第一篇：幾類不同增長的函數(shù)模型的教學設計與反思

“幾類不同增長的函數(shù)模型”的教學設計與反思

臺州市第一中學

蔣

茵

一、教學內(nèi)容與內(nèi)容解析

幾類不同增長的函數(shù)模型是必修1第三章“函數(shù)的應用”的重要內(nèi)容.它比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)間的增長差異,并結合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義.對于函數(shù)增長的比較分為三個層次：（1）以實例為載體讓學生切實感受不同函數(shù)模型的增長差異；（2）采用圖、表兩種方法比較三個函數(shù)（y?x2,y?2x,y?log2x）的增長差異；（3）將結論推廣到一般的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)間的增長差異.其中（1）為第一課時的內(nèi)容,（2）、（3）為第二課時的內(nèi)容.學生在本節(jié)內(nèi)容學習之前,已經(jīng)有了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的相關知識,在這里進一步研究幾類不同增長的函數(shù)模型的增長差異有著承上啟下的作用.讓學生在應用函數(shù)模型的過程中,體驗到指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)模型在描述客觀世界變化規(guī)律時各自的特點與差異,同時將感受到的這種差異應用在后續(xù)的函數(shù)模型實例中.二、教學目標與目標解析 1．教學目標：

（1）借助信息技術,利用函數(shù)圖像及數(shù)據(jù)表格,比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)間的增長差異.（2）結合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義.（3）恰當運用函數(shù)的三種表示法（解析式、圖象、表格）,并借助信息技術解決一些實際問題.（4）在實際問題解決過程中,體會數(shù)學的作用與價值,形成分析問題、解決問題的能力.2.教學目標解析：

目標（1）、（2）是教學的重點,落實好目標（1）、（2）是實現(xiàn)教學目標（3）、（4）的前提與保證.落實目標（1）、（2）的過程中可以創(chuàng)設問題情景,并通過層層遞進的問題串,讓學生在不斷觀察、思考和探究的過程中,弄清幾個函數(shù)間的增長差異,并培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力,實現(xiàn)目標（4）.目標（3）要求“恰當運用”對于學生初學時是不易達到的目標,教學時通過學生自主探究,相互交流,教師適時提問引導,合作完成.另外利用信息技術工具,就可以在不同的范圍觀察到指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長差異．還使學生接觸到更多的數(shù)學知識和思想方法.三、教學問題診斷分析

診斷１:本課中,學生對指數(shù)爆炸的認識缺乏一定的基礎,本課先讓學生利用表格讀表,并在分析表格的過程中發(fā)現(xiàn)要分析增加量,通過數(shù)據(jù)對指數(shù)爆炸有了一種感性認識,再結合圖像分析,從感性認識上升到理性認識,實現(xiàn)自我完善.診斷２：在公司獎勵模型問題的解決過程中,教材中對判斷模型二y?log7x?1是否滿足約束條件log7x?1?0.25x是采用了“構造函數(shù)的思想方法”,我認為就高一年級學生而言,這種處理方法在理解上會有困難,所以宜采用兩種方法進行求解：方法一,利用數(shù)形結合,學生能很直觀地感受y?0.25x在圖像y?log7x?1的上方；有此基礎后,再講解方法二,即“構造函數(shù)的思想方法”,通過板書詳細分析這一過程,幫助學生對“構造函數(shù)的思想方法”留下一個美好又深刻的第一印象.診斷３:本節(jié)課教學的內(nèi)容為教材中的例１、例２,為了激發(fā)學生的學習興趣,并保障課堂的連續(xù)性,設計了“大學生自主創(chuàng)業(yè)情境”、“公司獎勵情境”,可將例題的題意較好地表達出來,并符合學生的認知規(guī)律.診斷４:學生在學習時,可能會因更多地關注解決數(shù)學計算問題而忽略數(shù)學思想的提煉,這個教學問題的解決,需要教師有目的地進行引導.四、教學支持條件

１.在進行幾類不同增長的函數(shù)模型的教學時,學生已經(jīng)學習了函數(shù)概念、表示法及性質,指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的相關知識,這些內(nèi)容是學生分析不同函數(shù)增長差異的重要條件,因此教學時應予以充分注意,引導學生多進行歸納與概括.２．為了能很好地幫助學生理解、反思學習內(nèi)容,體會新學知識的要點,教學中需要用函數(shù)表格、圖象來幫助學生理解分析問題,所以ppt和幾何畫板是重要的支持條件.教學時充分注意這一條件,不僅可以加強幾何直觀,節(jié)省大量時間用于學生思考,而且可以對實際問題中的數(shù)據(jù)不加“修飾”地進行分析．

五、教學設計過程： 1.創(chuàng)設情景 引入課題

[問題1] 在日常生活中,增長的話題比比皆是,而我們學過的函數(shù)中有沒有呈增長態(tài)勢發(fā)展的呢？如果都是增長型函數(shù),那么它們增長的態(tài)勢是否都一樣呢？

設計意圖：通過提問比較自然地引導學生給出一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù),同時開門見山,直擊主題“增長”,自然引出課題.師生活動：教師提問,學生回答,相互補充,教師點評并板書課題：幾類不同增長的函數(shù)模型.2.組織引導 合作探究

同學們,現(xiàn)在越來越多的大學生畢業(yè)以后選擇了自主創(chuàng)業(yè),將來你們中的一些也可能會辦公司,做老板.現(xiàn)在給大家一個模擬的投資情境.案例 假設你有一筆資金用于投資,現(xiàn)有三種投資方案供你選擇,這三種方案的回報如下： 方案一：每天回報40元；

方案二：第一天回報10元,以后每天比前一天多回報10元； 方案三：第一天回報0.4元,以后每天的回報比前一天翻一番． 請問,你會選擇哪種投資方案？

[問題2] 你會選擇哪種投資方案？選擇投資方案的依據(jù)是什么？請用數(shù)學語言呈現(xiàn)你的理由.設計意圖：提此問題讓學生先選擇好解題的依據(jù),是每天回報量還是累計回報量？還讓學生找出問題中的數(shù)量關系,也就是函數(shù)關系.師生活動：

(1)教師提問,通過學生討論,具體計算后讓學生說說自己會選擇哪種投資方案？選擇投資方案的依據(jù)是什么？用怎樣的方式表達數(shù)量關系? 學生1：選擇累計回報量,用函數(shù)解析式表達數(shù)量關系； 學生2：選擇累計回報量,直接用函數(shù)圖像表達數(shù)量關系； 學生3：選擇每天回報量,先寫出函數(shù)解析式再用列表的方式表達.(2)教師針對學生的回答,點評指出：選擇投資方案的依據(jù)是累計回報量,但為了看累計回報量,可以先看每天回報量；另外,用解析式、表格及圖像三種方式表達數(shù)量關系均可,但表達的同時有所區(qū)別：解析式較抽象,圖表較直觀.(3)教師引導,學生參與并利用計算器得出：1.函數(shù)解析式；2.每天回報表；3.結論

表１ [問題３] 每天回報表（表１）中“?”部分仍是方案三最大嗎？

設計意圖：開始切入主題,通過引導使學生體會到表格中每一列數(shù)據(jù)增長的速度是不同的,從而使學生關注增加量,列出增加量,引出表２,同時也為累計回報量與每天回報量之間的關系埋下伏筆,進而培養(yǎng)學生分析解決數(shù)學問題的能力.師生活動：

3(1)學生思考并回答:我發(fā)現(xiàn)到第９天的時候,方案三最多,那么只要方案三數(shù)據(jù)的增長最快或者說增加量最多,即可解決這一問題.(2)教師適時給出表２,師生共同補充完整表格,讓學生初步體會各種函數(shù)增長的差異.表２

[問題４] 你能根據(jù)表２中增加量的數(shù)據(jù),概括出這幾種常見函數(shù)的增長特點嗎? 設計意圖：進一步引導學生關注增加量,感受增長差異,尤其是對“指數(shù)爆炸”含義的理解；在與學生交流和解決問題的過程中,使學生體會函數(shù)列表法的優(yōu)點.師生活動：學生回答,教師加以完善.幾種常見函數(shù)的增長特點：常數(shù)函數(shù)沒有增長,一次函數(shù)勻速增長,指數(shù)函數(shù)爆炸增長.[問題５] 通過表格比較了每天回報量的大小,得出相應結論,但這一案例解決完整了嗎? 設計意圖：雖然本節(jié)課的主題是研究“增長”,但必須要回歸問題本身,選擇一個最佳的投資方案.師生活動：教師利用幻燈片快 速給出累計回報表(表３),學生根據(jù)表3得出相應結論.表３

[問題６] 通過列表法己經(jīng)得出案例的結論及對常見函數(shù)增長特點的初步體會,能否通過圖像法來進一步認識？請大家畫出這三個函數(shù)的圖像？并根據(jù)圖像說明結論與增長特點？

設計意圖：本節(jié)課的主要教學任務就是要體會幾類不同函數(shù)的增長差異.讓學生自己去概括總結出從圖像上直觀體會到的增長特點是本節(jié)課的一個重要環(huán)節(jié),也作為一種完整的小結.與此同時,培養(yǎng) 4 學生良好的畫圖習慣,遵循列表、描點、連線畫圖三步驟,以及對函數(shù)定義域的關注,從中還能體會到數(shù)形結合思想是數(shù)學解題的一個重要的思想方法.師生活動:(1)學生畫圖,教師糾錯得出（圖1）: 1.函數(shù)圖像為什么是孤立點？（定義域為N）

2.為什么用光滑的虛線連接？（方便看增長趨勢）(2)教師用多媒體動畫演示連接孤立的點.學生１通過圖像得出案例結論: 學生２通過圖像用不同的語言概括增長特點: 常數(shù)函數(shù)保持不變,一次函數(shù)直線上升,指數(shù)函數(shù)指數(shù)爆炸.過渡語:現(xiàn)在你已經(jīng)建好了公司,公司尋求回報,你的員工也要尋求回報.為了激勵員工,你需要對他們實行獎勵,你制定了這樣一個公司獎勵模型.公司獎勵模型問題: 圖1 你的公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標,準備制定一個激勵銷售部門的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時,按銷售利潤進行獎勵,且獎金y（單位：萬元）隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加,但獎金不超過5萬元,同時獎金不超過利潤的25%．現(xiàn)有三個獎勵模型：y?0.25x

*y?log7x?1 y?1.002x．其中哪個模型能符合公司的要求？

[問題７] 大家認真審題,能否用數(shù)學符號語言將公司的要求（或條件）描述出來? 設計意圖：解決實際問題的第一步就是審題,并將之數(shù)學化.在此更進一步培養(yǎng)學生解決實際問題的能力.師生活動：個別學生回答,教師在黑板上列出：條件1：x?[10,1000]；條件2：y?5；條件3：y?0.25；條件４：增函數(shù).x[問題８] 我們可以如何驗證y?5? 設計意圖：引導學生如何利用題目條件,從數(shù)和形兩方面解決數(shù)學問題,既鞏固應用前面學到的數(shù)學方法,又為下面問題的解決提供方向.師生活動：學生思考并個別回答：

學生１：根據(jù)條件４：增函數(shù),只需驗證當x?1000時, y?5即可,通過計算發(fā)現(xiàn)：y?0.25x、y?1.002x都不符, y?log7x?1符合.學生２：通過圖像直觀觀察得出.[問題９] 如何驗證log7x?1?0.25x? 設計意圖：在log7x?1?0.25x的驗證過程中,始終不脫離本課主題,回歸到函數(shù)的“增長特征”上去,并充分體現(xiàn)數(shù)形結合、構造函數(shù)的思想方法.5 師生活動: 學生思考并個別回答,教師適時提問：

(1)學生１:將圖像放大后觀察函數(shù)y?log7x?1與y?0.25x的圖像,發(fā)現(xiàn)在x?[10,1000]都滿足.(2)在教師的引導下,學生２加以補充．

學生２：只需將x?10代入計算,是符合條件的；再結合圖像發(fā)現(xiàn)直線的增長比對數(shù)函數(shù)快,對數(shù)函數(shù)增長較為平緩．所以x?[10,1000]都滿足.(3)教師根據(jù)以上學生回答板書方法一：數(shù)形結合法

令y1?0.25x,y2?log7x?1

當x?10時y1?0.25?10?2.5,y2?log710?10, y1?y2?1.5?log710?log7343?log7100?0

?y1?y2給合圖(2)得log7x?1?0.25x對x?[10,1000]恒成立

圖2 并通過幾何畫板動畫演示BC=y1?y2的變化情況, 引導學生構造函數(shù).(4)學生三回答,教師繼續(xù)板書方法二：構造函數(shù)法 令F(x)?0.25x?log7x?1,x?[10,1000]

由圖(3)得F(x)?0.25x?log7x?1在x?[10,1000]上單調遞增.?所以F(x)F(?10,)即log7x?1?0.25x對x?[10,1000]恒成立

圖3

3．總結反思 歸納提升

[問題１０] 通過本節(jié)課的學習,你有哪些收獲？請你對本節(jié)課作一總結.設計意圖：歸納總結本節(jié)內(nèi)容.師生活動：學生思考交流,教師幫助總結以下內(nèi)容：

（1）知識：對函數(shù)的性質有了解：我們體會到同是增長型函數(shù),但其增長差異卻很大:：常數(shù)函數(shù)沒有增長,一次函數(shù)直線上升,指數(shù)函數(shù)爆炸增長,對數(shù)函數(shù)平緩增長.（2）方法：建模的思想,數(shù)形結合思想,構造函數(shù)思想等等.六、目標檢測設計

1.教科書P98,練習１、２.6 設計意圖：讓學生鞏固函數(shù)增長特征這一知識點.的增長差異進行比較.設計意圖:：引出下一課時內(nèi)容,為下面研究一般指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)的增長差異奠定了探究的方向.七、教學體會與反思

(1)數(shù)學問題解決教學應該從創(chuàng)設問題情景開始，本設計的情境創(chuàng)設比較成功.“日常生活中，增長的話題比比皆是，而我們學過的函數(shù)中有沒有呈增長態(tài)勢發(fā)展的呢？如果都是增長型函數(shù)，那么它們增長的態(tài)勢是否都一樣呢？”短短幾句話，不但交代了本課的研究主題，而且比較自然地引導學生引出一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)，開門見山，直擊“增長”.實際教學中大多以真實的或虛擬的“生活化”材料為載體創(chuàng)設教學情境，如用教材章頭圖中的兔子問題或其它情景作為素材,以迎合“能讓學生體會到數(shù)學源于生活，增長學生的應用意識”，注重“數(shù)學教育應該與現(xiàn)實生活密切聯(lián)系”這一現(xiàn)代教學理念.本課的教學內(nèi)容是通過兩個實際問題解決，讓學生體會幾類不同類型的函數(shù)增長的差異，執(zhí)教教師就地取材，將書本中的例1為素材得到了一個虛擬的“生活化”材料，教學過程中不但自然地出示了例1，而且激發(fā)學生的學習和解決問題的興趣，為學生的觀察、歸納、猜想和證明提供了基礎.(2)問題的解決圍繞著“弄清問題—擬定計劃—實現(xiàn)計劃—回顧”進行教學，教學中充分發(fā)揮了學生的主體作用.在例題教學中既有動手操作的實踐活動，又有動腦思考和數(shù)學思維活動.例1的教學過程中，抓隹關鍵詞“回報”，從不同的角度看待回報，讓學生辨別“每天回報量”、“累計回報量”；從函數(shù)表達的三種不同形式入手，建立函數(shù)模型，讓學生經(jīng)歷從解析式到表格、圖象的全過程.在這個過程中，讓學生感受到圖表的直觀，解析式的抽象.在求累計回報量時，由于學生不會求等比數(shù)列的和，選取對函數(shù)模型列表計算作出判斷和選擇，處理有詳有略，讓學生體會到了常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)與指數(shù)型函數(shù)的增長差異.例2中在判斷是否滿足“約束條件2.探究題：請利用計算器或計算機從圖、表兩方面對函數(shù)y?2x,y?x2,y?log2x

log7x?1?0.25x”時，考慮到教課書上介紹的構造函數(shù)法學生理解比較困難，教師先用利用數(shù)形結合，學生能很直觀地感受y?0.25x在圖像y?log7x?1的上方，有此基礎后，再講解方法二，即“構造函數(shù)法”，通過板書詳細分析求解過程，幫助學生對“構造函數(shù)法”的理解，給學生留下一個深刻的印象.整個例2教學讓學生經(jīng)歷了觀察、歸納、猜想、證明的完整過程，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創(chuàng)造”過程.商討之處：

(1)教學內(nèi)容不能只局限于課本中兩個例題,要適當進行拓展延伸,不僅鞏固新知,而且讓學生感覺數(shù)學是有用的,數(shù)學就在我們身邊.如果對例2進行拓展延伸，效果更佳.如:為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標，在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨著銷售利潤x(單位：萬元)的增加而增加,要求如下：

10萬～50萬，獎金不超過2萬；50萬～ 200萬,獎金不超過4萬；200萬～ 1000萬, 獎金不超過20萬.請選擇適當?shù)暮瘮?shù)模型，用圖象表達你的設計方案.（四人團隊合作完成）

(2)更加重視與學生合作交流,讓學生自己動手操作.例如,原設計中[案例]的列表畫圖過程,教師可事前設計好兩張表格(日回報表和累計回報表)及坐標系,在課堂上由學生兩人小組合作完成,再 7 讓學生分析表格和圖像有哪些區(qū)別,既培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力,又提高了整個課堂的教學效率.(3)更加重視信息技術對課堂教學的作用.例如,原設計中[案例]的圖像分析過程,可利用幾何畫板動點演示三條曲線的增長快慢和?y的變化情況，使教學過程更加生動，從而調動學生的學習積極性,更直觀地體會到三個函數(shù)模型的增長差異.

第二篇：幾類不同增長的函數(shù)模型第一課時教學設計

《幾類不同增長的函數(shù)模型（第一課時）》教學設計

孔德學區(qū)高一數(shù)學備課組 楊旭

一、背景分析

本節(jié)是高中數(shù)學必修1（人教A版）第三章《函數(shù)的應用》的起始課．該課將經(jīng)歷運用和選擇函數(shù)模型解決實際問題的過程，從而認識在同為增函數(shù)的函數(shù)模型中，各種函數(shù)存在增長的差異；理解直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長的含義；認識研究函數(shù)增長（衰減）差異的方法；感受數(shù)學建模的思想．

對不同函數(shù)模型在增長差異上的研究，教材圍繞函數(shù)模型的應用這一核心，結合具體實例展開討論，讓學生在應用函數(shù)模型的過程中，體驗到指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)模型在描述客觀世界變化規(guī)律時各自的特點．

教材運用自選投資方案和制定獎勵方案這兩個問題，引出函數(shù)模型增長情況比較的問題，接著運用信息技術從數(shù)值和圖象兩個角度比較了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長情況的差異，說明不同函數(shù)類型增長的含義．

在必修1前兩章，教材安排了函數(shù)的性質以及基本初等函數(shù)．本節(jié)內(nèi)容是幾類不同增長的函數(shù)模型，在此之后是研究函數(shù)模型的應用，因此，從內(nèi)容上看，本節(jié)課是對前面所學習的幾種基本初等函數(shù)以及函數(shù)的性質的綜合應用，從思想方法上講，是對研究函數(shù)的方法的進一步鞏固和深化，同時，也在為后面繼續(xù)學習各種不同的函數(shù)模型的應用舉例奠定基礎，．因此本節(jié)內(nèi)容，既是第二章基本初等函數(shù)知識的延續(xù)，又是函數(shù)模型應用學習的基礎，起著承前啟后的作用.本節(jié)內(nèi)容所涉及的數(shù)學思想方法主要包括：由實際問題抽象為函數(shù)模型這一過程中蘊涵的符號化、模型化的思想；在解決問題過程中函數(shù)與方程的思想．

二、教學目標

（1）通過實例的解決，運用函數(shù)表格、圖象，比較一次函數(shù)、指數(shù)型函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)模型等的增長，認識它們的增長差異，體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同增長的函數(shù)模型的意義；

（2）通過恰當?shù)剡\用函數(shù)的三種表示方法（解析法、列表法、圖象法），表達實際問題中的函數(shù)關系的操作，認識函數(shù)問題的研究方法：觀察—歸納—猜想—證明；

（3）經(jīng)歷建立和運用函數(shù)基本模型的過程，初步體驗數(shù)學建模的基本思想，體會數(shù)學的作用與價值，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力.三、教學重難點

教學重點：將實際問題轉化為數(shù)學模型，在比較常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型增長差異的過程中，體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同類型函數(shù)增長的含義．

教學難點：如何結合實際問題讓學生體會不同函數(shù)模型的增長差異，以及如何利用這種增長差異來解決一些實際問題．

四、教學媒體設計 要讓學生較為全面地體會函數(shù)模型的思想，特別是本節(jié)例題中用函數(shù)模型研究實際問題有許多數(shù)據(jù)、圖象等方面處理上的困難，而利用信息技術工具，就可以在不同的范圍觀察到指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長差異．這樣，就使學生有機會接觸到一些過去難以接觸到的數(shù)學知識和思想方法．因此在本節(jié)內(nèi)容教學的處理上，通過學生收集數(shù)據(jù)并建立函數(shù)模型，利用計算器和計算機，比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)間的增長差異；結合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義．

五、教學過程設計

（一）創(chuàng)設情境，引入課題

1.介紹第三章章頭圖，提出問題．

問題1：澳大利亞的兔子為什么能在短短的幾十年中由5只發(fā)展到5億只？ 澳大利亞兔子的急劇增長反映了自然界中一種增長現(xiàn)象：指數(shù)增長.問題2：在生活中，你還能舉出其它增長的例子嗎？

2.在學生回答問題的基礎上引出各種不同類型的函數(shù)增長模型．

3.揭示課題：幾類不同增長的函數(shù)模型．

【設計意圖】運用章頭圖，形成問題情境，產(chǎn)生應用函數(shù)的需要，激發(fā)學生的學習愿望．

（二）分析問題，建立模型

（一）提出問題

例1．假如你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的 回報如下：

方案一：每天回報40元；

方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元； 方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番． 請問：你會選擇哪種投資方式？

（二）分析問題

1.引導審題，抓住關鍵詞“回報”

問題3：你選擇的是什么樣的回報？怎樣比較回報資金的大?。?從解決問題的角度看：

（1）比較三種方案的每日回報；

（2）比較三種方案在若干天內(nèi)的累計回報.2.引導分析數(shù)量關系，建立函數(shù)模型

僅從日回報的角度引導學生根據(jù)數(shù)量關系，歸納概括出相應的函數(shù)模型，寫出每個方案的函數(shù)解析式.【設計意圖】引發(fā)學生思考，經(jīng)歷建立函數(shù)基本模型的過程．

【備注】累計回報的本質是數(shù)列求和問題，由于學生目前的知識儲備還不夠，現(xiàn)在僅限于通過對函數(shù)模型通過列表計算、圖象觀察來作出判斷和選擇.（三）組織探究，感性體驗

1.教師提出問題

問題4：你會選擇哪種投資方案？請用數(shù)學語言呈現(xiàn)你的理由． 2.學生分組操作，比較不同增長

從解決問題的方式上：

（1）用列表方法來比較；

（2）畫出函數(shù)圖象來分析.【設計意圖】保成學生合作探究、動手實踐，能借助計算器，利用數(shù)據(jù)表格、函數(shù)圖象對三種模型進行比較、分析，初步感受直線上升和指數(shù)爆炸的意義，初步體驗研究函數(shù)增長差異的方法．

（四）成果交流，階段小結

（一）學生交流

讓學生交流小組探究的成果（表格、圖象、結論）

（二）師生互動

1.閱讀教材上例題解答中的數(shù)據(jù)表格與圖象（突出散點圖），引導學生關注增長量，感受增長差異．

2.通過教師多媒體動態(tài)演示，讓學生進一步體會增長差異．

在不同的函數(shù)模型下，雖然都有增長，但增長態(tài)勢各具特點．他們的增長不在同一個“檔次”上，當自變量變得很大時，指數(shù)型函數(shù)比一次函數(shù)增長的速度要快得多．

（三）歸納小結

1.通過教師的小結，增強學生對增長差異的認識．

常數(shù)函數(shù)（沒有增長），直線上升（勻速增長），指數(shù)爆炸（急劇增長）．

2.上述問題的解決，是通過考慮其中的數(shù)量關系，把它抽象概括成一個函數(shù)問題，用解析式、數(shù)據(jù)表格、圖象這三種函數(shù)的表達形式來研究的．

【設計意圖】分享學生成果，達到生生互動、師生互動；借助多媒體展示，幫助學生理解不同增長的函數(shù)模型的增長差異，并且初步體驗數(shù)學建模的基本思想，認識函數(shù)問題的研究方法．

（五）深入探究，理性分析

（一）提出問題

例2．某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金

（單位：萬元）隨銷售利潤（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%．現(xiàn)有三個獎勵模型：求？

（二）引導分析

問題5：你能立刻做出選擇嗎？選擇的依據(jù)是什么？ 問題6：公司的要求到底意味著怎樣的數(shù)學關系？

問題7：我們提供的三個增長型函數(shù)哪一個符合限制條件？

（三）解決問題

1.通過多媒體演示，發(fā)現(xiàn)增長差異；

2.結合限制條件，初步作出選擇；

．其中哪個模型能符合公司的要3.通過計算，進一步確認，驗證所得結論；

4.體會對數(shù)增長模型的增長特征：當自變量變得很大時平緩增長；

5.揭示函數(shù)問題的研究方法（觀察—歸納—猜想—證明）．

【設計意圖】讓學生在觀察和探究的過程中，學會理性分析，體會對數(shù)增長模型的特點．

【備注】對判斷模型二

是否滿足限制條件“

”，考慮到學生現(xiàn)在知識儲備和接受水平，只能采用了直觀教學，通過構造新函數(shù)，觀察新函數(shù)的圖象來解決（因為該函數(shù)單調性的判定，必須運用高二數(shù)學中的導數(shù)知識與方法才能解決）．

（六）拓展延伸，創(chuàng)新設計

這個獎勵方案實施以后，立刻調動了員工的積極性，企業(yè)發(fā)展蒸蒸日上，但隨著時間的推移，又出現(xiàn)了新的問題，員工缺乏創(chuàng)造高銷售額的積極性.問題8：我們的獎勵方案有什么弊端？ 問題9：你能否設計出更合理的獎勵模型？

【創(chuàng)新設計】為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標，在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨著銷售利潤x(單位：萬元)的增加而增加,要求如下：

10萬～ 50萬，獎金不超過2萬；50萬～ 200萬，獎金不超過4萬；200萬～ 1000萬，獎金不超過20萬．請選擇適當?shù)暮瘮?shù)模型，用圖象表達你的設計方案．（四人一組，合作完成）

【設計意圖】設計開放性問題對例2拓展延伸，既檢測了學生對幾類不同模型增長差異的掌握情況，又鼓勵學生學以致用，用以致優(yōu)，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創(chuàng)造”過程．

（七）歸納總結，提煉升華

問題10：通過本節(jié)課的學習，你有哪些收獲？請你從知識、方法、思想方面作一個小結． 1.知識：對函數(shù)的性質有了進一步的了解，我們體會到同是增長型函數(shù)，但其增長差異卻很大：常數(shù)函數(shù)（沒有增長）；一次函數(shù)（直線上升）；指數(shù)函數(shù)（爆炸增長）；對數(shù)函數(shù)（平緩增長）．

2.方法：函數(shù)有三種表示方法（解析法、列表法、圖象法）；函數(shù)問題的一般研究方法（觀察—歸納—猜想—證明）

3.思想：兩個例題都體現(xiàn)了數(shù)學建模的思想，即把實際問題數(shù)學化：面對實際問題，我們要讀懂問題，運用所學知識，將其轉化成數(shù)學模型，最終得到實際問題的解.【設計意圖】理解幾類不同增長的函數(shù)模型的增長差異，提煉數(shù)學思想方法，認識數(shù)學的應用價值．

（八）布置作業(yè)，鞏固提高

1.課本98頁課后練習1，2；課本107頁習題3.2（A組）第1題； 2.收集一些社會生活中遞增的一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的實例，對它們的增長速度進行比較，了解函數(shù)模型的廣泛應用．

【設計意圖】進一步體驗函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學模型，不同的變化規(guī)律需要用不同的函數(shù)模型來描述；培養(yǎng)學生對數(shù)學學科的深刻認識，體會數(shù)學的應用價值.

第三篇：3.2.1 幾類不同增長的函數(shù)模型(第二課時)教學反思

3.2.1 幾類不同增長的函數(shù)模型（第二課時）

教學反思

參賽編號：24

學校：云南昌寧第一中學

姓名：韓云鳳

3.2.1 幾類不同增長的函數(shù)模型（第二課時）

教學反思

新一輪數(shù)學課程改革從理念、內(nèi)容到實施都有較大變化。要實現(xiàn)數(shù)學課程改革的目標，教師是關鍵。新課程要求教師提高素質、更新觀念、轉變角色，在對待自我上，新課程還強調反思。教學反思是教師發(fā)展和成長的核心因素。在教學后進行反思，能使教學經(jīng)驗理論化，形成反思的意識和自我監(jiān)控的能力。

針對本節(jié)課的教學，我的反思如下：

一、思不足。上完了課，坐下來回想，有很多地方不滿意，也有很多地方需要改進，更有許多地方需要學習。

1、剛剛開始的時候因為有點緊張，所以講話速度快了，可能不專心的同學就會聽不懂。后來雖然及時發(fā)現(xiàn)，把速度壓下來了，可是，還是應該學會任何時候都保持平和的心態(tài)；

2、課件制作的時候，字體顏色偏淺了，在我自己的電腦上看得很清楚但是拿到大屏幕上，有些地方對于學生來說看不清了，這也說明我考慮的不周到；

3、在備課的時候，準備在幾何畫板上演示三種函數(shù)模型的增長差異，使分析更直觀，但是因為給學生自主學習和討論交流的時間太多，發(fā)現(xiàn)時間不夠，所以沒有演示，這樣可能會使得到結論的說服力就不是那么強。也失去了一些趣味性。這證明，作為年輕老師的我，需要增強課堂的把控能力，在備課時也要盡量宏觀考慮，在有限的時間里得 到想要的教學效果；

4、在講解5個思考的時候，語言不夠精煉，有些地方重復太多，有些地方表述又不到位。并且既然給學生小組討論了，那么應該讓他們盡可能多的展示他們自學和交流的結果，根據(jù)展示的情況進行精講，而不是我一個一個的又講，沒有做到“以學定教”，這樣也可能會浪費了寶貴的時間；

5、師生的交往互動沒有達到很好的狀態(tài)，雖然很多問題，學生愿意一起回答但是卻不太愿意自己站起來回答，特別是搶答題時，學生的積極性沒有被調動起來，我想是因為我的親和力不夠，而且引導還不到位；

6、最后的“當堂檢測”的第四題的第二個問，有很多同學沒有寫出來，本來應該講評一下，但是時間到了，所以沒有強調。

總的來說，我的應變能力有待提高，教學機智不夠，應該多使用幾何畫板和EXCEL來使教學增加趣味性和說服力。

二、思成功

1、通過學生自學和討論交流，以及我的講解，基本達到教學目標。剛開始，我就展示了這節(jié)課的學習目標和重、難點，使學生有目的的學習；搶答題和當堂檢測題都和教學目標相呼應，促進教學目標的達成；

2、基本做到以學生為主體，教師為引導。讓學生帶著問題閱讀課本，提高學生的自學能力；讓學生討論交流，不但有利于這節(jié)課知識點的探究，也有利于合作交流意識的養(yǎng)成。而我只是引導者、組織者、合 作者；

3、使學生盡可能的單獨回答，而不是大合唱，這樣可以很好的反饋他們自學和討論的效果，進而調控我的教學過程；

4、問題串的設置使學生學習得更輕松，也使和我的教學更有條理性和適切性；

5、把“小結”設置在“當堂檢測”的前面，不但使前面的結論得到鞏固，也使學生在做“當堂檢測”時有所依據(jù)；

6、“當堂檢測”的設置很好的反饋了這節(jié)課的教學效果，對我后面的教學具有指導作用。并且題目的設置有針對性和有效性，可以很好的反應學生的學習效果。

7、把我準備的內(nèi)容在規(guī)定的時間內(nèi)講完、練完，這節(jié)課的教學步驟有了完整性。并且根據(jù)學生“當堂檢測”結果，證明在有限的時間內(nèi)，絕大多數(shù)同學還是完成了學習目標。這是讓我很欣慰的一點。

三、思改進

這堂課有成功之處，但是就如我上面所說，不足的地方更多，所以需要改進的地方也很多。

1、多和別的老師進行交流，把握每一次學習的機會，提升自己的應變能力、教學機智和把控能力；

2、認真學習幾何畫板和EXCEL，熟練操作，增加課堂的趣味性和說服力；

3、在以后上課中，壓慢自己的語速；

4、備課時，多方面考慮，包括課件的可操作性、學生的起始能力、教學中會出現(xiàn)的問題等等；

5、多走近學生，增加自己的親和力，進而提高學生參與課堂的積極性（思維的參與和行動的參與）；

6、學著去設置有趣的問題情境，培養(yǎng)學生的問題意識，激發(fā)他們學習的積極性；設置有效的例題、練習題、檢測題，培養(yǎng)學生的應用意識；

7、學會精講，多給學生展示和思考的時間，樹立學生學習數(shù)學的自信心。

總之，只要堅持反思，每一節(jié)課都會讓我知道我有很多需要改進和學習的地方。作為年輕教師的我，應該做到課前進行備課反思，使反思成為一種自覺實踐；課中進行反思，保證教學高質高效的進行，課后進行反思，使我的教學經(jīng)驗理論化。

第四篇：3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型教案(人教A版必修1)[模版]

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3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型教案

【教學目標】

1.結合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同增長的函數(shù)模型意義，理解它們的增長差異；

2.借助信息技術，利用函數(shù)圖象及數(shù)據(jù)表格，比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長差異；

3.恰當運用函數(shù)的三種表示法（解析式、圖象、表格）并借助信息技術解決一些實際問題.【教學重難點】

教學重點：將實際問題轉化為數(shù)學問題，結合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義。

教學難點：如何選擇和利用不同函數(shù)模型增長差異性分析解決實際問題。

【教學過程】

(一)預習檢查、總結疑惑

檢查落實了學生的預習情況并了解了學生的疑惑，使教學具有了針對性。

（二）情景導入、展示目標。材料：澳大利亞兔子數(shù)“爆炸”

1859年，有人從歐洲帶進澳洲幾只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且沒有兔子的天敵，兔子數(shù)量不斷增加，不到100年，兔子們占領了整個澳大利亞，數(shù)量達到75億只．可愛的兔子變得可惡起來，75億只兔子吃掉了相當于75億只羊所吃的牧草，草原的載畜率大大降低，而牛羊是澳大利亞的主要牲口．這使澳大利亞頭痛不已，他們采用各種方法消滅這些兔子，直至二十世紀五十年代，科學家采用載液瘤病毒殺死了百分之九十的野兔，澳大利亞人才算松了一口氣．

一般而言，在理想條件（食物或養(yǎng)料充足，空間條件充裕，氣候適宜，沒有敵害等）下，種群在一定時期內(nèi)的增長大致符合“J”型曲線；在有限環(huán)境（空間有限，食物有限，有捕食者存在等）中，種群增長到一定程度后不增長，曲線呈“S”型．可用指數(shù)函數(shù)描述一個種群的前期增長，用對數(shù)函數(shù)描述后期增長的，感知指數(shù)函數(shù)變化劇烈。

（三）典型例題

例1假設你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：

方案一：每天回報40元；

方案二：

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例2 變式2 【作業(yè)布置】課本98頁1,2

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第五篇：第五屆全國高中數(shù)學青年教師觀摩與評比活動：《幾類不同增長函數(shù)模型》教案與說課稿

3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型（第一課時）

浙江省杭州第二中學 詹爽姿

一．內(nèi)容和內(nèi)容解析

本節(jié)是高中數(shù)學必修1（人教A版）第三章《函數(shù)的應用》的起始課．該課將經(jīng)歷運用和選擇函數(shù)模型解決實際問題的過程，從而認識在同為增函數(shù)的函數(shù)模型中，各種函數(shù)存在增長的差異；理解直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長的含義；認識研究函數(shù)增長（衰減）差異的方法；感受數(shù)學建模的思想．

對不同函數(shù)模型在增長差異上的研究，教材圍繞函數(shù)模型的應用這一核心，結合具體實例展開討論，讓學生在應用函數(shù)模型的過程中，體驗到指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)模型在描述客觀世界變化規(guī)律時各自的特點．

教材運用自選投資方案和制定獎勵方案這兩個問題，引出函數(shù)模型增長情況比較的問題，接著運用信息技術從數(shù)值和圖象兩個角度比較了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長情況的差異，說明不同函數(shù)類型增長的含義．

在必修1前兩章，教材安排了函數(shù)的性質以及基本初等函數(shù)．本節(jié)內(nèi)容是幾類不同增長的函數(shù)模型，在此之后是研究函數(shù)模型的應用，因此，從內(nèi)容上看，本節(jié)課是對前面所學習的幾種基本初等函數(shù)以及函數(shù)的性質的綜合應用，從思想方法上講，是對研究函數(shù)的方法的進一步鞏固和深化，同時，也在為后面繼續(xù)學習各種不同的函數(shù)模型的應用舉例奠定基礎，．因此本節(jié)內(nèi)容，既是第二章基本初等函數(shù)知識的延續(xù)，又是函數(shù)模型應用學習的基礎，起著承前啟后的作用.本節(jié)內(nèi)容所涉及的數(shù)學思想方法主要包括：由實際問題抽象為函數(shù)模型這一過程中蘊涵的符號化、模型化的思想；在解決問題過程中函數(shù)與方程的思想．

二．目標和目標解析 本節(jié)課的教學任務為：

（1）創(chuàng)設一個投資方案的問題情境，讓學生通過函數(shù)建模、列數(shù)據(jù)表、研究函數(shù)圖象和性質，體會直線上升和指數(shù)爆炸；

（2）創(chuàng)設一個選擇獎勵模型的問題情境，讓學生在觀察和探究的過程中，體會對數(shù)增長模型的特點；

（3）通過建立和運用函數(shù)基本模型，讓學生初步體驗數(shù)學建模的基本思想，發(fā)展學生的創(chuàng)新意識和數(shù)學應用意識.根據(jù)內(nèi)容解析和教學任務，本節(jié)課的教學目標確定為：

（1）通過實例的解決，運用函數(shù)表格、圖象，比較一次函數(shù)、指數(shù)型函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)模型等的增長，認識它們的增長差異，體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同增長的函數(shù)模型的意義；

（2）通過恰當?shù)剡\用函數(shù)的三種表示方法（解析法、列表法、圖象法），表達實際問題中的函數(shù)關系的操作，認識函數(shù)問題的研究方法：觀察—歸納—猜想—證明；

（3）經(jīng)歷建立和運用函數(shù)基本模型的過程，初步體驗數(shù)學建模的基本思想，體會數(shù)學的作用與價值，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力.這部分內(nèi)容教科書在處理上，以函數(shù)模型的應用這一內(nèi)容為主線，以幾個重要的函數(shù)

模型為對象，將前面已經(jīng)學習過的內(nèi)容以及處理問題的思想方法緊密結合起來，使之成為一個整體．因此教學中應當注意貫徹教材的設計意圖，讓學生經(jīng)歷函數(shù)模型應用的全過程，能在這一過程中認識不同增長的差異，認識知曉函數(shù)增長差異的作用，認識研究差異的思想方法．

結合以上分析本節(jié)課的教學重點為：將實際問題轉化為數(shù)學模型，在比較常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型增長差異的過程中，體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同類型函數(shù)增長的含義．

三．教學問題診斷

學生在前面已學過函數(shù)概念、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)，但由于指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長變化復雜，這就使得學生在研究過程中可能遇到困難．因此本節(jié)課教學難點確定為：如何結合實際問題讓學生體會不同函數(shù)模型的增長差異，以及如何利用這種增長差異來解決一些實際問題．

為了解決這一難點，教科書分三個步驟，創(chuàng)設問題情境，并通過恰點恰時而又層層遞進的問題串，讓學生在不斷的觀察、思考和探究的過程中，弄清幾個函數(shù)間的增長差異，并培養(yǎng)分析問題解決問題的能力．第一步，教科書先創(chuàng)設了一個選擇投資方案的問題情境，在解決問題的過程中給出了解析式、數(shù)表和圖象三種表示，然后提出了三個思考問題，讓學生一方面從中體會直線上升和指數(shù)爆炸，另一方面也學會如何選擇恰當?shù)谋硎拘问綄栴}進行分析．第二步，教科書又創(chuàng)設了一個選擇公司獎勵模型的問題情境，讓學生在觀察和探究的過程中，體會到對數(shù)增長模型的特點．第三步，教科書提出了三種函數(shù)存在怎樣的增長差異的問題．先讓學生從不同角度觀察指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長圖象，從中體會二者的差異；再通過兩個探究問題，讓學生對冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的增長差異，以及三種函數(shù)的衰減情況進行自主探究．這樣的安排內(nèi)容上層次分明，可以引導學生從不同的方面積極地開展觀察、思考和探究活動，對典型的問題，多視點寬角度地進行了研究．對學生分析問題、解決問題能力的培養(yǎng)將有積極的推動．由于本節(jié)內(nèi)容比較豐富，而且研究問題的方法和途徑也比較多，所以本節(jié)課我們只能重點解決其中的前兩個問題．

四．教學支持條件分析

要讓學生較為全面地體會函數(shù)模型的思想，特別是本節(jié)例題中用函數(shù)模型研究實際問題有許多數(shù)據(jù)、圖象等方面處理上的困難，而利用信息技術工具，就可以在不同的范圍觀察到指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長差異．這樣，就使學生有機會接觸到一些過去難以接觸到的數(shù)學知識和思想方法．因此在本節(jié)內(nèi)容教學的處理上，通過學生收集數(shù)據(jù)并建立函數(shù)模型，利用計算器和計算機，比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)間的增長差異；結合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義．

五．教學過程設計

一、創(chuàng)設情境，引入課題 1.介紹第三章章頭圖，提出問題．

問題1：澳大利亞的兔子為什么能在短短的幾十年中由5只發(fā)展到5億只？ 澳大利亞兔子的急劇增長反映了自然界中一種增長現(xiàn)象：指數(shù)增長.問題2：在生活中，你還能舉出其它增長的例子嗎？

2.在學生回答問題的基礎上引出各種不同類型的函數(shù)增長模型． 3.揭示課題：幾類不同增長的函數(shù)模型．

【設計意圖】運用章頭圖，形成問題情境，產(chǎn)生應用函數(shù)的需要，激發(fā)學生的學習愿望．

二、分析問題，建立模型

（一）提出問題

例1．假如你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的 回報如下：

方案一：每天回報40元；

方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元； 方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番． 請問：你會選擇哪種投資方式？

（二）分析問題

1.引導審題，抓住關鍵詞“回報”

問題3：你選擇的是什么樣的回報？怎樣比較回報資金的大?。?/p>

從解決問題的角度看：

（1）比較三種方案的每日回報；

（2）比較三種方案在若干天內(nèi)的累計回報.2.引導分析數(shù)量關系，建立函數(shù)模型

僅從日回報的角度引導學生根據(jù)數(shù)量關系，歸納概括出相應的函數(shù)模型，寫出每個方案的函數(shù)解析式.【設計意圖】引發(fā)學生思考，經(jīng)歷建立函數(shù)基本模型的過程．

【備注】累計回報的本質是數(shù)列求和問題，由于學生目前的知識儲備還不夠，現(xiàn)在僅限于通過對函數(shù)模型通過列表計算、圖象觀察來作出判斷和選擇.三、組織探究，感性體驗 1.教師提出問題

問題4：你會選擇哪種投資方案？請用數(shù)學語言呈現(xiàn)你的理由． 2.學生分組操作，比較不同增長 從解決問題的方式上：（1）用列表方法來比較；（2）畫出函數(shù)圖象來分析.【設計意圖】保成學生合作探究、動手實踐，能借助計算器，利用數(shù)據(jù)表格、函數(shù)圖象對三種模型進行比較、分析，初步感受直線上升和指數(shù)爆炸的意義，初步體驗研究函數(shù)增長差異的方法．

四、成果交流，階段小結

（一）學生交流

讓學生交流小組探究的成果（表格、圖象、結論）

（二）師生互動

1.閱讀教材上例題解答中的數(shù)據(jù)表格與圖象（突出散點圖），引導學生關注增長量，感受增長差異． 2.通過教師多媒體動態(tài)演示，讓學生進一步體會增長差異．

在不同的函數(shù)模型下，雖然都有增長，但增長態(tài)勢各具特點．他們的增長不在同一個“檔次”上，當自變量變得很大時，指數(shù)型函數(shù)比一次函數(shù)增長的速度要快得多．

（三）歸納小結

1.通過教師的小結，增強學生對增長差異的認識．

常數(shù)函數(shù)（沒有增長），直線上升（勻速增長），指數(shù)爆炸（急劇增長）．

2.上述問題的解決，是通過考慮其中的數(shù)量關系，把它抽象概括成一個函數(shù)問題，用解析式、數(shù)據(jù)表格、圖象這三種函數(shù)的表達形式來研究的．

【設計意圖】分享學生成果，達到生生互動、師生互動；借助多媒體展示，幫助學生理解不同增長的函數(shù)模型的增長差異，并且初步體驗數(shù)學建模的基本思想，認識函數(shù)問題的研究方法．

五、深入探究，理性分析

（一）提出問題

例2．某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y（單位：萬元）隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%．現(xiàn)有三個獎勵模型：y?0.25x y?log7x?1

y?1.002x．其中哪個模型能符合公司的要求？

（二）引導分析

問題5：你能立刻做出選擇嗎？選擇的依據(jù)是什么？

問題6：公司的要求到底意味著怎樣的數(shù)學關系？ 問題7：我們提供的三個增長型函數(shù)哪一個符合限制條件？

（三）解決問題

1.通過多媒體演示，發(fā)現(xiàn)增長差異； 2.結合限制條件，初步作出選擇；

3.通過計算，進一步確認，驗證所得結論；

4.體會對數(shù)增長模型的增長特征：當自變量變得很大時平緩增長； 5.揭示函數(shù)問題的研究方法（觀察—歸納—猜想—證明）．

【設計意圖】讓學生在觀察和探究的過程中，學會理性分析，體會對數(shù)增長模型的特點．

【備注】對判斷模型二y?log7x?1是否滿足限制條件“l(fā)og7x?1?0.25x”，考慮到學生現(xiàn)在知識儲備和接受水平，只能采用了直觀教學，通過構造新函數(shù)，觀察新函數(shù)的圖象來解決（因為該函數(shù)單調性的判定，必須運用高二數(shù)學中的導數(shù)知識與方法才能解決）．

六、拓展延伸，創(chuàng)新設計

這個獎勵方案實施以后，立刻調動了員工的積極性，企業(yè)發(fā)展蒸蒸日上，但隨著時間的推移，又出現(xiàn)了新的問題，員工缺乏創(chuàng)造高銷售額的積極性.問題8：我們的獎勵方案有什么弊端？ 問題9：你能否設計出更合理的獎勵模型？

【創(chuàng)新設計】為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標，在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨著銷售利潤x(單位：萬元)的增加而增加,要求如下：

10萬～ 50萬，獎金不超過2萬；50萬～ 200萬，獎金不超過4萬；200萬～ 1000萬，獎金不超過20萬．請選擇適當?shù)暮瘮?shù)模型，用圖象表達你的設計方案．（四人一組，合作完成）

【設計意圖】設計開放性問題對例2拓展延伸，既檢測了學生對幾類不同模型增長差異的掌握情況，又鼓勵學生學以致用，用以致優(yōu)，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創(chuàng)造”過程．

七、歸納總結，提煉升華

問題10：通過本節(jié)課的學習，你有哪些收獲？請你從知識、方法、思想方面作一個小結．

1.知識：對函數(shù)的性質有了進一步的了解，我們體會到同是增長型函數(shù)，但其增長差異卻很大：常數(shù)函數(shù)（沒有增長）；一次函數(shù)（直線上升）；指數(shù)函數(shù)（爆炸增長）；對數(shù)函數(shù)（平緩增長）．

2.方法：函數(shù)有三種表示方法（解析法、列表法、圖象法）；函數(shù)問題的一般研究方法（觀察—歸納—猜想—證明）

3.思想：兩個例題都體現(xiàn)了數(shù)學建模的思想，即把實際問題數(shù)學化：面對實際問題，我們要讀懂問題，運用所學知識，將其轉化成數(shù)學模型，最終得到實際問題的解.【設計意圖】理解幾類不同增長的函數(shù)模型的增長差異，提煉數(shù)學思想方法，認識數(shù)學的應用價值．

八、布置作業(yè)，鞏固提高

1.課本98頁課后練習1，2；課本107頁習題3.2（A組）第1題；

2.收集一些社會生活中遞增的一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的實例，對它們的增長速度進行比較，了解函數(shù)模型的廣泛應用．

【設計意圖】進一步體驗函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學模型，不同的變化規(guī)律需要用不同的函數(shù)模型來描述；培養(yǎng)學生對數(shù)學學科的深刻認識，體會數(shù)學的應用價值.