第一篇:關(guān)于線面平行問題的探討
關(guān)于線面平行問題的探討
劉玉揚(yáng)中市第二高級中學(xué) 中學(xué)二級教師
摘要:本文重要通過幾個(gè)例題,對高考中常見的線面平行問題做一些簡單的探討,主要討論如何運(yùn)用判定定理來證明線面平行問題。
關(guān)鍵詞: 高考 線面平行 立體幾何
正文
直線和平面平行是立體幾何初步中的一類重要題
型,如何判斷并證明線面平行,也是歷年高考中的常見
題型。本文擬從幾個(gè)經(jīng)典的線面平行例題出發(fā),結(jié)合往
年高考題對線面平行做進(jìn)一步的探討。
【例1】如圖,E,F(xiàn),G,H分別是空間四邊
形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),求證:
(1)四點(diǎn)E,F,G,H共面;(2)BD//平面EFGH,AC//平面EFGH。
分析:(1)要證明E,F,G,H四點(diǎn)共面,可以根據(jù)公理3的第3個(gè)推論,證明這四點(diǎn)所在的兩條直線EH和FG平行,或者直線EF和HG平行;
(2)易得,BD//FG,AC//EF,從而根據(jù)線面平行的判定定理證明。解:(1)?E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),?EF//AC
同理HG//AC,從而EF//HG
所以,直線EF和直線HG可以確定一個(gè)平面?,?E?直線EF,直線EF??,?E??。同理,F(xiàn),G,H??
故E,F,G,H四點(diǎn)共面。
(2)由(1)知,EF//AC,又?EF?面EFGH,AC?面EFGH,?AC//面EFGH。同理,BD
//面EFGH
點(diǎn)撥:本題是蘇教版數(shù)學(xué)必修2第36頁習(xí)題第3題,第(2)問主要考查線面平行的判定定理,比較簡單。
【探究一】將上例改為:E,F(xiàn),G,分別是空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,的中點(diǎn),試在邊DA上找一點(diǎn)H,使得四點(diǎn)E,F,G,H共面,并討論當(dāng)BD和AC滿足什么關(guān)系時(shí),四邊形EFGH為菱形、正方形?
分析:本題可以利用線面平行的性質(zhì)定理,將HG看成是平面EFGH與平面ACD的交線,從而EF//HG,從而易知四邊形EFGH為平行四邊形,再根據(jù)邊的關(guān)系進(jìn)一步探討平行四邊形ABCD的形狀。
解:?E,F分別為邊AB,BC的中點(diǎn),?EF//AC
又?EF?面ACD,AC?平面ACD
?EF//面ACD
?E,F,G,H四點(diǎn)共面,即平面EFGH?平面ACD?HG
從而,EF//HG,故HG//AC,所以,H為邊DA的中點(diǎn)。11AC,GH//AC,所以EFGH,故四邊形EFGH為平行四2
211邊形。當(dāng)EF?FG,即AC?BD,也即AC?BD時(shí),四邊形EFGH為菱形;22
當(dāng)AC?BD時(shí),有EF?FG,從而,當(dāng)AC?BD且AC?BD時(shí),四邊形EFGH易得,EF//為正方形。
【探究二】如果將例1中的E,F,G,H是各邊中點(diǎn)弱化,改為:在空間四面體ABCD
G,H分別是邊AB,BC,CD,DA上的點(diǎn),中,且滿足E,F(xiàn),AEAHCFCG??,EBHDFBGD
結(jié)論還成立嗎?
分析:要證明四點(diǎn)共線以及線面平行,只要找到線線平行就可
以了。例1中,遇到中點(diǎn)經(jīng)常聯(lián)系到中位線得到平行,其實(shí),得到
平行的方法還有很多,思維不能定勢,在做立體幾何題目的時(shí)候要
注意思維的靈活性,抓住線面平行判定的常用方法,找準(zhǔn)線線平行
就可以了。
牛刀小試:[2011·北京卷改]如圖,在四面體PABC中,PC?AB,點(diǎn)D,E,F(xiàn),G分別是棱AP,AC,BC,PB的中點(diǎn).
(1)求證:?DE//平面BCP;
(2)求證:四邊形DEFG為矩形;
解:(1)證明:?D,E分別為AP,AC的中點(diǎn),?DE//PC
又DE?平面BCP,PC?平面BCP
?
DE//平面BCP
(2)?點(diǎn)D,E,F(xiàn),G分別是棱AP,AC,BC,PB的中點(diǎn).
?DE//PC//FG,DG//AB//EF
?四邊形DEFG為平行四邊形.
又?PC?AB,?DE?DG,從而平行四邊形DEFG為矩形.
點(diǎn)評:證明線面平行的方法一般有三種:定義法、線面平行的判定定理、面面平行的性質(zhì)。而在高考中,常見的是運(yùn)用判定定理來證明,這就需要在平面內(nèi)找一條直線與已知直線平行。上面這幾個(gè)題目找平行線都不難,下面我們再分析一下,一般情況下如何找平行線。
【例2】如圖,正方體ABCD?A1B1C1D1中,M,N分別是B1C,BD的中點(diǎn),求證:MN//平面AA1B1B。
分析:只要在平面AA1B1B中找到一條直線與MN平行即可。一種方法,因?yàn)镸,N分別是B1C,BD的中點(diǎn),容易聯(lián)想到中位線,連結(jié)AB1和AC,易得MN//AB1;其次,可以將點(diǎn)C看成投影中心,MN在平面AA1,故MN//AB1B1B的投影正好是AB1。除了用判定定理之外,本題還可以取BC的中點(diǎn)G,通過證明平面MNG//平面AA1B1B得到MN//平面AA1B1B。
解:連結(jié)AB1和AC,因?yàn)镸,N分別是B1C,BD的中點(diǎn),故MN//AB1,又MN?平面AA1B1B,AB1?平面AA1B1B,所以,MN//平面AA1B1B。
【探究一】將原題改為:正方體ABCD?A1B1C1D1中,點(diǎn)N在BD上,點(diǎn)M在B1C上,且CM?DN,求證:MN//平面AA1B1B。
分析:將中點(diǎn)弱化為線段上的點(diǎn),并沒有改變由線線平行得到線面平行的本質(zhì),只是在找平行線時(shí)遇到了困難。用中心投影的方法,本題非常簡單,但是不用這個(gè)方法,怎么找出交線呢?顯然,CN必和AB相交,設(shè)交點(diǎn)為E,CM?A1B1?B1,從而,B1E可看做是
MN//平面AA過MN的平面CMN與平面AA1B1B成立,根據(jù)線面平1B1B的交線,若結(jié)論
行的性質(zhì)定理,必有MN//B1E,也就是說,只要我們能夠證明MN//B1E,就可以證明最終的結(jié)論了。而要證明MN//B1E,根據(jù)已知條件,結(jié)合正方體的特點(diǎn),證明并不難。
證明:如圖,延長CN交直線AB于點(diǎn)E,連結(jié)B1E。?CM?DN,?
而CMDN?,MB1NBDNCNCMCN?,從而?,即有MN//B1E,又MN?平面AA1B1B,?NBNEMB1NE
B1E?平面AA1B1B,所以,MN//平面AA1B1B。
點(diǎn)評:本題是將線面平行的問題放在正方體這個(gè)背景中,但是,實(shí)際解決問題時(shí),我們完全可以僅僅將這個(gè)問題放在四棱錐B1?ABCD中,適當(dāng)改變
相應(yīng)的條件。
【探究二】如圖,在四棱錐P?ABCD中,底面ABCD
為
菱形,?BAD?60?,Q為AD的中點(diǎn),點(diǎn)M在線段PC上,PM?tPC,試確定實(shí)數(shù)t的值,使得PA//平面MQB。
分析:如圖,MN是過PA的平面PAC與平面MQB的交線,若PA//平面MQB,PMANANAQ1????PCACAN?NCAQ?BC3。則有PA//MN,從而
解:連結(jié)AC交BQ于點(diǎn)N,則過PA的平面PAC與平面MQB的交線為MN,若
PMAN?,PA//平面MQB,由線面平行的性質(zhì)定理,知PA//MN。從而,t?PCAC
ANAQ1ANAN11??,所以???,即又在菱形ABCD中,有NCBC2ACAN?NC1?2
31t?。3t?
點(diǎn)評:解決這類探究性的命題,其基本方法就是將結(jié)論當(dāng)作已知條件。立體幾何中這類題型往往不是很難,只要能夠抓住條件,如本題,充分運(yùn)用線面平行的判定、性質(zhì)定理,化難為易。
牛刀小試:如圖,平面內(nèi)兩個(gè)正方形ABCD與ABEF,點(diǎn)M,N分別在對角線AC,FB上,且AM:MC?FN:NB,沿AB折成直二面角。(1)證明:折疊后MN//平面CBE;
(2)若AM:MC?2:3,在線段AB上是否存在一點(diǎn)G,使平面MGN//平面CBE?若存在,試確定點(diǎn)G的位置。
分析:這是一類創(chuàng)新的題型——折疊問題,要能夠把握折疊前后的不變量,問題就可以
迎刃而解。解決第二問時(shí),只要根據(jù)面面平行的判定定理,由第一問的結(jié)論,再在面ABCD內(nèi)過M點(diǎn)作AB的垂線,垂足即為點(diǎn)G。對于第一問,既可以通過面面平行來證,也可以在平面CBE內(nèi)找一條直線與MN平行即可,還是可以利用線面平行的性質(zhì)定理,延長AN交BE于點(diǎn)H,則直線CH為過MN的平面AMN與平面CBE的交線,則只要證明MN//CH即可,與例2的“探究二”類似。
解:(1)延長AN交BE于點(diǎn)H,則由AF//BE知,所以ANFNFNAM??,而,NHNBNBMCAMAN?,從而MN//CH。又因?yàn)镸N?平面CBE,CN?平面CBE,所以,MCNH
MN//平面CBE;
(2)若平面MGN//平面CBE,由平面ABC?平面MNG?MG,AGAM2??。平面ABC?平面CBE?CB知MG//BC,從而,GBMC3
【小結(jié)】本文通過兩個(gè)例題,對高考中常見的線面平行這一類重要證明題型做了簡單的分析,并根據(jù)例題進(jìn)一步展開,探討一般情況下如何找線線平行,進(jìn)而根據(jù)判定定理來證明線面平行,當(dāng)然,線面平行大體上有三種證法,由于篇幅限制,本文主要對判定定理進(jìn)行了
拓展,希望對同學(xué)們在復(fù)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)有所幫助。
參考文獻(xiàn):
[1]鮑啟靜.線面平行之常見題型[N].中學(xué)生數(shù)理化.2008(2)
[2]崔君強(qiáng).好記好用得“光照法”證明線面平行[N].中學(xué)生數(shù)學(xué).2011-6月上(419)
[3]張心誠.不同背景下的同一類線面平行問題[N].中學(xué)生數(shù)理化.2008(10)
第二篇:立體幾何線面平行問題
線線問題及線面平行問題
一、知識點(diǎn) 1 1)相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn);(2)平行——在同一平面內(nèi),沒有公共點(diǎn);(3)異面——不在任何一個(gè)平面內(nèi),沒有公共點(diǎn); ..
2.公理4 :推理模式:a//b,b//c?a//c.
3.等角定理:4.等角定理的推論:若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行,那么這兩條直線所成的銳角(或直角)相等.5.空間兩條異面直線的畫法
6.異面直線定理:連結(jié)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線,b
a
1AA
推理模式:A??,B??,l??,B?l?AB與l
7.異面直線所成的角:已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a?//a,b?//b,a?,b?所成的角的大小與點(diǎn)O的選擇無關(guān),把a(bǔ)?,b?所成的銳角(或直角)叫異面直線a,b所成的角(或夾角).為了簡便,點(diǎn)O(0,?
28.異面直線垂直:如果兩條異面直線所成的角是直角,則叫兩條異面直線垂直.兩條異面直線a,b 垂直,記作a?b.
9.求異面直線所成的角的方法:(1)通過平移,在一條直線上找一點(diǎn),過該點(diǎn)做另一直線的平行線;
(210.兩條異面直線的公垂線、距離:和兩條異面直線都垂直相交....
異面直線的的定義要注意“相交
11.異面直線間的距離:兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段垂線段)的長度,叫做兩條異面直線間的距離.
12.直線和平面的位置關(guān)系(1)直線在平面內(nèi)(無數(shù)個(gè)公共a點(diǎn));(2)直線和平面相交(有且只有一個(gè)公共點(diǎn));(3)直
?線和平面平行(沒有公共點(diǎn))——用兩分法進(jìn)行兩次分
類.它們的圖形分別可表示為如下,符號分別可表示為a??,a???A,a//?. a?13.線面平行的判定定理:如果平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個(gè)平面平行.推理模式:l??,m??,l//m?l//?.
14.線面平行的性質(zhì)定理:如果一條直線和一個(gè)平面平行,經(jīng)過這條直線的平面和這
相交,那么這條直線和交線平行.推理模式:l//?,l??,????m?l//m.
?lm個(gè)平面?
二、基本題型
1.判斷題(對的打“√”,錯(cuò)的打“×”)
(1)垂直于兩條異面直線的直線有且只有一條()
(2)兩線段AB、CD不在同一平面內(nèi),如果AC=BD,AD=BC,則AB⊥CD()(3)在正方體中,相鄰兩側(cè)面的一對異面的對角線所成的角為60o()(4)四邊形的一邊不可能既和它的鄰邊垂直,又和它的對邊垂直()
2.右圖是正方體平面展開圖,在這個(gè)正方體中
C
①BM與ED平行;②CN與BE是異面直線;③CN與BM成60o角; ④DM與BN垂直.以上四個(gè)命題中,正確命題的序號是()(A)①②③(B)②④(C)③④(DF
3.已知空間四邊形ABCD.(1)求證:對角線AC與BD是異面直線;(2)若AC⊥BD,E,F,G,H分別這四條邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),試判斷四邊形EFGH的形狀;(3)若AB=
BC=CD=DA,作出異面直線AC與BD的公垂線段.4.完成下列證明,已知直線a、b、c不共面,它們相交于點(diǎn)P,A?a,D?a,B?b,E?c求證:BD和AE證明:假設(shè)__ 共面于?,則點(diǎn)A、E、B、D都在平面__?A?a,D?a,∴__?γ.?P?a,∴P?__.?P?b,B?b,P?c,E?c∴__??,__??,這與____矛 ∴BD、E,F,G,H分別是空間四邊形四條邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),(1)求證四邊形EFGH是
2)若AC⊥BD時(shí),求證:EFGH為矩形;(3)若BD=2,AC=6,求EG
?HF
;(4)
若AC、BD成30o角,AC=6,BD=4,求四邊形EFGH的面積;(5)若AB=BC=CD=DA=AC=BD=2,求AC與BD間的距離.6 間四邊形ABCD中,AD?BC?2,E,F分別是AB,CD的中點(diǎn),EF?AD,BC7.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,求(1)A1B與B1D1所成角;(2)AC與BD1所成角.8.在長方體ABCD?A?B?C?D中,已知AB=a,BC=b,AA?=c(a>b),求異面直線D?B與AC
9.如圖,已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn),M、N分別
是AB、PC1)求證:MN//平面PAD;(2)若MN?BC?4,PA? 求異面
直線PA與MN10.如圖,正方形ABCD與ABEF不在同一平面內(nèi),M、N分別在AC、BF上,且AM?FN求證:MN//平面CBE
參考答案:
1.(1)×(2)×(3)√(4)×2.C
3.證明:(1)∵ABCD是空間四邊形,∴A點(diǎn)不在平面BCD上,而C?平面BCD, ∴AC過平面BCD外一點(diǎn)A與平面BCD內(nèi)一點(diǎn)C, 又∵BD?平面BCD,且C?BD.∴AC與BD是異面直線.(2)解如圖,∵E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),∴EF//AC,且EF=同理HG//AC,且HG=
212
AC.AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四邊形.又∵F,G分別為BC,CD的中點(diǎn),∴FG//BD,∴∠EFG是異面直線AC與BD所成的角.o
∵AC⊥BD,∴∠EFG=90.∴EFGH是矩形.(3)作法取BD中點(diǎn)E,AC中點(diǎn)F,連EF,則EF即為所求.4.答案:假設(shè)BD、AE共面于?,則點(diǎn)A、E、B、D都在平面 ? ∵A?a,D?a,∴ a ??.∵P?a,P? ?.∵P?b,B?b,P?c,E?c.∴ b ??,c ??,這與a、b、c∴BD、AE5.證明(1):連結(jié)AC,BD,∵E,F是?ABC的邊AB,BC上的中點(diǎn),∴EF//AC,同理,HG//AC,∴EF//HG,同理,EH//FG,所以,四邊形EFGH證明(2):由(1)四邊形EFGH∵EF//AC,EH//BD,∴由AC⊥BD得,EF?EH,∴EFGH為矩形.解(3):由(1)四邊形EFGH∵BD=2,AC=6,∴EF?
2AC?3,EH?
BD?
1∴由平行四邊形的對角線的性質(zhì) EG?HF?2(EF
?EH)?20.B
D解(4):由(1)四邊形EFGH∵BD=4,AC=6,∴EF?
又∵EF//AC,EH//BD,AC、BD成30o角,∴EF、EH成30o角,AC?3,EH?
BD?
2∴四邊形EFGH的面積 S?EF?EHsin30
?3.解(5):分別取AC與BD的中點(diǎn)M、N,連接MN、MB、MD、NA、NC,∵AB=BC=CD=DA=AC=BD=2,∴MB=MD=NA=NC=3 ∴MN?AC,MN?BD,∴MN是AC與BD的公垂線段 且MN?
MB
?NB
?2∴AC與BD間的距離為2.6.解:取BD中點(diǎn)G,連結(jié)EG,FG,EF,∵E,F分別是AB,CD的中點(diǎn),∴EG//AD,FG//BC,且EG?
2AD?1,FG?
BC?1,∴異面直線AD,BC所成的角即為EG,FG所成的角,EG?FG?EF
2EG?FG
在?EGF中,cos?EGF???
?,G
F
D
∴?EGF?120,異面直線AD,BC所成的角為60.
7.解(1)如圖,連結(jié)BD,A1D,∵ABCD-A1B1C1D1是正方體,∴DD1平行且相等BB1.∴DBB1D1為平行四邊形,∴BD//B1D1.∴A1B,BD,A1D是全等的正方形的對角線.∴A1B=BD=A1D,△A1BD是正三角形,∴∠A1BD=60,∵∠A1BD是銳角,∴∠A1BD是異面直線A1B與B1D1所成的角.∴A1B與B1D1成角為60o.(2)連BD交AC于O,取DD1 中點(diǎn)E,連EO,EA,EC.∵O為BD中點(diǎn),∴OE//BD1.∵∠EDA=90o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC.在等腰△EAC中,∵O是AC的中點(diǎn),∴EO⊥AC,∴∠EOA=90o.又∴∠EOA是異面直線AC與BD1所成角,∴AC與BD1成角90.8.解(1)如圖,連結(jié)BD,A1D,∵ABCD-A1B1C1D1是正方體,∴DD1平行且相等BB1.∴DBB1D1為平行四邊形,∴BD//B1D1.∴A1B,BD,A1D是全等的正方形的對角線.∴A1B=BD=A1D,△A1BD是正三角形, ∴∠A1BD=60o,∵∠A1BD是銳角,∴∠A1BD是異面直線A1B與B1D1所成的角.∴A1B與B1D1成角為60o.(2)連BD交AC于O,取DD1 中點(diǎn)E,連EO,EA,EC.∵O為BD中點(diǎn),∴OE//BD1.∵∠EDA=90o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC.o
在等腰△EAC中,∵O是AC的中點(diǎn),∴EO⊥AC,∴∠EOA=90.又∴∠EOA是異面直線AC與BD1所成角,∴AC與BD成角90o.9.略證(1)取PD的中點(diǎn)H,連接AH,?NH//DC,NH?
12DC
o
o
?
C
?NH//AM,NH?AM?AMNH為平行四邊形 ?MN//AH,MN?PAD,AH?PAD?MN//PAD
解(2): 連接AC并取其中點(diǎn)為O,連接OM、ON,則OM平行且等于BC的一半,ON平行且等
于PA的一半,所以?ONM就是異面直線PA與MN所成的角,由
MN?BC?
4,PA?OM=2,ON=
所以?ONM?300,即異面直線PA與MN成30010.略證:作MT//AB,NH//AB分別交BC、BE于T、H點(diǎn)
AM?FN??CMT≌BNH?MT?NH
從而有MNHT為平行四邊形?MN//TH?MN//CBE
E
第三篇:線面平行教案
§2.2.1 直線與平面平行的判定
【教學(xué)目標(biāo)】
(1)識記直線與平面平行的判定定理并會應(yīng)用證明簡單的幾何問題;(2)進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)的能力和空間想象能力;(3)讓學(xué)生了解空間與平面互相轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)思想?!窘虒W(xué)重難點(diǎn)】
重點(diǎn)、難點(diǎn):直線與平面平行的判定定理及應(yīng)用?!窘虒W(xué)過程】
(一)創(chuàng)設(shè)情景、揭示課題
引導(dǎo)學(xué)生觀察身邊的實(shí)物,如教材第54頁觀察題:封面所在直線與桌面所在平面具有什么樣的位置關(guān)系?如何去確定這種關(guān)系呢?這就是我們本節(jié)課所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。
(二)研探新知
1、觀察
①當(dāng)門扇繞著一邊轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),門扇轉(zhuǎn)動(dòng)的一邊所在直線與門框所在平面具有什么樣的位置關(guān)系?②將課本放在桌面上,翻動(dòng)書的封面,封面邊緣所在直線與桌面所在平面具有什么樣的位置關(guān)系?
問題本質(zhì):門扇兩邊平行;書的封面的對邊平行 從情境抽象出圖形語言a
?
b
探究問題:
平面?外的直線a平行平面?內(nèi)的直線b ③直線a,b共面嗎? ④直線a與平面?相交嗎?
課本P55探究學(xué)生思考后,小組共同探討,得出以下結(jié)論 直線與平面平行的判定定理:
簡記為: 符號表示:
2、典例
例1 求證:空間四邊形相鄰兩邊中點(diǎn)的連線平行于經(jīng)過另外兩邊所在的平面。
變式訓(xùn)練 :如圖,在空間四面體A?BCD中,E,F,M,N分別為各棱的中點(diǎn),變式一(學(xué)生口頭表達(dá))①四邊形EFMN是什么四邊形?
②若AC?BD,四邊形EFMN是什么四邊形?
B
③若AC?BD,四邊形EFMN是什么四邊形? C
變式二
①直線AC與平面EFMN的位置關(guān)系是什么?請證明?
②在這圖中,你能找出哪些線面平行關(guān)系?
例
2、如圖,已知P為平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn),M
求證:PD//平面MAC.
變式訓(xùn)練:如圖,在正方體ABCD?A1B1C1D1中,試作出過AC且與直線D1B平行的截面,并說明理由.
(三)效果檢測
1.直線a//直線b,b?平面?,則a與?的位置關(guān)系是:()
A a//?B a//?或a??C a??Da//?或a??或a與?相交 2.a是平面?外的一條直線,可得出a//?的條件是:()A a與?內(nèi)的一條直線不相交B a與?內(nèi)的兩條直線不相交
C a與?內(nèi)的無數(shù)條直線不相交D a與?內(nèi)的任意一條直線都不相交。
3、過空間一點(diǎn)作與兩條異面直線都平行的平面,這樣的平面()A不存在B有且只有一個(gè)或不存在C有且只有一個(gè)D有無數(shù)個(gè)
4、下列三個(gè)命題正確的個(gè)數(shù)為()
(1)如果一條直線不在平面內(nèi),則這條直線與該面平行
(2)過直線外一點(diǎn),可以作無數(shù)個(gè)面與該面平行
(3)如果一條直線與平面平行,則它與平面內(nèi)的任意直線平行 A0B1C2D3 5.下面四個(gè)命題中:
①平面外的直線就是平面的平行線。②平行于同一平面的兩條直線平行 ③過平面外一點(diǎn)可做無數(shù)條直線和這個(gè)平面平行。④三角形ABC中,AB//平面?,延長CA,CB, 分別交?于E,F兩點(diǎn),則AB//EF.正確命題的序號是:
6.如圖,在四棱錐P?ABCD中,ABCD是平行四邊形,M,N分別是AB,PC的中點(diǎn).
求證:MN//平面PAD.
7.如圖,在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中,底面ABCD為等腰梯形,AB//CD,AB=4,BC=CD=2,AA1?2,E,E1,F分別是AD,AA1,AB的中點(diǎn),證明:EE1//平面FCC
1【作業(yè)布置】
1、教材第62頁習(xí)題2.2 A組第3題;
2、預(yù)習(xí):如何判定兩個(gè)平面平行?
第四篇:證明線面平行
證明線面平行
一,面外一條線與面內(nèi)一條線平行,或兩面有交線強(qiáng)調(diào)面外與面內(nèi)
二,面外一直線上不同兩點(diǎn)到面的距離相等,強(qiáng)調(diào)面外
三,證明線面無交點(diǎn)
四,反證法(線與面相交,再推翻)
五,空間向量法,證明線一平行向量與面內(nèi)一向量(x1x2-y1y2=0)
【直線與平面平行的判定】
定理:平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行。
【判斷直線與平面平行的方法】
(1)利用定義:證明直線與平面無公共點(diǎn);
(2)利用判定定理:從直線與直線平行得到直線與平面平行;
(3)利用面面平行的性質(zhì):兩個(gè)平面平行,則一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面
線面平行
【直線與平面平行的判定】
定理:平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行。
【判斷直線與平面平行的方法】
(1)利用定義:證明直線與平面無公共點(diǎn);
(2)利用判定定理:從直線與直線平行得到直線與平面平行;
(3)利用面面平行的性質(zhì):兩個(gè)平面平行,則一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面。
【平面與直線平行的性質(zhì)】
定理:一條直線和一個(gè)平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。
此定理揭示了直線與平面平行中蘊(yùn)含著直線與直線平行。通過直線與平面平行可得到直線與直線平行。這給出了一種作平行線的重要方法。
注意:直線與平面平行,不代表與這個(gè)平面所有的直線都平行,但直線與平面垂直,那么這條直線與這個(gè)平面內(nèi)的所有直線都垂直。
本題就用到一個(gè)關(guān)鍵概念:重心三分中線
設(shè)E為BD的中點(diǎn),連接AE,CE
則M在AE上,且有AM=2ME
N在CE上,且有CN=2NE
在三角形ACE中,因?yàn)?,EM:EA=1:3
EN:EC=1:3
所以,MN//AC
AC屬于平面ACD,MN不在平面ACD內(nèi),即無公共點(diǎn)
所以,MN//平面ACD
本題就用到一個(gè)關(guān)鍵概念:重心三分中線
設(shè)E為BD的中點(diǎn),連接AE,CE
則M在AE上,且有AM=2ME
N在CE上,且有CN=2NE
在三角形ACE中,因?yàn)椋珽M:EA=1:3
EN:EC=1:3
所以,MN//AC
AC屬于平面ACD,MN不在平面ACD內(nèi),即無公共點(diǎn)
所以,MN//平面ACD
第五篇:線面平行證明
線面平行證明“三板斧”
第一斧:從結(jié)論出發(fā),假定線面平行成立,利用線面平行的性質(zhì),在平面
內(nèi)找到與已知直線的平行線。
例1:如圖正方體ABCD?A1B1C1D1中,E為DD1的中點(diǎn),試判斷BD1與平面AEC的位置關(guān)系,并說明理由。
練習(xí):
如圖,已知四棱錐P?ABCD的底面ABCD的底面ABCD是菱形,點(diǎn)F為PC中點(diǎn),求證:PA//平面BFD
第二斧:以平面外的直線作平行四邊形
D
例2:如圖,正方體ABCD?A1B1C1D1,E為A1B1上任意一點(diǎn),求證:AE//平面DC
1練習(xí):
如圖,已知三棱柱ABC?A1B1C1中,E為B1C1的中點(diǎn),F(xiàn)為AA1的中點(diǎn),求證:
A1E//平面B1CF
第三斧:選證明面面平行,再由線平行的定義過度到線面平行。
例3:如圖,四棱錐P?ABCD,底面ABCD為正方形,E,F(xiàn),G分別為PC,PD,BC的中點(diǎn),求證:PA//平面EFG
練習(xí):如圖,在直三棱柱(側(cè)棱與底面垂直的三棱柱)D為BC的中點(diǎn),求證:
AC1//平面AB1D
B
C
總結(jié):線面平行證明的三種方法中,多數(shù)題目其實(shí)都可以用第一、二種方法得到解決,因此前二種方法是首先。第三種方法雖然證明過程長,但其思路是很固定的,實(shí)踐過程中更容易為同學(xué)們所掌握。一個(gè)題目可能有幾種證法,同學(xué)們練習(xí)時(shí)可以三種方法都去試一試,看看有幾種辦法可以解決。在熟悉以后,解題過程中可按照招式一、二、三的順序依次去思考。
1.如圖,在四棱錐P?ABCD中,ABCD是平行四邊形,M,N分別是AB,PC的中點(diǎn).
求證:MN//平面PAD.
2.如圖,在正四棱錐P?ABCD中,PA?AB?a,點(diǎn)E在棱PC上. 問點(diǎn)E在何處時(shí),PA//平面EBD,并加以證明.P
E
C
A
B
3.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中, D為AC的中點(diǎn),求證:AB1//平面BC1D;
AA
D
C
B1
C1
4.在四面體ABCD中,M,N分別是面△ACD,△BCD的重心,則四面體的四個(gè)面中與MN平行的是________.5.如下圖所示,四個(gè)正方體中,A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),M,N,P分別為其所在棱的中點(diǎn),能得到AB//面MNP的圖形的序號的是
①②③④
6.如圖,正三棱柱ABC?A1B1C1的底面邊長是2,3,D是AC的中點(diǎn).求證:B1C//平面A1BD.A
7.a(chǎn),b是兩條異面直線,A是不在a,b上的點(diǎn),則下列結(jié)論成立的是
A.過A有且只有一個(gè)平面平行于a,bB.過A至少有一個(gè)平面平行于a,b
C.過A有無數(shù)個(gè)平面平行于a,bD.過A且平行a,b的平面可能不存在8.設(shè)平面?∥β,A,C∈?,B,D∈β,直線AB與CD交于S,若AS=18,BS=9,CD=34,則CS=_____________.9.如下圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為棱AB,CC1的中點(diǎn),在平面ADD1A1內(nèi)且與平面D1EF平行的直線()
A.不存在B.有1條C.有2條D.有無數(shù)條
10.如圖所示:設(shè)P
上的點(diǎn),AMDN且?MBNP
11.求證:MN//平面PBC如圖所示,在棱長為a的正方體ABCD?A1B1C1D1中,E,F(xiàn),P,Q分別是BC,C1D1,AD1,BD的中點(diǎn).
(1)求證:PQ//平面DCC1D1(2)求PQ的長.
(3)求證:EF//平面BB1D1D.