第一篇：空間中的平行關系的判斷與證明

2012高三復習教案-1

2課題：平行與垂直關系的證明

學習目標：掌握線線平行、線面平行、面面平行的判定方法，并能熟練解決線面平行、面面平行的證明問題.(注意平行關系的相互轉化)學習重點：平行關系的證明

學習重點：線線、線面、面面平行關系的相互轉化。

一、主要知識及主要方法：

3.面面平行的證明：

（二）典例分析：例1．（1）a、b、c是條不重合的直線，?、?、?為三個不重合的平面，直線均不在平面內，給出六個命題：

(1)

a∥c?a∥???∥c??∥c?

?a∥b;(2)?a∥b；(3)??∥?;(4)?????a∥?;b∥c?b∥???∥c?a∥c?

(5)

?∥???∥??

??∥??(6)???a∥?;其中正確的序號是_______?∥??a∥??

(2)．設有平面α、β和直線m、n，則m∥α的一個充分條件是()

A.α⊥β且m⊥βB.α∩β=n且m∥n C.m∥n且n∥αD.α∥β且mβ

例2．已知M、N、P是下列正方體各棱的中點，則AB//平面MNP的圖形序號是__________

①

②

③

B

④

A

例3．如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P?ABCD中AB?AC，PA?平面ABCD，且 PA?AB，點E是PD的中點（.1）AC?PB

（2）PB//平面EAC

E

CD

例4．如下圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分別是C1C、B1C1、C1D1的中點，求證：（1）平面MNP∥平面A1BD.（2）AP⊥MN；

C

P

B

M

A

C

1例5．如圖，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1?

AB，點E、M分別為A1B、CC1的中點，2B、M三點的平面A1BMN交C1D1于點N。(1）求證：EM//平面A1B1C1D1；過點A（2）設

1、截面A1BMN把該正四棱柱截成的兩個幾何體的體積分別為V1、V2（V1＜V2），求V1∶V2的值.A

例6．如圖，設P為正方形ABCD所在平面外一點，PA?平面ABCD。M、N、O分別為BC、PA、BD的中點，(1)求證：BD?ON；(2)在直線AB上是否存在一點S，使得SN//平面PDM，若存在，求出S點位置；若不存在，說明

理由。

D

A

例7．（09四）如圖，正方形ABCD所在平面與平面四邊形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB?AE,FA?FE,?AEF?45(1)求證：EF?平面BCE；

(2)設線段CD、AE的中點分別為P、M，求證： PM∥平面BCE(3)求二面角F?BD?A的大小

?

B

C

M

E

B

D

P C

?

例8．如圖，DC?平面ABC，EB//DC，AC?BC?EB?2DC?2，?ACB?120，P,Q分別

為AE,AB的中點．

（1）證明：PQ//平面ACD；

（2）求AD與平面ABE所成角的正弦值．

例9．如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，E、F分別是A點D在B1C1上，A1B、AC1的中點，1D?B1C。

?平面BB1C1C.求證：（1）EF∥平面ABC；（2）平面A1FD

例10．四邊形ABCD為矩形，AD?面ABE，AE?EB?BC?2。F為CE上的點且BF?面ACE(1)AE?BE

(2)求三棱錐D?AEC體積

(3)設M在線段上AB且AM?2MB在CE是否存在 一點N使MN//面DAE若存在確定點N位置，不存在說明理由

D

C

F

A

B

E

第二篇：空間幾何——平行與垂直證明

三、“平行關系”常見證明方法

（一）直線與直線平行的證明

1)利用某些平面圖形的特性：如平行四邊形的對邊互相平行

2)利用三角形中位線性質

3)利用空間平行線的傳遞性（即公理4）：

平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

4)利用直線與平面平行的性質定理： a∥c?a∥bb∥c

如果一條直線與一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。

a∥?

a??β a ?a∥

b

α b ????b

5)利用平面與平面平行的性質定理：

如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行．?//???????a??a//b

??

??b??

6)利用直線與平面垂直的性質定理：

垂直于同一個平面的兩條直線互相平行。

ba?????a∥

b7)利用平面內直線與直線垂直的性質：

8)利用定義：在同一個平面內且兩條直線沒有公共點

（二）直線與平面平行的證明

1)利用直線與平面平行的判定定理：

平面外的一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

a??b??

?a∥?

b

a∥b

2)利用平面與平面平行的性質推論：

兩個平面互相平行，則其中一個平面內的任一直線平行于另一個平面。

a??

?∥?

?a∥?

a

β

3)利用定義：直線在平面外，且直線與平面沒有公共點

（二）平面與平面平行的證明

常見證明方法：

1)利用平面與平面平行的判定定理：

一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。

a??b??a∩b?Pa//?b//?

?//?

b

2)利用某些空間幾何體的特性：如正方體的上下底面互相平行等 3)利用定義：兩個平面沒有公共點

三、“垂直關系”常見證明方法

（一）直線與直線垂直的證明

1)利用某些平面圖形的特性：如直角三角形的兩條直角邊互相垂直等。2)看夾角：兩條共（異）面直線的夾角為90°，則兩直線互相垂直。3)利用直線與平面垂直的性質：

如果一條直線與一個平面垂直，則這條直線垂直于此平面內的所有直線。

a??

b??

?b?a

b

a

4)利用平面與平面垂直的性質推論：

如果兩個平面互相垂直，在這兩個平面內分別作垂直于交線的直線，則這兩條直線互相垂直。

???????l

a??b??a?lb?l

?a?

b

5)利用常用結論：

① 如果兩條直線互相平行，且其中一條直線垂直于第三條直線，則另

一條直線也垂直于第三條直線。

a∥b

a?c

?b?

c

② 如果有一條直線垂直于一個平面，另一條直線平行于此平面，那么

這兩條直線互相垂直。

a??

b∥?

?a?b

b

（二）直線與平面垂直的證明

1)利用某些空間幾何體的特性：如長方體側棱垂直于底面等

2)看直線與平面所成的角：如果直線與平面所成的角是直角，則這條直線垂

直于此平面。

3)利用直線與平面垂直的判定定理：

a??b??a?b?Al?al?b

???

??l?????

l

b

A

a

4)利用平面與平面垂直的性質定理：

兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直。

???????l

a??a?l

?

????

a

l

5)利用常用結論：

①

a∥bb??

?a??

② 兩個平面平行，一直線垂直于其中一個平面，則該直線也垂直于另一

個平面。

?∥?

a??

?

a??

（三）平面與平面垂直的證明

1)利用某些空間幾何體的特性：如長方體側面垂直于底面等

2)看二面角：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角（即平面角

是直角的二面角），就說這連個平面互相垂直。3)利用平面與平面垂直的判定定理

一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。

a??a??

???

?

?

a

?

第三篇：證明空間線面平行與垂直

證明空間平行與垂直

? 知識梳理

一、直線與平面平行

1.判定方法

（1）定義法：直線與平面無公共點。

(2）判定定理： a??

b??a//ba//?

?//?

（3）其他方法：a//?a??

a//?

2.性質定理：a

?? a//b

????b

二、平面與平面平行

1.判定方法

（1）定義法：兩平面無公共點。

a//?

b//?

（2）判定定理：a?? ?//?

b??

a?b?P

（3）其他方法：a??a//? ?//?;?//? a???//?

?//?

2.性質定理：????a a//b

????b

三、直線與平面垂直

（1）定義：如果一條直線與一個平面內的所有直線都垂直，則這條直線和這個平面垂直。

（2）判定方法

① 用定義.a?ba?c

② 判定定理:b?c?Aa??

b??

c??

a??

③ 推論: b??

a//b

（3）性質 ①

a??a??

a?b②a//bb??b??

四、平面與平面垂直

（1）定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直線二面角，就說這兩個平面互相垂直。

a??

（2）判定定理 ???

a??

（3）性質

???????l

①性質定理???

a??

a?l

???????l②A?l

P??

PA??垂足為A???????④PA??

P??PA??

? “轉化思想”

面面平行線面平行 線線平行 面面垂直線面垂直 線線垂直

例題1.如圖, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，點D是AB的中點，（I）求證：AC⊥BC1；（II）求證：AC 1//平面CDB1；例

題2.如圖，在棱長為2的正方體

ABCD?A1B1C1D1中,O為BD1的中點,M為BC的中點,N為AB的中點，P為BB1的中點.（I）求證：BD1?B1C；（II）求證BD1?平面MNP；

例題3.如圖，在三棱錐V?ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中點，且AC?BC?a，∠VDC???0???（I）求證：平面VAB⊥平面VCD；

??

π??． 2?

π

（II）試確定角?的值，使得直線BC與平面VAB所成的角為．

Ｄ

例題4.（福建省福州三中2008屆高三第三次月考）如圖，正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱長都是2，D是棱AC的中點，E是棱CC1的中點，AE交A1D于點H.BB

（1）求證：AE?平面A1BD；

（2）求二面角D?BA1?A的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）；

A1

CHA

C

第四篇：空間線面平行與垂直的證明

空間線面平行與垂直的證明

本考點以空間幾何體為載體，既考查幾何體的概念和性質，又考查空間線面位置關系（平行與垂直）的判定與性質，還可結合一些簡單的計算進行考查，是每年高考的必考內容，也是重點考查的內容.該部分試題難度適中，一般都可用幾何綜合法解決，少部分不易證明的才通過建立空間直角坐標系用坐標法求解.（1）掌握線面平行、垂直的判定與性質定理，能用判定定理證明線面平行與垂直，會用性質定理解決線面平行與垂直的問題.（2）通過線面平行、垂直的證明，培養(yǎng)同學們的空間觀念及觀察、操作、實驗、探索、合情推理的能力.該知識點的重點、難點是：線線垂直、線面垂直及面面垂直之間的靈活轉化；同時要注意推理表達的規(guī)范與完整.（1）證明平行或垂直問題，一般利用平行或垂直的判定定理及其推論，將面面平行轉化為線面平行或線線平行來證明；而無論是線面垂直還是面面垂直，都源自于線線垂直.可見，轉化是證明平行、垂直問題的關鍵.（2）在處理實際問題的過程中，可以先從題設條件入手，再從結論中分析所要證明的關系，從而架起已知與未知之間的橋梁.增添輔助線是解決問題的關鍵，常見的添輔助線的方法有：中點、垂足等特殊點，用中位線、高線轉化；有面面垂直的條件，則作交線的垂線，等等.例1 如圖12，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，在等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=2，AD=AF=1，∠BAF=60°，O，P分別為AB，CB的中點，M為底面△OBF的重心.圖12

（1）求證：平面ADF⊥平面CBF；？搖

（2）求證：PM∥平面AFC.破解思路 對于第（1）問，將證明面面垂直轉化為證明線面垂直；

（2）根據(jù)面面平行的性質定理，將線面平行的問題轉化為面面平行來證明.答案詳解（1）因為矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，且CB⊥AB，所以CB⊥平面ABEF.？搖 又AF？奐平面ABEF，所以CB⊥AF.又AB=2，AF=1，∠BAF=60°，由余弦定理知BF=，所以AF2+BF2=AB2，所以AF⊥BF.又BF∩CB=B，所以AF⊥平面CFB.因為AF？奐平面ADF，所以平面ADF⊥平面CBF.？搖

（2）連結OM并延長交BF于H，則H為BF的中點.又P為CB的中點，所以PH∥CF.又因為CF？奐平面AFC，所以PH∥平面AFC.連結PO，則PO∥AC.因為AC？奐平面AFC，所以PO∥平面AFC.又PO∩PH=P，所以平面POH∥平面AFC.因為PM？奐平面POH，所以PM∥平面AFC.？搖

例2 如圖13，平面ABCD⊥平面ABE，其中四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，且AB=2，點F，G分別是BC，AE的中點.（1）求三棱錐F-ABE的體積；

（2）求證：BG∥平面EFD；

（3）若點P在線段DE上運動，求證：BG⊥AP.圖13 圖14

破解思路 對于第（1）問，求出三棱錐F-ABE的高后可直接求解.對于第（2）問，根據(jù)線面平行的判定定理，在平面EFD中，只要找出與BG平行的直線即可證明.對于第（3）問，可通過證明線面垂直來轉化.答案詳解（1）因為平面ABCD⊥平面ABE，且ABCD是正方形，所以BC⊥平面ABE.因為G是等邊三角形ABE的邊AE的中點，所以BG⊥AE，所以VF-ABE= S△ABE?BF= ? ?AE?BG?BF= ×2× ×1=.（2）如圖14，取DE的中點M，連結MG，F(xiàn)M.因為MG AD，BF AD，所以MG BF，所以四邊形FBGM是平行四邊形，所以BG∥FM.又因為FM？奐平面EFD，BG？埭平面EFD，所以BG∥平面EFD.（3）因為DA⊥平面ABE，BG？奐平面ABE，所以DA⊥BG.又BG⊥AE，AD∩AE=A，所以BG⊥平面DAE.又AP？奐平面DAE，所以BG⊥AP.1.如圖15，直角梯形ACDE與等腰直角三角形ABC所在平面互相垂直，F(xiàn)為BC的中點，∠BAC=∠ACD=90°，AE∥CD，DC=AC=2AE=2.圖15

（1）求證：平面BCD⊥平面ABC；

（2）求證：AF∥平面BDE；

（3）求四面體B-CDE的體積.2.如圖16，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DB=BC，DB⊥AC，點M是棱BB1上一點.圖16

（1）求證：MD⊥AC；

（2）試確定點M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.

第五篇：用向量法證明平行關系

2010 山東省昌樂二中 高二數(shù)學選修2-1導學案時間：2010-12-21班級：姓名：小組：教師評價：

課題: 3.2.1用向量法證明平行關系

編制人：劉本松、張文武、王偉潔審核人：領導簽字： 【使用說明】1.用20分鐘仔細研讀課本P95-P98,認真限時完成問題導學預習自測；

2.具體要求：

三、練一練：

????3????

1、已知點A(3,4,0),B(2,5,5),而且BC?OA，其中O為坐標原點，點C的坐標為

5?????

2、l1的方向向量為v1?(1,2,3)，l2的方向向量為v2?(?,4,6)，若l1//l2，則?等于

3、已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外任一點O，滿足下面條件的點M是否一定在平面

（1）用向量表示直線或點在直線上的位置；

（2）用向量方法證明直線與直線平行、直線與平面平行、平面與平面平行；

【學習目標】 1.掌握用向量法證明平行關系，提高概念理解和應用能力；

2.獨立思考，合作學習，探究向量法研究空間平行問題的規(guī)律方法； 3.激情投入，形成扎實嚴謹?shù)臄?shù)學思維品質.【課前預習】

一、重點：用向量證明空間的平行關系；難點：空間向量在證明平行關系中的應用.二、問題導學

1.類比平面內直線的向量參數(shù)方程，寫出空間直線的向量參數(shù)方程.思考：當t?

1時，線段AB中點M的向量表達式是2.設?v????

21和v2分別是直線l1和l2的方向向量，則由向量共線的條件，得l1//l2或l1和l2重合的充要條件是什么？

l//?或l在?內的充要條件是什么？

?//?或?與?重合的充要條件是什么？

ABC內？ ????OM??2???OA?????OB?????OC?

(四)我的疑問：

【課內探究】

一、討論、展示、點評、質疑

探究一：用向量表示直線或點在直線上的位置

已知點A(?2,3,0),B(1,3,2)，以???AB?的方向為正向，在直線AB上建立一條數(shù)軸，P,Q為軸上的兩

點，且滿足條件：（1）AQ:QB??2；（2）AP:PB?2:3.求點P和點Q的坐標.拓展1：已知點A(3,4,0),B(2,5,5),C(0,3,5),且ABCD是平行四邊形，則頂點D的坐標

2010 山東省昌樂二中 高二數(shù)學選修2-1導學案時間：2010-12-21班級：姓名：小組：教師評價：

拓展2：已知O為坐標原點，四面體OABC的頂點A(0,3,5),B(2,2,0),C(0,5,0)，直線BD//CA，并且與坐標平面xOz相交于點D，求點D的坐標.拓展1（AB）已知矩形ABCD和矩形ADEF，AD為公共邊，但是它們不在同一個平面上，點M,N分別在對角線BD,AE上，且BM?1

1BD,AN?AE.證明：直線MN//平面CDE.3

3E

【規(guī)律方法總結】探究二：用向量法證明空間中的平行關系

如圖，已知正方體ABCD?A'B'

C'

D'，點M,N分別是面對角線A'B與面對角線AC''的中點.求證：MN//側面AD'

；MN//AD'，并且MN?1'

AD.A'

D'

B'N

C'

A

B

D

C

D

N

C

MA

B

拓展2（A）在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD?底面ABCD，PD?DC, E是PC的中點.用向量法證明PA//平面EDB.E

C

B

【規(guī)律方法總結】

二、課堂小結：

1.知識與方法方面：2.數(shù)學思想方法方面：