第一篇：平面幾何問題選講

平面幾何問題選講

競賽中的平面幾何試題通常以直線、三角形、四邊形、圓等基本圖形為載體，題型多樣，出現(xiàn)得較多的有證明題、計算題、軌跡題、作圖題等.一般來說，計算題、軌跡題、作圖題都離不開嚴(yán)格的幾何推理和證明，所以證明題是平面幾何問題的核心.幾何證明題一般又可分為三大類：

第一類是位置型問題，如證明兩線平行、兩線垂直、點共線、線共點、點共圓、圓共點、線與圓相切（或相交）、圓與圓相切（或相交），或證明某點是特殊點、某圖形是特殊圖形，等等；

第二類是等式型問題，如證明角相等、線段相等、圖形的面積相等，或證明某些關(guān)系式成立，等等；

第三類是不等式型問題，如證明某些幾何量（線段長、角、面積）的大小關(guān)系式或某些復(fù)雜的幾何不等式，等等.解決平面幾何問題的方法多種多樣，除了常用的分析法、綜合法外，還有反證法、同一法、復(fù)數(shù)法、解析法、三角法、代數(shù)法、面積法、割補法、歸納法、幾何變換法、構(gòu)造法等.解決平面幾何問題，還經(jīng)常需要用到三角形的“五心”（三角形的外心、重心、垂心、內(nèi)心及旁心）的性質(zhì)以及平面幾何中的一些重要定理（正弦定理、余弦定理、圓冪定理、梅內(nèi)勞斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理、蝴蝶定理、歐拉定理等）.1.梅涅勞斯(Menelaus)定理△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上有點P、Q、R，且有奇數(shù)個點在邊的延長線上，則P、Q、R共線的充要條件是

2.塞瓦(Ceva)定理△ABC的三邊BC、CA、AB上有點P、Q、R，且有偶數(shù)個點在邊的延長線上，則AP、BQ、CR共點的充要條件是

3.托勒密(Ptolemy)定理設(shè)四邊形ABCD內(nèi)接于圓，則它的兩組對邊乘積之和等于兩對角線的乘積，即AB?CD?AD?BC?AC?BD.托勒密(Ptolemy)定理的推廣在四邊形ABCD中，有AB?CD?AD?BC?AC?BD.當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD為圓的內(nèi)接四邊形時等號成立.4.西姆松(Simson)定理從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上.5.斯德瓦特定理設(shè)P是△ABC的邊BC上任意一點，則

BP?AC2BPPC?CQQA?ARRB?1.BPPC?CQQA?ARRB?1.?CP?AB2?BC?AP2?BP?CP?BC.6.歐拉定理設(shè)△ABC的外心、重心、垂心分別為O,G,H，則O,G,H三點共線，且GH?2OG.【典型例題】

例1證明：銳角三角形ABC的垂心H是垂足三角形DEF的內(nèi)心.相關(guān)題：（第一屆女子奧賽試題）設(shè)△ABC為銳角三角形，AD、BE、CF是它的三條高，證明：垂足三角

1形DEF的周長不超過△ABC的周長的一半.例2設(shè)O、H分別是△ABC的外心和垂心，M是BC邊的中點，求證：AH＝2OM.例3設(shè)G、H、O分別為△ABC的重心、垂心和外心，證明：G、H、O三點共線，且HG＝2GO.例4設(shè)H為銳角三角形ABC的垂心，已知?A?30?，BC?3，則AH?_____..例5（2003年IMO預(yù)選題）如圖所示，已知△ABC內(nèi)一點P，設(shè)D、E、F分別為點P在邊BC、CA、AB上

2的投影.假設(shè)AP2?PD2?BP2?PE2?CP?PF,且△ABC的三個旁心分別為IA,IB,IC.證明：P是△

IAIBIC的外心.例6（1997年全國聯(lián)賽試題）如圖，已知兩個半徑不相等的圓O1與圓O2相交于M、N兩點，且圓O1、圓O2分別與圓O內(nèi)切于S、T兩點。求證：OM⊥MN的充分必要條件是S、N、T三點共線。

例7在四邊形ABCD中，AB、CD的中垂線相交于P，AD、BC的中垂線相交于Q，M、N分別是AC、BD的中點。求證：PQ⊥MN。

例8(2004年新加坡)設(shè)AD是⊙O1和⊙O2的公共弦，過D的直線交⊙O1于B，交⊙O2于C.E是線段AD上異于A和D的點，連接CE交⊙O1于P和Q，連接BE交⊙O2于M和N.證明：

（1）P、Q、M、N四點共圓，設(shè)其圓心為O3；（2）DO3?BC.例9在△ABC中，O為外心，I為內(nèi)心，AB＜AC，AB＜BC，D和E分別是邊AC，BC上的點，且滿足AD=AB=BE，求證：IO⊥DE.例10（2003年國家集訓(xùn)題）凸四邊形ABCD的對角線交于點M，點P、Q分別是△AMD和△CMB的重心，R、S分別是△DMC和△MAB的垂心.求證：PQ⊥RS.C

例11（2004年德國）已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的兩條對角線的交點為S，S在邊AB、CD上的投影分別為點E、F.證明：EF的中垂線平分線段BC和DA.例12（2000年試題）如圖，在銳角△ABC的BC邊上有兩點E、F，滿足∠BAE=∠CAF，作FM?AB, FN?AC(M,N是垂足)，延長AE交△ABC的外接圓于點D。證明：四邊形AMDN與△ABC的面積相等。

M

B

C

例13（2003年全國聯(lián)賽試題）過圓外一點P作圓的兩條切線和一條割

線，切點為A，B，所作割線交圓于C，D兩點，C在P，D之間，在弦CD上取一點Q，使∠DAQ＝∠PBC．求證：∠DBQ＝∠PAC．

例14（1998年全國聯(lián)賽試題）設(shè)O、I為△ABC的外心和內(nèi)心，AD是BC邊上的高，I在線段OD上，AB≠AC.求證：△ABC的外接圓半徑等于BC邊上的旁切圓半徑.例15（2006全國聯(lián)賽試題）以B0和B1為焦點的橢圓與△AB0B1的邊ABi交于Ci（i?0,1）.在AB0的延長線上任取點P0，以B0為圓心，?Q交CB的延長線于Q；B0P0為半徑作圓弧P以C1為圓心，C1Q0為01000?P交BA的延長線于P；以B為圓心，BP為半徑作圓半徑作圓弧Q1111101?Q交BC的延長線于Q；?P?，C0為圓心，C0Q1為半徑作圓弧Q弧P101以1110

D

P

B

交AB0的延長線于P0?.試證：

?Q與P?Q相內(nèi)切于P；（1）點P0?與點P0重合，且圓弧P0000

1（2）四點P0,Q0,Q1,P1共圓.例16（首屆中國東南地區(qū)數(shù)學(xué)競賽）設(shè)點D為等腰?ABC的底邊BC上一點，F(xiàn)為過A、D、C三點的圓在?ABC內(nèi)的弧上一點，過B、D、F三點的圓與邊AB交于點E.求證：CD?EF?DF?AE?BD?AF(1)

例17（2003年IMO預(yù)選題）如圖所示，已知直線上的三個定點依次為A、B、C，?為過A和C且圓心不在AC上的圓.分別過A、C兩點且與圓?相切的直線交于點P，PB與圓?交于點Q.證明：∠AQC的平分線與AC的交點不依賴于圓?的選取.例18（2007年全國聯(lián)賽試題）如圖8，在銳角△ABC中，AB

上的高，P是線段AD內(nèi)一點.過P作PE⊥AC，垂足為E，作PF⊥AB，垂足為F.O1、O2分別是△BDF、△CDE的外心.求證：O1、O2、E、F四點共圓的充要條件為P是

△ABC的垂心.例19（2004年絲綢之路）已知△ABC的內(nèi)切圓⊙I與邊AB和AC內(nèi)切于點A

P和Q，BI和CI分別交PQ于K和L.證明：△ILK的外接圓與△ABC的內(nèi)切圓相切的充要條件是AB＋AC＝3BC.例20（2003年亞太）假設(shè)ABCD是邊長為a的正方形紙板，平面上有兩條距離為a的平行線l1和l2，將正方形放在這個平面上，使得邊AB和AD與l1的交點分別為E和F，邊CB，CD與l2的交點分別為G和H，設(shè)△AEF和△CGH的周長分別為m1,m2.證明：無論怎樣放置正方形紙板ABCD，m1?m2都是定值.例21（2002年全國聯(lián)賽試題）如圖7，在△ABC中，∠A=60°，AB＞AC，點O是外心，兩條高BE、CF交于H點，點M、N分別在線段BH、HF上，且滿足BM=CN，求

MH?NH

OH

Q

C的值.

第二篇：平面幾何證明選講結(jié)業(yè)考試

《平面幾何證明選講》結(jié)業(yè)考試

命題：朱明英 審核：楊秀宇

一 填空題（10×4=40）如圖1，圓O上的一點C在直徑AB上的射影為D，CD=4，BD=8，則圓O的直徑為．如圖2，PAB是⊙O的割線，AB=4，AP=5，⊙O的半徑為6，則

B

A

BO

圖（天津卷理14）如圖3，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，延長AB和DC相交于點P，若PB1PC1BC=,=PA2PD3,則AD的值為如圖4，已知⊙O的切線PC與直徑BA的延長線相交于點P，C是切點，過A的切線交PC于D，如果CD∶PD=1∶2，DA=2，那么⊙O的半徑．

C B

圖3 圖4

1二 選擇題（10×2=20）如圖，⊙O的弦AB平分半徑OC，交OC于P點，已知PA、PB的長分別為方程x2?12x?24?0的兩根，則此圓的直徑為()

A．82B．6C．42D．

2⌒6 如圖，⊙O的直徑Ab垂直于弦CD，垂足為H，點P是AC上一點(點P不與A、C兩點重合)，連結(jié)PC、PD、PA、AD，點E在AP的延長線上，PD與AB交于點F，給出下列四⌒⌒

個結(jié)論：①CH2=AH·BH；②AD＝AC：③AD2=DF·DP；④∠EPC=∠APD，其中正確的個數(shù)是()

A．1B．2C．3D．

4三 解答題（10×4=40）

7如圖，BC是半圓的直徑，O為圓心，P是BC延長線上一點，PA切半圓于點A，AD⊥BC于點D．

(1)若∠B=30°，問AB與AP是否相等?請說明理由；

(2)求證：PD·PO=PC·PB；

(3)若BD：DC=4：l，且BC＝10，求PC的長．

8（全國Ⅰ新課標(biāo)卷理）如圖：已知圓上的弧AC等于弧BD，過C點的圓的切線與BA的延長線交于 E點，證明：

（Ⅰ）?ACE=?BCD。

（Ⅱ）BC2?BE?CD

9（遼寧卷理22）如圖，?ABC的角平分線AD的延長線交它的外接圓于點E

（I）證明：?ABE

?ADC

S?1AD?AE

（II）若?ABC的面積2，求?BAC的大小。（2011全國新課標(biāo)）（本小題滿分10分）如圖，D，E分別為?ABC的邊AB，AC上的點，且不與?ABC的頂點重合。已知AE的長為n，AD，AB的長是關(guān)于x的方程x2?14x?mn?0的兩個根。

（Ⅰ）證明：C，B，D，E四點共圓；

（Ⅱ）若?A?90?，且m?4,n?6，求C，B，D，E所在圓的半徑。

填空題、選擇題答題卡

一 填空題（10×4=40）2 3 4

二 選擇題（10×2=20）

第三篇：高考二輪數(shù)學(xué)考點突破復(fù)習(xí)：平面幾何選講及數(shù)學(xué)思想方法

高考二輪數(shù)學(xué)考點突破復(fù)習(xí)：平面幾何選講及數(shù)學(xué)思想方法

高考二輪數(shù)學(xué)考點突破復(fù)習(xí)：數(shù)學(xué)思想方法

函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題.方程思想，是從問題中的數(shù)量關(guān)系入手，運用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(方程、不等式、或方程與不等式的混合組)，然后通過解方程(組)或不等式(組)來使問題獲解.有時，還通過函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達到解決問題的目的.函數(shù)與方程是兩個不同的概念，但它們之間有著密切的聯(lián)系，方程f(x)=0的解就是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo).函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，其理論和應(yīng)用涉及各個方面，是貫穿整個高中數(shù)學(xué)的一條主線.這里所說的函數(shù)思想具體表現(xiàn)為：運用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，解決函數(shù)的某些問題;以運動和變化的觀點分析和研究具體問題中的數(shù)學(xué)關(guān)系，通過函數(shù)的形式把這種關(guān)系表示出來并加以研究，從而使問題獲得解決;對于一些從形式上看是非函數(shù)的問題，經(jīng)過適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)變換或構(gòu)造，使這一非函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的形式，并運用函數(shù)的有關(guān)概念和性質(zhì)來處理這一問題，進而使原數(shù)學(xué)問題得到順利地解決.尤其是一些方程和不等式方面的問題，可通過構(gòu)造函數(shù)很好的處理.方程思想就是分析數(shù)學(xué)問題中的變量間的等量關(guān)系，從而建立方程或方程組，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決.尤其是對于一些從形式上看是非方程的問題，經(jīng)過一定的數(shù)學(xué)變換或構(gòu)造，使這一非方程的問題轉(zhuǎn)化為方程的形式，并運用方程的有關(guān)性質(zhì)來處理這一問題，進而使原數(shù)學(xué)問題得到解決.函數(shù)與方程的思想在解題中的應(yīng)用十分廣泛，主要有以下幾方面：

高考二輪數(shù)學(xué)考點突破復(fù)習(xí)：平面幾何選講

第四篇：2014年高考理科數(shù)學(xué)試題分類平面幾何選講 word版含答案

2014年高考數(shù)學(xué)試題匯編平面幾何選講

一．選擇題(2014天津)如圖，DABC是圓的內(nèi)接三角形，DBAC的平分線交圓于點D，交BC于點E，過點B的圓的切線與AD的延長線交于點F.在上述條件下，給出下列四個結(jié)論：①BD平分DCBF；②FB=FD FA；③AE?CE

④AF?BD2BE DE；CAB BF.則所有正確結(jié)論的序號是（）

（A）①②（B）③④（C）①②③（D）①②④

【答案】D

【解析】

由弦切角定理得?FBDB?EAC BAE，又?BFD AFB，所以DBFD∽DAFB，所以

又?FBD

二．填空題 BFBD=，即AF?BDAFABAB BF，排除A、C.?EAC DBC，排除B.1.(2014重慶)過圓外一點P作圓的切線PA（A為切點），再作割線PB，PC分別交圓于B，C，若PA?6，AC=8，BC=9，則AB=________.【答案】

4【解析】

PAPBAB6PBAB?ΔPAB與ΔPCA==∴==,PB=3,AB=4∴所以AB=4.PCPACAPB+968

2(2014湖北)（選修4-1：幾何證明選講）

如圖，P為⊙O的兩條切線，切點分別為A,B，過PA的中點Q作割線交⊙O于C,D兩點，若QC?1,CD?3,則PB

?_____.3(2014湖南)，已知AB，BC是O的兩條弦，AO?

BC，AB?

BC?則

O的半徑等于

________.【答案】

324(2014陜西)（幾何證明選做題）如圖，?ABC中，BC?6，以BC為直徑的半圓分別交AB,AC于點E,F，若AC?2AE,則EF?

B

?ΔAEF與ΔACB相似∴

AEEF

=，且BC=6,AC=2AE,∴EF=3.ACCB

5.(2014廣東)（幾何證明選講選做題）如圖3，在平行四邊形ABCD中，點E在AB上且EB＝2AE，AC與DE交于點F，則

?CDF的面積

＝＿＿＿

?AEF的面積

答案:9提示:顯然?CDF

?AEF,?

?CDF的面積CD2EB?AE2

?()?()?9.?AEF的面積AEAE

三．解答題

1.(2014新課標(biāo)I)（本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講

如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB的延長線與DC的延長線交于點E，且CB=CE.(Ⅰ)證明：∠D=∠E；

（Ⅱ）設(shè)AD不是⊙O的直徑，AD的中點為M，且MB=MC，證明：△ADE為等邊三角形.【解析】：.(Ⅰ)由題設(shè)知得A、B、C、D四點共圓，所以?D=?CBE，由已知得，?CBE=?E , 所以?D=

?

……………5分

知MN⊥

N

（Ⅱ）設(shè)BCN中點為，連接MN,則由MB=

所以O(shè)在MN上，又AD不是O的直徑，M為AD中點，故OM⊥AD，即MN⊥AD，所以AD//BC,故?A=?CBE，又?CBE=?E，故?A=?以△ADE為等邊三角形．……………10分

2.(2014新課標(biāo)II)（本小題滿分10）選修4—1：幾何證明選講

如圖，P是O外一點，PA是切線，A為切點，割線PBC與O相交于點B，C，PC=2PA，D為PC的中點，AD的延長線交O于點E.證明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD?DE=2PB

2【答案】(1)無（1）

（2）無

由(Ⅰ)（1）知?D=?E，所

?PC=2PA,PD=DC,∴PA=PD，ΔPAD為等腰三角形。

連接AB,則∠PAB=∠DEB=β,∠BCE=∠BAE=α.?∠PAB+∠BCE=∠PAB+∠BAD=∠PAD=∠PDA=∠DEB+∠DBE∴β+α=β+∠DBE,即α=∠DBE，即∠BCE=∠DBE，所以BE=EC.（2）

?AD?DE=BD?DC,PA2=PB?PC,PD=DC=PA,∴BD?DC=(PA-PB)PA=PB?PC-PB?PA=PB（?PC-PA）PB?PA=PB?2PB=PB2

3.（2014遼寧）（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講

如圖，EP交圓于E、C兩點，PD切圓于D，G為CE上一點且PG?PD，連接DG并延長交圓于點A，作弦AB垂直EP，垂足為F.（1）求證：AB為圓的直徑；（2）若AC=BD，求證：

AB=ED.【答案】【解析】（1）

延長PD到D′.?PD=PG∴∠ADP=∠PGD=∠FGA?PD為切線∴∠D′DB=∠FAG?∠D′DB+∠BDA+∠ADP=π∴∠FAG+∠BDA+∠FGA=π

ππ

∴∠BDA+=π∴∠BDA=,所以AB為直徑

(2)

?BD=AC∴∠BAD=∠FAG=∠AEC在三角形ACE中，AF⊥EG∴∠EAG=所以,ED=AB

ππ

?∠EAD=∴ED為直徑 22

第五篇：不等式選講高考題

不等式選講高考題

1.(2011年高考山東卷理科4)不等式|x?5|?|x?3|?10的解集為

（A）[-5.7]（B）[-4,6]

（C）(??,?5]?[7,??)（D）(??,?4]?[6,??)

2.(2011年高考天津卷理科13)

已知集合A?x?R|x?3?x?4?9,B??x?R|x?4t?,t?(0,??)?，則集合???

?1t??

A?B=________.3.對于實數(shù)x，y，若x?1?1，y?2?1，則x?2y?1的最大值為.4．(2011年高考陜西卷理科15)若關(guān)于x的不等式a?x??x?2存在實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是

5．(2011年高考遼寧卷理科24)選修4-5：不等式選講

已知函數(shù)f（x）=|x-2|-|x-5|.（I）證明：-3≤f（x）≤3；

（II）求不等式f（x）≥x-8x+15的解集.6.(2011年高考全國新課標(biāo)卷理科24)（本小題滿分10分）選修4-5不等選講 設(shè)函數(shù)f(x)?x?a?3x,a?0（1）當(dāng)a?1時，求不等式f(x)?3x?2的解集；(2)如果不等式f(x)?0的解集為xx??1，求a的值。

7.(2011年高考江蘇卷21)選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分）

解不等式：x?|2x?1|?

2??

8．（2009廣東14)不等式|x?1|?1的實數(shù)解為.|x?2|

9.(2011年高考福建卷理科21)設(shè)不等式2x-＜1的解集為M．

（I）求集合M；

（II）若a，b∈M，試比較ab+1與a+b的大小

10．（2010年高考福建卷理科21）選修4-5：不等式選講 已知函數(shù)

（Ⅰ）若不等式。的解集為，求實數(shù)的值； 對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m的取值（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若

范圍。

11．（2007海南、寧夏，22C，10分）（選修4 –5：不等式選講）設(shè)函數(shù)f(x)?|2x?1|?|x?4|.（1）解不等式f(x)?2；

（2）求函數(shù)y?f(x)的最小值。

12.2009遼寧選作24）設(shè)函數(shù)f(x)?|x?1|?|x?a|.f(x)?3；（I）若a??1,解不等式（II）如果?x?R,f(x)?2,求a的取值范圍。