第一篇：不等式選講心得體會[范文]

《不等式選講》心得體會

從開學到實習前，《不等式選講》這門課我們已經(jīng)上了一個月了。在這一個月里，我們學習了講義里的第一、二章和第三章的第一、二講。下面，我將對我在這一個月的學過的東西做一個總結(jié)，并談?wù)勛约旱捏w會和感想。

第一章是緒論，介紹了一百年來Hilbert型不等式理論的研究概況及其思想方法的由來與演變。1908年，德國數(shù)學家D.Hilbert證明了著名的Hilbert不等式，其中常數(shù)因子π的最佳性證明是由Sohur于1911年完成的，他同時還給出了Hilbert不等式的積分類似形式，稱為Hilbert積分不等式。這兩個不等式是分析學的重要不等式，后面在這一領(lǐng)域的研究者，都是為了這兩個不等式的改進，推廣及應(yīng)用，其成果在中外各類數(shù)學文獻及不等式專著都可見到。1925年，Hardy與Riesz等引入一對共軛指數(shù)(p,q)(1/p+1/q=1)，將Hilbert不等式推廣為Hardy-Hilbert不等式。Hardy等在文【3】大致建立了-1齊次核的Hilbert型不等式理論。而此后近60年，文【3】的基本成果及方法并沒有得到拓展。一直到了1979年，我國學者胡克改進了 Hilbert不等式。之后，1998年，印度數(shù)學家B.G.Pachpatte得出 Hilbert積分不等式的一個類似形式，由此而來，引出了一系列的改進及推廣應(yīng)用。1998年，楊必成教授引入?yún)?shù)λ∈(0，1]及0＜a＜b＜∞，得出Hilbert積分不等式的推廣式。1999年，高明哲應(yīng)用分析及代數(shù)向量的方法，得出Hilbert積分不等式的一個改進式。2002年，英國數(shù)學家Zhang Kewei應(yīng)用算子理論，得到一個Hilbert積分不等式的改進式。1991年，我國數(shù)學家徐利治等提出了旨在改進 Hilbert不等式的權(quán)系數(shù)方法。這些近代研究成果及研究思想，極大地推動了對Hilbert型不等式的系統(tǒng)研究。

從1908年數(shù)學家D.Hilbert證明Hilbert不等式到今天，這一百年來，我們可以看到，那么多的科學研究者在為改進及推廣，應(yīng)用Hilbert不等式和Hilbert積分不等式做努力。牛頓曾說過，他是站在巨人的肩膀上，科學的道路都是曲折難行的，要建起一座高大堅固的知識體系墻，科學研究者們只能盡自己最大的努力，往上面徹磚，看著它慢慢從地面一層層的增高。我們必須向那些不畏艱難，勇攀高峰的科學家們致以最崇高的敬意！同時，我們也必須努力向那些勇敢直前，努力探索未知領(lǐng)域的偉人們學習！

第二章內(nèi)容分為十講，介紹了Euler-Maclaurin公式的兩類精確化改進公式及級數(shù)的估值理論，為估算權(quán)系數(shù)準備良好的方法。其中第一講介紹了一類正項級數(shù)的估值方法，提出并證明了三個定理，并舉了一個例子。第二講介紹了Bernoulli數(shù)和Bernoulli 多項式。第三講介紹了 Bernoulli函數(shù)，介紹了一階Bernoulli函數(shù)P1(t)的積分性質(zhì)。第四講介紹了級數(shù)求和的Euler-Maclaurin公式。第五講介紹了涉及級數(shù)余項的第一估值式及其改進式。第六講舉了一個例子，并提出了一個推論。第七講介紹了涉及級數(shù)余項的第二估值式，將推論2的結(jié)果改進為定理6，并對定理6進行了證明。第八講介紹了關(guān)于δq(m,n)的估值及一些實用不等式。在第五講的定理5和第七講的定理6中，取g(t)=f(2q+1)(t),就可以得到 δq(m,n)的估值了。第九講介紹了一類收斂級數(shù)及發(fā)散級數(shù)的估值式，考察式(4.3)當n→∞的情形，結(jié)合推論3和推論4，得出定理7。其中有一種方法，先取較少的n，代入具體的m估算βm，最后，對較大(或一般)的n，估算其有限和。用這種方法還可以求得一些重要和數(shù)的估值公式。第十講則是舉了三個應(yīng)用實例。這一章內(nèi)容通過深入淺出的分析，展開對一類無窮級數(shù)估值方法的討論，為拓展離散型不等式的研究鋪平了道路，其中有許多證明方法是很值得我們學習的！

而第三章內(nèi)容則深入淺出地介紹了Hilbert積分不等式發(fā)表100年來的發(fā)展變化權(quán)函數(shù)方法的具體應(yīng)用及如何利用實分析的方法證明常數(shù)因子的最佳性。其中第一講介紹了Hilbert積分不等式及其等價式，給出了具體的證明過程。不等式等價性及常數(shù)因子的最佳性的證明用了精致的分析技巧，值得我們好好學習借鑒。第二講介紹了Hardy-Hilbert積分不等式及其等價式，也對其進行了具體的證明。

總的來說，第一章就是介紹了Hilbert不等式的發(fā)展史，第二章可以說更多內(nèi)容是為后面的學習做鋪墊，從第三章開始，我們才算正式開始學習Hilbert不等式及其改進式，推廣式。期待在實習回來后的一個月，能繼續(xù)學習到更多的關(guān)于Hilbert不等式的知識！

第二篇：不等式選講高考題

不等式選講高考題

1.(2011年高考山東卷理科4)不等式|x?5|?|x?3|?10的解集為

（A）[-5.7]（B）[-4,6]

（C）(??,?5]?[7,??)（D）(??,?4]?[6,??)

2.(2011年高考天津卷理科13)

已知集合A?x?R|x?3?x?4?9,B??x?R|x?4t?,t?(0,??)?，則集合???

?1t??

A?B=________.3.對于實數(shù)x，y，若x?1?1，y?2?1，則x?2y?1的最大值為.4．(2011年高考陜西卷理科15)若關(guān)于x的不等式a?x??x?2存在實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是

5．(2011年高考遼寧卷理科24)選修4-5：不等式選講

已知函數(shù)f（x）=|x-2|-|x-5|.（I）證明：-3≤f（x）≤3；

（II）求不等式f（x）≥x-8x+15的解集.6.(2011年高考全國新課標卷理科24)（本小題滿分10分）選修4-5不等選講 設(shè)函數(shù)f(x)?x?a?3x,a?0（1）當a?1時，求不等式f(x)?3x?2的解集；(2)如果不等式f(x)?0的解集為xx??1，求a的值。

7.(2011年高考江蘇卷21)選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分）

解不等式：x?|2x?1|?

2??

8．（2009廣東14)不等式|x?1|?1的實數(shù)解為.|x?2|

9.(2011年高考福建卷理科21)設(shè)不等式2x-＜1的解集為M．

（I）求集合M；

（II）若a，b∈M，試比較ab+1與a+b的大小

10．（2010年高考福建卷理科21）選修4-5：不等式選講 已知函數(shù)

（Ⅰ）若不等式。的解集為，求實數(shù)的值； 對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m的取值（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若

范圍。

11．（2007海南、寧夏，22C，10分）（選修4 –5：不等式選講）設(shè)函數(shù)f(x)?|2x?1|?|x?4|.（1）解不等式f(x)?2；

（2）求函數(shù)y?f(x)的最小值。

12.2009遼寧選作24）設(shè)函數(shù)f(x)?|x?1|?|x?a|.f(x)?3；（I）若a??1,解不等式（II）如果?x?R,f(x)?2,求a的取值范圍。

第三篇：專題：不等式選講

專題：不等式選講

1、已知函數(shù)f(x)?log2(|x?1|?|x?5|?a).（Ⅰ）當a?5時，求函數(shù)f(x)的定義域；

（Ⅱ）當函數(shù)f(x)的定義域為R時，求實數(shù)a的取值范圍。

2、設(shè)a,b,c為不全相等的正數(shù)，證明：2(a?b?c)?a(b?c)?b(a?c)?c(a?b)

a?b?a?b?ma3、對于任意實數(shù)a（a?0）和b，不等式恒成立，記實數(shù)m的最大333222

值為M。（1）求M的值；（2）解不等式：

4、設(shè)函數(shù)f(x)?2x?1?x?2．

（Ⅰ）求不等式f(x)?2的解集；

2（Ⅱ）若?x?R，f(x)?t?x?1?x?2?M。11

2t恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

5、已知函數(shù)f(x)?2x?a?a．

（1）若不等式f(x)?6的解集為?x?2?x?3?，求實數(shù)a的值；

（2）在（1）的條件下，若存在實數(shù)n使f(n)?m?f(?n)成立，求實數(shù)m的取值范圍．

6、已知a,b,c都是正數(shù)，且a,b,c成等比數(shù)列，求證：a2?b2?c2?(a?b?c)27、已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|，(1)解不等式f(x)≥2x＋1；

(2)?x∈R，使不等式f(x－2)－f(x＋6)＜m成立，求m的取值范圍

8、若關(guān)于x的不等式x?a?x?2?a?2010的解集為非空集合，求實數(shù)a的取值范圍。

9、設(shè)關(guān)于x的不等式x?1?a?x.(I)當a?2，解上述不等式。（II）若上述關(guān)于x的不等式有解，求實數(shù)a的取值范圍。

10、設(shè)函數(shù)f?x??x?1?x?2

f?x??3 對?x?R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。(1)解不等式(2)若f?x??a11、已知函數(shù)f(x)?|x?2|?|x?1|.g(x)?ax?3x?3

x2（1）試求f(x)(a?0)的值域；（2）設(shè)，若對?s?(0,??),?t(??,??)，恒有g(shù)(s)?f(t)成立，試求實數(shù)a的取值范圍。

第四篇：不等式選講測試題

不等式選講測試題

一、選擇題：(本大題共8小題，每小題5分，共40分．)

1．若a,b是任意的實數(shù),且a>b,則()

(A)a?b(B)

2．不等式2211b?1(C)lg(a-b)>0(D)()a?()b 22a2??3的解集是()x

2222(A)(??,?)(B)(??,?)?(0,??)(C)(?,0)?(0,??)(D)(?,0)3333

3．在直徑為4的圓內(nèi)接矩形中,最大的面積是()

(A)4(B)2(C)6(D)8

4．已知3x+y=10,則x2?y2的最小值為（）

1(B)．10(C)．1(D)．100 10

5．不等式|x-1|+|x+2|?5的解集為()(A)．

(A).???,?2???2,???(B).???,?1???2,???

(C).???,?2???3,???(D).???,?3???2,???

6．若n>0,則n+32的最小值為()2n

A．2B．4C．6D． 8

7．若正數(shù)a,b滿足ab=a+b+3,則ab的最值范圍為()

A.?6,???B.?9,???C.???,9?D.8．已知a,b,c是正實數(shù),且a+b+c=1,則111??的最小值為()abc

A..3B.6C.9D.12

二．填空題：本大題共6小題；每小題5分，共30分．

9．函數(shù)y=5x?1?25?x的最大值為；

10．若不等式mx?mx?1?0對一切x?R都成立，則m的取值范圍是11．如果關(guān)于x的不等式|x-4|-|x+5|?b的解集為空集,則參數(shù)b的取值范圍2

為.12．建造一個容積為18 m，深為2 m的長方體無蓋水池，如果池底和池壁每平方米的造價分別為200元和150元，那么池的最低造價為：__________.13．設(shè)a, b?R?，若a?b?5，求a?2b的最大值為：_______。

14．（1）ba?≥2成立當且僅當a,b均為正數(shù)。ab223

（2）y?2x2?3,(x?0)的最小值是34。x

2273（3）y?x(a?2x)2,(0?x?a)的最大值是2a。

（4）|a＋1|≥2成立當且僅當a≠0。a

以上命題是真命題的是：

15.(15分)已知數(shù)列{an}是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項和為Sn，對于一切n?N均有an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項。

（1）計算a1,a2,a3,并由此猜想{an}的通項公式an；

（2）用數(shù)學歸納法證明（1）中你的猜想。

16.(15分)解不等式?x?3x?2?4?3x2?

答案:

DBDBDCBC 9.22910.?4?m?011.b>912.540013.514.(4)(5)

2a?2(a?2)nn15.解：（1）由可求得a1?Sn得Sn?28?2,a2?6,a3?10，┈5分

由此猜想{an}的通項公式an?4n?2(n?N?)。┈┈┈7分

（2）證明：①當n?1時，a1?2，等式成立；┈┈┈9分②假設(shè)當n?k時，等式成立，即ak?4k?2，┈┈┈11分

(ak?1?2)2(ak?2)2

?ak?1?Sk?1?Sk??88

?(ak?1?ak)(ak?1?ak?4)?0,又ak?1?ak?0

?ak?1?ak?4?0，?ak?1＝ak＋4?4k－2＋4?4(k?1)?2

?當n?k?1時，等式也成立。┈┈┈13分 由①②可得an?4n?2(n?N?)成立。┈┈┈15分 16解：原不等式等價于下列兩個不等式組得解集的并集：

?4?3x?0??x2?3x?2?0?2Ⅰ：??x?3x?2?04分Ⅱ：?4分 ?4?3x?0??x2?3x?2?(4?3x)2?

4?x??3464?解Ⅰ：?1?x?2??x? 3分解Ⅱ：?x?23分 353?6?x?3

?52?

6∴原不等式的解集為{x|?x?2} 2分 5

第五篇：選修4-5----不等式選講測試題

選修4-5不等式選講測試題

一.選擇題：

1.若a,b是任意的實數(shù),且a>b,則()A．a(chǎn)2?b2B．2.若

1a?1b

?0,則下列不等式中

b

1a1b

?1C． lg(a-b)>0D．()?()

22a

(1)a?b?ab

(2)|a|>|b|(3)a

ba

?

ab

?

2正確的個數(shù)是()

A．1B． 2C． 3D．4 3.不等式|x-1|+|x+2|?5的解集為()

A． ???,?2???2,???B． ???,?1???2,???C． ???,?2???3,???D．???,?3???2,??? 4.下列結(jié)論不正確的是()A．x,y為正數(shù),則

xy?yx

?2B．

x?2x?

122

?2C．lgx?logx10?2D．a(chǎn)?0,則(1?a)(1?

1a)?

45.如果a>0,且a?1,M?loga(a3?1),N?loga(a2?1),那么()

A．M>NB．M0,則n+A．2

32n

2的最小值為()

C．6

D． 8

B．4

7.已知3x+y=10,則x2?y2的最小值為()A．

B．10C．1D．100

8.函數(shù)y=5x?1?25?x的最大值為()

A．108B．63C．10D．279.已知0?a,b?1，用反證法證明a(1?b),b(1?a)不能都大于A．a(chǎn)(1?b),b(1?a)都大于

時，反設(shè)正確的是()

14，B．a(chǎn)(1?b),b(1?a)都小于

C．a(chǎn)(1?b),b(1?a)都大于或等于D．a(chǎn)(1?b),b(1?a)都小于或等于

10.已知a,b?R，且abA．a(chǎn)?b

?a?b

?0，則()

?a?b

B．a(chǎn)?b

aa?b?c

C．a(chǎn)?b

cc?d?a

?a?b

D．a(chǎn)?b

?a?b

11.a,b,c?R

?，設(shè)

S??

bb?c?d

??

dd?a?b，則下列判斷中正確的是()

A． 0?S?1B． 1?S?2C． 2?S?3D． 3?S?4

1111

312．用數(shù)學歸納法證明不等式＋＋…＋<(n≥2，n∈N*)的過程中，由n＝k遞推

n＋1n＋22n14

到n＝k＋1時不等式左邊()

A．增加了一項B．增加了兩項、2?k＋1?2k＋12k＋2

C．增加了B中兩項但減少了一項D．以上各種情況均不對

k＋1二．填空題：

13.已知2x?3y?6z?12，求x2?y2?z2的最小值是 14.已知a1=,an+1=

3anan?3,則an=____________

15.如果關(guān)于x的不等式|x-4|-|x+5|?b的解集為空集,則b的取值范圍為16.設(shè)A?

?

?1

?

?2

????

?1，則A與1的大小關(guān)系是_____________

三．解答題：

17．（12分）（1）證明：a2?b2?2(2a?b)?5(2)證明：5??3?8

18.（12分）用數(shù)學歸納法證明：1?

12?13???

n

?

n?22,?n?N,n?2?

19.（12分）已知函數(shù)f(x)＝|x－2|－|x－5|.(1)證明：－3≤f(x)≤3；(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．

20.（12分）已知對于任意正數(shù)a1,a2,a3,有不等式:a1?

1a1

?1,(a1?a2)?（1a1

?1a2)?4,(a1?a2?a3)?（1a1

?

1a2

?

1a3)?9,…

(1)從上述不等式歸納出一個適合任意正數(shù)a1,a2,...,an的不等式.(2)用數(shù)學歸納法證明你歸納得到的不等式.21（22分）如圖，四邊形PCBM是直角梯形，∠PCB＝90°，∠MBC＝45°,PM∥BC，PM＝1，BC＝2，又AC＝1，∠ACB＝120°，AB⊥PC，直線AM與直線PC所成的角為60°.（1）求證：平面PAC⊥平面ABC；

（2）求異面直線PA和BC所成角的余弦值；

（3）求直線AB與平面MAC所成角的正弦值；（4）求二面角M?AC?B的余弦值；（5）求三棱錐P?MAC的體積。