知水平，我仍然決定采用類比猜想的方法，從學(xué)生已有的知識出發(fā)，進(jìn)行分析．

2、動手試驗(yàn)——分析探究演示試驗(yàn)過程：過△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，再將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸）．

A

B

D

C

C

B

問題一：同學(xué)們看，此時的折痕AD與桌面垂直嗎？ 又問：為什么說此時的折痕AD與桌面不垂直？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生從另一個角度來理解直線與平面垂直的定義——只要直線l與平面

?內(nèi)有一條直線不垂直，那么直線l就與平面?不垂直．

問題二：如何翻折才能讓折痕AD與桌面所在平面?垂直呢？﹙學(xué)生分組試驗(yàn)﹚ 設(shè)計(jì)意圖：通過分組討論增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)氛圍，讓學(xué)生在交流中互相學(xué)習(xí)，共同進(jìn)步． 問題三：通過試驗(yàn)，你能得到什么結(jié)論？在回答此問題時大部分學(xué)生都會直接給出結(jié)論：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．此時注意引導(dǎo)學(xué)生觀察，直線AD還經(jīng)過BD、CD的交點(diǎn)．請他們思考在增加了這個條件后，試驗(yàn)的結(jié)論更準(zhǔn)確的說應(yīng)該是什么？

A

B

D C

又問：如果直線l與平面?內(nèi)的兩條相交直線m、n都垂直，但不經(jīng)過它們的交點(diǎn)，那么直線l還與平面?垂直嗎？

設(shè)計(jì)意圖：提高學(xué)生抽象概括的能力，同時也培養(yǎng)他們嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的作風(fēng)．

3、提煉定理——形成概念給出線面垂直的判定定理，請學(xué)生用符號語言把這個定理表示出來，并由此向?qū)W生指明，判定定理的實(shí)質(zhì)就是通過線線垂直來證明線面垂直，它體現(xiàn)了降維這種重要的數(shù)學(xué)思想．

判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．

符號語言： l?m，l?n，m??，n??，m?n?A ?l??．

三、初步應(yīng)用——深化認(rèn)識

1、例題剖析：

例1已知：a//b，a??．求證：b??． 分析過程：

a

b

?a?ma//b?ba??????b?na?n??

②

③

①

證明：在平面?內(nèi)作兩條相交直線m，n． 因?yàn)橹本€a??，根據(jù)直線與平面垂直的定義知a?m,a?n． 又因?yàn)閎∥a 所以b?m，b?n．

又因?yàn)閙??，n??，m，n是兩條相交直線，所以b??．

（①②③表示分析的順序）

設(shè)計(jì)意圖：不僅讓學(xué)生學(xué)會使用判定定理，而且要讓他們掌握分析此類問題的方法和步驟．

本題也可以使用直線與平面垂直的定義來證明，這可以讓學(xué)生在課下完成． 另外，例1向我們透露了一個非常重要的信息，這里可以請學(xué)生用文字語言將例1表示出來——如果兩條平行線中的一條直線與一個平面垂直，那么另外一條直線也與此平面垂直．

２、隨堂練習(xí)

練習(xí)1如圖，在三棱錐V-ABC中，VA=VC，AB=BC． 求證：VB⊥AC．

證明：取AC中點(diǎn)為K，連接VK、BK，∵ 在△VAC中，VA=VC，且K是AC中點(diǎn)，∴ VK⊥AC．

同理 BK⊥AC．

V

A

K

C

又 VK?平面VKB，BK?平面VKB，VK∩BK=K，∴ AC⊥平面VKB．

∵ VB?平面VKB，∴ VB ⊥ AC．

設(shè)計(jì)意圖：用展臺展示部分學(xué)生的答案，督促學(xué)生規(guī)范化做題． 變式引申如圖，在三棱錐V-ABC中，VA=VC，AB=BC，K是AC的中點(diǎn)．若E、F分別是AB、BC 的中點(diǎn)，試判斷直線EF與平面VKB的位置關(guān)系．

解：直線EF與平面VKB互相垂直．

∵ 在△VAC中，VA=VC，且K是AC中點(diǎn)，∴ VK⊥AC． 同理 BK⊥AC．

又 VK?平面VKB，BK?平面VKB，VK∩BK=K，∴ AC ⊥平面VKB．

又 E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，∴ EF∥AC∴ EF⊥平面VKB．

B

E

F

A C

設(shè)計(jì)意圖：在定義和判定定理之外，例１又給出了第三種證明直線與平面垂直的方法，構(gòu)造這道變式引申題的目的就是讓學(xué)生在用中將其內(nèi)化．

練習(xí)2如圖，PA垂直圓O所在平面，AC是圓O的直徑，B是圓周上一點(diǎn)，問三棱錐P-ABC中有幾個直角三角形?

解：在三棱錐P-ABC中有四個直角三角形，分別是： △ABC、△PAB、△PAC和△PBC．

設(shè)計(jì)意圖：通過練習(xí)1和練習(xí)2培養(yǎng)學(xué)生熟練地進(jìn)行線線垂直和線面垂直之間的轉(zhuǎn)化，從而使他們能夠?qū)Χx和判定定理進(jìn)行靈活應(yīng)用．

四、總結(jié)回顧——提升認(rèn)識

B

C

五、布置作業(yè)——鞏固認(rèn)識 ? 必做題：習(xí)題2．3 B組2，4．

? 選做題：如圖SA⊥平面ABC，AB⊥BC，過A作SB的垂線，垂足為E，過E作SC的垂線，垂足為F． 求證:AF⊥SC．

? 探究題：課本66頁的探究題．

S

E

B

C

第二篇：專題線面垂直

專題九： 線面垂直的證明

題型一：共面垂直(實(shí)際上是平面內(nèi)的兩條直線的垂直)例1：如圖在正方體ABCD?A1BC11D1中，O為底面ABCD的中心，E為CC1中點(diǎn),求證：AO?OE

1題型二：線面垂直證明（利用線面垂直的判斷定理）

例2：在正方體ABCD?AO為底面ABCD的中心，E為CC1,1BC11D1中，?平面BDE 求證：AO1

題型三：異面垂直（利用線面垂直的性質(zhì)來證明，高考中的意圖）例3.在正四面體ABCD中，求證AC?BD

P N D C A M B 練：如圖，PA?平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，求證：MN?AB

題型四：面面垂直的證明(本質(zhì)上是證明線面垂直)

例4.已知PA垂直于正方形ABCD所在平面,連接PB、PC、PD、AC、BD,則下列垂直關(guān)系中正確的序號

是.①平面PAB?平面PBC ②平面PAB?平面PAD ③平面PAB?平面PCD

例5.如圖，AB是圓Ｏ的直徑，Ｃ是圓周上一點(diǎn)，PA?平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ為垂足，Ｆ是PB上任意一點(diǎn)，求證：平面AEF⊥平面PBC．

第三篇：線面垂直高考題

高考真題演練：

(2012天津文數(shù)).（本小題滿分13分）

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PD=CD=2.（I）求異面直線PA與BC所成角的正切值；

（II）證明平面PDC⊥平面ABCD；

（III）求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值。

（2012天津理數(shù)）（本小題滿分13分）P如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.（Ⅰ）證明PC⊥AD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

（Ⅲ）設(shè)E為棱PA上的點(diǎn)，滿足異面

直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長.C

D

（2010年安徽）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，EF//AB，EF⊥FB，AB=2EF，?BFC?90?,BF=FC，H為BC的中點(diǎn).（I）求證：FH//平面EDB；

（II）求證：AC⊥平面EDB；

（III）求二面角B—DE—C的大小.(2012上海理數(shù))如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD

是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn).已知AB=2，AD=22，PA=2.求：

E

（1）三角形PCD的面積；（6分）（2）異面直線BC與AE所成的角的大小.（6分）

B

（2012山東）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，F(xiàn)C⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF。（Ⅰ）求證：BD⊥平面AED；

（Ⅱ）求二面角F-BD-C的余弦值。

（2012年北京）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，且DE∥BC，DE=2，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,(I)求證：A1C⊥平面BCDE；

(II)若M是A1D的中點(diǎn)，求CM與平面A1BE所成角的大小；

(III)線段BC上是否存在點(diǎn)P，使平面A1DP與平面A1BE垂直？說明理由

（2012遼寧）如圖，直三棱柱ABC?ABC，?BAC?90，[來源:學(xué)科網(wǎng)]

///?

AB?AC??AA/,點(diǎn)M，N分別為A/B和B/C/的中點(diǎn)。

(Ⅰ)證明：MN∥平面AACC;

(Ⅱ)若二面角A?MN?C為直二面角，求?的值。

（2012江蘇）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，A1B1?ACCC1E分別是棱BC，11，D，上的點(diǎn)（點(diǎn)D 不同于點(diǎn)C），且AD?DE，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)． A1求證：（1）平面ADE?平面BCC1B1；

（2）直線A1F//平面ADE．

（2012湖南），在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中點(diǎn)。（Ⅰ）證明：CD⊥平面PAE；

（Ⅱ）若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P-ABCD的體積。

B A

D

/

/

/

C1

E

（2012湖北），∠ACB=45°，BC=3，過動點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足D在線段BC上且異于點(diǎn)B，連接AB，沿AD將△ABD折起，使∠BDC=90°（如圖2所示），（1）當(dāng)BD的長為多少時，三棱錐A-BCD的體積最大；

（2）當(dāng)三棱錐A-BCD的體積最大時，設(shè)點(diǎn)E，M分別為棱BC，AC的中點(diǎn)，試在棱CD上確定一點(diǎn)N，使得EN⊥BM，并求EN與平面BMN所成角的大小

（2012廣東），在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn) E在線段PC上，PC⊥平面BDE。

（1）證明：BD⊥平面PAC；

（2）若PH=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值；

（2012年福建）在長方體ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1，E為CD中點(diǎn)。（Ⅰ）求證：B1E⊥AD1；

（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的行；若存在，求AP的長；若不存在，說明理由。（Ⅲ）若二面角A-B1EA1的大小為30°，求AB的長。

（2012大綱全國卷）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD，PA=2，E是PC上的一點(diǎn)，PE=2EC.（Ⅰ）證明：PC⊥平面BED；

（Ⅱ）設(shè)二面角A-PB-C為90°，求PD與平面PBC所成角的大小。

（2012安徽）平面圖形ABB1AC11C如圖4所示，其中BB1C1C是矩形，BC?2,BB1?

4，AB?AC?，A1B1?A1C1?BC和B1C1折疊，使?ABC

與?A1B1C1所在平面都與平面BB1C1C垂直，再分別連接AA1,BA1,CA1,得到如圖2所示的空間圖形，對此空間圖形解答下列問題。

（Ⅰ）證明：AA1?BC；（Ⅱ）求AA1的長；（Ⅲ）求二面角A?BC?A1的余弦值。

第四篇：線面垂直教案

2012第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)教案

線面垂直、面面垂直

教學(xué)目標(biāo)：掌握線面垂直、面面垂直的證明方法，并能熟練解決相應(yīng)問題.（一）主要知識及主要方法：

【思考與分析】要證明線面垂直，我們可以把它轉(zhuǎn)化為證明線線垂直，這道題可以通過證明A1C與平面C1BD內(nèi)兩條相交直線BD，BC1垂直即可.而要證明A1C與相交直線BD、BC1垂直，可利用三垂線定理的三步曲證明．基礎(chǔ)平面分別取下底面及右側(cè)面．

1.線面垂直的證明：?1?判定定理；?2?如果兩條平行線中一條垂直于一個平面,那么另一條也垂直于

這個平面；?3?一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面,它也垂直于另一個平面；?4?兩個平面垂直,在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面.?5?如果兩個相交平面都與第三個平面垂直,那么它們的交線與第三個平面垂直.P A?6?向量法：

???????????????????PQ?AB?PQ?AB?0

PQ??????? ???????????????

???PQ?AC?PQ?AC?0

CQ

2.面面垂直的證明：?2?如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線,?1?計(jì)算二面角的平面角為90? ；

那么這兩個平面垂直;

題型講解證明線線垂直

三垂線定理與平面的位置無關(guān)，即對水平位置、豎直位置、傾斜位置的平面都能用三垂線定理．下面我們通過實(shí)例來體驗(yàn)“三步曲”的具體應(yīng)用過程．

例1(1)已知PA、PB、PC兩兩互相垂直，求證：P在平面ABC內(nèi)的射影O是△ABC的垂心．

【思考與分析】 要證O是△ABC的垂心，我們需要證明AO⊥BC、BO⊥AC、CO⊥AB.而AO、BO、CO分別是AP、BP、CP在平面ABC上的射影，因此我們想到應(yīng)用三垂線定理.分三步進(jìn)行：①定線面：即面內(nèi)直線BC與基礎(chǔ)平面為底面ABC，②找三線：即垂線PO，斜線PA，射影AO，③證垂直：即AO⊥BC．同理可證其它兩條．

證明：因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的射影為O，所以PO⊥平面ABC，連結(jié)AO且延長交BC于D，則AO是PA在平面ABC上的射影．

∵ AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC=P，∴ PA⊥平面PBC，又BC平面PBC，∴ AP⊥BC．根據(jù)三垂線定理的逆定理知，AD⊥BC，所以AD是△ABC中BC邊上的高．連結(jié)CO并延長交AB于F，同理可證CF⊥AB；所以CF是△ABC中AB邊上的高，AD∩CF=O，所以O(shè)是△ABC的垂心．【反思】 解這道題時，首先應(yīng)用的是線面垂直的判定定理，然后運(yùn)用三垂線定理的逆定理，所以要想快速解題，我們需要熟練掌握并能綜合應(yīng)用所學(xué)知識.(2)正方體ABCD－A1B1C1D1中，求證：對角線A1C⊥平面C1BD．

證明：∵ A1A⊥平面ABCD，A1C是斜線，連AC，AC⊥BD，由三垂線定理知BD⊥A1C．∵ A1B1⊥平面BCC1B1，A1C是斜線，連B1C，B1C是A1C在BCC1B1內(nèi)的射影，又∵ BC1⊥B1C，由三垂線定理知BC1⊥A1C．又BD∩BC1=B，∴ A1C⊥平面DBC1．

【反思】 應(yīng)用三垂線定理解題一定要熟記這三個步驟，而且還需要我們有一定的空間立體感.例2在直三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C1=A1C1，A1B⊥AC1，求證：A1B⊥B1C

證明：取A1B1的中點(diǎn)D1，連結(jié)C1D1∵B1C1=A1C1，∴C1D1⊥ABB1A連結(jié)AD1，則AD1是AC1在平面ABB1A1內(nèi)的射影，∵A1B⊥AC1，∴A1B⊥AD11取AB的中點(diǎn)D，連結(jié)CD、B1D，則B1D∥AD1，且B1D是B1C在平面ABB1A1內(nèi)的射影∵B1D⊥A1B，∴A1B⊥B1C點(diǎn)評：證明異面直線垂直的常用方法有：證明其中一直線垂直于另外一直線所在的平面；利用三垂線定理及其逆定理 證明線面垂直

例3 已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上任意一點(diǎn)，過A點(diǎn)作AE⊥PC于點(diǎn)E，求證：AE⊥平面PBC

證明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC

又∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC 而PC∩AC=C，∴BC⊥平面又∵AE在平面PAC內(nèi)，∴BC⊥AE∵PC⊥AE，且PC∩BC=C，∴AE⊥平面PBC 點(diǎn)評：證明直線與平面垂直的常用方法有：利用線面垂直的定義；利用線面垂直的判定定理；利用“若直線a∥直線b，直線a⊥平面α，則直線b⊥平面α”

練習(xí)：

1.以AB為直徑的圓在平面?內(nèi)PA⊥?于A，C在圓上，連PB、PC過A作AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，試判斷圖中還有幾組線面垂直。

PA???

BC????

?PAAB為直徑?AC?BC

??

????AF?面PAC

??

??AF?PC

??

?AF?面PBC?PB?面PBC??AF?PB?

?AE?PB???PB?AEF

cos?BAC?

AB2?AC2?BC

22?AB?AC ?

a2?b2?a2?c2?b2?c2

2?AB?AC

?

a

a2?b2?a2?c2

?0

?BAC為銳角，同理?ABC為銳角?。

P在底面射影為?ABC垂心。

BC?面ABC??

PA?BC?

? ?BC?面APQ??AQ?面APQ???BC?AQ?

??Q為?ABC垂心

同理?AC?BQ?

?

?CQ?AB?

??AB?面PQC?PQ?AB?AB?PC

同理A、B5.如圖，?B?AAA?//BB?確定平面?

????A?B??

??AB?????AB//AB??

?

??AB//?????AB?AA??

?

??AB?面AA?CAA??A?B?

??

??

AB?AC

??

?A?B??面CA?A?A?B??CA???CA?B?為直角

證明面面垂直

例4在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1，CD的中點(diǎn)（1）求證：AD⊥D1F；（2）求AE與D1F所成的角；（3）證明平面AED⊥平面A1FD

1分析：涉及正方體中一些特殊的點(diǎn)、線、面的問題，建立空間直角坐標(biāo)系來解，不僅容易找到解題方向，而且坐標(biāo)也簡單，此時“垂直”問題轉(zhuǎn)化為“兩向量數(shù)量積為0”的問題，當(dāng)然也可用其它的證證明：建立空間直角坐標(biāo)系如圖，并設(shè)AB=2，則A(0,0,0),D(0,2,0),A1(0,0,2)

D1(0,2,2)，E(2,0,1),F(1,2,0)

?????????

(1)AD?(0,2,0),D1F?(1,0,?2)

?????????

? AD?D1F=0×1+2×1+0×(-2)=0, ?AD⊥D1F

??????????????????（2）AE=（2，0，1）D1F=（1，0，-2），|AE|?，|D1F|?設(shè)AE與D1F的夾角為θ，則 cosθ1?

2?1?0?0?1?(?2)

5?0

所以，直線AE與D1F所成的角為90°（3）由（1）知D1F⊥AD，由（2）知D1F⊥AE，又AD∩AE=A，?D1F⊥平面AED，∵D1F?平面A1FD1M

?平面AED⊥平面A1FDB

例5已知AB是圓O的直徑，PA垂直于?O所在的平面，C是圓周上不同于A,B的任一

點(diǎn)，求證：平面PAC?平面PBC．

分析：根據(jù)“面面垂直”的判定定理，要證明兩平面互相垂直，只要在其中一個平面中尋找一條與另解：∵AB是圓O的直徑，∴AC?BC，又∵PA垂直于?O所在的平面，∴PA?BC，∴BC?平面PAC，又BC在平面PBC中，所以，平面PAC?平面PBC． 點(diǎn)評：由于平面PAC與平面PBC相交于PC，所以如果平面PAC?平面PBC，則在平面PBC中，垂直于PC的直線一定垂直于平面PAC小結(jié):

1垂直問題來處理或在兩直線上分別取它們的方向向量，然后證它們的數(shù)量積為0

2面垂直的判定定理，證明直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，當(dāng)然再證這直線（這平面）與已知直線（或平面）重合，有時侯將線面垂直問題轉(zhuǎn)化為證面面垂直問題，也許會給你帶來意想不到的收獲 3如證面面垂直可轉(zhuǎn)化為證明一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線

用向量法證明垂直，就是證有關(guān)向量的數(shù)量積為1“直線l垂直于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線”是“l(fā)⊥α”的 AB

CD 答案：B①直線上有兩點(diǎn)到平面的距離相等，則此直線與平面平行②夾在兩個平行平面間的兩條異面線段的中點(diǎn)連線平行于這兩個平面③直線m⊥平面α，直線n⊥m，則n∥α④a、b是異面直線，則存在唯一的平面α，使它與a、b都平行且與a、b距離相等 ABCD 解析：①錯誤與平面相交如下圖，平面α∥β，A∈α，C∈α，D∈β，B∈β且E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，過C作CG∥AB交平面β于G，連結(jié)BG、GD設(shè)H是CG的中點(diǎn)，則EH∥BG，HF∥GD∴EH∥平面β，HF∥平面β

∴平面EHF∥平面β∥平面α∴EF∥α，EF∥β

③錯誤直線n可能在平面α內(nèi)④正確AB是異面直線a、b的公垂線段，E為AB的中點(diǎn)，過E作a′∥a，b′∥b，則a′、b′確定的平面即為與a、b都平行且與a、b距離相等的平面，并且它是唯一確定的答案：D

3在正方形SG1G2G3中，E、F分別是G1G2、G2G3的中點(diǎn)，D是EF的中點(diǎn)，沿SE、SF及EF把這個正方形折成一個四面體，使G1、G2、G3三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為G，那么，在四面體S—EFG中必有 A⊥平面EFGB⊥平面EFG C⊥平面SEF D⊥平面SEF

解析：注意折疊過程中，始終有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，所以SG⊥平面EFGA答案：A

4PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面，C為圓上異于A、B的任一點(diǎn)，則下列關(guān)系不正確的是 A⊥BCB⊥平面PACC⊥PB D⊥BC 解析：由三垂線定理知AC⊥PB，故選答案：C 5ABC的三個頂點(diǎn)A、B、C到平面α的距離分別為2 cm、3 cm、4 cm，且它們在α的同側(cè)，則△ABC的重心到平面α的距離為解析：如下圖，設(shè)A、B、C在平面α上的射影分別為A′、B′、C′，△ABC的重心為G，連結(jié)CG交

AB于中點(diǎn)E，又設(shè)E、G在平面α上的射影分別為E′、G′，則E′∈A′B，G′∈C′E，EE′=A′

A+B′B）=，CC′=4，CG∶GE=2∶1，在直角梯形EE′C′C中可求得GG′=3答案：3 cm

6ABCD—A1B1C1D1中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件_______時，有A1C⊥B1D1認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情況）答案：A1C1⊥B1D1或四邊形A1B1C1D1為菱形等 7ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，則（1）A點(diǎn)到CD1的距離為________；（2）A點(diǎn)到BD1的距離為________；

（3）A點(diǎn)到面BDD1B1的距離為_____________；（4）A點(diǎn)到面A1BD的距離為_____________；（5）AA1與面BB1D1D的距離為__________6622（2）（3）（4）（5）232

328△ABC在平面α內(nèi)的射影是△A1B1C1，設(shè)直角邊AB∥α，則△A1B1C1的形狀是_____________三角形答案：（1）

解析：根據(jù)兩平行平面的性質(zhì)及平行角定理，知△A1B1C的形狀仍是Rt△答案：直角 4ABCD—A1B1C1D1中，M為CC1的中點(diǎn)，AC交BD于點(diǎn)O，求證：A1O⊥平面MBD證明：連結(jié)MO ∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A∩AC=A，∴DB⊥平面A1ACC1又A1O?平面A1ACC1，∴A1O⊥DB

（1）解：當(dāng)a=2時，ABCD為正方形，則BD⊥AC又∵PA⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA∴BD⊥平面故當(dāng)a=2時，BD⊥平面PAC（2）證明：當(dāng)a=4時，取BC邊的中點(diǎn)M，AD邊的中點(diǎn)N，連結(jié)AM、DM、BMN∵ABMN和DCMN都是正方形，∴∠AMD=∠AMN+∠DMN=45°+45°=90°，即DM⊥AM又PA⊥底面ABCD，由三垂線定理得，PM⊥DM，故當(dāng)a=4時，BC邊的中點(diǎn)M使PM⊥DM（3）解：設(shè)M是BC邊上符合題設(shè)的點(diǎn)M，∵PA⊥底面ABCD，∴DM⊥AM因此，M點(diǎn)應(yīng)是以AD為直徑的圓和BC邊的一個公共點(diǎn)，則AD≥2AB，即a≥4點(diǎn)評：本題的解決中充分運(yùn)用了平面幾何的相關(guān)知識因此，立體幾何解題中，要注意有關(guān)的平面幾何知識的運(yùn)用事實(shí)上，立體幾何問題最終是在一個或幾個平面中得以解決的在矩形A1ACC1中，tan∠AA1O=

22，tan∠MOC=，22

∴∠AA1O=∠MOC，則∠A1OA+∠MOC=90A1O⊥OM∵OM∩DB=O，∴A1O⊥平面9S—ABC中，N是S在底面ABC上的射影，且N在△ABC的AB邊的高CD上，點(diǎn)M∈SC，截面MAB和底面ABC所成的二面角M—AB—C等于∠NSC，求證：SC⊥截面證明：∵CD是SC在底面ABC上的射影，AB⊥CD，∴AB⊥SCMD∵∠MDC=∠NSC，∴DM⊥SCAB∩DM=D，∴SC⊥截面MABABC中，∠ACB=90°，AB=8，∠BAC=60°，PC⊥平面ABC，PC=4，M為AB邊上的一個動點(diǎn)，求PM的最小值解：∵P是定點(diǎn)，要使PM的值最小，只需使PM⊥AB即可 要使PM⊥AB，由于PC⊥平面ABC，∴只需使CM⊥AB即可

∵∠BAC=60°，AB=8，∴AC=AB·cos60°=4

∴CM=AC·sin60°=4·

=2

B

∴PM=PC2?CM2=?

12P—ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，又側(cè)棱PA⊥底面ABCD（1）當(dāng)a為何值時，BD⊥平面PAC?試證明你的結(jié)論（2）當(dāng)a=4時，求證：BC邊上存在一點(diǎn)M，使得PM⊥（3）若在BC邊上至少存在一點(diǎn)M，使PM⊥DM，求a的取值范圍分析：本題第（1）問是尋求BD⊥平面PAC的條件，即BD垂直平面PAC內(nèi)兩相交直線，易知BD⊥PA，問題歸結(jié)為a為何值時，BD⊥AC，從而知ABCD為正方形-4-

第五篇：線面垂直教案

課題：直線與平面垂直

授課教師：伍良云

【教學(xué)目標(biāo)】

知識與技能

1、掌握直線與平面垂直的定義及判定定理.2、使學(xué)生掌握判定直線與平面垂直的方法.過程與方法

培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，使他們在直觀感知，操作確認(rèn)的基礎(chǔ)上學(xué)會歸納、概括結(jié)論.情感、態(tài)度與價(jià)值觀

在體驗(yàn)數(shù)學(xué)美的過程中激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，從而培養(yǎng)學(xué)生勤于思考、勤于動手的良好品質(zhì).培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會從“感性認(rèn)識”到“理性認(rèn)識”過程中獲取新知.教學(xué)重點(diǎn)

直線與平面垂直的定義及判定定理.教學(xué)難點(diǎn)

直線與平面垂直的定義及判定定理

教學(xué)方法：啟發(fā)式與試驗(yàn)探究式相結(jié)合。

教學(xué)手段：PPT、實(shí)物?！窘虒W(xué)過程】

一、實(shí)例引入，理解概念

1．通過復(fù)習(xí)空間直線與平面的位置關(guān)系，讓學(xué)生舉例感知生活中直線與平面相交的位置關(guān)系，其中最特殊、最常見的一種就是線面的垂直關(guān)系，從而引出課題． 2．讓學(xué)生從與生活有關(guān)的直線與平面垂直現(xiàn)象的實(shí)例中抽象歸納出直線與平面垂直的定義，并給出學(xué)生非常熟悉的旗桿，引導(dǎo)他們觀察旗桿與地面位置關(guān)系，驗(yàn)證直線與平面垂直的定義，引出直線與平面垂直的定義．即：如果直線l與平面?內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面?互相垂直．記作：l⊥?.直線l叫做平面?的垂線，平面?叫做直線l的垂面．直線與平面垂直時，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足。

二．剖析概念，運(yùn)用定義：

例1． 求證：如果兩條平行直線中的一條垂直與一個平面，那么另一條也垂直于這個平面．

學(xué)生動筆練習(xí)，投影，學(xué)生分析：欲證b??，需證直線b與面?內(nèi)任意一條直線垂直；通過直線a轉(zhuǎn)化。

通過例1，讓學(xué)生知道直線與平面垂直的定義既可以用來證明直線與平面垂直，又可以用來證明直線與直線垂直。

三：通過試驗(yàn)，探究直線與平面垂直的判定定理

準(zhǔn)備一個三角形紙片，三個頂點(diǎn)分別記作A，B，C．如圖，過△ABC的頂點(diǎn)A折 疊紙片，得到折痕AD，將折疊后的紙片打開豎起放置在桌面上．（使BD、DC邊與桌面接觸）

問題1：折痕AD與桌面一定垂直嗎？

問題2：如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面?垂直？ 問題3：為什么這樣折折痕與桌面是垂直的？

問題4：如果改變紙片打開的角度，折痕能與桌面保持垂直嗎？

問題5：我們就可以固定平面ABD，另一個平面繞AD旋轉(zhuǎn)，由此，你能總結(jié)出什么樣的結(jié)論？

讓學(xué)生在操作過程中，通過不斷的追問，最終確認(rèn)并理解判定定理的條件． 最后，引導(dǎo)學(xué)生從文字語言、符號語言、圖形語言三個方面歸納直線和平面垂直的判定定理．

AABD圖1CB圖2DC

文字語言：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．

符號語言：l?a，l?b，a??，b??，a?b?A?l??．

圖形語言：

四．運(yùn)用定理，加深理解：

例2:在正方體ABCD?A'B'C'D'中，證明：棱BB'和底面ABCD垂直．

五、課堂練習(xí)

1．已知平面?與?外一直線l，下列命題中:(1)若l垂直?內(nèi)兩直線，則l⊥?(2)若l垂直?內(nèi)所有直線，則l⊥?(3)若l垂直?內(nèi)兩相交直線，則l⊥?(4)若l垂直?內(nèi)無數(shù)條直線，則l⊥?(5)若l垂直?內(nèi)任一條直線，則l⊥? 其中正確的個數(shù)為

l ? a b D'A'B'C'DAB

C

六、歸納小結(jié)，提高認(rèn)識

1．學(xué)習(xí)小結(jié)：從知識和方法兩個方面進(jìn)行．

知識方面：線面垂直的定義、線面垂直的判定定理及線面垂直的性質(zhì)定理．

方法方面：轉(zhuǎn)化思想

七．布置作業(yè)：

（1）閱讀課本相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行復(fù)習(xí)；（2）學(xué)海導(dǎo)航