第一篇：分析法在立體幾何問題中應(yīng)用[本站推薦]

分析法在立體幾何問題中應(yīng)用

立體幾何在高中是一個(gè)難點(diǎn)，特別是添輔助線，讓很多同學(xué)無從下手.雖然證明題的思路是非常明確的，比如要證明線面平行，只要在平面中找到一條直線與已知直線平行即可；要證明兩條異面直線垂直，只要構(gòu)造一個(gè)包含其中一條直線的平面與另一條直線垂直即可，但是如何去尋找所需要的直線與平面呢？幸好空間向量的引入，使得立體幾何也可以轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題進(jìn)行計(jì)算，不需要添加輔助線，只要能建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過計(jì)算即可解決立體幾何的問題.但事與愿違，那些沒有數(shù)量關(guān)系的幾何問題不可能利用空間向量來解決，因此如何添加輔助線的可操作性的方法便呼之欲出.接下來，利用分析法討論兩類問題：如何添加輔助線和建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系.一、分析法解決輔助線問題

例1 在正方體ABCD?A1B1C1D1中，求證：B1D?平面ACD1.分析：要證明B1D?平面ACD1，只要證明B1D垂直于平面ACD1內(nèi)的兩條相交直線.利用分析法，可以將B1D?平面ACD1看成是已知條件，則根據(jù)線面垂直的定義，有B1D垂直于平面ACD1內(nèi)的所有直線，所以只要選取其中的兩條來證明即可.接下來問題就轉(zhuǎn)化成為證明B1D?AC和B1D?CD1，即兩條異面直線垂直，常用的方法就是構(gòu)造線面垂直.先來證明B1D?AC.利用分析法，B1D?AC可以看成是已知條件，由于A、C、D處于下底面，只要過D有一條垂直垂直于AC的直線即可，因?yàn)榈酌媸且粋€(gè)正方形，故對(duì)角線互相垂直，所以只要連接BD，就應(yīng)有AC?平面BB1D.這樣問題就轉(zhuǎn)化為證明AC?平面

BB1D.由于AC?BD,AC?B1B，即可證明.然后同理可證B1D?CD1.證明過程略.A

D1 C

1B1

A1

D

C

B

評(píng)注：其實(shí)這個(gè)題，如果用三垂線定理，應(yīng)該是比較容易想到連接BD，因?yàn)锽D是B1D在下表面內(nèi)的射影。但由于課改后，在必修2中對(duì)三垂線定理只字不提，增大了此類題目的難度.類似地，《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書》（人教版）數(shù)學(xué)必修2的73頁上有這樣一個(gè)探究題：如圖，直四棱柱ABCD?ABCD（側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）中，底面四邊形ABCD滿足什么條件時(shí)，AC?BD?

'

'

'

'

'

'

'

'

'B

D

B

分析：連接A'C'，只要A'C'?B'D'，就有A'C?B'D'.C

例2 如圖，ABCD是平行四邊形，S是平面ABCD外一點(diǎn)，M為SC的中點(diǎn).求證：SA//平面MDB.S

M

D C

A

B

分析：要證明SA//平面MDB，只要在平面MDB中找到一條直線與SA平行.利用分析法，可以將SA//平面MDB看成已知條件，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，過SA的平面只要與平面MDB相交，則SA與交線平行.題目中包含SA有兩個(gè)平面只有平面SAB和平面SAD，而這兩個(gè)平面與平面MDB的交線在這個(gè)幾何體的外面，不太好找.我們可以改變策略，在四棱錐中構(gòu)作一個(gè)包含SA的平面.根據(jù)確定平面的公理2的推論：一條直線和直線外一點(diǎn)可以唯一確定一個(gè)平面，我們選取點(diǎn)C，連接AC交BD于O，構(gòu)作平面SAC，它與平面MDB的交線是OM，故只要證明SA//OM.由于底面是平行四邊形，M是SC的中點(diǎn)，易得

SA//OM.證明過程略.評(píng)注：由于線面平行的話，直線上所有點(diǎn)到平面的距離相等，而且垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，兩條平行直線也可確定一個(gè)平面，有時(shí)也利用平行四邊形構(gòu)作平面.如下題.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M、N分別是A1B、AC上的點(diǎn)，A1M?AN.求證：MN//平面BB1C1C.二、分析法建立空間直角坐標(biāo)系

利用空間向量解決立體幾何問題有著無比的優(yōu)越性，因此逐漸成為高考的熱點(diǎn)之一.新課改也處處體現(xiàn)向量方法的重要性.在必修2的最后一章，介紹了空間直角坐標(biāo)系，重點(diǎn)要求掌握空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的確定，以及空間向量的模長，從而掌握空間向量的數(shù)量積來解決長度與角度的問題.而空間直角坐標(biāo)系是將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題的關(guān)鍵，所以如何建立空間直角坐標(biāo)系就顯得猶為重要.接下來，利用分析法談?wù)劷⒖臻g直角坐標(biāo)系的問題.例3 四棱錐S?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC?底面ABCD，已知?ABC?45?，AB?

2，BC?

SA?SB?

（1）求證：SA?BC；

（2）求直線SD與平面SAB所成角的大小.S

C

B

D

A

分析：要建立空間直角坐標(biāo)系，最好有一個(gè)線面垂直.先來分析下底面，由于下底面是?ABC?45?的平行四邊形，且AB?

2，BC?故連接AC，有?ABC是已?CAB為直角的等腰直角三角形.取BC的中點(diǎn)為O，連接AO，則AO?BC

.利用分析法，將SA?BC看成已知條件，所以應(yīng)有BC?平面SAO，則SO?BC.因?yàn)閭?cè)面SBC?底面ABCD，根據(jù)面面垂直的定義，有SO?底面ABCD.故可取O為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，OB所在的直線為y軸，OS所在的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.證明過程略.附：分析法得到意想不到的結(jié)果

1.設(shè)a,b,c都為正數(shù)，求證：abc?(a?b?c)(b?c?a)(c?a?b).分析：由于a,b,c都為正數(shù)，當(dāng)a?b?c?0,b?c?a?0,c?a?b?0時(shí)，可以將a,b,c看成是三角形的三邊.由不等式的右邊聯(lián)想到海倫公式，有

abc(a?b?c)?(a?b?c)(b?c?a)(c?a?b)(a?b?c)?16S

abca?b?c?16?r()

4R2

得R?2r（其中R,r分別為三角形的外接圓與內(nèi)切圓的圓心）2.在數(shù)列{an}中，已知an?ln2.解Sn?ln下先證明ln

12?ln1

23?ln1

nn?1，Sn是{an}的前n項(xiàng)和，求證：Sn?

n

1n

.???ln

12n1

?ln(??)?ln，n?123n?1n?11，只證lnx?x，令f(x)?lnx?x(0?x?1)，n?1n?1n?111?x

?0，又0?x?1，得f?(x)?0，∴f(x)為增函數(shù)，則f?(x)??1?

xx

?，令x?

得f(x)?f(1)?ln1?1??1?0，即lnx?x?0，有l(wèi)nx?x，于是ln

1n?1

?

1n?1

?

1n

.3.設(shè)函數(shù)f(x)?lnx?px?1(p?R)，（1）求f(x)極值點(diǎn)；

（2）當(dāng)p?0時(shí)，若對(duì)于任意的x?0，恒有f(x)?0，求p的取值范圍；（3）證明：當(dāng)n?N，n?2時(shí)，ln22

?

ln33

???

lnnn

?

2n?n?12(n?1)。

解：（1）f(x)的定義域?yàn)?0,??)。當(dāng)p?0時(shí)，f?(x)?

1x

?p?0，f(x)在其定義域上是增函數(shù)，故沒有極值點(diǎn)。

當(dāng)p?0時(shí)，若x?(0,)，則f?(x)?

p1p

11?pxx

?0

；若x?(,??)，則f?(x)?

p

11?pxx

?0，于

是f(x)有極小值點(diǎn)x?。

1p

（2）由（1）知，p?0時(shí)，f(x)有極小值點(diǎn)f()?ln

p

1p，由于f(x)在其定義域上只

1p

有一個(gè)極值點(diǎn)，因此f(x)的最大值為f()?ln

p

。所以f(x)?0?ln?0?p?1。

1x

（3）由（2）知，當(dāng)p?1，x?0時(shí)，f(x)?0?lnx?x?1?

于是

ln22

lnxx

?1?。

?

ln33

???

lnnn

?(1?

12)?(1?

13)???(1?

1n

1n)

?(n?1)?(又當(dāng)n?N，n?2時(shí)，12

?

???)。

1n

?

?

1(n?1)n

13?14

?

1n

?

1n?1

1n131，于是

1n?1)?1n

?

???

1n

?（12

13)?()???（12

?

12)

?

1n?1，∴

ln22

?

ln33

???

lnnn

?(n?1)?(????

?(n?1)?(?

n?1)?

2n?n?12(n?1)，即

ln22

?

ln33

???

lnnn

?

2n?n?12(n?1)。

評(píng)析：導(dǎo)數(shù)進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)后，為中學(xué)不等式證明提供了一個(gè)強(qiáng)大工具。正因?yàn)槿绱耍ㄟ^構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)證明不等式已成為高考數(shù)學(xué)試題中一道亮麗的風(fēng)景線。本題第（2）問實(shí)際上已經(jīng)作出暗示，對(duì)比待證不等證式與第（2）問所得結(jié)論，證明思路自然生成。

第二篇：關(guān)注反證法在立體幾何證明題中的應(yīng)用

龍?jiān)雌诳W(wǎng) http://.cn

關(guān)注反證法在立體幾何證明題中的應(yīng)用 作者：王健

來源：《數(shù)理化學(xué)習(xí)·高三版》2012年第10期

第三篇：法向量在立體幾何解題中的應(yīng)用

龍?jiān)雌诳W(wǎng) http://.cn

法向量在立體幾何解題中的應(yīng)用

作者：魏慶鼎

來源：《理科考試研究·高中》2013年第08期

高中數(shù)學(xué)教材引進(jìn)了向量知識(shí)以后，為我們解決數(shù)學(xué)問題提供了一套全新的方法——向量法.向量法在解決求立幾中的角和距離兩大問題中，是行之有效的方法，它解決了以前舊版教材立幾中的這兩個(gè)難點(diǎn).在舊版教材中，運(yùn)用幾何法解決這兩類問題，要通過“作”、“證”、“求”，既要有較強(qiáng)的空間想象能力，又要求學(xué)生對(duì)空間中，線、面之間的判定、性質(zhì)等定理非常熟悉并能熟練應(yīng)用，對(duì)學(xué)生，特別是中下水平的學(xué)生是一大難點(diǎn).而現(xiàn)在向量法則很好解決了這個(gè)難點(diǎn)，所以它對(duì)人們研究立幾問題有著普及的意義.同時(shí)向量法對(duì)立幾中的線面平行和線面垂直、面面垂直和面面平行等位置關(guān)系的證明，也非常簡便.空間向量的引入使立體幾何的解題變得直觀、易懂.而“法向量”的靈活應(yīng)用，給解決空間問題提供了一個(gè)很方便、實(shí)用的工具，會(huì)使我們?cè)诟呖贾锌旖莸亟鉀Q立體幾何問題.以下是本人在教學(xué)過程中總結(jié)出來的關(guān)于“法向量”在立體幾何中的一些應(yīng)用.現(xiàn)把教學(xué)中得到的這些方法進(jìn)行歸類，供同行參考.4.用法向量求二面角平面角的大小

求二面角的平面角的大小可先求出兩個(gè)平面的法向量；則兩法向量的夾角與二面角的平面角相等或互補(bǔ).此時(shí)，觀察二面角的平面角為銳角還是鈍角，視情況而定.（注：在證明面面平行或面面垂直時(shí)，也可采用此法.如兩面的法向量共線，即兩平面平行；如兩平面的法向量垂直，即兩平面垂直）從以上的一些例題中，我們不難看出“法向量”這一特殊工具在立體幾何的解題中的優(yōu)越性.但在具體做題中，我們還應(yīng)對(duì)不同的題型選擇更便捷的方法去做，視自己對(duì)知識(shí)掌握的情況而定.

第四篇：導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)問題中的應(yīng)用

龍?jiān)雌诳W(wǎng) http://.cn

導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)問題中的應(yīng)用

作者：朱季生

來源：《中學(xué)教學(xué)參考·理科版》2013年第04期

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容和主干知識(shí)，而導(dǎo)數(shù)知識(shí)在研究函數(shù)圖象、函數(shù)零點(diǎn)、不等式證明以及不等式恒成立等諸多問題中亦有著廣泛的應(yīng)用.本文以2012年福建省高考中的函數(shù)試題舉例闡述.一、函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn)的有關(guān)性質(zhì)

第五篇：高中數(shù)學(xué)解題方法談：淺談分析法在解題中的應(yīng)用

88397854.doc

淺談分析法在解題中的應(yīng)用

分析法是數(shù)學(xué)中常用到的一種直接證明的方法，從推理的程序上來講，它是一種從未知到已知（從結(jié)論到題設(shè)）的邏輯推理方法，具體說，就是先假定問題的結(jié)論成立，再利用公理、定義、定理和公式，經(jīng)過正確的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊徊讲降赝评?，最后得到一個(gè)顯然成立的關(guān)系，即已證的命題或題設(shè)的已知條件，從而判定問題的結(jié)論成立。分析法的應(yīng)用較廣，通常在幾何、三角、不等式的證明中經(jīng)常采用。舉例說明。

例1下面是真命題還是假命題，用分析法證明你的結(jié)論。命題：若a?b?c且a?b?c?0，則

解：此命題是真命題。

因?yàn)閍?b?c?0,a?b?c，?a?0,c?0。b?aca2?3。

要證b?ac

a

22?3成立，只要證b?ac?23a，22即證b?ac?3a，也就是證(a?c)?ac?3a，2即證(a?c)(2a?c)?0

因?yàn)閍?c?0,2a?c?(a?c)?a?b?a?0

所以(a?c)(2a?c)?0成立。

故原不等式成立。

評(píng)注：應(yīng)用分析法證題時(shí)，語氣總是假定的，通常的語氣有：“若要證明A，則先證明B；若要證明B，則先證明C，……”或“若要A成立，必先B成立；若要B成立，必先C成立，……”。值得注意的是，在證明過程中從一個(gè)命題推到下一個(gè)命題時(shí)，必須注意它們之間的等效性。

例2求證：當(dāng)一個(gè)圓和一個(gè)正方形的周長相等時(shí)，圓的面積比正方形的面積大。

證明：設(shè)圓正方形的周長為l，則圓的面積為?（因此，本題只須證明：?(l22)?()。2?4l22)，正方形的面積為()。2?4ll

為了證明上式成立，只須證明：

4l2??l4?22?l216，兩邊同乘以正數(shù)，得1??

14。

88397854.doc

因此，只須證明4??。因?yàn)樯鲜绞浅闪⒌模?(l22)?()。2?4l

這就證明了如果一個(gè)圓和一個(gè)正方形的周長相等，那么圓的面積比正方形的面積大。例3已知?、??k???

2(k?Z)，且

sin??cos??2sin?①

sin??cos??sin2?② 1?tan2?1?tan

2求證：1?tan2???

2(1?tan2?。)

證明：因?yàn)?sin??cos?)2?2sin?cos??1,所以將①、②兩式代入上式，得：4sin2??2sin2??1

1?tan2?2

另一方面，要證?

1?tan2??1?tan，2(1?tan2?)

sin2

1?sin2?1??

cos2?cos2

即證?

sin2，1?sin2??

cos2?2(1??

cos2?)

即證cos2??sin2??1

2(cos2??sin2?)，即證1?2sin2??1

2(1?2sin2?)，即證4sin2??2sin2??1，由于上式與③式相同，于是問題得證。

③