第一篇：立體幾何中的有關(guān)證明與綜合問(wèn)題

立體幾何中的有關(guān)證明與綜合問(wèn)題

例1． 已知斜三棱柱ABC-A’B’C’的底面是直角三角形，∠C'

C=90°，側(cè)棱與底面所成的角為α（0°<α<90°），B’在底面

上的射影D落在BC上。

（1）求證：AC⊥面BB’C’C。

（2）當(dāng)α為何值時(shí)，AB’⊥BC’，且使得D恰為BC的中點(diǎn)。

講解：（1）∵B’D⊥面ABC，AC?面ABC，∴B’D⊥AC，又AC⊥BC，BC∩B’D=D，∴AC⊥面BB’C’C。

（2）由三垂線定理知道：要使AB’⊥BC’，需且只需AB’在面BB’C’C內(nèi)的射影B’C⊥BC’。即四邊形BB’C’C為菱形。此時(shí)，BC=BB’。

因?yàn)锽’D⊥面ABC，所以，?B'BD就是側(cè)棱B’B與底面ABC所成的角。

由D恰好落在BC上，且為BC的中點(diǎn)，所以，此時(shí)?B'BD=60?。

即當(dāng)α=60?時(shí)，AB’⊥BC’，且使得D恰為BC的中點(diǎn)。

例2． 如圖：已知四棱錐P?ABCD中，底面四邊形為正方形，側(cè)面PDC為正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E為PC中點(diǎn)。

（1）求證：平面EDB⊥平面PBC；（2）求二面角B?DE?C的平面角的正切值。

講解：（1）要證兩個(gè)平面互相垂直，常規(guī)的想法C是：證明其中一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線。首先觀察圖中已有的直線，不難發(fā)現(xiàn)，由于側(cè)面PDC為正三角形，所以，DE?PC，那么A

我們自然想到：是否有DE?面PBC？這樣的想法一經(jīng)產(chǎn)生，證明它并不是一件困難的事情。∵ 面PDC⊥底面ABCD，交線為DC，∴ DE在平面ABCD內(nèi)的射影就是DC。

在正方形ABCD中，DC⊥CB，∴ DE⊥CB。

又PC?BC?C，PC,BC?面PBC，∴ DE⊥面PBC。

又DE?面EDB，∴平面EDB⊥平面PBC。

（2）由（1）的證明可知：DE⊥面PBC。所以，?BEC就是二面角B?DE?C的平面角。∵ 面PDC⊥底面ABCD，交線為DC，又平面ABCD內(nèi)的直線CB⊥ DC?！?CB⊥面PDC。又PC?面PDC，∴ CB⊥PC。

在Rt?ECB中，tan?BEC?

BCCE

?

2。

點(diǎn)評(píng)：求二面角的平面角，實(shí)際上是找到棱的一個(gè)垂面，事實(shí)上，這個(gè)垂面同時(shí)垂直于二面角的兩個(gè)半平面。

例3．如圖：在四棱錐S?ABCD中，SA⊥平面ABCD，∠BAD??ADC?

SB

?，AB?AD?2a，CD?a，E為的中點(diǎn)。

（1）求證：CE//平面SAD；

（2）當(dāng)點(diǎn)E到平面SCD的距離為多少時(shí)，平面SAD所成的二面角為45?？

講解：題目中涉及到平面SBC與平面SAD角，所以，應(yīng)作出這兩個(gè)平面的交線（即二面一方面，要證CE//平面SAD，應(yīng)該設(shè)法證明SAD內(nèi)的一條直線，充分利用中點(diǎn)（中位線）發(fā)現(xiàn)，剛剛做出的二面角的棱正好符合要求。（1）延長(zhǎng)BC、AD交于點(diǎn)F。

在?FAB中，∠BAD??ADC?

?

平面SBC與

所成的二面

角的棱）。另CE平行于面的性質(zhì)，不難，所以，所以，所以，點(diǎn)

AB、CD都與AF垂直，所以，CD//AB，?CD∽F?BAF。CD?a，又AB?2a，D、C分別為線段AF、BF的中點(diǎn)。又因?yàn)镋為SB的中點(diǎn)，所以，EC的中位線，所以，EC//SF。

又EC?面SAD，SF?面SAD，所

為?SBC

以，CE//

平面SAD。SA⊥平面ABCD，（2）因?yàn)椋篈B?平面

AB，所以，AB?SA。又AB?AF，AF?SA?A，所以，AB?面SAF。過(guò)A作AH?SF于H，連BH，則BH?SF，所以，?BHA就是平面SBC與平面SAD所成的二面角的平面角。在Rt?BHA中，要使?BHA=45?，需且只需AH=AB=2a。

此時(shí)，在?SAF中，SA?

SF?AHAF

?

SA

??4a??2a

4a，所以，SA?

3a。

在三棱錐S-ACD中，設(shè)點(diǎn)A到面SCD的距離為h，則

AD?DC

h=

S?ACD?SAS?SCD

?

?SA

AD?SA2??

SD?CDSD

AD?SASA

?AD

?

a

因?yàn)锳B//DC，所以，AB//面SCD。所以，點(diǎn)A、B到面SCD的距離相等。又因?yàn)镋為SB

中點(diǎn)，所以，點(diǎn)E到平面SCD的距離就等于點(diǎn)B到面SCD距離的一半，即

h

2?

8a。

點(diǎn)評(píng)：探索性的問(wèn)題，有些采用先猜后證的方法，有些則是將問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，在轉(zhuǎn)化的過(guò)程中不斷探求結(jié)論。

例4．如圖，已知PA?面ABC，AD?BC于D，BC?CD?AD?1。

（1）令PD?x，?BPC??，試把tan?表示為x的函數(shù)，并求其最大值；

（2）在直線PA上是否存在一點(diǎn)Q，使得

?BQC??BAC？

講解（1）為尋求tan?與x的關(guān)系，?轉(zhuǎn)化為?PCD??PBD。

∵ PA?面ABC，AD?BC于D，∴ PD?BD。

∴ tan?PCD?

PDDC

?x,tan?PBD?

PDBD

首先可以將

?

x2。

x?

x2x2?

xx?2

∴ tan??tan??PCD??PBD??∵ AD為PD在面ABD上的射影?！?PD?AD?1，即x?1?！?tan??

xx?2。

1?x?

?

1x?

2x

?

122

?

4。

即tan?的最大值為

24，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x?2時(shí)取得。

（2）由正切函數(shù)的單調(diào)性可知：點(diǎn)Q的存在性等價(jià)于：是否存在點(diǎn)Q使得

tan?BQC?tan?BAC。

tan?BAC?tan??ACD??ABD??

3。

令tan??

xx?2

?

13，解得：1?x?2，與x?1交集非空。

∴ 滿足條件的點(diǎn)Q存在。

點(diǎn)評(píng) 本題將立體幾何與代數(shù)融為一體，不僅要求學(xué)生有一定的空間想象力，而且，作好問(wèn)題的轉(zhuǎn)化是解決此題的關(guān)鍵。

例5． 如圖所示：正四棱錐P?ABCD中，側(cè)棱PA與底面

ABCD所成角的正切值為

62。

（1）求側(cè)面PAD與底面ABCD所成二面角的大??；

（2）若E是PB中點(diǎn)，求異面直線PD與AE所成角的正切值；（3）在側(cè)面PAD上尋找一點(diǎn)F，使得EF?側(cè)面PBC。試確定點(diǎn)F的位置，并加以證明。

講解：（1）連AC,BD交于點(diǎn)O，連PO，則PO⊥面ABCD，∴ ∠PAO就是PA與底面ABCD所成的角，∴ tan∠PAO=

B。

設(shè)AB=1，則PO=AO?tan∠PAO =。

設(shè)F為AD中點(diǎn)，連FO、PO，則OF⊥AD，所以，PF⊥AD，所以，?PFO就是側(cè)面PAD與底面ABCD所成二面角的平面角。

在Rt?PFO中，tan?PFO?∴ ?PFO?

?

POFO

?，?

。即面PAD與底面ABCD所成二面角的大小為

（2）由（1）的作法可知：O為BD中點(diǎn)，又因?yàn)镋為PD中點(diǎn)，所以，EO//∴ ?EOD就是異面直線PD與AE所成的角。在Rt?PDO中，PD?OD2?PO2?

545

2?2

PD。

∴ EO?。

由AO?BD，AO?PO可知：AO?面PBD。所以，AO?EO。

在Rt?AOE中，tan?AEO?

AOEO

?25。

∴ 異面直線PD與AE所成的角為arctan

25。

（3）對(duì)于這一類(lèi)探索性的問(wèn)題，作為一種探索，我們首先可以將條件放寬一些，即先找到面PBC的一條垂線，然后再平移到點(diǎn)E即可。

為了達(dá)到上述目的，我們可以從考慮面面垂直入手，不難發(fā)現(xiàn)：面PFO?面PBC。延長(zhǎng)FO交BC于點(diǎn)G，連接PG。設(shè)H為PG中點(diǎn)，連接EH,GH?！?四棱錐P?ABCD為正四棱錐且F為AD中點(diǎn)，所以，G為BC中點(diǎn)，∴ BC?PG，BC?FG。

∴ BC?面PFG?！?面PBC⊥面PFG?！?PF?PG，?PFO?

?，∴ ?PFG為正三角形。

∴ FH?PG，∴ FH?面PBC。

取AF中點(diǎn)為K，連EK，則由HE//FK及HE?FK得四邊形HEKF為平行四邊形，所以，KE//FH。

∴KE?面PBC。

點(diǎn)評(píng) 開(kāi)放性問(wèn)題中，“退一步去想”（先只滿足部分條件）、“將命題加強(qiáng)”往往是找到解題的突破口的方法。

1．（2000年全國(guó)高考題）如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且

?C1CB

=?BCD=60?。

（I）證明：C1C⊥BD；

（II）假定CD=2，C1C=，記面C1BD為?，面CBD為?，求二面角

3??BD??的平面角的余弦值；

CDCC

1（III）當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，能使A1C?平面C1BD？請(qǐng)給出證明。

CDCC1

[答案與提示：（Ⅰ）略；（Ⅱ）；（Ⅲ）=1。

2．（2002年全國(guó)高考）如圖：正方形ABCD、ABEF的邊長(zhǎng)都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直。點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若CM=BN=a?0?a?

?.C

D

E

N

A

F

2；（Ⅱ）a?

（Ⅰ）求MN的長(zhǎng)；

（Ⅱ）當(dāng)a為何值時(shí)，MN的長(zhǎng)最??；

（Ⅲ）當(dāng)MN的長(zhǎng)最小時(shí)，求面MNA與面成的二面角?的大小。

MNB所

[答案與提示：（Ⅰ）MN?

?2?

1?a???0?a???2?2?

??

2時(shí)，MN的長(zhǎng)最小，為

22；

1?

（Ⅲ）arccos????]

?

3?

3．（2002年北京高考）如圖：在多面體ABCD?A1B1C1D1中，上、下底面平行且均為矩形，相對(duì)的側(cè)面與同一底面所成的二面角大小相等，側(cè)棱延長(zhǎng)后相交于E、F兩點(diǎn)，上下底面矩形的長(zhǎng)、寬分別為c、d與a、b，且a?c,b?d，兩底面間的距離為h。

（1）求側(cè)面ABB1A1與底面ABCD所成二面角的大小；

（2）證明：EF//面ABCD

（3）在估測(cè)該多面體的體積時(shí)，經(jīng)常式V估?S中截面?h來(lái)計(jì)算。已知它的體積公

V?

h6

底

面

運(yùn)用近似公

式是

?S

上

?4S中底?S下

截面

?。

試判斷V估與V的大小關(guān)系，并加以證（注：與兩個(gè)底面平行，且到兩個(gè)底面距面稱(chēng)為該多面體的中截面）答案與提示：（1）arctan

2hb?d

A

a

明。離相等的截

B

；（3）V估?V。

4.(1997年全國(guó)高考)如圖,在正方體

ABCD?A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,CD的中

DC1

點(diǎn).Ⅰ.證明AD⊥D1F;Ⅱ.求AE與D1F所成的角;Ⅲ.證明面AED⊥面A1FD1;

Ⅳ.設(shè)AA1＝2,求三棱錐F?A1ED1的體積

[答案與提示：（2）90o；（4）VF?AED=1]

A1

A

VF?A1ED1

第二篇：立體幾何證明問(wèn)題

證明問(wèn)題

例1.如圖，E、F分別是長(zhǎng)方體邊形

.-的棱A、C的中點(diǎn)，求證：四邊形是平行四

例2.如圖所示，ABCD為正方形，SA⊥平面ABCD，過(guò)點(diǎn)A且垂直于SC的平面分別交SB、SC、SD與E、F、G.求證：AE⊥SB.例3.如圖，長(zhǎng)方體∠求證：

=90°.⊥

PQ

-中，P、Q、R分別為棱、、BC上的點(diǎn)，PQ//AB，連結(jié)，例4.已知有公共邊AB的兩個(gè)全等的矩形ABCD和ABEF不同在一個(gè)平面內(nèi)，P、Q分別是對(duì)角線AE、BD上的點(diǎn)，且AP=DQ，如圖所示.求證：PQ//平面

CBE.例5.如圖直角三角形ABC平面外一點(diǎn)S，且SA=SB=SC，且點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn).（1）求證：SD⊥平面ABC.（2）若AB=AC，求證BD⊥平面

SAC.例6.如圖，在正方體

-中，M、N、E、F分別是棱、、、的中點(diǎn).求證：平面AMN//平面

EFDB.例7.如圖（1）、（2），矩形ABCD中，已知AB=2AD，E為AB的中點(diǎn)，將ΔAED沿DE折起，使AB=AC.求證：平面ADE⊥平面

BCDE.

第三篇：立體幾何的平行與證明問(wèn)題

立體幾何

1．知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

一、經(jīng)典例題剖析

考點(diǎn)一 點(diǎn)線面的位置關(guān)系

1、設(shè)l是直線,a,β是兩個(gè)不同的平面（）

A．若l∥a,l∥β,則a∥β B．若l∥a,l⊥β,則a⊥β

C．若a⊥β,l⊥a,則l⊥β D．若a⊥β, l∥a,則l⊥β

2、下列命題正確的是（）

A．若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等,則這兩條直線平行

B．若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等,則這兩個(gè)平面平行

C．若一條直線平行于兩個(gè)相交平面,則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行

D．若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面,則這兩個(gè)平面平行

3、已知空間三條直線l、m、n.若l與m異面,且l與n異面,則（）

A．m與n異面.B．m與n相交.C．m與n平行.D．m與n異面、相交、平行均有可能.4、（2013年高考江西卷（文15））如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上,且AB//CD,則直線EF與正方體的六個(gè)面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為

_____________.D

1CB

考點(diǎn)二證明平行關(guān)系

5、如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是AA1的中點(diǎn)，D C

BDE。求證： AC1//平面

6、（2013年高考陜西卷（文））如圖, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O

為底面中心, A1O⊥平面ABCD, AB?AA1?

A

(Ⅰ)證明: A1BD //平面CD1B1;(Ⅱ)求三棱柱ABD-A1B1D1的體積.考點(diǎn)三證明垂直問(wèn)題

7、（2013年高考遼寧卷（文））

如圖,AB是圓O的直徑，PA垂直圓O所在的平面，C是圓O上的點(diǎn).(I)求證:BC?平面PAC；

(II)設(shè)Q為PA的中點(diǎn)，G為?AOC的重心，求證：QG//平面PBC.8、已知正方體ABCD?A1BC11D1，O是底ABCD對(duì)角線的交點(diǎn).D1AD

BBC

1求證：(１)C1O∥面AB1D1；(2)AC?面AB1D1．1

C

綜合練習(xí)：

9、（2013年高考廣東卷（文））如圖4,在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中,D,E分別是AB,AC

邊上的點(diǎn),AD?AE,F是BC的中點(diǎn),AF與DE交于點(diǎn)G,將?ABF沿AF折起,得到如圖5所示的三棱錐A?BCF,其中BC?

.(1)證明:DE//平面BCF;(2)證明:CF?平面ABF;

圖

410、如圖，四邊形ABCD為正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=證明：PQ⊥平面DCQ；

PD．

2AC?平面B'D'DB；BD'

?平面ACB'.11、正方體ABCD?A'B'C'D'中，求證：（1）（2）

第四篇：立體幾何證明中常用知識(shí)點(diǎn)

立體幾何證明中常用知識(shí)點(diǎn)

一、判定兩線平行的方法

1、平行四邊形

2、中位線定理

3、如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行（線面平行的性質(zhì)定理）

4、比例關(guān)系

二、判定線面平行的方法

1、如果平面外的一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線和這個(gè)平面平行（線面平行的判定定理）

2、兩面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面（面面平行的性質(zhì)定理1）

三、判定面面平行的方法

1、如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，則兩面平行（面面平行的判定定理）

2、如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，則兩面平行（面面平行的判定定理的推論）

四、判定兩線垂直的方法

1、定義：成90?角

2、直線和平面垂直，則該線與平面內(nèi)任一直線垂直（線面垂直的性質(zhì)定理）

3、三線合一

五、判定線面垂直的方法

1、如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交線垂直，則線面垂直（線面垂直的判定定理）

2、如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面（面面垂直的性質(zhì)定理）

六、判定面面垂直的方法

一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，則這個(gè)平面垂直于另一平面（面面垂直的判定定理）

第五篇：立體幾何中不等式問(wèn)題的證明方法

例談立體幾何中不等式問(wèn)題的證明方法

立體幾何中的不等式問(wèn)題具有很強(qiáng)的綜合性，解決這類(lèi)問(wèn)題既要有較強(qiáng)的空間想象能力，又要有嚴(yán)密的邏輯思維能力，因此有一定的難度．下面我們介紹幾種有關(guān)的解題方法．

1．利用最小角定理

例1．在直二面角??l??中，A??，B??，點(diǎn)A,B不全在棱l上，直線AB與平面?,?所成的角分別為?,?，求證：????90?．

證：如圖1，當(dāng)AB與?,?都不垂直時(shí)，分別在?,?內(nèi)作AC?l于C，BD?l于D，則AC??，BD??，??BAD??，?ABC??．

由最小角定理得?ABC??ABD，??????BAD??ABC??BAD??ABD?90．

當(dāng)AB??或AB??時(shí)，易知????90?．

綜上即得????90?．

2．利用三角知識(shí)

例2．已知三棱錐P?ABC的側(cè)棱PA、PB、PC兩兩垂直，求證：0???BAC?90?，0??ABC?90，0??CAB?90． ?????

證：如圖2，則在?ABC中，由余弦定理得

cos?BAC?AB?AC?BC

2AB?AC

22222 222

2??(PA?PB)?(PA?PC)?(PB?PC)2AB?AC??PA2AB?AC?0，?0??BAC?90．

同理可證0??ABC?90，0??CAB?90．

3．利用一元二次方程根的判別式

例3．已知球O的半徑為定值r，它的外切圓錐的全面積為S，求證：S?8?r． 證：如圖3，作球O的外切圓錐的軸截面PAB，設(shè)球O

與圓錐底面直徑AB及母線PA分別切于點(diǎn)E和F．再設(shè)

AE?AF?t，則由?PAE∽?POF，2????

得

PEPF

?

AEOF

PF

?

4tr，由此有PF?

2rtt?r，?S??t??t(PF?t)?

2rt

t?r，即2?t4?St2?r2S?0．

時(shí)取等號(hào)．

∵t2為實(shí)數(shù)，???S2?8?r2S?0，即S?

8?r2，當(dāng)且僅當(dāng)t?

4．利用基本不等式

例4．已知三棱錐P?ABC的側(cè)面PAB、PBC、PCA兩兩垂直，且這三個(gè)側(cè)面與底面ABC所成的二面角分別為?、?、?，求證：cos?cos?cos??

9證：如圖4，由題設(shè)易得CP?平面PAB，在側(cè)面PAB內(nèi)過(guò)點(diǎn)P作PE?AB于E，則CE?AB，∴?CEP??．設(shè)PA?a，PB?b，PC?c，則

PE?

?cos??

?CE??,同理，cos??，cos??

?

?cos?cos?cos?

?

?

5．利用函數(shù)的單調(diào)性

例5．如圖5，A、B是球O面上的兩點(diǎn)，?O是過(guò)A、B的大圓，?O1是過(guò)A、B的任意小圓，記l大為?O中劣弧?AB的長(zhǎng)，記l小為?O1中 劣弧?AB的長(zhǎng)，求證：l大?l小．

證：設(shè)OA?R，O1A?r(R?r)，?AOB?2?，?AO1B?2?．在等腰?AOB和等腰?AO1B中，由OA?OA1，知0?2??2???，即0??????/2．

?AB?2Rsin?，AB?2rsin?，?Rsin??rsin?，即

sin?sin?

?

rR

①．

設(shè)f(x)?

sinxx

(0?x?

?)，則f?(x)?

xcosx?sinx

x，再令g(x)?xcosx?sinx(0?x?

?

?)，則g?(x)?cosx?xsinx?cosx??xsinx?0．

∴g(x)在(0,?)上為減函數(shù)，故g(x)?g(0)?0，即xcosx?sinx?0，從而，當(dāng)

0?x?時(shí)，有f?(x)?0，?f(x)在(0,?

?)上也為減函數(shù)．

?0?????，?rR

sin?

??

?

sin?

?，即

sin?sin?

?

??

②，由①、②兩式可得

??

?2?R?2?r?l大?l?。?/p>

6．利用平面幾何知識(shí)

?

例6．已知P、Q是正四面體ABCD內(nèi)部的兩點(diǎn)，求證：?PAQ?60．

證：如圖6，過(guò)點(diǎn)A、P、Q作正四面體ABCD的截面

AEF．若E、F都不是?BCD的頂點(diǎn)，不妨設(shè)E、F分別是

棱BD、CD上異于端點(diǎn)的點(diǎn)，此時(shí)?P、Q兩點(diǎn)在?AEF內(nèi)，??PAQ??EAF．又??ABE≌?CBE，?AE?CE．

?

而?EFC??EDF?60??BCF??ECF，?EF?CE?AE．

同理可得EF?AF，?EF是?AEF中最小的邊，故必有?EAF?60，??PAQ??EAF?60．

?

?

若E、F中有一個(gè)是?BCD的頂點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)F在D處．于是有，?PAQ??EAF??BAF?60．

?