第一篇：基本不等式的證明

重要不等式及其應(yīng)用教案

教學(xué)目的

(1)使學(xué)生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))和a3＋b3＋c3≥3abc(a、b、c∈R+，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào))及其推論，并能應(yīng)用它們證明一些不等式．

(2)通過對(duì)定理及其推論的證明與應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用綜合法進(jìn)行推理的能力．

教學(xué)過程

一、引入新課

師：上節(jié)課我們學(xué)過證明不等式的哪一種方法？它的理論依據(jù)是什么？

生：求差比較法，即

師：由于不等式復(fù)雜多樣，僅有比較法是不夠的．我們還需要學(xué)習(xí)一些有關(guān)不等式的定理及證明不等式的方法．

如果a、b∈R，那么(a－b)2屬于什么數(shù)集？為什么？

生：當(dāng)a≠b時(shí)，(a－b)2＞0，當(dāng)a=b時(shí)，(a－b)2=0，所以(a－b)2≥0．即(a－b)2∈

R+∪{0}．

師：下面我們根據(jù)(a－b)2∈R+∪{0}這一性質(zhì)，來推導(dǎo)一些重要的不等式，同時(shí)學(xué)習(xí)一些證明不等式的方法．

二、推導(dǎo)公式

1．奠基

師：如果a、b∈R，那么有

(a－b)2≥0．

①

把①左邊展開，得

a2－2ab＋b2≥0，∴a2＋b2≥2ab．

②

②式表明兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和不小于它們的積的2倍．這就是課本中介紹的定理1，它是一個(gè)很重要的絕對(duì)不等式，對(duì)任何兩實(shí)數(shù)a、b都成立．由于取“=”號(hào)這種特殊情況，在以后有廣泛的應(yīng)用，因此通常要指出“=”號(hào)成立的充要條件．②式中取等號(hào)的充要條件是什么呢？

師：充要條件通常用“當(dāng)且僅當(dāng)”來表達(dá)．“當(dāng)”表示條件是充分的，“僅當(dāng)”表示條件是必要的．所以②式可表述為：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))．

以公式①為基礎(chǔ)，運(yùn)用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)公式②，這種由已知推出未知(或要求證的不等式)的證明方法通常叫做綜合法．以公式②為基礎(chǔ)，用綜合法可以推出更多的不等式．現(xiàn)在讓我們共同來探索．

2．探索

師：公式②反映了兩個(gè)實(shí)數(shù)平方和的性質(zhì)，下面我們研究兩個(gè)以上的實(shí)數(shù)的平方和，探索可能得到的結(jié)果．先考查三個(gè)實(shí)數(shù)．設(shè)a、b、c∈R，依次對(duì)其中的兩個(gè)運(yùn)用公式②，有

a2＋b2≥2ab； b2＋c2≥2bc； c2＋a2≥2ca．

把以上三式疊加，得

a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca

③

(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào))．

以此類推：如果ai∈R，i=1，2，?，n，那么有

④

(當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=?=an時(shí)取“=”號(hào))．

④式是②式的一種推廣式，②式就是④式中n=2時(shí)的特殊情況．③和④式不必當(dāng)作公式去記，但從它們的推導(dǎo)過程中可以學(xué)到一種處理兩項(xiàng)以上的和式問題的數(shù)學(xué)思想與方法——迭代與疊加．

3．再探索

師：考察兩個(gè)以上實(shí)數(shù)的更高次冪的和，又能得到什么有趣的結(jié)果呢？先考查兩個(gè)實(shí)數(shù)的立方和．由于

a3＋b3=(a＋b)(a2－ab＋b2)，啟示我們把②式變成

a2－ab＋b2≥ab，兩邊同乘以a＋b，為了得到同向不等式，這里要求a、b∈R+，得到

a3＋b3≥a2b＋ab2．

⑤

考查三個(gè)正實(shí)數(shù)的立方和又具有什么性質(zhì)呢？

生：由③式的推導(dǎo)方法，再增加一個(gè)正實(shí)數(shù)c，對(duì)b、c，c、a迭代⑤式，得到

b3＋c3≥b2c＋bc2，c3＋a3≥c2a＋ca2．

三式疊加，并應(yīng)用公式②，得

2(a3＋b3＋c3)≥a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)

≥a·2bc＋b·2ca＋c·2ab=6abc．

∴a3＋b3＋c3≥3abc

⑥

(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào))．

師：這是課本中的不等式定理2，即三個(gè)正實(shí)數(shù)的立方和不小于它們的積的3倍．同學(xué)們可能想到n個(gè)正實(shí)數(shù)的立方和會(huì)有什么結(jié)果，進(jìn)一步還會(huì)想到4個(gè)正數(shù)的4次方的和會(huì)有什么結(jié)果，直至n個(gè)正數(shù)的n次方的和會(huì)有什么結(jié)果．這些問題留給同學(xué)們課外去研究．

4．推論

師：直接應(yīng)用公式②和⑥可以得到兩個(gè)重要的不等式．

⑦

(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))．

這就是課本中定理1的推論．

⑧

(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào))．這就是課本中定理2的推論．

當(dāng)ai∈R+(i=1，2，?，n)時(shí)，有下面的推廣公式(在中學(xué)不講它的證明)

⑨

(當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=?=an時(shí)取“=”號(hào))．

何平均數(shù)．⑨式表明：n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．這是一個(gè)著名的平均數(shù)不等式定理．現(xiàn)在只要求同學(xué)掌握n=2、3時(shí)的兩個(gè)公式，即⑦和⑧．

三、小結(jié)

(1)我們從公式①出發(fā)，運(yùn)用綜合法，得到許多不等式公式，其中要求同學(xué)熟練掌握的是公式②、⑥、⑦、⑧．它們之間的關(guān)系可圖示如下：

(2)上述公式的證法不止綜合法一種．比如公式②和⑥，在課本上是用比較法證明的．又如公式⑦也可以由①推出；用⑦還可以推出⑧；由⑦、⑧也可以推出②、⑥．但是不論哪種推導(dǎo)系統(tǒng)，其理論基礎(chǔ)都是實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)．

四個(gè)公式中，②、⑦是基礎(chǔ)，最重要．它們還可以用幾何法或三角法證明．

幾何法：構(gòu)造直角三角形ABC，使∠C=90°，BC=a，AC=b(a、b∈R)，222則a＋b=c表示以斜邊c為邊的正方形的面積．而

+

如上左圖所示，顯然有

(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)，這時(shí)Rt△ABC等腰，如上右圖)．這個(gè)圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時(shí)所用過的“勾股方圓圖”，同學(xué)們在初中已經(jīng)見過．

三角法：在Rt△ABC中，令∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，則

2ab=2·c sin A· c sin B=2c2sinAcos A=c2·sin2A≤c2

=a2＋b2(∵sin2A≤1)

(當(dāng)且僅當(dāng)sinA=1，A=45°，即 a=b時(shí)取“=”號(hào))．

2三、應(yīng)用公式練習(xí)

1．判斷正誤：下列問題的解法對(duì)嗎？為什么？如果不對(duì)請予以改正．

a、b∈R+．若tgα、ctgα∈R+．解法就對(duì)了．這時(shí)需令α是第一、三象限的角．]

改條件使a、b∈R+；②改變證法．a(chǎn)2＋ab＋b2≥2ab＋ab=3ab．]

師：解題時(shí)，要根據(jù)題目的條件選用公式，特別注意公式中字母應(yīng)滿足的條件．只有公式①、②對(duì)任何實(shí)數(shù)都成立，公式⑥、⑦、⑧都要求字母是正實(shí)數(shù)(事實(shí)上對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)也成立)．

2．填空：

(1)當(dāng)a________時(shí)，an＋a－n≥________；

(3)當(dāng)x________時(shí)，lg2x＋1≥_________；

(5)tg2α＋ctg2α≥________；

(6)sinxcosx≤________；

師：從上述解題中，我們可以看到：(1)對(duì)公式中的字母應(yīng)作廣義的理解，可以代表數(shù)，也可以代表式子．公式可以順用，也可以逆用．總之要靈活運(yùn)用公式．(2)上述題目中右邊是常數(shù)的，說明左邊的式子有最大或最小值．因此，在一定條件下應(yīng)用重要不等式也可以求一些函數(shù)的最大(小)值．(3)重要不等式還可以用于數(shù)值估計(jì)．如

表明任何自然數(shù)的算術(shù)平方根不大于該數(shù)加1之半．

四、布置作業(yè)

略．

教案說明

1．知識(shí)容量問題

這一節(jié)課安排的內(nèi)容是比較多的，有些是補(bǔ)充內(nèi)容．這是我教重點(diǎn)中學(xué)程度比較好的班級(jí)時(shí)的一份教案．實(shí)踐證明是可行的，效果也比較好．對(duì)于普通班級(jí)則應(yīng)另當(dāng)別論．補(bǔ)充內(nèi)容(一般式，幾何、三角證法等)可以不講，例題和練習(xí)也須壓縮．但講完兩個(gè)定理及其推論，實(shí)現(xiàn)教學(xué)的基本要求仍是可以做到的．還應(yīng)看到學(xué)生接受知識(shí)的能力也非一成不變的．同是一節(jié)課，講課重點(diǎn)突出，深入淺出，富有啟發(fā)性，學(xué)生就有可能舉一反

三、觸類旁通，獲取更多的知識(shí)．知識(shí)容量增加了，并未增加學(xué)生的負(fù)擔(dān)．從整個(gè)單元來看，由于壓縮了講課時(shí)間，相應(yīng)的就增加了課堂練習(xí)的時(shí)間．反之，如果學(xué)生被動(dòng)聽講，目標(biāo)不清，不得要領(lǐng)，內(nèi)容講得再少，學(xué)生也是難以接受的．由此可見，知識(shí)容量的多少，既與學(xué)生的程度有關(guān)，與教學(xué)是否得法也很有關(guān)系．我們應(yīng)當(dāng)盡可能采用最優(yōu)教法，擴(kuò)大學(xué)生頭腦中的信息容量，以求可能的最佳效果．

2．教學(xué)目的問題

近年來，隨著教改的深入，教師在確定教學(xué)目的和要求時(shí)，開始追求傳授知識(shí)和培養(yǎng)能力并舉的課堂教學(xué)效果．在培養(yǎng)學(xué)生的能力方面，不僅要求學(xué)生能夠運(yùn)用知識(shí)，更重要的是通過自己的思考來獲取知識(shí)．據(jù)此，本節(jié)課確定如下的教學(xué)目的：一是在知識(shí)內(nèi)容上要求學(xué)生掌握四個(gè)公式；二是培養(yǎng)學(xué)生用綜合法進(jìn)行推理的能力．當(dāng)然，學(xué)生能力的形成和發(fā)展，絕不是一節(jié)課所能“立竿見影”的．它比掌握知識(shí)來得慢，它是長期潛移默化的教學(xué)結(jié)果．考慮到中學(xué)數(shù)學(xué)的基本知識(shí)，大量的是公式和定理，如能在每一個(gè)公式、定理的教學(xué)中，都重視把傳授知識(shí)與開拓思維、培養(yǎng)能力結(jié)合起來，天長日久，肯定會(huì)收到深遠(yuǎn)的效果．

3．教材組織與教法選用問題

實(shí)現(xiàn)上述教學(xué)目的，關(guān)鍵在于組織好教材，努力把傳授知識(shí)與開拓思維、培養(yǎng)能力結(jié)合起來．教材中對(duì)定理1和定理2的安排，可能是為了與前面講的比較法和配方法相呼應(yīng)．但這容易使人感到這兩個(gè)定理之間沒有什么內(nèi)在聯(lián)系，又似乎在應(yīng)用定理時(shí)才能用綜合法．事實(shí)上，可以用比較法證明兩個(gè)數(shù)的平方和或三個(gè)數(shù)的立方和的不等式，但當(dāng)n＞3，特別對(duì)n是奇數(shù)時(shí)，用比較法就困難了(因?yàn)檫@時(shí)難以配方與分解因式)．因此不具有一般性．而對(duì)綜合法，學(xué)生在初中證幾何題時(shí)已多次用過了(只是課本上沒有提到這個(gè)名稱)．現(xiàn)行課本中兩個(gè)不等式定理及其推論，是著名的平均值不等式：

和它的等價(jià)形式當(dāng)

n=2，3時(shí)的特殊情況(當(dāng)n=2時(shí)，ai的取值有所變化)．在中學(xué)不講一般形式，只講特殊情況是符合大綱要求的．由于普遍性總是寓于特殊性之中，因此，這兩個(gè)特例應(yīng)是一般式的基礎(chǔ)．同時(shí)，這兩個(gè)特例之間應(yīng)有緊密的聯(lián)系，在推導(dǎo)方法上也應(yīng)該與一般式的證明有共性．這就是本教案的設(shè)計(jì)思想，因而改變了現(xiàn)行課本的證法．

這里，我們用由定理1先推出一個(gè)輔助不等式

a3＋b3≥a2b＋ab2，然后經(jīng)迭代、疊加，推出不等式

a3＋b3＋c3≥3abc，這種方法具有一般性．事實(shí)上，引入一個(gè)一般的輔助不等式

an＋bn≥an-1b＋abn-1(n＞1)，由迭代、疊加，再應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法就可以證出公式

正因?yàn)樯鲜鲎C法具有一般性，即揭示了證法的本質(zhì)(共性)，就必然有利于遞推與探索．又由(a－b)2≥0非常容易推出a2＋b2≥2ab，所以它是“天然”的奠基式．于

2ab，因此，凡能用配方法證明的問題，必能用基本不等式證明，反之亦真．可見配方法的重要作用．它的重要性應(yīng)在上一節(jié)比較法中就予以強(qiáng)調(diào)．

當(dāng)學(xué)生在教師的指導(dǎo)下和教師一起探索問題時(shí)，這個(gè)探索本身就是培養(yǎng)學(xué)生今后獨(dú)立去獲取知識(shí)的過程．

第二篇：基本不等式的證明

課題：基本不等式及其應(yīng)用

一、教學(xué)目的(1)認(rèn)知：使學(xué)生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))和

a?b?ab(a、b∈R+，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))，并能應(yīng)用它們證明一些不等

2式．

(2)情感：通過對(duì)定理及其推論的證明與應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用綜合法進(jìn)行推理的能力．

二、教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：兩個(gè)基本不等式的掌握；

難點(diǎn)：基本不等式的應(yīng)用。

三、教材、學(xué)生分析

教材分析：兩個(gè)基本不等式為以后學(xué)習(xí)不等式的證明和求函數(shù)的最大值或最小值提供了一種

方法，基本不等式的理解和掌握對(duì)以后的解題是很有幫助的。

學(xué)生分析：學(xué)生在上新課之前都預(yù)習(xí)了本節(jié)內(nèi)容，對(duì)上課內(nèi)容有一定的理解。所以根據(jù)這一

情況多補(bǔ)充了一些內(nèi)容，增加了課堂容量。

四、教學(xué)過程

（一）引入新課

客觀世界中，有些不等式關(guān)系是永遠(yuǎn)成立的。例如，在周長相等時(shí)，圓的面積比正方形的面積大，正方形的面積又比非正方形的任意矩形的面積大。對(duì)這些不等關(guān)系的證明，常常會(huì)歸結(jié)為一些基本不等式。今天，我們學(xué)習(xí)兩個(gè)最常用的基本不等式。

（二）推導(dǎo)公式

1．奠基

如果a、b∈R，那么有(a－b)2≥0①

把①左邊展開，得

a2－2ab＋b2≥0，∴a2＋b2≥2ab．

②

②式表明兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和不小于它們的積的2倍．這就是課本中介紹的定理1，也就是基本不等式1，對(duì)任何兩實(shí)數(shù)a、b都成立．由于取“=”號(hào)這種特殊情況，在以后有廣泛的應(yīng)用，因此通常要指出“=”號(hào)成立的充要條件．②式中取等號(hào)的充要條件是什么呢？

學(xué)生回答：a=b，因?yàn)閍=b?a+b=2ab 2

2充要條件通常用“當(dāng)且僅當(dāng)”來表達(dá)．“當(dāng)”表示條件是充分的，“僅當(dāng)”表示條件是必要的．所以②式可表述為：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))．

以公式①為基礎(chǔ)，運(yùn)用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)公式②，這種由已知推出未知(或要求證的不等式)的證明方法通常叫做綜合法．以公式②為基礎(chǔ)，用綜合法可以推出更多的不等式．現(xiàn)在讓我們共同來探索．

2．探索

公式②反映了兩個(gè)實(shí)數(shù)平方和的性質(zhì)，下面我們研究兩個(gè)以上的實(shí)數(shù)的平方和，探索可能得到的結(jié)果．先考查三個(gè)實(shí)數(shù)．設(shè)a、b、c∈R，依次對(duì)其中的兩個(gè)運(yùn)用公式②，有

a2＋b2≥2ab；

b2＋c2≥2bc；

c2＋a2≥2ca．

把以上三式疊加，得

a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca

③

（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào))．

以此類推：如果ai∈R，i=1，2，?，n，那么有

22a12?a2???an?a1a2?a2a3???ana

1④

(當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=?=an時(shí)取“=”號(hào))．

④式是②式的一種推廣式，②式就是④式中n=2時(shí)的特殊情況．③和④式不必當(dāng)作公式去記，但從它們的推導(dǎo)過程中可以學(xué)到一種處理兩項(xiàng)以上的和式問題的數(shù)學(xué)思想與方法——迭代與疊加．

3．練習(xí)

222求證：a+b+c+3≥2（a+b+c）

4．基本不等式

2直接應(yīng)用基本不等式1可以得到基本不等式2

如果a、b、∈R，那么ab?R?，在公式②中用a替換a，用替換b，立即得+到

22a）?）?2ab 即a?b?2ab ∴a?b?ab⑤

2(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))．

這就是課本中基本不等式2 我們把a(bǔ)?b和ab分別叫做正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)。

25、公式小結(jié)

(1)我們從公式①出發(fā)，運(yùn)用綜合法，得到許多不等式公式，其中要求同學(xué)熟練掌握的是公式①、②、③、⑤．它們之間的關(guān)系可圖示如下： 展開 迭代、疊加①

配方

② ③ 降換

次元

⑤

(2)上述公式的證法不止綜合法一種．比如公式②，在課本上是用比較法證明的．但是不論哪種推導(dǎo)系統(tǒng)，其理論基礎(chǔ)都是實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)．

(3)四個(gè)公式中，②、⑤是基礎(chǔ)，最重要．它們還可以用幾何法證明．

+222幾何法：構(gòu)造直角三角形ABC，使∠C=90°，BC=a，AC=b(a、b∈R)，則a＋b=c表

示以斜邊c為邊的正方形的面積．而

2ab?4?ab?4S?ABC 2

如上左圖所示，顯然有c?4?21ab 2

∴a＋b≥2ab 22

(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)，這時(shí)Rt△ABC等腰，如上右圖)．這個(gè)圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時(shí)所用過的“勾股方圓圖”，同學(xué)們在初中已經(jīng)見過． 公式

示：

a?b?ab也可以用幾何法證明，它的幾何意義是半徑大于等于半弦，如下圖所2

（三）例題

1、已知x，y∈R，證明：+xy??2，并指出等號(hào)成立的條件。yx2、已知a,b∈R，并且ab=4，求證：a?b?8，并指出等號(hào)成立的條件。223、已知x，y∈R，并且x+y=1，求證：xy≤+1 4

（其中一題作為練習(xí)）

（四）應(yīng)用

下面我們來解決開始上課時(shí)所提到的：在周長相等時(shí)，正方形的面積又比非正方形的任意矩形的面積大。

求證：在周長相等的矩形中，正方形的面積最大。

證明：設(shè)矩形的長和寬分別a，b(a，b為正數(shù)，且a≠b)，同樣周長的正方形的邊長為a?b，2

'可計(jì)算得矩形的面積S=ab，正方形的面積S?(a?b2)，2

由基本不等式2，得a?b?ab?0（因?yàn)閍≠b等號(hào)不成立）。2

a?b2)?(ab)2，即S′>S.2又由不等式性質(zhì)，得（（五）作業(yè)

練習(xí)冊P10/6

第三篇：基本不等式與不等式基本證明

課時(shí)九 基本不等式與不等式基本證明

第一部分：基本不等式變形技巧的應(yīng)用

基本不等式在求解最值、值域等方面有著重要的應(yīng)用，利用基本不等式時(shí)，關(guān)鍵在對(duì)已知條件的靈活變形，使問題出現(xiàn)積（或和）為定值，以便解決問題，現(xiàn)就常用技巧給以歸納。

技巧一：加減常數(shù)

例

1、求函數(shù)y?x?

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)各項(xiàng)符號(hào)不確定時(shí)，必須分類討論，要保證代數(shù)式中的各項(xiàng)均為正。

技巧二：巧變常數(shù)

例

2、已知0?x?

點(diǎn)評(píng)：形如f(x)?x(1?ax)或f(x)?x2(1?ax2)等可有兩種變形方法：一是巧乘常數(shù)；二是巧提常數(shù)，應(yīng)用時(shí)要注意活用。

技巧

三、分離常數(shù)

例

3、已知x?

5452121x?1(x?1)的值域。，求函數(shù)y＝x（1－2x）的最大值。，則f(x)?x?3x?32x?4542有（）32A、最大值B、最小值C、最大值D、最小值

32點(diǎn)評(píng)：通過加減常數(shù)，分離出一個(gè)常數(shù)是分式函數(shù)求值域常用的方法，這里一定要加減好“常數(shù)”，以利于問題的解決。

技巧

四、活用常數(shù)

例

4、若x,y?R且滿足

點(diǎn)評(píng)：通過配湊“1”并進(jìn)行“1”的代換，整理后得到基本不等式的形式，減少了使用基本不等式的次數(shù)，有效地避免了等號(hào)不能同時(shí)取到的麻煩。

技巧

五、統(tǒng)一形式

?例

5、已知a,b,c?R，求(a?b?c)(?4x?16y?1，求x＋y的最小值。1

a?b?1

c)的最小值。

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)分母的特點(diǎn)，進(jìn)行結(jié)構(gòu)調(diào)整為統(tǒng)一的形式，這樣便能快速求解。含有根號(hào)的問題也要注意形式的統(tǒng)一（如求函數(shù)y?x?x2(0?x?1)可變形為y?第二部分：均值定理證明不等式的方法技巧

。x(1?x)等）

1．輪換對(duì)稱型

例1 若a,b,c是互不相等的實(shí)數(shù)，求

證：a?b?c

222

?ab?bc?ac.點(diǎn)評(píng)：分段應(yīng)用基本等式，然后整體相加(乘)得結(jié)論，是證明輪換對(duì)稱不等式的常用技

巧。

2．利用“1”的代換型

111?

已知a,b,c?R,且 a?b?c?1,求證 ???9.abc例2

點(diǎn)評(píng)：做“1”的代換。

.3.逆向運(yùn)用公式型

a,b?R,a?b?1求證： a?

?

?b?

?2.例3已知

點(diǎn)評(píng)：依據(jù)求證式的結(jié)構(gòu)，湊出常數(shù)因子，是解決此類問題的關(guān)鍵。為脫去左邊的根號(hào)，a?

12,b?

將

1?1???

轉(zhuǎn)換成 1??a??,1??b??,然后逆向運(yùn)22?2???

用均值不等式： 若

a,b?R則 ab?

?

a?b2

.4．挖掘隱含條件證明不等式

1??1?1??

a,b?R,a?b?1求證：?1???1???.a??b?9 ?例4 已知

?a,b?R?,a?b?1

1??2

?ab?說明a,b?R,a?b?1的背后隱含??a?b?

4??ab??

?2?點(diǎn)評(píng):由于?

著一個(gè)不等式ab?

.5．用均值不等式的變式形式證明不等式

a?b?例5已知a,b,c?R,求證：

?

b?c

?c?a

?

2?a?b?c?.點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵在于對(duì)a?b,b?c,c?a的處理，如果能找出

a?b與a?b間的關(guān)系，問題就可以

222222

解決，注意到

?

a?b?2ab?2a?b

?

??

?a?b?2

?2a?b

?a?b ?其中a,b,c?R?即可。解題時(shí)要注意a

?b?2ab的a?b

變式應(yīng)用。常用

?

a?b2

(其中a,b?R)來解決有關(guān)根式不等式的問題.?

第四篇：基本不等式的證明 教案

課題：基本不等式的證明(1)

斜橋中學(xué)肖劍

一、教材分析

不等式是高中的重點(diǎn)也是難點(diǎn),而本節(jié)內(nèi)容又是該章的重中之重，是《考試說明》中八個(gè)C級(jí)考點(diǎn)之一。基本不等式的證明方法（比較法、分析法、綜合法）為我們證明不等關(guān)系提供了主要的方法及應(yīng)用。用基本不等式求函數(shù)最值也是高考的一個(gè)熱點(diǎn)。

二、教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)目標(biāo)：⑴知道算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)的概念

⑵探索并了解基本不等式的證明過程，體會(huì)證明不等式的基本思想方法；

⑶能利用基本不等式證明簡單的不等關(guān)系。

2.情感目標(biāo)：通過不等式基本性質(zhì)的探究過程，培養(yǎng)學(xué)生合作交流的思維品質(zhì)，滲透不等式

中的數(shù)學(xué)美，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，陶冶學(xué)生的數(shù)學(xué)情操。

3.能力目標(biāo):⑴通過對(duì)基本不等式證明的理解，體會(huì)三種證明方法，能準(zhǔn)確用三種證明中簡

單的方法證明其它不等式問題。

⑵體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)其觀察、分析問題的能力和總結(jié)概括的能力

三、教學(xué)重、難點(diǎn)

以學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)定理來得出重點(diǎn)，以學(xué)生小組討論，教師點(diǎn)撥來突破難點(diǎn)。

四、教學(xué)方法

以學(xué)生自主探究為住，教師歸納總結(jié)，采用啟發(fā)式教學(xué)。

五、教學(xué)過程

1、創(chuàng)設(shè)情境、導(dǎo)入新課

利用多媒體顯示下面不等式，由學(xué)生完成比較大小。

3?42?94?

423

322222、問題探究、講授新課

提出問題：能否發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

通過比較，學(xué)生不難得出，兩數(shù)和的一半大于兩數(shù)積的算術(shù)平方根。從而得出數(shù)學(xué)表達(dá)式a?b?ab。從而得出本節(jié)課的第一個(gè)重點(diǎn)：基本不等式的定理。這樣由學(xué)生自主探索、2發(fā)現(xiàn)新知，可讓他們體會(huì)獲得成功的愉悅感。在這里，如果學(xué)生漏掉a和b是正數(shù)，可對(duì)他們進(jìn)行修正，并可擴(kuò)充到a?0，b?0。同時(shí)講明取“＝”當(dāng)且僅當(dāng)?shù)暮x，接著可向?qū)W生講

解算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)的概念。

得出這個(gè)定理后，下面我可利用多媒體生動(dòng)地向?qū)W生展示該不等式的幾何證明即不等式的幾何意義同時(shí)強(qiáng)調(diào)取等號(hào)時(shí)的位置，這樣可提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。展示完后，我便可提問，剛才我們是從圖中直觀地看出這個(gè)不等式是正確的，但我們數(shù)學(xué)是需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬜C明，同學(xué)們可用哪些方法去證明呢？這便是本節(jié)課的第二個(gè)重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。在此，可鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)揮集體的力量，一人不行兩人，兩人不行四人，大家一起探討，這樣以學(xué)生為主體，使他們?nèi)紖⑴c到課堂中去，使課堂達(dá)到高潮。在學(xué)生的討論過程中，我也深入到學(xué)生中去，并做適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥。

通過學(xué)生的討論，學(xué)生不難得出用作差的方法證明該不等式，對(duì)此，我對(duì)他們進(jìn)行鼓勵(lì)、肯定，豎立他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。同時(shí)向他們講明作差比較是我們高中階段證明不等式的重要方法之一。最后我用多媒體展示書寫過程，幫他們再次強(qiáng)化該方法的書寫步驟。對(duì)于分析法，我估計(jì)學(xué)生可能會(huì)想到思路，會(huì)說出大致的證明過程，但對(duì)該方法的理解還是很模糊的，在這里，我首先向他們介紹這就是分析法，是我們證明不等式的另一個(gè)重要方法，接著講解該方法，即從結(jié)論出發(fā)，推到已知結(jié)論或恒等式或公理，最后由我在黑板上完成書寫，幫他們學(xué)會(huì)規(guī)范的書寫，即“要證，只要證”的形式

要證ab?a?b

2只要證2ab?a?b

只要證0?a?b?2ab

只要證0?a?b ?2

因?yàn)樽詈笠粋€(gè)不等式成立，所以ab? a?b成立，當(dāng)且僅當(dāng)a?b，即a?b時(shí)取“?” 2

對(duì)于綜合法，在證明這道題時(shí)，如果學(xué)生沒有先想到，就把本方法在最后的方法中講，因?yàn)榫C合法在本題中不易想到從哪個(gè)式子開始證明，但有了比較法和分析法后，學(xué)生自然能想到從哪個(gè)式子開始證明，同時(shí)講清綜合法的特點(diǎn)，即由條件，推倒結(jié)論。

講完三種證明方法后，留一定時(shí)間給學(xué)生，讓他們自己去感悟一下三種方法的特點(diǎn)及書寫過程，加深他們的印象。

b2a2

?最后，我以鞏固本節(jié)課所學(xué)知識(shí)為目的，讓學(xué)生比較:與a?b的大小(其中ab

a,b?R?)，在這里，我認(rèn)為比較兩個(gè)變量的大小，可引導(dǎo)學(xué)生利用我們上課一開始比較具體數(shù)大小的方法，代幾個(gè)具體的數(shù)去比較。這種方法在我們以后做填空題中比較大小是一種捷徑。而本題的證明可利用我們今天課上所講的三種方法，我打算讓兩位學(xué)生在黑板板演，以檢驗(yàn)他們掌握情況與書寫格式是否合理。如時(shí)間還有剩余，可由學(xué)生完成例一，幫他們鞏固基本不等式定理。

例一1．設(shè)a,b為正數(shù)，證明下列不等式成立：

ba1??2（2）a??2 aba

162．已知函數(shù)y?x?，x?(?2,??)，求此函數(shù)的最小值。x?2（1）

六、回顧反思：

本節(jié)課的最后，由學(xué)生思考今天所學(xué)到了哪些知識(shí)，這些知識(shí)可解決哪些問題？

七、板書設(shè)計(jì)

基本不等式

一、定理

a?b?ab（a?0，b?0）

2二、證明方法

⑴作差法

⑵分析法

⑶綜合法

三、探索 a?b比較?2a2?b2的大小 2

如何證明

例一

第五篇：3.4.1 基本不等式的證明[模版]

a＋b§3.4 基本不等式ab≤a≥0，b≥0)

23．4.1 基本不等式的證明

一、基礎(chǔ)過關(guān)

111．已知a>0，b>0＋ab的最小值是________． ab

2．若a，b∈R，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是________．

112ba①a2＋b2>2ab②a＋b≥ab③＋>④≥2 ababab

1213．已知m＝a＋(a>2)，n＝2x－2(x<0)，則m、n之間的大小關(guān)系是________． a－

24．設(shè)0

①logab＋logba≥2②logab＋logba≥－2

③logab＋logba≤－2④logab＋logba>2

255．若lg x＋lg y＝1，則的最小值為________． xy

6．已知a，b∈(0，＋∞)，則下列不等式中恒成立的是________．

111①a＋b≥22②(a＋b)??a＋b≥4 ab

a2＋b22ab③2ab④ab a＋bab

bccaab7．設(shè)a、b、c都是正數(shù)，求證：＋≥a＋b＋c.abc

2x＋y

28．已知x>y>0，xy＝1，求證：22.x－y

二、能力提升

19．若a<1，則a＋______(填“大”或“小”)值，為__________． a－

1x10．若對(duì)任意x>0，a恒成立，則a的取值范圍為________． x＋3x＋1

1111．設(shè)x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝23，則＋________． xy

12．已知a，b，c為不等正實(shí)數(shù)，且abc＝1.111求證：＋<＋abc

三、探究與拓展

1613．已知a>b>0，求證：a2＋16.b?a－b?

答案

1．4 2.④ 3.m>n 4.③ 5.26．①②③

bccaab7．證明 ∵a、b、c都是正數(shù)，也都是正數(shù)． abcbccacaabbcab∴≥2c，≥2a，＋≥2b，abbcac

bccaab?三式相加得2??abc?≥2(a＋b＋c)，bccaab即＋≥a＋b＋c.abc

8．證明 ∵xy＝1，x2＋y2?x－y?2＋2xy?x－y?2＋2∴＝x－yx－yx－y

2＝(x－y)＋≥?x－y? x－yx－y

＝22.2??x－y＝x－y當(dāng)且僅當(dāng)?，??xy＝1

時(shí)取等號(hào)． －2

1，＋∞? 11.1 9．大 －1 10.??5?

1112．證明 ≥＝2c，abab

11＝2a，bcbc

11≥＝2b，caac

111∴2??a＋b＋c≥2(a＋b＋c)，111即＋≥a＋b＋c.abc∵a，b，c為不等正實(shí)數(shù)，111∴a＋b＋c＋.abc

13．證明 方法一 ∵a>b>0，∴a－b>0.1616∴a2＋[(a－b)＋b]2＋ b?a－b?b?a－b?

16≥[2?a－b?b]2＋ b?a－b?

16＝4(a－b)b＋ b?a－b?

4≥4×2?a－b?b×＝16.b?a－b?

4取“＝”時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)：a－b＝b>0且(a－b)b＝，b?a－b?

即當(dāng)a＝2且b＝2時(shí)“＝”成立．

方法二 ∵a>b>0，a2a∴a－b>0，b(a－b)≤??2＝4，當(dāng)且a＝2b時(shí)取等號(hào)，2??x＝即???y＝6＋22

161664∴a2＋a2＋a2＋ aab?a－b?

≥264＝16.當(dāng)a＝2，b＝2時(shí)，等號(hào)成立．