第一篇：基本初等函數(shù)的極限

基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)極限值等于函數(shù)值.c?c 常函數(shù) y?c limx

指數(shù)函數(shù) y?ax?a?0,a?1?

a?1 limax??? limax?0；0?a?1 limax?0 limax??? x???x???x???x???對(duì)數(shù)函數(shù) y?logax?a?0,a?1?

logax???；0?a?1limlogax???，limlogax??? a?1limlogax???，lim??x???x?0x???x?0

三角函數(shù)

y?tanx lim

?x??k???2?????tanx??? lim?x??k???2?????tanx???

y?cotx lim?cotx??? lim?cotx??? x??k??x??k??

反三角函數(shù)

x???limarctanx??2arctanx??；limarccotx?0 limarccotx??xlimx???x??????2?

冪函數(shù) y?x?

x2??定義域?yàn)镽,例如y?x2，limx??

1/21/21/2limx???limx?0（定義域內(nèi)的點(diǎn)）0,??定義域?yàn)?，例如，y?x??x???x?0?

x?1?0，limx?1?? 定義域?yàn)???,0???0,???，例如y?x?1，limx??x?0

x?1/2?0，limx?1/2??? 定義域?yàn)?0,???，例如y?x?1/2，xlim???x?0?

注：不管?的取值，定義域都包括?0,???

???0，limx????，lim?x??0；??0，limx??0，limx??? ?x???x?0x???x?0

第二篇：基本初等函數(shù)

基本初等函數(shù)

一、考點(diǎn)分析

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，它把中學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)分支緊密地聯(lián)系在一起，是中學(xué)數(shù)學(xué)全部內(nèi)容的主線。在高考中，至少三個(gè)小題一個(gè)大題，分值在３０分左右。以指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、生成性函數(shù)為載體結(jié)合圖象的變換（平移、伸縮、對(duì)稱變換）、四性問題（單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性）、反函數(shù)問題常常是選擇題、填空題考查的主要內(nèi)容，其中函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性有向抽象函數(shù)發(fā)展的趨勢。函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的結(jié)合是高考的熱點(diǎn)題型，文科以三次（或四次）函數(shù)為命題載體，理科以生成性函數(shù)（對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及分式函數(shù)）為命題載體，以切線問題、極值最值問題、單調(diào)性問題、恒成立問題為設(shè)置條件，與不等式、數(shù)列綜合成題，是解答題試題的主要特點(diǎn)。

考點(diǎn)：函數(shù)的定義域和值域，了解并簡單應(yīng)用分段函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性、最值及幾何意義、奇偶性，會(huì)利用函數(shù)圖像表示并分析函數(shù)的性質(zhì)；理解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念以及運(yùn)算

性質(zhì)，會(huì)畫圖像并且了解相關(guān)性質(zhì)。了解冪函數(shù)的概念，結(jié)合圖像了解變化情況。

易錯(cuò)點(diǎn)：容易遺忘判斷單調(diào)性以及奇偶性的方法；容易遺忘指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像性質(zhì)，以及相關(guān)的運(yùn)算性質(zhì)。

難點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像性質(zhì)以及運(yùn)算性質(zhì)。

二、知識(shí)分析

1．函數(shù)的三要素是什么？如何比較兩個(gè)函數(shù)是否相同？（定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域）

2．求函數(shù)的定義域有哪些常見類型？

例：函數(shù)

y?lgx?3的定義域是答：?0，2?3??3，4? ?2，3．如何求復(fù)合函數(shù)的定義域？

如：函數(shù)f(x)的定義域是?a，b?，b??a?0，則函數(shù)F(x)?f(x)?f(?x)的定義域是_____________。答：?a，?a?

4．求一個(gè)函數(shù)的解析式數(shù)時(shí)，注明函數(shù)的定義域了嗎？

如：f

令t?ex?x，求f（x)t?0，∴x?t2?1，∴f(t)?et

x2?12?1?t2?1，∴f(x)?e?x2?1?x?0?

5．如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？（取值、作差、判正負(fù)）

如何判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性？，u??(x)（內(nèi)層），則y?f??(x)? y?f(u)（外層）

當(dāng)內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)性相同時(shí)，f

??(x)?為增函數(shù)，否則f??(x)?為減函數(shù)

如：求y?log1?x2?2x的單調(diào)區(qū)間。

設(shè)u??x?2x，由u?0，則0?x?2且log1u?，u???x?1??1，如圖

??

當(dāng)x?(0，1]時(shí)，u?，又log1u?，∴y?

當(dāng)x?[1，2)時(shí)，u?，又log1u?，∴y?

∴……）

6．如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性？

在區(qū)間?a，b?內(nèi)，若總有f'(x)?0，則f(x)為增函數(shù)。（在個(gè)別點(diǎn)上導(dǎo)數(shù)等于零，不影響函數(shù)的單調(diào)性），反之也對(duì)，若f'(x)?0呢？

如：已知a?0，函數(shù)f(x)?x3?ax在?1，???上是單調(diào)增函數(shù)，則a的最大值是 A．0

B．1C．2D．

3?x??0令f'(x)?3x?a?3?x?，則x?

x?，??

由已知f(x)在?1，????1，即a?3，∴a的最大值為3 7．函數(shù)f(x)具有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？（f(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）

若f(?x)??f(x)總成立?f(x)為奇函數(shù)?函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 若f(?x)?f(x)總成立?f(x)為偶函數(shù)?函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱 注意如下結(jié)論：

（1）在公共定義域內(nèi)：兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；一個(gè)偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。

（2）若f(x)是奇函數(shù)且定義域中有原點(diǎn)，則f(0)?0

a·2x?a?

2如：若f(x)?為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a?

2x?

1a·20?a?2

?0，∴a?1 ∵f(x)為奇函數(shù)，x?R，又0?R，∴f(0)?0，即0

2?12x

又如：f(x)為定義在(?11)，求f(x)在，上的奇函數(shù)，當(dāng)x?(0，1)時(shí)，f(x)?x

4?1(?11)，上的解析式。

2?x

令x???10，?，則?x??01，?，f(?x)??x

4?12?x2x

??又f(x)為奇函數(shù)，∴f(x)???x

4?11?4x

?2x

0)??4x?1,x?(?1，??

又f(0)?0，∴f(x)??0,x?0

?2x

?x,x??0，1??4?1?

8．你熟悉周期函數(shù)的定義嗎？

（T?0）若存在實(shí)數(shù)T，在定義域內(nèi)總有f?x?T??f(x)，則f(x)為周期函數(shù)，T是

一個(gè)周期。如：若f?x?a???f(x)，則答： T?2a為f(x)的一個(gè)周期。

又如：若f(x)圖像有兩條對(duì)稱軸x?a，x?b???即f(b?x)?f(b?x)，f(a?x)?f(a?x)，則f(x)是周期函數(shù)，2|a?b|為一個(gè)周期

如圖：

9．你掌握常用的圖象變換了嗎？

f(x)與f(?x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱 f(x)與?f(x)的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱 f(x)與?f(?x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 ?將y?f(x)圖像??????右移a(a?0)個(gè)單位

左移a(a?0)個(gè)單位

y?f(x?a)上移b(b?0)個(gè)單位y?f(x?a)?b

??????? 下移b(b?0)個(gè)單位

y?f(x?a)y?f(x?a)?b

注意如下“翻折”變換：f(x)?|f(x)|,f(x)?f(|x|)

如：f(x)?log2?x?1?y=log2x

作出y?|log2?x?1?|及y?log2|x?1|的圖像

10．你熟練掌握常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)了嗎？

（1）一次函數(shù)：y?kx?b?k?0?（2）反比例函數(shù)：y?

kk

?k?0?推廣為y?b??k?0?是中心O'(a，b)的雙曲線。

xx?a

b?4ac?b2?

（3）二次函數(shù)y?ax?bx?c?a?0??a?x?的圖像為拋物線 ??

2a?4a?

?b4ac?b2?bx??頂點(diǎn)坐標(biāo)為??，對(duì)稱軸 ?2a4a??2a

開口方向：a?0，向上，函數(shù)ymin

4ac?b2?

4a

a?0，向下，ymax

4ac?b2?

4a

應(yīng)用：①“三個(gè)二次”（二次函數(shù)、二次方程、二次不

等式）的關(guān)系——二次方程ax?bx?c?0，??0時(shí)，兩根x1、x2為二次函數(shù)

也是二次不等式ax?bx?c?0(?0)解集的端y?ax2?bx?c的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)值。

②求閉區(qū)間［m，n］上的最值。

③求區(qū)間定（動(dòng)），對(duì)稱軸動(dòng)（定）的最值問題。④一元二次方程根的分布問題。

如：二次方程ax?bx?c?0的兩根都大于

???0

?b?k????k，一根大于k，一根小于k?f(k)?0

2a???f(k)?0

（4）指數(shù)函數(shù)：y?a

x

?a?0，a?1?

ax(a>1)

（5）對(duì)數(shù)函數(shù)：y?logax?a?0，a?1?

由圖象記性質(zhì)！（注意底數(shù)的限定?。?）“對(duì)勾函數(shù)”y?x?

(a?

0)，k

?k?0? x

1ap

11．你在基本運(yùn)算上常出現(xiàn)錯(cuò)誤嗎？

指數(shù)運(yùn)算：a0?1(a?0)，a

?p

?

a?a?

0)，a

mn

?

mn

?

a?0)

對(duì)數(shù)運(yùn)算：logaM·N?logaM?logaN?M?0，N?0?

loga

M

1?logaM?logaN，loga?logaM Nn

logax

對(duì)數(shù)恒等式：a

?x；對(duì)數(shù)換底公式：logab?

logcbn

?logambn?logab logcam

12．如何解抽象函數(shù)問題？（賦值法、結(jié)構(gòu)變換法）

如：（1）x?R，f(x)滿足f(x?y)?f(x)?f(y)，證明f(x)為奇函數(shù)。先令x?y?0?f(0)?0，再令y??x，……

（2）x?R，f(x)滿足f(xy)?f(x)?f(y)，證明f(x)為偶函數(shù)。先令x?y??t?f[(?t)(?t)]?f(t?t)，∴f(?t)?f(?t)?f(t)?f(t)，∴f(?t)?f(t)……

（3）證明單調(diào)性：f(x2)?f???x2?x1??x2???…… 13．掌握求函數(shù)值域的常用方法了嗎？

（二次函數(shù)法（配方法），換元法，均值定理法，利用函數(shù)單調(diào)性法，導(dǎo)數(shù)法等。）

三、習(xí)題

第三篇：基本初等函數(shù)教學(xué)反思

初中我們學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)三類初等函數(shù)，必修一中我們又要學(xué)習(xí)另外三種初等函數(shù)----指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)。在前兩章中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念、函數(shù)的基本性質(zhì)——單調(diào)性、奇偶性，我在教學(xué)學(xué)過程中就將這些性質(zhì)和初中學(xué)習(xí)的函數(shù)進(jìn)行結(jié)合，分析討論這些函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)。指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的研究也是以這些基本性質(zhì)為出發(fā)點(diǎn)，來進(jìn)行研究的。實(shí)質(zhì)是對(duì)函數(shù)性質(zhì)研究的延續(xù)。我主要談一下我在教學(xué)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)方面的感受。

指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)間有著密不可分的關(guān)系，它們的性質(zhì)有好多的相似指處，因此在教學(xué)過程中，我比較注重培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用對(duì)比、類比的數(shù)學(xué)思想去學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)函數(shù)。；同時(shí)從數(shù)形結(jié)合的角度去感性認(rèn)識(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，這樣可以把函數(shù)的抽象性以更為直觀的形式表現(xiàn)出來；在教學(xué)過程中，我還適時(shí)運(yùn)用肢體語言讓同學(xué)們感知函數(shù)圖像，從而比較自然地使學(xué)生能盡快記住函數(shù)圖像的樣子，有了圖像性質(zhì)全部寫在圖上。數(shù)形結(jié)合這種重要的數(shù)學(xué)思想貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)，應(yīng)該逐漸使學(xué)生養(yǎng)成運(yùn)用意識(shí)。學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)的把握還是不錯(cuò)的。

但是，對(duì)于新知的理解和接受需要一個(gè)過程，就像我們?nèi)伺c人之間的交往一樣，新朋友的熟悉需要一個(gè)認(rèn)識(shí)的過程。由于課程時(shí)間安排比較緊，我們不可能停下來認(rèn)識(shí)，一個(gè)學(xué)期或一個(gè)學(xué)年后發(fā)現(xiàn)好多學(xué)生已經(jīng)將對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)忘記了，碰到了和陌生的一樣。我覺得這和我們平時(shí)的月考內(nèi)容安排有關(guān)系，我們的月考內(nèi)容應(yīng)該是之前的全部學(xué)習(xí)內(nèi)容，非本學(xué)期的前面的知識(shí)要占一定比例，但是我們的安排都是本月學(xué)習(xí)什么只考什么，前面的根本不涉及。這樣前面的東西就慢慢忘了。我們應(yīng)該在這方面改進(jìn)一下。

第四篇：函數(shù)極限

習(xí)題

1.按定義證明下列極限:

(1)limx???6x?5=6;(2)lim(x2-6x+10)=2;x?2x

x2?5?1;(4)lim?(3)lim2x???x?1x?2

(5)limcos x = cos x0 x?x04?x2=0;

2.根據(jù)定義2敘述limf(x)≠ A.x?x0

3.設(shè)limf(x)= A.,證明limf(x0+h)= A.x?x0h?0

4.證明:若limf(x)= A,則lim| f(x)| = |A|.當(dāng)且僅當(dāng)A為何值時(shí)反之也成立? x?x0x?x0

5.證明定理3.1

6.討論下列函數(shù)在x0→0 時(shí)的極限或左、右極限:(1)f(x)=x

x;(2)f(x)= [x]

?2x;x?0.?(3)f(x)=?0;x?0.?1?x2,x?0.?

7.設(shè) limf(x)= A,證明limf(x???x?x01)= A x

8.證明:對(duì)黎曼函數(shù)R(x)有l(wèi)imR(x)= 0 , x0∈[0,1](當(dāng)x0=0或1時(shí),考慮單側(cè)極限).x?x0

習(xí)題

1． 求下列極限：

x2?1（1）lim2（sinx－cosx－x）;(2)lim;?x?02x2?x?1x?22

x2?1?x?1???1?3x?;

lim(3)lim;(4)

x?12x2?x?1x?0x2?2x3

xn?1(5)limm(n,m 為正整數(shù))；（6）lim

x?1xx?4?1

（7）lim

x?0

?2x?3x?2

70；

a2?x?a?3x?6??8x?5?.（a>0）;(8)lim

x???x5x?190

2． 利用斂性求極限：(1)lim

x???

x?cosxxsinx

;(2)lim2

x?0xx?4

x?x0

3． 設(shè) limf(x)=A, limg(x)=B.證明：

x?x0

（1）lim[f(x)±g(x)]=A±B;

x?x0

（2）lim[f(x)g(x)]=AB;

x?x0

（3）lim

x?x0

f(x)A

=(當(dāng)B≠0時(shí))g(x)B

4． 設(shè)

a0xm?a1xm?1???am?1x?am

f(x)=,a0≠0,b0≠0,m≤n,nn?1

b0x?b1x???bn?1x?bn

試求 limf(x)

x???

5． 設(shè)f(x)>0, limf(x)=A.證明

x?x0

x?x0

lim

f(x)=A，其中n≥2為正整數(shù).6.證明limax=1(0

x?0

7.設(shè)limf(x)=A, limg(x)=B.x?x0

x?x0

(1)若在某∪(x0)內(nèi)有f(x)< g(x)，問是否必有A < B ? 為什么？

（2）證明：若A>B,則在某∪(x0)內(nèi)有f(x)> g(x).8.求下列極限（其中n皆為正整數(shù)）：(1)lim ?

x?0

x

x11

lim;(2);nn?x?0x1?xx1?x

x?x2???xn?n

(3)lim;(4)lim

x?0x?0x?1

?x?1

x

(5)lim

x??

?x?(提示：參照例1)

x

x?0

x?0

x?0

9．（1）證明：若limf(x3)存在，則limf(x)= lim f(x3)（2）若limf(x2)存在，試問是否成立limf(x)=limf(x2)?

x?0

x?0

x?0

習(xí)題

1.敘述函數(shù)極限limf(x)的歸結(jié)原則,并應(yīng)用它證明limcos x不存在.n???

n???

2.設(shè)f 為定義在[a,+?)上的增(減)函數(shù).證明: lim= f(x)存在的充要條件是f在n???

[a,+?)上有上(下)界.3.(1)敘述極限limf(x)的柯西準(zhǔn)則;

n???

(2)根據(jù)柯西準(zhǔn)則敘述limf(x)不存在的充要條件,并應(yīng)用它證明limsin x不存在.n???

n???

4.設(shè)f在∪0(x0)內(nèi)有定義.證明:若對(duì)任何數(shù)列{xn}?∪0(x0)且limxn=x0,極限limf(xn)都

n??

n??

存在,則所有這極限都相等.提示: 參見定理3.11充分性的證明.5設(shè)f為∪0(x0)上的遞減函數(shù).證明:f(x0－0)和f(x0+0)都存在,且f(x0－0)=supf(x),f(x0+0)=

0x?u?

?x0?

0x?un(x0)

inff(x)

6.設(shè) D(x)為狄利克雷函數(shù),x0∈R證明limD(x)不存在.x?x0

7.證明:若f為周期函數(shù),且limf(x)=0,則f(x)=0

x???

8.證明定理3.9

習(xí)題

1.求下列極限

sin2xsinx3

(1)lim;(2)lim

x?0x?0sinx2x

(3)lim

x?

cosxx?

?

tanx?sinxarctanx

lim(5)lim;(6);3x?0x?0xx

sin2x?sin2a1

(7)limxsin;(8)lim;

x???x?axx?a

;(4)lim

x?0

tanx

;x

?cosx2

(9)lim;(10)lim

x?0x?01?cosxx?1?1

sin4x

2.求下列極限

12?x

(1)lim(1?);(2)lim?1?ax?x(a為給定實(shí)數(shù));

n??x?0x

x

(3)lim?1?tanx?

x?0

cotx

;(4)lim?

?1?x?

?;

x?01?x??

(5)lim（x???

3x?22x?1?);(6)lim(1?)?x(?,?為給定實(shí)數(shù))

n???3x?1x

3.證明:lim?lim?cosxcoxcos4.利用歸結(jié)原則計(jì)算下列極限:(1)limnsin

n??

?

x?0n??

??

?

x2

xx???cos?1 2n??22??

?

n

;(2)

習(xí)題

1． 證明下列各式

(1)2x－x2=O(x)(x→0);(2)x sinx?O(x)(x→0);

+

(3)?x?1?o(1)(x→0);

(4)(1+x)n= 1+ nx+o(x)(x→0)(n 為正整數(shù))(5)2x3 + x2=O(x3)(x→∞);

(6)o(g(x))±o(g(x))=o(g(x))(x→x0)

(7)o(g1(x))·0(g2(x))=o(g1(x)g2(x))(x→x0)2． 應(yīng)用定理3.12求下列極限：

?x2?1x(1)lim(2)lim x?01?cosxx??x?cosx

x3． 證明定理3.13

4． 求下列函數(shù)所表示曲線的漸近線：

13x3?4

(1)y =;(2)y = arctan x;(3)y = 2

xx?2x

5． 試確定a的值，使下列函數(shù)與xa當(dāng)x→0時(shí)為同階無窮小量：

(1)sin2x－2sinx;(2)

－(1－x);1?x

(3)?tanx??sinx;(4)

x2?4x3

6． 試確定a的值，使下列函數(shù)與xa當(dāng)x→∞時(shí)為同階無窮大量：

(1)

x2?x5;(2)x+x2(2+sinx);

(3)(1+x)(1+x2)…(1+xn).7． 證明：若S為無上界數(shù)集，則存在一遞增數(shù)列{xn}?s，使得xn→+∞(n→∞)

8． 證明：若f為x→r時(shí)的無窮大量，而函數(shù)g在某U0(r)上滿足g(x)≥K>0，則fg為x→r

時(shí)的無窮大量。

9． 設(shè) f(x)~g(x)(x→x0)，證明：

f(x)－g(x)= o(f(x))或 f(x)－g(x)= o(g(x))

總 練習(xí)題

1． 求下列極限：

?1

(x?[x])lim([x]?1)(1)lim;(2)??

x?3

x?1

(3)lim（x???

a?xb?x?a?xb?x)

xx?a

(4)lim

x???

(5)lim

xx?a

x???

(6)lim

?x??x?x??x

x?0

(7)lim?

n??m,m,n 為正整數(shù) ?n?x?11?xm1?x??

2． 分別求出滿足下述條件的常數(shù)a與b：

?x2?1?

(1)lim??ax?b???0 x????x?1??

x(3)limx

(2)lim

x???x???x?2

??x?1?ax?b??0

?x?1?ax?b?0

x?2

3． 試分別舉出符合下列要求的函數(shù)f：

(1)limf(x)?f(2)；(2)limf(x)不存在。

4． 試給出函數(shù)f的例子，使f(x)>0恒成立，而在某一點(diǎn)x0處有l(wèi)imf(x)?0。這同極限的x?x0

局部保號(hào)性有矛盾嗎？

5． 設(shè)limf(x)?A，limg(u)?B，在何種條件下能由此推出

x?a

g?A

limg(f(x))?B?

x?a

6． 設(shè)f(x)=x cos x。試作數(shù)列

(1){xn} 使得 xn→∞(n→∞), f(xn)→0(n→∞);(2){yn} 使得 yn→∞(n→∞), f(yn)→0(n→∞);(3){zn} 使得 zn→∞(n→∞), f(zn)→0(n→∞).7． 證明：若數(shù)列{an}滿足下列條件之一，則{an}是無窮大數(shù)列：

(1)liman?r?1

n??

(2)lim

an?1

?s?1(an≠0,n=1,2,…)

n??an

n2

n2

8． 利用上題（1）的結(jié)論求極限：

(1)lim?1?

?n??

?1??1??(2)lim?1??

n??n??n?

9． 設(shè)liman???，證明

n??

(1)lim

(a1?a2???an)??? n??n

n??

(2)若an > 0(n=1,2,…),則lima1a2?an??? 10.利用上題結(jié)果求極限：

(1)limn!(2)lim

n??

In(n!)

n??n

11.設(shè)f為U-0(x0)內(nèi)的遞增函數(shù)。證明：若存在數(shù)列{xn}?U-0(x0)且xn→x0(n→∞)，使得

limf(xn)?A，則有

n??

f(x0－0)=

supf(x)?A

0x?U?(x0)

12.設(shè)函數(shù)f在(0,+∞)上滿足方程f(2x)=f(x)，且limf(x)?A。證明：f(x)?A，x∈(0,+∞)

x???

13.設(shè)函數(shù)f在(0,+∞)此上滿足方程f(x2)= f(x)，且

f(x)=limf(x)?f(1)lim?

x?0

x???

證明：f(x)?f(1)，x∈(0,+∞)

14.設(shè)函數(shù)f定義在(a,+∞)上，f在每一個(gè)有限區(qū)間內(nèi)(a,b)有界，并滿足

x???

lim(f(x?1)?f(1))?A證明

x???

lim

f(x)

?A x

第五篇：函數(shù)極限

《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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第三章 函數(shù)極限

教學(xué)目的：

1.使學(xué)生牢固地建立起函數(shù)極限的一般概念，掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)； 2.理解并運(yùn)用海涅定理與柯西準(zhǔn)則判定某些函數(shù)極限的存在性； 3.掌握兩個(gè)重要極限

和，并能熟練運(yùn)用；

4.理解無窮?。ù螅┝考捌潆A的概念，會(huì)利用它們求某些函數(shù)的極限。教學(xué)重（難）點(diǎn)：

本章的重點(diǎn)是函數(shù)極限的概念、性質(zhì)及其計(jì)算；難點(diǎn)是海涅定理與柯西準(zhǔn)則的應(yīng)用。

教學(xué)時(shí)數(shù)：16學(xué)時(shí)

§ 1 函數(shù)極限概念（3學(xué)時(shí)）

教學(xué)目的：使學(xué)生建立起函數(shù)極限的準(zhǔn)確概念；會(huì)用函數(shù)極限的定義證明函數(shù)極限等有關(guān)命題。

教學(xué)要求：使學(xué)生逐步建立起函數(shù)極限的???定義的清晰概念。會(huì)應(yīng)用函數(shù)極限的???定義證明函數(shù)的有關(guān)命題，并能運(yùn)用???語言正確表述函數(shù)不以某實(shí)數(shù)為極限等相應(yīng)陳述。

教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)極限的概念。

教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)極限的???定義及其應(yīng)用。

一、復(fù)習(xí)：數(shù)列極限的概念、性質(zhì)等

二、講授新課：

（一）時(shí)函數(shù)的極限：

《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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例4 驗(yàn)證

例5 驗(yàn)證

例6 驗(yàn)證

證 由 =

為使

需有

需有

為使

于是, 倘限制 , 就有

例7 驗(yàn)證

例8 驗(yàn)證(類似有

（三）單側(cè)極限:

1．定義：單側(cè)極限的定義及記法.幾何意義: 介紹半鄰域

《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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我們引進(jìn)了六種極限:.以下以極限，為例討論性質(zhì).均給出證明或簡證.二、講授新課：

（一）函數(shù)極限的性質(zhì): 以下性質(zhì)均以定理形式給出.1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保號(hào)性:

4.單調(diào)性(不等式性質(zhì)):

Th 4 若使，證 設(shè)

和都有 =

(現(xiàn)證對(duì) 都存在, 且存在點(diǎn) 的空心鄰域)，有

註: 若在Th 4的條件中, 改“ 就有

5.6.以

迫斂性:

”為“ 舉例說明.”, 未必

四則運(yùn)算性質(zhì):(只證“+”和“ ”)

（二）利用極限性質(zhì)求極限： 已證明過以下幾個(gè)極限：

《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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例8

例9

例10 已知

求和

補(bǔ)充題:已知

求和（）§ 3 函數(shù)極限存在的條件（4學(xué)時(shí)）

教學(xué)目的：理解并運(yùn)用海涅定理與柯西準(zhǔn)則判定某些函數(shù)極限的存在性。教學(xué)要求：掌握海涅定理與柯西準(zhǔn)則，領(lǐng)會(huì)其實(shí)質(zhì)以及證明的基本思路。教學(xué)重點(diǎn)：海涅定理及柯西準(zhǔn)則。教學(xué)難點(diǎn)：海涅定理及柯西準(zhǔn)則 運(yùn)用。

教學(xué)方法：講授為主，輔以練習(xí)加深理解，掌握運(yùn)用。本節(jié)介紹函數(shù)極限存在的兩個(gè)充要條件.仍以極限

為例.一.Heine歸并原則——函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系：

Th 1 設(shè)函數(shù)在,對(duì)任何在點(diǎn)

且的某空心鄰域

內(nèi)有定義.則極限都存在且相等.(證)

存Heine歸并原則反映了離散性與連續(xù)性變量之間的關(guān)系,是證明極限不存在的有力工具.對(duì)單側(cè)極限,還可加強(qiáng)為

單調(diào)趨于

.參閱[1]P70.例1 證明函數(shù)極限的雙逼原理.7 《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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教學(xué)難點(diǎn)：兩個(gè)重要極限的證明及運(yùn)用。

教學(xué)方法：講授定理的證明，舉例說明應(yīng)用，練習(xí)。一．

（證）（同理有）

例1

例2.例3

例4

例5 證明極限 不存在.二.證 對(duì)

有

例6

特別當(dāng) 等.例7

例8

《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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三． 等價(jià)無窮小：

Th 2(等價(jià)關(guān)系的傳遞性).等價(jià)無窮小在極限計(jì)算中的應(yīng)用: Th 3(等價(jià)無窮小替換法則)

幾組常用等價(jià)無窮小:（見[2]）

例3 時(shí), 無窮小

與

是否等價(jià)? 例4

四.無窮大量:

1.定義:

2.性質(zhì):

性質(zhì)1 同號(hào)無窮大的和是無窮大.性質(zhì)2 無窮大與無窮大的積是無窮大.性質(zhì)3 與無界量的關(guān)系.無窮大的階、等價(jià)關(guān)系以及應(yīng)用, 可仿無窮小討論, 有平行的結(jié)果.3.無窮小與無窮大的關(guān)系:

無窮大的倒數(shù)是無窮小,非零無窮小的倒數(shù)是無窮大

習(xí)題 課（2學(xué)時(shí)）

一、理論概述：

《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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例7.求

.注意 時(shí), 且

.先求

由Heine歸并原則

即求得所求極限

.例8 求是否存在.和.并說明極限

解;

可見極限 不存在.--32