決勝2021中考數(shù)學(xué)壓軸題全揭秘精品

專(zhuān)題17二次函數(shù)的面積問(wèn)題

【考點(diǎn)1】二次函數(shù)的線段最值問(wèn)題

【例1】（2020·湖北荊門(mén)·中考真題）如圖，拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．

（1）求直線的解析式及拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）如圖1，點(diǎn)P為第四象限且在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸，垂足為C，交于點(diǎn)D，求的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2，將拋物線向右平移得到拋物線，直線與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，若點(diǎn)A是線段的中點(diǎn)，求拋物線的解析式．

【答案】（1）直線的解析式為，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）當(dāng)時(shí)，的最大值為；

；（3）．

【分析】

（1）先根據(jù)函數(shù)關(guān)系式求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)直線的解析式為，利用待定系數(shù)法求出AB的解析式，將二次函數(shù)解析式配方為頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）過(guò)點(diǎn)D作軸于E，則．求得AB=5，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為，ED=x，證明，由相似三角形的性質(zhì)求出，用含x的式子表示PD，配方求得最大值，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）設(shè)平移后拋物線的解析式，將L′的解析式和直線AB聯(lián)立，得到關(guān)于x的方程，設(shè)，則是方程的兩根，得到，點(diǎn)A為的中點(diǎn)，可求得m的值，即可求得L′的函數(shù)解析式．

【詳解】

（1）在中，令，則，解得，∴．

令，則，∴．

設(shè)直線的解析式為，則，解得：，∴直線的解析式為．，∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)D作軸于E，則．

∵，∴，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∴．

∵，∴，∴，∴，∴．

而，∴，∵，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：

當(dāng)時(shí)，的最大值為．，∴．

（3）設(shè)平移后拋物線的解析式，聯(lián)立，∴，整理，得：，設(shè)，則是方程的兩根，∴．

而A為的中點(diǎn)，∴，∴，解得：．

∴拋物線的解析式．

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．

【變式1-1】（2020·前郭爾羅斯蒙古族自治縣哈拉毛都鎮(zhèn)蒙古族中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．點(diǎn)是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，軸，交直線于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）①若點(diǎn)P僅在線段上運(yùn)動(dòng)，如圖1．求線段的最大值；

②若點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，則在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使以M，N，C，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形．若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）；（2）①，②存在，【分析】

（1）把代入中求出b，c的值即可；

（2）①由點(diǎn)得，從而得，整理，化為頂點(diǎn)式即可得到結(jié)論；

②分MN=MC和兩種情況，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到關(guān)于m的方程，求解即可．

【詳解】

解：（1）把代入中，得

解得

∴．

（2）設(shè)直線的表達(dá)式為，把代入．

得，解這個(gè)方程組，得

∴．

∵點(diǎn)是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，且軸．

∴．

∴

．

∵，∴此函數(shù)有最大值．

又∵點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，且

∴當(dāng)時(shí)，有最大值．

②∵點(diǎn)是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，且軸．

∴．

∴

（i）當(dāng)以M，N，C，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則有MN=MC，如圖，∵C（0，-3）

∴MC=

∴

整理得，∵，∴，解得，∴當(dāng)時(shí)，CQ=MN=，∴OQ=-3-()=

∴Q(0，)；

當(dāng)m=時(shí)，CQ=MN=-，∴OQ=-3-(-)=

∴Q(0，)；

(ii)若，如圖，則有

整理得，∵，∴，解得，當(dāng)m=-1時(shí)，MN=CQ=2，∴Q（0，-1），當(dāng)m=-5時(shí)，MN=-10＜0（不符合實(shí)際，舍去）

綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是待定系數(shù)法；解（2）的關(guān)鍵是利用線段的和差得出二次函數(shù)，又利用了二次函數(shù)的性質(zhì)，解（3）的關(guān)鍵是利用菱形的性質(zhì)得出關(guān)于m的方程，要分類(lèi)討論，以防遺漏．

【變式1-2】如圖1，已知拋物線y=﹣x2+mx+m﹣2的頂點(diǎn)為A，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（3，﹣3）．

（1）求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)

（2）若P是拋物線上且位于直線OB上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△OPB的面積的最大值及比時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2，將原拋物線沿射線OA方向進(jìn)行平移得到新的拋物線，新拋物線與射線OA交于C，D兩點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)：在拋物線平移的過(guò)程中，線段CD的長(zhǎng)度是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）（﹣1，1）；（2）P（，）；（3）.【解析】

【分析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)配方法，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交OB與點(diǎn)Q，求出直線BP的解析式，表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式列出函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的最值可得P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）根據(jù)平移規(guī)律，可得新拋物線，根據(jù)聯(lián)立拋物線與OA的解析式，可得C、D點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理，可得答案．

【詳解】

解：（1）把B（3，﹣3）代入y=﹣x2+mx+m2得：﹣3=﹣32+3m+m2，解得m=2，∴y=﹣x2+2x=﹣（x+1）2+1，∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣1，1）；

（2）過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交OB與點(diǎn)Q.∵直線OB的解析式為y=﹣x，故設(shè)P（n，﹣n2+2n），Q（n，﹣n），∴PQ=﹣n2+2n﹣（﹣n）=﹣n2+3n，∴S△OPB=（﹣n2+3n）=﹣（n﹣）+，當(dāng)n=時(shí)，S△OPB的最大值為．

此時(shí)y=﹣n2+2n=，∴P（，）；

（3）∵直線OA的解析式為y=x，∴可設(shè)新的拋物線解析式為y=﹣（x﹣a）2+a，聯(lián)立，∴﹣（x﹣a）2+a=x，∴x1=a，x2=a﹣1，即C、D兩點(diǎn)間的橫坐標(biāo)的差為1，∴CD=．

【點(diǎn)睛】

本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積公式，利用二次函數(shù)求最值，勾股定理二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，難度適中，是常見(jiàn)題型.【考點(diǎn)2】二次函數(shù)的面積定值問(wèn)題

【例2】已知二次函數(shù)．

（1）圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，則_________；

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小，求m的取值范圍；

（3）以拋物線的頂點(diǎn)A為一個(gè)頂點(diǎn)作該拋物線的內(nèi)接正三角形（M，N兩點(diǎn)在拋物線上），請(qǐng)問(wèn)：的面積是與m無(wú)關(guān)的定值嗎？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）4；（2）m≥2；（3）的面積是與m無(wú)關(guān)的定值，S△AMN＝.【解析】

【分析】

（1）將點(diǎn)代入二次函數(shù)解析式即可求出m；

（2）求出二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x＝m，由拋物線的開(kāi)口向上，在對(duì)稱(chēng)軸的左邊y隨x的增大而減小，可求出m的取值范圍；

（3）在拋物線內(nèi)作出正三角形，求出正三角形的邊長(zhǎng)，然后計(jì)算三角形的面積，可得到△AMN的面積是與m無(wú)關(guān)的定值．

【詳解】

解：（1）將點(diǎn)代入可得：，解得：m=4；

（2）二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是：x＝m，∵當(dāng)x≤2時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小，∴m≥2；

（3）的面積是與m無(wú)關(guān)的定值；

如圖：頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，?m2＋4m?8），△AMN是拋物線的內(nèi)接正三角形，MN交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)B，∵tan∠AMB＝tan60°＝，∴AB＝BM＝BN，設(shè)BM＝BN＝a，則AB＝a，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m＋a，a?m2＋4m?8），∵點(diǎn)M在拋物線上，∴a?m2＋4m?8＝（m＋a）2?2m（m＋a）＋4m?8，整理得：，解得：a＝或a＝0（舍去），∴△AMN是邊長(zhǎng)為的正三角形，∴AB=3，S△AMN＝，與m無(wú)關(guān).【點(diǎn)睛】

本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及特殊角三角函數(shù)的應(yīng)用，其中（3）問(wèn)有一定難度，根據(jù)點(diǎn)M在拋物線上，求出正三角形的邊長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．

【變式2-1】（2020·湖南九年級(jí)其他模擬）若拋物線L：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與直線l：y＝ax+b滿(mǎn)足a2+b2＝2a（2c﹣b），則稱(chēng)此直線l與該拋物線L具有“支干”關(guān)系．此時(shí)，直線l叫做拋物線L的“支線”，拋物線L叫做直線l的“干線”．

（1）若直線y＝x﹣2與拋物線y＝ax2+bx+c具有“支干”關(guān)系，求“干線”的最小值；

（2）若拋物線y＝x2+bx+c的“支線”與y＝﹣的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，求反比例函數(shù)的解析式；

（3）已知“干線”y＝ax2+bx+c與它的“支線”交于點(diǎn)P，與它的“支線”的平行線l′：y＝ax+4a+b交于點(diǎn)A，B，記△ABP得面積為S，試問(wèn)：的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）﹣；（2）y＝﹣或y＝﹣；（3）是定值，理由見(jiàn)解析．

【分析】

（1）根據(jù)“支干”關(guān)系的定義，求出a、b、c的值，利用配方法確定函數(shù)的最值．

（2）由題意a＝1，1+b2＝2（2c﹣b）

①，可得拋物線y＝x2+bx+c的“支線”為y＝x+b，由，消去y得到x2+bx+4c＝0，由拋物線y＝x2+bx+c的“支線”與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，可知△＝0，得b2﹣16c＝0

②，由①②解方程組即可解決問(wèn)題．

（3）的值是定值．不妨設(shè)a＞0，如圖所示，y＝ax2+bx+c與它的“支線”交y軸于C，直線y＝ax+4a+b與y軸交于點(diǎn)D，A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去y得到ax2+（b﹣a）x+c﹣4a﹣b＝0，推出x1+x2＝，x1x2＝，推出|x1﹣x2|＝＝

＝，把

＝2a（2c﹣b）代入上式化簡(jiǎn)＝4，由AB∥PC，可得S＝S△PAB＝S△CAB＝S△CDB﹣S△CDA═

?CD?＝

?4＝8?，由此即可解決問(wèn)題．

【詳解】

解：（1）由題意a＝1，b＝﹣2，12+（﹣2）2＝2（2c+2），解得c＝，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x+，∵y＝x2﹣2x+

＝（x﹣1）2﹣，∵a＝1＞0，∴x＝1時(shí)，y有最小值，最小值為﹣．

（2）由題意a＝1，1+b2＝2（2c﹣b）

①

∴拋物線y＝x2+bx+c的“支線”為y＝x+b，由，消，消去y得到x2+bx+4c＝0，∵拋物線y＝x2+bx+c的“支線”與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，∴△＝0，∴b2﹣16c＝0

②

由①②可得b＝﹣2，或，∴反比例函數(shù)的解析式為y＝﹣或y＝﹣．

（3）是定值．理由如下：

不妨設(shè)a＞0，如圖所示，y＝ax2+bx+c與它的“支線”交y軸于C，直線y＝ax+4a+b與y軸交于點(diǎn)D，A（x1，y1），B（x2，y2），由

得到ax2+（b﹣a）x+c﹣4a﹣b＝0，∴x1+x2＝，x1x2＝，|x1﹣x2|＝

＝

把a(bǔ)2+b2＝2a（2c﹣b）代入上式化簡(jiǎn)得到|x1﹣x2|＝4，∵AB∥PC，∴S＝S△PAB＝S△CAB＝S△CDB﹣S△CDA═?CD?|Bx﹣Ax|＝?|4a|?4＝8?|a|，∴＝8，的值是定值．

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、反比例函數(shù)的性質(zhì)、一元一次方程的根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程組解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分割法求三角形的面積．

【變式2-2】（2020·山東濟(jì)南·中考真題）如圖1，拋物線y＝﹣x2＋bx＋c過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0）與y軸交于點(diǎn)C．在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E（m，0）（0m3），過(guò)點(diǎn)E作直線l⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)M．

（1）求拋物線的解析式及C點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）當(dāng)m＝1時(shí)，D是直線l上的點(diǎn)且在第一象限內(nèi)，若△ACD是以∠DCA為底角的等腰三角形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）如圖2，連接BM并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)N，連接AM，OM，設(shè)△AEM的面積為S1，△MON的面積為S2，若S1＝2S2，求m的值．

【答案】（1）；（2）或；（3）

【分析】

（1）用待定系數(shù)法即可求解；

（2）若△ACD是以∠DCA為底角的等腰三角形，則可以分CD＝AD或AC＝AD兩種情況，分別求解即可；

（3）S1＝AE×yM，2S2＝ON?xM，即可求解．

【詳解】

解：（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得，解得，故拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2＋2x＋3，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，故點(diǎn)C（0，3）；

（2）當(dāng)m＝1時(shí)，點(diǎn)E（1，0），設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，a），由點(diǎn)A、C、D的坐標(biāo)得，AC＝，同理可得：AD＝，CD＝，①當(dāng)CD＝AD時(shí)，即＝，解得a＝1；

②當(dāng)AC＝AD時(shí)，同理可得a＝（舍去負(fù)值）；

故點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，1）或（1，）；

（3）∵E（m，0），則設(shè)點(diǎn)M（m，﹣m2＋2m＋3），設(shè)直線BM的表達(dá)式為y＝sx＋t，則，解得：，故直線BM的表達(dá)式為y＝﹣x＋，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝，故點(diǎn)N（0，），則ON＝；

S1＝AE×yM＝×（m＋1）×（﹣m2＋2m＋3），2S2＝ON?xM＝×m＝S1＝×（m＋1）×（﹣m2＋2m＋3），解得m＝﹣2±（舍去負(fù)值），經(jīng)檢驗(yàn)m＝﹣2是方程的根，故m＝﹣2．

【點(diǎn)睛】

本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、面積的計(jì)算等，其中（2），要注意分類(lèi)求解，避免遺漏．

【考點(diǎn)3】二次函數(shù)的面積最值問(wèn)題

【例3】（2020·四川綿陽(yáng)·中考真題）如圖，拋物線過(guò)點(diǎn)A（0，1）和C，頂點(diǎn)為D，直線AC與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸BD的交點(diǎn)為B（，0），平行于y軸的直線EF與拋物線交于點(diǎn)E，與直線AC交于點(diǎn)F，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為，四邊形BDEF為平行四邊形．

（1）求點(diǎn)F的坐標(biāo)及拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且在直線AC上方，當(dāng)△PAB面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PAB面積的最大值；

（3）在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上取一點(diǎn)Q，同時(shí)在拋物線上取一點(diǎn)R，使以AC為一邊且以A，C，Q，R為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)Q和點(diǎn)R的坐標(biāo)．

【答案】（1）（，﹣）；y＝﹣x2+2x+1

（2）（，）；

（3）Q，R或Q（，﹣10），R（）

【分析】

（1）由待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y＝﹣x+1，求出F點(diǎn)的坐標(biāo)，由平行四邊形的性質(zhì)得出﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），求出a的值，則可得出答案；

（2）設(shè)P（n，﹣n2+2n+1），作PP＇⊥x軸交AC于點(diǎn)P＇，則P＇（n，﹣n+1），得出PP＇＝﹣n2+n，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得出答案；

（3）聯(lián)立直線AC和拋物線解析式求出C（，﹣），設(shè)Q（，m），分兩種情況：①當(dāng)AQ為對(duì)角線時(shí)，②當(dāng)AR為對(duì)角線時(shí)，分別求出點(diǎn)Q和R的坐標(biāo)即可．

【詳解】

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），∵A（0，1），B（，0），設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+m，∴，解得，∴直線AB的解析式為y＝﹣x+1，∵點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為，∴F點(diǎn)縱坐標(biāo)為﹣+1＝﹣，∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（，﹣），又∵點(diǎn)A在拋物線上，∴c＝1，對(duì)稱(chēng)軸為：x＝﹣，∴b＝﹣2a，∴解析式化為：y＝ax2﹣2ax+1，∵四邊形DBFE為平行四邊形．

∴BD＝EF，∴﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），解得a＝﹣1，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+1；

（2）設(shè)P（n，﹣n2+2n+1），作PP＇⊥x軸交AC于點(diǎn)P＇，則P＇（n，﹣n+1），∴PP＇＝﹣n2+n，S△ABP＝OB?PP＇＝﹣n＝﹣，∴當(dāng)n＝時(shí)，△ABP的面積最大為，此時(shí)P（，）．

（3）∵，∴x＝0或x＝，∴C（，﹣），設(shè)Q（，m），①當(dāng)AQ為對(duì)角線時(shí)，∴R（﹣），∵R在拋物線y＝+4上，∴m+＝﹣+4，解得m＝﹣，∴Q，R；

②當(dāng)AR為對(duì)角線時(shí)，∴R（），∵R在拋物線y＝+4上，∴m﹣+4，解得m＝﹣10，∴Q（，﹣10），R（）．

綜上所述，Q，R；或Q（，﹣10），R（）．

【點(diǎn)睛】

本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及方程思想，分類(lèi)討論思想是解題的關(guān)鍵．

【變式3-1】（2020·重慶中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與直線AB相交于A，B兩點(diǎn)，其中，．

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P為直線AB下方拋物線上的任意一點(diǎn)，連接PA，PB，求面積的最大值；

（3）將該拋物線向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線，平移后的拋物線與原拋物線相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為原拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)E，使以點(diǎn)B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）；（2）面積最大值為；（3）存在，【分析】

（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；

（2）設(shè)，求得解析式，過(guò)點(diǎn)P作x軸得垂線與直線AB交于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)，則，即可求解；

（3）分BC為菱形的邊、菱形的的對(duì)角線兩種情況，分別求解即可．

【詳解】

解：（1）∵拋物線過(guò)，∴

∴

∴

（2）設(shè)，將點(diǎn)代入

∴

過(guò)點(diǎn)P作x軸得垂線與直線AB交于點(diǎn)F

設(shè)點(diǎn)，則

由鉛垂定理可得

∴面積最大值為

（3）（3）拋物線的表達(dá)式為：y＝x2＋4x?1＝（x＋2）2?5，則平移后的拋物線表達(dá)式為：y＝x2?5，聯(lián)立上述兩式并解得：，故點(diǎn)C（?1，?4）；

設(shè)點(diǎn)D（?2，m）、點(diǎn)E（s，t），而點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為（0，?1）、（?1，?4）；

①當(dāng)BC為菱形的邊時(shí)，點(diǎn)C向右平移1個(gè)單位向上平移3個(gè)單位得到B，同樣D（E）向右平移1個(gè)單位向上平移3個(gè)單位得到E（D），即?2＋1＝s且m＋3＝t①或?2?1＝s且m?3＝t②，當(dāng)點(diǎn)D在E的下方時(shí)，則BE＝BC，即s2＋（t＋1）2＝12＋32③，當(dāng)點(diǎn)D在E的上方時(shí)，則BD＝BC，即22＋（m＋1）2＝12＋32④，聯(lián)立①③并解得：s＝?1，t＝2或?4（舍去?4），故點(diǎn)E（?1，2）；

聯(lián)立②④并解得：s＝-3，t＝-4±，故點(diǎn)E（-3，-4＋）或（-3，-4?）；

②當(dāng)BC為菱形的的對(duì)角線時(shí)，則由中點(diǎn)公式得：?1＝s?2且?4?1＝m＋t⑤，此時(shí)，BD＝BE，即22＋（m＋1）2＝s2＋（t＋1）2⑥，聯(lián)立⑤⑥并解得：s＝1，t＝?3，故點(diǎn)E（1，?3），綜上，點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（?1，2）或或或（1，?3）．

∴存在，【點(diǎn)睛】

本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、圖形的平移、面積的計(jì)算等，其中（3），要注意分類(lèi)求解，避免遺漏．

【變式3-2】（2020·江蘇宿遷·中考真題）二次函數(shù)的圖象與x軸交于A(2，0)，B(6，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為E．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式，并寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(2)如圖①，D是該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)BD的垂直平分線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)如圖②，P是該二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OP，取OP中點(diǎn)Q，連接QC，QE，CE，當(dāng)△CEQ的面積為12時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【答案】(1)；(4，-1)；(2)(4，3+)或(4，3-)；(3)(10，8)或(，24)

【分析】

(1)由于二次函數(shù)的圖象與x軸交于A(2，0)、B(6，0)兩點(diǎn)，把A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，計(jì)算出a的值即可求出拋物線解析式，由配方法求出E點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)由線段垂直平分線的性質(zhì)可得出CB=CD，設(shè)D(4，m)，由勾股定理可得=，解方程可得出答案；

(3)設(shè)CQ交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)M，設(shè)P(，)，則Q(，)，設(shè)直線CQ的解析式為，則，解得，求出M(，)，ME=，由面積公式可求出n的值，則可得出答案．

【詳解】

(1)將A(2，0)，B(6，0)代入，得，解得，∴二次函數(shù)的解析式為；

∵，∴E(4，)；

(2)如圖1，圖2，連接CB，CD，由點(diǎn)C在線段BD的垂直平分線CN上，得CB=CD，設(shè)D(4，m)，當(dāng)時(shí)，∴C(0，3)，∵=，由勾股定理可得：

=，解得m=3±，∴滿(mǎn)足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4，3+)或(4，3-)；

(3)如圖3，設(shè)CQ交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)M，設(shè)P(，)，則Q(，)，設(shè)直線CQ的解析式為，則，解得，于是直線CQ的解析式為：，當(dāng)時(shí)，∴M(，)，ME==，∵S△CQE=S△CEM+S△QEM=，∴，解得或，當(dāng)時(shí)，P(10，8)，當(dāng)時(shí)，P(，24)．

綜合以上可得，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(10，8)或(，24)．

【點(diǎn)睛】

本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積；熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及方程思想是解題的關(guān)鍵．

【考點(diǎn)4】二次函數(shù)面積的其它問(wèn)題

【例4】（2020·遼寧鞍山·中考真題）在矩形中，點(diǎn)E是射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)G，交直線于點(diǎn)F．

（1）當(dāng)矩形是正方形時(shí)，以點(diǎn)F為直角頂點(diǎn)在正方形的外部作等腰直角三角形，連接．

①如圖1，若點(diǎn)E在線段上，則線段與之間的數(shù)量關(guān)系是________，位置關(guān)系是_________；

②如圖2，若點(diǎn)E在線段的延長(zhǎng)線上，①中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）如圖3，若點(diǎn)E在線段上，以和為鄰邊作，M是中點(diǎn)，連接，，求的最小值．

【答案】（1）①相等；垂直；②成立，理由見(jiàn)解析；（2）

【分析】

（1）①證明△ABE≌△BCF，得到BE=CF，AE=BF，再證明四邊形BEHF為平行四邊形，從而可得結(jié)果；

②根據(jù)（1）中同樣的證明方法求證即可；

（2）說(shuō)明C、E、G、F四點(diǎn)共圓，得出GM的最小值為圓M半徑的最小值，設(shè)BE=x，證明△ABE∽△BCF，得到CF，再利用勾股定理表示出EF=，求出最值即可得到GM的最小值．

【詳解】

解：（1）①∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，即∠BAE+∠AEB=90°，∵AE⊥BF，∴∠CBF+∠AEB=90°，∴∠CBF=∠BAE，又AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴BE=CF，AE=BF，∵△FCH為等腰直角三角形，∴FC=FH=BE，F(xiàn)H⊥FC，而CD⊥BC，∴FH∥BC，∴四邊形BEHF為平行四邊形，∴BF∥EH且BF=EH，∴AE=EH，AE⊥EH，故答案為：相等；垂直；

②成立，理由是：

當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，同理可得：△ABE≌△BCF（AAS），∴BE=CF，AE=BF，∵△FCH為等腰直角三角形，∴FC=FH=BE，F(xiàn)H⊥FC，而CD⊥BC，∴FH∥BC，∴四邊形BEHF為平行四邊形，∴BF∥EH且BF=EH，∴AE=EH，AE⊥EH；

（2）∵∠EGF=∠BCD=90°，∴C、E、G、F四點(diǎn)共圓，∵四邊形BCHF是平行四邊形，M為BH中點(diǎn)，∴M也是EF中點(diǎn)，∴M是四邊形BCHF外接圓圓心，則GM的最小值為圓M半徑的最小值，∵AB=3，BC=2，設(shè)BE=x，則CE=2-x，同（1）可得：∠CBF=∠BAE，又∵∠ABE=∠BCF=90°，∴△ABE∽△BCF，∴，即，∴CF=，∴EF=

=

=，設(shè)y=，當(dāng)x=時(shí)，y取最小值，∴EF的最小值為，故GM的最小值為．

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，圓的性質(zhì)，難度較大，找出圖形中的全等以及相似三角形是解題的關(guān)鍵．

【變式4-1】（2020·湖北中考真題）已知拋物線過(guò)點(diǎn)和，與x軸交于另一點(diǎn)B，頂點(diǎn)為D．

（1）求拋物線的解析式，并寫(xiě)出D點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖1，E為線段上方的拋物線上一點(diǎn)，垂足為F，軸，垂足為M，交于點(diǎn)G．當(dāng)時(shí)，求的面積；

（3）如圖2，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，在x軸上方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1），；（2）；（3）存在，,【解析】

【分析】

（1）利用待定系數(shù)法求出a的值即可得到解析式，進(jìn)而得到頂點(diǎn)D坐標(biāo)；

（2）先求出BC的解析式，再設(shè)直線EF的解析式為,設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，聯(lián)立方程求出點(diǎn)F，G的坐標(biāo)，根據(jù)列出關(guān)于m的方程并求解，然后求得G的坐標(biāo)，再利用三角形面積公式求解即可；

（3）過(guò)點(diǎn)A作AN⊥HB，先求得直線BD，AN的解析式，得到H，N的坐標(biāo)，進(jìn)而得到，設(shè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PRx軸于點(diǎn)R，在x軸上作點(diǎn)S使得RS=PR，證明，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得到關(guān)于n的方程，求得后即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【詳解】

（1）把點(diǎn)A（-1，0），C（0，3）代入中，解得，當(dāng)時(shí)，y=4，（2）

令或x=3

設(shè)BC的解析式為

將點(diǎn)代入，得，解得，設(shè)直線EF的解析式為,設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，將點(diǎn)E坐標(biāo)代入中，得，把x=m代入

即

解得m=2或m=-3

∵點(diǎn)E是BC上方拋物線上的點(diǎn)

∴m=-3舍去

∴點(diǎn)

（3）過(guò)點(diǎn)A作AN⊥HB，∵點(diǎn)

∵點(diǎn)，點(diǎn)

設(shè)，把（-1，0）代入，得b=

設(shè)點(diǎn)

過(guò)點(diǎn)P作PR⊥x軸于點(diǎn)R，在x軸上作點(diǎn)S使得RS=PR

且點(diǎn)S的坐標(biāo)為

若

在和中，或

【點(diǎn)睛】

本題考查的是二次函數(shù)的綜合，涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，運(yùn)算較復(fù)雜，第3問(wèn)的解題關(guān)鍵在于添加適當(dāng)?shù)妮o助線，利用數(shù)形結(jié)合的思想列出方程求解．

【變式4-2】（2020·山東日照·九年級(jí)二模）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A(﹣2，0)和點(diǎn)B(8，0)，與y軸交于點(diǎn)C(0，﹣8)，連接AC，D是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，CD，得到△ACD．

（1）求該拋物線的函數(shù)解析式．

（2）△ACD周長(zhǎng)能否取得最小值，如果能，請(qǐng)求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）在（2）的條件下，在拋物線上是否存在點(diǎn)E，使得△ACE與△ACD面積相等，如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）拋物線的解析式為：y＝x2﹣3x﹣8；（2）△ACD周長(zhǎng)能取得最小值，點(diǎn)D(3，﹣5)；（3）存在，點(diǎn)E(﹣1，﹣4+11)或(﹣﹣1，4+11)

【分析】

（1）由拋物線過(guò)A(﹣2，0)，點(diǎn)B(8，0)和C(0，﹣8)，利用待定系數(shù)法可求解析式；

（2）求△ACD周長(zhǎng)＝AD+AC+CD，AC是定值，當(dāng)AD+CD取最小值時(shí)，△ACD周長(zhǎng)能取得最小值，點(diǎn)A，點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸直線x＝3對(duì)稱(chēng)，連結(jié)BC交拋物線對(duì)稱(chēng)軸于D，利用待定系數(shù)法可求BC解析式，把x=3代入即可求解點(diǎn)D坐標(biāo)；

（3）△ACE與△ACD面積相等，兩個(gè)三角形同底，只要點(diǎn)E與點(diǎn)D到AC的距離相等即可，先求出AC解析式，由面積相等可得DE∥AC，利用待定系數(shù)法可求DE的解析式，與拋物線聯(lián)立方程組可求解．

【詳解】

解：（1）由題意可得：，解得：，∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣3x﹣8；

（2）△ACD周長(zhǎng)能取得最小值，∵點(diǎn)A（﹣2，0），點(diǎn)B（8，0），∴對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝3，∵△ACD周長(zhǎng)＝AD+AC+CD，AC是定值，∴當(dāng)AD+CD取最小值時(shí)，△ACD周長(zhǎng)能取得最小值，∵點(diǎn)A，點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸直線x＝3對(duì)稱(chēng)，∴連接BC交對(duì)稱(chēng)軸直線x＝3于點(diǎn)D，此時(shí)AD+CD有最小值，設(shè)直線BC解析式為：y＝kx﹣8，∴0＝8k﹣8，∴k＝1，∴直線BC解析式為：y＝x﹣8，當(dāng)x＝3，y＝﹣5，∴點(diǎn)D（3，﹣5）；

（3）存在，∵點(diǎn)A（﹣2，0），點(diǎn)C（0，﹣8），∴直線AC解析式為y＝﹣4x﹣8，如圖，∵△ACE與△ACD面積相等，∴DE∥AC，∴設(shè)DE解析式為：y＝﹣4x+n，∴﹣5＝﹣4×3+n，∴n＝7，∴DE解析式為：y＝﹣4x+7，聯(lián)立方程組可得：，解得：，∴點(diǎn)E（﹣1，﹣4+11）或（﹣﹣1，4+11）．

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線解析式，三角形最短周長(zhǎng)，和面積相等時(shí)拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題，會(huì)用待定系數(shù)法求解析式，周長(zhǎng)最短問(wèn)題轉(zhuǎn)化線段的和最短問(wèn)題，會(huì)用過(guò)找對(duì)稱(chēng)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，利用底相同，高相同，轉(zhuǎn)化平行線問(wèn)題是解題關(guān)鍵．

1．（廣東梅州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=x2+bx+c過(guò)A，B，C三點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，-3），動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上．

（1）b

=_________，c

=_________，點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)____________；（直接填寫(xiě)結(jié)果）

（2）是否存在點(diǎn)P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；

（3）過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作PE垂直y軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線．垂足為F，連接EF，當(dāng)線段EF的長(zhǎng)度最短時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【答案】（1），（-1,0）；（2）存在P的坐標(biāo)是或；（3）當(dāng)EF最短時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是：（，）或（，）

【分析】

（1）將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得b、c的值，然后令y=0可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）分別過(guò)點(diǎn)C和點(diǎn)A作AC的垂線，將拋物線與P1，P2兩點(diǎn)先求得AC的解析式，然后可求得P1C和P2A的解析式，最后再求得P1C和P2A與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)即可；

（3）連接OD．先證明四邊形OEDF為矩形，從而得到OD=EF，然后根據(jù)垂線段最短可求得點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，然后由拋物線的解析式可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【詳解】

解：（1）∵將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：，解得：b=﹣2，c=﹣3，∴拋物線的解析式為．

∵令，解得：，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，0）．

故答案為﹣2；﹣3；（﹣1，0）．

（2）存在．理由：如圖所示：

①當(dāng)∠ACP1=90°．由（1）可知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0）．

設(shè)AC的解析式為y=kx﹣3．

∵將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得3k﹣3=0，解得k=1，∴直線AC的解析式為y=x﹣3，∴直線CP1的解析式為y=﹣x﹣3．

∵將y=﹣x﹣3與聯(lián)立解得，（舍去），∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（1，﹣4）．

②當(dāng)∠P2AC=90°時(shí)．設(shè)AP2的解析式為y=﹣x+b．

∵將x=3，y=0代入得：﹣3+b=0，解得b=3，∴直線AP2的解析式為y=﹣x+3．

∵將y=﹣x+3與聯(lián)立解得=﹣2，=3（舍去），∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（﹣2，5）．

綜上所述，P的坐標(biāo)是（1，﹣4）或（﹣2，5）．

（3）如圖2所示：連接OD．

由題意可知，四邊形OFDE是矩形，則OD=EF．根據(jù)垂線段最短，可得當(dāng)OD⊥AC時(shí)，OD最短，即EF最短．

由（1）可知，在Rt△AOC中，∵OC=OA=3，OD⊥AC，∴D是AC的中點(diǎn)．

又∵DF∥OC，∴DF=OC=，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是，∴，解得：x=，∴當(dāng)EF最短時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是：（，）或（，）．

2．（2020·湖北武漢·九年級(jí)一模）已知拋物線y＝ax2＋bx＋c的頂點(diǎn)為D

(，－)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C

(0，－1)，且與x軸交于A、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè))．

(1)

求拋物線的解析式：

(2)

P為拋物線上一點(diǎn)，連CP交OD于點(diǎn)Q，若S△COQ＝S△PDQ，求P點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)M為直線BC下方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)M的直線與x軸、y軸分別交于E、F，且與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．

若∠FCM＝∠OEF，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

【答案】（1）y＝x2－3x－1；（2）P的橫坐標(biāo)為；（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，－)或(2，－2)

【分析】

（1）運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；

（2）聯(lián)立方程組求解即可；

（3）根據(jù)直線EF與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)求出M點(diǎn)橫坐標(biāo)，設(shè)直線CM的解析式為y＝－x－1，與拋物線聯(lián)立，即可求出結(jié)論．

【詳解】

(1)∵拋物線的頂點(diǎn)為D

(，－)，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式為y＝a(x－)2－，把C

(0，－1)代入，得a(0－)2－＝－1，解得a＝．

∴拋物線的解析式為y＝

(x－)2－．

亦即：y＝x2－3x－1．

(2)

連OP、DP、CD，由S△COQ＝S△PDQ，得S△OCD＝S△PDC，則CD∥OP．

由C

(0，－1)、D

(，－)，可得直線CD為y＝－x－1．

則直線OP的解析式為y＝－x．

與拋物線的解析式聯(lián)立，得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為（舍去負(fù)值）．

(3)

設(shè)直線EF為y＝kx＋b，與拋物線y＝x2－3x－1聯(lián)立，得x2－(k＋3)x－1－b＝0，∵直線EF與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴x1＝x2＝－＝

(k＋3)．

即M點(diǎn)橫坐標(biāo)xM＝

(k＋3)．

∵∠FCM＝∠OEF，可得CM⊥EF，故可設(shè)直線CM的解析式為y＝－x－1，與拋物線聯(lián)立，得：xM＝

(3－)．

于是得：

(k＋3)＝

(3－)．

解得k＝1或2．

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，－)或(2，－2)．

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)綜合題，二次函數(shù)性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式．

3．（2020·廣東九年級(jí)一模）如圖，拋物線y＝ax2＋2x＋c（a＜0）與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)B在原點(diǎn)的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，OB＝OC＝3．

（1）求該拋物線的函數(shù)解析式；

（2）連接BC，點(diǎn)D是直線BC上方拋物線上的點(diǎn)，連接OD，CD，OD交BC于點(diǎn)F，當(dāng)S△COF∶S△CDF＝3∶2時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

【答案】（1）y＝﹣x2＋2x＋3；（2）(1，4)或(2，3)

【分析】

（1）c＝3，點(diǎn)B(3，0)，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式：y＝ax2＋2x＋3并解得：a＝﹣1，即可求解；

（2）S△COF∶S△CDF＝3∶2，則OF∶FD＝3∶2，DH∥CO，故CO∶DM＝3∶2，則DM＝CO＝2，而DM＝﹣x2＋2x＋3﹣（﹣x＋3）＝2，即可求解．

【詳解】

解：（1）∵OB＝OC＝3．

∴c＝3，點(diǎn)B(3，0)，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式：y＝ax2＋2x＋3并解得：a＝﹣1，故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2＋2x＋3；

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)M，S△COF∶S△CDF＝3∶2，則OF∶FD＝3∶2，∵DH∥CO，故CO∶DM＝3∶2，則DM＝CO＝2，由B、C的坐標(biāo)得：直線BC的表達(dá)式為：y＝﹣x＋3，設(shè)點(diǎn)D(x，﹣x2＋2x＋3)，則點(diǎn)M(x，﹣x＋3)，DM＝﹣x2＋2x＋3﹣（﹣x＋3）＝2，解得：x＝1或2，故點(diǎn)D(1，4)或(2，3)．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二次函數(shù)綜合，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．

4．（2020·福建南平·九年級(jí)二模）已知拋物線y＝﹣（x+5）（x﹣m）（m＞0）與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；（用含m的式子表示）

（2）若拋物線與直線y＝x交于點(diǎn)E、F，且點(diǎn)E、F關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，求拋物線的解析式；

（3）若點(diǎn)P是線段AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)M，交直線AC于點(diǎn)N，當(dāng)線段MN長(zhǎng)的最大值為時(shí)，求m的取值范圍．

【答案】（1）B（m，0），C（0，）；（2）；（3）0＜m≤．

【分析】

（1）y＝﹣（x+5）（x﹣m），令x＝0，則y＝，令y＝0，則x＝﹣5或m，即可求解；

（2）設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為（a，），（﹣a，），將點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，代入二次函數(shù)表達(dá)式即可求解；

（3）分﹣5≤t≤0、0＜t≤m，兩種情況分別求解即可．

【詳解】

解：（1）y＝﹣（x+5）（x﹣m），令x＝0，則y＝，令y＝0，則x＝﹣5或m，故：B（m，0），C（0，）；

（2）設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為（a，），（﹣a，），代入，得，解得：（m﹣5）a＝a，∵a≠0，∴m＝6，∴拋物線的解析式為；

（3）依題意得A（﹣5，0），C（0，），由m＞0，設(shè)過(guò)A，C兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式是y＝kx+b，將A，C代入，得

解得

∴過(guò)A，C兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式是，設(shè)點(diǎn)P（t，0），則﹣5≤t≤m（m＞0），∴M（t，），N（t，）．

①當(dāng)﹣5≤t≤0時(shí)，∴MN＝＝，∵，∴該二次函數(shù)圖象開(kāi)口向下，又對(duì)稱(chēng)軸是直線，∴當(dāng)時(shí)，MN的長(zhǎng)最大，此時(shí)MN＝，②當(dāng)0＜t≤m時(shí)，∴MN＝＝，∵，∴該二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上，又對(duì)稱(chēng)軸是直線，∴當(dāng)0＜t≤m時(shí)，MN的長(zhǎng)隨t的增大而增大，∴當(dāng)t＝m時(shí)，MN的長(zhǎng)最大，此時(shí)MN＝，∵線段MN長(zhǎng)的最大值為，∴，整理得：，由圖象可得：≤m≤

∵m＞0，∴m的取值范圍是0＜m≤．

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)圖象性質(zhì)、與x軸、y軸交點(diǎn)坐標(biāo)、一次函數(shù)圖象性質(zhì)、原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)、線段最值、分類(lèi)討論法等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．

5．（2018·四川眉山·中考真題）如圖①,已知拋物線y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，3)、B（1，0），其對(duì)稱(chēng)軸為直線l：x=2，過(guò)點(diǎn)A作AC∥x軸交拋物線于點(diǎn)C，∠AOB的平分線交線段AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)其橫坐標(biāo)為m.（1）求拋物線的解析式；

（2）若動(dòng)點(diǎn)P在直線OE下方的拋物線上，連結(jié)PE、PO，當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形AOPE面積最大，并求出其最大值；

（3）如圖②，F(xiàn)是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸l上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P使△POF成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）當(dāng)m=時(shí)，四邊形AOPE面積最大，最大值為.（3）P點(diǎn)的坐標(biāo)為

：P1（，），P2（，），P3（，），P4（，）.【解析】

分析：（1）利用對(duì)稱(chēng)性可得點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用交點(diǎn)式可得拋物線的解析式；

（2）設(shè)P（m，m2-4m+3），根據(jù)OE的解析式表示點(diǎn)G的坐標(biāo)，表示PG的長(zhǎng)，根據(jù)面積和可得四邊形AOPE的面積，利用配方法可得其最大值；

（3）存在四種情況：

如圖3，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△OMP≌△PNF，根據(jù)OM=PN列方程可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；同理可得其他圖形中點(diǎn)P的坐標(biāo)．

詳解：（1）如圖1，設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，由對(duì)稱(chēng)性得：D（3，0），設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，∴拋物線的解析式；y=x2-4x+3；

（2）如圖2，設(shè)P（m，m2-4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠AOE=45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E（3，3），易得OE的解析式為：y=x，過(guò)P作PG∥y軸，交OE于點(diǎn)G，∴G（m，m），∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，∴S四邊形AOPE=S△AOE+S△POE，=×3×3+PG?AE，=+×3×（-m2+5m-3），=-m2+m，=（m-）2+，∵-＜0，∴當(dāng)m=時(shí)，S有最大值是；

（3）如圖3，過(guò)P作MN⊥y軸，交y軸于M，交l于N，∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，易得△OMP≌△PNF，∴OM=PN，∵P（m，m2-4m+3），則-m2+4m-3=2-m，解得：m=或，∴P的坐標(biāo)為（，）或（，）；

如圖4，過(guò)P作MN⊥x軸于N，過(guò)F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN=FM，則-m2+4m-3=m-2，解得：x=或；

P的坐標(biāo)為（，）或（，）；

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是：（，）或（，）或（，）或（，）．

點(diǎn)睛：本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)以及解一元二次方程的方法，解第（2）問(wèn)時(shí)需要運(yùn)用配方法，解第（3）問(wèn)時(shí)需要運(yùn)用分類(lèi)討論思想和方程的思想解決問(wèn)題．

6．（2018·湖南懷化·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A（﹣1，0）B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式和直線AC的解析式；

（2）請(qǐng)?jiān)趛軸上找一點(diǎn)M，使△BDM的周長(zhǎng)最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）試探究：在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)A，P，C為頂點(diǎn)，AC為直角邊的三角形是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；直線AC的解析式為y=3x+3；（2）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，3）；

（3）符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，﹣），【解析】

分析：（1）設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+1）（x-3），展開(kāi)得到-2a=2，然后求出a即可得到拋物線解析式；再確定C（0，3），然后利用待定系數(shù)法求直線AC的解析式；

（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定D的坐標(biāo)為（1，4），作B點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接DB′交y軸于M，如圖1，則B′（-3，0），利用兩點(diǎn)之間線段最短可判斷此時(shí)MB+MD的值最小，則此時(shí)△BDM的周長(zhǎng)最小，然后求出直線DB′的解析式即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）過(guò)點(diǎn)C作AC的垂線交拋物線于另一點(diǎn)P，如圖2，利用兩直線垂直一次項(xiàng)系數(shù)互為負(fù)倒數(shù)設(shè)直線PC的解析式為y=-x+b，把C點(diǎn)坐標(biāo)代入求出b得到直線PC的解析式為y=-x+3，再解方程組得此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)過(guò)點(diǎn)A作AC的垂線交拋物線于另一點(diǎn)P時(shí)，利用同樣的方法可求出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．

詳解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；

當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣x2+2x+3=3，則C（0，3），設(shè)直線AC的解析式為y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，∴直線AC的解析式為y=3x+3；

（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4），作B點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接DB′交y軸于M，如圖1，則B′（﹣3，0），∵M(jìn)B=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此時(shí)MB+MD的值最小，而B(niǎo)D的值不變，∴此時(shí)△BDM的周長(zhǎng)最小，易得直線DB′的解析式為y=x+3，當(dāng)x=0時(shí)，y=x+3=3，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，3）；

（3）存在．

過(guò)點(diǎn)C作AC的垂線交拋物線于另一點(diǎn)P，如圖2，∵直線AC的解析式為y=3x+3，∴直線PC的解析式可設(shè)為y=﹣x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直線PC的解析式為y=﹣x+3，解方程組，解得或，則此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；

過(guò)點(diǎn)A作AC的垂線交拋物線于另一點(diǎn)P，直線PC的解析式可設(shè)為y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得+b=0，解得b=﹣，∴直線PC的解析式為y=﹣x﹣，解方程組，解得或，則此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣）.綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，﹣）.點(diǎn)睛：本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，理解兩直線垂直時(shí)一次項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系，通過(guò)解方程組求把兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，會(huì)運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短解決最短路徑問(wèn)題；會(huì)運(yùn)用分類(lèi)討論的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．

7．（2020·四川中考真題）如圖1，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A，B．與y軸交于點(diǎn)C．連接AC，BC．已知△ABC的面積為2．

（1）求拋物線的解析式；

（2）平行于x軸的直線與拋物線從左到右依次交于P，Q兩點(diǎn)．過(guò)P，Q向x軸作垂線，垂足分別為G，H．若四邊形PGHQ為正方形，求正方形的邊長(zhǎng)；

（3）如圖2，平行于y軸的直線交拋物線于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N

（2，0）．點(diǎn)D是拋物線上A，M之間的一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)D不與A，M重合，連接DB交MN于點(diǎn)E．連接AD并延長(zhǎng)交MN于點(diǎn)F．在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，3NE+NF是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）；（2）或；（3）是，3NE+NF為定值4

【分析】

（1）先將拋物線解析式變形，可得A和B的坐標(biāo)，從而得AB=1+3=4，根據(jù)三角形ABC的面積為2可得OC的長(zhǎng)，確定點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m，當(dāng)y=m時(shí)，﹣x2+x+1=m，解方程可得P和Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得G和H的坐標(biāo)，再利用正方形的性質(zhì)可得出關(guān)于m的方程，解之即可得出結(jié)論；

（3）設(shè)點(diǎn)D（n，﹣n2+n+1），利用待定系數(shù)法求直線AD和BD的解析式，表示FN和OK的長(zhǎng)，直接代入計(jì)算可得結(jié)論．

【詳解】

（1）如圖1，y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x2﹣2x﹣3）=a（x﹣3）（x+1），∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AB=4，∵△ABC的面積為2，即，∴OC=1，∴C（0，1），將C（0，1）代入y=ax2﹣2ax﹣3a，得：﹣3a=1，∴a=﹣，∴該二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2+x+1；

（2）如圖2，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m，當(dāng)y=m時(shí)，﹣x2+x+1=m，解得：x1=1+，x2=1﹣，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1﹣，m），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1+，m），∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1﹣，0），點(diǎn)H的坐標(biāo)為（1+，0），∵矩形PGHQ為正方形，∴PQ=PG，∴1+﹣（1﹣）=m，解得：m1=﹣6﹣2，m2=﹣6+2，∴當(dāng)四邊形PGHQ為正方形時(shí)，邊長(zhǎng)為6+2或2﹣6；

（3）如圖3，設(shè)點(diǎn)D（n，﹣n2+n+1），延長(zhǎng)BD交y軸于K，∵A（﹣1，0），設(shè)AD的解析式為：y=kx+b，則，解得：，∴AD的解析式為：y=（﹣）x﹣，當(dāng)x=2時(shí)，y=﹣n+2﹣n+1=﹣n+3，∴F（2，3﹣n），∴FN=3﹣n，同理得直線BD的解析式為：y=（﹣）x+n+1，∴K（0，n+1），∴OK=n+1，∵N（2，0），B（3，0），∴，∵EN∥OK，∴，∴OK=3EN，∴3EN+FN=OK+FN=n+1+3﹣n=4，∴在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，3NE+NF為定值4．

【點(diǎn)睛】

本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、正方形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；（2）利用正方形的性質(zhì)，找出關(guān)于m的方程；（3）利用AD和BD的解析式確定FN和OK的長(zhǎng)，可解決問(wèn)題．

8．（2020·內(nèi)蒙古中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)A，該拋物線的頂點(diǎn)為M，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，連接．

（1）求b的值及點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）將直線向下平移，得到過(guò)點(diǎn)M的直線，且與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，取點(diǎn)，連接，求證：：

（3）點(diǎn)E是線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接，線段的延長(zhǎng)線與線段交于點(diǎn)G．當(dāng)時(shí)，是否存在點(diǎn)E，使得？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）b=3，M（3，-3）；（2）詳見(jiàn)解析；（3）點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，）.【分析】

（1）將配方后可得頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用求出點(diǎn)A的坐標(biāo)后代入即可求出b的值；

（2）先求出平移后的直線CM的解析式為y=-x，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥直線y=-x，得到直線DH的解析式為y=2x-4，根據(jù)求出交點(diǎn)H（1，-2），分別求得DH=，DM=，根據(jù)sin∠DMH=得到∠DMH=45°，再利用外角與內(nèi)角的關(guān)系得到結(jié)論；

（3）過(guò)點(diǎn)G作GP⊥x軸，過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥x軸，先求出AB=，根據(jù)得到∠BAO=∠AFE，設(shè)GF=4a，則AE=EF=3a，證明△AEQ∽△ABO，求得AQ=a，AF=a，再證△FGP∽△AEQ，得到FP=a，OP=PG=，由此得到+a+a=6，求出a得到AQ=，將x=代入中，得y=，即可得到點(diǎn)E的坐標(biāo).【詳解】

（1）∵=，∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，-3）.令中y=0，得x1=0，x2=6，∴A（6,0），將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入中，得-3+b=0，∴b=3；

（2）∵由平移得來(lái)，∴m=-，∵過(guò)點(diǎn)M(3，-3),∴，解得n=，∴平移后的直線CM的解析式為y=-x.過(guò)點(diǎn)D作DH⊥直線y=-x，∴設(shè)直線DH的解析式為y=2x+k，將點(diǎn)D（2,0）的坐標(biāo)代入，得4+k=0，∴k=-4，∴直線DH的解析式為y=2x-4.解方程組，得，∴H（1，-2）.∵D(2，0)，H(1，-2)，∴DH=，∵M(jìn)(3，-3)，D（2,0）,∴DM=，∴sin∠DMH=，∴∠DMH=45°，∵∠ACM+∠DMH=∠ADM，∴；

（3）存在點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)G作GP⊥x軸，過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥x軸，∵A(6，0)，B（0,3）,∴AB=.∵，∠BEF=∠BAO+∠AFE，∴∠BAO=∠AFE，∴AE=EF，∵，∴，設(shè)GF=4a，則AE=EF=3a，∵EQ⊥x軸，∴EQ∥OB，∴△AEQ∽△ABO，∴，∴，∴AQ=a，∴AF=a.∵∠AFE=∠PFG，∴△FGP∽△AEQ，∴,∴FP=a，∴OP=PG=，∴+a+a=6,解得a=，∴AQ=,∴OQ=，將x=代入中，得y=，∴當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)E，使得，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，）.【點(diǎn)睛】

此題考查了拋物線的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)平移的性質(zhì)，兩個(gè)一次函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)與方程組的關(guān)系，相似三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)定理，是一道拋物線的綜合題，較難.9．（2020·福建廈門(mén)一中九年級(jí)其他模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知四邊形ABCD為平行四邊形，點(diǎn)A在y軸上且在B的下方，B(0，3)，且點(diǎn)C，點(diǎn)D在第一象限．

（1）若點(diǎn)A(0，1)，點(diǎn)D(2，2)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)C在直線y＝0.5x+3上，①若CD＝BC，點(diǎn)D在拋物線y＝x2﹣x+3上，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

②若CD＝BC，拋物線y＝x2﹣ax+4﹣a經(jīng)過(guò)點(diǎn)D、E，與y軸交于點(diǎn)F，若點(diǎn)E在直線BD上，求的最大值．

【答案】（1）D(2，4)；（2）①C(3+，)或(3﹣，)，②

【分析】

（1）由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)知，AB＝3﹣1＝2＝CD，即可求解；

（2）①作BH⊥CD于H，則D（m，m2﹣m+3），則CB＝CD＝﹣m2+3m，BH＝m，CH＝m，m≠0，則1+（）2＝（﹣m+3）2，即可求解；

②利用CD＝CB，求出m＝1或m＝1﹣a，再分m＝1、m＝1﹣a兩種情況，分別求解即可．

【詳解】

解：（1）由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)知，AB＝3﹣1＝2＝CD，故點(diǎn)D（2，4）；

（2）如圖，設(shè)C（m，m+3），則D（m，m2﹣m+3），①作BH⊥CD于H，則D（m，m2﹣m+3），則CB＝CD＝﹣m2+3m，BH＝m，CH＝m，m≠0，∴1+（）2＝（﹣m+3）2，m＝3±，故C（3+，）或（3﹣，）；

②∵y＝x+3，BH＝m，∴BC＝m．

CD＝CB＝m，又CD∥y軸，∴D（m，m2﹣am+4﹣a），由點(diǎn)B、D的坐標(biāo)得，直線DB解析式：y＝x+3，解方程：x+3＝x2﹣ax+4﹣a，整理得：mx2﹣（m2+1﹣a）x+m（1﹣a）＝0，即[mx﹣（1﹣a）]（x﹣m）＝0，解得：x＝m或x＝，即，而CD＝m+3﹣（m2﹣am+4﹣a）＝﹣m2+（a+）m﹣1+a，且CD＝CB，∴m＝﹣m2+（a+）m﹣1+a，整理得：m2+（2﹣a）m+1﹣a＝0，[m﹣（1﹣a）]（m﹣1）＝0，解得：m＝1或m＝1﹣a．

（I）當(dāng)m＝1時(shí)，C（1，），D（1，），F(xiàn)（0，4﹣a），xE＝1﹣a，則S△DEF＝BF?（xD﹣xE）＝（a﹣1）[1﹣（1﹣a）]＝（a2﹣a），而S?ABCD＝BH?CD＝1×＝，故S△DEF﹣S?ABCD＝（a2﹣a）﹣＝（a﹣）2﹣，∵＞0，故S△DEF﹣S?ABCD沒(méi)有最大值；

（II）

當(dāng)m＝1﹣a時(shí)，C（1﹣a，），D（1﹣a，2a+1），則F（0，4﹣a），xE＝1，而S△DEF＝BF?（xD﹣xE）＝（a﹣1）[（1﹣a）﹣1]＝﹣（a2﹣a），S?ABCD＝BH?CD＝（1﹣a）?（1﹣a）＝（1﹣a）

2，∴S△DEF﹣S?ABCD＝﹣（a2﹣a）﹣（1﹣a）

2＝﹣3a2+a﹣＝﹣3（a﹣）2+≤，∴S△DEF﹣S?ABCD的最大值為．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

10．（2020·河南九年級(jí)二模）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，一塊等腰直角三角板ABC的直角頂點(diǎn)A在y軸上，坐標(biāo)為（0，－1），另一頂點(diǎn)B坐標(biāo)為（－2，0），已知二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)．現(xiàn)將一把直尺放置在直角坐標(biāo)系中，使直尺的邊A＇D＇∥y軸且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，直尺沿x軸正方向平移，當(dāng)A＇D＇與y軸重合時(shí)運(yùn)動(dòng)停止．

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)及二次函數(shù)的關(guān)系式；

（2）若運(yùn)動(dòng)過(guò)程中直尺的邊A＇D＇交邊BC于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N，求線段MN長(zhǎng)度的最大值；

（3）如圖②，設(shè)點(diǎn)P為直尺的邊A＇D＇上的任一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，Q為BC的中點(diǎn)，試探究：在直尺平移的過(guò)程中，當(dāng)PQ＝時(shí)，線段PA、PB、PC之間的數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論，并指出相應(yīng)的點(diǎn)P與拋物線的位置關(guān)系．

（說(shuō)明：點(diǎn)與拋物線的位置關(guān)系可分為三類(lèi)，例如，圖②中，點(diǎn)A在拋物線內(nèi)，點(diǎn)C在拋物線上，點(diǎn)D＇在拋物線外．）

【答案】（1）C（-1，-3）．y=x2+x-3．（2）．（3）PB-PC=PA．

【詳解】

試題分析：（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)，考慮作x，y軸垂線，表示橫縱坐標(biāo)，易得△CDA≌△AOB，所以C點(diǎn)坐標(biāo)易知．進(jìn)而拋物線解析式易得．

（2）橫坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)距離，可以用這兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)作差，因?yàn)閮牲c(diǎn)分別在直線BC與拋物線上，故可以利用解析式，設(shè)橫坐標(biāo)為x，表示兩個(gè)縱坐標(biāo)．作差記得關(guān)于x的二次函數(shù)，利用最值性質(zhì)，結(jié)果易求．

（3）計(jì)算易得，BC=，因?yàn)镼為BC的中點(diǎn)，PQ=恰為半徑，則以作圓，P點(diǎn)必在圓上．此時(shí)連接PB，PC，PA，因?yàn)锽C為直徑，故BP2+CP2=BC2為定值，而PA不固定，但不超過(guò)BC，所以易得結(jié)論BP2+CP2≥PA2，題目要求考慮三種情況，其中P在拋物線上時(shí)，P點(diǎn)只能與B或C重合，此時(shí)，PA，PB，PC可求具體值，則有等量關(guān)系．

試題解析：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥y軸于D，此時(shí)△CDA≌△AOB，∵△CDA≌△AOB，∴AD=BO=2，CD=AO=1，∴OD=OA+AD=3，∴C（-1，-3）．

將B（-2，0），C（-1，-3）代入拋物線y=x2+bx+c，解得

b=，c=-3，∴拋物線的解析式為y=x2+x-3．

（2）設(shè)lBC：y=kx+b，∵B（-2，0），C（-1，-3），∴，解得，∴l(xiāng)BC：y=-3x-6，設(shè)M（xM，-3xM-6），N（xN，xN2+xN-3），∵xM=xN（記為x），yM≥yN，∴線段MN長(zhǎng)度=-3x-6-（x2+x-3）=-（x+）2+，（-2≤x≤-1），∴當(dāng)x=-時(shí)，線段MN長(zhǎng)度為最大值．

（3）答：P在拋物線外時(shí)，BP2+CP2≥PA2；P在拋物線上時(shí)，BP+CP=AP；P在拋物線內(nèi)，BP2+CP2≥PA2．

分析如下：

如圖2，以Q點(diǎn)為圓心，為半徑作⊙Q，∵OB=2，OA=1，∴AC=AB==，∴BC=，∴BQ=CQ=，∵∠BAC=90°，∴點(diǎn)B、A、C都在⊙Q上．

①P在拋物線外，如圖3，圓Q與BD′的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，連接PB，PC，PA，延長(zhǎng)PC交y軸于點(diǎn)D

∵BC為直徑，∴∠BPC=90°

∵BD′與y軸平行

∴∠ADC=90°，且D點(diǎn)為拋物線與y軸交點(diǎn)

∴PD∥x軸

易得PC=1，PB=3，PA=2

∴BP+CP=AP．

②P在拋物線上，此時(shí)，P只能為B點(diǎn)或者C點(diǎn)，∵AC=AB=，∴AP=，∵BP+CP=BC=，∴BP+CP=AP．

③P在拋物線內(nèi)，有兩種情況，如圖4，5，如圖4，在PC上取BP=PT，∵BC為直徑，∴∠BPC=90°

∴△BPT為等腰直角三角形

∴∠PBT=45°=∠1+∠2

∵∠ABC=∠3+∠2=45°

∴∠1=∠3

∵∠BAP=∠BCP（同弧BP）

∴△BPA∽△BTC

∴

∵PC=PT+CT

∴PC=PT+PA=PB+PA

∴PC-PB=PA

同理，如圖5，也可得PB-PC=PA．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．

11．（2020·湖北武漢·九年級(jí)其他模擬）拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，直線交拋物線于另一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．求證：軸；

（3）如圖2，為拋物線上兩點(diǎn)，直線，交軸于點(diǎn)，，求面積的最小值．

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）的最小值為1．

【分析】

（1）把點(diǎn)，代入解析式構(gòu)建方程組求解即可；

（2）由題易得，設(shè)，則，然后根據(jù)在平面直接坐標(biāo)系里兩條直線平行時(shí)，進(jìn)行求解即可；

（3）設(shè)直線的解析式為：，直線的解析式為，直線的解析式為，由題意得，進(jìn)而可得，然后把三角形的面積表示出來(lái)利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．

【詳解】

（1）∵過(guò)，∴解得．

∴拋物線的解析式為．

（2）當(dāng)時(shí)，．∴

設(shè)，則，∴，．

∴，∴，∵，∴設(shè)，則，．

∴．

設(shè)直線，∴，∴．

由得

∵，∴軸．

（3）設(shè)直線的解析式為：，由得，．

∴，∴．

設(shè)直線的解析式為，同理可得：，∴．

設(shè)直線的解析式為，由得．

∴，．

∵，∴，，∴直線．

不論為何值，當(dāng)時(shí)，∴直線過(guò)點(diǎn)．

∵，∴軸，∴的最小值為1．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，關(guān)鍵是根據(jù)題意得到二次函數(shù)的表達(dá)式，然后利用一次函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行求解問(wèn)題即可．

12．（2020·廣東深圳·九年級(jí)其他模擬）如下圖，拋物線與軸正半軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線軸，點(diǎn)是拋物線在第一象限部分上的一動(dòng)點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，連接．設(shè)．

（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo)并求出的最大值；

（2）如圖1，隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，的值是否會(huì)發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由，若不變，則求出它的值；

（3）連接，如圖2，則當(dāng)點(diǎn)位于何處時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大？請(qǐng)你求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

【答案】（1）A點(diǎn)坐標(biāo)為，4；（2）不會(huì)發(fā)生變化，理由見(jiàn)解析，；（3）點(diǎn)坐標(biāo)為

【分析】

（1）根據(jù)P點(diǎn)的坐標(biāo)得到，根據(jù)即可得到結(jié)果；

（2）由（1）知：，，根據(jù)計(jì)算即可；

（3）取的中點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線，垂足為，交直線于點(diǎn)，得矩形；連接，得到，在根據(jù)題意得，聯(lián)立方程計(jì)算即可；

【詳解】

解：（1）A點(diǎn)坐標(biāo)為．

∵，∴點(diǎn)坐標(biāo)為

∴．

又，．

∴．

∴．

∴的最大值為4．

（2）的值不會(huì)發(fā)生變化理由如下：

由（1）知：，．

所以，，．

又，．

∴，∴．

（3）如下左圖，取的中點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線，垂足為，交直線于點(diǎn)，得矩形；連接．

易得，∴．

∴．

由（2）知，．

∴．又，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．

即，直線繞定點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)．

如上右圖，表示的任一位置，長(zhǎng)是點(diǎn)到它的距離．則，∵，∴的最大值等于．

顯然，獲得最大值的條件是．

∵此時(shí)，易得，此時(shí)，從而，得．

∴此時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為

∴直線的解析式為：．

由得，（舍）．

故，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二次函數(shù)綜合，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．

13．（2020·廣東九年級(jí)一模）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為直線平行于軸的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，．

（1）求此拋物線和直線的解析式；

（2）點(diǎn)在軸上，直線將三角形面積分成兩部分，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

【答案】（1）；（2）或

【分析】

（1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸直線求出b，把點(diǎn)代入拋物線解析式求出c，即可求出拋物線解析式，根據(jù)拋物線對(duì)稱(chēng)性和搶救車(chē)點(diǎn)B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線的解析式；

（2）作出直線與交于點(diǎn)，過(guò)作軸，與軸交于點(diǎn)與軸交于點(diǎn)，得到進(jìn)而得到，根據(jù)直線將面積分成兩部分，分別得到或兩種情況，分別求出Q橫坐標(biāo)，進(jìn)而求出Q坐標(biāo)，直線CQ解析式，即可求出點(diǎn)P坐標(biāo)．

【詳解】

解：由題意得：，解得：，則此拋物線的解析式為；

拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線，橫坐標(biāo)為橫坐標(biāo)為，把代入拋物線解析式得：，設(shè)直線解析式為，把坐標(biāo)代入得：

即

直線解析式為

（2）作出直線與交于點(diǎn)，過(guò)作軸，與軸交于點(diǎn)與軸交于點(diǎn)，可得，點(diǎn)在軸上，直線將面積分成兩部分，或，即或，或，當(dāng)時(shí)，把代入直線解析式得：

此時(shí)，直線解析式為，令，得到，即；

當(dāng)時(shí)，把代入直線解析式

得：，此時(shí)，直線解析式為，令得到

此時(shí)，綜上，的坐標(biāo)為或．

【點(diǎn)睛】

本題為二次函數(shù)綜合題，綜合性強(qiáng)，難度大．熟練掌握二次函數(shù)性質(zhì)，深刻理解坐標(biāo)系內(nèi)求點(diǎn)的坐標(biāo)方法，添加輔助線構(gòu)造相似是解題關(guān)鍵．

14．（2020·湖北九年級(jí)一模）如圖．拋物線交軸于兩點(diǎn)．其中點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)．

求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

如圖①，連接．點(diǎn)在拋物線上﹐且滿(mǎn)足．求點(diǎn)的坐標(biāo)；

如圖②，點(diǎn)為軸下方拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱(chēng)軸與軸的交點(diǎn)，直線分別交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)，求的值．

【答案】（1）；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（3）8

【分析】

（1）把點(diǎn)A、C坐標(biāo)代入拋物線解析式即求得b、c的值．

（2）點(diǎn)P可以在x軸上方或下方，需分類(lèi)討論．①若點(diǎn)P在x軸下方，延長(zhǎng)AP到H，使AH＝AB構(gòu)造等腰△ABH，作BH中點(diǎn)G，即有∠PAB＝2∠BAG＝2∠ACO，利用∠ACO的三角函數(shù)值，求BG、BH的長(zhǎng)，進(jìn)而求得H的坐標(biāo)，求得直線AH的解析式后與拋物線解析式聯(lián)立，即求出點(diǎn)P坐標(biāo)．②若點(diǎn)P在x軸上方，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，AP一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)H關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H＇，求得直線AH＇的解析式后與拋物線解析式聯(lián)立，即求出點(diǎn)P坐標(biāo)．

（3）設(shè)點(diǎn)Q橫坐標(biāo)為t，用t表示直線AQ、BN的解析式，把x＝?1分別代入即求得點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)，再求DM、DN的長(zhǎng)，即得到DM＋DN為定值．

【詳解】

解：拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)

解得

拋物線的函數(shù)表達(dá)式為

①若點(diǎn)在軸下方，如圖1

延長(zhǎng)到，使，過(guò)點(diǎn)作軸，連接，作中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)

當(dāng)，解得

中，為中點(diǎn)，即

在中，中，即

設(shè)直線解析式為

解得

直線

解得（即點(diǎn)），②若點(diǎn)在軸上方，如圖2，在上截取，則于關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)

設(shè)直線解析式為

解得

直線

解得（即點(diǎn)），、綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或

為定值

拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為，直線

設(shè)

設(shè)直線解析式為

解得

直線

當(dāng)時(shí)，設(shè)直線解析式為

解得

直線

當(dāng)時(shí)，為定值．

【點(diǎn)睛】

本題考查了求二次函數(shù)解析式、求一次函數(shù)解析式，解一元二次方程、二元一次方程組，等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用．第（2）題由于不確定點(diǎn)P位置需分類(lèi)討論；（2）（3）計(jì)算量較大，應(yīng)認(rèn)真理清線段之間的關(guān)系再進(jìn)行計(jì)算．

15．（2020·貴陽(yáng)清鎮(zhèn)北大培文學(xué)校九年級(jí)其他模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過(guò)A（－4，0），B（0，－4），C（2，0）三點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，△AMB的面積為S．求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．

（3）若點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線y＝－x上的動(dòng)點(diǎn)，判斷有幾個(gè)位置能夠使得點(diǎn)P、Q、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫(xiě)出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

【答案】（1）；（2），時(shí)有最大值；（3）或或或．

【分析】

（1）先假設(shè)出函數(shù)解析式，利用三點(diǎn)法求解函數(shù)解析式．

（2）設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，利用S＝S△AOM＋S△OBM?S△AOB即可進(jìn)行解答；

（3）當(dāng)OB是平行四邊形的邊時(shí)，表示出PQ的長(zhǎng)，再根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等列出方程求解即可；當(dāng)OB是對(duì)角線時(shí)，由圖可知點(diǎn)A與P應(yīng)該重合．

【詳解】

解：（1）設(shè)此拋物線的函數(shù)解析式為：，將，三點(diǎn)代入函數(shù)解析式得：，解得，所以此函數(shù)解析式為：；

（2）∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且點(diǎn)在這條拋物線上，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為：，∴

∵，當(dāng)時(shí)，有最大值為：．

答：時(shí)有最大值．

（3）設(shè)．

當(dāng)為邊時(shí)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知，且，∴的橫坐標(biāo)等于的橫坐標(biāo)，又∵直線的解析式為，則．

由，得，解得，．（不合題意，舍去）

如圖，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，知與應(yīng)該重合，．

四邊形為平行四邊形則，橫坐標(biāo)為4，代入得出為．

由此可得或或或．

【點(diǎn)睛】

本題考查了三點(diǎn)式求拋物線的方法，以及拋物線的性質(zhì)和最值的求解方法．

16．（2020·山東煙臺(tái)·九年級(jí)其他模擬）如圖，拋物線y=ax2+x+c的圖象與x軸交于A（-3，0），B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-2），連接AC．點(diǎn)P是x軸上的動(dòng)點(diǎn)．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交線段AC于點(diǎn)D，E為y軸上一點(diǎn)，連接AE，BE，當(dāng)AD=BE時(shí)，求AD+AE的最小值；

（3）點(diǎn)Q為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使得以A、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

【答案】（1）；（2）4；（3）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-5，0）或（，0）或（，0）或（-1，0）．

【分析】

（1）將A、C兩點(diǎn)代入，利用待定系數(shù)法求得拋物線的表達(dá)式；

（2）由AD=BE，將AD+AE轉(zhuǎn)化為BE+AE，通過(guò)兩點(diǎn)之間線段最短即可得解；

（3）分情況討論，AC為平行四邊形的對(duì)角線、AQ為對(duì)角線、AP為對(duì)角線三種情況討論．

【詳解】

（1）將A（-3，0），C（0，-2），代入y=ax2+x+c得，解得，∴拋物線的表達(dá)式為；

（2）令，解得x=-3或1，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），當(dāng)AD=BE時(shí)，AD+AE=BE+AE，∴當(dāng)A、E、B三點(diǎn)共線時(shí)，BE+AE最小，最小值為AB的長(zhǎng)，∴當(dāng)AD=BE時(shí)，AD+AE的最小值為AB=1-(-3)=4；

（3）存在．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（n，），①若AQ為平行四邊形的對(duì)角線，則PA=QC，QC∥x軸，如圖①，∴-3-m=0-n，解得n=-2或0（舍去），∴m=-5，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-5，0）；

②若AP為對(duì)角線，則AC=PQ，如圖②所示，即m-n=3，解得n=-1+或-1-，∴m=2+或2-，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2+，0）或（2-，0）；

③當(dāng)AC是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，則AQ=PC，如圖③，即m-（-3）=0-n，解得n=-2或0（舍去），∴m=-1，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，0）．

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-5，0）或（2+，0）或（2-，0）或（-1，0）．

【點(diǎn)睛】

本題是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)；熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，靈活應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．第(3)問(wèn)需分類(lèi)討論，以防遺漏．

17．（2020·河南九年級(jí)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線交軸于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且．

（1）求，的值．

（2）點(diǎn)為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，線段的長(zhǎng)為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍．

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）的值為，的值為；（2）與之間的函數(shù)關(guān)系式為；（3）存在滿(mǎn)足題意的點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或．

【分析】

（1）本題根據(jù)題意得出點(diǎn)B、點(diǎn)C坐標(biāo)后，將點(diǎn)代入二次函數(shù)解析式即可求解．

（2）本題首先利用函數(shù)解析式表示P點(diǎn)坐標(biāo)，繼而分別求解PK、AK長(zhǎng)度，進(jìn)一步以正切三角函數(shù)作為中介求解OD，最后利用邊長(zhǎng)關(guān)系即可求解本題．

（3）本題首先根據(jù)已知求解△APQ的面積，繼而求解點(diǎn)D坐標(biāo)與直線AP解析式，進(jìn)一步分類(lèi)討論點(diǎn)Q所在位置，求解手段是做輔助線并利用函數(shù)表示MQ距離，繼而利用割補(bǔ)法表示△APQ面積，最后根據(jù)限制條件確定最終答案．

【詳解】

（1）∵，∴，．

將點(diǎn)，代入拋物線中，得，解得，∴的值為，的值為．

（2）由第一問(wèn)可知拋物線的解析式為．

∵點(diǎn)為第－象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為，∴．

∵，∴．

過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如下圖所示，則．

當(dāng)時(shí)，即，解得，．

∴，即．

∴．

∵，即，∴．

∴．

∴與之間的函數(shù)關(guān)系式為．

（3）存在．

由題意易得，∴．

∵，∴．

∴．

∴，．

由可知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為9，故易得直線的解析式為．

由題意，可知點(diǎn)的位置需分以下兩種情況進(jìn)行討論．

①當(dāng)點(diǎn)在直線下方的拋物線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，交于點(diǎn)，如下圖3所示：

設(shè)，則．

∴．

∴．

其中是P點(diǎn)橫坐標(biāo)，是A點(diǎn)橫坐標(biāo)．

∴的最大值為72．

∵，∴在直線下方不存在滿(mǎn)足題意的點(diǎn)．

②當(dāng)點(diǎn)在直線上方的拋物線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，交于點(diǎn)，如下圖2所示：

設(shè)，或，則．

∴．

∴，解得，．

綜上所述，存在滿(mǎn)足題意的點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或．

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)的綜合，難度較高，待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式需要熟練掌握，對(duì)三角函數(shù)的基本概念要清楚，該知識(shí)點(diǎn)通常作為邊長(zhǎng)比例關(guān)系的媒介，涉及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題需要分類(lèi)討論．

18．（2020·山東九年級(jí)一模）已知，拋物線y＝-x2

+bx+c交y軸于點(diǎn)C（0,2），經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q（2,2）.直線y＝x+4分別交x軸、y軸于點(diǎn)B、A．

（1）直接填寫(xiě)拋物線的解析式________；

（2）如圖1，點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），PO交拋物線于M，PC交AB于N，連MN.求證：MN∥y軸；

（3）如圖,2，過(guò)點(diǎn)A的直線交拋物線于D、E，QD、QE分別交y軸于G、H.求證：CG

?CH為定值.【答案】（1）；（2）見(jiàn)詳解；（3）見(jiàn)詳解．

【分析】

（1）把點(diǎn)C、D代入y＝-x2

+bx+c求解即可；

（2）分別設(shè)PM、PC的解析式，由于PM、PC與拋物線的交點(diǎn)分別為：M、N.，分別求出M、N的代數(shù)式即可求解；

（3）先設(shè)G、H的坐標(biāo)，列出QG、GH的解析式，得出與拋物線的交點(diǎn)D、E的橫坐標(biāo)，再列出直線AE的解析式，算出它與拋物線橫坐標(biāo)的交點(diǎn)方程.運(yùn)用韋達(dá)定理即可求證．

【詳解】

詳解：（1）∵y＝-x2

+bx+c過(guò)點(diǎn)C（0,2），點(diǎn)Q（2,2），∴,解得：.∴y=-x2+x+2；

（2）

設(shè)直線PM的解析式為：y=mx，直線PC的解析式為：y=kx+2

由

得x2+（k-1）x=0,解得：，xp=

由

得x2+(m-1)x-2=0，即xp?xm=-4，∴xm==.由

得xN==xM,∴MN∥y軸.（3）設(shè)G（0，m）,H（0，n）.設(shè)直線QG的解析式為，將點(diǎn)代入

得

直線QG的解析式為

同理可求直線QH的解析式為；

由

得

解得：

同理，設(shè)直線AE的解析式為：y=kx+4，由，得x2-(k-1)x+2=0

即xDxE=4，即（m-2）?（n-2）=4

∴CG?CH=（2-m）?（2-n）=4.19．（2020·重慶八中九年級(jí)一模）如圖，拋物線y＝x2+2x﹣6交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于C點(diǎn)，D點(diǎn)是該拋物線的頂點(diǎn)，連接AC、AD、CD．

（1）求△ACD的面積；

（2）如圖，點(diǎn)P是線段AD下方的拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)P作PE∥y軸分別交AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，過(guò)P作PG⊥AD于點(diǎn)G，求EF+FG的最大值，以及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖，在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)M，在y軸上有一動(dòng)點(diǎn)N，是否存在以BN為直角邊的等腰Rt△BMN？若存在，求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）24；（2）最大值為，點(diǎn)P（﹣3，﹣）；（3）存在，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為﹣﹣或2﹣2．

【分析】

（1）先求出拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求得AC的解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)N、D的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式求出結(jié)果；

（2）證明EF+FG即為EP的長(zhǎng)度，即可求解；

（3）分∠BNM為直角、∠MBN為直角，利用三角形全等即可求解．

【詳解】

解：（1）令x＝0，得，∴C（0，﹣6），令y＝0，得，解得，∴A（，0），點(diǎn)B（，0），設(shè)直線AC的解析式為：y＝kx+b（k≠0），則，∴，∴直線AC的解析式為：，∵，∴D（，），過(guò)D作DM⊥x軸于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，如圖，令，則N（，），∴，∴；

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)D作x軸的平行線交FP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，由點(diǎn)A、D的坐標(biāo)得，直線AD的表達(dá)式為：，∴tan∠FDH＝2，則sin∠FDH＝，∵∠HDF+∠HFD＝90°，∠FPG+∠PFG＝90°，∴∠FDH＝∠FPG，在Rt△PGF中，PF＝＝

＝FG，則EF+FG＝EF+PF＝EP，設(shè)點(diǎn)P（x，），則點(diǎn)E（x，），則EF+FG＝EF+PF＝EP＝，∵﹣＜0，故EP有最大值，此時(shí)x＝﹣＝﹣3，最大值為；

當(dāng)x＝時(shí)，故點(diǎn)P（，）；

（3）存在，理由：

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n），則，點(diǎn)N（0，s），①當(dāng)∠MNB為直角時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)N作x軸的平行線交過(guò)點(diǎn)B與y軸的平行線于點(diǎn)H，交過(guò)點(diǎn)M與y軸的平行線于點(diǎn)G，∵∠MNG+∠BNH＝90°，∠MNG+∠GMN＝90°，∴∠GMN＝∠BNH，∵∠NGM＝∠BHN＝90°，MN＝BN，∴△NGM≌△BHN（AAS），∴GN＝BH，MG＝NH，即且，聯(lián)立并解得：（舍去正值），故，則點(diǎn)M（，）；

②當(dāng)∠NBM為直角時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)B作y軸的平行線交過(guò)點(diǎn)N與x軸的平行線于點(diǎn)G，交過(guò)點(diǎn)M與x軸的平行線于點(diǎn)H，同理可證：△MHB≌△BGN（AAS），則BH＝NG，即，當(dāng)時(shí)，解得：（舍去正值），故，則點(diǎn)M（，）；

綜上，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為或．

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)的綜合題，涉及三角形面積的求解，用胡不歸原理求最值，等腰直角三角形的存在性問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是需要掌握這些特定題型的特定解法，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想去解決問(wèn)題．

20．（2020·天津中考真題）已知點(diǎn)是拋物線（為常數(shù)，）與x軸的一個(gè)交點(diǎn)．

（1）當(dāng)時(shí)，求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，與y軸的交點(diǎn)為C，過(guò)點(diǎn)C作直線l平行于x軸，E是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，．

①當(dāng)點(diǎn)E落在拋物線上（不與點(diǎn)C重合），且時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

②取的中點(diǎn)N，當(dāng)m為何值時(shí)，的最小值是？

【答案】（1）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）①點(diǎn)F的坐標(biāo)為或；②當(dāng)m的值為或時(shí)，MN的最小值是．

【分析】

（1）根據(jù)，則拋物線的解析式為，再將點(diǎn)A（1，0）代入，求出b的值，從而得到拋物線的解析式，進(jìn)一步可求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）①首先用含有m的代數(shù)式表示出拋物線的解析式，求出，點(diǎn).過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)H,在Rt中，利用勾股定理求出AE的值，再根據(jù)，可求出m的值，進(jìn)一步求出F的坐標(biāo)；

②首先用含m的代數(shù)式表示出MC的長(zhǎng)，然后分情況討論MN什么時(shí)候有最值.【詳解】

解：（1）當(dāng)，時(shí)，拋物線的解析式為．

∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．解得．

拋物線的解析式為．，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．

（2）①∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，，即．，．

拋物線的解析式為．

根據(jù)題意，得點(diǎn)，點(diǎn)．

過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)H．

由點(diǎn)，得點(diǎn)．

在Rt中，，．，．解得．

此時(shí)，點(diǎn)，點(diǎn)，有．

點(diǎn)F在y軸上，在Rt中，．

點(diǎn)F的坐標(biāo)為或．

②由N是EF的中點(diǎn)，得．

根據(jù)題意，點(diǎn)N在以點(diǎn)C為圓心、為半徑的圓上．

由點(diǎn)，點(diǎn)，得，．

在中，．

當(dāng)，即時(shí)，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)N落在線段MC上，MN的最小值為，解得；

當(dāng)，時(shí)，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)N落在線段CM的延長(zhǎng)線上，MN的最小值為，解得．

當(dāng)m的值為或時(shí)，MN的最小值是．

【點(diǎn)睛】

本題考查了待定系數(shù)法求解析式，拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足拋物線方程等，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考常考題型．．