決勝2021中考數(shù)學(xué)壓軸題全揭秘精品

專(zhuān)題16二次函數(shù)的存在性問(wèn)題

【考點(diǎn)1】二次函數(shù)與相似三角形問(wèn)題

【例1】（2020·湖北隨州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，其圖象與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

（1）直接寫(xiě)出拋物線(xiàn)的解析式和的度數(shù)；

（2）動(dòng)點(diǎn)，同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)以每秒3個(gè)單位的速度在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)以每秒個(gè)單位的速度在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，連接，再將線(xiàn)段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，若點(diǎn)恰好落在拋物線(xiàn)上，求的值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，設(shè)為拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，為軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)，為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)．（每寫(xiě)出一組正確的結(jié)果得1分，至多得4分）

【答案】（1），；（2）t=，D點(diǎn)坐標(biāo)為；

（3）；；；

；；

；；；

；；

．

【分析】

（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸以及點(diǎn)B坐標(biāo)可求出拋物線(xiàn)表達(dá)式；

（2）過(guò)點(diǎn)N作于E，過(guò)點(diǎn)D作于F，證明，得到，從而得到點(diǎn)D坐標(biāo)，代入拋物線(xiàn)表達(dá)式，求出t值即可；

（3）設(shè)點(diǎn)P（m，），當(dāng)點(diǎn)P在y軸右側(cè)，點(diǎn)Q在y軸正半軸，過(guò)點(diǎn)P作PR⊥y軸于點(diǎn)R，過(guò)點(diǎn)D作DS⊥x軸于點(diǎn)S，根據(jù)△CPQ∽△MDB，得到，從而求出m值，再證明△CPQ∽△MDB，求出CQ長(zhǎng)度，從而得到點(diǎn)Q坐標(biāo)，同理可求出其余點(diǎn)P和點(diǎn)Q坐標(biāo).【詳解】

解：（1）∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，∴，則b=-3a，∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（4，0），∴16a+4b+1=0，將b=-3a代入，解得：a=，b=，拋物線(xiàn)的解析式為：，令y=0，解得：x=4或-1，令x=0，則y=1，∴A（-1，0），C（0，1），∴tan∠CAO=,∴；

（2）由（1）易知，過(guò)點(diǎn)N作于E，過(guò)點(diǎn)D作于F，∵∠DMN=90°，∴∠NME+∠DMF=90°，又∠NME+∠ENM=90°，∴∠DMF=∠ENM，，（AAS），由題意得：，，，，又，故可解得：t=或0（舍），經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)t=時(shí)，點(diǎn)均未到達(dá)終點(diǎn)，符合題意，此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為；

（3）由（2）可知：D，t=時(shí)，M（，0），B（4，0），C（0，1），設(shè)點(diǎn)P（m，），如圖，當(dāng)點(diǎn)P在y軸右側(cè)，點(diǎn)Q在y軸正半軸，過(guò)點(diǎn)P作PR⊥y軸于點(diǎn)R，過(guò)點(diǎn)D作DS⊥x軸于點(diǎn)S，則PR=m，DS=，若△CPQ∽△MDB，∴，則，解得：m=0（舍）或1或5（舍），故點(diǎn)P的坐標(biāo)為：，∵△CPQ∽△MDB，∴，當(dāng)點(diǎn)P時(shí)，解得：CQ=，∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（0，），；

同理可得：點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：

；；

；；

；；；；；；.【點(diǎn)睛】

本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，二次函數(shù)表達(dá)式，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，難度較大，計(jì)算量較大，解題時(shí)注意結(jié)合函數(shù)圖像，找出符合條件的情形.【變式1-1】（2019·湖南婁底·中考真題）如圖，拋物線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且過(guò)點(diǎn)．點(diǎn)P、Q是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)．

(1)求拋物線(xiàn)的解析式；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)OD下方時(shí)，求面積的最大值．

(3)直線(xiàn)OQ與線(xiàn)段BC相交于點(diǎn)E，當(dāng)與相似時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

【答案】(1)拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：；(2)有最大值，當(dāng)時(shí)，其最大值為；(3)

或或或．

【分析】

（1）函數(shù)的表達(dá)式為：y=a（x+1）（x-3），將點(diǎn)D坐標(biāo)代入上式，即可求解；

（2）設(shè)點(diǎn)，求出，根據(jù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；

（3）分∠ACB=∠BOQ、∠BAC=∠BOQ，兩種情況分別求解，通過(guò)角的關(guān)系，確定直線(xiàn)OQ傾斜角，進(jìn)而求解．

【詳解】

解：(1)函數(shù)的表達(dá)式為：，將點(diǎn)D坐標(biāo)代入上式并解得：，故拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：…①；

(2)設(shè)直線(xiàn)PD與y軸交于點(diǎn)G，設(shè)點(diǎn)，將點(diǎn)P、D的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：并解得，直線(xiàn)PD的表達(dá)式為：，則，∵，故有最大值，當(dāng)時(shí)，其最大值為；

(3)∵，∴，∵，故與相似時(shí)，分為兩種情況：

①當(dāng)時(shí)，，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC與點(diǎn)H，解得：，∴CH＝

則，則直線(xiàn)OQ的表達(dá)式為：…②，聯(lián)立①②并解得：，故點(diǎn)或；

②時(shí)，則直線(xiàn)OQ的表達(dá)式為：…③，聯(lián)立①③并解得：，故點(diǎn)或；

綜上，點(diǎn)或或或．

【點(diǎn)睛】

本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面積的計(jì)算等，其中（3），要注意分類(lèi)求解，避免遺漏．

【變式1-2】（2019·遼寧盤(pán)錦·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)C（0，4），交x軸正半軸于點(diǎn)B，連接AC，點(diǎn)E是線(xiàn)段OB上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O，B重合），以O(shè)E為邊在x軸上方作正方形OEFG，連接FB，將線(xiàn)段FB繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線(xiàn)段FP，過(guò)點(diǎn)P作PH∥y軸，PH交拋物線(xiàn)于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)E（a，0）．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式．

（2）若△AOC與△FEB相似，求a的值．

（3）當(dāng)PH＝2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）a＝或；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）或（1，4）或（，4）．

【詳解】

（1）點(diǎn)C（0，4），則c＝4，二次函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣x2+bx+4，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式得：0＝﹣1﹣b+4，解得：b＝3，故拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y＝﹣x2+3x+4；

（2）tan∠ACO＝＝，△AOC與△FEB相似，則∠FBE＝∠ACO或∠CAO，即：tan∠FEB＝或4，∵四邊形OEFG為正方形，則FE＝OE＝a，EB＝4﹣a，則或，解得：a＝或；

（3）令y＝﹣x2+3x+4＝0，解得：x＝4或﹣1，故點(diǎn)B（4，0）；

分別延長(zhǎng)CF、HP交于點(diǎn)N，∵∠PFN+∠BFN＝90°，∠FPN+∠PFN＝90°，∴∠FPN＝∠NFB，∵GN∥x軸，∴∠FPN＝∠NFB＝∠FBE，∵∠PNF＝∠BEF＝90°，F(xiàn)P＝FB，∴△PNF≌△BEF（AAS），∴FN＝FE＝a，PN＝EB＝4﹣a，∴點(diǎn)P（2a，4），點(diǎn)H（2a，﹣4a2+6a+4），∵PH＝2，即：﹣4a2+6a+4﹣4＝|2|，解得：a＝1或或或（舍去），故：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）或（1，4）或（，4）．

【點(diǎn)睛】

本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，其中（2）、（3），要注意分類(lèi)求解，避免遺漏．

【考點(diǎn)2】二次函數(shù)與直角三角形問(wèn)題

【例2】（2020·湖北咸寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)B且與直線(xiàn)相交于另一點(diǎn)．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)在x軸的正半軸上，點(diǎn)是y軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足．

①求m與n之間的函數(shù)關(guān)系式；

②當(dāng)m在什么范圍時(shí)，符合條件的N點(diǎn)的個(gè)數(shù)有2個(gè)？

【答案】（1）；（2）或（3，）或（-2，-3）；（3）①；②0＜m＜

【分析】

（1）利用一次函數(shù)求出A和B的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)C坐標(biāo)，求出二次函數(shù)表達(dá)式；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，AP與y軸交于點(diǎn)Q，求出AQ表達(dá)式，聯(lián)立二次函數(shù)，可得交點(diǎn)坐標(biāo)，即為點(diǎn)P；

（3）①過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，證明△MNO∽△NCD，可得，整理可得結(jié)果；

②作以MC為直徑的圓E，根據(jù)圓E與線(xiàn)段OD的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)判斷M的位置，即可得到m的取值范圍.【詳解】

解：（1）∵直線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，令x=0，則y=2，令y=0，則x=4，∴A（4，0），B（0，2），∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)B（0，2），∴，解得：，∴拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，滿(mǎn)足，∵，∴，當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，如圖，AP與y軸交于點(diǎn)Q，∵，∴B，Q關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，∴Q（0，-2），又A（4，0），設(shè)直線(xiàn)AQ的表達(dá)式為y=px+q，代入，解得：，∴直線(xiàn)AQ的表達(dá)式為：，聯(lián)立得：，解得：x=3或-2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，）或（-2，-3），綜上，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：或（3，）或（-2，-3）；

（3）①如圖，∠MNC=90°，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，∴∠MNO+∠CND=90°，∵∠OMN+∠MNO=90°，∴∠CND=∠OMN,又∠MON=∠CDN=90°，∴△MNO∽△NCD，∴，即，整理得：；

②如圖，∵∠MNC=90°，以MC為直徑畫(huà)圓E，∵，∴點(diǎn)N在線(xiàn)段OD上（不含O和D），即圓E與線(xiàn)段OD有兩個(gè)交點(diǎn)（不含O和D），∵點(diǎn)M在y軸正半軸，當(dāng)圓E與線(xiàn)段OD相切時(shí)，有NE=MC，即NE2=MC2，∵M(jìn)（0，m），∴E（，），∴=，解得：m=，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)O重合時(shí)，如圖，此時(shí)圓E與線(xiàn)段OD（不含O和D）有一個(gè)交點(diǎn)，∴當(dāng)0＜m＜時(shí)，圓E與線(xiàn)段OD有兩個(gè)交點(diǎn)，故m的取值范圍是：0＜m＜.【點(diǎn)睛】

本題是二次函數(shù)綜合，考查了求二次函數(shù)表達(dá)式，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，一次函數(shù)表達(dá)式，難度較大，解題時(shí)要充分理解題意，結(jié)合圖像解決問(wèn)題.【變式2-1】如圖，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A（－3，6），B（5，－4）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AB，AC，BC．

（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；

（2）求證：AB平分；

（3）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)M，使得是以AB為直角邊的直角三角形．若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

【答案】（1）；（2）詳見(jiàn)解析；（3）存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，－9）或（，11）．

【分析】

（1）將A（-3，0），B（5，-4）代入拋物線(xiàn)的解析式得到關(guān)于a、b的方程組，從而可求得a、b的值；

（2）先求得AC的長(zhǎng)，然后取D（2，0），則AD=AC，連接BD，接下來(lái)，證明BC=BD，然后依據(jù)SSS可證明△ABC≌△ABD，接下來(lái)，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到∠CAB=∠BAD；

（3）作拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交x軸與點(diǎn)E，交BC與點(diǎn)F，作點(diǎn)A作AM′⊥AB，作BM⊥AB，分別交拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與M′、M，依據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)可得到tan∠BAE=，從而可得到tan∠M′AE=2或tan∠MBF=2，從而可得到FM和M′E的長(zhǎng)，故此可得到點(diǎn)M′和點(diǎn)M的坐標(biāo)．

【詳解】

解:（1）將A（-3，0），B（5，-4）兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入，得

解得

故拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y＝．

（2）證明：∵AO=3，OC=4，∴AC==5．

取D（2，0），則AD=AC=5．

由兩點(diǎn)間的距離公式可知BD==5．

∵C（0，-4），B（5，-4），∴BC=5．

∴BD=BC．

在△ABC和△ABD中，AD=AC，AB=AB，BD=BC，∴△ABC≌△ABD，∴∠CAB=∠BAD，∴AB平分∠CAO；

（3）存在．如圖所示：拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交x軸與點(diǎn)E，交BC與點(diǎn)F．

拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=，則AE=．

∵A（-3，0），B（5，-4），∴tan∠EAB=．

∵∠M′AB=90°．

∴tan∠M′AE=2．

∴M′E=2AE=11，∴M′（，11）．

同理：tan∠MBF=2．

又∵BF=，∴FM=5，∴M（，-9）．

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，11）或（，-9）．

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，全等三角形的性質(zhì)和判定、銳角三角函數(shù)的定義，求得FM和M′E的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵

【變式2-2】（2019·甘肅蘭州·中考真題）二次函數(shù)的圖象交軸于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿方向運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作軸交直線(xiàn)于點(diǎn)，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，連接.設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒.(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式:

(2)連接，當(dāng)時(shí)，求的面積:

(3)在直線(xiàn)上存在一點(diǎn)，當(dāng)是以為直角的等腰直角三角形時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo);

(4)當(dāng)時(shí)，在直線(xiàn)上存在一點(diǎn)，使得，求點(diǎn)的坐標(biāo)

【答案】（1）（2）2（3）（4）或

【解析】

【分析】

（1）直接將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入列方程組解出即可；

（2）根據(jù)題意得出AM,OM,設(shè)的解析式為：，將點(diǎn)代入求出解析式，然后將分別代入和中，得：，再根據(jù)三角形面積公式，即可解答

（3）過(guò)點(diǎn)作軸的平行線(xiàn)，交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線(xiàn)，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)題意得出，根據(jù)，即可解答

（4）當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)在二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸上，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓，交于兩點(diǎn)，得出，再根據(jù)（同弧所對(duì)圓周角），即可解答

【詳解】

（1）將點(diǎn)代入，得：

解得：

所以，二次函數(shù)的表達(dá)方式為：

（2）

又

設(shè)的解析式為：，將點(diǎn)代入，得：

所以，直線(xiàn)的解析式為：.將分別代入和中，得：..（3）假設(shè)過(guò)點(diǎn)作軸的平行線(xiàn)，交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線(xiàn)，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，設(shè)，由題意得：

所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為：

（4）當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)在二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸上，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓，交于兩點(diǎn)

點(diǎn)在該圓上

（同弧所對(duì)圓周角）

或

【點(diǎn)睛】

此題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于將已知點(diǎn)代入解析式

【考點(diǎn)3】二次函數(shù)與等腰三角形問(wèn)題

【例3】（2020·山東濟(jì)南·中考真題）如圖1，拋物線(xiàn)y＝﹣x2＋bx＋c過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0）與y軸交于點(diǎn)C．在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E（m，0）（0m3），過(guò)點(diǎn)E作直線(xiàn)l⊥x軸，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)M．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式及C點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）當(dāng)m＝1時(shí)，D是直線(xiàn)l上的點(diǎn)且在第一象限內(nèi)，若△ACD是以∠DCA為底角的等腰三角形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）如圖2，連接BM并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)N，連接AM，OM，設(shè)△AEM的面積為S1，△MON的面積為S2，若S1＝2S2，求m的值．

【答案】（1）；（2）或；（3）

【分析】

（1）用待定系數(shù)法即可求解；

（2）若△ACD是以∠DCA為底角的等腰三角形，則可以分CD＝AD或AC＝AD兩種情況，分別求解即可；

（3）S1＝AE×yM，2S2＝ON?xM，即可求解．

【詳解】

解：（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)表達(dá)式得，解得，故拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y＝﹣x2＋2x＋3，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，故點(diǎn)C（0，3）；

（2）當(dāng)m＝1時(shí)，點(diǎn)E（1，0），設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，a），由點(diǎn)A、C、D的坐標(biāo)得，AC＝，同理可得：AD＝，CD＝，①當(dāng)CD＝AD時(shí)，即＝，解得a＝1；

②當(dāng)AC＝AD時(shí)，同理可得a＝（舍去負(fù)值）；

故點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，1）或（1，）；

（3）∵E（m，0），則設(shè)點(diǎn)M（m，﹣m2＋2m＋3），設(shè)直線(xiàn)BM的表達(dá)式為y＝sx＋t，則，解得：，故直線(xiàn)BM的表達(dá)式為y＝﹣x＋，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝，故點(diǎn)N（0，），則ON＝；

S1＝AE×yM＝×（m＋1）×（﹣m2＋2m＋3），2S2＝ON?xM＝×m＝S1＝×（m＋1）×（﹣m2＋2m＋3），解得m＝﹣2±（舍去負(fù)值），經(jīng)檢驗(yàn)m＝﹣2是方程的根，故m＝﹣2．

【點(diǎn)睛】

本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、面積的計(jì)算等，其中（2），要注意分類(lèi)求解，避免遺漏．

【變式3-1】（2020·貴州黔東南·中考真題）已知拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4）．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式．

（2）在y軸上找一點(diǎn)E，使得△EAC為等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

（3）點(diǎn)P是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P、Q，使得以點(diǎn)P、Q、B、D為頂點(diǎn)，BD為一邊的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P、Q坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）滿(mǎn)足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，3）、（0，﹣3+）、（0，﹣3﹣）、（0，﹣）；（3）存在，P（﹣1+2，0）、Q（1+2，4）或P（﹣1﹣2，0）、Q（1﹣2，4）．

【分析】

（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出拋物線(xiàn)的解析式，再將點(diǎn)C坐標(biāo)代入求解，即可得出結(jié)論；

（2）先求出點(diǎn)A，C坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)E坐標(biāo)，表示出AE，CE，AC，再分三種情況建立方程求解即可；

（3）利用平移先確定出點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)，代入拋物線(xiàn)解析式求出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．

【詳解】

解：（1）∵拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為（1，﹣4），∴設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣4，將點(diǎn)C（0，﹣3）代入拋物線(xiàn)y＝a（x﹣1）2﹣4中，得a﹣4＝﹣3，∴a＝1，∴拋物線(xiàn)的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；

（2）由（1）知，拋物線(xiàn)的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，則x2﹣2x﹣3＝0，∴x＝﹣1或x＝3，∴B（3，0），A（﹣1，0），令x＝0，則y＝﹣3，∴C（0，﹣3），∴AC＝，設(shè)點(diǎn)E（0，m），則AE＝，CE＝|m+3|，∵△ACE是等腰三角形，∴①當(dāng)AC＝AE時(shí)，＝，∴m＝3或m＝﹣3（點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，舍去），∴E（3，0），②當(dāng)AC＝CE時(shí)，＝|m+3|，∴m＝﹣3±，∴E（0，﹣3+）或（0，﹣3﹣），③當(dāng)AE＝CE時(shí)，＝|m+3|，∴m＝﹣，∴E（0，﹣），即滿(mǎn)足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，3）、（0，﹣3+）、（0，﹣3﹣）、（0，﹣）；

（3）如圖，存在，∵D（1，﹣4），∴將線(xiàn)段BD向上平移4個(gè)單位，再向右（或向左）平移適當(dāng)?shù)木嚯x，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在拋物線(xiàn)上，這樣便存在點(diǎn)Q，此時(shí)點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)就是點(diǎn)P，∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為4，設(shè)Q（t，4），將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)y＝x2﹣2x﹣3中得，t2﹣2t﹣3＝4，∴t＝1+2或t＝1﹣2，∴Q（1+2，4）或（1﹣2，4），分別過(guò)點(diǎn)D，Q作x軸的垂線(xiàn)，垂足分別為F，G，∵拋物線(xiàn)y＝x2﹣2x﹣3與x軸的右邊的交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），且D（1，﹣4），∴FB＝PG＝3﹣1＝2，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為（1+2）﹣2＝﹣1+2或（1﹣2）﹣2＝﹣1﹣2，即P（﹣1+2，0）、Q（1+2，4）或P（﹣1﹣2，0）、Q（1﹣2，4）．

【點(diǎn)睛】

此題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)與幾何綜合，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

【變式3-2】（2019·四川眉山·中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．

(1)求拋物線(xiàn)的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)是拋物線(xiàn)上、之間的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，軸，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，當(dāng)矩形的周長(zhǎng)最大時(shí)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

(3)如圖2，連接、，點(diǎn)在線(xiàn)段上(不與、重合)，作，交線(xiàn)段于點(diǎn)，是否存在這樣點(diǎn)，使得為等腰三角形？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】(1)；；(2)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；(3)AN=1或.【分析】

(1)根據(jù)和點(diǎn)可得拋物線(xiàn)的表達(dá)式為，可知對(duì)稱(chēng)軸為x=-2，代入解析式即可得出頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)設(shè)點(diǎn)，則，可得矩形的周長(zhǎng)，即可求解；(3)由D為頂點(diǎn)，A、B為拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)可得AD=BD，即可證明∠DAB=∠DBA，根據(jù)，利用角的和差關(guān)系可得，即可證明，可得；分、、，三種情況分別求解即可．

【詳解】

(1)∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．

∴拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：，∴對(duì)稱(chēng)軸為：x==-2，把x=-2代入得：y=4，∴頂點(diǎn).(2)設(shè)點(diǎn)，則，矩形的周長(zhǎng)，∵，∴當(dāng)時(shí)，矩形周長(zhǎng)最大，此時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.(3)∵點(diǎn)D為拋物線(xiàn)頂點(diǎn)，A、B為拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)，∴AD=BD，∴∠DAB=∠DBA，∵，，∴，∴，∴，∵D（-2，4），A（-5，0），B（1，0）

∴，①當(dāng)時(shí)，∵∠NAM=∠MBD，∠NMA=∠MBD，∴，∴，∴=AB-AM=1；

②當(dāng)時(shí)，則，∵∠DMN=∠DBA，∴∠NDM=∠DBA，∵∠DAB是公共角，∴，∴，∴，即：，∴，∵，即，∴；

③當(dāng)時(shí)，∵，而，∴，∴；

綜上所述：或．

【點(diǎn)睛】

本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、三角形相似和全等、等腰三角形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，其中(3)，要注意分類(lèi)求解，避免遺漏．

【考點(diǎn)4】二次函數(shù)與平行四邊形問(wèn)題

【例4】（2020·四川綿陽(yáng)·中考真題）如圖，拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A（0，1）和C，頂點(diǎn)為D，直線(xiàn)AC與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸BD的交點(diǎn)為B（，0），平行于y軸的直線(xiàn)EF與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)E，與直線(xiàn)AC交于點(diǎn)F，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為，四邊形BDEF為平行四邊形．

（1）求點(diǎn)F的坐標(biāo)及拋物線(xiàn)的解析式；

（2）若點(diǎn)P為拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，且在直線(xiàn)AC上方，當(dāng)△PAB面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PAB面積的最大值；

（3）在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上取一點(diǎn)Q，同時(shí)在拋物線(xiàn)上取一點(diǎn)R，使以AC為一邊且以A，C，Q，R為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)Q和點(diǎn)R的坐標(biāo)．

【答案】（1）（，﹣）；y＝﹣x2+2x+1

（2）（，）；

（3）Q，R或Q（，﹣10），R（）

【分析】

（1）由待定系數(shù)法求出直線(xiàn)AB的解析式為y＝﹣x+1，求出F點(diǎn)的坐標(biāo)，由平行四邊形的性質(zhì)得出﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），求出a的值，則可得出答案；

（2）設(shè)P（n，﹣n2+2n+1），作PP＇⊥x軸交AC于點(diǎn)P＇，則P＇（n，﹣n+1），得出PP＇＝﹣n2+n，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得出答案；

（3）聯(lián)立直線(xiàn)AC和拋物線(xiàn)解析式求出C（，﹣），設(shè)Q（，m），分兩種情況：①當(dāng)AQ為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，②當(dāng)AR為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，分別求出點(diǎn)Q和R的坐標(biāo)即可．

【詳解】

解：（1）設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），∵A（0，1），B（，0），設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y＝kx+m，∴，解得，∴直線(xiàn)AB的解析式為y＝﹣x+1，∵點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為，∴F點(diǎn)縱坐標(biāo)為﹣+1＝﹣，∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（，﹣），又∵點(diǎn)A在拋物線(xiàn)上，∴c＝1，對(duì)稱(chēng)軸為：x＝﹣，∴b＝﹣2a，∴解析式化為：y＝ax2﹣2ax+1，∵四邊形DBFE為平行四邊形．

∴BD＝EF，∴﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），解得a＝﹣1，∴拋物線(xiàn)的解析式為y＝﹣x2+2x+1；

（2）設(shè)P（n，﹣n2+2n+1），作PP＇⊥x軸交AC于點(diǎn)P＇，則P＇（n，﹣n+1），∴PP＇＝﹣n2+n，S△ABP＝OB?PP＇＝﹣n＝﹣，∴當(dāng)n＝時(shí)，△ABP的面積最大為，此時(shí)P（，）．

（3）∵，∴x＝0或x＝，∴C（，﹣），設(shè)Q（，m），①當(dāng)AQ為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，∴R（﹣），∵R在拋物線(xiàn)y＝+4上，∴m+＝﹣+4，解得m＝﹣，∴Q，R；

②當(dāng)AR為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，∴R（），∵R在拋物線(xiàn)y＝+4上，∴m﹣+4，解得m＝﹣10，∴Q（，﹣10），R（）．

綜上所述，Q，R；或Q（，﹣10），R（）．

【點(diǎn)睛】

本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及方程思想，分類(lèi)討論思想是解題的關(guān)鍵．

【變式4-1】（2020·前郭爾羅斯蒙古族自治縣哈拉毛都鎮(zhèn)蒙古族中學(xué)初三期中）如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．點(diǎn)是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，軸，交直線(xiàn)于點(diǎn)M，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)N．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）①若點(diǎn)P僅在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，如圖1．求線(xiàn)段的最大值；

②若點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，則在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使以M，N，C，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形．若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）；（2）①，②存在，【分析】

（1）把代入中求出b，c的值即可；

（2）①由點(diǎn)得，從而得，整理，化為頂點(diǎn)式即可得到結(jié)論；

②分MN=MC和兩種情況，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到關(guān)于m的方程，求解即可．

【詳解】

解：（1）把代入中，得

解得

∴．

（2）設(shè)直線(xiàn)的表達(dá)式為，把代入．

得，解這個(gè)方程組，得

∴．

∵點(diǎn)是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，且軸．

∴．

∴

．

∵，∴此函數(shù)有最大值．

又∵點(diǎn)P在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，且

∴當(dāng)時(shí)，有最大值．

②∵點(diǎn)是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，且軸．

∴．

∴

（i）當(dāng)以M，N，C，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則有MN=MC，如圖，∵C（0，-3）

∴MC=

∴

整理得，∵，∴，解得，∴當(dāng)時(shí)，CQ=MN=，∴OQ=-3-()=

∴Q(0，)；

當(dāng)m=時(shí)，CQ=MN=-，∴OQ=-3-(-)=

∴Q(0，)；

(ii)若，如圖，則有

整理得，∵，∴，解得，當(dāng)m=-1時(shí)，MN=CQ=2，∴Q（0，-1），當(dāng)m=-5時(shí)，MN=-10＜0（不符合實(shí)際，舍去）

綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是待定系數(shù)法；解（2）的關(guān)鍵是利用線(xiàn)段的和差得出二次函數(shù)，又利用了二次函數(shù)的性質(zhì)，解（3）的關(guān)鍵是利用菱形的性質(zhì)得出關(guān)于m的方程，要分類(lèi)討論，以防遺漏．

【變式4-2】（2020·重慶中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)與直線(xiàn)AB相交于A，B兩點(diǎn)，其中，．

（1）求該拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P為直線(xiàn)AB下方拋物線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，連接PA，PB，求面積的最大值；

（3）將該拋物線(xiàn)向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線(xiàn)，平移后的拋物線(xiàn)與原拋物線(xiàn)相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為原拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)E，使以點(diǎn)B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）；（2）面積最大值為；（3）存在，【分析】

（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)表達(dá)式，即可求解；

（2）設(shè)，求得解析式，過(guò)點(diǎn)P作x軸得垂線(xiàn)與直線(xiàn)AB交于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)，則，即可求解；

（3）分BC為菱形的邊、菱形的的對(duì)角線(xiàn)兩種情況，分別求解即可．

【詳解】

解：（1）∵拋物線(xiàn)過(guò)，∴

∴

∴

（2）設(shè)，將點(diǎn)代入

∴

過(guò)點(diǎn)P作x軸得垂線(xiàn)與直線(xiàn)AB交于點(diǎn)F

設(shè)點(diǎn)，則

由鉛垂定理可得

∴面積最大值為

（3）（3）拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y＝x2＋4x?1＝（x＋2）2?5，則平移后的拋物線(xiàn)表達(dá)式為：y＝x2?5，聯(lián)立上述兩式并解得：，故點(diǎn)C（?1，?4）；

設(shè)點(diǎn)D（?2，m）、點(diǎn)E（s，t），而點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為（0，?1）、（?1，?4）；

①當(dāng)BC為菱形的邊時(shí)，點(diǎn)C向右平移1個(gè)單位向上平移3個(gè)單位得到B，同樣D（E）向右平移1個(gè)單位向上平移3個(gè)單位得到E（D），即?2＋1＝s且m＋3＝t①或?2?1＝s且m?3＝t②，當(dāng)點(diǎn)D在E的下方時(shí)，則BE＝BC，即s2＋（t＋1）2＝12＋32③，當(dāng)點(diǎn)D在E的上方時(shí)，則BD＝BC，即22＋（m＋1）2＝12＋32④，聯(lián)立①③并解得：s＝?1，t＝2或?4（舍去?4），故點(diǎn)E（?1，2）；

聯(lián)立②④并解得：s＝-3，t＝-4±，故點(diǎn)E（-3，-4＋）或（-3，-4?）；

②當(dāng)BC為菱形的的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，則由中點(diǎn)公式得：?1＝s?2且?4?1＝m＋t⑤，此時(shí)，BD＝BE，即22＋（m＋1）2＝s2＋（t＋1）2⑥，聯(lián)立⑤⑥并解得：s＝1，t＝?3，故點(diǎn)E（1，?3），綜上，點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（?1，2）或或或（1，?3）．

∴存在，【點(diǎn)睛】

本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、圖形的平移、面積的計(jì)算等，其中（3），要注意分類(lèi)求解，避免遺漏．

一、單選題

1．如圖，已知?jiǎng)狱c(diǎn)A，B分別在x軸，y軸正半軸上，動(dòng)點(diǎn)P在反比例函數(shù)（x＞0）圖象上，PA⊥x軸，△PAB是以PA為底邊的等腰三角形．當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)逐漸增大時(shí)，△PAB的面積將會(huì)（）

A．越來(lái)越小

B．越來(lái)越大

C．不變

D．先變大后變小

【答案】C

【解析】

【分析】

設(shè)點(diǎn)P（x，），作BC⊥PA可得BC=OA=x，根據(jù)S△PAB=PA?BC=??x=3可得答案．

【詳解】

如圖，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥PA于點(diǎn)C，則BC=OA，設(shè)點(diǎn)P（x，），則S△PAB=PA?BC==3，當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)逐漸增大時(shí)，△PAB的面積將會(huì)不變，始終等于3，故選C．

2．已知直線(xiàn)y＝n與二次函數(shù)y＝（x﹣2）2﹣1的圖象交于點(diǎn)B，點(diǎn)C，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為A，當(dāng)△ABC是等腰直角三角形時(shí)，則n的值為（）

A．1

B．

C．2﹣

D．2+

【答案】A

【解析】

【分析】

設(shè)B（x1，n）、C（x2，n）．因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形，作AD⊥BC，所以AD＝BC，即BC＝2AD，AD＝n﹣（﹣1）＝n+1，即：BC＝|x1-x2|＝＝＝，所以＝2（n+1），容易求出n＝1．

【詳解】

設(shè)B（x1，n）、C（x2，n），作AD⊥BC，垂足為D連接AB，AC，∵y＝（x﹣2）2﹣1，∴頂點(diǎn)A（2，﹣1），AD＝n﹣（﹣1）＝n+1

∵直線(xiàn)y＝n與二次函數(shù)y＝（x﹣2）2﹣1的圖象交于點(diǎn)B、C，∴（x﹣2）2﹣1＝n，化簡(jiǎn)，得x2﹣4x+2﹣2n＝0，x1+x2＝4，x1x2＝2﹣2n，∴BC＝|x1﹣x2|＝＝＝，∵點(diǎn)B、C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)AD對(duì)稱(chēng)，∴D為線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AD＝BC，即BC＝2AD

＝2（n+1），∴（2+2n）＝（n+1）2，化簡(jiǎn)，得n2＝1，∴n＝1或﹣1，n＝﹣1時(shí)直線(xiàn)y＝n經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，不符合題意舍去，所以n＝1．

故選A．

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)以及根與系數(shù)的關(guān)系，正確理解二次函數(shù)的圖象性質(zhì)和根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

3．二次函數(shù)的函數(shù)圖象如圖，點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在二次函數(shù)位于第一象限的圖象上，，…都是直角頂點(diǎn)在拋物線(xiàn)上的等腰直角三角形，則的斜邊長(zhǎng)為()

A．20

B．

C．22

D．

【答案】C

【分析】

由于，，…，都是等腰直角三角形，因此可得出直線(xiàn)

:，求出，的坐標(biāo)，得出的長(zhǎng)；

利用的坐標(biāo)，得直線(xiàn)：，求出,坐標(biāo)，得出的長(zhǎng)；用同樣的的方法可求得，…的邊長(zhǎng)，然后根據(jù)各邊長(zhǎng)的的特點(diǎn)得出一般化規(guī)律，求得的長(zhǎng)．

【詳解】

解：

等腰直角三角形，為原點(diǎn)；

直線(xiàn)：，的坐標(biāo)為（1，1），則

為（0，2）

=2

為（0，2），直線(xiàn)

:

（2，4），=4，則（0，6）

（0，6），直線(xiàn)

:

（3，9），=6，由上面A0A1=2，A1A2=4，A2A3=6，可以看出這些直角頂點(diǎn)在拋物線(xiàn)上的等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)依次加2

∴△A10B11A11的斜邊長(zhǎng)為2+10×2=22，綜上，由此可以推出=22．

故選C．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，解題時(shí)，利用了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，函數(shù)的交點(diǎn)，等腰直角三角形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解答此題的難點(diǎn)是推知的長(zhǎng)．

4．已知拋物線(xiàn)y=﹣x2+1的頂點(diǎn)為P，點(diǎn)A是第一象限內(nèi)該二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線(xiàn)交二次函數(shù)圖象于點(diǎn)B，分別過(guò)點(diǎn)B、A作x軸的垂線(xiàn)，垂足分別為C、D，連結(jié)PA、PD，PD交AB于點(diǎn)E，△PAD與△PEA相似嗎？（）

A．始終不相似

B．始終相似

C．只有AB=AD時(shí)相似

D．無(wú)法確定

【答案】B

【解析】

試題分析：設(shè)A（x，-x2+1）根據(jù)題意可求出PA、PD、PE的值，從而得出，又∠APE=∠DPA，因此，△PAD∽△PEA.故選B.考點(diǎn):

二次函數(shù)綜合題.5．二次函數(shù)y=﹣x2+1的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）.A．點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，1）

B．線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為2

C．△ABC是等腰直角三角形

D．當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x增大而增大

【答案】D

【解析】1、回想二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的特征，自己試著求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

2、結(jié)合A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)可得OA=OB=OC，根據(jù)兩軸互相垂直的性質(zhì)，利用勾股定理求出AB、AC、BC，至此判斷選項(xiàng)A、B、C的正誤；

3、找出二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸，根據(jù)開(kāi)口方向判斷選項(xiàng)D的正誤.本題解析:

根據(jù)題意可知：當(dāng)x=0時(shí)，y=1

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1）

故選A正確；

當(dāng)y=0時(shí)，x=

-1或x=1

∴AB=2

故選項(xiàng)B正確

∵OA=1，OB=1，OC=1

∴AC==

BC=

=

∴AC2+BC2=AB2

∴△ABC是等腰直角三角形

故選項(xiàng)C正確；

由y=

-x2+1可知：a=

-1＜0，對(duì)稱(chēng)軸為x=0

∴當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x增大而減小

故選項(xiàng)D錯(cuò)誤

故選D

二、填空題

6．如圖，直線(xiàn)與二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)B、點(diǎn)C，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為A，當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)，則______．

【答案】1

【解析】

【分析】

作拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，交BC于D，根據(jù)拋物線(xiàn)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)得出B（n+3，n），代入解析式求得即可．

【詳解】

作拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，交BC于D，∵直線(xiàn)y=n與二次函數(shù)y=（x-2）2-1的圖象交于點(diǎn)B、點(diǎn)C，∴BC∥x軸，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB=90°，AC=BC，∵直線(xiàn)CD是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，∴AD⊥BC，∠CAD=∠BAD=45°，∴△ADB是等腰直角三角形，∴AD=BD，∵拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為（2，-1），∴AD=n+1，∴B（n+3，n），把B的坐標(biāo)代入y=（x-2）2-1得，n=（n+3-2）2-1，解得n=1，故答案為1．

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線(xiàn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求得B點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．

7．已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)，且△ABC是直角三角形，請(qǐng)寫(xiě)出符合要求的一個(gè)二次函數(shù)解析式：___________________

【答案】y=-x2+1(答案不唯一)

【解析】

【分析】

可以在y軸取一點(diǎn)，x軸上取兩點(diǎn)讓它們能組成直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，再利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可．

【詳解】

根據(jù)如果三角形一邊上的中線(xiàn)等于這邊的一半，那么這個(gè)是直角三角形，所以可以取C（0，1），A（-1，0），B（1，0）三點(diǎn)，設(shè)拋物線(xiàn)的表達(dá)式是y=ax2+1，拋物線(xiàn)過(guò)（1，0），所以a+1=0，a=-1．

拋物線(xiàn)是：y=-x2+1．

故答案為：y=-x2+1(答案不唯一)

【點(diǎn)睛】

本題是開(kāi)放性題目，答案不唯一，考查了利用待定系數(shù)法求拋物線(xiàn)的表達(dá)式．

8．已知點(diǎn)P為二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3圖象上一點(diǎn)，設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的右側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)，若△APC為直角三角形且AC為直角邊，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的值為_(kāi)____．

【答案】﹣1或﹣2

【分析】

分∠ACP為直角、∠PAC為直角兩種情況，利用直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)求解即可．

【詳解】

解：對(duì)于y＝x2﹣2x﹣3①，令y＝0，則x＝3或﹣1，令x＝0，則y＝﹣3，故點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為：（3，0）、（﹣1，0）、（0，﹣3）．

①當(dāng)∠ACP為直角時(shí)，如下圖，由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)知，OA＝OC＝3，即直線(xiàn)AC的與x軸負(fù)半軸的夾角為45°，而∠ACP為直角，故直線(xiàn)PC的傾斜角為45°，故設(shè)直線(xiàn)PC的表達(dá)式為：y＝﹣x+b，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入上式并解得：b＝﹣3，故直線(xiàn)PC的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣3②，聯(lián)立①②并解得：x＝0或﹣1（舍去0），故點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（﹣1，0）；

②當(dāng)∠PAC為直角時(shí)，同理可得：點(diǎn)P（﹣2，5）；

故答案為：﹣1或﹣2．

【點(diǎn)睛】

本題考查的是拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)，解題的關(guān)鍵利用分類(lèi)討論的思想求解，避免遺漏．

9．二次函數(shù)y＝2x2+4x+m與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，若△ABC為直角三角形，則m＝_____．

【答案】﹣．

【解析】

【分析】

根據(jù)題意和勾股定理，可以求得m的值，本題得以解決．

【詳解】

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x2，0），點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，∵點(diǎn)C（0，m），二次函數(shù)y=2x2+4x+m=2（x+1）2+m-2，∴點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸，x1x2=，∴m＜0，∵△ABC為直角三角形，∴(x2?x1)2＝(x22+m2)+(x12+m2)，解得，m=-，故答案為：-．

【點(diǎn)睛】

本題考查勾股定理、拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和勾股定理解答．

10．如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a＞0）圖象的頂點(diǎn)為D，其圖象與x軸的交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為﹣1，3．與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，當(dāng)a=時(shí)，△ABD是_______三角形；要使△ACB為等腰三角形，則a值為_(kāi)_____

【答案】等腰直角

或

【解析】

解：如圖1，∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a＞0）圖象與x軸的交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為﹣1，3，a=，∴二次函數(shù)為y=（x+1）（x﹣3），整理得y=x2﹣x﹣，∴y=（x﹣1）2﹣2，∴頂點(diǎn)D（1，﹣2），作DE⊥AB于E，∴DE=2，DE垂直平分AB，∵AB=3+1=4，∴AE=DE=BE，∴∠DAB=∠ADE，∠ABD=∠BDE，∵AD=BD，∴∠DAB=∠DBA，∴∠DAB=∠ADE=∠ABD=∠BDE，∴∠ADB=∠DAB+∠CBA=90°，∴△ABD是等腰直角三角形；

（2）要使△ACB為等腰三角形，則必須保證AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，當(dāng)AB=BC=4時(shí)，∵AO=1，△BOC為直角三角形，又∵OC的長(zhǎng)即為|c|，∴c2=16﹣9=7，∵由拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，∴c=﹣，與2a+b=0、a﹣b+c=0聯(lián)立組成解方程組，解得a=；

同理當(dāng)AB=AC=4時(shí)，∵AO=1，△AOC為直角三角形，又∵OC的長(zhǎng)即為|c|，∴c2=16﹣1=15，∵由拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，∴c=﹣與2a+b=0、a﹣b+c=0聯(lián)立組成解方程組，解得a=；

同理當(dāng)AC=BC時(shí)

在△AOC中，AC2=1+c2，在△BOC中BC2=c2+9，∵AC=BC，∴1+c2=c2+9，此方程無(wú)解．

綜上，要使△ACB為等腰三角形，則a值為或；

故答案為：等腰直角，或．

點(diǎn)睛：本題考查了拋物線(xiàn)和x軸的交點(diǎn)，拋物線(xiàn)的解析式，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸以及頂點(diǎn)坐標(biāo)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

11．二次函數(shù)y=一x2+ax+b圖象與軸交于,兩點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn).（1）則的形狀為；

（2）在此拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn),使得以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是梯形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為

.【答案】

【解析】

試題分析：（1）∵二次函數(shù)y＝-x2+ax+b的圖象經(jīng)過(guò)、B（2，0）兩點(diǎn)，利用待定系數(shù)法就可以直接求出a、b的值，求出拋物線(xiàn)的解析式．

（2）在（1）題已將證得∠ACB＝90°，若A、C、B、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形，則有兩種情況需要考慮：

①以BC、AP為底，AC為高；可先求出直線(xiàn)BC的解析式，進(jìn)而可確定直線(xiàn)AP的解析式，聯(lián)立拋物線(xiàn)的解析式即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

②以AC、BP為底，BC為高；方法同①．

解：（1））∵二次函數(shù)y＝-x2+ax+b的圖象經(jīng)過(guò)、B（2，0）兩點(diǎn)，由題意，得，解得：，∴拋物線(xiàn)的解析式為：

∴C（0，1），∴，CB2＝BO2+CO2＝5，∴AC2+CB2＝AB2，∴△ACB是直角三角形；

（2）存在，點(diǎn)或；

若以A、C、B、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角梯形以BC、AP為底；

∵B（2，0），C（0，1），∴直線(xiàn)BC的解析式為：；

設(shè)過(guò)點(diǎn)B且平行于AC的直線(xiàn)的解析式為，將點(diǎn)代入得：，；

∴；

聯(lián)立拋物線(xiàn)的解析式有：，解得，或；

∴點(diǎn)；

若以A、C、B、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角梯形以AC、BP為底，同理可求得；

故當(dāng)或時(shí)，以A、C、B、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形．

（根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性求出另一個(gè)P點(diǎn)坐標(biāo)亦可）

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)與不等式（組）；直角梯形．

12．如圖，二次函數(shù)Y=-x2-x+2圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)D（m，n）是拋物線(xiàn)在第二象限的部分上的一動(dòng)點(diǎn)，則四邊形OCDA的面積的最大值是______．

【答案】8

【解析】

【分析】

根據(jù)解析式求得點(diǎn)A、C坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，運(yùn)用割補(bǔ)法即可得到：四邊形OCDA的面積=△ADH的面積+四邊形OCDH的面積，據(jù)此列式計(jì)算化簡(jiǎn)就可求得S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系，配方成頂點(diǎn)式可得其最值情況．

【詳解】

解：在y=-x2-x+2中，當(dāng)x=0時(shí)，y=2，∴C（0，2），當(dāng)y=0時(shí)，有-x2-x+2=0，解得：x=-4或x=1，∴點(diǎn)A（-4，0）、B（1，0），∵點(diǎn)D（m，n）是拋物線(xiàn)在第二象限的部分上的一動(dòng)點(diǎn)，∴D（m，-m2-m+2），過(guò)點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，則DH=-m2-m+2，AH=m+4，HO=-m，∵四邊形OCDA的面積=△ADH的面積+四邊形OCDH的面積，∴S=（m+4）×（-m2-m+2）+（-m2-m+2+2）×（-m），=-m2-4m+4

=-（m+2）2+8，（-4＜m＜0）；

則m=-2時(shí)，S取得最大值，最大值為8，【點(diǎn)睛】

本題主要考查了拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)的綜合應(yīng)用，運(yùn)用割補(bǔ)法列出面積的函數(shù)解析式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．

13．二次函數(shù)的圖象如圖，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在y軸的正半軸上，點(diǎn)B、C在二次函數(shù)的圖象上，四邊形OBAC為菱形，且∠OBA=120°，則菱形OBAC的面積為

．

【答案】．

【解析】

試題分析：連接BC與AO交于點(diǎn)D，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AO⊥BC，根據(jù)∠OBA=120°可得：∠AOB=30°，根據(jù)二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的性質(zhì)可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，)，則OA=2OD=2，BC=2BD=2，則菱形的面積=×AO×BC=×2×2=2.考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

三、解答題

14．如圖，已知二次函數(shù)（）的圖象與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與交軸于點(diǎn)，表示當(dāng)自變量為時(shí)的函數(shù)值，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，均有．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）點(diǎn)是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接．當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）若平行于軸的動(dòng)直線(xiàn)與該拋物線(xiàn)交于點(diǎn)，與直線(xiàn)交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．是否存在這樣的直線(xiàn)，使得是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或或

【分析】

（1）根據(jù)題意即可求出拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，然后利用拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，設(shè)二次函數(shù)的解析式為，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入即可求出二次函數(shù)的解析式，化為一般式即可；

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)即可求出OA、OB、OC、BQ和AB，根據(jù)相似三角形的判定及性質(zhì)，即可用含m的式子表示EG，然后根據(jù)即可求出與m的二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)求最值即可；

（3）根據(jù)等腰三角形腰的情況分類(lèi)討論，分別在每種情況下求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)P和點(diǎn)F的縱坐標(biāo)相等，將點(diǎn)P的縱坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式中即可求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．

【詳解】

解：（1）當(dāng)與時(shí)函數(shù)值相等，可知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為，由點(diǎn)的坐標(biāo)可求得點(diǎn)的坐標(biāo)為

設(shè)二次函數(shù)的解析式為

將點(diǎn)代入，得

所以，二次函數(shù)的解析式為．

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如圖

∵（4,0），，∴OA=4，OB=2，OC=4，BQ=m+2

∴AB=6

∵

∴

∵

∴

∴，即，∴

∴

又∵

∴當(dāng)時(shí)，有最大值3，此時(shí)

（3）存在．

①若，如下圖所示

則，∴∠DOF=∠DFO，∠DAF=∠DFA

∴∠DOF+∠DAF=∠DFO+∠DFA=∠OFA

∴是直角三角形，OF⊥AC

∵OA=OC=4

∴點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)

∴根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式：點(diǎn)的坐標(biāo)為

∵直線(xiàn)l∥x軸

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)=點(diǎn)F的縱坐標(biāo)=2，將y=2代入二次函數(shù)解析式中，得，得，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為：或

②若，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)

由等腰三角形的性質(zhì)得：，∴，在等腰直角三角形AOC中，∠OAC=45°

∴△AMF也是等腰直角三角形

∴FM=AM=3

∴

∵直線(xiàn)l∥x軸

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)=點(diǎn)F的縱坐標(biāo)=3，將y=3代入二次函數(shù)解析式中，得

由，得，此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或

③若，∵，且

∴

∴點(diǎn)到的距離為

而

∴上不存在點(diǎn)使得

此時(shí)，不存在這樣的直線(xiàn)，使得是等腰三角形

綜上，存在這樣的直線(xiàn)，使得是等腰三角形，所求點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或或

【點(diǎn)睛】

此題考查的是二次函數(shù)與幾何圖形的綜合大題，難度系數(shù)較大，掌握利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、把面積最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問(wèn)題和分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想是解決此題的關(guān)鍵．

15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三點(diǎn)，點(diǎn)P是直線(xiàn)BC下方拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

（2）動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PBC面積最大，求出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)和△PBC的最大面積．

（3）是否存在點(diǎn)P，使△POC是以O(shè)C為底邊的等腰三角形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

【答案】（1）y=x2﹣3x﹣4；（2）當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣6）時(shí)，△PBC的最大面積為8；（3）存在，點(diǎn)P的其坐標(biāo)為.【解析】

試題分析：（1）由A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線(xiàn)解析式；

（2）過(guò)P作PE⊥x軸，交x軸于點(diǎn)E，交直線(xiàn)BC于點(diǎn)F，用P點(diǎn)坐標(biāo)可表示出PF的長(zhǎng)，則可表示出△PBC的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得△PBC面積的最大值及P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）由題意可知點(diǎn)P在線(xiàn)段OC的垂直平分線(xiàn)上，則可求得P點(diǎn)縱坐標(biāo)，代入拋物線(xiàn)解析式可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析：解：（1）設(shè)拋物線(xiàn)解析式為，把A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入可得：，解得：，∴拋物線(xiàn)解析式為；

（2）∵點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，∴可設(shè)P（t，t2﹣3t﹣4），過(guò)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交直線(xiàn)BC于點(diǎn)F，如圖2，∵B（4，0），C（0，﹣4），∴直線(xiàn)BC解析式為y=x﹣4，∴F（t，t﹣4），∴PF=（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）=﹣t2+4t，∴S△PBC=S△PFC+S△PFB=PF?OE+PF?BE=PF?（OE+BE）=PF?OB=（﹣t2+4t）×4=﹣2（t﹣2）2+8，∴當(dāng)t=2時(shí)，S△PBC最大值為8，此時(shí)t2﹣3t﹣4=﹣6，∴當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣6）時(shí)，△PBC的最大面積為8；

（3）作OC的垂直平分線(xiàn)DP，交OC于點(diǎn)D，交BC下方拋物線(xiàn)于點(diǎn)P，如圖1，∴PO=PD，此時(shí)P點(diǎn)即為滿(mǎn)足條件的點(diǎn)，∵C（0，﹣4），∴D（0，﹣2），∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為﹣2，代入拋物線(xiàn)解析式可得x2﹣3x﹣4=﹣2，解得x=（小于0，舍去）或x=，∴存在滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)，其坐標(biāo)為（，﹣2）．

點(diǎn)睛：本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、等腰三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積、方程思想等知識(shí)．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（2）中用P點(diǎn)坐標(biāo)表示出△PBC的面積是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．

16．已知一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象相交于和，點(diǎn)是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)（不與重合），過(guò)點(diǎn)作軸，與二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)．

（1）求的值；

（2）求線(xiàn)段長(zhǎng)的最大值；

（3）當(dāng)為的等腰直角三角形時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

【答案】（1）1，3；（2）最大值為；（3）

【分析】

（1）將點(diǎn)分別代入一次函數(shù)解析式可求得b的值，再將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入二次函數(shù)可求出a的值；

（2）設(shè)，則，根據(jù)平行于y軸的直線(xiàn)上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得PC的長(zhǎng)關(guān)于m的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；

（3）同（2）設(shè)出點(diǎn)P，C的坐標(biāo)，根據(jù)題意可用含m的式子表示出AC，PC的長(zhǎng)，根據(jù)AC=PC可得關(guān)于m的方程，求得m的值，進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【詳解】

解：（1）∵在直線(xiàn)上，∴，∴．

又∵在拋物線(xiàn)上，∴，解得．

（2）設(shè)，則，∴，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為．

（3）如圖，∵為的等腰三角形且軸，∴連接，軸，∵，∴，．

∵，∴，化簡(jiǎn)，得，解得，（不合題意，舍去）．

當(dāng)時(shí)，∴此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．

【點(diǎn)睛】

本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了求待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，利用平行于y軸的直線(xiàn)上兩點(diǎn)間的距離建立出二次函數(shù)模型求出最值是解題關(guān)鍵．

17．如圖，已知一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與二次函數(shù)的圖象交于y軸上的一點(diǎn)B，二次函數(shù)的圖象與x軸只有唯一的交點(diǎn)C，且OC=2．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象的另一交點(diǎn)為D，已知P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且△PBD為直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【答案】（1）（2）P1（1，0）和P2（，0）

【解析】

解：（1）∵交x軸于點(diǎn)A，∴0=0.5x+2，解得x=－4．∴A點(diǎn)坐標(biāo)為：（－4，0）．

∵與y軸交于點(diǎn)B，∴y=2．∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，2）．

∵二次函數(shù)的圖象與x軸只有唯一的交點(diǎn)C，且OC=2

∴可設(shè)二次函數(shù)．

把B（0，2）代入得：a=．

∴二次函數(shù)的解析式為：，即．

（2）①當(dāng)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)B作BP1⊥AD交x軸于P1點(diǎn)，∵Rt△AOB∽R(shí)t△BOP1，∴．

∴，解得：OP1=1．

∴P1點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），②當(dāng)D為直角頂點(diǎn)時(shí)作P2D⊥BD，連接BP2，將與2聯(lián)立求出兩函數(shù)另一交點(diǎn)坐標(biāo)：D點(diǎn)坐標(biāo)為：（5，），則AD=．

由A（－4，0），B（0，2）可得AB=．

∵∠DAP2=∠BAO，∠BOA=∠ADP2，∴△ABO∽△AP2D．∴．

∴，解得AP2=．

則OP2=．

∴P2點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）．

③當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，設(shè)P3（a，0），則由Rt△OBP3∽R(shí)t△EP3D得：，∴．

∵方程無(wú)解，∴點(diǎn)P3不存在．

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P1（1，0）和P2（，0）．

（1）根據(jù)交x軸于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，即可得出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)的圖象與x軸只有唯一的交點(diǎn)C，且OC=2．得出可設(shè)二次函數(shù)，進(jìn)而求出即可．

（2）分點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)，點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)三種情況討論，分別利用三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例求出即可．

18．在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)y＝x﹣2與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)，且與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）如圖1，點(diǎn)M是線(xiàn)段BC上的一動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)D在直線(xiàn)BC下方的二次函數(shù)圖象上．設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m．

①過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M，求線(xiàn)段DM關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求線(xiàn)段DM的最大值；

②若△CDM為等腰直角三角形，直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2；（2）①DM＝﹣，DM的最大值為；②M的坐標(biāo)為（）或（，﹣）．

【分析】

（1）由直線(xiàn)y＝x﹣2得B（4，0）、C（0，﹣2），將B（4，0）、C（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c，列方程組求出b、c即可；

（2）①過(guò)點(diǎn)DH∥AB，交直線(xiàn)y＝x﹣2于點(diǎn)H．則∠H＝∠OBC，OC＝2，OB＝4，BC＝2，由sin∠H＝sin∠OBC＝＝＝，即＝，設(shè)D（m，m2﹣m﹣2），則H（m2﹣3m，m2﹣m﹣2），DH＝m﹣（m2﹣3m）＝﹣m2+4m，所以DM＝（﹣m2+4m）＝﹣，當(dāng)m＝2時(shí)，DM的最大值為；

②分兩種情況：當(dāng)CM⊥DM時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)D作DF∥y軸，交EM的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F；當(dāng)CD⊥DM時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)M作MF∥y軸，交ED的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，分別求出t的值即可．

【詳解】

解（1）由直線(xiàn)y＝x﹣2得

B（4，0）、C（0，﹣2），將B（4，0）、C（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c，解得b＝，c＝﹣2，∴二次函數(shù)的解析式y(tǒng)＝x2﹣x﹣2；

（2）①過(guò)點(diǎn)DH∥AB，交直線(xiàn)y＝x﹣2于點(diǎn)H．

∴∠H＝∠OBC，∵B（4，0）、C（0，﹣2），∴OC＝2，OB＝4，BC＝2

∴sin∠H＝sin∠OBC＝＝＝，即＝，設(shè)D（m，m2﹣m﹣2），則H（m2﹣3m，m2﹣m﹣2），∴DH＝m﹣（m2﹣3m）＝﹣m2+4m，∴DM＝（﹣m2+4m）＝﹣，當(dāng)m＝2時(shí)，DM的最大值為；

②Ⅰ．當(dāng)CM⊥DM時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)D作DF∥y軸，交EM的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，∵△CDM為等腰直角三角形，易證△EMC≌△FDM，∴EM＝DF，EC＝MF，設(shè)M（t，t﹣2），則EM＝t，OE＝﹣t+2，∴CE＝OC﹣OE＝2﹣（﹣t+2）＝t，MF＝t，DF＝t，EF＝EM+MF＝t+t＝，OE+DF＝﹣t+2+t＝t+2，∴D（t，﹣t﹣2）

將D（t，﹣t﹣2）代入二次函數(shù)的解析式y(tǒng)＝x2﹣x﹣2，解得t＝0（舍去）或t＝，∴M1（）；

Ⅱ．當(dāng)CD⊥DM時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)M作MF∥y軸，交ED的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，∵△CDM為等腰直角三角形，易證△CED≌△DFM，∴DE＝MF，EC＝DF，設(shè)M（t，t﹣2），則EF＝t，CE＝，DE＝t，MF＝t，OC＝t+2

∴D（t，﹣t﹣2），將D（t，﹣t﹣2）代入二次函數(shù)的解析式y(tǒng)＝x2﹣x﹣2，解得t＝0（舍去）或t＝，∴M2（，﹣）

綜上，△CDM為等腰直角三角形，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）或（，﹣）．

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，銳角三角函數(shù)的定義，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、熟練運(yùn)運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)以及一線(xiàn)三直角構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．

19．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，的半徑為，為上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)，的坐標(biāo)？

（2）是否存在點(diǎn)，使得為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1），；（2）或，或或；

【分析】

（1）在拋物線(xiàn)解析式中令y＝0可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，令x＝0可求得C點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）①當(dāng)PB與⊙相切時(shí)，△PBC為直角三角形，根據(jù)勾股定理得到BC＝5，過(guò)作軸于，軸于，易得，四邊形是矩形，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，設(shè)，得到BE＝3?x，CF＝2x?4，于是得到，求得，過(guò)作軸于，軸于，同理求得；②當(dāng)BC⊥PC時(shí)，△PBC為直角三角形，過(guò)作軸于，易得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，即可得到，同理可得．即可得到結(jié)論；

【詳解】

（1）在中，令，解得：，令，得，∴，；

（2）存在點(diǎn)，使得為直角三角形，①當(dāng)與相切時(shí)，為直角三角形，如圖（2），連接，∵，∴，∵，∴，過(guò)作軸于，軸于，易得，四邊形是矩形，∴，設(shè)，∴，∴，∴，∴，∴；

過(guò)作軸于，軸于，同理求得；

②當(dāng)時(shí)，為直角三角形，過(guò)作軸于，如圖（2），易得，∴，∴，∴；

同理可得：；

綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為：或，或或．

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，圓與直線(xiàn)的位置關(guān)系，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確的作出輔助線(xiàn)構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．

20．如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，三點(diǎn)．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）點(diǎn)是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與線(xiàn)段的端點(diǎn)不重合），若與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

【答案】（1）；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為

【分析】

（1）由A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線(xiàn)的解析式；

（2）可求得直線(xiàn)AC的解析式，設(shè)G（k，-2k-2），可表示出AB、BC、AG的長(zhǎng)，由條件可知只有△AGB∽△ABC，再利用相似三角形的性質(zhì)可求得k的值，從而可求得G點(diǎn)坐標(biāo)．

【詳解】

（1）∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為．

∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，解得．

∴二次函數(shù)的解析式為，即．

（2）設(shè)直線(xiàn)的函數(shù)解析式為，把的坐標(biāo)代入，可得解得

∴直線(xiàn)的函數(shù)解析式為．

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．

點(diǎn)與點(diǎn)不重合，與相似只有這一種情況．

由，得．，，解得或（舍去），∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．在（1）中注意二次函數(shù)解析式三種形式的靈活運(yùn)用，在（2）中確定出只有△AGB∽△ABC一種情況是解題的突破口．

21．如圖，已知二次函數(shù)（，為常數(shù)）的對(duì)稱(chēng)軸為，與軸的交點(diǎn)為，的最大值為5，頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)，.（1）求該二次函數(shù)的解析式和點(diǎn)，的坐標(biāo).（2）點(diǎn)是直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)所構(gòu)成的三角形與相似，求出所有點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）y＝?x2＋2x＋4；B（?1，1）；A（3，1）（2）（3，1）或（?3，7）或（，）或（?，）

【分析】

（1）先確定頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，再設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x?1）2＋5，然后把C點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a即可得到拋物線(xiàn)解析式；在計(jì)算函數(shù)值為1所對(duì)應(yīng)的自變量的值即可得到A、B點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）先計(jì)算出CD＝3，BD＝1，AM＝2，CM＝，AC＝3，則利用勾股定理的逆定理得到△ACM為直角三角形，∠ACM＝90°，根據(jù)相似三角形的判定，當(dāng)時(shí)，△MCP∽△BDC，即，解得PC＝3，設(shè)此時(shí)P（x，?x＋4），利用兩點(diǎn)間的距離公式得到x2＋（?x＋4?4）2＝（3）2，求出x從而得到此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)時(shí)，△MCP∽△CDB，即，解得PC＝，利用同樣方法求出對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)．

【詳解】

（1）根據(jù)題意得拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，5），設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y＝a（x?1）2＋5，把C（0，4）代入y＝a（x?1）2＋5得a＋5＝4，解得a＝?1，所以?huà)佄锞€(xiàn)解析式為y＝?（x?1）2＋5，即y＝?x2＋2x＋4；

當(dāng)y＝1時(shí)，?x2＋2x＋4＝1，解得x1＝?1，x2＝3，則B（?1，1），A（3，1）；

（2）∵，∴CD＝3，BD＝1，故AM＝=2，CM＝，AC=

設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y＝kx＋b

把A（3，1），C（0，4）代入得

解得

∴直線(xiàn)AC的解析式為y＝?x＋4，∵CM2＋AC2＝AM2，∴△ACM為直角三角形，∠ACM＝90°，∴∠BDC＝∠MCP，如圖1，當(dāng)時(shí)，△MCP∽△BDC，即，解得PC＝3，設(shè)此時(shí)P（x，?x＋4），∴x2＋（?x＋4?4）2＝（3）2，解得x＝±3，則此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1）或（?3，7）；

如圖2，當(dāng)時(shí)，△MCP∽△CDB，即，解得PC＝，設(shè)此時(shí)P（x，?x＋4），∴x2＋（?x＋4?4）2＝（）2，解得x＝±，則此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）或（?，）；

綜上所述，滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1）或（?3，7）或（，）或（?，）．

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和相似三角形的判定；會(huì)利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，記住兩點(diǎn)間的距離公式．

22．如圖，已知二次函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)A(－4，3），B(4，4).（1）求二次函數(shù)的解析式：

（2）求證：△ACB是直角三角形；

（3）若點(diǎn)P在第二象限，且是拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PH垂直x軸于點(diǎn)H，是否存在以P、H、D、為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

【答案】解：

（1）將A(－4，3），B(4，4)代人中，整理得：

解得

∴二次函數(shù)的解析式為：，即：。

（2）由

整理得，解得。

∴C

（－2，0），D。

∴AC2=4+9，BC2=36+16，AC2+

BC2=13+52=65，AB2=64+1=65，∴

AC2+

BC2=AB2

?！唷鰽CB是直角三角形。

（3）設(shè)（x<0），則PH=，HD=。

又∵AC=，BC=，①當(dāng)△PHD∽△ACB時(shí)有：，即：，整理得，解得（舍去），此時(shí)。

∴。

②當(dāng)△DHP∽△ACB時(shí)有：，即：，整理，解得（舍去），此時(shí)。

∴。

綜上所述，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)有兩個(gè)即。

【解析】二次函數(shù)綜合題，曲線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，勾股定理和逆定理的應(yīng)用，相似三角形的判定性質(zhì)，坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)，解一元二次方程和二元一次方程組。

【分析】（1）求二次函數(shù)的解析式，也就是要求中a、b的值，只要把A(-4，3），B(4，4)代人即可。

（2）求證△ACB是直角三角形，只要求出AC，BC，AB的長(zhǎng)度，然后用勾股定理及其逆定理去考察。

（3）分兩種情況進(jìn)行討論，①△DHP∽△BCA，②△PHD∽△BCA，然后分別利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。

23．如圖，二次函數(shù)的圖像交軸于，交軸于，過(guò)畫(huà)直線(xiàn)。

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）若點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)判斷是否存在以P、Q、O、C為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）在軸右側(cè)的點(diǎn)在二次函數(shù)圖像上，以為圓心的圓與直線(xiàn)相切，切點(diǎn)為。且△CHM∽△AOC（點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)），求點(diǎn)的坐標(biāo)。

【答案】（1）

（2）(2,2),(,),(,)；（，）。

（3）或

【解析】

試題分析：解：（1）∵二次函數(shù)的圖像交軸于，∴設(shè)該二次函數(shù)的解析式為：，又二次函數(shù)的圖像交軸于，將代入，得，解得，∴拋物線(xiàn)的解析式為，即;

（2）若OC為平行四邊形的邊，設(shè)P（，），Q（，），則PQ=，P、Q、O、C為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則，∴（舍去），；∴(2,2),(,),(,)；若OC為平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)，則（，）。

（3）∵△CHM∽△AOC，點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)，∴

情形1：如上圖，當(dāng)在點(diǎn)下方時(shí)，∵

∴軸，∴，點(diǎn)在二次函數(shù)圖像上，∴，解得（舍去）或，∴；

情形2：如圖，當(dāng)在點(diǎn)上方時(shí)，∵，設(shè)交軸于點(diǎn)P，設(shè)，則，在中，由勾股定理，得，解得，即，為直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的另一交點(diǎn),設(shè)直線(xiàn)的解析式為,把的坐標(biāo)代入，得，解得，∴,由，解得，（舍去）或

此時(shí)，∴,∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或

考點(diǎn)：二次函數(shù)在幾何中的應(yīng)用

點(diǎn)評(píng)：該題需要考慮的情況有多種，這是難點(diǎn)，需要學(xué)生經(jīng)常練習(xí)，積累經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合圖形找出突破口。

24．如圖，三角形是以為底邊的等腰三角形，點(diǎn)、分別是一次函數(shù)的圖象與軸、軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，且該二次函數(shù)圖象上存在一點(diǎn)使四邊形能構(gòu)成平行四邊形.（1）試求、的值，并寫(xiě)出該二次函數(shù)表達(dá)式；

（2）動(dòng)點(diǎn)沿線(xiàn)段從到，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)沿線(xiàn)段從到都以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，問(wèn)：

①當(dāng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中能否存在？如果不存在請(qǐng)說(shuō)明理由；如果存在請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)的位置？

②當(dāng)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形的面積最小？此時(shí)四邊形的面積是多少？

【答案】（1），；（2）

①當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到距離點(diǎn)個(gè)單位長(zhǎng)度處，有；②當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到距離點(diǎn)個(gè)單位處時(shí)，四邊形面積最小，最小值為.【分析】

（1）根據(jù)一次函數(shù)解析式求出A和C的坐標(biāo)，再由△ABC是等腰三角形可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得出二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）①設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了t秒，PQ⊥AC，進(jìn)而求出AP、CQ和AQ的值，再由△APQ∽△CAO，利用對(duì)應(yīng)邊成比例可求出t的值，即可得出答案；

②將問(wèn)題化簡(jiǎn)為△APQ的面積的最大值，根據(jù)幾何關(guān)系列出關(guān)于時(shí)間的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)的最大值，即求出△APQ的面積的最大值，進(jìn)而求出四邊形PDCQ面積的最小值.【詳解】

解：（1）由，令，得，所以點(diǎn)；

令，得，所以點(diǎn)，∵是以為底邊的等腰三角形，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，又∵四邊形是平行四邊形，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，將點(diǎn)、點(diǎn)代入二次函數(shù)，可得，解得：，故該二次函數(shù)解析式為：.（2）∵，∴.①設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了秒時(shí)，此時(shí)，，∵，∴，∴，∴，即，解得：.即當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到距離點(diǎn)個(gè)單位長(zhǎng)度處，有.②∵，且，∴當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，四邊形的面積最小，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，，設(shè)底邊上的高為，作于點(diǎn)，由可得：，解得：，∴，∴當(dāng)時(shí)，達(dá)到最大值，此時(shí)，故當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到距離點(diǎn)個(gè)單位處時(shí)，四邊形面積最小，最小值為.【點(diǎn)睛】

本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，難度系數(shù)較大，解題關(guān)鍵是將四邊形PDCQ面積的最小值轉(zhuǎn)化為△APQ的面積的最大值并根據(jù)題意列出的函數(shù)關(guān)系式.25．（14分）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)A（﹣3，0）、B（1，0），與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)G是二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，直線(xiàn)GC交x軸于點(diǎn)H（3，0），AD平行GC交y軸于點(diǎn)D．

（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求證：四邊形ACHD是正方形；

（3）如圖2，點(diǎn)M（t，p）是該二次函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，并且點(diǎn)M在第二象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)M的直線(xiàn)交二次函數(shù)的圖象于另一點(diǎn)N．

①若四邊形ADCM的面積為S，請(qǐng)求出S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，并寫(xiě)出t的取值范圍；

②若△CMN的面積等于，請(qǐng)求出此時(shí)①中S的值．

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)試題解析；（3）①（﹣3＜t＜0）；②12或．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)A（﹣3，0）、B（1，0），即可求出a、b的值，從而得到二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）先求出點(diǎn)C、G、H、D的坐標(biāo)；然后得出AO=CO=DO=HO=3，AH⊥CD，從而得到四邊形ACHD是正方形；

（3）①作ME⊥x軸于點(diǎn)E，作MF⊥y軸于點(diǎn)F，則S=，再分別求出，即可；

②首先設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)是（，），則NI=，∴=，再根據(jù)t＜0，＞0，可得==，得到，然后求出k的值，進(jìn)而求出，的值，再把它們代入S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，求出S的值是多少即可．

試題解析：（1）∵二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)A（﹣3，0）、B（1，0），∴，解得：，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；

（2）如圖1，∵二次函數(shù)的表達(dá)式為，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），∵=，∴點(diǎn)G的坐標(biāo)是（﹣1，4），∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），∴設(shè)CG所在的直線(xiàn)的解析式是，則﹣m+3=4，∴m=﹣1，∴CG所在的直線(xiàn)的解析式是，∴點(diǎn)H的坐標(biāo)是（3，0），設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，p），則，∴p=﹣3，∵AO=CO=DO=HO=3，AH⊥CD，∴四邊形ACHD是正方形；

（3）①如圖2，作ME⊥x軸于點(diǎn)E，作MF⊥y軸于點(diǎn)F，∵四邊形ADCM的面積為S，∴S=，∵AO=OD=3，∴S△AOD=3×3÷2=4.5，∵點(diǎn)M（t，p）是與在第二象限內(nèi)的交點(diǎn)，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（t，），∵M(jìn)E=，MF=﹣t，∴S四邊形AOCM==，∴=（﹣3＜t＜0）；

②如圖3，作NI⊥x軸于點(diǎn)I，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)是（，），則NI=，∴=，∵t＜0，＞0，∴==，∴，聯(lián)立，可得，∵、t是方程的兩個(gè)根，∴，∵，∴，解得或，（a）當(dāng)時(shí)，由，解得，或（舍去）．

（b）當(dāng)時(shí)，由，解得，或（舍去），∴，或，當(dāng)時(shí)，S==，當(dāng)時(shí)，S===，∴S的值是12或．

考點(diǎn)：1．二次函數(shù)綜合題；2．分類(lèi)討論；3．壓軸題．

26．如圖，已知二次函數(shù)c為常數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)A作軸，交y軸于點(diǎn)D，交該二次函數(shù)圖象于點(diǎn)B，連結(jié)BC．

求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)M的坐標(biāo)．

過(guò)該二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)P作y軸的平行線(xiàn)，交一邊于點(diǎn)Q，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、Q、C、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

點(diǎn)N是射線(xiàn)CA上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)M、C、N所構(gòu)成的三角形與相似，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有點(diǎn)N的坐標(biāo)直接寫(xiě)出結(jié)果，不必寫(xiě)解答過(guò)程．

【答案】二次函數(shù)解析式為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為；

存在平行四邊形，；，，．

【解析】

【分析】

將點(diǎn)A、點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，即可求出b、c的值，通過(guò)配方法得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；

根據(jù)平行四邊形的判定對(duì)邊平行且相等，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案；

由題意分析可得，則若與相似，則要進(jìn)行分類(lèi)討論，分成∽或∽兩種，然后利用邊的對(duì)應(yīng)比值求出N點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)，再利用自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案．

【詳解】

把點(diǎn)，點(diǎn)代入二次函數(shù)得，解得

二次函數(shù)解析式為，配方得，點(diǎn)M的坐標(biāo)為；

由知，當(dāng)時(shí)，解之，或、令P點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，當(dāng)PQ與BC邊相交時(shí)，此時(shí)不存在平行四邊形．

當(dāng)PQ與AC?邊相交時(shí)，由、可得直線(xiàn)AC解析式，，令，，此方程無(wú)解，此時(shí)不存在平行四邊形．

當(dāng)PQ與AB?邊相交時(shí)，、，令，化簡(jiǎn)，得，解得，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為，此時(shí)，存在平行四邊形，；

連接MC，作軸并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)N，則點(diǎn)G坐標(biāo)為，，把代入解得，則點(diǎn)P坐標(biāo)為，，，由此可知，若點(diǎn)N在AC上，則，則點(diǎn)D與點(diǎn)C必為相似三角形對(duì)應(yīng)點(diǎn)

若有∽，則有，，，若點(diǎn)N在y軸右側(cè)，作軸，，把代入，解得，；

同理可得，若點(diǎn)N在y軸左側(cè)，把代入，解得；

若有∽，則有，若點(diǎn)N在y軸右側(cè)，把代入，解得；

若點(diǎn)N在y軸左側(cè)，把代入，解得

；．

所有符合題意得點(diǎn)N坐標(biāo)有4個(gè)，分別為，，．

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)綜合題，解的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法；解的關(guān)鍵是利用平行四邊形的判定得出關(guān)于m的方程，要分類(lèi)討論，以防遺漏；解的關(guān)鍵是利用相似三角形的性質(zhì)得出N點(diǎn)的橫坐標(biāo)，要分類(lèi)討論，以防遺漏．

27．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線(xiàn)頂點(diǎn)，點(diǎn)是直線(xiàn)下方的拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)．

（）這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為_(kāi)___________．

（）設(shè)直線(xiàn)的解析式為，則不等式的解集為_(kāi)__________．

（）連結(jié)、，并把沿翻折，得到四邊形，那么是否存在點(diǎn)，使四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（）當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形的最大面積．

（）若把條件“點(diǎn)是直線(xiàn)下方的拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)．”改為“點(diǎn)是拋物線(xiàn)上的任一動(dòng)點(diǎn)”，其它條件不變，當(dāng)以、、、為頂點(diǎn)的四邊形為梯形時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．

【答案】（1）；（2）x≤0或x≥3；（3）；（4）當(dāng)P（，）時(shí)，S四邊形ABPC最大；（5）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－2，5），（2，－3）或（4，5）．

【解析】

試題分析：（1）直接設(shè)成頂點(diǎn)式即可得出拋物線(xiàn)解析式；

（2）先確定出點(diǎn)B，C坐標(biāo)，再根據(jù)圖象直接寫(xiě)出范圍；

（3）利用菱形的性質(zhì)得出PO=PC即可得出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，代入拋物線(xiàn)解析式即可得出結(jié)論；

（4）先利用坐標(biāo)系中幾何圖形的面積的計(jì)算方法建立函數(shù)關(guān)系式即可求出面積的最大值；

（5）先求出直線(xiàn)BC，BC，CD的解析式，分三種情況利用梯形的性質(zhì)，一組對(duì)邊平行即可得出直線(xiàn)DP1，CP2，BP3的解析式，分別聯(lián)立拋物線(xiàn)的解析式建立方程組求解即可．

試題解析：解：（1）∵點(diǎn)D（1，﹣4）是拋物線(xiàn)y=x2+bx+c的頂點(diǎn)，∴y=（x﹣1）2﹣4=x2﹣2x﹣3．故答案為y=x2﹣2x﹣3；

（2）令x=0，∴y=﹣3，∴C（0，﹣3），令y=0，∴x2﹣2x﹣3=0，∴x=﹣1或x=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴不等式x2+bx+c≥kx+m的解集為x＜0或＞3．故答案為x＜0或＞3；

（3）如圖1．∵四邊形POP′C為菱形，∴PO=PC．∵C（0，﹣3），∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為﹣．∵P在拋物線(xiàn)y=x2﹣2x﹣3上，∴﹣=x2﹣2x﹣3，∴x=或x=（舍），∴P（．﹣）；

（4）如圖2，由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3），∴直線(xiàn)BC的解析式為y=x﹣3，過(guò)點(diǎn)P作PE∥y軸交BC于E，設(shè)P（m，m2﹣2m﹣3），（0＜m＜3）

∴E（m，m﹣3），∴PE=m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+3m．∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），∴S四邊形ABPC=S△ABC+S△PCE+S△PBE=AB?OC+PE?|xP|+PE?|xB﹣xP|

=AB?OC+PE（|xP|+|xB﹣xP|）=×4×3+（﹣m2+3m）×（m+3﹣m）

=6+×（﹣m2+3m）=﹣（m﹣）2+

當(dāng)m=時(shí)，S四邊形ABPC最大=．

當(dāng)m=時(shí)，m2﹣2m﹣3=，∴P（，）．

（5）如圖，由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3），D（1，﹣4），∴直線(xiàn)BC的解析式為y=x﹣3，直線(xiàn)BD的解析式為y=2x﹣6，直線(xiàn)CD的解析式為y=﹣x﹣3．∵以P、C、D、B為頂點(diǎn)的四邊形為梯形．∵拋物線(xiàn)的解析式為y=x2﹣2x﹣3①；

①當(dāng)DP1∥BC時(shí)，∴直線(xiàn)DP1的解析式為y=x﹣5②，聯(lián)立①②解得，點(diǎn)P1（2，﹣3），[另一個(gè)點(diǎn)為（1，﹣4）和點(diǎn)D重合，舍去]

②當(dāng)CP2∥BD時(shí)，∴直線(xiàn)CP2的解析式為y=2x﹣3③，聯(lián)立①③解得點(diǎn)P2（4，5）

③當(dāng)BP3∥CD時(shí)，∴直線(xiàn)BP3∥CD的解析式為y=﹣x+3④，聯(lián)立①④解得點(diǎn)P3（﹣2，5）．

綜上所述：以P、C、D、B為頂點(diǎn)的四邊形為梯形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，5）、（2，﹣3）或（4，5）．

點(diǎn)睛：本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求拋物線(xiàn)解析式，不規(guī)則圖形的面積的計(jì)算方法，菱形的性質(zhì)，梯形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是用方程或方程組的思想解決問(wèn)題．

28．如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，4），與坐標(biāo)軸交于B、C、D三點(diǎn)，且B點(diǎn)的坐標(biāo)為（－1，0）．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）在二次函數(shù)圖象位于x軸上方部分有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M、N，且點(diǎn)N在點(diǎn)M的左側(cè)，過(guò)M、N作x軸的垂線(xiàn)交x軸于點(diǎn)G、H兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形MNHG為矩形時(shí)，求該矩形周長(zhǎng)的最大值．

【答案】（1）y=－；（2）周長(zhǎng)最大值為10

【分析】

（1）設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為：y＝a（x?1）2＋4，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式，即可求解；

（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，?x2＋2x＋3），根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得到點(diǎn)N（2?x，?x2＋2x＋3），再表示出矩形MNHG的周長(zhǎng)C＝2MN＋2GM＝2（2x?2）＋2（?x2＋2x＋3）＝?2x2＋8x＋2，即可求解．

【詳解】

（1）設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=，把B（－1，0）代入解析式得：4a＋4=0，解得a=－1，∴y=－=－；

（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，?x2＋2x＋3），∵二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸為x=1，∴點(diǎn)N（2?x，?x2＋2x＋3），則MN＝x?2＋x＝2x?2，GM＝?x2＋2x＋3，矩形MNHG的周長(zhǎng)C＝2MN＋2GM＝2（2x?2）＋2（?x2＋2x＋3）＝?2x2＋8x＋2，∵?2＜0，故當(dāng)x＝?＝2，C有最大值，最大值為10，故該矩形周長(zhǎng)的最大值為10．

【點(diǎn)睛】

主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線(xiàn)段的長(zhǎng)度，從而求出線(xiàn)段之間的關(guān)系．