第一篇：用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(第03課時(shí))

第03課時(shí)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

（一）教學(xué)目標(biāo)：

1、了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，并能以遞推思想作指導(dǎo)，2、理解數(shù)學(xué)歸納法的操作步驟，3、能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題，并能嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的格式書寫.教學(xué)重點(diǎn)：能用數(shù)學(xué)歸納法證明幾個(gè)經(jīng)典不等式.教學(xué)難點(diǎn)：理解經(jīng)典不等式的證明思路.教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

1222n2n(n?1)?????,n?N*.1.求證：1?33?5(2n?1)(2n?1)2(2n?1)

2.求證：1?1111?????n?n,n?N*.2342?

1二、講授新課：

1、用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的方法：作差比較法、作商比較法、綜合法、分析法和放縮法，以及類比與猜想、抽象與概括、從特殊到一般等數(shù)學(xué)思想方法。

2、數(shù)學(xué)歸納法是用于證明某些與自然數(shù)有關(guān)的命題的一種方法．設(shè)要證命題為P（n）．

（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)，結(jié)論正確，即驗(yàn)證P（n0）正確；

（2）假設(shè)n=k（k∈N且k≥n0）時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也正確，即由P（k）正確推出P（k+1）正確，根據(jù)（1），（2），就可以判定命題P（n）對(duì)于從n0開(kāi)始的所有自然數(shù)n都正確．

在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的具體過(guò)程中，要注意以下幾點(diǎn)：

（1）在從n=k到n=k+1的過(guò)程中，應(yīng)分析清楚不等式兩端（一般是左端）項(xiàng)數(shù)的變化，也

就是要認(rèn)清不等式的結(jié)構(gòu)特征；

（2）瞄準(zhǔn)當(dāng)n=k+1時(shí)的遞推目標(biāo)，有目的地進(jìn)行放縮、分析；

（3）活用起點(diǎn)的位置；

（4）有的試題需要先作等價(jià)變換。

三、應(yīng)用舉例：

例1：比較n2與2n的大小，試證明你的結(jié)論.分析：試值n?1,2,3,4,5,6 → 猜想結(jié)論 → 用數(shù)學(xué)歸納法證明

→ 要點(diǎn)：(k?1)2?k2?2k?1?k2?2k?k?k2?3k?k2?k2?….證明：（略）

小結(jié)反思：試值→猜想→證明

11鞏固練習(xí)1：已知數(shù)列?an?的各項(xiàng)為正數(shù)，Sn為前n項(xiàng)和，且Sn?(an?)，歸納出an2an的公式并證明你的結(jié)論.解題要點(diǎn)提示：試值n=1,2,3,4，→ 猜想an → 數(shù)學(xué)歸納法證明

例2：證明不等式|sinn?|?n|sin?|(n?N?).要點(diǎn)：|sin(k?1)?|?|sink?cos??cosk?sin?|?|sink?cos?|?|cosk?sin?|

?|sink?|?|sin?|?k|sin?|?|sin?|?(k?1)|sin?|

證明：（略）

例3：證明貝努利不等式.(1?x)n?1?nx(x??1,x?0,n?N,n?1)

分析：貝努力不等式中涉及到兩個(gè)字母，x表示大于-1且不等于0的任意實(shí)數(shù)，n是大于1的自然數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法只能對(duì)n進(jìn)行歸納

鞏固練習(xí)2：試證明：不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當(dāng)n＞1,n∈N且a、b、*c互不相等時(shí)，均有an+cn＞2bn.解答要點(diǎn)：當(dāng)a、b、c為等比數(shù)列時(shí)，設(shè)a=bnn, c=bq(q＞0且q≠1).∴ a+c=….q

an?cna?cn*當(dāng)a、b、c為等差數(shù)列時(shí)，有2b=a+c，則需證＞()(n≥2且n∈N).2

2ak?1?ck?11k+1k+1k+1k+11?(a+c+a+c)＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)….當(dāng)n=k+1時(shí)，24

4=1kka?cka?ca?ck+1(a+c)(a+c)＞()·()=().4222

3.小結(jié)反思：應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)n有關(guān)的不等式；技巧：湊配、放縮.四、鞏固練習(xí)：

111tan(2n?))(1?)....(1?)?1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1?.cos2?cos4?cos2n?tan?

2.已知n?N,n?2,?

五、課堂小結(jié)：

六、布置作業(yè)：

教材P533、5、8題.12111?????1.n?1n?22n

第二篇：用均值不等式證明不等式

用均值不等式證明不等式

【摘要】：不等式的證明在競(jìng)賽數(shù)學(xué)中占有重要地位．本文介紹了用均值不等式證明幾個(gè)不等式，我們?cè)谧C明不等式時(shí)，常用到均值不等式。要求我們要認(rèn)真分析題目，本文通過(guò)幾個(gè)國(guó)內(nèi)外競(jìng)賽數(shù)學(xué)的試題，介紹用均值不等式證明初等不等式的基本方法及技巧。

【關(guān)鍵詞】：均值不等式；不等式；方法；技巧

均值不等式

設(shè) a1、a2、?、an 是 n 個(gè) 正數(shù)，則不等式H(a)?G(a)?A(a)?Q(a)稱為均值不等式[1]．其中

H(a)?

n

1a

1?1a

2???

1an，G(a)?

a1a2a1a?an，A(n)?

a1?a2???an

n

22，2

Q(n)?

a1?a2???an

n

?、an 的調(diào)和不等式，幾何平均值，算術(shù)平均值，均方根平均分別稱為 a1、a2、值．

例1設(shè)a1、a2、…、an均為正，記

?(n)?n（a1?a2???an

n

?

a1a2?an)

試證：?(n)??(n?1)，并求等號(hào)成立的條件．

證明由所設(shè)條件，得

?(n)??(n?1)

=n（a1?a2???an

n

?

n

a1a2?an)?(n?1)（a1?a2??an?

1n?1

?

n?1

a1a2?an?1)

=a1?a2???an?nna1a2?an?(a1?a2???an?1)?(n?1)n?1a1a2?an?1

=an?(n?1)(a1a2?an?1)n?1?n(a1a2?an)n，n?1

???(a1a2?an?1)n?1，有 將G(a)?A(a)應(yīng)用于n個(gè)正數(shù)：an，（a1a2?an?1）

?????????????????

n?1個(gè)

an?(n?1)(a1a2?an?1)n?1

n

?(a1a2?an)n，即

an?(n?1)(a1a2?an?1)n?1?n(a1a2?an)n．

所以?(n)??(n?1)，當(dāng)且僅當(dāng)an?(a1a2?an?1)立．

n?1，即ann?1?a1a2?an?時(shí)等號(hào)成1

此題不只是公式的直接應(yīng)用．代表了均值不等式中需要挖掘信

?、an 的一類題． 息找a1、a2、例2設(shè)x?y?z?0，求證：6(x3?y3?z3)2?(x2?y2?z2)3． 證明當(dāng)x?y?z?0時(shí)不等式顯然成立．

除此情況外，x、y、z中至少有一正一負(fù)．不妨設(shè)xy?0，因?yàn)?/p>

z??(x?y)，所以

I?6(x?y?z)?6[x?y?(x?y)]?6[?3xy(x?y)]?54xyz

．

若由此直接用G(a)?A(a)(n?3)，只能得到較粗糙的不等式

I?54xyz?54（x?y?z

2)?2(x?y?z)，3222

3如果改用下面的方法，用G(a)?A(a)，便得

I?54xyz

222

?216

xy2

?

xy2

?z

?xy?xy2???z?

??(2z2?2xy)3，?216???3????

再注意到x2?y2?(x?y)2?2xy?z2?2xy，因而2z2?2xy?x2?y2?z2，于是即得欲證的不等式．

此題解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造a1、a2、?、an通常需要拓寬思路多次嘗試，此類也屬均值不等式的?？碱愵}． 例3設(shè)x?0，證明：2

x

?2

x

?2?2

x

．(第16屆全蘇數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題[2])

證明此不等式的外形有點(diǎn)像均值不等式． 由G(a)?A(a)，得

x?2

x

x

?2

x

?2?2

x

?2

x

?2?2，又

x?2

x

1111

?(x12x4)2?x6，即得要證的不等式．

結(jié)語(yǔ)

有些不等式則可以利用某個(gè)已經(jīng)證明成立的不等式來(lái)證明(因此多熟悉幾個(gè)比較常見(jiàn)的不等式是有好處的)；有些不等式還要用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明等等．而且在一個(gè)題目的證明過(guò)程中，也往往不止應(yīng)用一種方法，而需要靈活運(yùn)用各種方法．因此，要培養(yǎng)和提高自己的證題能力。

參考文獻(xiàn)

[1]陳傳理等編．?dāng)?shù)學(xué)競(jìng)賽教程 [M]．北京：高等教育出版設(shè)，1996，(10)：

133-134．

[2]常庚哲等編．高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座[M]．上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1987．38-49

第三篇：不等式·用綜合法證明不等式

不等式·用綜合法證明不等式

教學(xué)目標(biāo)

1．掌握兩個(gè)或三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)這一重要定理，并能運(yùn)用它們證明一些不等式．

2．了解綜合法的意義．

3．通過(guò)對(duì)定理及其推論的推導(dǎo)、證明、應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用綜合法進(jìn)行推理論證的能力．

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

用綜合法證明定理及推論的教學(xué)． 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）新課引入

師：我們已學(xué)過(guò)用比較法（求差、求商）證明不等式，它是一種最基本、最常用的方法．請(qǐng)完成以下練習(xí)．

1．證明：x2＋2＞2x（x為實(shí)數(shù)）．

2．請(qǐng)問(wèn)：x2＋1與2x的大小關(guān)系是什么？并證明你的結(jié)論．（教師巡視學(xué)生的解題情況，請(qǐng)學(xué)生將不同的解法板演到黑板上）1．證法1：由（x2+2）-2x=（x-1）2+1≥1＞0，知x2＋2＞2x．

證法2：由（x-1）2≥0，知（x-1）2+1≥1＞0，即x2-2x＋2＞0，則x2＋2＞2x．

師：兩位同學(xué)的證明都正確，他們都是根據(jù)a2≥0（a≥R）．在證法上有區(qū)別嗎？請(qǐng)大家思考．

2．答：x2＋1≥2x．

證法1：由（x2＋1）-2x=x2-2x＋1=（x-1）2≥0，知x2+1≥2x． 證法2：由（x-1）2≥0，① 知x2-2x＋1≥0，則x2+1≥2x． ② 師：同學(xué)們得到的結(jié)論幾乎是一致的，是x2+1≥2x．主要證法已列在黑板上，請(qǐng)大家思考：這些證明是否正確？所采用的方法是什么？

生：都正確．證法一是求差比較法，證法二是??

師：一時(shí)答不出也沒(méi)關(guān)系，證法一用的是求差比較法，至于證法二，我們不妨先問(wèn)問(wèn)寫出證法二的同學(xué)是怎么想出來(lái)的．

生：我一看到是兩個(gè)“平方項(xiàng)”與它們的兩倍“交叉項(xiàng)”比大小，就首先想到了平方公式，這個(gè)完全平方一定是非負(fù)的；然后再根據(jù)不等式性質(zhì)，就得到了結(jié)論；最后就按這個(gè)思路進(jìn)行的證明．

師：他是從已經(jīng)成立的事實(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)正確推理，得到要證的結(jié)論．也就是說(shuō)他是以公式①為基礎(chǔ)，運(yùn)用不等式的性質(zhì)推出②式，這種利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式作為基礎(chǔ)，再運(yùn)用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要求證的不等式的方法通常叫做綜合法．

對(duì)于綜合法大家并不陌生，初中的平面幾何題大多是用綜合法加以證明的． 今天我們一起研究如何用綜合法證明不等式（板書課題）．

（二）用綜合法證明不等式 1．綜合法

師：我們已經(jīng)知道用綜合法證明需要一些已經(jīng)證明過(guò)的不等式作為基礎(chǔ)，因此我們應(yīng)先證明出一些最重要、最基本的不等式．

2．定理推導(dǎo)

師：通過(guò)剛才的兩道小題，我們不難得出：如果a，b∈R，那么有（a-b）2≥0．把左邊展開(kāi)，得a2-2ab＋b2≥0，則a2＋b2≥2ab．這就是課本P8中介紹的定理1．我們采用的是綜合法，課本中是用求差比較法加以證明的．

（把課前準(zhǔn)備好的課本中的這段證明投出來(lái)供大家一起閱讀．此處需實(shí)物投影儀）

證明：a2＋b2-2ab=（a-b）2．

當(dāng)a≠b時(shí)，（a-b）2＞0；當(dāng)a=b時(shí)，（a-b）2=0． 所以（a-b）2≥0，即a2＋b2-2ab≥0．因此a2＋b2≥2ab．

師：值得我們注意的是這是帶有“=”的不等式，取“=”這種特殊情況應(yīng)予以重視．不等式a2＋b2≥2ab中“=”成立的充要條件是什么？ 生：是a=b．

師：充要條件通常用“當(dāng)且僅當(dāng)”來(lái)表達(dá)，“當(dāng)”表示條件是充分的，“僅當(dāng)”表示條件是必要的．所以定理1表述為：

定理1 如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)）．（板書）

師：這個(gè)定理的功能是什么？功能往往源于它的結(jié)構(gòu)．

生：公式a2＋b2≥2ab的一邊是和的形式，另一邊是積的形式．我想功能大概是：和可以縮小變成積，積可以放大變成和．

師：雖然語(yǔ)言欠準(zhǔn)確，但其含意是對(duì)的．這個(gè)定理非常重要，且用途廣泛，但由于各項(xiàng)都是二次的，使用時(shí)不太方便，誰(shuí)有辦法將它們的次數(shù)降下來(lái)？

師：大家都同意他的作法嗎？有什么不同意見(jiàn)嗎？

師：同學(xué)們思考問(wèn)題已越來(lái)越嚴(yán)謹(jǐn)了，的確，從學(xué)生甲的方法應(yīng)得到學(xué)生乙的結(jié)論，學(xué)生丙提到的條件是不可缺少的．由于有這個(gè)條件，的情況單獨(dú)提出來(lái)，做為定理1的推論．

“＝”號(hào)）．（板書）

生?。何遗c學(xué)生甲的想法不同．既然定理1的a2＋b2≥2ab對(duì)任意

師：學(xué)生丁的想法更自然，他直接利用定理得到推論，這個(gè)推論十 的算術(shù)平均數(shù)不小于（即大于或等于）它們的幾何平均數(shù)． 3．定理的初步應(yīng)用

師：看到這個(gè)問(wèn)題，你的第一想法是什么？ 生：使用定理加以證明．

師：若想定理幫忙，首先要看是否符合定理的條件．

師：再看是否符合定理的結(jié)構(gòu)．

師：實(shí)際上，我們是用定理1的推論進(jìn)行證明的．

（教師把證明過(guò)程板演到黑板上）師：使用定理時(shí)，應(yīng)特別注意：等號(hào)何時(shí)成立，不過(guò)這只要看定理是怎么形成的就可以了．

4．定理的推廣

師：我們已研究得到兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．這個(gè)結(jié)論可以推廣到3，4，?，n（n∈N+）個(gè)正數(shù)，在中學(xué)只要掌握到三個(gè)正數(shù)的相應(yīng)結(jié)論．請(qǐng)問(wèn)應(yīng)是什么？

生：應(yīng)該是：三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)． 師：用符號(hào)語(yǔ)言應(yīng)如何表述？請(qǐng)寫到黑板上．（學(xué)生書寫在黑板上）

師：如何證明呢？ 生：??

使式子看起來(lái)較為復(fù)雜，能否做適當(dāng)變形使之簡(jiǎn)化呢？

師：想得好，它有條件嗎？ 生：有．同樣是a，b，c∈R+．

師：這個(gè)命題大家能證明出來(lái)嗎？一時(shí)不能完全證出來(lái)也沒(méi)關(guān)系，想出多少說(shuō)多少．

生甲：我覺(jué)得證a3＋b3＋c3≥3abc更容易點(diǎn)．它能拆成a3≥abc，b3≥abc，c3≥abc，由條件只要證出a2≥bc，b2≥ac，c2≥ab即可．

生乙：這三個(gè)分著不可能證出來(lái)，不過(guò)合起來(lái)的2a2＋2b2＋2c2≥2bc＋2ac＋2ab很容易證出．

師：雖然他們還沒(méi)能把命題證出，但從他們的發(fā)言中我們得到了一點(diǎn)啟發(fā)：三次的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次的解決． 生?。何易C出來(lái)了．（學(xué)生口述，教師板書）

證明：由于a，b，c∈R+，由定理1，得a2＋b2≥2ab，則a2-ab＋b2≥ab． 所以a3＋b3=（a＋b）（a2-ab＋b2）≥（a＋b）ab=a2b＋ab2，即a3＋b3≥a2b＋ab2．

同理，b3＋c3≥b2c＋bc2，c3+a3≥a2c＋ac2． 三式相加，得

2a3＋2b3＋2c3≥a2b+ab2+b2c＋bc2+a2c+ac2 =b（a2＋c2）+a（b2＋c2）＋c（a2+b2）≥b·2ac＋a·2bc＋c·2ab =2abc+2abc+2abc ＝6abc．

故a3+b3＋c3≥3abc．

師：證得漂亮，你是怎么想出來(lái)的？

生?。何矣X(jué)得證這個(gè)題目只能根據(jù)已知條件和定理1及推論．證題時(shí)我又借鑒了他們倆的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)a3，b3，c3的降次轉(zhuǎn)化工作不是一個(gè)、成．

師：他還有兩處處理得很好．一處是：a2-ab＋b2≥ab；另一處是對(duì)三式相加后的式子的重組．很明顯，他是在努力創(chuàng)設(shè)條件、充分利用定理證題．這個(gè)問(wèn)題是用什么方法加以證明的？

生：綜合法．

師：剛才的證明過(guò)程不僅幫我們把問(wèn)題得以解決，而且還幫助我們加深了對(duì)綜合法的認(rèn)識(shí)，從中可體會(huì)到應(yīng)如何使用綜合法證題． 證明此題還有其它辦法嗎？ 生：我是用求差比較法證的．（學(xué)生口述，教師板書）證明：由于a3+b3+c3-3abc =（a＋3）3+c3-3a2b-3ab2-3abc =（a＋b＋c）[（a＋b）2-（a＋b）c＋c2]-3ab（a＋b＋c）=（a＋b＋c）[a2＋2ab+b2-ac-bc＋c2-3ab] =（a＋b＋c）（a2+b2＋c2-ab-ac-bc）

又a，b，c∈R＋，則a＋b＋c＞0．

由（a-b）2≥0，（b-c）2≥0，（c-a）2≥0，知（a-b）2+（b-c）2＋（c-a）2≥0．

進(jìn)而a3＋b3＋c3-3abc≥0．即a3＋b3＋c3≥3abc．

師：正確，而且思路很清晰．這個(gè)思路你是怎么想出來(lái)的？

生：我是一看到這個(gè)題目就想用比較法的．我本以為作差后，能因式分解，再用條件或定理1，就可斷定式子的符號(hào)，題目也就證出來(lái)了，但我第一次兩兩分組就不成功，沒(méi)分解出來(lái)．再試時(shí)，我看a3，b3，c3，3abc這四項(xiàng)都是3次的，就先湊出與之齊次的（a＋b）3再配平，結(jié)果就出來(lái)了．

師：數(shù)學(xué)中很多時(shí)候也是需要試一試、拼拼湊湊的． 其實(shí)，課本中采用的就是這種證法．

這同樣是帶有“=”的不等式，我們?nèi)孕柩芯科洹?”成立的充要條件．從剛才的證明過(guò)程看，“=”出現(xiàn)在（a-b）2＋（b-c）2＋（c-a）2≥0中，這是顯然有：當(dāng)且僅當(dāng)a=b，b=c，c=a同時(shí)成立，即a=b=c時(shí)等號(hào)成立． 至此，我們已得到了定理2及其推論．（教師板書）

定理2 如果a，b，c∈R+，那么a3＋b3＋c3≥3abc（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào)）．

時(shí)取“=”號(hào)）．

師：這個(gè)定理及推論同樣是非常重要而且廣泛的．它的證明方法遠(yuǎn)不只上述這些，推論也可直接證得，同學(xué)們不妨課下試一試．

（三）小結(jié)

（引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)）

1．已學(xué)過(guò)的不等式證明方法：比較法、綜合法． 2．用綜合法證明不等式的依據(jù)是什么？（1）已知條件和不等式性質(zhì)；（2）基本不等式：

“＝”號(hào)）．

3．綜合法與比較法的內(nèi)在聯(lián)系．

本節(jié)課的課前兩個(gè)練習(xí)與兩個(gè)定理的證明都是既用了比較法，又用了綜合法，這引起了我們對(duì)二者內(nèi)在聯(lián)系的思考． 由于作為綜合法證明依據(jù)的不等式本身是可以根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或比較法證出的，所以用綜合法可以獲證的不等式往往可以直接根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或比較法來(lái)證明．

擺在我們面前的問(wèn)題恐怕是方法的選擇．方法選擇不當(dāng)，不是證不出來(lái)就是難度加大；方法合理使用，會(huì)使題目難度大大下降．因此我們不要學(xué)過(guò)某種方法就抱定不放，要善于觀察，根據(jù)題目的特征選擇證題方法．

顯然，對(duì)于需用基本不等式證明的問(wèn)題，直接用結(jié)論要比再?gòu)念^證一遍容易很多．

4．注意：

（1）定理使用的條件．

只有a2＋b2≥2ab是對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b都成立，其余都要求在正數(shù)范圍內(nèi)．（2）定理中“=”號(hào)成立的條件．

（四）布置作業(yè)

《高級(jí)中學(xué)課本·代數(shù)·下冊(cè)（必修）》（人教社90年版98年印刷）P11練習(xí)1，2．

補(bǔ)充題：

（1）已知：a，b∈R，求證：a2＋b2＋1≥a＋b＋ab．

課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

這節(jié)課是本章（第五章、不等式）的重點(diǎn)．在這堂課中不僅要講授證明不等式的一種方法——綜合法，而且還要介紹兩個(gè)基本而又重要的不等式定理及推論．在這二者關(guān)系的處理上，我們發(fā)現(xiàn)：要使用綜合法證明不等式就需要一些最重要、最基本的不等式作為基礎(chǔ)，而證明得到它們時(shí)又可采用綜合法．因此，我們?cè)谡n前設(shè)計(jì)了兩個(gè)練習(xí)題，尤其是稍放開(kāi)一點(diǎn)的第2題，如果學(xué)生能自覺(jué)不自覺(jué)地用初中已很常用而沒(méi)正式講過(guò)的綜合法的思考方法解題，綜合法的引入就會(huì)很自然，即使生沒(méi)有想到，教師點(diǎn)撥起來(lái)也并不困難．而后順著學(xué)生用綜合法的需要，介紹了4個(gè)基本不等式，在它們的證明過(guò)程中，使用綜合法，幫助學(xué)生掌握如何用綜合法證明不等式．

從教學(xué)設(shè)計(jì)上，我們力圖從學(xué)生的需要出發(fā)，適時(shí)地設(shè)計(jì)一系列問(wèn)題，幫助學(xué)生抓住知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)到的公式、方法能用、會(huì)用，而不是只支離破碎地記住了一些名詞和公式． 表面上看，本節(jié)練習(xí)不夠，但實(shí)際上，定理2及推論的證明正是最好的練習(xí)．構(gòu)思這個(gè)證明，起點(diǎn)要高、思維跨度要大．這正是鍛煉學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生推理論證能力的絕對(duì)機(jī)會(huì)．我們認(rèn)為：最好的習(xí)題就是定理本身的推證過(guò)程．這里又是本節(jié)的一個(gè)難點(diǎn)，在此花點(diǎn)功夫、適當(dāng)展開(kāi)是應(yīng)當(dāng)?shù)?；同時(shí)學(xué)生對(duì)用綜合法證明不等式會(huì)有更深刻的體驗(yàn)．因此講透它比做幾個(gè)練習(xí)更有意義． 對(duì)于幾何證法、三角證法等基本不等式的證明方法，由于擔(dān)心會(huì)沖淡學(xué)生對(duì)綜合法的認(rèn)識(shí)，在本節(jié)中并未提及．

在課堂教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生有可能直接證出定理2的推論，這也無(wú)妨．一般來(lái)講，它同樣是要用到兩項(xiàng)的結(jié)論（定理1或其推論）去證的．課上應(yīng)就學(xué)生的實(shí)際，順其自然．

第四篇：不等式·用綜合法證明不等式

不等式·用綜合法證明不等式·教案

教學(xué)目標(biāo)

1．掌握兩個(gè)或三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)這一重要定理，并能運(yùn)用它們證明一些不等式． 2．了解綜合法的意義．

3．通過(guò)對(duì)定理及其推論的推導(dǎo)、證明、應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用綜合法進(jìn)行推理論證的能力．

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

用綜合法證明定理及推論的教學(xué)． 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）新課引入

師：我們已學(xué)過(guò)用比較法（求差、求商）證明不等式，它是一種最基本、最常用的方法．請(qǐng)完成以下練習(xí)．

1．證明：x2＋2＞2x（x為實(shí)數(shù)）．

2．請(qǐng)問(wèn)：x2＋1與2x的大小關(guān)系是什么？并證明你的結(jié)論．（教師巡視學(xué)生的解題情況，請(qǐng)學(xué)生將不同的解法板演到黑板上）1．證法1：由（x2+2）-2x=（x-1）2+1≥1＞0，知x2＋2＞2x．

證法2：由（x-1）2≥0，知（x-1）2+1≥1＞0，即x2-2x＋2＞0，則x2＋2＞2x． 師：兩位同學(xué)的證明都正確，他們都是根據(jù)a2≥0（a≥R）．在證法上有區(qū) 別嗎？請(qǐng)大家思考． 2．答：x2＋1≥2x．

證法1：由（x2＋1）-2x=x2-2x＋1=（x-1）2≥0，知x2+1≥2x． 證法2：由（x-1）2≥0，① 知x2-2x＋1≥0，則x2+1≥2x． ②

師：同學(xué)們得到的結(jié)論幾乎是一致的，是x2+1≥2x．主要證法已列在黑板上，請(qǐng)大家思考：這些證明是否正確？所采用的方法是什么？ 生：都正確．證法一是求差比較法，證法二是??

師：一時(shí)答不出也沒(méi)關(guān)系，證法一用的是求差比較法，至于證法二，我們不妨先問(wèn)問(wèn)寫出證法二的同學(xué)是怎么想出來(lái)的．

生：我一看到是兩個(gè)“平方項(xiàng)”與它們的兩倍“交叉項(xiàng)”比大小，就首先想到了平方公式，這個(gè)完全平方一定是非負(fù)的；然后再根據(jù)不等式性質(zhì)，就得到了結(jié)論；最后就按這個(gè)思路進(jìn)行的證明．

師：他是從已經(jīng)成立的事實(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)正確推理，得到要證的結(jié)論．也就是說(shuō)他是以公式①為基礎(chǔ)，運(yùn)用不等式的性質(zhì)推出②式，這種利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式作為基礎(chǔ)，再運(yùn)用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要求證的不等式的方法通常叫做綜合法． 對(duì)于綜合法大家并不陌生，初中的平面幾何題大多是用綜合法加以證明的． 今天我們一起研究如何用綜合法證明不等式（板書課題）．

（二）用綜合法證明不等式 1．綜合法

師：我們已經(jīng)知道用綜合法證明需要一些已經(jīng)證明過(guò)的不等式作為基礎(chǔ)，因此我們應(yīng)先證明出一些最重要、最基本的不等式． 2．定理推導(dǎo)

師：通過(guò)剛才的兩道小題，我們不難得出：如果a，b∈R，那么有（a-b）2≥0．把左邊展開(kāi)，得a2-2ab＋b2≥0，則a2＋b2≥2ab．這就是課本P8中介紹的定理1．我們采用的是綜合法，課本中是用求差比較法加以證明的．

（把課前準(zhǔn)備好的課本中的這段證明投出來(lái)供大家一起閱讀．此處需實(shí)物投影儀）證明：a2＋b2-2ab=（a-b）2．

當(dāng)a≠b時(shí)，（a-b）2＞0；當(dāng)a=b時(shí)，（a-b）2=0． 所以（a-b）2≥0，即a2＋b2-2ab≥0．因此a2＋b2≥2ab．

師：值得我們注意的是這是帶有“=”的不等式，取“=”這種特殊情況應(yīng)予以重視．不等式a2＋b2≥2ab中“=”成立的充要條件是什么？ 生：是a=b．

師：充要條件通常用“當(dāng)且僅當(dāng)”來(lái)表達(dá)，“當(dāng)”表示條件是充分的，“僅當(dāng)”表示條件是必要的．所以定理1表述為：

定理1 如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)）．（板書）師：這個(gè)定理的功能是什么？功能往往源于它的結(jié)構(gòu)．

生：公式a2＋b2≥2ab的一邊是和的形式，另一邊是積的形式．我想功能大概是：和可以縮小變成積，積可以放大變成和． 師：雖然語(yǔ)言欠準(zhǔn)確，但其含意是對(duì)的．這個(gè)定理非常重要，且用途廣泛，但由于各項(xiàng)都是二次的，使用時(shí)不太方便，誰(shuí)有辦法將它們的次數(shù)降下來(lái)？

師：想得好，它有條件嗎？ 生：有．同樣是a，b，c∈R+．

師：這個(gè)命題大家能證明出來(lái)嗎？一時(shí)不能完全證出來(lái)也沒(méi)關(guān)系，想出多少說(shuō)多少． 生甲：我覺(jué)得證a3＋b3＋c3≥3abc更容易點(diǎn)．它能拆成a3≥abc，b3≥abc，c3≥abc，由條件只要證出a2≥bc，b2≥ac，c2≥ab即可．

生乙：這三個(gè)分著不可能證出來(lái)，不過(guò)合起來(lái)的2a2＋2b2＋2c2≥2bc＋2ac＋2ab很容易證出．

師：雖然他們還沒(méi)能把命題證出，但從他們的發(fā)言中我們得到了一點(diǎn)啟發(fā)：三次的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次的解決． 生?。何易C出來(lái)了．

（學(xué)生口述，教師板書）證明：由于a，b，c∈R+，由定理1，得a2＋b2≥2ab，則a2-ab＋b2≥ab．

所以a3＋b3=（a＋b）（a2-ab＋b2）≥（a＋b）ab=a2b＋ab2，即a3＋b3≥a2b＋ab2． 同理，b3＋c3≥b2c＋bc2，c3+a3≥a2c＋ac2． 三式相加，得

2a3＋2b3＋2c3≥a2b+ab2+b2c＋bc2+a2c+ac2 =b（a2＋c2）+a（b2＋c2）＋c（a2+b2）≥b·2ac＋a·2bc＋c·2ab =2abc+2abc+2abc ＝6abc．

故a3+b3＋c3≥3abc．

師：證得漂亮，你是怎么想出來(lái)的？

生?。何矣X(jué)得證這個(gè)題目只能根據(jù)已知條件和定理1及推論．證題時(shí)我又借鑒了他們倆的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)a3，b3，c3的降次轉(zhuǎn)化工作不是一個(gè)、師：他還有兩處處理得很好．一處是：a2-ab＋b2≥ab；另一處是對(duì)三式相加后的式子的重組．很明顯，他是在努力創(chuàng)設(shè)條件、充分利用定理證題．這個(gè)問(wèn)題是用什么方法加以證明的？ 生：綜合法．

師：剛才的證明過(guò)程不僅幫我們把問(wèn)題得以解決，而且還幫助我們加深了對(duì)綜合法的認(rèn)識(shí)，從中可體會(huì)到應(yīng)如何使用綜合法證題． 證明此題還有其它辦法嗎？ 生：我是用求差比較法證的．（學(xué)生口述，教師板書）證明：由于a3+b3+c3-3abc =（a＋3）3+c3-3a2b-3ab2-3abc =（a＋b＋c）[（a＋b）2-（a＋b）c＋c2]-3ab（a＋b＋c）=（a＋b＋c）[a2＋2ab+b2-ac-bc＋c2-3ab] =（a＋b＋c）（a2+b2＋c2-ab-ac-bc）

師：正確，而且思路很清晰．這個(gè)思路你是怎么想出來(lái)的？

生：我是一看到這個(gè)題目就想用比較法的．我本以為作差后，能因式分解，再用條件或定理1，就可斷定式子的符號(hào)，題目也就證出來(lái)了，但我第一次兩兩分組就不成功，沒(méi)分解出來(lái)．再試時(shí)，我看a3，b3，c3，3abc這四項(xiàng)都是3次的，就先湊出與之齊次的（a＋b）3再配平，結(jié)果就出來(lái)了．

師：數(shù)學(xué)中很多時(shí)候也是需要試一試、拼拼湊湊的． 其實(shí)，課本中采用的就是這種證法．

這同樣是帶有“=”的不等式，我們?nèi)孕柩芯科洹?”成立的充要條件．從剛才的證明過(guò)程看，“=”出現(xiàn)在（a-b）2＋（b-c）2＋（c-a）2≥0中，這是顯然有：當(dāng)且僅當(dāng)a=b，b=c，c=a同時(shí)成立，即a=b=c時(shí)等號(hào)成立． 至此，我們已得到了定理2及其推論．（教師板書）

定理2 如果a，b，c∈R+，那么a3＋b3＋c3≥3abc（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào)）．

師：這個(gè)定理及推論同樣是非常重要而且廣泛的．它的證明方法遠(yuǎn)不只上述這些，推論也可直接證得，同學(xué)們不妨課下試一試．

（三）小結(jié)

（引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)）

1．已學(xué)過(guò)的不等式證明方法：比較法、綜合法． 2．用綜合法證明不等式的依據(jù)是什么？（1）已知條件和不等式性質(zhì)；（2）基本不等式：

3．綜合法與比較法的內(nèi)在聯(lián)系．

本節(jié)課的課前兩個(gè)練習(xí)與兩個(gè)定理的證明都是既用了比較法，又用了綜合法，這引起了我們對(duì)二者內(nèi)在聯(lián)系的思考．

由于作為綜合法證明依據(jù)的不等式本身是可以根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或比較法證出的，所以用綜合法可以獲證的不等式往往可以直接根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或比較法來(lái)證明． 擺在我們面前的問(wèn)題恐怕是方法的選擇．方法選擇不當(dāng)，不是證不出來(lái)就是難度加大；方法合理使用，會(huì)使題目難度大大下降．因此我們不要學(xué)過(guò)某種方法就抱定不放，要善于觀察，根據(jù)題目的特征選擇證題方法．

顯然，對(duì)于需用基本不等式證明的問(wèn)題，直接用結(jié)論要比再?gòu)念^證一遍容易很多． 4．注意：

（1）定理使用的條件．

只有a2＋b2≥2ab是對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b都成立，其余都要求在正數(shù)范圍內(nèi)．（2）定理中“=”號(hào)成立的條件．

（四）布置作業(yè)

《高級(jí)中學(xué)課本·代數(shù)·下冊(cè)（必修）》（人教社90年版98年印刷）P11練習(xí)1，2． 補(bǔ)充題：

（1）已知：a，b∈R，求證：a2＋b2＋1≥a＋b＋ab．

課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

這節(jié)課是本章（第五章、不等式）的重點(diǎn)．在這堂課中不僅要講授證明不等式的一種方法——綜合法，而且還要介紹兩個(gè)基本而又重要的不等式定理及推論．在這二者關(guān)系的處理上，我們發(fā)現(xiàn)：要使用綜合法證明不等式就需要一些最重要、最基本的不等式作為基礎(chǔ)，而證明得到它們時(shí)又可采用綜合法．因此，我們?cè)谡n前設(shè)計(jì)了兩個(gè)練習(xí)題，尤其是稍放開(kāi)一點(diǎn)的第2題，如果學(xué)生能自覺(jué)不自覺(jué)地用初中已很常用而沒(méi)正式講過(guò)的綜合法的思考方法解題，綜合法的引入就會(huì)很自然，即使生沒(méi)有想到，教師點(diǎn)撥起來(lái)也并不困難

后順著學(xué)生用綜合法的需要，介紹了4個(gè)基本不等式，在它們的證明過(guò)程中，使用綜合法，幫助學(xué)生掌握如何用綜合法證明不等式．

從教學(xué)設(shè)計(jì)上，我們力圖從學(xué)生的需要出發(fā)，適時(shí)地設(shè)計(jì)一系列問(wèn)題，幫助學(xué)生抓住知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)到的公式、方法能用、會(huì)用，而不是只支離破碎地記住了一些名詞和公式．

表面上看，本節(jié)練習(xí)不夠，但實(shí)際上，定理2及推論的證明正是最好的練習(xí)．構(gòu)思這個(gè)證明，起點(diǎn)要高、思維跨度要大．這正是鍛煉學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生推理論證能力的絕對(duì)機(jī)會(huì)．我們認(rèn)為：最好的習(xí)題就是定理本身的推證過(guò)程．這里又是本節(jié)的一個(gè)難點(diǎn)，在此花點(diǎn)功夫、適當(dāng)展開(kāi)是應(yīng)當(dāng)?shù)模煌瑫r(shí)學(xué)生對(duì)用綜合法證明不等式會(huì)有更深刻的體驗(yàn)．因此講透它比做幾個(gè)練習(xí)更有意義．

對(duì)于幾何證法、三角證法等基本不等式的證明方法，由于擔(dān)心會(huì)沖淡學(xué)生對(duì)綜合法的認(rèn)識(shí)，在本節(jié)中并未提及．

在課堂教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生有可能直接證出定理2的推論，這也無(wú)妨．一般來(lái)講，它同樣是要用到兩項(xiàng)的結(jié)論（定理1或其推論）去證的．課上應(yīng)就學(xué)生的實(shí)際，順其自然． 至于n個(gè)正數(shù)的有關(guān)結(jié)論，根據(jù)教育部98年頒布的《刪減意見(jiàn)》對(duì)此不作要求，故在本案中也未涉及．

第五篇：不等式·用分析法證明不等式

不等式·用分析法證明不等式·教案

教學(xué)目標(biāo)

通過(guò)教學(xué)，學(xué)生掌握和應(yīng)用分析法證明不等式． 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

理解分析法的證題格式并能熟練應(yīng)用． 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了綜合法證明不等式．綜合法是從已知條件入手去探明解題途徑，概括地說(shuō)，就是“從已知，看已知，逐步推向未知”． 綜合法的思路如下：（從上往下看）（用投影片）

師：其中，A表示已知條件，由A可以得到它的許多性質(zhì)，如B，B1，B2，而由B又可以得到C，由B1還可以得到C1，C2，由B2又可以得到C3，?，而到達(dá)結(jié)D的只有C，于是我們便找到了A→B→C→D這條通路．當(dāng)然，有時(shí)也可以有其他的途徑達(dá)到D，比如A→B1→C1→D等．

但是有許多不等式的證明題，已知條件很隱蔽，使用綜合法證明有一定困難．

這一命題若用綜合法證明就不知應(yīng)從何處下手，今天我們介紹用分析法證明不等式，來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題．

（復(fù)習(xí)了舊知識(shí)，并指出單一用綜合法證明的不足之處，說(shuō)明了學(xué)習(xí)分析法的必要性）分析法是從結(jié)論入手，逆求使它成立的充分條件，直到和已知條件溝通為止，從而找出解題途徑．概括地說(shuō)，就是“從未知，看需知，逐步靠攏已知”． 分析法的思路如下：（從下往上看）（用投影片）

師：欲使結(jié)論D成立，可能有C，C1，C2三條途徑，而欲使C成立，又有B這條途徑，欲使C1成立，又有B1這條途徑，欲使C2成立，又有B2，B3兩條途徑，在B，B1，B2，B3中，只有B可以從A得到，于是便找到了A→B→C→D這條解題途徑．（對(duì)比綜合法敘述分析法及其思路，便于學(xué)生深刻理解分析法的實(shí)質(zhì)及其與綜合法的關(guān)系）

師：用分析法論證“若A到B”這個(gè)命題的模式是：（用投影片）欲證命題B為真，只需證命題B1為真，只需證命題B2為真，??

只需證命題A為真，今已知A真，故B必真．

師：在運(yùn)用分析法時(shí)，需積累一些解題經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)一些常規(guī)思路，這樣可以克服無(wú)目的的亂碰，從而加強(qiáng)針對(duì)性，較快地探明解題途徑． 下面舉例說(shuō)明如何用分析法證明不等式．首先解決剛才提出的問(wèn)題．（板書）

師：這個(gè)題目我們?cè)?jīng)用比較法進(jìn)行過(guò)證明，請(qǐng)同學(xué)們考慮用分析法如何證明？（學(xué)生討論，請(qǐng)一學(xué)生回答）

生：因?yàn)閎＞0，所以b＋1＞0，去分母，化為a（b＋1）＜b（a＋1），就是a＜b，這個(gè)式子就是已知條件，所以求證的不等式成立．

（學(xué)生理解了分析法的原理，應(yīng)予以肯定，但這個(gè)回答不能作為證明過(guò)程，學(xué)生往往忽略分析法證明的格式，要及時(shí)糾正）

師：這位同學(xué)“執(zhí)果索因”，逐步逆找結(jié)論成立的充分條件，直至找到明顯成立的不等式為止．很明顯，逆找的過(guò)程正是把“欲證”由繁化簡(jiǎn)的過(guò)程，因而分析法對(duì)于形式復(fù)雜的證明題是一種行之有效的方法．

但是作為證明過(guò)程，這位同學(xué)的回答不符合要求．應(yīng)該如何證明呢？（請(qǐng)一位同學(xué)板書）

=（a+b）（a2-ab+b2）-ab（a＋b）

=（a＋b）（a2-2ab＋b2）

=（a＋b）（a-b）2．

由a，b∈R＋，知a＋b＞0，又a≠b，則（a-b）2＞0，進(jìn)而（a＋b）（a-b）2＞0，即（a3＋b3）-（a2b＋ab2）＞0，所以a3＋b3＞a2b-ab2．

生乙：我是用分析法證明的．

證法2：

欲證a3＋b3＞a2b＋ab2，即證（a＋b）（a2-ab＋b2）＞ab（a＋b），因?yàn)閍＋b＞0，課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

教學(xué)過(guò)程是不斷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的思維過(guò)程．因此，教師應(yīng)及時(shí)提出問(wèn)題或引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，然后開(kāi)拓學(xué)生思路，啟迪學(xué)生智慧，求得問(wèn)題的解決．一個(gè)問(wèn)題解決后，及時(shí)地提出新問(wèn)題，提高學(xué)生的思維層次，逐步由特殊到一般，由具體到抽象，由表面到本質(zhì)，把學(xué)生的思維步步引向深入，直至完成本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)．總之，本節(jié)課的教學(xué)安排是讓學(xué)生的思維由問(wèn)題開(kāi)始，到問(wèn)題深化，始終處于積極主動(dòng)狀態(tài)．

本節(jié)課練中有講，講中有練，講練結(jié)合．在講與練的相互作用下，使學(xué)生的思維逐步深化．教師提出的問(wèn)題和例題，先由學(xué)生自己解答，然后教師分析與概括．在教師講解中，又不斷提出問(wèn)題讓學(xué)生解答和練習(xí)，力求在練習(xí)中加深理解，盡量改變課堂上教師包辦代替的做法．

在安排本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容時(shí)，我注意按認(rèn)識(shí)規(guī)律，由淺入深，由易及難，逐漸展開(kāi)教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生形成有序的知識(shí)結(jié)構(gòu)．