第一篇：動(dòng)態(tài)幾何教案(完)

龍文教育浦東分校張楊路校區(qū)學(xué)生個(gè)性化教案 教育是一項(xiàng)良心工程

課題：動(dòng)態(tài)幾何

學(xué)生：

教師：吳大旺

時(shí)間：

學(xué)生評(píng)價(jià)

◇特別滿意

◇滿意

◇一般

◇不滿意

【回顧與思考】

?動(dòng)點(diǎn)問題?

類別?動(dòng)線問題?動(dòng)形問題?

【例題經(jīng)典】

會(huì)“靜”中求動(dòng)

例

1（2004年吉林?。┤鐖D，已知拋物線y=x2-ax+a+2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D（0，8），直線DC平行于x軸，交拋物線于另一點(diǎn)C．運(yùn)點(diǎn)P以每秒2?個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿C→D運(yùn)動(dòng)．同時(shí)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B運(yùn)動(dòng)．連結(jié)PQ，CB設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）求a的值；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ平行于y軸；

（3）當(dāng)四邊形PQBC的面積等于14時(shí)，求t的值．

【分析】由PQ∥y軸和DC∥x軸這一靜態(tài)，得OQ=PD，求t的值．

會(huì)由“特殊”推出“一般”

例

2（2005年南京市）如圖，形如量角器的半圓O的直徑DE=12cm，?形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm．半圓O以2cm/s的速度從左向右運(yùn)動(dòng)，?在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)D，E始終在直線BC上，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），當(dāng)t=0s時(shí)，半圓O在△ABC?的左側(cè)，OC=8cm．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△ABC的一邊所在的直線與半圓O所在的圓相切？

（2）當(dāng)△ABC的一邊所在的直線與半圓O所在的圓相切時(shí)，如果半圓O與直徑DE?圍成的區(qū)域與△ABC三邊圍成的區(qū)域有重疊部分，求重疊部分的面積．

【會(huì)用“類比的思想”探究圖形的變化】

例

3（2006年臨沂市）如圖，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，設(shè)P、Q分別為BD、?BC上的動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)P自點(diǎn)D沿DB方向作勻速移動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)Q自點(diǎn)B沿BC方向向點(diǎn)C?作勻速移動(dòng)，移動(dòng)的速度都為1cm/s，設(shè)P、Q移動(dòng)的時(shí)間為t（0

2（1）寫出△PBQ的面積S（cm）與時(shí)間t（s）之間的函數(shù)表達(dá)式，當(dāng)t為何值時(shí)，S?有最大值？最大值是多少？

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ為等腰三角形？

（3）△PBQ能否成為等邊三角形？若能，求t的值；若不能，說明理由．

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【考點(diǎn)精練】 1．（2005年西寧市）如圖1，將正方形ABCD中的△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)能與△CBP重合，若BP=4，則點(diǎn)P所走過的路徑長(zhǎng)為_________．

(1)

(2)

(3)2．（2005年福州市）如圖2，EF過矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)O，且分別交AB、CD于E、F，那么陰影部分的面積是矩形ABCD面積的（）

A．111B．

C．

D． 543103．（2005年北京市）如圖3，在ABCD中，∠DAB=60°，BC=3，點(diǎn)P從起點(diǎn)O出發(fā)，?沿DC、CB向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P所走過的路程為x，點(diǎn)P經(jīng)過的線段與線段AD、AP所圍成圖形的面積為y，y隨x的變化而變化．在下列圖像中，能正確反映y與x的函數(shù)關(guān)系的是（）

?

4．（2006年臨沂市）如圖，小正六邊形沿著大正六邊形的邊緣順時(shí)針滾動(dòng)，小正方形的邊長(zhǎng)是大正六邊形邊長(zhǎng)的一半，當(dāng)小正六邊形由圖①位置滾動(dòng)到圖②位置時(shí)，線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度為_______度．

5．如圖直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，4），B（5，0），動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿BO向終點(diǎn)O?運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度均為每秒1個(gè)單位，設(shè)從出發(fā)起運(yùn)動(dòng)了xs．

（1）點(diǎn)Q坐標(biāo)為______（用含x的式子表示）

（2）當(dāng)x為何值時(shí)，△APQ為一個(gè)以AP為腰的等腰三角形？

（3）設(shè)PQ的中點(diǎn)為G，請(qǐng)你探求點(diǎn)G隨點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)所形成的圖形并說明理由．

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6．（2006年杭州市）在三角形ABC中，∠B=60°，BA=24cm，BC=16cm．現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AB向點(diǎn)B方向運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線CB也向點(diǎn)B方向運(yùn)動(dòng)，?如果點(diǎn)P的速度是4cm/s，點(diǎn)Q的速度是2cm/s，它們同時(shí)出發(fā)，求：

（1）幾秒鐘以后，△PBQ的面積是△ABC的面積的一半？

（2）在第（1）問的前提下，P、Q兩點(diǎn)之間的距離是多少？

7．（2006年濟(jì)南市）已知半徑為R的⊙O′經(jīng)過半徑為r的⊙O的圓心，⊙O與⊙O?′交于E、F兩點(diǎn)．

（1）如圖甲，連結(jié)⊙O′交于⊙O于點(diǎn)C，并延長(zhǎng)交⊙O′于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作⊙O?的切線交⊙O′于A、B兩點(diǎn)，求OA．OB的值；

（2）若點(diǎn)C為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，．．

①當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到⊙O′內(nèi)時(shí)，如圖乙，過點(diǎn)C作⊙O′的切線交⊙O于A、B兩點(diǎn)，則OA·OB的值與（1）中的結(jié)論相比較有無變化？請(qǐng)說明理由．

②當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到⊙O′外時(shí)，過點(diǎn)C作⊙O的切線，若能交⊙O′于A、B兩點(diǎn)，如圖丙，則OA·OB的值與（1）中的結(jié)論相比較有無變化？請(qǐng)說明理由．

8．（2005年黃岡市）如圖，在直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)，A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（18，0），B（18，6），C（8，6），四邊形OABC是梯形．點(diǎn)P、Q同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)，?分別作勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)Q沿OC，CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)這兩點(diǎn)有一點(diǎn)到達(dá)自己的終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．

（1）求出直線OC的解析式及經(jīng)過O、A、C三點(diǎn)的拋物線的解析式．

（2）試在（1）中的拋物線上找一點(diǎn)D，使得以O(shè)、A、D為頂點(diǎn)的三角形與△AOC全等，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

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（3）設(shè)從出發(fā)起，運(yùn)動(dòng)了t秒，如果點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位，試寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，?并寫出此時(shí)t的取值范圍．

（4）設(shè)從出發(fā)起，運(yùn)動(dòng)了t秒，當(dāng)P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程之和恰好等于梯形OABC周長(zhǎng)的一半，這時(shí)，直線PQ能否把梯形的面積也分成相等的兩部分，如有可能，請(qǐng)求出t?的值；如不可能，請(qǐng)說明理由．

9．（2005年呼和浩特市）如圖（1），AB是⊙O直徑，直線L交⊙O于C1，C2，AD⊥L，垂足為D．

（1）求證：AC1·AC2=AB·AD；

（2）若將直線L向上平移（如圖（2）），交⊙O于C1，C2，使弦C1C2與直徑AB相交（交點(diǎn)不與A，B重合），其他條件不變，請(qǐng)你猜想，AC1，AC2，AB，AD之間的關(guān)系，并說明理由．

（3）若將直線L平移到與⊙O相切時(shí)，切點(diǎn)為C，其他條件不變，請(qǐng)你在圖（3）上畫出變化后的圖形，標(biāo)好相應(yīng)字母并猜想AC，AB，AD的關(guān)系是什么？（只寫出關(guān)系，不加以說明）．

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第二篇：動(dòng)態(tài)幾何學(xué)習(xí)心得

動(dòng)態(tài)幾何學(xué)習(xí)心得

幾何畫板不是一個(gè)一般的繪圖軟件，不僅制作出的圖形是動(dòng)態(tài)的，而且注重?cái)?shù)學(xué)表達(dá)的準(zhǔn)確性。因此，應(yīng)該從數(shù)學(xué)的角度看待這個(gè)軟件，在理解中學(xué)習(xí)它，這樣就比較容易理解有關(guān)操作的規(guī)定，掌握操作方法，合理地進(jìn)行操作，盡快掌握它的功能。反過來，當(dāng)需要構(gòu)造某個(gè)圖形，進(jìn)行某種操作時(shí)，就會(huì)自覺地滿足軟件對(duì)該項(xiàng)操作需要的前提條件。

首先用幾何畫板創(chuàng)設(shè)情景，靜態(tài)變動(dòng)態(tài)，其次幾何畫板“數(shù)形結(jié)合”，抽象變形象，微觀變宏觀，能夠揭示知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)思維能力、開發(fā)智力的工具。

通過這個(gè)課程的學(xué)習(xí)使我受益匪淺，對(duì)幾何畫板有了一個(gè)全面直觀的認(rèn)識(shí)。在以后的教育教學(xué)中，我要堅(jiān)持不斷學(xué)習(xí)，提高自己的課件制作水平。幾何畫板是一個(gè)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里進(jìn)行創(chuàng)造、探索和分析等方面有著廣泛應(yīng)用的軟件系統(tǒng)。利用幾何畫板，您可以構(gòu)造交互式的數(shù)學(xué)模型，可用于從事形與數(shù)的基礎(chǔ)研究，構(gòu)造高級(jí)的、動(dòng)態(tài)的復(fù)雜系統(tǒng)的插圖。不僅學(xué)習(xí)了幾何畫板的應(yīng)用知識(shí)，而且認(rèn)識(shí)了很多同行，并從他們那里學(xué)到了不少知識(shí)。通過這學(xué)期的學(xué)習(xí)，感覺《幾何畫板》是個(gè)很不錯(cuò)的學(xué)習(xí)輔助軟件，相比較FLASH等的軟件，它的本身占用資源較少，操作簡(jiǎn)單，學(xué)習(xí)起來也較容易，而且在平時(shí)的教學(xué)中，用他去制作一些課件，不需要浪費(fèi)太多的時(shí)間，但僅僅這花幾天的學(xué)習(xí)要想將這個(gè)軟件運(yùn)用自如還是不可能的，老師只能領(lǐng)導(dǎo)你去認(rèn)識(shí)它，真正的對(duì)它熟悉還要在平時(shí)的教學(xué)中多多運(yùn)用，自己去鉆研。同時(shí)，通過學(xué)習(xí)，還讓我體會(huì)到了，在運(yùn)用課件輔助教學(xué)時(shí)，不僅僅是去制作課件，在制作過程中，要對(duì)這節(jié)課完全理解，從原理上明白這節(jié)課的實(shí)質(zhì)內(nèi)容，再細(xì)化到如何去制作，才能讓我簡(jiǎn)單明了的理解這節(jié)課，是在制作過程中的關(guān)鍵點(diǎn)。通過這次幾何畫板的學(xué)習(xí)，感覺受益匪淺！

第三篇：初中幾何動(dòng)態(tài)教學(xué)初探[原創(chuàng)]

初中幾何動(dòng)態(tài)教學(xué)初探

“九年義務(wù)教育全日制初級(jí)中學(xué)《數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》（試用）”中提出，初中數(shù)學(xué)的教學(xué)目的之一：培養(yǎng)學(xué)生良好的個(gè)性品質(zhì)和初步辨證唯物主義觀點(diǎn)。良好的個(gè)性品質(zhì)是指：正確的學(xué)習(xí)目的，濃厚的學(xué)習(xí)興趣，頑強(qiáng)的學(xué)習(xí)毅力，實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度，獨(dú)立思考、勇于創(chuàng)新的精神和良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣；而初中數(shù)學(xué)中的辨證唯物主義教育因素之一是：數(shù)學(xué)內(nèi)容中，普遍存在的運(yùn)動(dòng)變化、相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化等觀點(diǎn)。本文想就初中幾何教學(xué)中如何通過幾何動(dòng)態(tài)教學(xué)對(duì)學(xué)生進(jìn)行辨證唯物主義思想教育，談?wù)勎业拇譁\認(rèn)識(shí)。

我們經(jīng)常會(huì)聽到老師和學(xué)生有這樣的反映，幾何難教，幾何難學(xué)?！半y”的原因之一就是圖形關(guān)系復(fù)雜，變化多樣。老師在幾何教學(xué)中演示的圖形都是靜態(tài)的，不能將圖形的任意位置展示給學(xué)生，在給出一個(gè)或有限的幾個(gè)圖形之后，就將一些重要的幾何規(guī)律簡(jiǎn)單地介紹給了學(xué)生。而學(xué)生在作題時(shí)，由于圖形位置變化，或位置關(guān)系復(fù)雜，就變得茫然不知所措了，這時(shí)老師也開始變得急燥了，覺得概念已講得很清楚了，怎么還不會(huì)，幾何難教難學(xué)的矛盾就產(chǎn)生了。

如何解決這個(gè)矛盾呢？我想還是要從幾何的精髓問題入手?！皫缀尉褪窃诓粩嘧兓膸缀螆D形中，研究不變的幾何規(guī)律”。比如 圖1

1．不論三角形的位置、大小、形狀和方向如何變化，三角形的3條高線都交于一點(diǎn)（如圖1）； 圖2

2．不論四邊形如何變化，四邊形的四邊中點(diǎn)順序連接成的圖形永遠(yuǎn)是平行四邊形（如圖2）等等，不勝枚舉。對(duì)于第一個(gè)問題，傳統(tǒng)教學(xué)中都是利用尺子作圖，各種情況只作一個(gè)圖形，很有限，不能說明問題；對(duì)于第二個(gè)問題，在以往的教學(xué)中絕大多數(shù)老師都是以例題形式給讓學(xué)生證明。我現(xiàn)在想辦法讓三角形或四邊形任意動(dòng)起來，讓學(xué)生觀察：三角形的3條高線交于一點(diǎn)；四邊中點(diǎn)順序連接成的圖形永遠(yuǎn)是平行四邊形。有了這樣一個(gè)感性認(rèn)識(shí)，再深入研究就成為自覺自愿的了。學(xué)生從運(yùn)動(dòng)的幾何圖形中找出的幾何規(guī)律，印象會(huì)很深，而且?guī)缀螆D形有這樣的動(dòng)態(tài)效果，很容易吸引這些初中學(xué)生，讓他們覺得幾何課有意思，從而愿意上幾何課。

我的這些想法是有理論根據(jù)的，因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的一個(gè)重要方面，在中學(xué)幾何教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)的建立?，F(xiàn)代教育理論認(rèn)為：數(shù)學(xué)知識(shí)不是老師教會(huì)的，而是學(xué)生必須經(jīng)過頭腦想象和理解椉唇ü箺才能真正學(xué)會(huì)的。老師傳遞給學(xué)生的只是知識(shí)信息，學(xué)生通過接收這些信息，聯(lián)系他們頭腦中舊有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，構(gòu)造出他所能理解掌握的新知識(shí)，在幾何教學(xué)中，對(duì)于那些相對(duì)于學(xué)生來說復(fù)雜而又抽象的圖形，需要在老師的引導(dǎo)下，從不斷運(yùn)動(dòng)變化的圖形中，從不同的角度反復(fù)觀察、探索、發(fā)現(xiàn)，找出規(guī)律，“從而建立起學(xué)生自己的‘經(jīng)驗(yàn)體系’棗即猜想可能的結(jié)論，最后再在老師和書本的幫助下證明猜想的結(jié)論，從而建立起學(xué)生自己的‘邏輯思維體系’。即完成‘在變化的圖形中發(fā)現(xiàn)恒定不變的幾何規(guī)律’”。

對(duì)于一個(gè)幾何圖形來說，各種元素之間的位置關(guān)系實(shí)際上是處于變化的相互依存的狀態(tài)，動(dòng)是絕對(duì)的，靜是相對(duì)的，這就產(chǎn)生了幾何變換。在初中平面幾何中，常見的幾何變換有：全等變換、相似變換和等積變換等。在實(shí)際教學(xué)中，要想辦法創(chuàng)造有變有不變的狀態(tài)，讓有利于解題的條件保持不變，而將不利于解題的條件變?yōu)橛欣模@就是利用運(yùn)動(dòng)變化中不變的規(guī)律解題的主要思想。

如何實(shí)現(xiàn)讓幾何圖形動(dòng)起來，讓學(xué)生在“動(dòng)中找靜”，以往的幾何教學(xué)很難做到，因?yàn)樵趥鹘y(tǒng)的幾何教學(xué)中，用常規(guī)作圖工具（紙、筆、尺）手工繪制的圖形都是靜態(tài)的，雖然它能教給學(xué)生規(guī)范作圖，但這樣很容易掩蓋極其重要的幾何規(guī)律。有的老師可以制作很精制的投影抽拉片，使部分圖形動(dòng)起來，卻很難體現(xiàn)圖形的任意性，以及圖形各部分之間的密切聯(lián)系。針對(duì)這個(gè)問題，我們可利用計(jì)算機(jī)輔助數(shù)學(xué)教學(xué)，利用一個(gè)軟件工具棗“幾何畫板”制作我們需要的幾何圖形，并使之任意運(yùn)動(dòng)和動(dòng)畫，在圖形不停地變化過程中，讓學(xué)生觀察，發(fā)現(xiàn)不變的幾何規(guī)律，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到幾何規(guī)律是實(shí)實(shí)在在的科學(xué)，不是憑空任意造出來的，要用科學(xué)的頭腦，去分析動(dòng)態(tài)的幾何圖形，從而得到“靜態(tài)”的幾何規(guī)律。

下面結(jié)合例子來說明如何對(duì)初中幾何進(jìn)行動(dòng)態(tài)教學(xué)。（主要設(shè)計(jì)思路）

例1．初中幾何教材P125 *7.12 和圓有關(guān)的比例線段，這一節(jié)的內(nèi)容是相交弦定理，切割線定理及其推論（即圓冪定理）一.相交弦定理：

1．弦AB、CD相交于圓內(nèi)一點(diǎn)P，幾何畫板測(cè)算PA、PB、PC、PD，并計(jì)算PA*PB, PA*PC, PA*PD, PB*PC, PB*PD, PC*PD, 圖形運(yùn)動(dòng)，讓學(xué)生觀察6個(gè)乘積，反復(fù)幾次，學(xué)生得出結(jié)論：只有PA*PB=PC*PD(如圖3)圖3：

教師給出相交弦定理:圓內(nèi)的兩條相交弦, 被交點(diǎn)分成的兩條線段的長(zhǎng)的積相等。

要引導(dǎo)學(xué)生證明（略）

2·將D點(diǎn)向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng),C、A、B固定，學(xué)生觀察，PD逐漸變短，當(dāng)測(cè)算值PD＝0時(shí)，同時(shí)PB＝0，此時(shí)P、B、D三點(diǎn)重合。問學(xué)生結(jié)論是否成立。(如圖4)

圖4：

3．讓AB運(yùn)動(dòng)至過圓心時(shí)停住，AB為直徑，讓CD任意與AB垂直，此時(shí)觀察四個(gè)測(cè)算值，總有PC＝PD，讓學(xué)生修改結(jié)論P(yáng)C2 ＝PA*PB。引導(dǎo)學(xué)生用語言敘述：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。(如圖5)圖5：

二．割線定理：

圖6：

將P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，在P點(diǎn)從圓內(nèi)到圓外之間反復(fù)運(yùn)動(dòng)的過程中，讓學(xué)生觀察6個(gè)乘積，發(fā)現(xiàn)依然有PA*PB=PC*PD。引導(dǎo)學(xué)生敘述：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等。（注：此處與教材講解順序不一樣，有待探討）。

通過觀察分析，比較圖形，引導(dǎo)學(xué)生歸納出相交弦定理與割線定理的相同點(diǎn)：0 ①定理中的條件都是兩條相交直線分別與圓相交

②定理中的結(jié)論都是兩條直線的交點(diǎn)到各弦兩端的距離之積相等。于是，可以把相交弦定理和割線定理統(tǒng)一如下形式：

兩條相交直線分別與圓相交，則兩直線的交點(diǎn)到各弦兩端的距離之積相等

3、切割線定理

1．將PA繞P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，讓學(xué)生觀察A、B重合時(shí)，有 ⑴PA＝PB ⑵PA*PB=PC*PD 由學(xué)生修改結(jié)論:PA2 =PC*PD（注：教材上是PT2 ＝PA*PB）(如圖7)圖7：

引導(dǎo)學(xué)生用語言敘述:從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線,切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。

2．將PD繞P點(diǎn)運(yùn)動(dòng),C、D重合時(shí)觀察時(shí)：（1）PC＝PD=PA=PB PA*PB=PC*PD(如圖8)圖8： 由學(xué)生修改 PA2 =PC2 ∴PA=PC

正是前面學(xué)過的切線長(zhǎng)定理 四．深入討論

進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生：點(diǎn)P到各弦兩端的距離之積相等，等于什么？有沒有一般規(guī)律？（這是課本P134習(xí)題T 7.4 B組4）

引導(dǎo)學(xué)生分析當(dāng)點(diǎn)P固定，∵過P點(diǎn)的弦有無數(shù)條，選一條過圓心的弦，即直徑：1．當(dāng)P點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生: ∵PA*PB=PC*PD 又PB=R-OP PA=R+OP ∴PA.PB=(R+OP)(R-OP)= R2 －OP2

當(dāng)P為定點(diǎn)時(shí), OP和R均為定值(如圖9)圖9：

當(dāng)P點(diǎn)在圓外時(shí), 學(xué)生獨(dú)立完成。

圖10：

3．歸納總結(jié):

一直線與半徑為R的⊙0相交, 在直線上取一不在圓周上的點(diǎn)P, 則該點(diǎn)到弦兩端的距離之積是定值│R2-OP2│

告訴學(xué)生:你們和我一起討論并驗(yàn)證的這個(gè)問題實(shí)際上是直線與圓這一節(jié)中一個(gè)重要定理。一方面不僅使學(xué)生數(shù)學(xué)思維得到發(fā)展，也使他們從中 獲得成功的喜悅；另一方面，可以使學(xué)生從不斷變化的幾何圖形中發(fā)現(xiàn)不變的幾何規(guī)律。

例2．①同底等高的一組三角形，底BC固定不動(dòng)，頂點(diǎn)A在平行于底邊的直線上滑動(dòng)，觀察重心的位置及重心軌跡（計(jì)算機(jī)動(dòng)畫演示）圖：11 觀察發(fā)現(xiàn)：

⑴不論三角形如何變化，重心永遠(yuǎn)在三角形內(nèi)。

⑵同底等高的一組三角形的重心軌跡是一條直線（證明略）。

②同底等高的一組三角形，底BC固定不動(dòng)，頂點(diǎn)A在平行于底邊的直線上滑動(dòng)，觀察垂心的位置及垂心軌跡（計(jì)算機(jī)動(dòng)畫演示）

觀察發(fā)現(xiàn)：

⑴銳角三角形的垂心在銳角三角形的內(nèi)部；直角三角形 的垂心在直角三角形的直角頂點(diǎn)處；鈍角三角形的垂心在鈍角三角形的外部。

⑵ 同底等高的一組三角形垂心的軌跡是一條拋物線。（證明略）等等。

盡管在初中幾何中不涉及軌跡問題，我們也可以不提它，但它確是計(jì)算機(jī)演示實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，可以給學(xué)生看，引起學(xué)生的興趣。

以上是我對(duì)初中幾何進(jìn)行動(dòng)態(tài)教學(xué)的粗淺看法，得到多名老師的一致認(rèn)可，同時(shí)我也給親戚朋友的孩子（初三學(xué)生）進(jìn)行了課余輔導(dǎo)，效果不錯(cuò)，這些學(xué)生在做習(xí)題時(shí)，大部分首先回憶的是計(jì)算機(jī)演示的圖形。然后是定理，并很快結(jié)合已知條件做出了習(xí)題。我想這就達(dá)到了目的，學(xué)生知道從變化的圖形中找出不變的規(guī)律為自己所用。在介紹知識(shí)的同時(shí)，滲透了辯證唯物主義思想。文中出現(xiàn)不妥之處，請(qǐng)專家和同行批評(píng)指正。

第四篇：專題十 幾何中的動(dòng)態(tài)問題教案13

專題十

幾何中的動(dòng)態(tài)問題

【中考目標(biāo)】

1、以幾何圖形為載體，在等腰三角形、直角三角形、平行四邊形、梯形等特殊圖形中設(shè)立動(dòng)點(diǎn)、線或整體的平移、翻轉(zhuǎn)，求解角度、線段、面積等定值問題

2、運(yùn)動(dòng)中一些特殊圖形的性質(zhì)或面積的函數(shù)式及最值

【中考重點(diǎn)】動(dòng)態(tài)中特定時(shí)刻所構(gòu)成的特殊圖形的角度、線段、面積

【中考難點(diǎn)】以靜化動(dòng)，確定特定時(shí)刻所形成的幾何圖形，利用其性質(zhì)解決問題 例

一、動(dòng)點(diǎn)問題

A1、（2012萊蕪）在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，若點(diǎn)P在邊AC上移動(dòng)，則BP的P最小值為

BC2、（2012蘭州）如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC＝2cm，F(xiàn)是弦BC的中點(diǎn)，∠ABC＝60°．若動(dòng)點(diǎn)E以2cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)沿著A→B→A方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(0≤t＜3)，連接EF，當(dāng)△BEF是直角三角形時(shí)，t(s)的值為()A、7779

B、1

C、或1

D、或1或 44443、（2012臨沂）已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．

（1）如圖1，當(dāng)b=2a，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到邊AD的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)證明∠BMC=90°；

（2）如圖2，當(dāng)b＞2a時(shí)，點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，請(qǐng)給與證明；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）如圖3，當(dāng)b＜2a時(shí)，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由．

例

二、動(dòng)線問題

4、（2011義烏改編）已知二次函數(shù)y=x2 —8x+12與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)P，點(diǎn)M是線段OP上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（O、P兩點(diǎn)除外），以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)P向點(diǎn)O 運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)M作直線MN∥x軸，交PB于點(diǎn)N.將△PMN沿直線MN對(duì)折，得到△P1MN，在直線MN的運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)△P1MN與梯形OMNB的重疊部分的面積為S，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.例

三、動(dòng)形問題

5、（2012?南充）在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中點(diǎn)，把一三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)M處，以M為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)三角尺，三角尺的兩直角邊與△POQ的兩直角邊分別交于點(diǎn)A、B．（1）求證：MA=MB；

（2）連接AB，探究：在旋轉(zhuǎn)三角尺的過程中，△AOB的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

6、（2010福州）如圖，在△ABC中，?C?45?，BC?10，高AD?8，矩形EFPQ的一邊QP在BC邊上，E、F兩點(diǎn)分別在AB、AC上，AD交EF于點(diǎn)H。

AHEF?;ADBC（2）設(shè)EF?x，當(dāng)x為何值時(shí)，矩形EFPQ的面積最大？并求其最大值;（1）求證：（3）當(dāng)矩形EFPQ的面積最大時(shí)，該矩形EFPQ以每秒1個(gè)單位的速度沿射線QC勻速運(yùn)動(dòng)（當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S，求S和t的函數(shù)關(guān)系式。

三、課后作業(yè)

四、選做題

(2011聊城)如圖，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm．點(diǎn)E、F、G分別從點(diǎn)A、B、C同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊按逆時(shí)針方向移動(dòng)，點(diǎn)E、G的速度均為2cm/s，點(diǎn)F的速度為4cm/s，當(dāng)點(diǎn)F追上點(diǎn)G(即點(diǎn)F與點(diǎn)G重合)時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之停止移動(dòng)．設(shè)移動(dòng)開始后第ts時(shí)，△EFG的面積為Scm2。(1)當(dāng)t＝1s時(shí)，S的值是多少？

(2)寫出S與t之間的函數(shù)解析式，并指出自變量t的取值范圍；

(3)若點(diǎn)F在矩形的邊BC上移動(dòng)，當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)B、E、F為頂點(diǎn)的三角形與以C、F、G為頂點(diǎn)的三角形相似？請(qǐng)說明理由。

第五篇：動(dòng)態(tài)幾何測(cè)量教學(xué)案例兩則

動(dòng)態(tài)幾何測(cè)量教學(xué)案例兩則

彭翕成

華中師范大學(xué)教育信息技術(shù)工程研究中心，武漢 430079

幾何學(xué)是數(shù)學(xué)最古老的分支之一，相傳起源于土地測(cè)量。近些年，測(cè)量之風(fēng)在中學(xué)教學(xué)中相當(dāng)盛行。有些老師采用原始工具，主要是三角板、量角器；有些老師則先進(jìn)一些，采用動(dòng)態(tài)幾何軟件。所謂動(dòng)態(tài)幾何，是指在計(jì)算機(jī)屏幕上畫出各種各樣的動(dòng)態(tài)幾何圖形，且?guī)缀螆D形在變化過程中保持幾何屬性不變；通過幾何圖形的動(dòng)態(tài)變化，使人能更直觀地深刻理解圖形中的幾何規(guī)律，從而達(dá)到真正理解幾何原理的目的。到目前為止，全世界已經(jīng)有幾十種動(dòng)態(tài)幾何軟件，我國主要使用超級(jí)畫板和幾何畫板，一些圖形計(jì)算器也具備動(dòng)態(tài)幾何功能。

筆者認(rèn)為測(cè)量之風(fēng)盛行原因有二。一方面是與這些年高調(diào)提倡的教學(xué)方式、教學(xué)理念接軌，依據(jù)是“老師讓學(xué)生測(cè)量，有益于學(xué)生的動(dòng)手能力的培養(yǎng)，有益于學(xué)生協(xié)作精神的形成”；而另一方面是由于傳統(tǒng)測(cè)量非常簡(jiǎn)單，基本上就是不教自會(huì)，即使是學(xué)習(xí)動(dòng)態(tài)幾何的測(cè)量功能，也不過是幾分鐘的事情。學(xué)會(huì)之后，則是一本萬利，從初一的三角形內(nèi)角和定理、中位線定理到高三的正、余弦定理，都是可以用測(cè)量來教學(xué)的案例。正因?yàn)槿绱?，很多老師不單自己在教學(xué)演示的時(shí)候喜歡用測(cè)量，有條件的學(xué)校還極力鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手。

對(duì)于測(cè)量，近幾年批評(píng)的意見也不少，而且相當(dāng)尖銳。李大潛院士指出：“老是量，就倒退到尼羅河時(shí)代去了，當(dāng)初古希臘學(xué)者不是‘量’出來的”。張奠宙教授說得更加具體，他以正弦定理的教學(xué)為例，認(rèn)為讓學(xué)生通過測(cè)量發(fā)現(xiàn)

abc、、之間的關(guān)系,sinAsinBsinC是一個(gè)敗筆，是一個(gè)忽略數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)的設(shè)計(jì)。

三角板、量角器，我們使用已經(jīng)上千年了，已經(jīng)成為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必備的工具，而動(dòng)態(tài)幾何軟件是這些古老工具的延伸與發(fā)展。照道理來說，這些工具都應(yīng)該是好的，但為什么老師們使用這些工具，還會(huì)被專家指責(zé)呢？筆者認(rèn)為這是一個(gè)值得探討的問題。首先，我們來看兩個(gè)案例，看看從中能否給我們啟示。案例一：中位線定理的教學(xué)

一位老師在講授中位線定理這一內(nèi)容時(shí)，準(zhǔn)備利用超級(jí)畫板作兩次測(cè)量：一次是驗(yàn)證三角形中位線定理，另一次是驗(yàn)證順次連接四邊形的中點(diǎn)所圍成圖形為平行四邊形。這位老師發(fā)現(xiàn)，當(dāng)他讓學(xué)生動(dòng)手測(cè)量的時(shí)候，有一小部分學(xué)生懶散地坐著不動(dòng)，遠(yuǎn)沒有剛開始接觸超級(jí)畫板那樣積極。課后向幾位學(xué)生調(diào)查情況，學(xué)生們說，這兩道題，書上都有結(jié)論，我們?cè)缇涂催^了，再去測(cè)量不是有點(diǎn)傻么？對(duì)未知的東西充滿好奇，對(duì)已知的東西熟視無睹，這是絕大多數(shù)人存有的心態(tài)。這位老師經(jīng)過反思，覺得不能怪學(xué)生；不過，這些學(xué)生僅僅滿足于記住書上的結(jié)論，而沒有進(jìn)一步思考，這對(duì)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是很不利的。

于是在另外一個(gè)班上課時(shí)，他首先讓學(xué)生探究這么一個(gè)問題。五邊形ABCDE中，點(diǎn)F、G、H、I分別是AB、BC、CD、DE的中點(diǎn)，點(diǎn)J、K分別是FH、GI的中點(diǎn)，AE和JK有什么關(guān)系？學(xué)生們積極性很高，馬上打開超級(jí)畫板進(jìn)行測(cè)量，很快發(fā)現(xiàn)AE?4JK（圖1）。老師問：還發(fā)現(xiàn)什么？學(xué)生沒有其他的發(fā)現(xiàn)。能不能證明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論呢？學(xué)生們沒有一點(diǎn)頭緒。老師提示說，當(dāng)遇到難題解決不了的時(shí)候，我們是不是退一步，先解決容易的題目；大家還記得如何求多邊形的內(nèi)角和么？學(xué)生說，記得，將多邊形分割成三角形來解決。于是，這位老師就順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生去研究三角形中位線定理和順次連接四邊形的中點(diǎn)所圍成圖形為平行四邊形這兩個(gè)問題。等到快下課時(shí)，老師又將學(xué)生引回到五邊形中點(diǎn)的問題。但學(xué)生還是反應(yīng)不過來，因?yàn)樗麄兌祭舷胫绾螌⑽暹呅畏指畛扇切巍＿@是思維定式造成的。老師給出提示，也不一定要分割成三角形啊，我們今天不是還學(xué)了四邊形么？這一提示，不少學(xué)生就作出這道題了，輔助線如圖2所示（點(diǎn)L是AD的中點(diǎn)）；而且還有學(xué)生高興地發(fā)現(xiàn)AE和JK還存在平行關(guān)系。

圖1 圖2 案例二：勾股定理的教學(xué)

勾股定理的數(shù)學(xué)表示形式是a?b?c，從數(shù)的“方”（平方）聯(lián)想形的“方”（正方），不難想到要以Rt?ABC的各邊作正方形ABDE，CBFG和ACHI（圖3），于是有不少老師讓學(xué)生利用超級(jí)畫板測(cè)量面積，驗(yàn)證SABDE?SCBFG?SACHI。但有一個(gè)老師在這個(gè)環(huán)節(jié)遇到了問題。學(xué)生作好圖3后，老師讓學(xué)生測(cè)量面積，自主探究。大多數(shù)學(xué)生都得出了老師想要的那個(gè)答案。但有一個(gè)學(xué)生說，他發(fā)現(xiàn)的有所不同，他發(fā)現(xiàn)了S?ABC?S?BDF?S?CGH?S?AIE（注：超級(jí)畫板測(cè)量面積與幾何畫板不同，只需依次選擇多邊形頂點(diǎn)即可，并不一定要作出該多邊形）。

這位老師感到很吃驚，這是備課時(shí)沒有想到的。仔細(xì)一看，這不正是三角形面積公式

222S?ABC?111absinC?bcsinA?casinB么，只不過用了一次互補(bǔ)的兩個(gè)角正弦相等222而已。但學(xué)生還沒學(xué)過正弦，該怎么解釋呢？

圖3 圖4

一想，其實(shí)也不難，S?ABC?S?HCG是顯然的。而證S?ABC與S?BDF相等也只需以AB和BD為底邊，作出對(duì)應(yīng)的高線CJ和FL即可，而這兩條邊的相等又可轉(zhuǎn)化為求證?CJB??FLB（圖4）。由于?JBC??LBF（與同角互余的兩角相等），根據(jù)HL定理，易證?CJB??FLB。同樣地，可以證明S?ABC?S?AIE。如果作出更多的垂線段，就會(huì)得到一個(gè)類似于趙爽弦圖的圖形（圖5），由此我們可以得到另一種證明。

如圖6，就是分別過點(diǎn)A和D作BC的平行線，分別過點(diǎn)B和E作AC的平行線，四條直線交于M、J、K和L。易證?ABC與正方形AEDB中的四個(gè)三角形都全等，從而BJ?BC?BF，從而S?ABC?S?DBJ?S?BDF。同理可證S?ABC?S?AEL?S?BDF。

特別有意思的是，即使?ABC不是直角三角形，所得4個(gè)三角形面積相等的結(jié)論也是成立的。證明的過程也一樣，因?yàn)樯鲜鰞煞N證明都沒有用到?ACB?90這一條件。學(xué)生們

?聽完老師的分析，覺得不可思議，馬上又重新作圖進(jìn)行驗(yàn)證。

圖5 圖6 對(duì)于案例一，筆者認(rèn)為雖然是同一個(gè)老師講同一個(gè)內(nèi)容，而且都是使用超級(jí)畫板的測(cè)量功能，其中的變化僅僅是加了一個(gè)例題而已，但后一次課的效果明顯要好很多。前一節(jié)課的測(cè)量，好像有點(diǎn)“為測(cè)量而測(cè)量”的味道；而后一節(jié)課的測(cè)量，是真正的探究式測(cè)量，因?yàn)閷W(xué)生即使提前預(yù)習(xí)，也較難作出該題，此時(shí)的測(cè)量落到了實(shí)處。需要指出的是，所增加的例題非常有內(nèi)涵，包括了該節(jié)課的兩個(gè)重要的結(jié)論。例題的選取，則不是靠信息技術(shù)了，而是靠老師的專業(yè)水平；也許不少老師也做過此題，但可能并沒有留意。

對(duì)于案例二，筆者感慨很深。我們的老師花費(fèi)大量的時(shí)間精心備課，設(shè)計(jì)好一個(gè)又一個(gè)的環(huán)節(jié)，但有時(shí)候難免也會(huì)遇到設(shè)計(jì)之外的情況。特別是現(xiàn)代社會(huì)的信息來源多元化，中學(xué)生不再像過去那樣，單純地從老師那里吸取知識(shí)，而是通過各種渠道來獲取信息，譬如說網(wǎng)絡(luò)，圖書館等，超級(jí)畫板一類的軟件也能夠提供給學(xué)生信息。從某種角度來說，信息技術(shù)并沒有給老師帶來輕松，而是帶來壓力，對(duì)老師的要求更高了。但老師的付出是有回報(bào)的，本節(jié)課從勾股定理引出趙爽弦圖是如此地自然，沒有人為的做作，甚至三角形面積公式、正弦定理也呼之欲出。筆者甚至想：正弦定理的教學(xué)，能否就由此而來呢？

本文的兩個(gè)案例是筆者近年舉行超級(jí)畫板講座時(shí)與一線教師閑談所得。一位中學(xué)老師很有感慨：俗話說“人強(qiáng)不如家伙強(qiáng)”，但使用了信息技術(shù)，教學(xué)效果也并不見得就一定好。筆者非常認(rèn)同這一點(diǎn)：技術(shù)是先進(jìn)了，但最后決定成敗的關(guān)鍵因素還是在于教師的數(shù)學(xué)素質(zhì)和教學(xué)設(shè)計(jì)。