第一篇：復(fù)數(shù)與幾何教案

復(fù)數(shù)與幾何·教案

教學(xué)目標(biāo)

1．掌握復(fù)平面、向量等有關(guān)概念；弄清復(fù)數(shù)集C與復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)組成的集合之間一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，以及復(fù)數(shù)與從原點(diǎn)出發(fā)的向量之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；弄清復(fù)數(shù)模的幾何意義．

2．通過(guò)數(shù)形結(jié)合研究復(fù)數(shù)，提高學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，突出比較與類(lèi)比的研究方法．

3．感受到為真理執(zhí)著追求的精神．進(jìn)行辯證唯物主義教育． 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：復(fù)數(shù)與點(diǎn)與向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系以及復(fù)數(shù)的模．

難點(diǎn)：自由向量與位置向量的區(qū)別，以及它們與復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系． 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的概念．什么是復(fù)數(shù)？ 生：形如a＋bi的數(shù)叫復(fù)數(shù)．（學(xué)生有不同意見(jiàn)，小聲議論）師：誰(shuí)有補(bǔ)充？

生：形如a＋bi（a，b∈R）的數(shù)叫復(fù)數(shù)．（教師給予肯定）

師：a，b∈R的條件很重要，實(shí)際上我們是用實(shí)數(shù)來(lái)定義的復(fù)數(shù)，雖然我們知道了復(fù)數(shù)的定義，但是復(fù)數(shù)對(duì)于我們來(lái)說(shuō)，總感到摸不著抓不住，不像實(shí)數(shù)，任何一個(gè)實(shí)數(shù)，都可以在數(shù)軸上找到一個(gè)點(diǎn)與它對(duì)應(yīng)，那么復(fù)數(shù)到底在哪里呢？我們能不能像實(shí)數(shù)那樣來(lái)表示復(fù)數(shù)呢？

生：數(shù)軸上的點(diǎn)不能表示虛數(shù)，只能表示實(shí)數(shù)．

師：那么用什么可以表示復(fù)數(shù)呢？注意復(fù)數(shù)是由a，b兩個(gè)實(shí)數(shù)決定的，可以大膽設(shè)想一下，我們可以利用什么來(lái)表示復(fù)數(shù)？

生：可以用直角坐標(biāo)系里的點(diǎn)來(lái)表示嗎？ 師：××提出了一個(gè)想法，用直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù)．這種想法行不行呢？

（在黑板上畫(huà)出直角坐標(biāo)系，任取一點(diǎn)（a，b））師：能不能用點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù)呢？

生：可以．因?yàn)橛幸粋€(gè)復(fù)數(shù)a＋bi（a，b∈R），就有一個(gè)點(diǎn)（a，b），而有一個(gè)點(diǎn)（a，b），就有一個(gè)復(fù)數(shù)a＋bi．

師：他剛才所說(shuō)的實(shí)際想說(shuō)明一點(diǎn)復(fù)數(shù)集與坐標(biāo)系中的點(diǎn)構(gòu)成的集合是一一對(duì)應(yīng)的．的確，由復(fù)數(shù)相等的概念，我們知道一個(gè)復(fù)數(shù)a＋bi由一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)（a，b）唯一確定，而有序?qū)崝?shù)對(duì)與直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的．因此我們完全可以建立復(fù)數(shù)集與點(diǎn)集之間的一一對(duì)應(yīng)．看來(lái)，用點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù)是完全可以的．為了區(qū)別表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)與其它的點(diǎn)，我們把這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面．那么在這個(gè)坐標(biāo)系中x軸上的點(diǎn)與y軸上的點(diǎn)所表示的復(fù)數(shù)分別具有什么特點(diǎn)呢？

生：x軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，即復(fù)數(shù)的虛部為0，因此x軸上的點(diǎn)代表實(shí)數(shù)．

師：既然x軸上的點(diǎn)代表了所有實(shí)數(shù)，我們就把復(fù)平面中的x軸叫實(shí)軸．那么y軸上的點(diǎn)代表什么樣的復(fù)數(shù)呢？

生：由于y軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是零，因此y軸上的點(diǎn)表示的是純虛數(shù)． 師：同學(xué)們認(rèn)為他說(shuō)得對(duì)嗎？

（大多數(shù)同學(xué)認(rèn)為他說(shuō)得對(duì)，少數(shù)人有疑惑）

生：原點(diǎn)也在y軸上，但0不是純虛數(shù)，而是實(shí)數(shù)．所以y軸上的點(diǎn)除原點(diǎn)外表示的都是純虛數(shù)．

師：他說(shuō)得很對(duì)．y軸上只有這個(gè)原點(diǎn)搗亂，不然就可以表示所有的純虛數(shù)．因此，我們把去掉原點(diǎn)后的y軸叫虛軸．這樣虛軸上所有的點(diǎn)都表示純虛數(shù)．那么，直角坐標(biāo)平面與復(fù)平面有什么區(qū)別？

生：直角坐標(biāo)平面中的x軸與y軸交于原點(diǎn)，而復(fù)平面中的實(shí)軸與虛軸沒(méi)有交點(diǎn)．

師：我們通過(guò)建立復(fù)平面，將復(fù)數(shù)集與復(fù)平面上的點(diǎn)建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這樣復(fù)數(shù)對(duì)我們來(lái)說(shuō)，也就不顯得那樣遙遠(yuǎn)了．但對(duì)于復(fù)數(shù)的認(rèn)可，在19世紀(jì)可沒(méi)那么簡(jiǎn)單．第一次認(rèn)真討論這種數(shù)的是文藝復(fù)興時(shí)期意大利有名的數(shù)學(xué)“怪杰”卡丹，他是1545年開(kāi)始討論這種數(shù)的，當(dāng)時(shí)復(fù)數(shù)被他稱(chēng)作“詭辯量”，幾乎過(guò)了100年，笛卡爾才給這種“虛幻之?dāng)?shù)”取了一個(gè)名字——虛數(shù)．但是又過(guò)了140年，歐拉還是說(shuō)這種數(shù)只是存在于“幻想之中”，并用i（imaginary，即虛幻的縮寫(xiě)）來(lái)表示它的單位．后來(lái)德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯給出了復(fù)數(shù)的定義，但他們?nèi)愿械竭@種數(shù)有點(diǎn)虛無(wú)縹緲，盡管他也感到它的作用．1830年，高斯詳細(xì)論述了用直角坐標(biāo)系的復(fù)平面上的點(diǎn)表示復(fù)數(shù)a＋bi，使復(fù)數(shù)有了立足之地，人們才最終承認(rèn)了它．看來(lái)復(fù)數(shù)從發(fā)現(xiàn)到最終被人們承認(rèn)，的確經(jīng)過(guò)了一個(gè)漫長(zhǎng)坎坷的過(guò)程，可最終使人們接受他的還是它的幾何表示，用點(diǎn)表示復(fù)數(shù)后，人們才覺(jué)得復(fù)數(shù)的存在．

（學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)史方面的知識(shí)很感興趣，因?yàn)樗麄兏械綌?shù)學(xué)的發(fā)展是那樣神秘，可以憑空造出數(shù)來(lái)，學(xué)生聽(tīng)得聚精會(huì)神，當(dāng)最后得知是用點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù)這一理論使復(fù)數(shù)得以被人承認(rèn)后，甚至還有些成就感）

師：用點(diǎn)表示復(fù)數(shù)后，我們還要介紹一種表示復(fù)數(shù)的方法，連接坐標(biāo)原點(diǎn)O與點(diǎn)Z，得到一個(gè)具有長(zhǎng)度且有方向的線段，這種既有大小又有方向的線段叫有向線段，而有向線段表示的量就叫向量．那么什么叫向量呢？

生：既有大小又有方向的量叫向量． 師：能不能舉出一些向量的例子？

生：物理中的力、速度、加速度等都是又有大小又有方向的量，它們都是向量．

師：現(xiàn)在的問(wèn)題是我們能不能用向量來(lái)表示復(fù)數(shù)？我們一般將起點(diǎn)為O，終點(diǎn)為Z的向量記作

．

生：當(dāng)然可以．因?yàn)橛幸粋€(gè)向量就對(duì)應(yīng)一個(gè)點(diǎn)，而有一個(gè)點(diǎn)就對(duì)應(yīng)一個(gè)向量，而點(diǎn)與復(fù)數(shù)有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此可用向量表示復(fù)數(shù)．

（學(xué)生議論紛紛，看起來(lái)有不同意見(jiàn)）生：那我在復(fù)平面內(nèi)任意畫(huà)一個(gè)有向線段（大家在思考）

師：這個(gè)問(wèn)題提得很好．實(shí)際上，大家可以想一想，剛才××同學(xué)說(shuō)一個(gè)向量對(duì)應(yīng)一個(gè)點(diǎn)，一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)向量，對(duì)不對(duì)？怎么樣改一下就對(duì)了？ 生：應(yīng)改為起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量對(duì)應(yīng)一個(gè)點(diǎn)，也就是起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量與點(diǎn)構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)．

師：既然這樣，我們就知道，起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量與復(fù)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的．那其它向量怎么辦？它們對(duì)應(yīng)什么復(fù)數(shù)？能不能將他們移到原點(diǎn)來(lái)？，這個(gè)向量表示哪個(gè)復(fù)數(shù)呢？

生：只要它們的長(zhǎng)度和方向與合的位置上．

相同，就可以平移到起點(diǎn)為原點(diǎn)，與 重師：實(shí)際上，我們把長(zhǎng)度相等方向相同的向量叫做相等的向量，其實(shí)，我們只要規(guī)定相等的向量對(duì)應(yīng)同一個(gè)復(fù)數(shù)，我們就可以用向量來(lái)表示復(fù)數(shù)了．對(duì)那些起點(diǎn)不在原點(diǎn)的向量，我們只要怎么做就可以知道它所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)了呢？ 生：只要將它們平移到起點(diǎn)與原點(diǎn)重合，這時(shí)向量終點(diǎn)所確定的復(fù)數(shù)就是那些起點(diǎn)不在原點(diǎn)的向量所表示的復(fù)數(shù)．

（教師給予肯定）

師：在這個(gè)正六邊形中有多少對(duì)向量相等，它們分別對(duì)應(yīng)著哪些復(fù)數(shù)？

師：這樣我們完成了今天我們要討論的第二個(gè)問(wèn)題：復(fù)數(shù)與向量．我們弄清楚了向量可以來(lái)表示復(fù)數(shù)，相等的向量對(duì)應(yīng)著同一個(gè)復(fù)數(shù)．一個(gè)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的向量唯一嗎？

生：一個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)際上可以對(duì)應(yīng)無(wú)數(shù)個(gè)長(zhǎng)度相等、方向相同的向量，只是這些向量的位置不同．

師：現(xiàn)在我們知道復(fù)數(shù)可以用點(diǎn)和向量來(lái)表示，它們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用下圖來(lái)表示．

有了這種一一對(duì)應(yīng)關(guān)系后，我們常把復(fù)數(shù)z=a＋bi說(shuō)成點(diǎn)Z（a，b），或說(shuō)成向量 ．

師：在用有向線段表示向量時(shí)，有向線段的長(zhǎng)度我們定義為向量的模，即線段OZ的長(zhǎng)度為向量 的模．那么

可以表示復(fù)數(shù)z=a＋bi，那么 的?？梢员硎緩?fù)數(shù)的哪個(gè)量呢？在實(shí)數(shù)集中，一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值的幾何意義就是數(shù)軸上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．在復(fù)數(shù)集中呢？

生：向量 的模就是復(fù)數(shù)的絕對(duì)值．

師：他的意思說(shuō)出來(lái)了，但在復(fù)數(shù)中，我們一般不叫絕對(duì)值，叫復(fù)數(shù)的模．因此 的模就叫復(fù)數(shù)的模，只有復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)時(shí)，我們叫絕對(duì)值．那么復(fù)數(shù)的模具有什么樣的幾何意義？

生：復(fù)數(shù)的模的幾何意義是表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．

（教師給予肯定，并指出復(fù)數(shù)模的幾何意義與實(shí)數(shù)的絕對(duì)值的幾何意義是統(tǒng)一的．）

師：復(fù)數(shù)的模用什么表示呢？

生：用實(shí)數(shù)集中絕對(duì)值的符號(hào)表示，z的模，記作|z|． 師：復(fù)數(shù)z=a+bi，（a，b∈R），那么|z|=？

（學(xué)生板演）

師：我們知道復(fù)數(shù)一般不能比較大小，而復(fù)數(shù)的模是實(shí)數(shù)，可以比較大?。▽1，z2所表示的點(diǎn)畫(huà)在復(fù)平面上，再將它們所表示的向量畫(huà)出來(lái)，強(qiáng)調(diào)這三者的轉(zhuǎn)化）

例2 設(shè)z∈C，滿(mǎn)足下列條件的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？（1）|z|=4；（2）2≤|z|＜4． 生：（1）表示到原點(diǎn)距離為4的點(diǎn)． 師：這樣的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)什么圖形？ 生：是原點(diǎn)為圓心，半徑為4的圓． 師：是圓面還是只有邊界的圓？為什么？

生：應(yīng)該是表示只有邊界的圓．因?yàn)榕c復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z，由|z|=4，知道|OZ|=4，即點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離為4．所以z表示的點(diǎn)Z構(gòu)成一個(gè)半徑為4的圓． 生：（2）表示一個(gè)圓環(huán)．由于|z|的幾何意義是點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離，所以2≤|z|＜4表示到原點(diǎn)距離大于等于2，小于4的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形．

師：準(zhǔn)確地說(shuō)這個(gè)圖形應(yīng)當(dāng)是半徑為2與半徑為4的圓構(gòu)成的圓環(huán)內(nèi)容及內(nèi)邊界．包不包括邊界，主要是由原不等式中的等與不等決定的．

例3 用復(fù)數(shù)表示下圖中的陰影部分．

生甲：|z|＜3且虛部＜-1．由于圖中所示的點(diǎn)在半徑為3的圓中，且縱坐標(biāo)小于-1．

師：這種表示是否正確？（學(xué)生小聲議論）

生：是兩條直線．

師：夾在這兩條直線中間又滿(mǎn)足|z|＜3的點(diǎn)顯然不僅僅是陰影部

（學(xué)生到黑板畫(huà)出圖）

師：因此剛才乙同學(xué)的想法是好在不滿(mǎn)足于用一種方法表示，肯思考，但這個(gè)題無(wú)法用實(shí)部來(lái)表示．

（下面提問(wèn)第2小題）生：|z|≥3，且實(shí)部≤-1．

生：不對(duì)．

師：看來(lái)用實(shí)部還是虛部表示，一定要全盤(pán)考慮，表示出來(lái)后，還要反過(guò)來(lái)檢查一下是否符合題設(shè)條件．

（教師小結(jié)）

師：這節(jié)課我們共同探尋了復(fù)數(shù)的幾何表示方法以及復(fù)數(shù)模的幾何意義．要特別重視數(shù)與點(diǎn)與向量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在研究的過(guò)程中要特別注意與實(shí)數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別．

補(bǔ)充作業(yè)

1．判斷下列命題的真假，并說(shuō)明理由：

2．已知|x+yi|=2，求表示復(fù)數(shù)x+yi的點(diǎn)的軌跡．

4．設(shè)z∈C，滿(mǎn)足下列條件的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？

（1）|z|=3；（2）|z|＜3；（3）3＜|z|≤5；（4）實(shí)部＞0，虛部＞0且|z|＜4．

作業(yè)答案或提示

1．①√；②×；③√；④×；⑤√；⑥×． 2．x2+y2=4．3．略．

4．（1）以原點(diǎn)為圓心，半徑為3的圓；

（2）以原點(diǎn)為圓心，半徑為3的圓面，不包括邊界；

（3）以原點(diǎn)為圓心，半徑為3和5的圓構(gòu)成的圓環(huán)內(nèi)部，包括外邊界；（4）以原點(diǎn)為圓心，半徑為4的圓在第一象限的部分，不包括邊界． 課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

本節(jié)課是一節(jié)內(nèi)容較為簡(jiǎn)單的概念課，但所涉及的知識(shí)內(nèi)容，非常重要，它是學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的重要一環(huán)．

本設(shè)計(jì)著重突出主體性教學(xué)的原則，盡量做到讓學(xué)生來(lái)發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)的幾何表示法，由實(shí)數(shù)自然地過(guò)渡到復(fù)數(shù)．本節(jié)課還將復(fù)數(shù)的點(diǎn)的表示與向量的表示集中在一節(jié)課處理，筆者認(rèn)為這樣有利于學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)幾何意義的整體把握． 在教學(xué)中還注意通過(guò)數(shù)學(xué)史的故事，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生的自信心，并自然地將思想教育滲透到教學(xué)中．

第二篇：復(fù)數(shù)·復(fù)數(shù)的乘法及其幾何意義

復(fù)數(shù)·復(fù)數(shù)的乘法及其幾何意義·教案

教學(xué)目標(biāo)

1．掌握用復(fù)數(shù)的三角形式進(jìn)行乘法運(yùn)算的法則及其推導(dǎo)過(guò)程． 2．掌握復(fù)數(shù)乘法的幾何意義．

3．讓學(xué)生領(lǐng)悟到“轉(zhuǎn)化”這一重要數(shù)學(xué)思想方法． 4．培養(yǎng)學(xué)生探索問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力． 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：復(fù)數(shù)的三角形式是本節(jié)內(nèi)容的出發(fā)點(diǎn)，復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算． 難點(diǎn)：復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的幾何意義，不易為學(xué)生掌握． 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

師：前面我們學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的三角形式，請(qǐng)大家用5分鐘的時(shí)間，完成以下兩道題的演算．（利用投影儀出示）

1．（1-2i）（2+i）（4+3i）；

想出算法后，請(qǐng)大家在筆記本上演算，允許同學(xué)之間交換意見(jiàn)．

（教師在教室里巡視，稍過(guò)幾分鐘，請(qǐng)一位已經(jīng)做完的同學(xué)在黑板上寫(xiě)出推導(dǎo)過(guò)程）學(xué)生板演：

z1·z2=r1（cosθ1+isinθ1）·r2（cosθ2+isinθ2）=（r1cosθ1+ir1sinθ1）·（r2cosθ2+ir2sinθ2）

=（r1r2cosθ1cosθ2-r1r2sinθ1sinθ2）+i（r1r2sinθ1cosθ2+r1r2cosθ1sinθ2）=r1r2[（cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）+i（sinθ1cosθ2+cosθ1sinθ2] =r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]． 師：很好，你是怎樣想出來(lái)的？為什么這樣想？

生：我們已經(jīng)學(xué)過(guò)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式運(yùn)算，因此把三角形式化為代數(shù)形式，按著代數(shù)形式的乘法運(yùn)算法則就可以完成運(yùn)算．根據(jù)數(shù)學(xué)求簡(jiǎn)的原則，運(yùn)用三角公式把結(jié)果化簡(jiǎn)． 在已知的基礎(chǔ)上發(fā)展和探索未知的東西，解題時(shí)，把未知轉(zhuǎn)化成已知，這是重要的思想方法．我是根據(jù)這個(gè)思想才想出來(lái)的．

師：觀察這個(gè)問(wèn)題的已知和結(jié)論，同學(xué)們能發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律嗎？

生：兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)模的積，積的復(fù)角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和． 師：利用這個(gè)結(jié)論，請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算：

這就是復(fù)數(shù)的三角形式乘法運(yùn)算公式．

三角形式是由模和輻角兩個(gè)量確定的，進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)要清楚模怎樣算？輻角怎樣算？ 使用復(fù)數(shù)的三角形式進(jìn)行運(yùn)算的條件是復(fù)數(shù)必須是三角形式的標(biāo)準(zhǔn)式，輻角不要求一定是主值．

同學(xué)們已經(jīng)了解，復(fù)數(shù)通過(guò)幾何表示，把復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)或從原點(diǎn)出發(fā)的向量建立起一一對(duì)應(yīng)后，復(fù)數(shù)不僅取得了實(shí)際的解釋?zhuān)掖_實(shí)逐步展示了它的廣泛應(yīng)用．我們已經(jīng)研究了復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義，并感覺(jué)到了它的用途，請(qǐng)大家討論一下，學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的三角形式運(yùn)算對(duì)復(fù)數(shù)乘法的幾何意義有什么啟發(fā)呢？

（同學(xué)分組討論，請(qǐng)小組代表發(fā)言．如果條件允許，在學(xué)生發(fā)言同時(shí)，用多媒體輔助教學(xué)，演示模伸縮情況，輻角終邊的旋轉(zhuǎn)）

生：復(fù)數(shù)的乘法對(duì)應(yīng)的向量，就是由對(duì)應(yīng)于被乘數(shù)所對(duì)應(yīng)的向量按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角θ2（θ2＞0，如果θ2＜0，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角|θ2|，再把其模變?yōu)樵瓉?lái)的r2倍（r2＞1，應(yīng)伸長(zhǎng)；0＜r2＜1，應(yīng)縮短；r2=1，模長(zhǎng)不變），所得的向量就表示積z1·z2．這是復(fù)數(shù)乘法的幾何意義．

師：解此題復(fù)數(shù)是否一定化成三角形式？

生：復(fù)數(shù)與從原點(diǎn)出發(fā)的向量建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，無(wú)論是代數(shù)形式還是三角形式都表示同一個(gè)復(fù)數(shù)和向量，運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)數(shù)，因此不一定化成三角形式，應(yīng)根據(jù)需要來(lái)選擇．

師：說(shuō)得好，請(qǐng)同學(xué)們寫(xiě)一下解題過(guò)程．（找一名同學(xué)到黑板板演）

解：所求的復(fù)數(shù)就是-1+i乘以一個(gè)復(fù)數(shù)z0的積，這個(gè)復(fù)數(shù)z0的模是1，輻角的主值是120°．所求的復(fù)數(shù)是：（-1+i）·1·（cos 120°+isin 120°）

師：為什么？

生丙：乘數(shù)sin30°+icos 30°不是復(fù)數(shù)三角形式的標(biāo)準(zhǔn)式，應(yīng)化為cos 60°＋isin 60°，這樣才能應(yīng)用復(fù)數(shù)乘法的幾何意義來(lái)解題．

師：同學(xué)們應(yīng)注意到旋轉(zhuǎn)的角度是輻角來(lái)確定的，而輻角的大小又是由復(fù)數(shù)的三角形式的標(biāo)準(zhǔn)式來(lái)確定．

同學(xué)們開(kāi)始討論解決：

生庚：復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義是在復(fù)平面內(nèi)實(shí)施的，因此要建立直角坐標(biāo)系． 師：你分析得正確，如圖8－13，建立坐標(biāo)系．取正方形的邊長(zhǎng)為單位長(zhǎng)1．

生辛：∠B1Ox=∠1，∠B2Ox=∠2，∠B3Ox=∠3，這樣，∠1+∠2+∠3=∠B1Ox+∠B2Ox+∠B3Ox．而∠B1Ox，∠B2Ox，∠B3Ox可以分別看作B1，B2，B3三個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的輻角主值，下面應(yīng)考慮B1，B2，B3對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)是什么？

按著老師規(guī)定的單位長(zhǎng)，B1，B2，B3三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1＋i，2＋i，3＋i． 師：好，你先談到這里，如果單位長(zhǎng)度有新的規(guī)定，例如邊長(zhǎng)為2，則三點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)分別為2＋2i，4＋2i，6＋2i，并未影響復(fù)數(shù)的輻角主值的大小，不過(guò)計(jì)算要繁一些．同學(xué)們繼續(xù)討論．

生壬：2＋i，3＋i的輻角主值都不是特殊角，只能查表求近似值再相加，誤差較大．根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，積的輻角等于兩個(gè)乘數(shù)輻角之和，可以先作乘法，看乘積是什么？假若其輻角主值也不是特殊角，但只取一次近似值． 師：你分析得很好，請(qǐng)你計(jì)算一下：

師：今天這節(jié)課，從知識(shí)上要掌握用復(fù)數(shù)的三角形式進(jìn)行乘法運(yùn)算的法則和乘法的幾何意義及其推導(dǎo)過(guò)程．從思考方法上要善于從未知與已知、數(shù)與形以及復(fù)數(shù)的各種形式互相轉(zhuǎn)換角度上考慮問(wèn)題．現(xiàn)在布置作業(yè)：

第三篇：復(fù)數(shù)·復(fù)數(shù)的減法及其幾何意義

復(fù)數(shù)·復(fù)數(shù)的減法及其幾何意義·教案

教學(xué)目標(biāo)

1．理解并掌握復(fù)數(shù)減法法則和它的幾何意義．

2．滲透轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想和方法，提高分析、解決問(wèn)題能力． 3．培養(yǎng)學(xué)生良好思維品質(zhì)（思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，深刻性，靈活性等）． 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn) 重點(diǎn)：復(fù)數(shù)減法法則．

難點(diǎn)：對(duì)復(fù)數(shù)減法幾何意義理解和應(yīng)用． 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）引入新課

師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)加法法則及其幾何意義，今天我們研究的課題是復(fù)數(shù)減法及其幾何意義．

（板書(shū)課題：復(fù)數(shù)減法及其幾何意義）

（二）復(fù)數(shù)減法

師：首先規(guī)定，復(fù)數(shù)減法是加法逆運(yùn)算，那么復(fù)數(shù)減法法則為（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i，（板書(shū)）1．復(fù)數(shù)減法法則

（1）規(guī)定：復(fù)數(shù)減法是加法逆運(yùn)算；

（2）法則：（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i（a，b，c，d∈R）． 如何推導(dǎo)這個(gè)法則呢？

生：把（a+bi）-（c+di）看成（a+bi）+（-1）（c+di）．（學(xué)生口述，教師板書(shū)）

（a+bi）-（c+di）=（a+bi）+（-1）（c+di）=（a+bi）+（-c-di）=（a-c）+（b-d）i． 師：說(shuō)一下這樣推導(dǎo)的想法和依據(jù)是什么？

生：把減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，利用乘法分配律和復(fù)數(shù)加法法則．

師：轉(zhuǎn)化的想法很好．但復(fù)數(shù)和乘法分配律在這里作為依據(jù)不合適，因?yàn)閺?fù)數(shù)乘法還沒(méi)有學(xué)，邏輯上出現(xiàn)一些問(wèn)題． 生：我覺(jué)得可以利用復(fù)數(shù)減法是加法逆運(yùn)算的規(guī)定來(lái)推導(dǎo)．（學(xué)生口述，教師板書(shū)）

推導(dǎo)：設(shè)（a+bi）-（c+di）=x+yi（x，y∈R）．即復(fù)數(shù)x+yi為復(fù)數(shù)a+bi減去復(fù)數(shù)c+di的差．由規(guī)定，得（x+yi）+（c+di）=a+bi，依據(jù)加法法則，得（x+c）+（y+d）i=a+bi，依據(jù)復(fù)數(shù)相等定義，得

故（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i． 師：這樣推導(dǎo)每一步都有合理依據(jù)．

我們得到了復(fù)數(shù)減法法則，那么兩個(gè)復(fù)數(shù)的差是什么數(shù)？ 生：仍是復(fù)數(shù)．

師：兩個(gè)復(fù)數(shù)相減所得差的結(jié)果會(huì)不會(huì)是不同的復(fù)數(shù)？ 生：不會(huì)． 師：這說(shuō)明什么？

生：兩個(gè)復(fù)數(shù)的差是唯一確定的復(fù)數(shù)．

師：復(fù)數(shù)的加（減）法與多項(xiàng)式加（減）法是類(lèi)似的．就是把復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部，虛部與虛部分別相加（減），即（a+bi）±（c+di）=（a±c）+（b±d）i．

（三）復(fù)數(shù)減法幾何意義

師：我們有了做復(fù)數(shù)減法的依據(jù)——復(fù)數(shù)減法法則，那么復(fù)數(shù)減法的幾何意義是什么？（板書(shū)：2．復(fù)數(shù)減法幾何意義）生：用向量表示兩個(gè)做減法的復(fù)數(shù)．（學(xué)生口述，教師板書(shū)）設(shè)z=a+bi（a，b∈R），z1=c+di（c，d∈R），對(duì)應(yīng)向量分別

師：我們應(yīng)該如何認(rèn)識(shí)這個(gè)方程？（學(xué)生困惑，教師引導(dǎo)）

師：我們先看方程左式，右式分別表示什么？

生：方程左式可以看成|z-（1+i）|，是復(fù)數(shù)Z與復(fù)數(shù)1+i差的模． 師：有什么幾何意義嗎？

生：是動(dòng)點(diǎn)Z與定點(diǎn)（1，1）間的距離．（學(xué)生活躍起來(lái)，紛紛舉手回答）

生：方程右式也可以寫(xiě)成|z-（-2-i）|，是復(fù)數(shù)z與復(fù)數(shù)-2-i差的模，也就是動(dòng)點(diǎn)Z與定點(diǎn)（-2，-1）間距離．這個(gè)方程表示的是到兩點(diǎn)（+1，1），（-2，-1）距離相等的點(diǎn)的軌跡方程，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)軌跡是以點(diǎn)（+1，1），（-2，-1）為端點(diǎn)的線段的垂直平分線．（2）|z+i|+|z-i|=4；（學(xué)生議論后，舉手回答）

生：方程可以看成|z-（-i）|+|z-i|=4，表示的是到兩個(gè)定點(diǎn)（0，-1）和（0，1）距離和等于4的動(dòng)點(diǎn)軌跡．

師：這個(gè)動(dòng)點(diǎn)軌跡是什么曲線呢？（學(xué)生稍有遲疑，有些同學(xué)小聲議論）生：是橢圓吧．

師：似乎回答的不夠肯定，不妨回憶一下橢圓的定義．

（學(xué)生在教師的提示下一起回答）生：在平面內(nèi)，與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫橢圓． 師：滿(mǎn)足這個(gè)方程的動(dòng)點(diǎn)軌跡是不是橢圓呢？

生：是．因?yàn)辄c(diǎn)Z到兩個(gè)定點(diǎn)的距離和是常數(shù)4，并且大于兩點(diǎn)（0，-1），（0，1）間的距離2，所以滿(mǎn)足方程的動(dòng)點(diǎn)軌跡是橢圓．（3）|z+2|-|z-2|=1．（3）|z+2|-|z-2|=1．（學(xué)生議論后，舉手回答）

生：這個(gè)方程可以寫(xiě)成|z-（-2）|-|z-2|=1，所以表示到兩個(gè)定點(diǎn)（-2，0），（2，0）距離差等于1的點(diǎn)的軌跡，這個(gè)軌跡是雙曲線． 師：說(shuō)的再準(zhǔn)確些． 生：是雙曲線右支．

師：很好．由z1-z2幾何意義，將z1-z2取模得到復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式d=|z1-z2|，由此得到線段垂直平分線，橢圓、雙曲線等復(fù)數(shù)方程．使有些曲線方程形式變得更為簡(jiǎn)捷．且反映曲線的本質(zhì)特征．

例4 設(shè)動(dòng)點(diǎn)Z與復(fù)數(shù)z=x+yi對(duì)應(yīng)，定點(diǎn)P與復(fù)數(shù)p=a+bi對(duì)應(yīng)．求（1）復(fù)平面內(nèi)圓的方程；（學(xué)生口述，教師板書(shū)）

解：復(fù)平面內(nèi)滿(mǎn)足不等式|z-p|＜r（r∈R+）的點(diǎn)的集合是以P為圓心，r為半徑的圓面部分（不包括周界）．

師：利用復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式，可以用復(fù)數(shù)解決解析幾何中某些曲線方程．不等式等問(wèn)題．

（五）小結(jié)

師：我們通過(guò)推導(dǎo)得到復(fù)數(shù)減法法則，并進(jìn)一步得到了復(fù)數(shù)減法幾何意義，應(yīng)用復(fù)數(shù)減法幾何意義和復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式，可以用復(fù)數(shù)研究解析幾何問(wèn)題，不等式以及最值問(wèn)題．

（六）布置作業(yè)P193習(xí)題二十七：2，3，8，9． 課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

1．復(fù)數(shù)加法法則是規(guī)定的，而復(fù)數(shù)減法法則需要推導(dǎo)．推導(dǎo)過(guò)程要求每一步都要有合理依據(jù)，滲透轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)思維品質(zhì)．復(fù)數(shù)減法幾何意義是教學(xué)難點(diǎn)，主要由于學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)及其幾何表示還不很熟悉，在復(fù)數(shù)加法幾何意義學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生自己得到復(fù)數(shù)減法幾何意義，有利于學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)幾何意義以及復(fù)數(shù)減法幾何意義理解． 2．對(duì)復(fù)數(shù)減法幾何意義應(yīng)分三個(gè)層次．

例1主要訓(xùn)練學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)減法幾何意義應(yīng)用，并通過(guò)此例題使學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)減法幾何意義有具體認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步使學(xué)生理解向量與向量終點(diǎn)表示復(fù)數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系，并體會(huì)兩個(gè)相等向量表示兩個(gè)復(fù)數(shù)差的各自方便之處．

例2是對(duì)復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式的推導(dǎo)，這既是對(duì)復(fù)數(shù)減法幾何意義再次應(yīng)用，同時(shí)也為對(duì)復(fù)數(shù)方程的認(rèn)識(shí)打下基礎(chǔ)．

例3和例4是在例2公式基礎(chǔ)上將復(fù)數(shù)幾何意義應(yīng)用推廣到用復(fù)數(shù)研究解析幾何某些曲線、不等式等問(wèn)題，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)復(fù)數(shù)減法幾何意義的重要性．

第四篇：復(fù)數(shù) 復(fù)數(shù)與方程 教案

復(fù)數(shù)·復(fù)數(shù)與方程·教案

教學(xué)目標(biāo)

1．掌握在復(fù)數(shù)集內(nèi)解一元二次方程的方法；使學(xué)生掌握含有未知數(shù) 的解法．

2．教學(xué)過(guò)程中，滲透數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想及方程的思想，提高學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解題的能力；培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S．

3．通過(guò)對(duì)實(shí)系數(shù)一元二次方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)求解和在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)求解的比較，認(rèn)識(shí)到任何事物都是相對(duì)的，而不是絕對(duì)的這一辯證唯物主義的觀點(diǎn)．

教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

個(gè)復(fù)數(shù)相等的充分必要條件的運(yùn)用． 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

師：方程x2+1=0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有沒(méi)有解，解集是什么？ 生：因?yàn)?1=i2，則原方程化為x2-i2=0，即（x+i）（x-i）=0．所以原方程解集為{i，-i}． 師：對(duì)．那么方程ax2＋bx＋c=0（a，b，c是實(shí)數(shù)）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解集是什么？ 生1：當(dāng)Δ=b2-4ac＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，解集為

師：方程x2＋1=0中，Δ=-4＜0，上述結(jié)論對(duì)嗎？

生3：無(wú)意義．此時(shí)方程的解集為

師：對(duì)．實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c=0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解的情況為：當(dāng)Δ≥0時(shí)有實(shí)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，有一對(duì)共軛的虛根．

例1 若關(guān)于x的方程x2+5x+m=0的兩個(gè)虛數(shù)根x1，x2滿(mǎn)足|x1-x2|=3，求實(shí)數(shù)m的值．

生2：因?yàn)閨x1-x2|=3，|（x1-x2）2|=9；則|（x1＋x2）2-4x1x2|=9，即|25-4m|=9．

例2 已知實(shí)系數(shù)一元二次方程2x2＋rx＋s=0的一個(gè)根為2i-3，求r，s的值． 生：2x2＋rx＋s=0一根為2i-3，另一根為-3-2i．由韋達(dá)定理知： s=（2i-3）（-2i-3）=9＋16=25，r=2i-3+（-2i-3）=-6．

師：我們上面解決了實(shí)系數(shù)一元二次方程求解問(wèn)題．對(duì)于至少有一個(gè)系數(shù)是虛數(shù)的一元二次方程應(yīng)該如何解？

例3 求方程x2-2ix-5=0的解．

生1：將方程左端配方，得（x-i）2-4=0，即（x-i）2=4．解得x-i=±2，即x1=2+i，x2=-2+i．

師：通過(guò)這個(gè)例子大家想一想對(duì)于方程ax2＋bx＋c=0（a≠0，a，b，c至少有一個(gè)虛數(shù)）解是什么？ 生1：對(duì)原方程左端配方，得

師：b2-4ac一定是解負(fù)實(shí)數(shù)嗎？

生2：不一定．a(chǎn)，b，c中至少有一個(gè)是虛數(shù)，所以b2-4ac∈C． 師：那么這個(gè)方程的解應(yīng)該怎樣表示．

生3：先求b2-4ac的平方根．設(shè)b2-4ac的平方根為z1，z2∈C．那么

師：對(duì)．一元二次方程的求根公式此時(shí)仍然適用．再提一個(gè)問(wèn)題，當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，方程的解都是實(shí)數(shù)嗎？ 生1：是．

師：請(qǐng)問(wèn)由此得出怎樣的結(jié)論．

生3：當(dāng)一元二次方程的系數(shù)中至少有一個(gè)虛數(shù)時(shí)，求根公式仍然適用，但判別式不再適用． 師：還有嗎？

生4：韋達(dá)定理仍然適用． 師：系數(shù)不全為實(shí)數(shù)的一元二次方程中，判別式不再適用，說(shuō)明“世界上的任何事物都是相對(duì)的而不是絕對(duì)的”這一辯證唯物主義觀點(diǎn)．求解系數(shù)不全為實(shí)數(shù)的一元二次方程的步驟：

（1）求出Δ=b2-4ac的平方根z1，z2；

練習(xí)解方程：x2＋（1＋i）x＋5i=0． 生：Δ=[-（1＋i）]2-4×5i=-18i，因?yàn)?18i=（3-3i）2，則-18i的平方根為3-3i，-3＋3i． 所以 x1=1-2i，x2=2＋i為原方程解． 例4 解方程|z|+2z=2+4i．

師：解這個(gè)方程能用求根公式嗎？

生1：不可以．此方程不是一元二次方程． 師：這類(lèi)方程如何解呢？ 生：……

師：觀察方程等號(hào)左端和左端．左端是一個(gè)虛數(shù)，實(shí)部、虛部都是已知的，右端是復(fù)數(shù)．兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件是什么？

生2：兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件是：實(shí)部與實(shí)部相等，虛部與虛部相等． 師：這個(gè)方程左端能分離實(shí)部虛部嗎？

師：怎樣求z？

生4：求出a，b即可．

眾生：不對(duì)！師：為什么？

師：含有|z|的復(fù)數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為無(wú)理方程組時(shí)，所求出方程組的解一定要代回原方程組驗(yàn)根． 例5 方程x2+（m+2i）x+2+mi=0至少有一實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的值和這方程的解． 生1：方程有實(shí)根，判別式Δ≥0，從而解出m．

生2：這是一個(gè)系數(shù)不全為實(shí)數(shù)的一元二次方程，根的判別式已不再適用． 師：對(duì)．那么方程有實(shí)根這一條件應(yīng)如何用呢？ 生：……

師：設(shè)實(shí)根為x0，想到什么呢？ 生：分離復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部．

綜上所述：

生1：設(shè)x=a＋bi．原方程轉(zhuǎn)化為： a2＋b2＋2a＋2bi=4＋2i．

所以 原方程的解為：x1=-3＋i或x2=1-i． 師：這位同學(xué)解題過(guò)程有問(wèn)題嗎？ 生2：設(shè)x=a＋bi（a，b∈R）．沒(méi)有“a，b∈R”這一條件，上面的解法就無(wú)依據(jù)了． 師：我們一定要注意思維的嚴(yán)謹(jǐn)性．

師：形如anxn＋a0=0（a0，an∈C且an≠0，n∈N+，n≥3）的方程叫做二項(xiàng)方程．任何一個(gè)二項(xiàng)高次方程都可以化成xn=a（a∈C）的形式．因此都可以通過(guò)復(fù)數(shù)開(kāi)方求根，在復(fù)數(shù)集內(nèi)有且僅有n個(gè)復(fù)數(shù)根．

例6 在復(fù)數(shù)集內(nèi)解方程： x4＋x2＋x2＋x＋1=0．

師：這個(gè)方程與二項(xiàng)方程有關(guān)系嗎？

生：方程左端是等比數(shù)列．由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式得到x4＋x3＋

師：現(xiàn)在把原方程的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為x5=1的求解問(wèn)題，這就是數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化的思想．把未知問(wèn)題向已知問(wèn)題轉(zhuǎn)化，從而使未知問(wèn)題得到解決．

師：這個(gè)方程能轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)方程嗎？ 生：……

師：|z|能計(jì)算出來(lái)嗎？

生：由z5=|z|2，知|z|=0或|z|=1． 當(dāng)|z|=0時(shí)，z4=z．解為z=0．

師：這節(jié)課我們研究了幾類(lèi)方程的解法？

生：這節(jié)課是研究在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程．主要類(lèi)型有：（1）實(shí)系數(shù)一元二次方程；（2）系數(shù)不全為實(shí)數(shù)的一元二次方程；（3）含有|z|，師：解這幾類(lèi)方程應(yīng)注意些什么？

生1：對(duì)于實(shí)系數(shù)一元二次方程：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)相異的實(shí)根；當(dāng)Δ=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程有兩個(gè)共

生2：對(duì)于系數(shù)不全為實(shí)數(shù)的一元二次方程，根的判別式不再適用，但求根公式，韋達(dá)定理仍然適用．在使用求根公式時(shí)，需先計(jì)算出Δ=b2-4ac的平方根．

法，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，轉(zhuǎn)化為方程組，從而求出z．特別注意，在解無(wú)理方程時(shí)，一定要驗(yàn)根．另外，若方程有實(shí)根時(shí)，解決問(wèn)題的方法類(lèi)似．

生4：對(duì)于高次方程的解法，通常要轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)方程．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程時(shí)，n次方程一定有n個(gè)根． 師：這節(jié)課通過(guò)復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的求解過(guò)程，我們要進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的思想、方程的思想的運(yùn)用． 作業(yè)

1．P214：2，4；P217：16（1），（3），（5）；P218：20（2），（4）． 2．補(bǔ)充題：

（2）解方程：x2-4ix+5=0；

（3）已知方程x2+mx+1+2i=0（m∈C）有實(shí)根，求|m|的最小值． 補(bǔ)充題答案

（1）設(shè)z=a＋bi，a，b∈R．a(chǎn)2+b2-3ai-3b=1+3i，則

（2）Δ=（-4i）2-4×5=-16-20=-36．-36的平方根為6i，-6i．

課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

法．為了保持本教案的完整性將可化為二項(xiàng)方程的高次方程的解法也列入本教案，教學(xué)中可根據(jù)情況酌情處理．

本教案中學(xué)生答錯(cuò)的地方，帶有一定的普遍性，應(yīng)給予足夠的重視．

本教案特別強(qiáng)調(diào)展示學(xué)生的思維過(guò)程，在教師的逐步引導(dǎo)下，誘導(dǎo)學(xué)生得出正確的結(jié)論，使學(xué)生有水到渠成的感覺(jué)．

第五篇：復(fù)數(shù)教案

2014年10月16日教案

教學(xué)課程

復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

教學(xué)目標(biāo)

（1）掌握復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，如虛數(shù)、純虛數(shù)、復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部、兩復(fù)數(shù)相等、復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸、共軛復(fù)數(shù)、共軛虛數(shù)的概念。

（2）正確對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行分類(lèi)，掌握數(shù)集之間的從屬關(guān)系；

（3）理解復(fù)數(shù)的幾何意義，初步掌握復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)所成的集合之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

（4）培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，訓(xùn)練學(xué)生條理的邏輯思維能力．

教學(xué)內(nèi)容

1、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，由x^2+1=0，引進(jìn)概念虛數(shù) 正確地對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行分類(lèi)，弄清數(shù)集之間的關(guān)系

2、分類(lèi)要求不重復(fù)、不遺漏，同一級(jí)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一。根據(jù)上述原則，復(fù)數(shù)集的分類(lèi)如下。

3、復(fù)數(shù)相等的充要條件，對(duì)于復(fù)數(shù) 數(shù) 時(shí)，一定有，實(shí)部是，虛部是 ．注意在說(shuō)復(fù)，否則，不能說(shuō)實(shí)部是，虛部是 ,復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部都是實(shí)數(shù)。用復(fù)數(shù)相等的條件要注意：

①化為復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式

②實(shí)部、虛部中的字母為實(shí)數(shù)，即

4、復(fù)數(shù)的幾何表示，①任何一個(gè)復(fù)數(shù) 都可以由一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)()唯一確定．這就是說(shuō)，復(fù)數(shù)的實(shí)質(zhì)是有序?qū)崝?shù)對(duì)．一些書(shū)上就是把實(shí)數(shù)對(duì)（）叫做復(fù)數(shù)的．

②復(fù)數(shù) 而不是(用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z()表示．復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z的坐標(biāo)是()，)，也就是說(shuō)，復(fù)平面內(nèi)的縱坐標(biāo)軸上的單位長(zhǎng)度是1，而不是 ．由于 =0＋1·，所以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)(0，1)表示 時(shí)，這點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是1，等于縱軸上的單位長(zhǎng)度．這就是說(shuō)，當(dāng)我們把縱軸上的點(diǎn)(0，1)標(biāo)上虛數(shù) 時(shí)，不能以為這一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離就是虛數(shù)單位，或者 就是縱軸的單位長(zhǎng)度．

③當(dāng)

(時(shí)，對(duì)任何，時(shí)，是純虛數(shù)，所以縱軸上的點(diǎn)())都是表示純虛數(shù)．但當(dāng) 是實(shí)數(shù)．所以，縱軸去掉原點(diǎn)后稱(chēng)為虛軸．

復(fù)數(shù)z=a＋bi中的z，書(shū)寫(xiě)時(shí)小寫(xiě)，復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z(a，b)中的Z，書(shū)寫(xiě)時(shí)大寫(xiě)．

由此可見(jiàn)，復(fù)平面(也叫高斯平面)與一般的坐標(biāo)平面(也叫笛卡兒平面)的區(qū)別就是復(fù)平面的虛軸不包括原點(diǎn)，而一般坐標(biāo)平面的原點(diǎn)是橫、縱坐標(biāo)軸的公共點(diǎn)．

5、共軛復(fù)數(shù)的概念．要學(xué)生注意可以提一下當(dāng)

于實(shí)軸本身對(duì)稱(chēng)，例如：5和－5也是互為共軛復(fù)數(shù)．當(dāng) 軛虛數(shù)．可見(jiàn)，共軛虛數(shù)是共軛復(fù)數(shù)的特殊情行． 隨即寫(xiě)幾個(gè)例子

時(shí)的特殊情況，即實(shí)軸上的點(diǎn)關(guān)

時(shí)，與

互為共

6、“兩個(gè)復(fù)數(shù)，如果不全是實(shí)數(shù)，就不能比較它們的大小”，要注意： 根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等地定義，可知在 兩式中，只要有一個(gè)不成立，那么

．兩個(gè)復(fù)數(shù)，如果不全是實(shí)數(shù)，只有相等與不等關(guān)系，而不能比較它們的大?。?/p>

命題中的“不能比較它們的大小”的確切含義是指：“不論怎樣定義兩個(gè)復(fù)數(shù)間的一個(gè)關(guān)系‘<’，都不能使這關(guān)系同時(shí)滿(mǎn)足實(shí)數(shù)集中大小關(guān)系地四條性質(zhì)”：

(i)對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b來(lái)說(shuō)，a＜b，a=b，b＜a這三種情形有且僅有一種成立；

(ii)如果a＜b，b＜c，那么a＜c；

(iii)如果a＜b，那么a＋c＜b＋c；

(iv)如果a＜b，c＞0，那么ac＜bc．(不必向?qū)W生講解)

教學(xué)重難點(diǎn)

1．要注意知識(shí)的連續(xù)性：復(fù)數(shù)因而注意與平面解析幾何的聯(lián)系．

2．注意數(shù)形結(jié)合的數(shù)形思想：由于復(fù)數(shù)集與復(fù)平面上的點(diǎn)的集合建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以用“形”來(lái)解決“數(shù)”就成為可能，在本節(jié)要注意復(fù)數(shù)的幾何意義的講解，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．

是二維數(shù)，其幾何意義是一個(gè)點(diǎn)，3．注意分層次的教學(xué)：教材中最后對(duì)于“兩個(gè)復(fù)數(shù)，如果不全是實(shí)數(shù)就不能本節(jié)它們的大小”沒(méi)有證明，如果有學(xué)生提出來(lái)了，在課堂上不要給全體學(xué)生證明，可以在課下給學(xué)有余力的學(xué)生進(jìn)行解答．