第一篇：《數(shù)形結(jié)合法在函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)

《數(shù)形結(jié)合法在函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)

李志剛 山東省安丘市第一中學(xué)

【教學(xué)目標(biāo)】 函數(shù)的零點(diǎn)一直是近年來(lái)全國(guó)各地高考卷上的熱點(diǎn)，因其綜合性強(qiáng)，讓很多同學(xué)感到困難.本文通過(guò)對(duì)高考試卷中有關(guān)零點(diǎn)問(wèn)題的研究，來(lái)說(shuō)明如何將數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用于函數(shù)零點(diǎn) 的問(wèn)題中，使零點(diǎn)問(wèn)題變得直觀形象，從而有效地將問(wèn)題解決.【教學(xué)思想、方法】 數(shù)形結(jié)合 分類討論 轉(zhuǎn)化與化歸 函數(shù)與方程【教學(xué)過(guò)程】

函數(shù)的零點(diǎn)是新課標(biāo)中增加的內(nèi)容，一直是近年來(lái)全國(guó)各地高考考查的熱點(diǎn).含有零點(diǎn)問(wèn)題的試題常在函數(shù)、方程、圖象等方面進(jìn)行知識(shí)交匯，可以很好地考查高中的四大數(shù)學(xué)思想.所以零點(diǎn)問(wèn)題常常以選擇題、填空題、解答題等形式出現(xiàn)，是同學(xué)們最常見(jiàn)的失分點(diǎn)之一，這讓很多同學(xué)感到學(xué)習(xí)上有障礙.另一方面，數(shù)形結(jié)合主要是指數(shù)與形建立的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形 結(jié)合起來(lái)，通過(guò)對(duì)圖形的處理，化難為易，化抽象為直觀.由于零點(diǎn)問(wèn)題蘊(yùn)含著豐富的數(shù)形結(jié)合思想，所以在高考試卷中一直備受青睞.通過(guò)對(duì)高考試卷上有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的研究，總結(jié)出如何將數(shù)形結(jié)合思想在零點(diǎn)問(wèn)題中進(jìn) 行恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用.題目中常有已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求參數(shù)的范圍問(wèn)題.零點(diǎn)的個(gè)數(shù)可以轉(zhuǎn)化為方程的根的個(gè)數(shù)，再利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，這種方法可以使問(wèn)題直觀地得以解決.多媒體展示： 1.針對(duì)題型：

(1)確定零點(diǎn)的大致范圍，多出現(xiàn)在選擇題中；(2)確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，多出現(xiàn)在選擇題中；

(3)利用已知零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍，多出現(xiàn)在選擇題、填空題、解答題中均有可能出現(xiàn)。

2.解決方案：

(1)直接畫出函數(shù)圖像，觀察圖像得出結(jié)論。

(2)不能直接畫出函數(shù)圖像的，可以等價(jià)地轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)，通過(guò)判斷交點(diǎn)的個(gè)數(shù)得出函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)或要求的參數(shù)范圍。

例題講解：

?kx?2,x?0已知函數(shù)f(x)???k?R?，若函數(shù)y＝|f(x)|+k有三個(gè)零點(diǎn)，則

?lnx,x?0實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A.k?2B.?1?k?0C.?2?k??1D.k??2

[解析] ：對(duì)于零點(diǎn)問(wèn)題，先讓函數(shù)等于零。然后移向構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝|f(x)|的圖像和y＝－k 的圖像，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn)．

解：令|f(x)|+k =0，則|f(x)|=-k，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝|f(x)|的圖像和y＝－k的圖像，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn)．由于|f(x)|≥0，故必須－k≥0，即k≤0.顯然，k＝0 時(shí)兩個(gè)函數(shù)圖像只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以 k< 0，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)圖像有三個(gè)公共點(diǎn)，如圖所示，只要－k≥2，即k≤－2．

【注】結(jié)合FLASH課件展示動(dòng)態(tài)圖像，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的重要性。

歸納小結(jié)：

1.解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合； 2.還應(yīng)把握兩類知識(shí)：(1)靈活構(gòu)造函數(shù)；

(2)圖像的各類變換：平移、伸縮、對(duì)稱、周期性變換等。

【教學(xué)反思】 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)若存在零點(diǎn)，可以考慮零點(diǎn)定理.但作為壓軸題的最后一問(wèn)，直接運(yùn)用零點(diǎn)定理肯定會(huì)有難度，通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)出題者給出的第一問(wèn)對(duì)第二問(wèn)有提示作用，這樣就可以創(chuàng)造條件來(lái)運(yùn)用零點(diǎn)定理.這種現(xiàn)象在高考試卷最后的一兩道解答題中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)，另外，函數(shù)問(wèn)題通常都要使用數(shù)形結(jié)合的思想，這樣才可以使很多問(wèn)題迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷.以高考題為例，對(duì)利用數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用做了初步研 究.數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)四大常用思想方法之一，可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、形象化，變抽象思維為形象思維，有利于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì).零點(diǎn)問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)、難點(diǎn)，運(yùn) 用數(shù)形結(jié)合的思想，可以使零點(diǎn)問(wèn)題不再讓學(xué)生 感到困難.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò):“數(shù)缺 形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難人微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休”，可見(jiàn)數(shù)和形是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最主要的研究對(duì)象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透.作為中學(xué)數(shù)學(xué)教師，在函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題教學(xué)時(shí)滲透數(shù)形結(jié)合的思想，并在平時(shí)的訓(xùn)練中不斷領(lǐng)悟和總結(jié)，可以促使學(xué)生在解決零點(diǎn)問(wèn)題的能力上得到改善和提高！

第二篇：數(shù)形結(jié)合法在不等式證明中的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合在不等式證明中的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合思想簡(jiǎn)而言之就是把數(shù)學(xué)中“數(shù)”和數(shù)學(xué)中“形”結(jié)合起來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想。數(shù)形結(jié)合具體地說(shuō)就是將抽象數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀圖形結(jié)合起來(lái)，使抽象思維與形象思維結(jié)合起來(lái)，通過(guò)“數(shù)”與“形”之間的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)換來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。在中學(xué)數(shù)學(xué)不等式的證明中，主要以“形”助“數(shù)”。

以“形”助“數(shù)” ：

由于“數(shù)”和“形”是一種對(duì)應(yīng)，有些數(shù)量比較抽象，我們難以把握，而“形”具有形象，直觀的優(yōu)點(diǎn)，能表達(dá)較多具體的思維，起著解決問(wèn)題的定性作用，因此我們可以把“數(shù)”的對(duì)應(yīng)——“形”找出來(lái)，利用圖形來(lái)解決問(wèn)題。我們能夠從所給問(wèn)題的情境中辨認(rèn)出符合問(wèn)題目標(biāo)的某個(gè)熟悉的“模式”，這種模式是指數(shù)與形的一種特定關(guān)系或結(jié)構(gòu)。這種把數(shù)量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形問(wèn)題，并通過(guò)對(duì)圖形的分析、推理最終解決數(shù)量問(wèn)題的方法，就是圖形分析法。數(shù)量問(wèn)題圖形化是數(shù)量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形問(wèn)題的條件，將數(shù)量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形問(wèn)題一般有三種途徑：應(yīng)用平面幾何知識(shí)，應(yīng)用立體幾何知識(shí)，應(yīng)用解析幾何知識(shí)將數(shù)量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形問(wèn)題。解一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，一般來(lái)講都是首先對(duì)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，分解成已知是什么（條件），要求得到的是什么（目標(biāo)），然后再把條件與目標(biāo)相互比較，找出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系。因此，對(duì)于“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”這類問(wèn)題，解決問(wèn)題的基本思路： 明確題中所給的條件和所求的目標(biāo)，從題中已知條件或結(jié)論出發(fā)，先觀察分析其是否相似（相同）于已學(xué)過(guò)的基本公式（定理）或圖形的表達(dá)式，再作出或構(gòu)造出與之相適合的圖形，最后利用已經(jīng)作出或構(gòu)造出的圖形的性質(zhì)、幾何意義等，聯(lián)系所要求解（求證）的目標(biāo)去解決問(wèn)題。

中學(xué)數(shù)學(xué)的基本知識(shí)分三類：一類是純粹數(shù)的知識(shí)，如實(shí)數(shù)、代數(shù)式、方程（組）、不等式（組）、函數(shù)等；一類是關(guān)于純粹形的知識(shí)，如平面幾何、立體幾何等；一類是關(guān)于數(shù)形結(jié)合的知識(shí)，主要體現(xiàn)是解析幾何。數(shù)形結(jié)合是一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動(dòng)和直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來(lái)直觀地說(shuō)明函數(shù)的性質(zhì)；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來(lái)精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。

數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖像結(jié)合起來(lái)，關(guān)鍵是代數(shù)問(wèn)題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問(wèn)題幾何化，幾何問(wèn)題代數(shù)化。在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問(wèn)題時(shí)，要注意徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對(duì)數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義。

不等式的證明在中學(xué)階段甚至是大學(xué)階段都是很重要的知識(shí)模塊，其證明的方法也不計(jì)其數(shù)，但是利用數(shù)形結(jié)合的方法證明卻是其中巧妙便捷的方法之一。下面就以實(shí)際例子加以闡述。

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結(jié)構(gòu)取聯(lián)想更多的關(guān)于此問(wèn)題的特征表達(dá)，不單獨(dú)的考慮不等式問(wèn)題，而是將所有已經(jīng)學(xué)習(xí)的知識(shí)都聯(lián)系在一起來(lái)思考，這樣就會(huì)找到更多捷徑.

第三篇：導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用

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導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用

作者：朱季生

來(lái)源：《中學(xué)教學(xué)參考·理科版》2013年第04期

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容和主干知識(shí)，而導(dǎo)數(shù)知識(shí)在研究函數(shù)圖象、函數(shù)零點(diǎn)、不等式證明以及不等式恒成立等諸多問(wèn)題中亦有著廣泛的應(yīng)用.本文以2012年福建省高考中的函數(shù)試題舉例闡述.一、函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn)的有關(guān)性質(zhì)

第四篇：函數(shù)零點(diǎn)教學(xué)設(shè)計(jì)

一、【教案背景】

1、課題：函數(shù)的零點(diǎn)

2、教材版本：蘇教版數(shù)學(xué)必修

（一）第二章2.5.1函數(shù)的零點(diǎn)

3、課時(shí)：1課時(shí)

二、【教學(xué)分析】 教材內(nèi)容分析：

本節(jié)課的主要內(nèi)容有函數(shù)零點(diǎn)的概念、函數(shù)零點(diǎn)存在性判定。

函數(shù)的零點(diǎn),是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要概念,從函數(shù)值與自變量對(duì)應(yīng)的角度看,就是使函數(shù)值為0的實(shí)數(shù)x;從方程的角度看,即為相應(yīng)方程f（x）=0的實(shí)數(shù)根，從函數(shù)的圖形表示看,函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)f(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念，核心的根本原因之一在于函數(shù)與其他知識(shí)具有廣泛的聯(lián)系性，而函數(shù)的零點(diǎn)就是其中的一個(gè)鏈結(jié)點(diǎn),它從不同的角度,將數(shù)與形,函數(shù)與方程有機(jī)的聯(lián)系在一起。

本節(jié)是函數(shù)應(yīng)用的第一課，因此教學(xué)時(shí)應(yīng)當(dāng)站在函數(shù)應(yīng)用的高度，從函數(shù)與其他知識(shí)的聯(lián)系的角度來(lái)引入較為適宜。教學(xué)目標(biāo)：

1、知識(shí)與技能

（1）能利用二次函數(shù)的圖象與判別式的符號(hào)，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)。

（2）了解函數(shù)零點(diǎn)與相應(yīng)方程的根的聯(lián)系，掌握零點(diǎn)存在的判定條件。

2、過(guò)程與方法

（1）通過(guò)觀察例題的圖象，發(fā)現(xiàn)函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)上的函數(shù)值之積的特點(diǎn)，找到連續(xù)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的判斷方法。

（2）滲透算法思想，運(yùn)用算法解決問(wèn)題，為后面系統(tǒng)學(xué)習(xí)算法做準(zhǔn)備。

3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀

在函數(shù)與方程的聯(lián)系中體驗(yàn)數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想的意義和價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生在函數(shù)與方程的聯(lián)系中體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想的意義和價(jià)值，發(fā)展學(xué)生對(duì)變量數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，體會(huì)函數(shù)知識(shí)的核心作用．體驗(yàn)數(shù)學(xué)內(nèi)在美,激發(fā)學(xué)習(xí)熱情,培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)精神。教學(xué)重點(diǎn)： 零點(diǎn)的概念及零點(diǎn)存在性判定。

教學(xué)難點(diǎn)： 探究判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)和所在區(qū)間的方法。教學(xué)方法：

問(wèn)題是課堂教學(xué)的靈魂，以問(wèn)題為主線貫穿始終；以學(xué)生為主體，以教師為主導(dǎo)，以能力發(fā)展為目標(biāo)，精心設(shè)計(jì)引導(dǎo)性問(wèn)題，從學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律出發(fā)進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)，利用課件，動(dòng)畫等引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的思考，運(yùn)用學(xué)生自主學(xué)習(xí)、小組合作探究的教學(xué)方式。

三、【教學(xué)過(guò)程】

（一）、問(wèn)題情境

（1）畫出二次函數(shù)的圖象,并寫出圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

說(shuō)明：通過(guò)學(xué)生熟悉的二次函數(shù)圖象入手，讓學(xué)生體會(huì)二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的數(shù)值與方程根的對(duì)應(yīng)關(guān)系，方程的實(shí)數(shù)根就是的函數(shù)值為0時(shí)自變量x的值,建立初步的數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想。（課件展示函數(shù)圖象）

（2）畫出二次函數(shù)、與的圖象,并寫出圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

說(shuō)明：通過(guò)兩小題讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到當(dāng)二次函數(shù)的圖象在x軸上方時(shí)，與之對(duì)應(yīng)的方程無(wú)解，當(dāng)二次函數(shù)的圖象恰好與x軸相交時(shí)，與之對(duì)應(yīng)的方程有相等的實(shí)數(shù)根，建立初步的函數(shù)與方程數(shù)學(xué)思想。

提出二次函數(shù)零點(diǎn)的概念（我們把使二次函數(shù)的值為0的實(shí)數(shù)x稱為二次函數(shù)的零點(diǎn)）。

（二）、合作探究

探究二次函數(shù)的零點(diǎn)、二次函數(shù)的圖象與一元二次方程的實(shí)數(shù)根之間的關(guān)系？

Δ>0 Δ=0 Δ<0

方程根的的圖象的零點(diǎn)

說(shuō)明：小組合作探究，由學(xué)生回答，教師對(duì)答案給予鼓勵(lì)性的評(píng)價(jià)。通過(guò)完成以上問(wèn)題,讓學(xué)生體會(huì)從具體到一般函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)與相應(yīng)方程根的關(guān)系。如果學(xué)生有困難，教師可作一下點(diǎn)撥,結(jié)合二次函數(shù)的圖象,推廣到一般函數(shù)零點(diǎn)的定義。板書課題:函數(shù)的零點(diǎn)

（三）、意義建構(gòu)

函數(shù)的零點(diǎn)概念：我們把使函數(shù)的值為0的實(shí)數(shù)稱為函數(shù)的零點(diǎn)（zeropoint）。

注：（1）零點(diǎn)不是點(diǎn)。

等價(jià)關(guān)系

函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)

方程f(x)=0實(shí)數(shù)根（數(shù)）

函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)（形）

有了上述的關(guān)系，就可用函數(shù)的觀點(diǎn)看待方程，方程的根即函數(shù)的零點(diǎn)，可以把解方程的問(wèn)題互化為思考函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題。這正是函數(shù)與方程思想的基礎(chǔ)。

說(shuō)明：通過(guò)對(duì)概念的陳述，讓學(xué)生了解函數(shù)零點(diǎn)的概念及性質(zhì)，對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的概念有了完整的認(rèn)識(shí)，達(dá)到質(zhì)的飛躍。

（四）、數(shù)學(xué)運(yùn)用

例1：求下列函數(shù)的零點(diǎn),并畫出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖。①

② ③ ④

⑤

（師用展示臺(tái)展示學(xué)生的作圖，指出優(yōu)缺點(diǎn)）

說(shuō)明：求函數(shù)零點(diǎn)，體現(xiàn)函數(shù)與方程互相轉(zhuǎn)化的思想。本題的五個(gè)小題都簡(jiǎn)單，主要考察學(xué)生零點(diǎn)概念的掌握情況，題目包含了我們從初中到目前已經(jīng)學(xué)過(guò)的常見(jiàn)函數(shù)，目的讓學(xué)生通過(guò)及時(shí)練習(xí)加強(qiáng)對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的的認(rèn)識(shí)。

通過(guò)畫簡(jiǎn)圖，了解圖象的變化形式，要注意體現(xiàn)零點(diǎn)性質(zhì)的應(yīng)用。為下面學(xué)習(xí)根的存在條件奠定基礎(chǔ)。

例2 求證：二次函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)。

說(shuō)明：可讓學(xué)生充分討論例2的解法，發(fā)展學(xué)生的發(fā)散性思維，第一，從數(shù)的角度，將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化方程問(wèn)題，體現(xiàn)“函數(shù)與方程”思想.第二，從形的角度，圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。幾何畫板演示畫圖象過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生觀察當(dāng)函數(shù)圖象穿過(guò)x軸時(shí)，圖象就與x軸產(chǎn)生了交點(diǎn)，圖象穿過(guò)x軸這是一種幾何現(xiàn)象，那么如何用代數(shù)形式來(lái)描述呢？用屏幕顯示刺函數(shù)圖象，多次播放拋物線穿過(guò)x軸的畫面。板書證明過(guò)程

證明：設(shè),則 f(1)=－2<0。

因?yàn)樗膱D象是一條開(kāi)口向上的拋物線（不間斷），這表明此圖象一定穿過(guò)x軸，所以函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。因此，二次函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)。

從上面的解答知道，此函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)是。

問(wèn)題（1）你能說(shuō)明此函數(shù)在哪個(gè)區(qū)間[a，b]上存在零點(diǎn)（）嗎？ 問(wèn)題（2）如何判斷一個(gè)函數(shù)在區(qū)間（a，b）上是否存在零點(diǎn)？

讓學(xué)生自己思考、發(fā)言得到的結(jié)論，教師整理后得到函數(shù)零點(diǎn)的存在性判定。

如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條不間斷的曲線，且，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)。

教師給出這個(gè)結(jié)論，組織學(xué)生對(duì)下面問(wèn)題進(jìn)行討論。通過(guò)討論認(rèn)識(shí)問(wèn)題的本質(zhì)，升華對(duì)零點(diǎn)存在性判定的理解。

（1）若f(a)·f(b)<0,函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a,b)上就存在零點(diǎn)嗎？

（2）若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)<0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)會(huì)是只有一個(gè)零點(diǎn)么?

（3）若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)>0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)就一定沒(méi)有零點(diǎn)么？

（4）在什么條件下，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a,b)上可存在唯一零點(diǎn)？

（5）如果是二次函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)，且，那么f(a)·f(b)<0一定成立嗎？

為了幫助大家更好體會(huì)該結(jié)論，我們把它設(shè)計(jì)成流程圖。

說(shuō)明：設(shè)置成流程圖，既直觀、清晰，又為學(xué)生將來(lái)學(xué)習(xí)算法奠定基礎(chǔ)。算法的特殊表示符號(hào)，學(xué)生不知道，師生共同完成即可。

例3．求證：函數(shù)在區(qū)間(－2，－1)上存在零點(diǎn)．

說(shuō)明: 學(xué)生完成過(guò)程中，教師巡視，展臺(tái)展示優(yōu)秀作品及步驟有問(wèn)題者，達(dá)到糾正錯(cuò)誤及解題規(guī)范化。

（五）、歸納總結(jié)

說(shuō)明:這個(gè)環(huán)節(jié),學(xué)生主動(dòng)總結(jié)本節(jié)課學(xué)到的知識(shí),將本節(jié)課所講的知識(shí)點(diǎn)系統(tǒng)整理，為后面的函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。

（六）、反饋練習(xí)

(1)函數(shù)f(x)＝2x2－5x＋2的零點(diǎn)是

；

(2)二次函數(shù)y＝2x2＋px＋15的一個(gè)零點(diǎn)是－3，則另一個(gè)零點(diǎn)是

；(3)若函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋a沒(méi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(4)已知函數(shù)f(x)的圖象是不間斷的，有如下的x,f(x)對(duì)應(yīng)值表：

那么函數(shù)在區(qū)間[1，6]上的零點(diǎn)至少有

個(gè)；(5)在二次函數(shù)中，ac<0,則其零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

；

說(shuō)明:本環(huán)節(jié)用時(shí)5分鐘,考完后小組互換,立即批改.發(fā)現(xiàn)問(wèn)題立即糾正,再通過(guò)課后作業(yè)加以鞏固.對(duì)做的好的及時(shí)給予表?yè)P(yáng)。

（七）、作業(yè)布置

1、完成蘇教版必修1第76頁(yè)練習(xí)1、2。

2、①有2個(gè)零點(diǎn);②3個(gè)零點(diǎn);③4個(gè)零點(diǎn).四、【板書設(shè)計(jì)】

屏幕

函數(shù)的零點(diǎn)

一、函數(shù)零點(diǎn)的定義：我們把使函數(shù)的值為0的實(shí)數(shù)稱為函數(shù)的零點(diǎn)（零點(diǎn)不是點(diǎn)）.二、方程的根與函數(shù)零點(diǎn)之間的等價(jià)關(guān)系

函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)

方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根（數(shù)）

函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)（形）零點(diǎn)存在性判定

例1

例2

五、【教學(xué)反思】

前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家斯托利亞說(shuō)過(guò):“積極的教學(xué)應(yīng)是數(shù)學(xué)活動(dòng)(思維活動(dòng))的教學(xué)，而不是數(shù)學(xué)活動(dòng)的結(jié)束—數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)?！狈此肌昂瘮?shù)的零點(diǎn)”的課堂教學(xué)，本人覺(jué)得類似這樣的數(shù)學(xué)概念、原理的教學(xué)，教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)特別重視“過(guò)程性”，教學(xué)過(guò)程應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)“參與性”，要讓學(xué)生“參與”到教學(xué)過(guò)程中去.唯有學(xué)生的過(guò)程參與，才能較好地激發(fā)其主動(dòng)性，確立其主體地位.吸引學(xué)生“參與”，關(guān)鍵招數(shù)之一是對(duì)教材進(jìn)行“問(wèn)題化”處理，用問(wèn)題去引領(lǐng)學(xué)生探究。學(xué)生“參與”到教學(xué)過(guò)程中來(lái)，就是要參與知識(shí)建構(gòu)、參與思維訓(xùn)練、參與方法提煉。

本課中，圍繞教學(xué)目標(biāo)知識(shí)生成的過(guò)程，設(shè)計(jì)了若干問(wèn)題，以問(wèn)題為中心，以學(xué)生為主體，讓他們親身經(jīng)歷，體驗(yàn)函數(shù)的零點(diǎn)知識(shí)的建構(gòu)過(guò)程，函數(shù)零點(diǎn)存在性結(jié)論的探求，體現(xiàn)了本節(jié)課設(shè)計(jì)的基本理念:過(guò)程性、問(wèn)題性和主體性。

第五篇：初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)形結(jié)合法

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)形結(jié)合法

覃斗中學(xué)徐慧賢

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)總體目標(biāo)明確提出：“讓學(xué)生獲得未來(lái)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必須的重要數(shù)學(xué)知識(shí)，以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能”。數(shù)學(xué)知識(shí)本身那固然重要，但是對(duì)于學(xué)生的后續(xù)的學(xué)習(xí)，生活和工作長(zhǎng)期起作用，并使其終身受益的是數(shù)學(xué)思想方法。初中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想思想方法有：化歸思想方法，分類思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想方法，函數(shù)思想方法，方程思想方法，模型思想方法，統(tǒng)計(jì)思想方法，用字母代替數(shù)學(xué)的思想方法，運(yùn)動(dòng)變換思想方法等。

初中數(shù)學(xué)的兩個(gè)分支——代數(shù)和幾何，代數(shù)是研究“數(shù)”的，幾何是研究”形“的。但是研究代數(shù)要借助于“形”，研究幾何要借助于“數(shù)”，幾何圖形的形象直觀，便于理解，代數(shù)方法的一般性，解題過(guò)程的機(jī)械化，可操作性強(qiáng)，便于把握，因此數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中重要的思想方法。數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)的好“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離”。

數(shù)學(xué)史中的數(shù)形結(jié)合：“中國(guó)的儒家傳統(tǒng)文化和教育統(tǒng)一貫重“一”或整體的價(jià)值”,這種注重“一以貫之”的整體性和直覺(jué)性的思維模式，是“數(shù)形結(jié)合”思想產(chǎn)生的本源?！毒耪滤阈g(shù)》中所給出的各種籌算運(yùn)演規(guī)則，如開(kāi)方術(shù)、方程術(shù)、割圓術(shù)、陽(yáng)馬術(shù)、盈不足術(shù)等，從命名上就可以發(fā)現(xiàn)這些“程序”性法則（類似于算法）的直觀性。現(xiàn)代數(shù)學(xué)各分支“交叉滲透，學(xué)科整合”，無(wú)不體現(xiàn)著數(shù)形結(jié)合長(zhǎng)盛不衰的魅力。早在數(shù)學(xué)萌芽時(shí)期，人們?cè)诙攘块L(zhǎng)度、面積和體積的過(guò)程中，就把數(shù)和形聯(lián)系起來(lái)了。我國(guó)宋元時(shí)期，系統(tǒng)地引進(jìn)了幾何問(wèn)題代數(shù)化的方法，用代數(shù)式描述某些幾何特征，把圖形之間的幾何關(guān)系表達(dá)成代數(shù)式之間的代數(shù)關(guān)系。17世紀(jì)上半葉，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒以坐標(biāo)為橋梁，在點(diǎn)與數(shù)對(duì)之間、曲線與方程之間建立起來(lái)對(duì)應(yīng)關(guān)系，用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題，從而創(chuàng)立了解析幾何學(xué)。后來(lái)，幾何學(xué)中許多長(zhǎng)期不能解決的問(wèn)題，例如立方倍積、三等分任意角、化圓為方等問(wèn)題，最終也借助于代數(shù)方法得到了完滿的解決。即使在近代和現(xiàn)代數(shù)學(xué)的研究中，幾何問(wèn)題的代數(shù)化也是一條重要的方法原則，有著廣泛的應(yīng)用。溝通數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，不僅使幾何學(xué)獲得了代數(shù)化的有力工具，也使許多代數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析的課題具有了明顯的直觀性，在數(shù)學(xué)解題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，就是根據(jù)問(wèn)題的具體情形，或者把圖形性質(zhì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系來(lái)研究，后者把數(shù)量關(guān)系問(wèn)題轉(zhuǎn)化成圖形性質(zhì)來(lái)研究，以便以數(shù)助形或以形助數(shù)，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化。

數(shù)形結(jié)合的具體應(yīng)用：

函數(shù)數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用

1、圖形信息的獲取，建立適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)模型。不少函數(shù)問(wèn)題以圖形的形式出現(xiàn)，圖形中包含豐富的代數(shù)知識(shí)，仔細(xì)觀察圖形、圖像、把握?qǐng)D形的特點(diǎn)、找出圖形中的信息是解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在。

例1：某校部分住校生，放學(xué)后到學(xué)校鍋爐房打水，每人接水 2升，他們先同時(shí)打開(kāi)兩個(gè)放水籠頭，后來(lái)因故障關(guān)閉一個(gè)放水籠頭。假設(shè)前后兩人接水間隔時(shí)間忽略不計(jì)，且不發(fā)生潑灑，鍋爐內(nèi)的余水量y（升）與接水時(shí)間x（分）的函數(shù)圖像如圖。

請(qǐng)結(jié)合圖像，回答下列問(wèn)題：

（1）根據(jù)圖中信息，請(qǐng)你寫出一個(gè)結(jié)論；

（2）問(wèn)前15位同學(xué)接水結(jié)束共需要幾分鐘？

（3）小敏說(shuō)：“今天我們寢室的8位同學(xué)去鍋爐房連續(xù)接完水恰好用了3分鐘?！蹦阏f(shuō)可能嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。

分析：此類題型為圖像信息問(wèn)題，所有的信息由圖像反映，圖形是折線，分為兩段，代數(shù)模型為：兩個(gè)不同的一次函數(shù)。根據(jù)圖形可得到點(diǎn)的坐標(biāo)（0，96），（2，80），（4，72）。代表的意義為：到2分鐘，鍋爐內(nèi)原有水96升，接水2分鐘后，鍋爐內(nèi)的余水量為80升，接水4分鐘，鍋爐內(nèi)的余水量為72升；2分鐘前的水流量為每分鐘8升等。利用待定系數(shù)法的代數(shù)方法求出函數(shù)解析式，利用代數(shù)的精確性說(shuō)理解題。

解：（1）略

（2）當(dāng)0≤x≤2時(shí)，y=-8x+96（0≤x≤2），當(dāng)x＞2時(shí)，y=-4x+88（x>2）

∵前15位同學(xué)接完水時(shí)余水量為96-15×2=66（升），∴66=-4x+88，x=5.5

答：前15位同學(xué)接完水需5.5分鐘。

（3）若小敏他們是一開(kāi)始接水的，則接水時(shí)間為8×2÷8=2（分），即8位同學(xué)接完水，只需要2分鐘，與接水時(shí)間恰好3分鐘不符。

若小敏他們是在若干位同學(xué)接完水后開(kāi)始接水的，設(shè)8位同學(xué)從t分鐘開(kāi)始接水，當(dāng)0＜t≤2則8（2-t）+4[3-（2-t）]=8×2，16-8t+4+4t=16，∴t=1（分），∴（2-t）+[3-（2-t）]=3（分），符合。

當(dāng)t＞2時(shí)，則8×2÷4=4（分）

即8位同學(xué)接完水，需7分鐘，與接水時(shí)間恰好3分鐘不符。

所以小敏說(shuō)法是可能的，即從1分鐘開(kāi)始8位同學(xué)連續(xù)接完水恰好用了3分鐘。

作為一名中學(xué)數(shù)學(xué)教師，我們要有滲透數(shù)學(xué)思想方法的意識(shí)和自覺(jué)性，用心挖掘，在教學(xué)中，深入淺出的、潛移默化的、可行的讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法。由此可見(jiàn)加強(qiáng)“數(shù)形結(jié)合”思想教育，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的意識(shí)就顯得尤為重要?？傊?，數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法是相輔相成的。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，必然涉及很多的概念，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的細(xì)胞，它是在感覺(jué)、知覺(jué)、思維形成表象的基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)分析、綜合、比較、抽象、概括等思維的邏輯加工而逐步形成的理性認(rèn)識(shí)結(jié)果，它蘊(yùn)涵著豐富的思想內(nèi)涵。如果能充分揭示“數(shù)”與“形”的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化，一定能使枯燥的數(shù)學(xué)增加幾分趣味性，也能幫助學(xué)生拓展知識(shí)，強(qiáng)化思維。