第一篇：淺談導(dǎo)數(shù)在求解與函數(shù)單調(diào)性有關(guān)問(wèn)題中的應(yīng)用
淺談導(dǎo)數(shù)在求解與函數(shù)單調(diào)性有關(guān)問(wèn)題中的應(yīng)用
函數(shù)單調(diào)性是高中階段函數(shù)的一個(gè)最基本的性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)為我們提供了一套新的理論和方法，只通過(guò)簡(jiǎn)單的求導(dǎo)和解相關(guān)的不等式就可以判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而更深入地解決問(wèn)題，比如最值問(wèn)題等。那么，怎樣用導(dǎo)數(shù)解決有關(guān)單調(diào)性的問(wèn)題呢？
一、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系
1.定義
設(shè)函數(shù)y=f（x）在某個(gè)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，如果f'（x）>0，那么y=f（x）在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f'（x）<0，那么函數(shù)y=f（x）在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。
2.說(shuō)明
（1）如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I內(nèi)恒有f'（x）=0，則y=（x）在區(qū)間I內(nèi)為常函數(shù)。
（2）f'（x）>0是f（x）遞增的充分不必要條件，如y=x3在（-∞，+∞）上并不是都有f'（x）>0，有一個(gè)點(diǎn)例外，即x=0時(shí)f'（x）=0，同樣f'（x）<0是f（x）遞減的充分不必要條件。
（3）設(shè)函數(shù)y=f（x）在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果 f（x）在該區(qū)間上單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減），則先列不等式f'（x）≥0（或≤0），再去驗(yàn)證f'（x）=0時(shí)是否恒成立。
（4）利用導(dǎo)數(shù)證明不等式時(shí)，往往要先構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性求解。
（5）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的三個(gè)步驟：
①確定函數(shù)的定義域。
②求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x）。
③令f'（x）>0解不等式，得x的范圍就是遞增區(qū)間；令f'（x）<0解不等式，得x的范圍就是遞減區(qū)間。
二、典型例題
1.判斷單調(diào)性
例：討論函數(shù)的單調(diào)性。
題型分析：求出y'，在函數(shù)定義域內(nèi)討論y'的符號(hào)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性。
解題歸納：在判斷函數(shù)單調(diào)性時(shí)，在某個(gè)區(qū)間內(nèi)若出現(xiàn)個(gè)別的點(diǎn)使f'（x）=0，則不影響包含該點(diǎn)的這個(gè)區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性，只有在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f'（x）=0，才能判定f（x）在該區(qū)間內(nèi)為常函數(shù)。
2.證明單調(diào)性
例：求證函數(shù)f（x）=在區(qū)間（0，2）上是單調(diào)遞增函數(shù)。
題型分析：利用導(dǎo)數(shù)判斷或證明一個(gè)函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，實(shí)質(zhì)就是判斷或證明不等式f'（x）>0（f'（x）<0）在給定區(qū)間上恒成立，一般步驟為：求導(dǎo)數(shù)f'（x），判斷f'（x）的符號(hào)，給出單調(diào)性結(jié)論。
解題歸納：判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)時(shí)應(yīng)注意利用不等式的關(guān)系。
3.已知單調(diào)性求參數(shù)的范圍
例：設(shè)函數(shù)f（x）=x3+ax2+x+1，a∈R在區(qū)間（-，-）內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍。
題型分析：函數(shù)解析式中含有參數(shù)，已知單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍，解答本題可先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，以導(dǎo)數(shù)符號(hào)確定參數(shù)的取值范圍。
解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間（-，-）內(nèi)是減函數(shù)，所以當(dāng)x∈（-，-）時(shí)，f'（x）≤0恒成立，結(jié)合二次函數(shù)圖象可以知道f'（-）≥0且f'（-）≤0，解得a≥2。
經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)a=2時(shí)也成立，所以a≥2。
解題歸納：本題一定要注意最后的驗(yàn)證，了解導(dǎo)數(shù)符號(hào)和單調(diào)性的非充要關(guān)系，做到知識(shí)掌握的準(zhǔn)確性和做題邏輯的嚴(yán)密性。
變式：若函數(shù)f（x）=x3-ax2+（a-1）x+1在區(qū)間（1，4）上是減函數(shù)，在區(qū)間（6，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
題型分析：本變式給出了兩個(gè)單調(diào)區(qū)間，應(yīng)該得出兩個(gè)導(dǎo)數(shù)不等式，再求參數(shù)范圍。
解：f'（x）=x2-ax+（a-1），令f'（x）=0得x=1或x=-1，結(jié)合函數(shù)圖象可知4≤a-1≤6，故a∈[5，7]。
解題歸納：本題也可轉(zhuǎn)化為f'（x）≤0，x∈（1，4）恒成立且 f'（x）≥0，x∈（6，+∞）恒成立，再驗(yàn)證等號(hào)的方法來(lái)求解。
4.利用單調(diào)性證明不等式
例：求證當(dāng)x>0時(shí)，ln（x+1）>x-x2。
題型分析：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本方法是通過(guò)移項(xiàng)或者變形后再移項(xiàng)來(lái)構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)，利用新函數(shù)單調(diào)性再求最值的方法來(lái)證明。
證明：設(shè)f（x）=ln（x+1）-（x-x2）=ln（x+1）-x+x2
函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，+∞）
則f'（x）=-1+x=，當(dāng)x∈（-1，+∞）時(shí)，f'（x）>0
所以，f（x）在（-1，+∞）上是增函數(shù)。
所以，當(dāng)x>0時(shí)，f（x）>f（0）=0
即當(dāng)x>0時(shí)，ln（x+1）>x-x2
解題歸納：通過(guò)考查函數(shù)的單調(diào)性證明不等式是不等式證明的一種常用方法，也是證明不等式的一種巧妙方法。
總之，導(dǎo)數(shù)在求解與單調(diào)性有關(guān)問(wèn)題中有廣泛應(yīng)用，在以后的工作和學(xué)習(xí)中我將不斷探索和積累。
（責(zé)任編輯馮璐）
第二篇：導(dǎo)數(shù)在函數(shù)及不等關(guān)系證明中的應(yīng)用
導(dǎo)數(shù)在函數(shù)及不等關(guān)系證明中的應(yīng)用
摘 要：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)形態(tài)，證明不等式和解決一些實(shí)際問(wèn)題的有力工具，尤其是導(dǎo)數(shù)與數(shù)列的計(jì)算和與不等式的證明等知識(shí)進(jìn)行綜合。而數(shù)列又是特殊函數(shù)，于是本文將巧用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)構(gòu)造函數(shù)證明不等關(guān)系，來(lái)體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)在證明不等關(guān)系中的作用。關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；不等式；函數(shù)
在證明不等式的過(guò)程中，常用方法很多，可以利用函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值以及函數(shù)的凹凸性等來(lái)解答，但常因方法不當(dāng)，使得運(yùn)算量大，直接影響解題速度與結(jié)果的正確．所以本文探討的是巧用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)證明不等式的方法．巧用構(gòu)造函數(shù)這一創(chuàng)造性思維來(lái)有效合理的使不等式獲得證明，從而體現(xiàn)出初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的緊密聯(lián)系．下面我們對(duì)導(dǎo)數(shù)在不等式及函數(shù)
證明中的應(yīng)用，利用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)舉例加以說(shuō)明．
一、利用導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性證明不等式[6]
抓住結(jié)構(gòu)特征,合理變形,采用構(gòu)造函數(shù)法利用函數(shù)的單調(diào)性,穿插與滲透導(dǎo)數(shù)應(yīng)用時(shí)采用這種方法,從而達(dá)到證明不等式的目的．
例1．證明：a1?a21?a1?a2?a11?a1?a21?a2．
證明：首先構(gòu)造函數(shù)f(x)?1xx?0．，再對(duì)函數(shù)f(x)?求導(dǎo)得f'(x)?
1?x1?x(1?x)2易知f(x)在(0,??)上是單調(diào)遞增函數(shù)． 設(shè)x1?a1?a2,x2?a1?a2．顯然x1?x2，因此有 f?x1??f?x2? 即 a1?a21?a1?a2a1?a21?a1?a2a1?a21?a1?a2?a1?a21?a1?a2a11?a1?a2a11?a1?．
a21?a1?a2而 ???a11?a1?a21?a2．
所以得到： ?a21?a2．
從上面這個(gè)例子我們可以進(jìn)一步地推廣到更一般性情況 即 a1?a2???an1?a1?a2???an?a11?a1?a21?a2???an1?an.本題巧妙的抓住了題目的結(jié)構(gòu)特征，合理的利用了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)使題目得到了很好的解決，方法簡(jiǎn)單，讓人一目了然，也給解題帶來(lái)了不少的方便。
下面再看這樣的一道例題，它是一道關(guān)于指數(shù)與對(duì)數(shù)的不等式問(wèn)題，初看題目，結(jié)構(gòu)特殊叫人無(wú)從下手，但是通過(guò)巧妙的換底，然后再利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，使題目變的簡(jiǎn)單明了。
例2．已知a,b為實(shí)數(shù)，并且e?a?b，其中e是自然對(duì)數(shù)的底． 證明：ab?ba．
證明：當(dāng)e?a?b時(shí)，要證ab?ba．
只須證明 blna?alnb． 即證
lnx(x?e)． x1?lnx求導(dǎo)得 y'?．
x2lnalnb． ?ab構(gòu)造函數(shù) y?因?yàn)楫?dāng)x?e時(shí)，lnx?1，所以y'?0 所以函數(shù)y?因?yàn)閑?a?b 所以
lnx在(e,??)上是減函數(shù)． xlnalnb．
所以得到 ab?ba 成立.?ab例3．已知函數(shù)g(x)?xlnx,設(shè)0?a?b,證明:
?a?b?0?g(a)?g?b??2g???(b?a)ln2．
?2?證明: 先證左邊,設(shè)F(x)?g?a??g?x??2g(a?x?a?x?則F'(x)?g'(x)?[2g?． ?]'?lnx?ln2?2?a?x)． 2令F'(x)?0 得x?a.則當(dāng)0?x?a時(shí),F'(x)?0． 故F(x)在?0,a?內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)． 當(dāng)x?a時(shí),F'(x)?0． 故F(x)在?a,???內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)． 從而當(dāng)x?a時(shí), F(x)有極小值F(a)?0． 因?yàn)閎?a?0 所以 F?b??F?a?．
?a?b?即
0?g(a)?g?b??2g??．
2???a?x?再證右邊,設(shè)G(x)?g(a)?g(x)?2g???(x?a)ln2．
2??則
G'(x)?lnx?ln則當(dāng)x?0時(shí), G'?x??0． 因此G(x)在?a,???內(nèi)為減函數(shù)．
a?x?ln2?lnx?lna(?x)． 2又因?yàn)??a?b．所以G?b??G?a??0．
?a?b?即
g(a)?g?b??2g???(b?a)ln2．
2??綜上所述得原不等式成立．
以上兩道題都是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決不等式證明問(wèn)題，其中的導(dǎo)數(shù)起一個(gè)工具的作用，盡而讓復(fù)雜的不等式證明題變的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，思路明了，這就大大的縮小了解題步驟，簡(jiǎn)化了解題過(guò)程，節(jié)約了解題時(shí)間，而且使準(zhǔn)確率有很大的提高。
二、利用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合極值證明不等式[6]
用導(dǎo)數(shù)知識(shí)去求函數(shù)的最值與不等式,體現(xiàn)出函數(shù)與不等式的交匯,利用不等式的結(jié)構(gòu)特征．可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為定義域上的最值問(wèn)題,所以當(dāng)一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性已知時(shí),函數(shù)的最大(小)值也就“水到渠成”了下面就對(duì)此方法進(jìn)行舉例說(shuō)明．
例1．已知a,b為正數(shù),且a?b?1．求證:證明:令a?x則b?1?x,從而0?x?1． 我們?cè)O(shè)
f(x)?11?． 33x?1?1?x??131116?3?3? ． 2a?1b?193x23(1?x)2?則
f'(x)??3． 232(x?1)[(1?x)?1]再求f'(x)的零點(diǎn)并討論f'(x)的符號(hào)顯然等價(jià)于求
g(x)??
x1?x?． 33x?1(1?x)?13
?x[(1?x)3?1]?(1?x)(x3?1)?． 33（x?1）（[1?x）?1]的零點(diǎn)及符號(hào)的變化．
1時(shí), g(x)?0． 21因而 f'(x)?0且當(dāng)0?x?時(shí), g(x)?0．
2顯然 當(dāng)x?故 f'(x)?0．f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)． 當(dāng) 1?x?1時(shí), g(x)?0． 2故 f'(x)?0．f(x)為單調(diào)遞減函數(shù)． 所以函數(shù)f(x)在x?116處取得最大值． 29在x?0或x?1處取得最小值． ． 2316所以 ?f(x)? ．
29又 f(0)?f(1)?例2．函數(shù)f(x)?ex?ln(x?1)?1(x?0)，求函數(shù)f(x)的最小值．[7] 解：(1)f'(x)?ex?11．當(dāng)x?0時(shí),因?yàn)閑x?1,且?1． 1?x1?x所以有f'(x)?0．說(shuō)明函數(shù)f(x)在區(qū)間?0,???上是增函數(shù)． 故當(dāng)x?0時(shí),函數(shù)f(x)取得最小值為0．
以上例題是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值問(wèn)題，充分的體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)工具在解決函數(shù)問(wèn)題時(shí)的優(yōu)越性及它和函數(shù)與不等式的交融性，讓導(dǎo)數(shù)的優(yōu)越性得到了更充分的發(fā)揮，為我們的解題帶來(lái)了不少的方便，簡(jiǎn)單的方法也讓我們體驗(yàn)到了數(shù)學(xué)的樂(lè)趣。
三、利用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行數(shù)列計(jì)算
導(dǎo)數(shù)為解不等式注入了新的活力,更是利用函數(shù)單調(diào)性來(lái)解答不等式問(wèn)題的有利工具,而數(shù)列作為特殊函數(shù),于是我們利用導(dǎo)數(shù)求解數(shù)列就是利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù),準(zhǔn)確的把握關(guān)系,進(jìn)行有機(jī)地整合,來(lái)完成這一類(lèi)問(wèn)題．這一類(lèi)型題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行數(shù)列計(jì)算，而我們知道衡量函數(shù)單調(diào)性的重要工具便是導(dǎo)數(shù)，這樣通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性把數(shù)列計(jì)算和導(dǎo)數(shù)很好的聯(lián)系在了一起，起到了秒筆生輝的作用。為了更好的抓握這種方法，我們 來(lái)看下面的例題。
例1．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an?n2(10?n)(n?N?),求數(shù)列最大項(xiàng)． 證明：設(shè) f(x)?x2(10?x).(x?0)． 則
f'(x)?20x?3x2． 令
f'(x)?0 得0?x?令
f'(x)?0 得x?20． 320 或 x?0． 3?20?因?yàn)閒(x)在區(qū)間?0,?上是單調(diào)增加．
?3??20?f(x)在區(qū)間?,???上是單調(diào)減少．
?3?因此當(dāng)x?20時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值． 3對(duì)n?N?．f(n)?n2(10?n)．
因?yàn)閒(7)?147?f(6)?144.所以 f(n)max?147 ． 即數(shù)列的最大項(xiàng)為a7?147 ．
例2．求數(shù)列{nn}的最大項(xiàng)．[5]
解：利用函數(shù)單調(diào)性,通過(guò)考慮連續(xù)變量x的最大值來(lái)求離散變量n的最大值． 設(shè) f(x)?x(x?0)，?21?1?x則 f'(x)?x?2?2lnx??x?1?lnx?．
x?x?1x11x1n1x所以當(dāng)0?x?e時(shí), f'(x)?0,f(x)為單調(diào)增加． 當(dāng)x?e時(shí),f(x)為單調(diào)減少．
所以 1?2，3?4???n??． 又因?yàn)??3 所以最大項(xiàng)為利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行數(shù)列的計(jì)算，而導(dǎo)數(shù)又是衡量函數(shù)單調(diào)性的重要工具，如此便讓導(dǎo)數(shù)，函數(shù)，不等式有機(jī)的結(jié)合在一起，構(gòu)成了強(qiáng)有力的解題體系。為我們快速準(zhǔn)確的 12***n解題帶來(lái)了方便。
四、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值[3][4]
利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值是導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中又一大重要應(yīng)用，它是求函數(shù)極值最重要的方法之一，為了掌握這種方法我們來(lái)看下面的兩個(gè)例題。
例1.已知f(x)?ax3?bx2?cx(a?0)在x??1時(shí)取得極值，且f(1)??1.(1)試求常數(shù)a,b,c的值；
(2)試判斷x??1是函數(shù)的極小值還是極大值，并說(shuō)明理由.命題意圖：利用一階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值和極小值的方法是導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)方面的繼續(xù)深入.是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)對(duì)函數(shù)極值的判定，可使學(xué)生加深對(duì)函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)關(guān)系的理解.知識(shí)依托：解題的成功要靠正確思路的選擇.本題從逆向思維的角度出發(fā)，根據(jù)題設(shè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行逆向聯(lián)想，合理地實(shí)現(xiàn)了問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，使抽象的問(wèn)題具體化.這是解答本題的閃光點(diǎn).錯(cuò)解分析：本題難點(diǎn)是在求導(dǎo)之后，不會(huì)應(yīng)用f?(?1)?0的隱含條件，因而造成了解決問(wèn)題的最大思維障礙.技巧與方法：考查函數(shù)f(x)是實(shí)數(shù)域上的可導(dǎo)函數(shù)，可先求導(dǎo)確定可能的極值，再通過(guò)極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，建立由極值點(diǎn)x??1所確定的相等關(guān)系式，運(yùn)用待定系數(shù)法求值.解：(1)f?(x)?3ax2?2bx?c ∵x??1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，∴x??1是方程f?(x)?0,即3ax2?2bx?c?0的兩根.?2b??0??3a由根與系數(shù)的關(guān)系，得?
c???1??3a①
②
又f(1)=－1,∴a?b?c??1, 由①②③解得a?,b?0,c?, 1232
③
133x?x, 22333∴f?(x)?x2??(x?1)(x?1), 222(2)f(x)? 6 當(dāng)x??1或x?1時(shí)，f?(x)?0, 當(dāng)?1?x?1時(shí)，f?(x)?0, ∴函數(shù)f(x)在(－∞,－1)和(1,+∞)上是增函數(shù)，在(－1，1)上是減函數(shù).∴當(dāng)x=－1時(shí)，函數(shù)取得極大值f(?1)?1, 當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得極小值f(1)??1.例2．設(shè)f(x)=ax3+x恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，試確定a的取值范圍，并求其單調(diào)區(qū)間[2] 解：f'(x)=3ax2+1 若a＞0, f'(x)＞0對(duì)x∈(－∞,+∞)恒成立，此時(shí)f(x)只有一個(gè)單調(diào)區(qū)間，矛盾.若a =0, f'(x)=1＞0,∴x∈(－∞,+∞),f(x)也只有一個(gè)單調(diào)區(qū)間，矛盾.若a＜0,因?yàn)閒'(x)=3a(x+
13|a|)·(x－
13|a|13|a|),此時(shí)f(x)恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間.13|a|13|a|所以a＜0且單調(diào)減區(qū)間為(－∞,－13|a|)和(,+∞)，單調(diào)增區(qū)間為(－,).例3．設(shè)x=1與x=2是函數(shù)f(x)= a lnx+bx2+x的兩個(gè)極值點(diǎn).(1)試確定常數(shù)a和b的值；
(2)試判斷x=1, x=2是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值，并說(shuō)明理由.解：f'(x)=a+2bx+1． xa+4b+1=0,解方程組可得 2(1)由極值點(diǎn)的必要條件可知：f'(1)=f'(2)=0,即a+2b+1=0,且a =－,b=－,∴f(x)=－lnx－(2)f'(x)=－2-11x－x+***
x+x． 6,當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f'(x)＜0,當(dāng)x?(1,2)時(shí)，f'(x)＞0,當(dāng)
56x?(2,+∞)時(shí)，f'(x)＜0,故在x =1處函數(shù)f(x)取得極小值,在x=2處函數(shù)取得極大值42－ln2.33 因此,從上面的例題分析來(lái)看,導(dǎo)數(shù)在證明不等式及函數(shù)中有很多妙處，在解答函數(shù)及不等式證明問(wèn)題時(shí)避免了一些不必要的復(fù)雜運(yùn)算,簡(jiǎn)化了解題過(guò)程．而本文主要是利用了函數(shù)的單調(diào)性來(lái)研究不等式，并且數(shù)列作為特殊函數(shù),用導(dǎo)數(shù)解決了有關(guān)數(shù)列的單調(diào)性問(wèn)題及函數(shù)極值問(wèn)題．在其中主要用到了構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)這一創(chuàng)造思維合理地有效地證明了不等式，使求極值的方法更簡(jiǎn)便。參考文獻(xiàn)
[1] 唐永,徐秀． 慎用導(dǎo)數(shù)解數(shù)列問(wèn)題． 數(shù)學(xué)通報(bào)． 2006．3 [2] 韓什元,李曉培． 高等數(shù)學(xué)解題方法匯編． 華南理工大學(xué)出版社． 2002．9． [3] 楊?lèi)?ài)國(guó)． 利用導(dǎo)數(shù)解初等數(shù)學(xué)問(wèn)題． 中學(xué)數(shù)學(xué)研究． 2004．4 [4] 陳文燈,黃先開(kāi)． 高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南:思路方法與技巧． 清華大學(xué)出版社．2003．7 [5] 龔冬保,武忠祥． 高等數(shù)學(xué)典型題解法技巧． 西安交通大學(xué)出版社． 2000．1 [6] 劉聰, 勝秦永． 函數(shù)與不等式高考題目回顧與展望． 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考． 2006．3 [7] 林源渠,方正勤． 數(shù)學(xué)分析解題指南． 北京大學(xué)出版社． 2003 Application in not waiting for the relation to prove of derivative
tala
200411557 Instructor
taogesi Mathematical Sciences Mathematics and Applied Mathematics
Mongolian class 2004 level
Abstract：The derivative studies the function attitude, prove the inequality and solve the strong tools of some practical problems, especially knowledge such as the calculation of the derivative and several and identification with the inequality are synthesized． And several this special function, then this text come on structure function prove monotonicity to skilfully use function that does not vary the relation, come , reflect derivative in function to wait for relation of proving．
Keyword ： Derivative；Inequality；Function 8
第三篇：數(shù)學(xué)論文-導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用
導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用
【摘 要】新課程利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線，判斷或論證函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值和最值。導(dǎo)數(shù)是分析和解決問(wèn)題的有效具。
【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù) 函數(shù)的切線 單調(diào)性 極值和最值
導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)函數(shù)的簡(jiǎn)稱(chēng)）是一個(gè)特殊函數(shù)，它的引出和定義始終貫穿著函數(shù)思想。新課程增加了導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容，隨著課改的不斷深入，導(dǎo)數(shù)知識(shí)考查的要求逐漸加強(qiáng)，而且導(dǎo)數(shù)已經(jīng)由前幾年只是在解決問(wèn)題中的輔助地位上升為分析和解決問(wèn)題時(shí)的不可缺少的工具。函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)研究導(dǎo)數(shù)的一個(gè)重要載體，函數(shù)問(wèn)題涉及高中數(shù)學(xué)較多的知識(shí)點(diǎn)和數(shù)學(xué)思想方法。近年好多省的高考題中都出現(xiàn)以函數(shù)為載體，通過(guò)研究其圖像性質(zhì)，來(lái)考查學(xué)生的創(chuàng)新能力和探究能力的試題。本人結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，就導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用作個(gè)初步探究。
有關(guān)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用主要類(lèi)型有：求函數(shù)的切線，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值和最值，利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，這些類(lèi)型成為近兩年最閃亮的熱點(diǎn)，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)之一，預(yù)計(jì)也是“新課標(biāo)”下高考的重點(diǎn)。
一、用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線
例1.已知曲線y=x3-3x2-1，過(guò)點(diǎn)（1，-3）作其切線，求切線方程。
分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解。
解：y′ = 3x2-6x，當(dāng)x=1時(shí)y′=-3，即所求切線的斜率為-3.故所求切線的方程為y+3 =-3(x-1)，即為：y =-3x.1、方法提升：函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點(diǎn)P（x0，y=f(x0)）處的切線的斜率。既就是說(shuō)，曲線y=f(x)在點(diǎn)P（x0，y=f(x0)）處的切線的斜率是f′(x0)，相應(yīng)的切線方程為y-y0= f′(x0)(x-x0)。
二、用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性
例2．求函數(shù)y=x3-3x2-1的單調(diào)區(qū)間。
分析：求出導(dǎo)數(shù)y′，令y′>0或y′<0，解出x的取值范圍即可。
解：y′= 3x2-6x，由y′>0得3x2-6x﹥0，解得x﹤0或x﹥2。
由y′<0 得3x2-6x﹤0，解得0﹤x＜2。
故 所求單調(diào)增區(qū)間為(-∞，0)∪(2，+∞)，單調(diào)減區(qū)間為(0，2)。
2、方法提升：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟是：（1）確定f(x)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)f′(x)；（3）在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；（4）確定f(x)的單調(diào)區(qū)間.若在函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類(lèi)討論。
三、用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值
例3．求函數(shù)f(x)=(1/3)x3-4x+4的極值
解：由 f′(x)=x2-4=0，解得x=2或x=－2.當(dāng)x變化時(shí)，y′、y的變化情況如下：
當(dāng)x=－2時(shí)，y有極大值f(-2)=－（28/3），當(dāng)x=2時(shí)，y有極小值f(2)=－(4/3).3、方法提升：求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟是：（1）確定函數(shù)定義域，求導(dǎo)數(shù)f′(x)；（2）求f′(x)= 0的所有實(shí)數(shù)根；（3）對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)根進(jìn)行檢驗(yàn)，判斷在每個(gè)根（如x0）的左右側(cè)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)的符號(hào)如何變化，如果f′(x)的符號(hào)由正變負(fù)，則f(x0)是極大值；如果f′(x)的符號(hào)由負(fù)變正，則f(x0)是極小值.。注意：如果f′(x)= 0的根x = x0的左右側(cè)符號(hào)不變，則f(x0)不是極值。
四、用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值
五、證明不等式
5、方法提升：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是近年高考中出現(xiàn)的一種熱點(diǎn)題型。其方法可以歸納為“構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值”。
總之，導(dǎo)數(shù)作為一種工具，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)使用非常方便，尤其是可以利用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值以及切線問(wèn)題。在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用過(guò)程中，要加強(qiáng)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解，重視數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，達(dá)到優(yōu)化解題思維，簡(jiǎn)化解題過(guò)程的目的，更在于使學(xué)生掌握一種科學(xué)的語(yǔ)言和工具，進(jìn)一步加深對(duì)函數(shù)的深刻理解和直觀認(rèn)識(shí)。參考資料：
1、普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)（北京師范大學(xué)出版社）
2、高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考
第四篇：第二章與第三章：函數(shù)導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
第二章與第三章：函數(shù)導(dǎo)數(shù)與應(yīng)用
1、求函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)
例如：設(shè)函數(shù)f(x)?xcosx，則f'(0)?
2、討論函數(shù)y?x在定義域范圍內(nèi)的單調(diào)性
3、記住結(jié)論：
函數(shù)在某點(diǎn)不可導(dǎo)，函數(shù)所表示的曲線在相應(yīng)點(diǎn)的切線不一定不存在4、求函數(shù)的全微分
例如：一直函數(shù)y?xlnx，求dy。
5、求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
例如：由方程x?2xy?y?0確定y?y(x)，求
6、記住導(dǎo)數(shù)定義，利用導(dǎo)數(shù)定義求極限。
7、求函數(shù)在某區(qū)間上的最值
例如：求f(x)?x在[?2,6]上的最大值和最小值。
8、利用單調(diào)性證明不等式
當(dāng)x?0時(shí)，證明不等式2xarctanx?ln(1?x)
22262dy。dx
第五篇：構(gòu)造函數(shù)法在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用（小編推薦）
構(gòu)造函數(shù)法在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用
“作差法”構(gòu)造
證明不等式或解決不等式恒成立問(wèn)題都可以利用作差法將不等式右邊轉(zhuǎn)化為0，然后構(gòu)造新函數(shù)[F（x）]，最后根據(jù)新函數(shù)[F（x）]的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為[F（x）min≥0]或者[F（x）max≤0來(lái)解決.]
例1 設(shè)函數(shù)[f（x）=x1+x]，[g（x）=lnx+12].求證：當(dāng)[0 ∵[F（x）=1+x-x1+x2-1x=-x2-x-11+x2?x<0.] ∴[F（x）]在（0，1]上單調(diào)遞減.∵[F（1）=12-0-12=0，] ∴[F（x）]≥0，當(dāng)且僅當(dāng)[x=1]時(shí)，等號(hào)成立.∴當(dāng)[0 恒成立問(wèn)題中，求參數(shù)范圍的問(wèn)題，常常分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為[a≤F（x）min或者a≥F（x）max，]其中[F（x）]為構(gòu)造的新函數(shù).例2 若不等式[2x?lnx≥-x2+ax-3]恒成立，則實(shí)數(shù)[a]的取值范圍是（） A.（-∞，0）B.（-∞，4] C.（0，+∞）D.[4，+∞） 解析不等式[2x?lnx≥-x2+ax-3]恒成立，即[a≤2lnx+x+3x]在（0，+[∞]）上恒成立.設(shè)[h（x）=2lnx+x+3x]，則[h′（x）=（x+3）（x-1）x2（x>0）].當(dāng)[x∈（0，1）]時(shí)，[h′（x）<0]，函數(shù)[h（x）]單調(diào)遞減； 當(dāng)[x∈（1，+∞）]時(shí)，[h′（x）>0]，函數(shù)[h（x）]單調(diào)遞增.所以[h（x）min=h（1）=4].所以[a≤h（x）min=4].答案 B 根據(jù)題干的“結(jié)構(gòu)特征”猜想構(gòu)造 1.根據(jù)運(yùn)算公式[f（x）?g（x）′=f（x）g（x）+f（x）g（x）]和[f（x）g（x）′][=f（x）g（x）-f（x）g（x）g（x）2來(lái)構(gòu)造] 例3 已知函數(shù)[f（x）]的定義域是[R]，[f（0）=2]，對(duì)任意的[x∈R]，[f（x）+f（x）>1]恒成立，則不等式[ex?f（x）][>ex+1]的解集為（） A.（0，+∞）B.（-∞，0） C.（-1，+∞）D.（2，+∞） 解析構(gòu)造函數(shù)[g（x）=ex?f（x）-ex]，因?yàn)閇g′（x）=ex?f（x）+ex?f（x）-ex=ex[f（x）+f（x）]-ex] [>ex-ex=0]，所以[g（x）=ex?f（x）-ex]為[R]上的增函數(shù).又[g（0）=e0?f（0）-e0=1]，所以原不等式轉(zhuǎn)化為[g（x）>g（0）]，所以[x>]0.答案 A 例4 設(shè)函數(shù)[f（x）]滿(mǎn)足[x2?f（x）+2x?f（x）=exx，][f（2）=][e28，]則當(dāng)[x>0]時(shí)，[f（x）]（） A.有極大值，無(wú)極小值 B.有極小值，無(wú)極大值 C.既有極大值又有極小值 D.既無(wú)極大值又無(wú)極小值 解析構(gòu)造函數(shù)[F（x）=x2?f（x）] 則[f（x）=F（x）x2′=ex-2F（x）x3，] [令h（x）=ex-2F（x），則h（x）=ex（x-2）x.] [∴h（x）]在（0，2）上單調(diào)遞減；在[（2，+∞）]上單調(diào)遞增.[∴h（x）≥h（2）=0].[∴f（x）≥0，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.] 答案 D 2.根據(jù)已知條件等價(jià)轉(zhuǎn)化后再以“形式”來(lái)構(gòu)造 運(yùn)用下列形式的等價(jià)變形構(gòu)造：分式形式[f（b）-f（a）b-a<1，] 絕對(duì)值形式[f（x1）-f（x2）][≥4x1-x2]，指對(duì)數(shù)形式[1×2×3×4×?×n≥en-sn.] 例5 設(shè)函數(shù)[ f（x）=lnx+mx]，[m∈R].（1）當(dāng)[m=e]（[e]為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，求[f（x）]的極小值； （2）討論函數(shù)[g（x）=f（x）-3x]零點(diǎn)的個(gè)數(shù)； （3）若對(duì)任意[b>a>0]，[f（b）-f（a）b-a<1]恒成立，求[m]的取值范圍.解析（1）當(dāng)[m=e]時(shí)，[f（x）=lnx+ex]，則[f（x）=x-ex2].∴當(dāng)[x∈（0，e）]，[f（x）<0]，[f（x）]在[（0，e）]上單調(diào)遞減； 當(dāng)[x∈（e，+∞）]，[f（x）>0]，[f（x）]在[（e，+∞]）上單調(diào)遞增.∴[x=e]時(shí)，[f（x）]取得極小值[f（e）=lne+ee]=2.∴[f（x）]的極小值為2.（2）由題設(shè)知，[g（x）=f（x）-x3=1x-mx2-x3（x>0）].令[g（x）=0]得，[m=-13x3+x（x>0）].設(shè)[φ（x）][=-13x3+x（x>0）]，則[φ（x）=-x2+1=-（x-1）（x+1）]，當(dāng)[x∈（0，1]）時(shí)，[φ（x）]>0，[φ（x）]在（0，1）上單調(diào)遞增； 當(dāng)[x∈（1，+∞）]時(shí)，[φ（x）]<0，[φ（x）]在（1，+∞）上單調(diào)遞減.∴[x=1]是[φ（x）]的惟一極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn).因此[x=1]也是[φ（x）]的最大值點(diǎn).∴[φ（x）]的最大值為[φ（1）]=[23].又[φ（0）]=0，結(jié)合[y=φ（x）]的圖象（如圖）可知，①當(dāng)[m>23]時(shí)，函數(shù)[g（x）]無(wú)零點(diǎn)； ②當(dāng)[m=23]時(shí)，函數(shù)[g（x）]有且只有一個(gè)零點(diǎn)； ③當(dāng)[0 ④當(dāng)[m≤0]時(shí)，函數(shù)[g（x）]有且只有一個(gè)零點(diǎn).綜上所述，當(dāng)[m>23]時(shí)，函數(shù)[g（x）]無(wú)零點(diǎn)； 當(dāng)[m=23]或[m≤0]時(shí)，函數(shù)[g（x）]有且只有一個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng)[0 ∴[m]的取值范圍是[14，+∞].例6 已知[f（x）=（a+1）lnx+ax2+1]，（1）討論函數(shù)[f（x）]的單調(diào)性； （2）[設(shè)a<-1，?x1，x2∈（0，+∞），][f（x1）-f（x2）][≥4x1-x2]恒成立，求[a]的取值范圍.解析（1）[∵x∈（0，+∞），∴f（x）=2ax2+a+1x.] [①當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）>0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.②當(dāng)-10時(shí)，f（x）在（0，-a+12a）上單調(diào)遞增；當(dāng)f（x）<0時(shí)，f（x）在（-a+12a，+∞）上單調(diào)遞減.③當(dāng)a≤-1時(shí)，f（x）<0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減.] （2）不妨設(shè)[x1≤x2，]由（1）可知，當(dāng)[a<-1]時(shí)，[f（x）]在[（0，+∞）上單調(diào)遞減.] [則有f（x1）-f（x2）≥4x1-x2] [?f（x1）-f（x2）≥-4（x1-x2）] [?f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2.] [構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）+4x，則g（x）=a+1x+2ax+4≤0].[∴a≤（-4x-12x2+1）min.] [設(shè)φ（x）=-4x-12x2+1，x∈（0，+∞），] [則φ（x）=4（2x-1）（x+1）（2x2+1）2.] [故φ（x）在（0，12）上單調(diào)遞減；][在（12，+∞）上單調(diào)遞增].[∴φ（x）min=φ（12）=-2.] [∴a≤-2.]
點(diǎn)擊咨詢(xún) 