第一篇：函數(shù)與基本初等函數(shù)2.6冪函數(shù)(作業(yè))

響水二中高三數(shù)學（理）一輪復(fù)習作業(yè) 第二編 函數(shù)與基本初等函數(shù)Ⅰ

主備人

張靈芝

總第9期

§2.6冪函數(shù)

一、填空題 1.設(shè)α∈{-1,1,12α ,3}，則使函數(shù)y=x定義域為R且為奇函數(shù)的所有的α值為.α2.冪函數(shù)f(x)=x(α是有理數(shù)）的圖象過點（2，m2?m?214），則f(x)的一個單調(diào)遞減區(qū)間是.3.如果冪函數(shù)y=（m-3m+3）x

2的圖象不過原點，則m的取值是.4.如圖所示，曲線是冪函數(shù)y=xn在第一象限的圖象，已知n取±

2、±C3，C4的n值依次為.2??1?x,5.設(shè)函數(shù)f(x)=?2??x?x?2,312四個值，則相應(yīng)的曲線C1，C2，x?1,x?1，則f（1)的值為.f(2)6.設(shè)f(x)=x+x,則對任意實數(shù)a，b，“a+b≥0”是“f(a)+f(b)≥0”的 條件.127.當0

2121D上封閉.若定義域D=（0，1），則函數(shù)①f(x)=3x-1;②f(x)=-x-22

12x+1;③f3(x)=1-x;④ f4(x)=x,12其中在D上封閉的是.（填序號即可）

二、解答題 9.求函數(shù)y=x

1m2?m?1(m∈N)的定義域、值域，并判斷其單調(diào)性.

10.已知f(x)=x ?n2?2n?3（n=2k,k∈Z）的圖象在［0，+∞）上單調(diào)遞增，解不等式f(x-x)>f(x+3). 17

x2?4x?5211.指出函數(shù)f（x）=2的單調(diào)區(qū)間，并比較f（-?）與f(-)的大小.

x?4x?42

12.已知函數(shù)f(x)=x?x513?13，g(x)=

x?x513?13.

（1）證明f(x)滿足f(-x)=-f(x),并求f(x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）分別計算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函數(shù)f(x)和g(x)的對所有 不等于零的實數(shù)x都成立的一個等式，并加以證明.

第二篇：基本初等函數(shù)

基本初等函數(shù)

一、考點分析

函數(shù)是高中數(shù)學的主要內(nèi)容，它把中學數(shù)學的各個分支緊密地聯(lián)系在一起，是中學數(shù)學全部內(nèi)容的主線。在高考中，至少三個小題一個大題，分值在３０分左右。以指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、生成性函數(shù)為載體結(jié)合圖象的變換（平移、伸縮、對稱變換）、四性問題（單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性）、反函數(shù)問題常常是選擇題、填空題考查的主要內(nèi)容，其中函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性有向抽象函數(shù)發(fā)展的趨勢。函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的結(jié)合是高考的熱點題型，文科以三次（或四次）函數(shù)為命題載體，理科以生成性函數(shù)（對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及分式函數(shù)）為命題載體，以切線問題、極值最值問題、單調(diào)性問題、恒成立問題為設(shè)置條件，與不等式、數(shù)列綜合成題，是解答題試題的主要特點。

考點：函數(shù)的定義域和值域，了解并簡單應(yīng)用分段函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性、最值及幾何意義、奇偶性，會利用函數(shù)圖像表示并分析函數(shù)的性質(zhì)；理解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的概念以及運算

性質(zhì)，會畫圖像并且了解相關(guān)性質(zhì)。了解冪函數(shù)的概念，結(jié)合圖像了解變化情況。

易錯點：容易遺忘判斷單調(diào)性以及奇偶性的方法；容易遺忘指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖像性質(zhì)，以及相關(guān)的運算性質(zhì)。

難點：函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖像性質(zhì)以及運算性質(zhì)。

二、知識分析

1．函數(shù)的三要素是什么？如何比較兩個函數(shù)是否相同？（定義域、對應(yīng)法則、值域）

2．求函數(shù)的定義域有哪些常見類型？

例：函數(shù)

y?lgx?3的定義域是答：?0，2?3??3，4? ?2，3．如何求復(fù)合函數(shù)的定義域？

如：函數(shù)f(x)的定義域是?a，b?，b??a?0，則函數(shù)F(x)?f(x)?f(?x)的定義域是_____________。答：?a，?a?

4．求一個函數(shù)的解析式數(shù)時，注明函數(shù)的定義域了嗎？

如：f

令t?ex?x，求f（x)t?0，∴x?t2?1，∴f(t)?et

x2?12?1?t2?1，∴f(x)?e?x2?1?x?0?

5．如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？（取值、作差、判正負）

如何判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性？，u??(x)（內(nèi)層），則y?f??(x)? y?f(u)（外層）

當內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)性相同時，f

??(x)?為增函數(shù)，否則f??(x)?為減函數(shù)

如：求y?log1?x2?2x的單調(diào)區(qū)間。

設(shè)u??x?2x，由u?0，則0?x?2且log1u?，u???x?1??1，如圖

??

當x?(0，1]時，u?，又log1u?，∴y?

當x?[1，2)時，u?，又log1u?，∴y?

∴……）

6．如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性？

在區(qū)間?a，b?內(nèi)，若總有f'(x)?0，則f(x)為增函數(shù)。（在個別點上導(dǎo)數(shù)等于零，不影響函數(shù)的單調(diào)性），反之也對，若f'(x)?0呢？

如：已知a?0，函數(shù)f(x)?x3?ax在?1，???上是單調(diào)增函數(shù)，則a的最大值是 A．0

B．1C．2D．

3?x??0令f'(x)?3x?a?3?x?，則x?

x?，??

由已知f(x)在?1，????1，即a?3，∴a的最大值為3 7．函數(shù)f(x)具有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？（f(x)定義域關(guān)于原點對稱）

若f(?x)??f(x)總成立?f(x)為奇函數(shù)?函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱 若f(?x)?f(x)總成立?f(x)為偶函數(shù)?函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱 注意如下結(jié)論：

（1）在公共定義域內(nèi)：兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；一個偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。

（2）若f(x)是奇函數(shù)且定義域中有原點，則f(0)?0

a·2x?a?

2如：若f(x)?為奇函數(shù)，則實數(shù)a?

2x?

1a·20?a?2

?0，∴a?1 ∵f(x)為奇函數(shù)，x?R，又0?R，∴f(0)?0，即0

2?12x

又如：f(x)為定義在(?11)，求f(x)在，上的奇函數(shù)，當x?(0，1)時，f(x)?x

4?1(?11)，上的解析式。

2?x

令x???10，?，則?x??01，?，f(?x)??x

4?12?x2x

??又f(x)為奇函數(shù)，∴f(x)???x

4?11?4x

?2x

0)??4x?1,x?(?1，??

又f(0)?0，∴f(x)??0,x?0

?2x

?x,x??0，1??4?1?

8．你熟悉周期函數(shù)的定義嗎？

（T?0）若存在實數(shù)T，在定義域內(nèi)總有f?x?T??f(x)，則f(x)為周期函數(shù)，T是

一個周期。如：若f?x?a???f(x)，則答： T?2a為f(x)的一個周期。

又如：若f(x)圖像有兩條對稱軸x?a，x?b???即f(b?x)?f(b?x)，f(a?x)?f(a?x)，則f(x)是周期函數(shù)，2|a?b|為一個周期

如圖：

9．你掌握常用的圖象變換了嗎？

f(x)與f(?x)的圖像關(guān)于y軸對稱 f(x)與?f(x)的圖像關(guān)于x軸對稱 f(x)與?f(?x)的圖像關(guān)于原點對稱 ?將y?f(x)圖像??????右移a(a?0)個單位

左移a(a?0)個單位

y?f(x?a)上移b(b?0)個單位y?f(x?a)?b

??????? 下移b(b?0)個單位

y?f(x?a)y?f(x?a)?b

注意如下“翻折”變換：f(x)?|f(x)|,f(x)?f(|x|)

如：f(x)?log2?x?1?y=log2x

作出y?|log2?x?1?|及y?log2|x?1|的圖像

10．你熟練掌握常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)了嗎？

（1）一次函數(shù)：y?kx?b?k?0?（2）反比例函數(shù)：y?

kk

?k?0?推廣為y?b??k?0?是中心O'(a，b)的雙曲線。

xx?a

b?4ac?b2?

（3）二次函數(shù)y?ax?bx?c?a?0??a?x?的圖像為拋物線 ??

2a?4a?

?b4ac?b2?bx??頂點坐標為??，對稱軸 ?2a4a??2a

開口方向：a?0，向上，函數(shù)ymin

4ac?b2?

4a

a?0，向下，ymax

4ac?b2?

4a

應(yīng)用：①“三個二次”（二次函數(shù)、二次方程、二次不

等式）的關(guān)系——二次方程ax?bx?c?0，??0時，兩根x1、x2為二次函數(shù)

也是二次不等式ax?bx?c?0(?0)解集的端y?ax2?bx?c的圖像與x軸的兩個交點，點值。

②求閉區(qū)間［m，n］上的最值。

③求區(qū)間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。④一元二次方程根的分布問題。

如：二次方程ax?bx?c?0的兩根都大于

???0

?b?k????k，一根大于k，一根小于k?f(k)?0

2a???f(k)?0

（4）指數(shù)函數(shù)：y?a

x

?a?0，a?1?

ax(a>1)

（5）對數(shù)函數(shù)：y?logax?a?0，a?1?

由圖象記性質(zhì)！（注意底數(shù)的限定?。?）“對勾函數(shù)”y?x?

(a?

0)，k

?k?0? x

1ap

11．你在基本運算上常出現(xiàn)錯誤嗎？

指數(shù)運算：a0?1(a?0)，a

?p

?

a?a?

0)，a

mn

?

mn

?

a?0)

對數(shù)運算：logaM·N?logaM?logaN?M?0，N?0?

loga

M

1?logaM?logaN，loga?logaM Nn

logax

對數(shù)恒等式：a

?x；對數(shù)換底公式：logab?

logcbn

?logambn?logab logcam

12．如何解抽象函數(shù)問題？（賦值法、結(jié)構(gòu)變換法）

如：（1）x?R，f(x)滿足f(x?y)?f(x)?f(y)，證明f(x)為奇函數(shù)。先令x?y?0?f(0)?0，再令y??x，……

（2）x?R，f(x)滿足f(xy)?f(x)?f(y)，證明f(x)為偶函數(shù)。先令x?y??t?f[(?t)(?t)]?f(t?t)，∴f(?t)?f(?t)?f(t)?f(t)，∴f(?t)?f(t)……

（3）證明單調(diào)性：f(x2)?f???x2?x1??x2???…… 13．掌握求函數(shù)值域的常用方法了嗎？

（二次函數(shù)法（配方法），換元法，均值定理法，利用函數(shù)單調(diào)性法，導(dǎo)數(shù)法等。）

三、習題

第三篇：基本初等函數(shù)教學反思

初中我們學習了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)三類初等函數(shù)，必修一中我們又要學習另外三種初等函數(shù)----指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)。在前兩章中我們已經(jīng)學習了函數(shù)的概念、函數(shù)的基本性質(zhì)——單調(diào)性、奇偶性，我在教學學過程中就將這些性質(zhì)和初中學習的函數(shù)進行結(jié)合，分析討論這些函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)。指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的研究也是以這些基本性質(zhì)為出發(fā)點，來進行研究的。實質(zhì)是對函數(shù)性質(zhì)研究的延續(xù)。我主要談一下我在教學對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)方面的感受。

指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)間有著密不可分的關(guān)系，它們的性質(zhì)有好多的相似指處，因此在教學過程中，我比較注重培養(yǎng)學生運用對比、類比的數(shù)學思想去學習對數(shù)函數(shù)函數(shù)。；同時從數(shù)形結(jié)合的角度去感性認識對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，這樣可以把函數(shù)的抽象性以更為直觀的形式表現(xiàn)出來；在教學過程中，我還適時運用肢體語言讓同學們感知函數(shù)圖像，從而比較自然地使學生能盡快記住函數(shù)圖像的樣子，有了圖像性質(zhì)全部寫在圖上。數(shù)形結(jié)合這種重要的數(shù)學思想貫穿整個高中數(shù)學，應(yīng)該逐漸使學生養(yǎng)成運用意識。學生對函數(shù)性質(zhì)的把握還是不錯的。

但是，對于新知的理解和接受需要一個過程，就像我們?nèi)伺c人之間的交往一樣，新朋友的熟悉需要一個認識的過程。由于課程時間安排比較緊，我們不可能停下來認識，一個學期或一個學年后發(fā)現(xiàn)好多學生已經(jīng)將對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)忘記了，碰到了和陌生的一樣。我覺得這和我們平時的月考內(nèi)容安排有關(guān)系，我們的月考內(nèi)容應(yīng)該是之前的全部學習內(nèi)容，非本學期的前面的知識要占一定比例，但是我們的安排都是本月學習什么只考什么，前面的根本不涉及。這樣前面的東西就慢慢忘了。我們應(yīng)該在這方面改進一下。

第四篇：基本初等函數(shù)的極限

基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)極限值等于函數(shù)值.c?c 常函數(shù) y?c limx

指數(shù)函數(shù) y?ax?a?0,a?1?

a?1 limax??? limax?0；0?a?1 limax?0 limax??? x???x???x???x???對數(shù)函數(shù) y?logax?a?0,a?1?

logax???；0?a?1limlogax???，limlogax??? a?1limlogax???，lim??x???x?0x???x?0

三角函數(shù)

y?tanx lim

?x??k???2?????tanx??? lim?x??k???2?????tanx???

y?cotx lim?cotx??? lim?cotx??? x??k??x??k??

反三角函數(shù)

x???limarctanx??2arctanx??；limarccotx?0 limarccotx??xlimx???x??????2?

冪函數(shù) y?x?

x2??定義域為R,例如y?x2，limx??

1/21/21/2limx???limx?0（定義域內(nèi)的點）0,??定義域為?，例如，y?x??x???x?0?

x?1?0，limx?1?? 定義域為???,0???0,???，例如y?x?1，limx??x?0

x?1/2?0，limx?1/2??? 定義域為?0,???，例如y?x?1/2，xlim???x?0?

注：不管?的取值，定義域都包括?0,???

???0，limx????，lim?x??0；??0，limx??0，limx??? ?x???x?0x???x?0

第五篇：高一數(shù)學必修一基本初等函數(shù)教案

狀元坊專用

基本初等函數(shù)

一．【要點精講】 1．指數(shù)與對數(shù)運算（1）根式的概念：

①定義：若一個數(shù)的n次方等于a(n?1,且n?N?)，則這個數(shù)稱a的n次方根。即若xn?a，則x稱a的n次方根n?1且n?N?)，1）當n為奇數(shù)時，a的n次方根記作na；

2）當n為偶數(shù)時，負數(shù)a沒有n次方根，而正數(shù)a有兩個n次方根且互為相反數(shù)，記作?na(a?0)

②性質(zhì)：1）(na)n?a；2）當n為奇數(shù)時，na?a； 3）當n為偶數(shù)時，na?|a|??（2）．冪的有關(guān)概念

①規(guī)定：1）an?a?a???a(n?N；2）a0?1(a?0)；

*

n?a(a?0)。

??a(a?0)n個 3）a?p1?p(p?Q，4）an?nam(a?0,m、n?N* 且n?1)arsr?srsr?s；2）(a)?a(a?0,r、s? Q）；(a?0,r、s?Q）

m②性質(zhì)：1）a?a?arrr3）(a?b)?a?b(a?0,b?0,r? Q）。（注）上述性質(zhì)對r、s?R均適用。（3）．對數(shù)的概念

b①定義：如果a(a?0,且a?1)的b次冪等于N，就是a?N，那么數(shù)b稱以a為底N的對數(shù)，記作logaN?b,其中a稱對數(shù)的底，N稱真數(shù)

1）以10為底的對數(shù)稱常用對數(shù)，log10N記作lgN；

2）以無理數(shù)e(e?2.71828?)為底的對數(shù)稱自然對數(shù)，logeN，記作lnN； ②基本性質(zhì)：

1）真數(shù)N為正數(shù)（負數(shù)和零無對數(shù)）；2）loga1?0； 3）logaa?1；4）對數(shù)恒等式：alogaN?N。

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③運算性質(zhì)：如果a?0,a?0,M?0,N?0,則1）loga(MN)?logaM?logaN； 2）logaM?logaM?logaN；3）logaMn?nlogaM(n?R）N④換底公式：logaN?logmN(a?0,a?0,m?0,m?1,N?0)，logmanlogab。mn1）logab?logba?1；2）logamb?2．指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（1）指數(shù)函數(shù)：

①定義：函數(shù)y?ax(a?0,且a?1)稱指數(shù)函數(shù)，1）函數(shù)的定義域為R；2）函數(shù)的值域為(0,??)；

3）當0?a?1時函數(shù)為減函數(shù)，當a?1時函數(shù)為增函數(shù)。②函數(shù)圖像：自己作圖，注意兩種情況。1）指數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過點（0，1），且圖象都在第一、二象限；

2）指數(shù)函數(shù)都以x軸為漸近線（當0?a?1時，圖象向左無限接近x軸，當a?1時，圖象向右無限接近x軸）；

3）對于相同的a(a?0,且a?1)，函數(shù)y?ax與y?a?x的圖象關(guān)于y軸對稱 ③函數(shù)值的變化特征：看圖像可得。自己總結(jié)。

（2）對數(shù)函數(shù)：

①定義：函數(shù)y?logax(a?0,且a?1)稱對數(shù)函數(shù)，1）函數(shù)的定義域為(0,??)；2）函數(shù)的值域為R；

3）當0?a?1時函數(shù)為減函數(shù)，當a?1時函數(shù)為增函數(shù)；

4）對數(shù)函數(shù)y?logax與指數(shù)函數(shù)y?a(a?0,且a?1)互為反函數(shù) ②函數(shù)圖像：自己作圖，注意兩種情況。1）對數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過點（0，1），且圖象都在第一、四象限；

2）對數(shù)函數(shù)都以y軸為漸近線（當0?a?1時，圖象向上無限接近y軸；當a?1時，圖象向下無限接近y軸）；

4）對于相同的a(a?0,且a?1)，函數(shù)y?logax與y?log1x的圖象關(guān)于x軸對稱。

ax③函數(shù)值的變化特征：看圖像可得。自己總結(jié)。（3）冪函數(shù)

1）掌握5個冪函數(shù)的圖像特點。指數(shù)分別為-1，1，1,2,3.22）a>0時，冪函數(shù)在第一象限內(nèi)恒為增函數(shù)，a<0時在第一象限恒為減函數(shù)

3）過定點（1，1）當冪函數(shù)為偶函數(shù)過（-1,1）,當冪函數(shù)為奇函數(shù)時過（-1，-1）

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當a>0時過（0，0）。4）冪函數(shù)一定不經(jīng)過第四象限 四．【典例解析】 題型1：指數(shù)運算

??3?4例1．（1）計算：[(3)3(5)0.5?(0.008)3?(0.02)2?(0.32)2]?0.06250.25；

892211解：；2。912?12例2．（1）已知x?x21.x?x○?3，求○

?1x2?x?2?2x?x32?32的值 7,3

?3題型2：對數(shù)及冪運算

（2）冪函數(shù)y?f(x)的圖象經(jīng)過點(?2,?1)，則滿足f(x)＝27的x的值是.81答案 3例3．計算

（1）(lg2)?lg2?lg50?lg25； 解： 2；

題型3：指數(shù)、對數(shù)方程 2?2x?b例4．已知定義域為R的函數(shù)f(x)?x?1是奇函數(shù).2?a（1）求a,b的值；

（2）若對任意的t?R，不等式f(t2?2t)?f(2t2?k)?0恒成立，求k的取值范圍.題型4：指數(shù)函數(shù)的概念與性質(zhì)

x?1??2e,x＜2，則f(f(2))的值為（）例5．設(shè)f(x)??2??log3(x?1)，x?2.題型5：指數(shù)函數(shù)的圖像與應(yīng)用

|1?x|?m的圖象與x軸有公共點，則m的取值范圍是（）例6．若函數(shù)y?()。12題型6：對數(shù)函數(shù)的概念與性質(zhì) 例7．（1）函數(shù)y?log2x?2的定義域是（）

yo1例8．當a>1時，函數(shù)y=logax和y=(1－a)x的圖象只可能是()yo1yxAyo1xBxCo1xD

狀元坊專用

【思維總結(jié)】

1．nN?a,a?N,logaN?b（其中N?0,a?0,a?1）是同一數(shù)量關(guān)系的三種不同表示形式，因此在許多問題中需要熟練進行它們之間的相互轉(zhuǎn)化，選擇最好的形式進行運算.在運算中，根式常?；癁橹笖?shù)式比較方便，而對數(shù)式一般應(yīng)化為同應(yīng)化為同底；

2．要熟練運用初中學習的多項式各種乘法公式；進行數(shù)式運算的難點是運用各種變換技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆項、添項、換元等等，這些都是經(jīng)常使用的變換技巧，必須通過各種題型的訓(xùn)練逐漸積累經(jīng)驗；

3．解決含指數(shù)式或?qū)?shù)式的各種問題，要熟練運用指數(shù)、對數(shù)運算法則及運算性質(zhì)，更關(guān)鍵是熟練運用指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，其中單調(diào)性是使用率比較高的知識；

4．指數(shù)、對數(shù)函數(shù)值的變化特點是解決含指數(shù)、對數(shù)式的問題時使用頻繁的關(guān)鍵知識，要達到滾瓜爛熟，運用自如的水平，在使用時常常還要結(jié)合指數(shù)、對數(shù)的特殊值共同分析；

5．含有參數(shù)的指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的討論問題是重點題型，解決這類問題的最基本的分類方案是以“底”大于1或小于1分類；

6．在學習中含有指數(shù)、對數(shù)的復(fù)合函數(shù)問題大多數(shù)都是以綜合形式出現(xiàn)，如與其它函數(shù)（特別是二次函數(shù)）形成的復(fù)合函數(shù)問題，與方程、不等式、數(shù)列等內(nèi)容形成的各類綜合問題等等，因此要努力提高綜合能力

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