第一篇：無窮遞縮等比數(shù)列求和教學(xué)案例及反思

無窮遞縮等比數(shù)列求和教學(xué)案例及反思

如“無窮遞縮等比數(shù)列求和”是在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列及數(shù)列極限等知識(shí)的基礎(chǔ)上提出來的，它與數(shù)列、方程、函數(shù)和極限等知識(shí)有內(nèi)在的聯(lián)系，能與實(shí)際生產(chǎn)和生活中的問題相結(jié)合，但是，學(xué)生對(duì)無窮數(shù)列各項(xiàng)和，有限到無限的思想方法，以及用極限的方法去解決實(shí)際問題還缺少思想基礎(chǔ)，因此，我在設(shè)計(jì)這一節(jié)課時(shí)，設(shè)計(jì)情景，提出問題，通過實(shí)際問題、具體問題，以引起學(xué)生情感體驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)建構(gòu)、探究，最終達(dá)成教學(xué)目標(biāo)。

（一）設(shè)計(jì)情境——提出問題

問題1：如果不停地往一只空箱子內(nèi)放東西，箱子會(huì)滿嗎？為什么? 這問題表面上看是一個(gè)游戲，事實(shí)上，它隱含著無窮數(shù)列各項(xiàng)和知識(shí)，有一定的趣味和魅力，能引起學(xué)生的思考，不同層次的學(xué)生都有發(fā)言權(quán)，也不乏味，有能力發(fā)展點(diǎn)、個(gè)性和創(chuàng)新精神培養(yǎng)點(diǎn)，學(xué)生從實(shí)際背景出發(fā)，通過動(dòng)腦思考，動(dòng)手操作，動(dòng)口說明，能經(jīng)歷從抽象表示到符號(hào)變換和檢驗(yàn)應(yīng)用全過程，能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

（二）自主探究——感知問題

我提示學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光去看上述問題，即將上述問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型,然后讓學(xué)生展開討論。

（三）合作交流——形成共識(shí)（1）問題1的討論結(jié)果：

S1：箱子即使很大也會(huì)滿，因?yàn)椋O(shè)第一次放入的量為a1, 第二次放入的量為a2,?設(shè)第n次放入的量為an，?,則a1＋a2＋a3＋?＋an＋?可能很大，總能放滿箱子。S2：箱子即使很小也不會(huì)滿，因?yàn)?，設(shè)第一次放入的量為a1, 第二次放入的量為a2,?第n次放入的量為an，?,則a1＋a2＋a3＋?＋an＋?可能也很小。

（2）引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行探究，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型 問題2：你能盡可能多地舉出箱子不會(huì)滿的例子嗎？

S3：把一支粉筆的一半放入空箱子中去，剩下粉筆的一半再放入空箱子中去，如此下去，?，放入空箱子中的充其量也只有一支粉筆，不會(huì)滿，其數(shù)學(xué)模型是：a＋a＋a＋?=a(a是粉筆的長(zhǎng))S4：把一杯水的倒入空容器中去，剩下水的再倒入空容器中去，如此下去，?，倒入容器中的只有一杯水，也不會(huì)滿，其數(shù)學(xué)模型是：

b＋b＋b＋?=b(b是一杯水)??

問題3：你能否將S3與S4這類問題一般化？若設(shè)第一次放入空箱子中去的量為a1，第二次放入空箱子中的量為a2，?第n次放入空箱子中去的量為an，?，數(shù)列{an}有何特點(diǎn)？

同學(xué)們得出結(jié)論：數(shù)列{an}是等比數(shù)列，也是遞減數(shù)列，且項(xiàng)數(shù)無窮的。

接著再讓學(xué)生自主研究無窮遞縮等比數(shù)列的定義，并判定數(shù)列{an}是否為無窮遞縮等比數(shù)列？再進(jìn)一步思考無窮遞縮等比數(shù)列是否一定是遞減數(shù)列？總結(jié)無窮遞縮等比數(shù)列的幾個(gè)特征，加深對(duì)概念的理解。

（3）Sn與S的關(guān)系

問題4：當(dāng)|q|<1,qn=a1qn,可以證明，當(dāng)n→＋∞時(shí)，an→0(讓學(xué)生課后證明)請(qǐng)學(xué)生思考：若設(shè)數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，所有項(xiàng)的和為S，運(yùn)用極限的思想，你能否發(fā)現(xiàn)Sn與S的關(guān)系？討論結(jié)果：S=limSn（4）求無窮遞縮等比數(shù)列的和

問題5：怎樣求無窮遞縮等比數(shù)列{an}的和？ Sn=a1＋a2＋a3＋?＋an=,lim Sn=lim 因?yàn)楫?dāng)|q|<1時(shí)，limqn=0, 所以S= lim Sn= 我這時(shí)就說：好！我們通過自主探索與合作交流，得出了無窮遞縮等比 數(shù)列的求和公式：S=（|q|<1）（5）公式的應(yīng)用（略）

通過應(yīng)用交流，使學(xué)生加深對(duì)公式的認(rèn)識(shí)，體驗(yàn)了數(shù)學(xué)模型化思想，讓學(xué)生在交往中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

（四）總結(jié)反思——共同創(chuàng)新

本課我們運(yùn)用情景化、問題形象化、探究化等數(shù)學(xué)方法，將游戲問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型——無窮遞縮等比數(shù)列的和。為了概括所學(xué)內(nèi)容的邏輯結(jié)構(gòu)，提煉思想觀點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)新，我將本課研究過程和方法概括如下：

抽象概括 應(yīng)用

教學(xué)全過程概括為：具體問題——————數(shù)學(xué)模型—————解決實(shí)際問題。

改造 抽象概括

解決問題的思想方法：現(xiàn)實(shí)問題————現(xiàn)實(shí)模型————數(shù)學(xué)模型—— 數(shù)學(xué)方法 檢驗(yàn) 探究、深化、拓展、————數(shù)學(xué)模型的解————現(xiàn)實(shí)問題的解————————現(xiàn)實(shí)問題

是否符合實(shí)際？

由此課例，不難看出，問題式、情景式教學(xué)交互設(shè)計(jì)，促進(jìn)了學(xué)生形象思維和抽象思維的相互補(bǔ)充、相互促進(jìn)，這種設(shè)計(jì)以培養(yǎng)興趣為前提，以指導(dǎo)觀察思考為基礎(chǔ)，以發(fā)展思維為重點(diǎn)，以自主探究、合作交流為手段，讓學(xué)生在感情體驗(yàn)中真正地用“心”去學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)本身是為人的，是開放的，是豐富多彩的，一句話，數(shù)學(xué)是為人所用的。而這一事例生動(dòng)地告訴我們，作為數(shù)學(xué)老師，不同的教育觀念、不同的思想方法會(huì)有不同的數(shù)學(xué)思路和教學(xué)方法，學(xué)生會(huì)有不同的發(fā)展結(jié)果，只要我們用心地去備好每一節(jié)課，設(shè)計(jì)得當(dāng)?shù)慕虒W(xué)程序，我們的學(xué)生將會(huì)把數(shù)學(xué)掌握得更好，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)將會(huì)更好地服務(wù)于社會(huì)。

第二篇：等比數(shù)列求和教學(xué)設(shè)計(jì)

等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

甘天威

一：教學(xué)背景

1.面向?qū)W生： 中學(xué) 學(xué)科： 數(shù)學(xué) 2.課時(shí)： 2個(gè)課時(shí) 3.學(xué)生課前準(zhǔn)備：（1）預(yù)習(xí)書本內(nèi)容

（2）收集等比數(shù)列求和相關(guān)實(shí)際問題。

二：教學(xué)課題

教養(yǎng)方面：

1了解等比數(shù)列求和問題，感受數(shù)學(xué)問題的趣味性。

2嘗試用不同的方法解決等比數(shù)列求和問題，體會(huì)錯(cuò)位相減法的應(yīng)用 3 能準(zhǔn)確地解決等比說列求和有關(guān)的實(shí)際問題。教育方面：

1培養(yǎng)學(xué)生積極探索解決問題的良好習(xí)慣。

2感受到我國(guó)數(shù)學(xué)文化歷史的悠久與魅力，增強(qiáng)民族自豪感，激發(fā)學(xué)生努力學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情

發(fā)展方面：

培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力、分析問題能力、解決問題能力。

三：教材分析 教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)目標(biāo)：理解等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及簡(jiǎn)單應(yīng)用,掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法。

能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生觀察、思考和解決問題的能力；加強(qiáng)特殊到一般、類比與轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)。

情感目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生合作交流、獨(dú)立思考等良好的個(gè)性品質(zhì)；以及勇于批判、敢于創(chuàng)新的科學(xué)精神。

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：公式的推導(dǎo)和公式的運(yùn)用．

教學(xué)難點(diǎn)：公式的推導(dǎo)方法和公式的靈活運(yùn)用． 公式推導(dǎo)所使用的“錯(cuò)位相減法”是高中數(shù)學(xué)數(shù)列求和方法中最常用的方法之一，它蘊(yùn)含了重要的數(shù)學(xué)思想，所以既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)。

教學(xué)方法：

對(duì)公式的教學(xué)，要使學(xué)生掌握與理解公式的來龍去脈，掌握公式的推導(dǎo)方法，理解公式的成立條件，充分體現(xiàn)公式之間的聯(lián)系．在教學(xué)中，我采用“問題――探究”的教學(xué)模式，把整個(gè)課堂分為呈現(xiàn)問題、探索規(guī)律、總結(jié)規(guī)律、應(yīng)用規(guī)律四個(gè)階段．

四：教學(xué)過程

學(xué)生是認(rèn)知的主體，設(shè)計(jì)教學(xué)過程必須遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，盡可能地讓學(xué) 生去經(jīng)歷知識(shí)的形成與發(fā)展過程，結(jié)合本節(jié)課的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了如下的教學(xué)過程： 1.創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

引導(dǎo)學(xué)生寫出麥?？倲?shù) 1+2+22+23+??????+263．帶著這樣的問題，學(xué)生會(huì)動(dòng)手算了起來，他們想到用計(jì)算器依次算出各項(xiàng)的值，然后再求和．這時(shí)我對(duì)他們的這種思路給予肯定．

設(shè)計(jì)意圖：在實(shí)際教學(xué)中，由于受課堂時(shí)間限制，教師舍不得花時(shí)間讓學(xué)生去做所謂的“無用功”，急急忙忙地拋出“錯(cuò)位相減法”，這樣做有悖學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律：求和就想到相加，這是合乎邏輯順理成章的事，教師為什么不相加而馬上相減呢？在整個(gè)教學(xué)關(guān)鍵處學(xué)生難以轉(zhuǎn)過彎來，因而在教學(xué)中應(yīng)舍得花時(shí)間營(yíng)造知識(shí)形成過程的氛圍，突破學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙．同時(shí)，形成繁難的情境激起了學(xué)生的求知欲，迫使學(xué)生急于尋求解決問題的新方法，為后面的教學(xué)埋下伏筆.2.師生互動(dòng)，探究問題

在肯定他們的思路后，我接著問：1，2，22，?，263是什么數(shù)列？有何特征？ 應(yīng)歸結(jié)為什么數(shù)學(xué)問題呢？

一般的這就是一個(gè)等比數(shù)列前n項(xiàng)求和的問題，那么一個(gè)等比數(shù)列

如何求前n項(xiàng)和sn？公比為q，類似等差數(shù)列前n項(xiàng)和的表示，等比數(shù)列前n項(xiàng)和能否用a1,q,n,an來表示呢？此時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)需要構(gòu)造一個(gè)新的等式包含Sn，并且與第一個(gè)等式有許多相同的項(xiàng)，從而引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并利用錯(cuò)位相減法求出Sn。

sn=a1+a1q+a1q2+

qs=aq+aq2+n11

a1-a1qnn 在學(xué)生推導(dǎo)完成后,我再問:由(1-q)sn=a1-a1q 得sn=1-q

對(duì)不對(duì)？這里的q能不能等于1？等比數(shù)列中的公比能不能為1？q=1時(shí)是什么數(shù)列？此時(shí)sn=？（這里引導(dǎo)學(xué)生對(duì)q進(jìn)行分類討論，得出公式，同時(shí)為后面的例題教學(xué)打下基礎(chǔ)．）

再次追問：結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1qn-1,如何把sn用a1、an、q表示出來？（引導(dǎo)學(xué)生得出公式的另一形式）

設(shè)計(jì)意圖：通過反問精講，一方面使學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，另一方面使學(xué)生由簡(jiǎn)單地模仿和接受，變?yōu)閷?duì)知識(shí)的主動(dòng)認(rèn)識(shí)，從而進(jìn)一步提高分析、類比和綜合的能力．這一環(huán)節(jié)非常重要，盡管時(shí)間有時(shí)比較少，甚至僅僅幾句話，然而卻有畫龍點(diǎn)睛之妙用． 3.公式運(yùn)用，加深認(rèn)識(shí) 例1在等比數(shù)列?an?中，1??1已知a??4,q?,求S10;12 ?2?已知a1?1,ak?243,q?3,求Sk.例2在等比數(shù)列?an?中,S3?7,S6?63,求an.變式訓(xùn)練： 1：在上題中，已知S3=7,S6?63求S9.+a1qn-1+a1qn-1?a1qn2:已知a2?4,a5?32，求S102

首先，學(xué)生獨(dú)立思考，自主解題，然后師生共同進(jìn)行總結(jié)．

設(shè)計(jì)意圖：采用變式教學(xué)設(shè)計(jì)題組，深化學(xué)生對(duì)公式的認(rèn)識(shí)和理解，通過直接套用公式、變式運(yùn)用公式、研究公式特點(diǎn)這三個(gè)層次的問題解決，促進(jìn)學(xué)生新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成．通過以上形式，讓全體學(xué)生都參與教學(xué)，以此培養(yǎng)學(xué)生的參與意識(shí)和競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)．

4.例題講解，形成技能

例3：求和 1+a+a2+a3++an-1.設(shè)計(jì)意圖：解題時(shí)，以學(xué)生分析為主，教師適時(shí)給予點(diǎn)撥，該題有意培養(yǎng)學(xué)生對(duì)含有參數(shù)的問題進(jìn)行分類討論的數(shù)學(xué)思想． 聯(lián)系實(shí)際

5.總結(jié)歸納，加深理解

以問題的形式出現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生回顧公式、推導(dǎo)方法，鼓勵(lì)學(xué)生積極回答，然后老師再?gòu)闹R(shí)點(diǎn)及數(shù)學(xué)思想方法兩方面總結(jié)．

設(shè)計(jì)意圖：以此培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達(dá)能力，歸納概括能力． 6.故事結(jié)束，首尾呼應(yīng)

最后我們回到故事中的問題，我們可以計(jì)算出國(guó)王獎(jiǎng)賞的小麥約為1.84×1019粒，大約7000億噸，用這么多小麥能從地球到太陽鋪設(shè)一條寬10米、厚8米的大道，大約是全世界一年糧食產(chǎn)量的459倍，顯然國(guó)王兌現(xiàn)不了他的承諾．

設(shè)計(jì)意圖：把引入課題時(shí)的懸念給予釋疑，有助于學(xué)生克服疲倦、繼續(xù)積極思維．

7.課后作業(yè)，分層練習(xí)

必做： P129練習(xí)1、2、3、4 思考題(1):求和 x+2x2+3x3++nxn.選作：

2）若數(shù)列{an}是等比數(shù)列,Sn是前n項(xiàng)的和，那么S3,S6?S3,S9?S6成等比數(shù)列嗎？設(shè)k∈N*那么Sk,S2k?Sk,S3k?S2k成等比數(shù)列嗎？

設(shè)計(jì)意圖：作業(yè)分為兩種形式，體現(xiàn)作業(yè)的鞏固性和發(fā)展性原則。閱讀作業(yè)中的問題思考是后續(xù)課堂的鋪墊，而彈性作業(yè)不作統(tǒng)一要求，供學(xué)有余力的學(xué)生課后研究。同時(shí)，它也是新課標(biāo)里研究性學(xué)習(xí)的一部分。

第三篇：等比數(shù)列教學(xué)案例

等比數(shù)列求和教學(xué)案例

等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo),是數(shù)列教學(xué)的難點(diǎn),推導(dǎo)的方法學(xué)生不易理解,但是其求和的方法,思路在后面一般數(shù)列求和里面有著非常重要的作用.本案例試著利用問題教學(xué)的模式讓學(xué)生自己去尋找.1、案例

師：西部地區(qū)的環(huán)境問題正引起越來越廣泛的關(guān)注，其中一個(gè)重要的舉措即是退耕還林。王師傅是當(dāng)?shù)匾幻麩嵝娜罕?，退休后，他決心用一個(gè)月的時(shí)間做下面的事：第一天，他自已種一棵樹；第二天，他發(fā)動(dòng)兩個(gè)人和他一起每人做一棵樹；第三天，這三個(gè)人每人再發(fā)動(dòng)兩個(gè)人加入他們的行列，每人種一棵樹。如此繼續(xù)，持續(xù)了一個(gè)月（30天計(jì)）。請(qǐng)問他們能讓多少耕地還林？對(duì)此我們需要考慮哪些問題？

生：就是森林覆蓋的面積問題.所以要求出30天種樹的總量，以及相鄰兩樹之間的距離。師：這是一個(gè)實(shí)際問題，為了簡(jiǎn)便起見，我們假設(shè)任何相鄰兩樹間的距離都是0.5米。因此剩下的問題即是求樹的總數(shù)，大家可以嘗試著做一下。

（學(xué)生動(dòng)手求解，求解中允許與周圍同學(xué)討論，幾分鐘后）師：有同學(xué)求出來了嗎？

生：我發(fā)現(xiàn)他們第一天種1棵，第二天種3棵，第三天種9棵，第四天種27棵，依次類推，他們每天種的樹構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列。所以。但我算不出來。S30?1?3?32???329（1）師:當(dāng)數(shù)列項(xiàng)數(shù)比較多時(shí),那么一項(xiàng)一項(xiàng)累加就比較繁瑣;為了又快又巧地解決這個(gè)問題.我們通常有兩種思路: 一種就是在項(xiàng)數(shù)仍然較多的情況下，使得每一項(xiàng)都相同，即將之特殊化，如前面提到的高斯求和的方法。

生:老師,這個(gè)方法我們?cè)囘^了，S30?329?328?327???

1?2S30??1?329???3?328???32?327?????1?329?

但是下面就沒有辦法了.因?yàn)槔ㄌ?hào)里的不是全部相等.師：對(duì)的非常好.,所以我們應(yīng)該去考慮另一種方法,那就是想辦法抵消一些項(xiàng)，使之轉(zhuǎn)化為只有幾項(xiàng)相加減的情況。對(duì)于等比數(shù)列求和，我們采用后一種思路。即求和關(guān)鍵是要消去中間過多的項(xiàng)。另外，這里的S可以看作是天數(shù)的函數(shù)，比如S30表示30天時(shí)的函數(shù)值，S29就表示29天時(shí)的函數(shù)值。那如何消掉中間項(xiàng)呢?看一下前后之間的項(xiàng)的關(guān)系?（教師在巡視中可以發(fā)現(xiàn)，教師的提示起到了重要的作用，學(xué)生求解過程中有如下方案：

組1：先把S30算式中間的項(xiàng)寫出來，即3?3???3，并提取公因子3后寫成：

2283(1?3???327)，發(fā)現(xiàn)括號(hào)里即為S28，所以便有：S30?1?3S28?329。做到這一步，學(xué)生發(fā)現(xiàn)要求S30，卻出現(xiàn)了S28，于是有用S30替換S28的，也有用S28替換S30的，最終求得S30330?1?。

2組2：把（1）式作如下處理：S30?1?3(1?32???328)?1?3S29。然后用類似組1的方法求出S30。

組3：（1）×3：3S30?3?32?33???330（2）；（1）—（2）得?S30?1?3，求得S3030330?1?。這即是教材的求法。）（教師讓每組學(xué)生派代表對(duì)各自的求解思路作匯報(bào)后，作出總結(jié)。）

師：從三組學(xué)生對(duì)這個(gè)問題的求解過程來看，前n項(xiàng)求和的本質(zhì)都是為了消去中間過多的項(xiàng)，大家也可以從等差數(shù)列求和中得到類似的體會(huì)。但你們剛才的求和方法是否適合所有等比數(shù)列前n項(xiàng)求和的問題呢？比如?an?是以a1為首項(xiàng)，q為公比的一個(gè)等比數(shù)列，每小組用你們自己的方法試一下。

（組1：?Sn?a1?a1q???a1qn?2?a1qn?1

又?a1q???a1qn?2?q(a1?a1q???a1qn?3)?qSn?2

?Sn?a1?a1q???a1qn?2?a1qn?1?a1?q(Sn?a1qn?2?a1qn?1)?a1qn?1 a1?a1qn

?(1?q)Sn?a1?a1q

得到Sn?

1?qn組2：?Sn?a1?a1q???a1qn?2?a1qn?1?a1?q(a1?a1q???a1qn?2)?a1?qSn?1

即?Sn?a1?q(Sn?a1qn?1)

a1?a1qn

?Sn?

1?q組3：?Sn?a1?a1q???a1qn?2?a1qn?1

qSn?a1q???a1qn?1?a1qn

?(1?q)Sn?a1?a1qn

a1?a1qn

?Sn?

1?q組4:受方組3的啟發(fā),從第二項(xiàng)開始提取一個(gè)a1, 再應(yīng)用公式1?qn??1?q??1?q?q2????????qn?1?

?Sn?a1?a1q???a1qn?2?a1qn?1?a1(1?q?q2????????qn?1)

1?qn?Sn?a1

1?q（各小組均未注意到q?1的情形，所以教師要作重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)，并總結(jié)出等比數(shù)列求和公式。）

2、案例簡(jiǎn)析

新教材對(duì)于此節(jié)安排就是一個(gè)實(shí)際的例子引出,再通過這個(gè)實(shí)際例子求和的方法推導(dǎo)遷移出一般等比數(shù)列的求和公式。如果教學(xué)中,對(duì)于公式只是簡(jiǎn)單的推導(dǎo),再讓學(xué)生記住公式,并利用公式計(jì)算,確實(shí)不難,只要將推導(dǎo)的方法直接告訴學(xué)生,再讓學(xué)生利用大量練習(xí)進(jìn)行鞏固。這樣也能達(dá)到一定的教學(xué)效果。可是只是這樣讓學(xué)生機(jī)械的,被動(dòng)的去接受結(jié)果,忽略讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)結(jié)果,和探索問題的思維過程,就失去了訓(xùn)練思維的絕好的機(jī)會(huì)。本案例由現(xiàn)實(shí)情境引入課題，在教師引導(dǎo)和提示下，學(xué)生提出問題并解決問題,把火熱的思維過程展現(xiàn)在課堂上,讓他們自己去體驗(yàn)艱辛探索后的成功的愉悅。這對(duì)于他們以后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),學(xué)好數(shù)學(xué)非常有益.以往教學(xué)只是介紹推導(dǎo)方法,這樣的思考問題的思路顯得狹隘,限制了學(xué)生從多層次,多角度去思考的權(quán)利。本案例的處理就是再現(xiàn)一種的推導(dǎo)過程,而在這種推導(dǎo)過程讓學(xué)生從多個(gè)層面去思考,用多種方法去解決問題,通過觀察、分析、歸納、猜想,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力,同時(shí)調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。在該案例設(shè)計(jì)中，筆者是基于以下兩點(diǎn)考慮的： 2．1在課上促進(jìn)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)的養(yǎng)成

新的課程標(biāo)準(zhǔn)已對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)作了清楚的刻畫，正如[1]文中指出的：“學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)主要體現(xiàn)在以下2個(gè)方面。（1）面對(duì)實(shí)際問題，能主動(dòng)嘗試著從數(shù)學(xué)的角度運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法尋求解決問題的策略??（2）認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)涵著大量的數(shù)學(xué)信息，數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)世界中有著廣泛的應(yīng)用?！盵1]但目前數(shù)學(xué)教育中存在著一個(gè)較大的問題即學(xué)生應(yīng)用能力、應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)與課堂教學(xué)的脫鉤，認(rèn)為課堂是學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的主戰(zhàn)場(chǎng)，因此一提起數(shù)學(xué)應(yīng)用，以及作為數(shù)學(xué)應(yīng)用的一個(gè)重要載體的研究性學(xué)習(xí)便想到了讓學(xué)生走出校園，進(jìn)入社區(qū)，著手調(diào)查。筆者以為，讓學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活中體驗(yàn)數(shù)學(xué)對(duì)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)的養(yǎng)成確有巨大的影響，但不是全部。呂傳漢、汪秉彝曾這樣寫道：“學(xué)生學(xué)習(xí)有別于人類的一般學(xué)習(xí)，它主要是掌握間接經(jīng)驗(yàn)的過程??不必事事從直接經(jīng)驗(yàn)開始，而應(yīng)是在教師指導(dǎo)下對(duì)現(xiàn)成知識(shí)‘再發(fā)現(xiàn)’?！盵2]如何不出校門培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)？一個(gè)有效的手段即是教師創(chuàng)設(shè)一個(gè)有利于兒童學(xué)習(xí)活動(dòng)的問題情境，讓“學(xué)校數(shù)學(xué)”與“日常數(shù)學(xué)”走向融合，使學(xué)生不出校門而在問題解決中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，逐漸樹立起“學(xué)數(shù)學(xué)即是做數(shù)學(xué)”的觀念。而在此過程中一個(gè)重要的思想即是模型的思想，或更為具體地說也就是數(shù)學(xué)建模，這也是筆者在案例設(shè)計(jì)時(shí)思考的又一問題。

2．2數(shù)學(xué)模型思想在課堂教學(xué)中的滲透

在此強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)，筆者以為有著特殊重要的意義。從數(shù)學(xué)本身的發(fā)展來看，數(shù)學(xué)往往起源于具體事物、具體經(jīng)驗(yàn)，形成非結(jié)構(gòu)性知識(shí)，但數(shù)學(xué)的發(fā)展并不終止于非結(jié)構(gòu)性知識(shí)，而往往需要作進(jìn)一步的抽象，最終形成具有良好結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)知識(shí)。這種結(jié)構(gòu)的形成在一定程度上是由于數(shù)學(xué)模型的一般化，模型之間的協(xié)調(diào)。正是基于此，筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)模型化思想（包括數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)解模的思想）的學(xué)習(xí)較數(shù)學(xué)知識(shí)本身的學(xué)習(xí)有更重要的意義和更大的發(fā)展?jié)摿?。讓學(xué)生用數(shù)學(xué)模型思想看問題，用建模的方法解決問題，用解模應(yīng)用于生活，即是促進(jìn)了學(xué)生“經(jīng)由數(shù)學(xué)地思維”的能力。《〈高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)〉的框架設(shè)想》也明確指出要把數(shù)學(xué)建模貫穿于各學(xué)習(xí)模塊之中，并單獨(dú)設(shè)立了“數(shù)學(xué)建模”的專題課程。但筆者以為，目前在中學(xué)開設(shè)“數(shù)學(xué)建模”專題課程時(shí)機(jī)尚不成熟，這首先是因?yàn)橹袑W(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容多，學(xué)時(shí)少；其次是因?yàn)閷W(xué)生現(xiàn)有能力結(jié)構(gòu)不適合獨(dú)立開設(shè)數(shù)學(xué)建模課程。因而，與專門開設(shè)數(shù)學(xué)建模課相比，教師在日常課堂教學(xué)中滲透模型思想，以建模為平臺(tái)開展日常教學(xué)就顯得更為迫切。結(jié)合正常課堂教學(xué)，通過對(duì)教材呈現(xiàn)的知識(shí)的理性重建，在部分環(huán)節(jié)上“切入”建模的內(nèi)容，盡管有時(shí)會(huì)偏離該堂課的教學(xué)目標(biāo)，但對(duì)于學(xué)生能力的培養(yǎng)，未來的發(fā)展都有著很大的作用。

第四篇：等比數(shù)列教學(xué)反思

等比數(shù)列教學(xué)反思

許萍萍

時(shí)間過的真快，轉(zhuǎn)眼間從初中部來到高中任教已經(jīng)快1年了，這是我來高中后的第一節(jié)公開課，既是新教師的匯報(bào)課，又是校內(nèi)的教學(xué)大賽。我根據(jù)教學(xué)進(jìn)度確定了課題，提前一周開始準(zhǔn)備課件和導(dǎo)學(xué)案。因?yàn)閷W(xué)生剛剛學(xué)習(xí)完等差數(shù)列，運(yùn)用類比的思想能夠自學(xué)等比數(shù)列的概念和性質(zhì)，自行推導(dǎo)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，所以我選擇了初中的教學(xué)模式——四研互助式高效課堂模式。

一、設(shè)計(jì)思想：

1、以學(xué)生為主導(dǎo)

本課的設(shè)計(jì)思想是以學(xué)生為主導(dǎo)，教師為輔參與學(xué)生的互動(dòng)，巡視學(xué)生組內(nèi)活動(dòng)參與情況，檢查學(xué)生自學(xué)情況和課堂記錄是否及時(shí)，在教學(xué)中通過導(dǎo)學(xué)案的設(shè)計(jì)，引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生從實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)列規(guī)律，學(xué)生類比等差數(shù)列的概念，寫出等比數(shù)列的概念，類比等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的獲得過程，自行推導(dǎo)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。在教學(xué)活動(dòng)中滲透了數(shù)學(xué)建模的思想。在這個(gè)活動(dòng)中不斷將等差與等比的概念及方法做對(duì)比，讓學(xué)生更加清楚地了解等比數(shù)列的特征。在等比數(shù)列概念的建立及通項(xiàng)公式的探索過程都充滿了類比的歸納的數(shù)學(xué)思想，目的是使學(xué)生體會(huì)等差數(shù)列與等比數(shù)列的知識(shí)的有關(guān)聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的整體性。

2、注重培養(yǎng)學(xué)生的能力

課前我給各個(gè)小組布置任務(wù)，整個(gè)課堂每個(gè)環(huán)節(jié)都是學(xué)生在講解，學(xué)生結(jié)合課件，邊演示課件邊講解，包括板書，希望學(xué)生通過自研，組研，培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力，思考探索精神，組內(nèi)交流能力。

二、預(yù)期目標(biāo)：

這節(jié)課的重要思想采用類比的思想，在教師的引導(dǎo)下，以學(xué)生為主體完成整個(gè)課堂教學(xué)。就課堂反饋情況來看，學(xué)生的引導(dǎo)比較到位，講解的重點(diǎn)突出，前后呼應(yīng)，學(xué)生完成的比較理想，實(shí)現(xiàn)了預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)，個(gè)別不到位的地方，教師都及時(shí)的補(bǔ)充和拓展了。學(xué)生的課堂活動(dòng)很積極，課堂氣氛融洽，實(shí)現(xiàn)了良好的師生互動(dòng)，完成了預(yù)先的教學(xué)設(shè)計(jì)過程。并及時(shí)對(duì)學(xué)生的表現(xiàn)給與充分的表揚(yáng)、鼓勵(lì)以及正確的引導(dǎo)?，F(xiàn)在的教學(xué)需要使用鼓勵(lì)教育，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和能動(dòng)性，打開學(xué)生思維。在整個(gè)過程中學(xué)生的表達(dá)能力，心理素質(zhì)都得到了提升。

三、努力方向：

基礎(chǔ)較好的學(xué)生反映課堂容量較小，也有部分同學(xué)反映練習(xí)題比較簡(jiǎn)單，隨堂練習(xí)在層次上沒有太大差異，不能很好的滿足各個(gè)層次學(xué)生的需要，今后在習(xí)題的選擇上應(yīng)多下功夫，多查閱些資料，精選細(xì)練，力求讓每個(gè)學(xué)生各有所得，都能找到適應(yīng)個(gè)人實(shí)際的練習(xí)，幫助他們更好的理解，當(dāng)堂的基礎(chǔ)知識(shí)，也便于課后學(xué)生個(gè)人的復(fù)習(xí)總結(jié)。更好的實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)的時(shí)效性。

經(jīng)過這次公開課，只有帶著情感態(tài)度價(jià)值帶來備課才能從宏觀上來把握整堂課，頭腦里清楚我們將帶非學(xué)生什么東西，這樣我們的教學(xué)才會(huì)具有目標(biāo)性。這堂課下來，我更多的只是注意了基礎(chǔ)知識(shí)和基礎(chǔ)技能，而忽略了帶給學(xué)生的思想上的總結(jié)。

教學(xué)不僅是一門學(xué)問，也是一門藝術(shù)，還需要我在日常教學(xué)中不斷地總結(jié)和探索，不斷學(xué)習(xí)，不斷研究反思，這樣才能在教學(xué)中不斷進(jìn)步，創(chuàng)新，超越自我。

第五篇：等差數(shù)列、等比數(shù)列的證明及數(shù)列求和

等差數(shù)列、等比數(shù)列的證明

1．已知數(shù)列?an?滿足a1?1，an?3an?1?2n?3?n?2?，（Ⅰ）求證：數(shù)列?an?n?是等比數(shù)列；

（Ⅱ）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式。

2．已知數(shù)列?an?滿足a1?5，an?1?2an?3n?n?N*?，（Ⅰ）求證：數(shù)列?an?3n?是等比數(shù)列；

（Ⅱ）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式。

3．已知數(shù)列?an?滿足a1?1，an?2an?1?2（Ⅰ）求證：數(shù)列??an?是等差數(shù)列； n?2??n?n?2?，（Ⅱ）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式。

4．已知數(shù)列?an?滿足a1?2，an?1?

an1?2an，?1?

（Ⅰ）求證：數(shù)列??是等差數(shù)列；

?an?

（Ⅱ）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式。

5．已知數(shù)列?an?，Sn是它的前n項(xiàng)和，且Sn?1?4an?2?n??N，a1?

1*

（Ⅰ）設(shè)bn?an?1?2an?n?N*?，求證：數(shù)列?bn?是等比數(shù)列；（Ⅱ）設(shè)cn?

an

2n，求證：數(shù)列?cn?是等差數(shù)列；

（Ⅲ）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式。

數(shù)列求和的方法介紹

一、公式法

利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法。

1、等差數(shù)列求和公式：Sn?

n(a1?an)

?na1?

n(n?1)

2d2、等比數(shù)列求和公式：Sn

?na1?n

a?anq??a1(1?q)

?

1?1?q1?q?

(q?1)(q?1)

二、錯(cuò)位相減法

這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列?an?bn?的前n項(xiàng)和，其中?an?、?bn?分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列

三、裂項(xiàng)相消法

裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的通項(xiàng)分解，其中裂項(xiàng)是手段，相消是目的。常見的裂項(xiàng)法有：

（1）an?

1n(n?1)

1n(n?2)

?

1n

?

1n?

1（2）an?

1n(n?1)

?

1n?1

?

1n

?n?2?

（3）an?

?

1?11??

2?nn?2???

1anan?1

?

（4）若?an?等差，公差為d?0，則

?11?

???【裂項(xiàng)原理】 ?an?1an?

（5）

?2n?1??2n?1?

?

例

1、已知數(shù)列?an?是等差數(shù)列，設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn，若a5?9，S5?25（Ⅰ）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式an；

（Ⅱ）設(shè)bn?3，求數(shù)列?bn?的前n項(xiàng)和Tn

an

例

2、已知數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式為an??2n?1??3，求前n項(xiàng)和Sn

n

例

3、已知數(shù)列?an?是等差數(shù)列，設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn，若S5?35，S10?120（Ⅰ）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式an和Sn；（Ⅱ）設(shè)bn?

1Sn，求數(shù)列?bn?的前n項(xiàng)和。