第一篇：等比數(shù)列求和教學(xué)設(shè)計(jì)

等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

甘天威

一：教學(xué)背景

1.面向?qū)W生： 中學(xué) 學(xué)科： 數(shù)學(xué) 2.課時(shí)： 2個(gè)課時(shí) 3.學(xué)生課前準(zhǔn)備：（1）預(yù)習(xí)書本內(nèi)容

（2）收集等比數(shù)列求和相關(guān)實(shí)際問(wèn)題。

二：教學(xué)課題

教養(yǎng)方面：

1了解等比數(shù)列求和問(wèn)題，感受數(shù)學(xué)問(wèn)題的趣味性。

2嘗試用不同的方法解決等比數(shù)列求和問(wèn)題，體會(huì)錯(cuò)位相減法的應(yīng)用 3 能準(zhǔn)確地解決等比說(shuō)列求和有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。教育方面：

1培養(yǎng)學(xué)生積極探索解決問(wèn)題的良好習(xí)慣。

2感受到我國(guó)數(shù)學(xué)文化歷史的悠久與魅力，增強(qiáng)民族自豪感，激發(fā)學(xué)生努力學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情

發(fā)展方面：

培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力、分析問(wèn)題能力、解決問(wèn)題能力。

三：教材分析 教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)目標(biāo)：理解等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及簡(jiǎn)單應(yīng)用,掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法。

能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生觀察、思考和解決問(wèn)題的能力；加強(qiáng)特殊到一般、類比與轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)。

情感目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生合作交流、獨(dú)立思考等良好的個(gè)性品質(zhì)；以及勇于批判、敢于創(chuàng)新的科學(xué)精神。

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：公式的推導(dǎo)和公式的運(yùn)用．

教學(xué)難點(diǎn)：公式的推導(dǎo)方法和公式的靈活運(yùn)用． 公式推導(dǎo)所使用的“錯(cuò)位相減法”是高中數(shù)學(xué)數(shù)列求和方法中最常用的方法之一，它蘊(yùn)含了重要的數(shù)學(xué)思想，所以既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)。

教學(xué)方法：

對(duì)公式的教學(xué)，要使學(xué)生掌握與理解公式的來(lái)龍去脈，掌握公式的推導(dǎo)方法，理解公式的成立條件，充分體現(xiàn)公式之間的聯(lián)系．在教學(xué)中，我采用“問(wèn)題――探究”的教學(xué)模式，把整個(gè)課堂分為呈現(xiàn)問(wèn)題、探索規(guī)律、總結(jié)規(guī)律、應(yīng)用規(guī)律四個(gè)階段．

四：教學(xué)過(guò)程

學(xué)生是認(rèn)知的主體，設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程必須遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，盡可能地讓學(xué) 生去經(jīng)歷知識(shí)的形成與發(fā)展過(guò)程，結(jié)合本節(jié)課的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了如下的教學(xué)過(guò)程： 1.創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題

引導(dǎo)學(xué)生寫出麥粒總數(shù) 1+2+22+23+??????+263．帶著這樣的問(wèn)題，學(xué)生會(huì)動(dòng)手算了起來(lái)，他們想到用計(jì)算器依次算出各項(xiàng)的值，然后再求和．這時(shí)我對(duì)他們的這種思路給予肯定．

設(shè)計(jì)意圖：在實(shí)際教學(xué)中，由于受課堂時(shí)間限制，教師舍不得花時(shí)間讓學(xué)生去做所謂的“無(wú)用功”，急急忙忙地拋出“錯(cuò)位相減法”，這樣做有悖學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律：求和就想到相加，這是合乎邏輯順理成章的事，教師為什么不相加而馬上相減呢？在整個(gè)教學(xué)關(guān)鍵處學(xué)生難以轉(zhuǎn)過(guò)彎來(lái)，因而在教學(xué)中應(yīng)舍得花時(shí)間營(yíng)造知識(shí)形成過(guò)程的氛圍，突破學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙．同時(shí)，形成繁難的情境激起了學(xué)生的求知欲，迫使學(xué)生急于尋求解決問(wèn)題的新方法，為后面的教學(xué)埋下伏筆.2.師生互動(dòng)，探究問(wèn)題

在肯定他們的思路后，我接著問(wèn)：1，2，22，?，263是什么數(shù)列？有何特征？ 應(yīng)歸結(jié)為什么數(shù)學(xué)問(wèn)題呢？

一般的這就是一個(gè)等比數(shù)列前n項(xiàng)求和的問(wèn)題，那么一個(gè)等比數(shù)列

如何求前n項(xiàng)和sn？公比為q，類似等差數(shù)列前n項(xiàng)和的表示，等比數(shù)列前n項(xiàng)和能否用a1,q,n,an來(lái)表示呢？此時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)需要構(gòu)造一個(gè)新的等式包含Sn，并且與第一個(gè)等式有許多相同的項(xiàng)，從而引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并利用錯(cuò)位相減法求出Sn。

sn=a1+a1q+a1q2+

qs=aq+aq2+n11

a1-a1qnn 在學(xué)生推導(dǎo)完成后,我再問(wèn):由(1-q)sn=a1-a1q 得sn=1-q

對(duì)不對(duì)？這里的q能不能等于1？等比數(shù)列中的公比能不能為1？q=1時(shí)是什么數(shù)列？此時(shí)sn=？（這里引導(dǎo)學(xué)生對(duì)q進(jìn)行分類討論，得出公式，同時(shí)為后面的例題教學(xué)打下基礎(chǔ)．）

再次追問(wèn)：結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1qn-1,如何把sn用a1、an、q表示出來(lái)？（引導(dǎo)學(xué)生得出公式的另一形式）

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)反問(wèn)精講，一方面使學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，另一方面使學(xué)生由簡(jiǎn)單地模仿和接受，變?yōu)閷?duì)知識(shí)的主動(dòng)認(rèn)識(shí)，從而進(jìn)一步提高分析、類比和綜合的能力．這一環(huán)節(jié)非常重要，盡管時(shí)間有時(shí)比較少，甚至僅僅幾句話，然而卻有畫龍點(diǎn)睛之妙用． 3.公式運(yùn)用，加深認(rèn)識(shí) 例1在等比數(shù)列?an?中，1??1已知a??4,q?,求S10;12 ?2?已知a1?1,ak?243,q?3,求Sk.例2在等比數(shù)列?an?中,S3?7,S6?63,求an.變式訓(xùn)練： 1：在上題中，已知S3=7,S6?63求S9.+a1qn-1+a1qn-1?a1qn2:已知a2?4,a5?32，求S102

首先，學(xué)生獨(dú)立思考，自主解題，然后師生共同進(jìn)行總結(jié)．

設(shè)計(jì)意圖：采用變式教學(xué)設(shè)計(jì)題組，深化學(xué)生對(duì)公式的認(rèn)識(shí)和理解，通過(guò)直接套用公式、變式運(yùn)用公式、研究公式特點(diǎn)這三個(gè)層次的問(wèn)題解決，促進(jìn)學(xué)生新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成．通過(guò)以上形式，讓全體學(xué)生都參與教學(xué)，以此培養(yǎng)學(xué)生的參與意識(shí)和競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)．

4.例題講解，形成技能

例3：求和 1+a+a2+a3++an-1.設(shè)計(jì)意圖：解題時(shí)，以學(xué)生分析為主，教師適時(shí)給予點(diǎn)撥，該題有意培養(yǎng)學(xué)生對(duì)含有參數(shù)的問(wèn)題進(jìn)行分類討論的數(shù)學(xué)思想． 聯(lián)系實(shí)際

5.總結(jié)歸納，加深理解

以問(wèn)題的形式出現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生回顧公式、推導(dǎo)方法，鼓勵(lì)學(xué)生積極回答，然后老師再?gòu)闹R(shí)點(diǎn)及數(shù)學(xué)思想方法兩方面總結(jié)．

設(shè)計(jì)意圖：以此培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達(dá)能力，歸納概括能力． 6.故事結(jié)束，首尾呼應(yīng)

最后我們回到故事中的問(wèn)題，我們可以計(jì)算出國(guó)王獎(jiǎng)賞的小麥約為1.84×1019粒，大約7000億噸，用這么多小麥能從地球到太陽(yáng)鋪設(shè)一條寬10米、厚8米的大道，大約是全世界一年糧食產(chǎn)量的459倍，顯然國(guó)王兌現(xiàn)不了他的承諾．

設(shè)計(jì)意圖：把引入課題時(shí)的懸念給予釋疑，有助于學(xué)生克服疲倦、繼續(xù)積極思維．

7.課后作業(yè)，分層練習(xí)

必做： P129練習(xí)1、2、3、4 思考題(1):求和 x+2x2+3x3++nxn.選作：

2）若數(shù)列{an}是等比數(shù)列,Sn是前n項(xiàng)的和，那么S3,S6?S3,S9?S6成等比數(shù)列嗎？設(shè)k∈N*那么Sk,S2k?Sk,S3k?S2k成等比數(shù)列嗎？

設(shè)計(jì)意圖：作業(yè)分為兩種形式，體現(xiàn)作業(yè)的鞏固性和發(fā)展性原則。閱讀作業(yè)中的問(wèn)題思考是后續(xù)課堂的鋪墊，而彈性作業(yè)不作統(tǒng)一要求，供學(xué)有余力的學(xué)生課后研究。同時(shí)，它也是新課標(biāo)里研究性學(xué)習(xí)的一部分。

第二篇：《等比數(shù)列求和》教案

等比數(shù)列的前n項(xiàng)和（第一課時(shí)教案）

一、教材分析

1.從在教材中的地位與作用來(lái)看

《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》是數(shù)列這一章中的一個(gè)重要內(nèi)容，從教材的編寫順序上來(lái)看，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和是第三章“數(shù)列”第五節(jié)的內(nèi)容，一方面它是“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”與“等比數(shù)列”內(nèi)容的延續(xù)、與前面學(xué)習(xí)的函數(shù)等知識(shí)也有著密切的聯(lián)系，另一方面它又為進(jìn)一步學(xué)習(xí)“數(shù)列的極限”等內(nèi)容作準(zhǔn)備。就知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值上來(lái)看，它不僅在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，如儲(chǔ)蓄、分期付款的有關(guān)計(jì)算等等，而且公式推導(dǎo)過(guò)程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學(xué)生今后學(xué)習(xí)和工作中必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。就內(nèi)容的人文價(jià)值上來(lái)看，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的探究與推導(dǎo)需要學(xué)生觀察、分析、歸納、猜想，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和探索精神,是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)和數(shù)學(xué)能力的良好載體。2.從學(xué)生認(rèn)知角度來(lái)看

從學(xué)生的思維特點(diǎn)看，很容易把本節(jié)內(nèi)容與等差數(shù)列前n項(xiàng)和從公式的形成、特點(diǎn)等方面進(jìn)行類比，這是積極因素，應(yīng)因勢(shì)利導(dǎo)．不利因素是：本節(jié)公式的推導(dǎo)與等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)有著本質(zhì)的不同，這對(duì)學(xué)生的思維是一個(gè)突破，另外，對(duì)于q = 1這一特殊情況，學(xué)生往往容易忽視，尤其是在后面使用的過(guò)程中容易出錯(cuò)。3.學(xué)情分析

教學(xué)對(duì)象是剛進(jìn)入高中的學(xué)生，雖然具有一定的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，邏輯思維能力也初步形成，但由于年齡的原因，對(duì)問(wèn)題的分析缺乏深刻性和嚴(yán)謹(jǐn)性。4.重點(diǎn)、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：公式的推導(dǎo)、公式的特點(diǎn)和公式的運(yùn)用． 教學(xué)難點(diǎn)：公式的推導(dǎo)方法和公式的靈活運(yùn)用．

公式推導(dǎo)所使用的“錯(cuò)位相減法”是高中數(shù)學(xué)數(shù)列求和方法中最常用的方法之一，它蘊(yùn)含了重要的數(shù)學(xué)思想，所以既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)。

二、目標(biāo)分析

1．知識(shí)與技能目標(biāo)：理解等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法；掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式并能運(yùn)用公式解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。

2.過(guò)程與方法目標(biāo)：通過(guò)公式的推導(dǎo)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生猜想、分析、綜合的思維能力，提高學(xué)生的建模意識(shí)及探究問(wèn)題、分析與解決問(wèn)題的能力，體會(huì)公式探求過(guò)程中從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類討論思想及轉(zhuǎn)化思想，優(yōu)化思維品質(zhì)。

3．情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)經(jīng)歷對(duì)公式的探索，激發(fā)學(xué)生的求知欲，鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試、勇于探索、敢于創(chuàng)新，磨練思維品質(zhì)，從中獲得成功的體驗(yàn)，感受思維的奇異美、結(jié)構(gòu)的對(duì)稱美、形式的簡(jiǎn)潔美、數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)美。用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看問(wèn)題，一些所謂不可理解的事就可以給出合理的解釋，從而幫助我們用科學(xué)的態(tài)度認(rèn)識(shí)世界。

三、教學(xué)方法與教學(xué)手段

本節(jié)課屬于新授課型，主要利用計(jì)算機(jī)和實(shí)物投影等輔助教學(xué)，采用啟發(fā)探究，合作學(xué)習(xí)，自主學(xué)習(xí)等的教學(xué)模式.四、教學(xué)過(guò)程分析

學(xué)生是認(rèn)知的主體，也是教學(xué)活動(dòng)的主體，設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程必須遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生去經(jīng)歷知識(shí)的形成與發(fā)展過(guò)程，結(jié)合本節(jié)課的特點(diǎn)，我按照自主學(xué)習(xí)的教學(xué)模式來(lái)設(shè)計(jì)如下的教學(xué)過(guò)程，目的是在教學(xué)過(guò)程中促使學(xué)生自主學(xué)習(xí)，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣和意識(shí)，形成自主學(xué)習(xí)的能力。

1．創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題

在古印度，有個(gè)名叫西薩的人，發(fā)明了國(guó)際象棋，當(dāng)時(shí)的印度國(guó)王大舍罕為贊賞，對(duì)他說(shuō)：我可以滿足你的任何要求。西薩說(shuō)：請(qǐng)給我棋盤的64個(gè)方格上，第一格放1粒小麥，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第64格．國(guó)王覺(jué)得太容易了，就同意了他的要求。國(guó)王令宮廷數(shù)學(xué)家計(jì)算，結(jié)果出來(lái)后，國(guó)王大吃一驚．為什么呢？大家想一下，這個(gè)國(guó)王能夠滿足宰相的要求嗎？

【教師提問(wèn)】

同學(xué)們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？引導(dǎo)學(xué)生寫出麥?？倲?shù)．帶著這樣的問(wèn)題，學(xué)生會(huì)動(dòng)手算了起來(lái)，他們想到用計(jì)算器依次算出各項(xiàng)的值，然后再求和．這時(shí)我對(duì)他們的這種思路給予肯定． 2．學(xué)生探究，解決情境

263在肯定他們的思路后，我接著問(wèn)：1，2，2，?，2是什么數(shù)列？有何特征？ 應(yīng)歸結(jié)為什么數(shù)學(xué)問(wèn)題呢？

探討1：，記為（1）式，注意觀察每一項(xiàng)的特征，有何聯(lián)設(shè)s=1+2+22+23+???+26364系？（學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，后一項(xiàng)都是前一項(xiàng)的2倍）

探討2： 如果我們把每一項(xiàng)都乘以2，就變成了它的后一項(xiàng)，（1）式兩邊同乘以2則2s64=2+22+23+???+263+264，記為（2）式．比較（1）(2）兩式，你有什么發(fā)現(xiàn)？ 有

【設(shè)計(jì)意圖】留出時(shí)間讓學(xué)生充分地比較，等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式推導(dǎo)關(guān)鍵是變“加”為“減”，在教師看來(lái)這是很顯然的事，但在學(xué)生看來(lái)卻是“不可思議”的，因此教學(xué)中應(yīng)著力在這兒做文章，從而培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力．

解決情境問(wèn)題：經(jīng)過(guò)比較、研究，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：（1）、（2）兩式有許多相同的項(xiàng)，把兩

s64?264?1式相減，相同的項(xiàng)就可以消去了，得到：。老師強(qiáng)調(diào)指出：這就是錯(cuò)位相減法，并 2 要求學(xué)生縱觀全過(guò)程，反思：為什么（1）式兩邊要同乘以2呢？

【設(shè)計(jì)意圖】經(jīng)過(guò)繁難的計(jì)算之苦后，突然發(fā)現(xiàn)上述解法，不禁驚呼：真是太簡(jiǎn)潔了，讓學(xué)生在探索過(guò)程中，充分感受到成功的情感體驗(yàn)，從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，同時(shí)也為推導(dǎo)一般等比數(shù)列前n項(xiàng)和提供了方法。3．類比聯(lián)想，解決問(wèn)題

這時(shí)我再順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生將結(jié)論一般化，設(shè)等比數(shù)列為?an?，公比為q，如何求它的前n項(xiàng)和？讓學(xué)生自主完成，然后對(duì)個(gè)別學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)。

一般等比數(shù)列前n項(xiàng)和：Sn?a1?a2?a3????an?1?an??

即Sn?a1?a1q?a1q2??a1qn?2?a1qn?1??

方法1：錯(cuò)位相減法

2n?2??a1qn?1?Sn?a1?a1q?a1q??a1q ?23n?1n??a1q?qSn?a1q?a1q?a1q??a1qa1(1?qn)?(1?q)Sn?a1?a1q?1?q這里的q能不能等于1？等比數(shù)列中的公比能不能為1？q=1時(shí)是什么數(shù)列？此時(shí)sn=？

n?a1(1?qn)??Sn??1?q?na??1q?1

q?1na1?a1qn在學(xué)生推導(dǎo)完成之后，我再問(wèn)：由(1?q)Sn?a1?a1q得Sn?

1?q【設(shè)計(jì)意圖】在教師的指導(dǎo)下，讓學(xué)生從特殊到一般，從已知到未知，步步深入，讓學(xué)生自己探究公式，從而體驗(yàn)到學(xué)習(xí)的愉快和成就感。4．討論交流，延伸拓展

探究等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，還有其它方法嗎？我們知道, sn=a1+a1q+a1q2+?+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+?+a1qn-2)那么我們能否利用這個(gè)關(guān)系而求出Sn呢？ 方法2：提取公比q Sn?a1?a1q?a1q2??a1qn?2?a1qn?1 ?a1?q（a1?a1q??a1qn?2）?a1?q（Sn?a1qn?1）?(1?q)Sn?a1?a1qn

根據(jù)等比數(shù)列的定義又有呢？

方法3：利用等比定理

a2a3a4an===?==q，能否聯(lián)想到等比定理從而求出sna1a2a3an-13

aaa2a?3?4??n?q a1a2a3an?1a2?a3?????anS?a1?q?n(1?q)Sn?a1?anq

S?aa1?a2?????an?1nn??

【設(shè)計(jì)意圖】以疑導(dǎo)思，激發(fā)學(xué)生的探索欲望，營(yíng)造一個(gè)讓學(xué)生主動(dòng)觀察、思考、討論的氛圍.以上兩種方法都可以化歸到Sn?a1?qsn?1, 這其實(shí)就是關(guān)于Sn的一個(gè)遞推式，遞推數(shù)列有非常重要的研究?jī)r(jià)值，是研究性學(xué)習(xí)和課外拓展的極佳資源，它源于課本，又高于課本，對(duì)學(xué)生的思維發(fā)展有促進(jìn)作用.領(lǐng)悟數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值，從特殊到一般,從模仿到創(chuàng)新，有利于學(xué)生的知識(shí)遷移和能力提高。5．鞏固提高，深化認(rèn)識(shí)

（1）口答：

在公比為q的等比數(shù)列{an}中

若a1?2,q?1，則Sn?________，若a1?1，q?1，則Sn?________ 33若a1=—15，a4=96，求q及S4，若a3?1,S3?4（2）判斷是非：

1?(1?2n)①1?2?4?8???(?2)

（）?1?2n23n1?(1?2)②1?2?2?2???2?

（）

1?2③若c?0且c?1，則

n?1121，求a1及q.2c?c?c???c2462n?c2[1?(c2)n]1?c（）

【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)公式的再認(rèn)識(shí)，剖析公式中的基本量及結(jié)構(gòu)特征，識(shí)記公式,并加強(qiáng)計(jì)算能力的訓(xùn)練。

6．例題講解，形成技能

例1．求和

1?a?a?a??a

1111例2．求等比數(shù)列，，?的第5項(xiàng)到第10項(xiàng)的和．

24816方法1： 觀察、發(fā)現(xiàn)：a5?a6???a10?S10?S4．

方法2： 此等比數(shù)列的連續(xù)項(xiàng)從第5項(xiàng)到第10項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的等比數(shù)列：首項(xiàng)為a5?16，公比為q?2，項(xiàng)數(shù)為n?6．

23n1111變式1：求11，2,3,4,5?的前n項(xiàng)和． 248163212345變式2：求，，?的前n項(xiàng)和．

2481632【設(shè)計(jì)意圖】采用變式教學(xué)設(shè)計(jì)題組，深化學(xué)生對(duì)公式的認(rèn)識(shí)和理解，通過(guò)直接套用公 式、變式運(yùn)用公式、研究公式特點(diǎn)這三個(gè)層次的問(wèn)題解決，促進(jìn)學(xué)生新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成．通過(guò)以上形式，讓全體學(xué)生都參與教學(xué)，以此培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的意識(shí)．解題時(shí)，以學(xué)生分析為主，教師適時(shí)給予點(diǎn)撥。7.總結(jié)歸納，加深理解

以問(wèn)題的形式出現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生回顧公式、推導(dǎo)方法，鼓勵(lì)學(xué)生積極回答，然后老師再?gòu)闹R(shí)點(diǎn)及數(shù)學(xué)思想方法兩方面總結(jié)。

【設(shè)計(jì)意圖】以此培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達(dá)能力，歸納概括能力。8．課后作業(yè)，分層練習(xí)

必做： P129練習(xí)3（1）習(xí)題3.5 第1題 選作： 思考題(1):求和 x+2x2+3x3+?+nxn.（2）畫一個(gè)邊長(zhǎng)為2cm的正方形, 再將這個(gè)正方形各邊的中點(diǎn)相連得到第2個(gè)正方形,依此類推,這樣一共畫了10個(gè)正方形, 求這10個(gè)正方形的面積的和。

【設(shè)計(jì)意圖】布置彈性作業(yè)以使各個(gè)層次的學(xué)生都有所發(fā)展.讓學(xué)有余力的學(xué)生有思考的空間，便于學(xué)生開展自主學(xué)習(xí)。

五、評(píng)價(jià)分析

本節(jié)課通過(guò)三種推導(dǎo)方法的研究，使學(xué)生從不同的思維角度掌握了等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式．錯(cuò)位相減：變加為減，等價(jià)轉(zhuǎn)化；遞推思想：縱橫聯(lián)系，揭示本質(zhì)；等比定理：回歸定義，自然樸實(shí)．學(xué)生從中深刻地領(lǐng)會(huì)到推導(dǎo)過(guò)程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)了學(xué)生思維的深刻性、敏銳性、廣闊性、批判性．同時(shí)通過(guò)精講一題，發(fā)散一串的變式教學(xué)，使學(xué)生既鞏固了知識(shí)，又形成了技能，在此基礎(chǔ)上，通過(guò)民主和諧的課堂氛圍，培養(yǎng)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣，也培養(yǎng)了學(xué)生勇于探索、不斷創(chuàng)新的思維品質(zhì)，形成學(xué)習(xí)能力。

六、教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明 1．情境設(shè)置生活化.本著新課程的教學(xué)理念，考慮到高一學(xué)生的心理特點(diǎn)以及初、高中教學(xué)的銜接，讓學(xué)生學(xué)生初步了解“數(shù)學(xué)來(lái)源于生活”，采用故事的形式創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，意在營(yíng)造和諧、積極的學(xué)習(xí)氣氛，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探究的欲望。2．問(wèn)題探究活動(dòng)化．

教學(xué)中本著以學(xué)生發(fā)展為本的理念，充分給學(xué)生想的時(shí)間、說(shuō)的機(jī)會(huì)以及展示思維過(guò)程的舞臺(tái)，通過(guò)他們自主學(xué)習(xí)、合作探究,展示學(xué)生解決問(wèn)題的思想方法，共享學(xué)習(xí)成果，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成功的喜悅.通過(guò)師生之間不斷合作和交流，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察能力和語(yǔ)言表達(dá)能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和嚴(yán)謹(jǐn)性。3．辨析質(zhì)疑結(jié)構(gòu)化．

在理解公式的基礎(chǔ)上,及時(shí)進(jìn)行正反兩方面的“短、平、快”填空和判斷是非練習(xí).通過(guò)總結(jié)、辨析和反思，強(qiáng)化了公式的結(jié)構(gòu)特征，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)，有助于學(xué)生形成知識(shí)模塊，優(yōu)化知識(shí)體系。4．鞏固提高梯度化．

例題通過(guò)公式的正用和逆用進(jìn)一步提高學(xué)生運(yùn)用知識(shí)的能力；由教科書中的例題改編而成，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪?可以提高學(xué)生的模式識(shí)別的能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和靈活性。5．思路拓廣數(shù)學(xué)化．

從整理知識(shí)提升到強(qiáng)化方法，由課內(nèi)鞏固延伸到課外思考，變“知識(shí)本位”為“學(xué)生本位”，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為提高學(xué)生素質(zhì)的有效途徑。以生活中的實(shí)例作為思考，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活并應(yīng)用于生活，生活中處處有數(shù)學(xué)． 6．作業(yè)布置彈性化．

通過(guò)布置彈性作業(yè)，為學(xué)有余力的學(xué)生提供進(jìn)一步發(fā)展的空間，有利于豐富學(xué)生的知識(shí)，拓展學(xué)生的視野，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

第三篇：等比數(shù)列求和教案

《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》教學(xué)設(shè)計(jì)

教材：人教版必修五§2.5.1

教學(xué)目標(biāo)：（1）知識(shí)目標(biāo)：理解等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法；掌握等比數(shù)列的前

n項(xiàng)和公式并能運(yùn)用公式解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題；

（2）能力目標(biāo)：提高學(xué)生的建模意識(shí)，體會(huì)公式探求過(guò)程中從特殊到一般的思維方

法，滲透方程思想、分類討論思想；

（3）情感目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)放眼生活，用生活眼光看數(shù)學(xué)的思維品質(zhì)； 教學(xué)重點(diǎn)：（1）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；

（2）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用； 教學(xué)難點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)； 教學(xué)方法：?jiǎn)栴}探索法及啟發(fā)式講授法 教 具：多媒體 教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)提問(wèn)

回顧等比數(shù)列定義，通項(xiàng)公式。

（1）等比數(shù)列定義：（2）等比數(shù)列通項(xiàng)公式：

（，（3）等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法：倒序相加法。

二、問(wèn)題引入：

閱讀:課本第55頁(yè)“國(guó)王賞麥的故事”。

問(wèn)題:如何計(jì)算

引出課題:等比數(shù)列的前n項(xiàng)和。

三、問(wèn)題探討： 問(wèn)題：如何求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

回顧：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法。

倒序相加法。

等差數(shù)列

根據(jù)等差數(shù)列的定義

它的前n項(xiàng)和是

（1）

（2）

（1）+（2）得：

探究：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是否能用倒序相加法推導(dǎo)？

學(xué)生討論分析，得出等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式不能用倒序相加法推導(dǎo)。

回顧：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法本質(zhì)。

構(gòu)造相同項(xiàng)，化繁為簡(jiǎn)。

探究：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式是否能用這種思想推導(dǎo)？

根據(jù)等比數(shù)列的定義：

變形：

具體：

??

學(xué)生分組討論推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)：

由于等比數(shù)列中的每一項(xiàng)乘以公比都等于其后一項(xiàng)。所以將這一特點(diǎn)應(yīng)用在前n項(xiàng)和上。

由此構(gòu)造相同項(xiàng)。數(shù)學(xué)具有和諧美，錯(cuò)位相減，從而化繁為簡(jiǎn)。

（1）

（2）

由此構(gòu)造相同項(xiàng)。數(shù)學(xué)具有和諧美，錯(cuò)位相減，從而化繁為簡(jiǎn)。

當(dāng)q=1時(shí)，當(dāng)時(shí)，學(xué)生經(jīng)過(guò)討論還發(fā)現(xiàn)了其他的推導(dǎo)方法，讓學(xué)生課后整合自己的思路，將各自的推導(dǎo)過(guò)程展示在班級(jí)學(xué)習(xí)園地，同學(xué)們共享探究。由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式推出求和公式的第二種形式：

當(dāng)

四.知識(shí)整合:

時(shí)，1．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：

當(dāng)q=1時(shí)，當(dāng)時(shí)，2．公式特征：

⑴等比數(shù)列求和時(shí)，應(yīng)考慮

與

兩種情況。

⑵當(dāng)時(shí)，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式有兩種形式,分別都涉及四個(gè)量，四個(gè)量中“知三求一”。

⑶等比數(shù)列通項(xiàng)公式結(jié)合前n項(xiàng)和公式涉及五個(gè)量，五個(gè)量中“知三求二”（方程思想）。3．等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)方法：錯(cuò)位相減法。

五、例題精講：

例1．運(yùn)用公式解決國(guó)王賞麥故事中的難題。

變式練習(xí)：⑴求等比數(shù)列1,2,4,8?的前多少項(xiàng)和是63.⑵求等比數(shù)列1,2,4,8?第4項(xiàng)到第7項(xiàng)的和.，例2．畫一個(gè)邊長(zhǎng)為2cm的正方形，再將這個(gè)正方形各邊的中點(diǎn)相連得到第2個(gè)正方形，依次類推⑴若一共畫了7個(gè)正方形，求第7個(gè)正方形的面積？

⑵若已知所畫正方形的面積和為畫的最后一個(gè)正方形的面積。，求一共畫了幾個(gè)正方形，及所 解：由題意得：每個(gè)正方形的面積構(gòu)成等比數(shù)列，且

（1）

（2）

答：（1）第七個(gè)正方形的面積是。

（2）一共測(cè)了5個(gè)正方形，所畫的最后一個(gè)正方形的面積是。

鞏固練習(xí)：⑴已知等比數(shù)列中，,求。

⑵已知等比數(shù)列

六、課堂小結(jié)：

中，,，求n。

1、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：

當(dāng)q=1時(shí)，當(dāng)時(shí)，2、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和推導(dǎo)方法：錯(cuò)位相減法。

3、數(shù)學(xué)思想：類比，分類討論，方程的數(shù)學(xué)思想。

七、課后作業(yè)：

基礎(chǔ)題：課本P61習(xí)題2.5 A組1，2

提高題：求和（探究與發(fā)現(xiàn)：查閱網(wǎng)絡(luò)，思考等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式還有無(wú)其它推導(dǎo)方法？

第四篇：等比數(shù)列求和作業(yè)

2.5《等比數(shù)列前n項(xiàng)和》（第二課時(shí)）作業(yè)

1、在等比數(shù)列中，a1?a2?a3?6,a2?a3?a4??3，則a3?a4?a5?a6?a7?（）A.11

8B.1916C.98D.342、在等比數(shù)列?an?中，a1?5,S5?55，則公比q等于（）

A.4B.2C.?2D.?2或43、若等比數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn?2?r，則r?（）n

A.2B.1C.0D.?14、等比數(shù)列前n項(xiàng)和為54，前2n項(xiàng)和為60，則前3n項(xiàng)和為（）A.54B.64C.66

23D.60235、已知公比為q?q?1?的等比數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，則數(shù)列?

n?1??的前n項(xiàng)和為（）?an?

A.qSnB.SnqnC.1Snqn?1D.Sna1q2n?16、設(shè)等比數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，若S3?S6?2S9，求公比q。

已知實(shí)數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，a?1,b?1,c?4成等比數(shù)列，且a?b?c?15。

求a,b,c。

第五篇：山東省等比數(shù)列求和教案

等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

1.知識(shí)與技能目標(biāo): 1)掌握等比數(shù)列求和公式,并能用之解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題。2)通過(guò)對(duì)公式的推導(dǎo),對(duì)學(xué)生滲透分類討論思想以。2過(guò)程與方法目標(biāo)：

通過(guò)對(duì)公式的推導(dǎo)提高學(xué)生研究問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力；體會(huì)公式探求中從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)滲透如上所說(shuō)的數(shù)學(xué)思想。3.情感與態(tài)度目標(biāo)：

通過(guò)公式的推導(dǎo)與簡(jiǎn)單應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生求知欲，鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試，敢于探索、創(chuàng)新的學(xué)習(xí)品質(zhì)。二 教學(xué)重點(diǎn)：

等比數(shù)列項(xiàng)前n和公式的推導(dǎo)與簡(jiǎn)單應(yīng)用。三 教學(xué)難點(diǎn)：

等比數(shù)列n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)。

四、教學(xué)過(guò)程分析 復(fù)習(xí)等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí)：

（1）等比數(shù)列的定義以及數(shù)學(xué)表達(dá)式（2）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（3）等比中項(xiàng)以及各項(xiàng)之間的關(guān)系 創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題在古印度，有個(gè)名叫西薩的人，發(fā)明了國(guó)際象棋，當(dāng)時(shí)的印度國(guó)王大舍罕為贊賞，對(duì)他說(shuō)：我可以滿足你的任何要求。西薩說(shuō)：請(qǐng)給我棋盤的64個(gè)方格上，第一格放1粒小麥，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第64格．國(guó)王覺(jué)得太容易了，就同意了他的要求。國(guó)王令宮廷數(shù)學(xué)家計(jì)算，結(jié)果出來(lái)后，國(guó)王大吃一驚．為什么呢？大家想一下，這個(gè)國(guó)王能夠滿足宰相的要求嗎？

【教師提問(wèn)】

同學(xué)們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？引導(dǎo)學(xué)生寫出麥粒總數(shù)．帶著這樣的問(wèn)題，學(xué)生會(huì)動(dòng)手算了起來(lái)，他們想到用計(jì)算器依次算出各項(xiàng)的值，然后再求和．這時(shí)我對(duì)他們的這種思路給予肯定． 3學(xué)生探究，解決情境 應(yīng)歸結(jié)為什么數(shù)學(xué)問(wèn)題呢？

探討1：

設(shè)

s

2 +3 + ???

63，記為（1）式，注意觀察每一項(xiàng)的特征，有何聯(lián)=1+2++ 264在肯定他們的思路后，我接著問(wèn)：1，2，22，…，263是什么數(shù)列？有何特征？

系？（學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，后一項(xiàng)都是前一項(xiàng)的2倍）

探討2： 如果我們把每一項(xiàng)都乘以2，就變成了它的后一項(xiàng)，（1）式兩邊同乘以2則

64有s 6

4= 2+

2 + 2 3 +

???

+ 2 6

3+，記為（2）式．比較（1）(2）兩式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

【設(shè)計(jì)意圖】留出時(shí)間讓學(xué)生充分地比較，等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式推導(dǎo)關(guān)鍵是變“加”為“減”，在教師看來(lái)這是很顯然的事，但在學(xué)生看來(lái)卻是“不可思議”的，因此教學(xué)中應(yīng)著力在這兒做文章，從而培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力．

解決情境問(wèn)題：經(jīng)過(guò)比較、研究，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：（1）、（2）兩式有許多相同的項(xiàng)，把兩式

s64?1相減，相同的項(xiàng)就可以消去了，得到：

?64。老師強(qiáng)調(diào)指出：這就是錯(cuò)位相減法，并要 求學(xué)生縱觀全過(guò)程，反思：為什么（1）式兩邊要同乘以2呢？

【設(shè)計(jì)意圖】經(jīng)過(guò)繁難的計(jì)算之苦后，突然發(fā)現(xiàn)上述解法，不禁驚呼：真是太簡(jiǎn)潔了，讓學(xué)生在探索過(guò)程中，充分感受到成功的情感體驗(yàn)，從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，同時(shí)也為推導(dǎo)一般等比數(shù)列前n項(xiàng)和提供了方法。4類比聯(lián)想，解決問(wèn)題

這時(shí)我再順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生將結(jié)論一般化，設(shè)等比數(shù)列為項(xiàng)和？讓學(xué)生自主完成，然后對(duì)個(gè)別學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)。

?an?，公比為q，如何求它的前n

S?a1?a2?a3????an?1?an??一般等比數(shù)列前n項(xiàng)和：n

2n?2n?1S?a?aq?aq??aq?aq?? n11111即

錯(cuò)位相減法

2n?2??a1qn?1?Sn?a1?a1q?a1q??a1q?23n?1??a1qn?qSn?a1q?a1q?a1q??a1q

na1(1?qn)?(1?q)Sn?a1?a1q?1?q

這里的q能不能等于1？等比數(shù)列中的公比能不能為1？q=1時(shí)是什么數(shù)列？此時(shí)sn=？

?a1(1?qn)??Sn??1?q?na??1q?1q?1a1?a1qnSn?n(1?q)S?a?aq1?q n11在學(xué)生推導(dǎo)完成之后，我再問(wèn)：由得【設(shè)計(jì)意圖】在教師的指導(dǎo)下，讓學(xué)生從特殊到一般，從已知到未知，步步深入，讓學(xué)生自己探究公式，從而體驗(yàn)到學(xué)習(xí)的愉快和成就感。5例題講解，形成技能

例1．求和

1?a?a?a??a

1111，，?2例2．求等比數(shù)列4816的第5項(xiàng)到第10項(xiàng)的和．

610104． 方法1： 觀察、發(fā)現(xiàn)：5方法2： 此等比數(shù)列的連續(xù)項(xiàng)從第5項(xiàng)到第10項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的等比數(shù)列：首項(xiàng)為

23n

a?a???a?S?Sa5?16，公比為q?2，項(xiàng)數(shù)為n?6．

111111，2,3,4,5?變式1：求2481632的前n項(xiàng)和．

12345，，?2變式2：求481632的前n項(xiàng)和．

【設(shè)計(jì)意圖】采用變式教學(xué)設(shè)計(jì)題組，深化學(xué)生對(duì)公式的認(rèn)識(shí)和理解，通過(guò)直接套用公式、變式運(yùn)用公式、研究公式特點(diǎn)這三個(gè)層次的問(wèn)題解決，促進(jìn)學(xué)生新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形 2 成．通過(guò)以上形式，讓全體學(xué)生都參與教學(xué)，以此培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的意識(shí)．解題時(shí)，以學(xué)生分析為主，教師適時(shí)給予點(diǎn)撥。6總結(jié)歸納，加深理解

以問(wèn)題的形式出現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生回顧公式、推導(dǎo)方法，鼓勵(lì)學(xué)生積極回答，然后老師再?gòu)闹R(shí)點(diǎn)及數(shù)學(xué)思想方法兩方面總結(jié)。

【設(shè)計(jì)意圖】以此培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達(dá)能力，歸納概括能力。7課后作業(yè)，分層練習(xí)

必做： P129練習(xí)3（1）習(xí)題3.5 第1題