第一篇：線面平行證法探討

線面平行證法探討

惠來一中方文湃

今年我校高一級第一學(xué)期質(zhì)檢考試試題第17題第一小題的題目如下： 題目：如圖，四邊形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，MA∥PB。

求證：DM∥面PBC

這是一道證明線面平行的經(jīng)典題目，大家知道，線線平行、線面平行、B面面平行在一定條件下，是可以相

互轉(zhuǎn)化的。其關(guān)系如下圖：

線∥面面∥面

一、轉(zhuǎn)化為線線平行

證明線面平行的一種方法思路，是轉(zhuǎn)化為線線平行，其關(guān)鍵是在已知平面內(nèi)找到一條直線與之平行，而 “DM∥面PBC”(線面平行)是待證的正確結(jié)論，過已知直線DM的任一截面與平面PBC的交線l顯然均與直線DM平行。這就給我們指出了找“線線平行”的平行線的一條康莊大道，所以“線線平行”與“線面平行”是可以互相轉(zhuǎn)化的，輔助截面是實(shí)現(xiàn)這一轉(zhuǎn)化的“橋梁”。

接下來的問題，是怎樣作出輔助截面。其理論依據(jù)有“兩平行線確定一個(gè)平面”、“兩相交線確定一個(gè)平面”。于是有下面兩種不同解法：

[法一]：運(yùn)用“兩平行線確定一個(gè)平面”做出輔助截面。

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1過M作MN∥AB，交PB于N，連結(jié)CN?！進(jìn)A∥PB，∴ABNM是平行四邊形 即MN∥AB，MN=AB ∵DC∥AB，DC=AB ∴MN∥DC，MN=DC 即DCNM是平行四邊形 ∴DM∥CN，N

B

∵CNì面PBC，DM?面PBC，∴DM∥面PBC

[法二] 運(yùn)用“兩相交直線確定一個(gè)平面”做出輔助截面。若PB=MA，易證DM∥CP，從而DM∥面PBC； 若PB1MA，設(shè)PM∩BA=E，ED∩BC=F（如圖所示）?！進(jìn)A∥PB，AD∥BC ∴EM：EP=EA：EB=ED:EF

B∴DM∥FP，∵FPì面PBC，DM?面PBC

∴DM∥面PBC

小結(jié)：線面平行找平行線，輔助截面來幫忙。

二、轉(zhuǎn)化為面面平行

證明線面平行的的另一種方法思路，是轉(zhuǎn)化為面面平行，其關(guān)鍵是在過已知直線的平面中找到一個(gè)平面與已知平面平行。而證明“面面平行”的一種方法是，尋找“線線平行”證“線面平行”，得出“面面平行”，再由“面面平行”得出 “DM∥面PBC”(線面平行)。所以 “線線平行”、“線面平行”、“面面平行”是相互

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密切、相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系。

[法三]：∵M(jìn)A∥PB，AD∥BC PBì面PBC，MA?面PBC，BCì面PBC，AD?面PBC ∴MA∥面PBC，AD∥面PBC ∵M(jìn)A∩AD=A ∴面MAD∥面PBC ∵DMì面MAD∴DM∥面PBC

[法四]：對于本題，轉(zhuǎn)化為面面平行的一種比較方便的方法是證明兩個(gè)平面MAD、PBC同垂直于同一條直線AB（略）

B

三、向量工具

自從新教材引入向量，向量作為解決幾何問題一個(gè)行之有效的工具，由于避開了幾何繁瑣的推理過程，而受到同學(xué)們的青睞。向量來解決幾何問題首先必須將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算，最后還要將運(yùn)算結(jié)果翻譯幾何的結(jié)論。

????

[法五]：容易證明AB⊥PB，AB⊥BC，所以AB是平面PBC的法向量；證明AB????????

⊥平面MAD可得AB⊥MA，于是MA^AB，故DM∥面PBC

[法六] ∵M(jìn)A∥PB，∴存在l?R，使AM=lPB，??????????????????????

∵DA∥CB，DA=CB，∴DM=DA+AM=CB+lBP?????????????

CB、BP 是共面向量，∴DM∥面PBC 即 DM、?????????

練習(xí)題：如圖，已知矩形ABCD和矩形 ADEF所在平面互相垂直，點(diǎn)M,N分別

1在對角線BD,AE上，且BM?BD,AN?AE

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B

C

求證：MN//平面CDE

具體解法，仿照上述。

“問渠哪得清如許，為有源頭活水來”。以上各種方法，看似難以想到，毫不相干，其實(shí)每一種方法都有它的根源、有它的理論根據(jù)。所謂有“果”，必有“因”，找到它的“因”，自然能夠修成“正果”。我們在教學(xué)中提倡“授之以魚”，不如“授之以漁”。我們不但要教給學(xué)生解題的方法，還要讓學(xué)生學(xué)會解一大類題，融會貫通，達(dá)到“舉一仿三，觸類旁通”的效果，更要讓他們理解各種方法的由來，以及其體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想。

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第二篇：線面平行教案

§2.2.1 直線與平面平行的判定

【教學(xué)目標(biāo)】

（1）識記直線與平面平行的判定定理并會應(yīng)用證明簡單的幾何問題；（2）進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)的能力和空間想象能力；（3）讓學(xué)生了解空間與平面互相轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)思想?！窘虒W(xué)重難點(diǎn)】

重點(diǎn)、難點(diǎn)：直線與平面平行的判定定理及應(yīng)用?！窘虒W(xué)過程】

（一）創(chuàng)設(shè)情景、揭示課題

引導(dǎo)學(xué)生觀察身邊的實(shí)物，如教材第54頁觀察題：封面所在直線與桌面所在平面具有什么樣的位置關(guān)系？如何去確定這種關(guān)系呢？這就是我們本節(jié)課所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。

（二）研探新知

1、觀察

①當(dāng)門扇繞著一邊轉(zhuǎn)動時(shí)，門扇轉(zhuǎn)動的一邊所在直線與門框所在平面具有什么樣的位置關(guān)系？②將課本放在桌面上，翻動書的封面，封面邊緣所在直線與桌面所在平面具有什么樣的位置關(guān)系？

問題本質(zhì)：門扇兩邊平行；書的封面的對邊平行 從情境抽象出圖形語言a

?

b

探究問題：

平面?外的直線a平行平面?內(nèi)的直線b ③直線a,b共面嗎？ ④直線a與平面?相交嗎？

課本P55探究學(xué)生思考后，小組共同探討，得出以下結(jié)論 直線與平面平行的判定定理：

簡記為： 符號表示：

2、典例

例1 求證：空間四邊形相鄰兩邊中點(diǎn)的連線平行于經(jīng)過另外兩邊所在的平面。

變式訓(xùn)練 ：如圖，在空間四面體A?BCD中,E,F,M,N分別為各棱的中點(diǎn)，變式一(學(xué)生口頭表達(dá))①四邊形EFMN是什么四邊形？

②若AC?BD，四邊形EFMN是什么四邊形？

B

③若AC?BD，四邊形EFMN是什么四邊形？ C

變式二

①直線AC與平面EFMN的位置關(guān)系是什么？請證明？

②在這圖中，你能找出哪些線面平行關(guān)系？

例

2、如圖，已知P為平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M

求證：PD//平面MAC．

變式訓(xùn)練：如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，試作出過AC且與直線D1B平行的截面，并說明理由．

（三）效果檢測

1.直線a//直線b,b?平面?,則a與?的位置關(guān)系是：（）

A a//?B a//?或a??C a??Da//?或a??或a與?相交 2.a是平面?外的一條直線，可得出a//?的條件是：（）A a與?內(nèi)的一條直線不相交B a與?內(nèi)的兩條直線不相交

C a與?內(nèi)的無數(shù)條直線不相交D a與?內(nèi)的任意一條直線都不相交。

3、過空間一點(diǎn)作與兩條異面直線都平行的平面，這樣的平面（）A不存在B有且只有一個(gè)或不存在C有且只有一個(gè)D有無數(shù)個(gè)

4、下列三個(gè)命題正確的個(gè)數(shù)為（）

（1）如果一條直線不在平面內(nèi)，則這條直線與該面平行

（2）過直線外一點(diǎn)，可以作無數(shù)個(gè)面與該面平行

（3）如果一條直線與平面平行，則它與平面內(nèi)的任意直線平行 A0B1C2D3 5.下面四個(gè)命題中：

①平面外的直線就是平面的平行線。②平行于同一平面的兩條直線平行 ③過平面外一點(diǎn)可做無數(shù)條直線和這個(gè)平面平行。④三角形ABC中，AB//平面?，延長CA,CB, 分別交?于E,F兩點(diǎn)，則AB//EF.正確命題的序號是：

6.如圖，在四棱錐P?ABCD中，ABCD是平行四邊形，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)．

求證：MN//平面PAD．

7.如圖，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD,AB=4，BC=CD=2，AA1?2,E,E1,F分別是AD,AA1,AB的中點(diǎn)，證明：EE1//平面FCC

1【作業(yè)布置】

1、教材第62頁習(xí)題2.2 A組第3題；

2、預(yù)習(xí)：如何判定兩個(gè)平面平行？

第三篇：證明線面平行

證明線面平行

一，面外一條線與面內(nèi)一條線平行，或兩面有交線強(qiáng)調(diào)面外與面內(nèi)

二，面外一直線上不同兩點(diǎn)到面的距離相等，強(qiáng)調(diào)面外

三，證明線面無交點(diǎn)

四，反證法(線與面相交，再推翻)

五，空間向量法，證明線一平行向量與面內(nèi)一向量(x1x2-y1y2=0)

【直線與平面平行的判定】

定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

【判斷直線與平面平行的方法】

(1)利用定義：證明直線與平面無公共點(diǎn);

(2)利用判定定理：從直線與直線平行得到直線與平面平行;

(3)利用面面平行的性質(zhì)：兩個(gè)平面平行，則一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面

線面平行

【直線與平面平行的判定】

定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

【判斷直線與平面平行的方法】

(1)利用定義：證明直線與平面無公共點(diǎn);

(2)利用判定定理：從直線與直線平行得到直線與平面平行;

(3)利用面面平行的性質(zhì)：兩個(gè)平面平行，則一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面。

【平面與直線平行的性質(zhì)】

定理：一條直線和一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。

此定理揭示了直線與平面平行中蘊(yùn)含著直線與直線平行。通過直線與平面平行可得到直線與直線平行。這給出了一種作平行線的重要方法。

注意：直線與平面平行，不代表與這個(gè)平面所有的直線都平行，但直線與平面垂直，那么這條直線與這個(gè)平面內(nèi)的所有直線都垂直。

本題就用到一個(gè)關(guān)鍵概念：重心三分中線

設(shè)E為BD的中點(diǎn)，連接AE，CE

則M在AE上，且有AM=2ME

N在CE上，且有CN=2NE

在三角形ACE中，因?yàn)椋珽M:EA=1:3

EN:EC=1:3

所以，MN//AC

AC屬于平面ACD，MN不在平面ACD內(nèi)，即無公共點(diǎn)

所以，MN//平面ACD

本題就用到一個(gè)關(guān)鍵概念：重心三分中線

設(shè)E為BD的中點(diǎn)，連接AE，CE

則M在AE上，且有AM=2ME

N在CE上，且有CN=2NE

在三角形ACE中，因?yàn)?，EM:EA=1:3

EN:EC=1:3

所以，MN//AC

AC屬于平面ACD，MN不在平面ACD內(nèi)，即無公共點(diǎn)

所以，MN//平面ACD

第四篇：線面平行證明

線面平行證明“三板斧”

第一斧：從結(jié)論出發(fā)，假定線面平行成立，利用線面平行的性質(zhì)，在平面

內(nèi)找到與已知直線的平行線。

例１：如圖正方體ABCD?A1B1C1D1中，Ｅ為DD1的中點(diǎn)，試判斷BD1與平面AEC的位置關(guān)系，并說明理由。

練習(xí)：

如圖，已知四棱錐P?ABCD的底面ABCD的底面ABCD是菱形，點(diǎn)Ｆ為PC中點(diǎn)，求證：PA//平面BFD

第二斧：以平面外的直線作平行四邊形

D

例2：如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1，E為A1B1上任意一點(diǎn)，求證：AE//平面DC

1練習(xí)：

如圖，已知三棱柱ABC?A1B1C1中，E為B1C1的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA1的中點(diǎn)，求證：

A1E//平面B1CF

第三斧：選證明面面平行，再由線平行的定義過度到線面平行。

例3：如圖，四棱錐P?ABCD，底面ABCD為正方形，E，F(xiàn)，G分別為PC,PD,BC的中點(diǎn)，求證：PA//平面EFG

練習(xí)：如圖，在直三棱柱（側(cè)棱與底面垂直的三棱柱）D為BC的中點(diǎn)，求證：

AC1//平面AB1D

B

C

總結(jié)：線面平行證明的三種方法中，多數(shù)題目其實(shí)都可以用第一、二種方法得到解決，因此前二種方法是首先。第三種方法雖然證明過程長，但其思路是很固定的，實(shí)踐過程中更容易為同學(xué)們所掌握。一個(gè)題目可能有幾種證法，同學(xué)們練習(xí)時(shí)可以三種方法都去試一試，看看有幾種辦法可以解決。在熟悉以后，解題過程中可按照招式一、二、三的順序依次去思考。

1.如圖，在四棱錐P?ABCD中，ABCD是平行四邊形，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)．

求證：MN//平面PAD．

2.如圖，在正四棱錐P?ABCD中，PA?AB?a,點(diǎn)E在棱PC上． 問點(diǎn)E在何處時(shí)，PA//平面EBD，并加以證明.P

E

C

A

B

3.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中, D為AC的中點(diǎn),求證:AB1//平面BC1D；

AA

D

C

B1

C1

4．在四面體ABCD中，M，N分別是面△ACD，△BCD的重心，則四面體的四個(gè)面中與MN平行的是________.5．如下圖所示，四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得到AB//面MNP的圖形的序號的是

①②③④

6.如圖，正三棱柱ABC?A1B1C1的底面邊長是2，3，D是AC的中點(diǎn).求證：B1C//平面A1BD.A

7．a(chǎn)，b是兩條異面直線，A是不在a，b上的點(diǎn)，則下列結(jié)論成立的是

A．過A有且只有一個(gè)平面平行于a，bB．過A至少有一個(gè)平面平行于a，b

C．過A有無數(shù)個(gè)平面平行于a，bD．過A且平行a，b的平面可能不存在8．設(shè)平面?∥β，A，C∈?，B，D∈β，直線AB與CD交于S，若AS=18，BS=9，CD=34，則CS=_____________.9.如下圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AB，CC1的中點(diǎn)，在平面ADD1A1內(nèi)且與平面D1EF平行的直線()

A．不存在B．有1條C．有2條D．有無數(shù)條

10.如圖所示：設(shè)P

上的點(diǎn)，AMDN且?MBNP

11.求證：MN//平面PBC如圖所示，在棱長為a的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，P，Q分別是BC，C1D1，AD1，BD的中點(diǎn)．

（１）求證：PQ//平面DCC1D1（２）求PQ的長．

（３）求證：EF//平面BB1D1D．

第五篇：線面平行證明題

線面平行證明題

1．一條直線若同時(shí)平行于兩個(gè)相交平面，那么這條直線與這兩個(gè)平面的交線的位置關(guān)系是（）.A.異面B.相交C.平行D.不能確定

2．若直線a、b均平行于平面α，則a與b的關(guān)系是（）.A.平行B.相交C.異面D.平行或相交或異面

3．已知l是過正方體ABCD—A1B1C1D1的頂點(diǎn)的平面AB1D1與下底面ABCD所在平面的交線，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）.A.D1B1∥lB.BD//平面AD1B

1C.l∥平面A1D1B1D.l⊥B1 C1

4．在下列條件中，可判斷平面α與β平行的是（）.A.α、β都平行于直線l

B.α內(nèi)存在不共線的三點(diǎn)到β的距離相等

C.l、m是α內(nèi)兩條直線，且l∥β，m∥β

D.l、m是兩條異面直線，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β

5．下列說法正確的是（）.A.如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，那么它們重合B.過兩條異面直線中的一條可以作無數(shù)個(gè)平面與另一條直線平行

C.在兩個(gè)平行平面中，一個(gè)平面內(nèi)的任何直線都與另一個(gè)平面平行

D.如果兩個(gè)平面平行，那么分別在兩個(gè)平面中的兩條直線平行

6．下列說法正確的是（）.A.直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線平行

B.經(jīng)過兩條平行線中一條有且只有一個(gè)平面與另一條直線平行

C.經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面平行

D.經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行

7．已知P是正方體ABCD-A1B1C1D1棱DD1上任意一點(diǎn)，則在正方體的12條棱中，與平面ABP平行的是.8．已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，E、F分別為

AB、PD的中點(diǎn)，求證：AF∥平面PEC

9.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為棱BC、C1D1的中點(diǎn).求證：EF∥平面BB1D1D.DA

10．如圖，已知E、F、G、M分別是四面體的棱AD、CD、BD、BC的中點(diǎn)，求證：AM∥平面EFG.B

D11．如圖，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M、N分別是AB、PC（1）求證：MN//平面PAD；

（2）若E在PC上，CE?CP，過ADE做一平面與PB交與F點(diǎn)，是確定F點(diǎn)位置。

12.已知四棱錐P-ABCD中, 底面ABCD為平行四邊形.點(diǎn)M、N、Q分別在PA、BD、PD上, 且PM：MA=BN：ND=PQ：QD.求證：平面MNQ∥平面PBC.13.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，E為 側(cè)棱PC上一點(diǎn)且PA//面BDE，求

14.在正方體AC1中，PEPC的值。

C

A

AEAA1

?

13,過ED1和B作出正方體的截面

A1

′

E