第一篇：立體幾何三視圖及線面平行經(jīng)典練習(xí)

立體幾何三視圖

例

1、若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是

（）（A）2（B）1（C）2 31（D）

3例

2、一個(gè)幾何體的三視圖如圖，該幾何體的表面積是（）

（A）372（B）360（C）292（D）280

例

3、如圖1，△ ABC為正三角形，AA?//BB? //CC? , CC? ⊥平面ABC且3AA?=

（）

例

4、一空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為().A.2??

B.4??

3BB?=CC?=AB,則多面體△ABC-A?B?C?的正視圖（也稱主視圖）是

2C.2??

練習(xí)

D.4?? 3

3正(主)視

側(cè)(左)視圖

俯視圖

1.一個(gè)空間幾何體的正視圖是長(zhǎng)為4，寬為3的長(zhǎng)方形，側(cè)視圖是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，俯視圖如圖2所示，則這個(gè)幾何體的體積為 A．

234B．2C．D．

433

2.如圖所示，一個(gè)空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊 長(zhǎng)為1的正方形，俯視圖是一個(gè)圓，那么這個(gè)幾何 體的體積為 ．．

??

B． 42

C．?D．?

2A．

側(cè)視圖

3.一個(gè)幾何體的三視圖如圖2所示,那么這個(gè)幾何體的表面積為

.．．．

2正視圖

2側(cè)視圖

正視圖

側(cè)視圖

俯視圖

俯視圖

4.已知某幾何體的三視圖如圖所示, 其中俯視圖是腰長(zhǎng)為2的等腰梯形, 則該幾何體的體積為

A.C.空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 1平面

判定直線在平面內(nèi)：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這兩條直線在此平面內(nèi)。

確定一個(gè)平面：過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面 推論1：一個(gè)直線外的點(diǎn)與一條直線確定一個(gè)平面 推論2：兩條相交直線確定一個(gè)平面 推論3：兩條平行直線確定一個(gè)平面

公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線。

空間中直線與直線的位置關(guān)系

判斷直線與直線平行：平行于同一條直線的兩直線互相平行（平行的傳遞性）等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。異面直線垂直：如果兩條異面直線所成角是直角，那么這兩條線互相垂直?！ぎ惷嬷本€所成角不大于90度!空間中直線與平面之間的位置關(guān)系

·直線與平面的位置關(guān)系：在平面內(nèi),與平面相交,與平面平行。平面與平面之間的位置關(guān)系

·平面與平面的位置關(guān)系有且只有兩種：相交于平行 2 直線、平面平行的判定及其性質(zhì) 直線與平面平行的判定

定理1：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

定理2：若兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)面的任意一條直線與另一個(gè)面平行。平面與平面平行的判定

定理1：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行 定理2,：若兩條相交直線與另外兩條相交直線分別平行，則這兩個(gè)平面平行直線與平面平行的性質(zhì)

定理1：一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與此平面平行。

（·作用：證明線線平行 ·做法：經(jīng)已知直線做一個(gè)平面與已知平面相交）平面與平面平行的性質(zhì)

定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么他們的交線平行。

補(bǔ)充：證明線線平行的方法： 1.平行的傳遞性

2.線面平行的性質(zhì)定理（·關(guān)鍵：尋找面面的交線）3.證明為第三個(gè)平面與兩個(gè)平行平面的交線

一、選擇題

1．下列條件中,能判斷兩個(gè)平面平行的是()A．一個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行于另一個(gè)平面;B．一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面 C．一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面 D．一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個(gè)平面

2、已知直線a與直線b垂直,a平行于平面α,則b與α的位置關(guān)系是()A.b∥αB.b

α

C.b與α相交D.以上都有可能

3． 直線a，b,c及平面?，?，使a//b成立的條件是（）

A．a(chǎn)//?,b??B．a(chǎn)//?,b//?C．a(chǎn)//c,b//cD．a(chǎn)//?,????b 4．若直線m不平行于平面?，且m??，則下列結(jié)論成立的是（）A．?內(nèi)的所有直線與m異面B．?內(nèi)不存在與m平行的直線 C．?內(nèi)存在唯一的直線與m平行D．?內(nèi)的直線與m都相交 5．下列命題中，假命題的個(gè)數(shù)是（）

① 一條直線平行于一個(gè)平面，這條直線就和這個(gè)平面內(nèi)的任何直線不相交；② 過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線和這個(gè)平面平行；③ 過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和這條直線平行；④平行于同一條直線的兩條直線和同一平面平行；

A．4B．3C．2D．1 6．在空間中，下列命題正確的是()． A．若a∥α，b∥a，則b∥α

B．若a∥α，b∥α，a?β，b?β，則β∥α C．若α∥β，b∥α，則b∥β D．若α∥β，a?α，則a∥β．β是兩個(gè)不重合的平面，a，b是兩條不同直線，在下列條件下，可判定?∥β?，的是（）

A．?，β都平行于直線a，b

B．?內(nèi)有三個(gè)不共線點(diǎn)到β的距離相等 C．a(chǎn)，b是?內(nèi)兩條直線，且a∥β，b∥β

D．a(chǎn)，b是兩條異面直線且a∥?，b∥?，a∥β，b∥β

8．平面α∥平面β，a?α，b?β，則直線a，b的位置關(guān)系是()． A．平行C．異面

B．相交 D．平行或異面

9．設(shè)a,b表示直線，?,?表示平面，P是空間一點(diǎn)，下面命題中正確的是（）A．a(chǎn)??，則a//?B．a(chǎn)//?，b??，則a//bC．?//?,a??,b??，則a//bD．P?a,P??,a//?,?//?，則a?? 10．一條直線若同時(shí)平行于兩個(gè)相交平面，那么這條直線與這兩個(gè)平面的交線的位置關(guān)系是（）

A.異面B.相交C.平行D.不能確定 11.下列四個(gè)命題中，正確的是（）①夾在兩條平行線間的平行線段相等；②夾在兩條平行線間的相等線段平行；③如果一條直線和一個(gè)平面平行，那么夾在這條直線和平面間的平行線段相等；④如果一條直線和一個(gè)平面平行，那么夾在這條直線和平面間的相等線段平行 A．①③B．①②C．②③D．③④ 12．在下列命題中，假命題的是A.若平面α內(nèi)的任一直線平行于平面β，則α∥βB.若兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，則兩個(gè)平面平行

C.若平面α∥平面β，任取直線a?α，則必有a∥β

D.若兩條直線夾在兩個(gè)平行平面間的線段長(zhǎng)相等，則兩條直線平行

二、填空題

13．如下圖所示，四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得到AB//面MNP的圖形的序號(hào)的是

①②③④

14．正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為DD1中點(diǎn)，則BD1和平面ACE位置關(guān)系是．

15．a(chǎn)，b，ｃ為三條不重合的直線，α，β，γ不在平面內(nèi)，給出六個(gè)命題：

a∥c?a∥???∥c?①??a∥b;②??a∥b;③???∥?;b∥c?b∥???∥c?④

為三個(gè)不重合的平面，直線均

?∥c?

?∥???∥??

??a∥?;⑤???∥??⑥??a∥??a∥c??∥??a∥??

其中正確的命題是________________.16.如圖，若PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，E、F分別是AB、PD的中點(diǎn)，求證：AF∥平面

PCE.

第二篇：立體幾何線面平行問(wèn)題

線線問(wèn)題及線面平行問(wèn)題

一、知識(shí)點(diǎn) 1 1）相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；（2）平行——在同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；（3）異面——不在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)； ．．

2.公理4 ：推理模式：a//b,b//c?a//c．

3.等角定理：4.等角定理的推論:若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行,那么這兩條直線所成的銳角(或直角)相等.5.空間兩條異面直線的畫法

6．異面直線定理：連結(jié)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，b

a

1AA

推理模式：A??,B??,l??,B?l?AB與l

7．異面直線所成的角：已知兩條異面直線a,b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線a?//a,b?//b，a?,b?所成的角的大小與點(diǎn)O的選擇無(wú)關(guān)，把a(bǔ)?,b?所成的銳角（或直角）叫異面直線a,b所成的角（或夾角）．為了簡(jiǎn)便，點(diǎn)O(0,?

28．異面直線垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直．兩條異面直線a,b 垂直，記作a?b．

9．求異面直線所成的角的方法：（1）通過(guò)平移，在一條直線上找一點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)做另一直線的平行線；

（210．兩條異面直線的公垂線、距離：和兩條異面直線都垂直相交．．．．

異面直線的的定義要注意“相交

11．異面直線間的距離：兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段垂線段）的長(zhǎng)度，叫做兩條異面直線間的距離．

12．直線和平面的位置關(guān)系（1）直線在平面內(nèi)（無(wú)數(shù)個(gè)公共a點(diǎn)）；（2）直線和平面相交（有且只有一個(gè)公共點(diǎn)）；（3）直

?線和平面平行（沒(méi)有公共點(diǎn)）——用兩分法進(jìn)行兩次分

類．它們的圖形分別可表示為如下，符號(hào)分別可表示為a??，a???A，a//?． a?13．線面平行的判定定理：如果平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行．推理模式：l??,m??,l//m?l//?．

14.線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這

相交，那么這條直線和交線平行．推理模式：l//?,l??,????m?l//m．

?lm個(gè)平面?

二、基本題型

1．判斷題（對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”）

（1）垂直于兩條異面直線的直線有且只有一條（）

（2）兩線段AB、CD不在同一平面內(nèi)，如果AC=BD，AD=BC，則AB⊥CD（）（3）在正方體中，相鄰兩側(cè)面的一對(duì)異面的對(duì)角線所成的角為60o（）（4）四邊形的一邊不可能既和它的鄰邊垂直，又和它的對(duì)邊垂直（）

2．右圖是正方體平面展開(kāi)圖，在這個(gè)正方體中

C

①BM與ED平行；②CN與BE是異面直線；③CN與BM成60o角； ④DM與BN垂直.以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是（）（A）①②③（B）②④（C）③④（DF

3．已知空間四邊形ABCD.(1)求證：對(duì)角線AC與BD是異面直線;(2)若AC⊥BD,E,F,G,H分別這四條邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),試判斷四邊形EFGH的形狀;(3)若AB＝

BC＝CD＝DA,作出異面直線AC與BD的公垂線段.4．完成下列證明，已知直線a、b、c不共面，它們相交于點(diǎn)P，A?a，D?a，B?b，E?c求證：BD和AE證明：假設(shè)__ 共面于?，則點(diǎn)A、E、B、D都在平面__?A?a，D?a，∴__?γ.?P?a，∴P?__.?P?b，B?b，P?c，E?c∴__??，__??，這與____矛 ∴BD、E,F,G,H分別是空間四邊形四條邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)，（1）求證四邊形EFGH是

2）若AC⊥BD時(shí)，求證：EFGH為矩形；（3）若BD=2，AC=6，求EG

?HF

；（4）

若AC、BD成30o角，AC=6，BD=4，求四邊形EFGH的面積；（5）若AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，求AC與BD間的距離.6 間四邊形ABCD中，AD?BC?2，E,F分別是AB,CD的中點(diǎn)，EF?AD,BC7.在正方體ABCD－A1B1C1D1中,求(1)A1B與B1D1所成角;(2)AC與BD1所成角.8．在長(zhǎng)方體ABCD?A?B?C?D中，已知AB=a，BC=b，AA?=c(a＞b)，求異面直線D?B與AC

9．如圖，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M、N分別

是AB、PC1）求證：MN//平面PAD；（2）若MN?BC?4，PA? 求異面

直線PA與MN10．如圖,正方形ABCD與ABEF不在同一平面內(nèi),M、N分別在AC、BF上，且AM?FN求證：MN//平面CBE

參考答案：

1.（1）×（2）×（3）√（4）×2.C

3.證明：(1)∵ABCD是空間四邊形,∴A點(diǎn)不在平面BCD上,而C?平面BCD, ∴AC過(guò)平面BCD外一點(diǎn)A與平面BCD內(nèi)一點(diǎn)C, 又∵BD?平面BCD,且C?BD.∴AC與BD是異面直線.(2)解如圖,∵E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),∴EF//AC,且EF=同理HG//AC,且HG=

212

AC.AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四邊形.又∵F,G分別為BC,CD的中點(diǎn),∴FG//BD,∴∠EFG是異面直線AC與BD所成的角.o

∵AC⊥BD,∴∠EFG=90.∴EFGH是矩形.(3)作法取BD中點(diǎn)E,AC中點(diǎn)F,連EF,則EF即為所求.4.答案：假設(shè)BD、AE共面于?，則點(diǎn)A、E、B、D都在平面 ? ∵A?a，D?a，∴ a ??.∵P?a，P? ?.∵P?b，B?b，P?c，E?c.∴ b ??，c ??，這與a、b、c∴BD、AE5.證明（1）：連結(jié)AC,BD，∵E,F是?ABC的邊AB,BC上的中點(diǎn)，∴EF//AC，同理，HG//AC，∴EF//HG，同理，EH//FG，所以，四邊形EFGH證明（2）：由（1）四邊形EFGH∵EF//AC，EH//BD，∴由AC⊥BD得，EF?EH，∴EFGH為矩形.解（3）：由（1）四邊形EFGH∵BD=2，AC=6，∴EF?

2AC?3,EH?

BD?

1∴由平行四邊形的對(duì)角線的性質(zhì) EG?HF?2(EF

?EH)?20.B

D解（4）：由（1）四邊形EFGH∵BD=4，AC=6，∴EF?

又∵EF//AC，EH//BD，AC、BD成30o角，∴EF、EH成30o角，AC?3,EH?

BD?

2∴四邊形EFGH的面積 S?EF?EHsin30

?3.解（5）：分別取AC與BD的中點(diǎn)M、N,連接MN、MB、MD、NA、NC，∵AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，∴MB＝MD＝NA＝NC＝3 ∴MN?AC,MN?BD，∴MN是AC與BD的公垂線段 且MN?

MB

?NB

?2∴AC與BD間的距離為2.6.解：取BD中點(diǎn)G，連結(jié)EG,FG,EF，∵E,F分別是AB,CD的中點(diǎn)，∴EG//AD,FG//BC,且EG?

2AD?1,FG?

BC?1，∴異面直線AD,BC所成的角即為EG,FG所成的角，EG?FG?EF

2EG?FG

在?EGF中，cos?EGF???

?，G

F

D

∴?EGF?120，異面直線AD,BC所成的角為60．

7.解(1)如圖,連結(jié)BD,A1D,∵ABCD-A1B1C1D1是正方體,∴DD1平行且相等BB1.∴DBB1D1為平行四邊形,∴BD//B1D1.∴A1B,BD,A1D是全等的正方形的對(duì)角線.∴A1B=BD=A1D,△A1BD是正三角形,∴∠A1BD=60,∵∠A1BD是銳角,∴∠A1BD是異面直線A1B與B1D1所成的角.∴A1B與B1D1成角為60o.(2)連BD交AC于O,取DD1 中點(diǎn)E,連EO,EA,EC.∵O為BD中點(diǎn),∴OE//BD1.∵∠EDA=90o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC.在等腰△EAC中,∵O是AC的中點(diǎn),∴EO⊥AC,∴∠EOA=90o.又∴∠EOA是異面直線AC與BD1所成角,∴AC與BD1成角90.8.解(1)如圖,連結(jié)BD,A1D,∵ABCD-A1B1C1D1是正方體,∴DD1平行且相等BB1.∴DBB1D1為平行四邊形,∴BD//B1D1.∴A1B,BD,A1D是全等的正方形的對(duì)角線.∴A1B=BD=A1D,△A1BD是正三角形, ∴∠A1BD=60o,∵∠A1BD是銳角,∴∠A1BD是異面直線A1B與B1D1所成的角.∴A1B與B1D1成角為60o.(2)連BD交AC于O,取DD1 中點(diǎn)E,連EO,EA,EC.∵O為BD中點(diǎn),∴OE//BD1.∵∠EDA=90o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC.o

在等腰△EAC中,∵O是AC的中點(diǎn),∴EO⊥AC,∴∠EOA=90.又∴∠EOA是異面直線AC與BD1所成角,∴AC與BD成角90o.9.略證（1）取PD的中點(diǎn)H，連接AH，?NH//DC,NH?

12DC

o

o

?

C

?NH//AM,NH?AM?AMNH為平行四邊形 ?MN//AH,MN?PAD,AH?PAD?MN//PAD

解(2): 連接AC并取其中點(diǎn)為O，連接OM、ON，則OM平行且等于BC的一半，ON平行且等

于PA的一半，所以?ONM就是異面直線PA與MN所成的角，由

MN?BC?

4，PA?OM=2，ON=

所以?ONM?300，即異面直線PA與MN成30010.略證：作MT//AB,NH//AB分別交BC、BE于T、H點(diǎn)

AM?FN??CMT≌BNH?MT?NH

從而有MNHT為平行四邊形?MN//TH?MN//CBE

E

第三篇：立體幾何中線面平行垂直性質(zhì)判定2012

2012考前集訓(xùn)高頻考點(diǎn)立體幾何考綱解讀

必須掌握空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理

判定定理

1.如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線與這個(gè)平面平行.即若a??,b??,a//b,則a//?.2.如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行，即若a,b??,a?b?p,a//?,b//?,則?//?.3.如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直.即若m??,n??,m?n?B,l?m,l?n,則l??.4.如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直，即若l??,l??,則???.性質(zhì)定理

1.如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行，即若a//?,a??,????b,則a//b.2.兩平行平面與同一個(gè)平面相交，那么兩條交線平行，即若α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,則a//b

3.垂直于同一平面的兩直線平行，即若a??,b??,則a//b

4.如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面，即若???，????a,l??,l?a,則l??.必須掌握常見(jiàn)幾何體的表面積及體積公式：

V柱體?Sh(S為底面積,h為柱體高)

V錐體?V臺(tái)體

V球體1Sh(S為底面積,h為柱體高)31?(S'?S'S?S)h(S',S分別為上,下底面積,h為臺(tái)體高)34??R3(R為球體半徑)

31.在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，∠ ACB=90?，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.若Ｍ是線段ＡＤ的中點(diǎn)，求證：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;

【解析】連結(jié)AF,因?yàn)镋F∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，EF∩ＦＧ=F,所以平面EFG∥平面ABCD,又易證

?EFG∽?ABC, 所以

FGEF111??,即FG?BC,即FG?AD,又M為

AD BCAB222-1-的中點(diǎn),所以AM?1AD,又因?yàn)椋疲恰危拢谩危罝，所以ＦＧ∥ＡM,所以四邊形AMGF是平行四邊形,故

2GM∥FA,又因?yàn)椋牵?平面ＡＢＦＥ,FA?平面ＡＢＦＥ,所以ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ.2．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延長(zhǎng)A1C1至點(diǎn)P，使C1P＝A1C1，連接AP交棱CC1于D．求證：PB1∥平面BDA1；

本小題主要考查直三棱柱的性質(zhì)、線面關(guān)系、二面角等基本知識(shí)，并考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查應(yīng)用向量知識(shí)解決問(wèn)題的能力．

解：連結(jié)AB1與BA1交于點(diǎn)O，連結(jié)OD，∵C1D∥平面AA1，A1C1∥AP，∴AD=PD，又AO=B1O，∴OD∥PB1，又OD?面BDA1，PB1?面BDA1，∴PB1∥平面BDA1．

3.如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，點(diǎn)E在線段AD上，CE∥AB。

（Ⅰ）求證：CE⊥平面PAD；

（Ⅱ）若PA＝AB＝1，AD＝3，CD2，∠CDA＝45°，求四棱錐P－ABCD的體積

D

C

分析：本小題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，幾何體的體積等基礎(chǔ)知識(shí)；考查空間想象能

力，推理論證能力，運(yùn)算求解能力；考查數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想，滿分12分

（I）證明：因?yàn)镻A?平面ABCD，CE?平面ABCD，所以PA?CE.，因?yàn)锳B?AD,CE//AB,所以CE?AD.又PA?AD?A,所以CE?平面PAD。

（II）由（I）可知CE?AD，在Rt?ECD中，DE=CD?cos45??1,CE?CD?sin45??1,又因?yàn)锳B?CE?1,AB//CE，所以四邊形ABCE為矩形，所以S四邊形ABCD?S矩形ADCE?S?ECD?AB?AE?

又PA?平面ABCD，PA=1，所以V四邊形P?ABCD?P115CE?DE?1?2??1?1?.2221155S四邊形ABCD?PA???1?.3326

4.如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點(diǎn)

求證：（1）直線EF//平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面

PAD.-2-

(第16題圖)

答案：（1）因?yàn)镋、F分別是AP、AD的中點(diǎn)，?EF?PD,又?PD?面PCD,EF?面PCD

?直線EF//平面PCD

（2）連接BD?AB=AD,?BAD=60?,?ABD為正三角形

F是AD的中點(diǎn)，?BF?AD,又平面PAD⊥平面ABCD，面PAD?面ABCD＝AD,?BF?面PAD,BF?面BEF

所以，平面BEF⊥平面PAD.5．如圖，四邊形ABCD為正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=1PD． 2

（I）證明：PQ⊥平面DCQ；

（II）求棱錐Q—ABCD的的體積與棱錐P—DCQ的體積的比值．

解：（I）由條件知PDAQ為直角梯形

因?yàn)镼A⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交線為AD.又四邊形ABCD為正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ

⊥DC.在直角梯形PDAQ中可得，則PQ⊥QD 所以PQ⊥平面DCQ.………………6分

（II）設(shè)AB=a.由題設(shè)知AQ為棱錐Q—ABCD的高，所以棱錐Q—ABCD的體積V1?

由（I）知PQ為棱錐P—DCQ的高，而，△DCQ的面積為

所以棱錐P—DCQ的體積為V2?13a.32，213a.3

故棱錐Q—ABCD的體積與棱錐P—DCQ的體積的比值為1.…………12分

ABCD，底面ABCD是平行四邊形，6．山東文如圖，在四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1中，D1D?平面

AB=2AD，AD=A1B1，?BAD=60°

（Ⅰ）證明：AA1?BD；

（Ⅱ）證明：CC1∥平面A1BD．

（I）證法一：

因?yàn)镈1D?平面ABCD，且BD?平面ABCD，所以D1D?BD，又因?yàn)锳B=2AD，?BAD?60?，在?ABD中，由余弦定理得

BD2?AD2?AB2?2AD?ABcos60??3AD2，所以AD2?BD2?AB2，因此AD?BD，又AD?D1D?D,所以BD?平面ADD1A1?平面ADD1A1，故AA1?BD.1.又AA

證法二：

因?yàn)镈1D?平面ABCD，且BD?平面ABCD，所以BD?D1D.，取AB的中點(diǎn)G，連接DG，在?ABD中，由AB=2AD得AG=AD，又?BAD?60?，所以?ADG為等邊三角形。

因此GD=GB，故?DBG??GDB，又?AGD?60?，所以?GDB=30?,故?ADB=?ADG+?GDB=60?+30?=90?,所以BD?AD.又AD?D1D?D,所以BD?平面ADD1A1，又AA1?平面ADD1A1，故AA1?BD.（II）連接AC，A1C1，設(shè)AC?BD?E，連接EA1

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以EC?1AC.2

由棱臺(tái)定義及AB=2AD=2A1B1知A1C1//EC且A1C1=EC，所以邊四形A1ECC1為平行四邊形，因此CC1//EA1，又因?yàn)镋A1?平面A1BD，CC1?平面A1BD，所以CC1//平面A1BD。

7.如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90，（1）證明：平面ＡＤＢ⊥平面ＢＤＣ；

（2）設(shè)BD=1，求三棱錐D—ＡＢＣ的表面積。

【分析】（1）確定圖形在折起前后的不變性質(zhì)，如角的大小不變，線段長(zhǎng)度不變，線線關(guān)系不變，再由面面垂直的判定定理進(jìn)行推理證明；（2）充分利用垂直所得的直角三角形，根據(jù)直角三角形的面積公式計(jì)算．

【解】（1）∵折起前ＡＤ是ＢＣ邊上的高，∴ 當(dāng)Δ ＡＢＤ折起后，AD⊥ＤＣ，AD⊥ＤＢ，又DB?ＤＣ＝Ｄ，∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ，又∵AD

∴平面ABD⊥平面BDC．

（2）由（1）知，DA?DB,DB?DC,DC?DA,?DB=DA=DC=1，平面BDC.?

111S?DAM?S?

DBC?S?DCA??1?1?,S?

ABC?sin60?? 2222

13S??3?? ∴三棱錐D

—ＡＢＣ的表面積是222

8.在四面體ABCD中，平面ABC?平面ACD，AB?BC，AD?CD，?CAD????。若AD??，AB??BC，求四面體ABCD的體積；

解：如答（19）圖1，設(shè)F為AC的中點(diǎn)，由于AD=CD，所以

DF⊥AC.故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF是四面體ABCD的面ABC上的高，且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°

在Rt△ABC中，因

AC=2AF=

AB=2BC，由勾股定理易知

BC?； AB?故四面體ABCD的體積

1114V??S?ABC?DF???.3325

9.如圖，在四面體的體積;中，平面平面，,.求四面體

解法一：如答（20）圖1，過(guò)D作DF⊥AC垂足為F，故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF

是四面體ABCD的面ABC上的高，設(shè)G為邊CD的中點(diǎn)，則由AC=AD，知AG⊥CD，從而

AG???2A

C

B11AG?CD由AC?DF?CD?AG得DF??22AC由

Rt?ABC中,AB??S?ABC?1AB?BC? 2故四面體ABCD的體積V?

1?S?ABC?DF?

38-5-

第四篇：高中立體幾何中線面平行的常見(jiàn)方法

高中立體幾何證明平行的專題訓(xùn)練

立體幾何中證明線面平行或面面平行都可轉(zhuǎn)化為 線線平行，而證明線線平行一般有以下的一些方法：

（1）通過(guò)“平移”。

（2）利用三角形中位線的性質(zhì)。

（3）利用平行四邊形的性質(zhì)。

（4）利用對(duì)應(yīng)線段成比例。

（5）利用面面平行，等等。

(1)通過(guò)“平移”再利用平行四邊形的性質(zhì)

1．如圖，四棱錐P－ABCD的底面是平行四邊形，點(diǎn)E、F分別為棱AB、PD的中點(diǎn)．求證：AF∥平面PCE；

分析：取PC的中點(diǎn)G，連EG.，F(xiàn)G，則易證AEGF是平行四邊形

（第1題圖）

2、如圖，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋，過(guò)A作AE⊥CD，垂足為E，G、F分別為AD、CE的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ADE沿AE折疊，使得DE⊥EC.（Ⅰ）求證：BC⊥面CDE；（Ⅱ）求證：FG∥面BCD；

分析：取DB的中點(diǎn)H，連GH,HC則易證FGHC

是平行四邊形

3、已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，D, E, F分別為AA1, CC1, AB的中點(diǎn)，M為BE的中點(diǎn), AC⊥BE.求證：

（Ⅰ）C1D⊥BC；（Ⅱ）C1D∥平面B1FM.B分析：連EA，易證C1EAD是平行四邊形，于是MF//EA

F

A

1D

A4、如圖所示, 四棱錐P?ABCD底面是直角梯形, BA?AD,CD?AD,CD=2AB, E為PC的中點(diǎn), 證明: EB//平面PAD;

分析:：取PD的中點(diǎn)F，連EF,AF則易證ABEF是

平行四邊形

(2)利用三角形中位線的性質(zhì)

5、如圖，已知E、F、G、M分別是四面體的棱AD、CD、BD、BC的中點(diǎn)，求證：

AM∥平面EFG。

分析：連MD交GF于H，易證EH是△AMD的中位線

6、如圖，ABCD是正方形，O是正方形的中心，E是PC的中點(diǎn)。求證： PA ∥平面BDE

7．如圖，三棱柱ABC—A1B1C1中，D為AC的中點(diǎn).求證：AB1//面BDC1；

分析：連B1C交BC1于點(diǎn)E，易證ED是

△B1AC的中位線

8、如圖，平面ABEF?平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，?BAD??FAB?900,BC

//?

AD，BE

2//?

AF，G,H分別為FA,FD的中點(diǎn) 2

（Ⅰ）證明：四邊形BCHG是平行四邊形；（Ⅱ）C,D,F,E四點(diǎn)是否共面？為什么？

（.3）

利用平行四邊形的性質(zhì)

9．正方體ABCD—A1B1C1D1中O為正方形ABCD的中心，M為BB1的中點(diǎn)，求證： D1O//平面A1BC1;

分析：連D1B1交A1C1于O1點(diǎn)，易證四邊形OBB1O1 是平行四邊形

10、在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB=

DC，E為PD中點(diǎn).2求證：AE∥平面PBC；

分析：取PC的中點(diǎn)F，連EF則易證ABFE 是平行四邊形

11、在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，∠ ACB=90?，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.（Ⅰ）若Ｍ是線段ＡＤ的中點(diǎn)，求證：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大?。?/p>

（I）證法一：

因?yàn)镋F//AB，F(xiàn)G//BC，EG//AC，?ACB?90?，所以?EGF?90?,?ABC∽?EFG.由于AB=2EF，因此，BC=2FC，連接AF，由于FG//BC，F(xiàn)G?

BC

2BC 2

在?ABCD中，M是線段AD的中點(diǎn)，則AM//BC，且AM?

因此FG//AM且FG=AM，所以四邊形AFGM為平行四邊形，因此GM//FA。又FA?平面ABFE，GM?平面ABFE，所以GM//平面AB。

(4)利用對(duì)應(yīng)線段成比例

12、如圖：S是平行四邊形ABCD平面外一點(diǎn)，M、N分別是SA、BD上的點(diǎn)，且求證：MN∥平面SDC

分析：過(guò)M作ME//AD，過(guò)N作NF//AD 利用相似比易證MNFE是平行四邊形

AMBN

=，SMND13、如圖正方形ABCD與ABEF交于AB，M，N分別為AC和BF上的點(diǎn)且AM=FN求證：MN∥平面BEC

分析：過(guò)M作MG//AB，過(guò)N作NH/AB 利用相似比易證MNHG是平行四邊形

（6）利用面面平行

?

14、如圖，三棱錐P?ABC中，PB?底面ABC，?BCA?90，PB=BC=CA，E為PC的中點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PA上，且AF?2FP.（1）求證：BE?平面PAC；（2）求證：CM//平面BEF；

分析: 取AF的中點(diǎn)N，連CN、MN，易證平面CMN//EFB

第五篇：線面平行教案

§2.2.1 直線與平面平行的判定

【教學(xué)目標(biāo)】

（1）識(shí)記直線與平面平行的判定定理并會(huì)應(yīng)用證明簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題；（2）進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)的能力和空間想象能力；（3）讓學(xué)生了解空間與平面互相轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)思想?！窘虒W(xué)重難點(diǎn)】

重點(diǎn)、難點(diǎn)：直線與平面平行的判定定理及應(yīng)用。【教學(xué)過(guò)程】

（一）創(chuàng)設(shè)情景、揭示課題

引導(dǎo)學(xué)生觀察身邊的實(shí)物，如教材第54頁(yè)觀察題：封面所在直線與桌面所在平面具有什么樣的位置關(guān)系？如何去確定這種關(guān)系呢？這就是我們本節(jié)課所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。

（二）研探新知

1、觀察

①當(dāng)門扇繞著一邊轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，門扇轉(zhuǎn)動(dòng)的一邊所在直線與門框所在平面具有什么樣的位置關(guān)系？②將課本放在桌面上，翻動(dòng)書的封面，封面邊緣所在直線與桌面所在平面具有什么樣的位置關(guān)系？

問(wèn)題本質(zhì)：門扇兩邊平行；書的封面的對(duì)邊平行 從情境抽象出圖形語(yǔ)言a

?

b

探究問(wèn)題：

平面?外的直線a平行平面?內(nèi)的直線b ③直線a,b共面嗎？ ④直線a與平面?相交嗎？

課本P55探究學(xué)生思考后，小組共同探討，得出以下結(jié)論 直線與平面平行的判定定理：

簡(jiǎn)記為： 符號(hào)表示：

2、典例

例1 求證：空間四邊形相鄰兩邊中點(diǎn)的連線平行于經(jīng)過(guò)另外兩邊所在的平面。

變式訓(xùn)練 ：如圖，在空間四面體A?BCD中,E,F,M,N分別為各棱的中點(diǎn)，變式一(學(xué)生口頭表達(dá))①四邊形EFMN是什么四邊形？

②若AC?BD，四邊形EFMN是什么四邊形？

B

③若AC?BD，四邊形EFMN是什么四邊形？ C

變式二

①直線AC與平面EFMN的位置關(guān)系是什么？請(qǐng)證明？

②在這圖中，你能找出哪些線面平行關(guān)系？

例

2、如圖，已知P為平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M

求證：PD//平面MAC．

變式訓(xùn)練：如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，試作出過(guò)AC且與直線D1B平行的截面，并說(shuō)明理由．

（三）效果檢測(cè)

1.直線a//直線b,b?平面?,則a與?的位置關(guān)系是：（）

A a//?B a//?或a??C a??Da//?或a??或a與?相交 2.a是平面?外的一條直線，可得出a//?的條件是：（）A a與?內(nèi)的一條直線不相交B a與?內(nèi)的兩條直線不相交

C a與?內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線不相交D a與?內(nèi)的任意一條直線都不相交。

3、過(guò)空間一點(diǎn)作與兩條異面直線都平行的平面，這樣的平面（）A不存在B有且只有一個(gè)或不存在C有且只有一個(gè)D有無(wú)數(shù)個(gè)

4、下列三個(gè)命題正確的個(gè)數(shù)為（）

（1）如果一條直線不在平面內(nèi)，則這條直線與該面平行

（2）過(guò)直線外一點(diǎn)，可以作無(wú)數(shù)個(gè)面與該面平行

（3）如果一條直線與平面平行，則它與平面內(nèi)的任意直線平行 A0B1C2D3 5.下面四個(gè)命題中：

①平面外的直線就是平面的平行線。②平行于同一平面的兩條直線平行 ③過(guò)平面外一點(diǎn)可做無(wú)數(shù)條直線和這個(gè)平面平行。④三角形ABC中，AB//平面?，延長(zhǎng)CA,CB, 分別交?于E,F兩點(diǎn)，則AB//EF.正確命題的序號(hào)是：

6.如圖，在四棱錐P?ABCD中，ABCD是平行四邊形，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)．

求證：MN//平面PAD．

7.如圖，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD,AB=4，BC=CD=2，AA1?2,E,E1,F分別是AD,AA1,AB的中點(diǎn)，證明：EE1//平面FCC

1【作業(yè)布置】

1、教材第62頁(yè)習(xí)題2.2 A組第3題；

2、預(yù)習(xí)：如何判定兩個(gè)平面平行？