第一篇：數(shù)學(xué) -復(fù)數(shù)的向量表示 -數(shù)學(xué)教案

教學(xué)目標(biāo)

（1）掌握向量的有關(guān)概念：向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量；

（2）理解并掌握復(fù)數(shù)集、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的集合、復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量集合之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；

（3）掌握復(fù)數(shù)的模的定義及其幾何意義；

（4）通過(guò)學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的向量表示，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；

（5）通過(guò)本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、分析能力，幫助學(xué)生逐步形成科學(xué)的思維習(xí)慣和方法．

教學(xué)建議

一、知識(shí)結(jié)構(gòu)

本節(jié)內(nèi)容首先從物理中所遇到的一些矢量出發(fā)引出向量的概念，介紹了向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量的概念，接著介紹了復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量集合之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，指出了復(fù)數(shù)的模的定義及其計(jì)算公式．

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

本節(jié)的重點(diǎn)是復(fù)數(shù)與復(fù)平面的向量的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解；難點(diǎn)是復(fù)數(shù)模的概念．復(fù)數(shù)可以用向量表示，二者的對(duì)應(yīng)關(guān)系為什么只能說(shuō)復(fù)數(shù)集與以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量的集合一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而不能說(shuō)與復(fù)平面內(nèi)的向量一一對(duì)應(yīng)，對(duì)這一點(diǎn)的理解要加以重視．在復(fù)數(shù)向量的表示中，從復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)以及以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系是本節(jié)教學(xué)的難點(diǎn)．復(fù)數(shù)模的概念是一個(gè)難點(diǎn)，首先要理解復(fù)數(shù)的絕對(duì)值與實(shí)數(shù)絕對(duì)值定義的一致性質(zhì)，其次要理解它的幾何意義是表示向量的長(zhǎng)度，也就是復(fù)平面上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．

三、教學(xué)建議

1．在學(xué)習(xí)新課之前一定要復(fù)習(xí)舊知識(shí)，包括實(shí)數(shù)的絕對(duì)值及幾何意義，復(fù)數(shù)的有關(guān)概念、現(xiàn)行高中物理課本中的有關(guān)矢量知識(shí)等，特別是對(duì)于基礎(chǔ)較差的學(xué)生，這一環(huán)節(jié)不可忽視．

2．理解并掌握復(fù)數(shù)集、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)集、復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量集合三者之間的關(guān)系

如圖所示，建立復(fù)平面以后，復(fù)數(shù) 與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn) 形成—一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而點(diǎn) 又與復(fù)平面的向量 構(gòu)成—一對(duì)應(yīng)關(guān)系．因此，復(fù)數(shù)集 與復(fù)平面的以 為起點(diǎn)，以 為終點(diǎn)的向量集 形成—一對(duì)應(yīng)關(guān)系．因此，我們常把復(fù)數(shù) 說(shuō)成點(diǎn)Z或說(shuō)成向量 ．點(diǎn)、向量 是復(fù)數(shù) 的另外兩種表示形式，它們都是復(fù)數(shù) 的幾何表示．

相等的向量對(duì)應(yīng)的是同一個(gè)復(fù)數(shù)，復(fù)平面內(nèi)與向量 相等的向量有無(wú)窮多個(gè)，所以復(fù)數(shù)集不能與復(fù)平面上所有的向量相成—一對(duì)應(yīng)關(guān)系．復(fù)數(shù)集只能與復(fù)平面上以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量集合構(gòu)成—一對(duì)應(yīng)關(guān)系．

2．這種對(duì)應(yīng)關(guān)系的建立，為我們用解析幾何方法解決復(fù)數(shù)問(wèn)題，或用復(fù)數(shù)方法解決幾何問(wèn)題創(chuàng)造了條件．

3．向量的模，又叫向量的絕對(duì)值，也就是其有向線段的長(zhǎng)度．它的計(jì)算公式是，當(dāng)實(shí)部為零時(shí)，根據(jù)上面復(fù)數(shù)的模的公式與以前關(guān)于實(shí)數(shù)絕對(duì)值及算術(shù)平方根的規(guī)定一致．這些內(nèi)容必須使學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上牢固地掌握．

4．講解教材第182頁(yè)上例2的第（1）小題建議．在講解教材第182頁(yè)上例2的第（1）小題時(shí)．如果結(jié)合提問(wèn) 的圖形，可以幫助學(xué)生正確理解教材中的“圓”是指曲線而不是指圓面（曲線所包圍的平面部分）．對(duì)于倒2的第（2）小題的圖形，畫(huà)圖時(shí)周界（兩個(gè)同心圓）都應(yīng)畫(huà)成虛線．

5．講解復(fù)數(shù)的模．講復(fù)數(shù)的模的定義和計(jì)算公式時(shí)，要注意與向量的有關(guān)知識(shí)聯(lián)系，結(jié)合復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)，以復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為終點(diǎn)的向量之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，使學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上記憶。向量 的模，又叫做向量 的絕對(duì)值，也就是有向線段OZ的長(zhǎng)度 ．它也叫做復(fù)數(shù) 的模或絕對(duì)值．它的計(jì)算公式是 ．

教學(xué)設(shè)計(jì)示例

復(fù)數(shù)的向量表示

教學(xué)目的

1掌握復(fù)數(shù)的向量表示，復(fù)數(shù)模的概念及求法，復(fù)數(shù)模的幾何意義．

通過(guò)數(shù)形結(jié)合研究復(fù)數(shù)．

3培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義思想． 重點(diǎn)難點(diǎn)

復(fù)數(shù)向量的表示及復(fù)數(shù)模的概念． 教學(xué)學(xué)具

投影儀 教學(xué)過(guò)程 1復(fù)習(xí)提問(wèn)：向量的概念；模；復(fù)平面． 2新課：

一、復(fù)數(shù)的向量表示：

在復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)，點(diǎn)Z（a，b）為終點(diǎn)的向量OZ，由點(diǎn)Z（a，b）唯一確定．

因此復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)集與復(fù)數(shù)集C之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)集與以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量一一對(duì)應(yīng)．

常把復(fù)數(shù)z=a+bi說(shuō)成點(diǎn)Z（a，b）或說(shuō)成向量OZ，并規(guī)定相等向量表示同一復(fù)數(shù)．

二、復(fù)數(shù)的模

向量OZ的模（即有向線段OZ的長(zhǎng)度）叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的模（或絕對(duì)值）記作|Z|或|a+bi|

|Z|=|a+bi|=a+b

例1 求復(fù)數(shù)z1=3+4i及z2=-1+2i的模，并比較它們的大小．

解：∵|Z1|2=32+42=25 |Z2|2=（-1）2+22=5

∴|Z1|＞|Z2| 練習(xí)： 1已知z1=1+3i z2=-2i Z3=4 Z4=-1+2i

⑴在復(fù)平面內(nèi)，描出表示這些向量的點(diǎn)，畫(huà)出向量．

⑵計(jì)算它們的模．

三、復(fù)數(shù)模的幾何意義

復(fù)數(shù)Z=a+bi，當(dāng)b=0時(shí)z∈R |Z|=|a|即a在實(shí)數(shù)意義上的絕對(duì)值復(fù)數(shù)?？煽醋鼽c(diǎn)Z（a，b）到原點(diǎn)的距離．

例2 設(shè)Z∈C滿足下列條件的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？

⑴ |Z|=4 ⑵ 2≤|Z|＜4

解：（略）

練習(xí)：⑴ 模等于4的虛數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)集 ．

⑵ 比較復(fù)數(shù)z1=－5+12i z2=―6―6i的模的大小．

⑶已知：|Z|=|x+yi|=1 求表示復(fù)數(shù)x+yi的點(diǎn)的軌跡． 教學(xué)后記： 板書(shū)設(shè)計(jì)：

一、復(fù)數(shù)的向量表示：

三、復(fù)數(shù)模的幾何意義

二、復(fù)數(shù)的模

例2 例1 探究活動(dòng)

已知 要使，還要增加什么條件？

解：要使，即 由此可知，點(diǎn) 到兩個(gè)定點(diǎn) 和 的距離之和為6，如把看成動(dòng)點(diǎn)，則它的軌跡是橢圓 ．

因此，所要增加的條件是：點(diǎn) 應(yīng)滿足條件 ．

說(shuō)明 此題是屬于缺少條件的探索性問(wèn)題，解決這類問(wèn)題的一般做法是從結(jié)論出發(fā)，并采用逆推的方法得出終結(jié)的結(jié)論，便理所求的條件．

第二篇：5-平面向量與復(fù)數(shù)綜合練習(xí)

5—平面向量與復(fù)數(shù)綜合練習(xí)

11111．i為虛數(shù)單位，＋＋＝()iiiiA．0B．2iC．－2iD．4i

2．設(shè)i，j是不共線的單位向量，a＝5i＋3j，b＝3i－5j，則a⊥b是i⊥j的()

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既非充分又非必要條件

3．若復(fù)數(shù)z＝1＋i，i為虛數(shù)單位，則(1＋z)·z＝()

A．1＋3iB．3＋3iC．3－iD．

3→→→→→4．若四邊形ABCD滿足AB＋CD＝0，(AB－AD)·AC＝0，則該四邊形一定是()

A．直角梯形B．菱形C．矩形D．正方形

5．平面向量a與b的夾角為60°，a＝(2,0)，|b|＝1，則|a＋2b|＝()

A.3B．23C．4D．1

22＋i6．?dāng)?shù)的共軛復(fù)數(shù)是()1－2i

33AB.C．－iD．i 5

57．已知向量a、b不共線，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么()

A．k＝1且c與d同向B．k＝1且c與d反向

C．k＝－1且c與d同向D．k＝－1且c與d反向

8．a(chǎn)，b為平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，則a，b夾角的余弦值等于()

881616A.B．－C.D．－ 6565656

5→→→→9．已知兩點(diǎn)M(－2,0)，N(2,0)，點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足|MN|·|MP|＋MN·NP＝0，則動(dòng)點(diǎn)P(x，y)的軌跡方程為()

A．y2＝8xB．y2＝－8x

C．y2＝4xD．y2＝－4x ????????????1????????10.在△ABC中，AB=a，AC=b，且BD=DC，則AD=()

241211412A．a(chǎn)-bB．a(chǎn)+bC． a-bD．a(chǎn)+b 3333333

311．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)滿足條件(8a－b)·c＝30，則x＝________.12．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1＋i)z＝2，其中i是虛數(shù)單位，則z＝________.13．|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a－b)，則向量a與向量b的夾角是________．

1→1→3→→→14．在四邊形ABCD中，AB＝DC＝(1,1)BA＋BC＝BD，則四邊形ABCD的面積為_(kāi)_______． →→→|BA||BC||BD|

15．已知A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)．

π→→→→→→(1)若AC·BC＝－1，求sin(α的值；(2)若|OA＋OC|＝13，且α∈(0，π)，求OB與OC的夾角．

4→→→→16．已知向量OP＝(2cos x＋1，cos 2x－sin x＋1)，OQ＝(cos x，－1)，定義f(x)＝OP·OQ.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；

→→(2)若x∈(0,2π)，當(dāng)OP·OQ＜－1時(shí)，求x的取值范圍．

32→→17．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知向量OZ1，OZ2分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z1，z2，且z1＝＋(10－a2)i，z2＝(2a－a＋51－a

→→5)i(其中a∈R)，若z1＋z2可以與任意實(shí)數(shù)比較大小，求OZ1·OZ2的值．

18．已知△ABC的角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，設(shè)向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)．

(1)若m∥n，求證：△ABC為等腰三角形；

π(2)若m⊥p，邊長(zhǎng)c＝2，角C＝，求△ABC的面積． 3

→→→→→→19．已知兩點(diǎn)M(－1,0)，N(1,0)，且點(diǎn)P使NM·NP，PM·PN，MP·MN成公差為非負(fù)的等差數(shù)列．

→→(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)若θ為PM與PN的夾角，求θ的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

答案及解析

1．【解析】 原式＝－i＋i＋(－i)＋i＝0.【答案】 A

2．【解析】 a·b＝(5i＋3j)·(3i－5j)

22＝15|i|－16i·j－15|j|＝－16i·j.∴a⊥b是i⊥j的充要條件．

【答案】 C

3．【解析】 ∵z＝1＋i，∴(1＋z)·z＝(2＋i)(1＋i)＝1＋3i.【答案】 A

→→→→4．【解析】 由AB＋CD＝0知，AB＝DC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．

→→→又(AB－AD)·AC＝0，→→∴DB·AC＝0，即AC⊥BD，因此四邊形ABCD是菱形．

【答案】 B

5．【解析】 ∵|a|＝2，且|b|＝1，∴|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2

＝4＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12.∴|a＋2b|＝23.【答案】 B

2＋i2＋i1＋2i2＋i＋4i－26．【解析】 ∵＝＝＝i，51－2i1－2i1＋2i2＋i∴i.1－2i

【答案】 C

7．【解析】 ∵c∥d且a，b不共線，∴存在唯一實(shí)數(shù)λ，使c＝λd.∴ka＋b＝λa－λb，???k＝λ，?k＝－1，?∴∴? ?1＝－λ，?λ＝－1.??

【答案】 D

8．【解析】 ∵a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，∴b＝(3,18)－2(4,3)＝(－5,12)，5，12?16a·b4，3?·－∴cos〈a，b〉＝＝|a|·|b|5×1365

【答案】 C

→→→9．【解析】 ∵M(jìn)N＝(4,0)，MP＝(x＋2，y)，NP＝(x－2，y)，→→→→∴|MN|·|MP|＋MN·NP

＝x＋2?＋y＋4(x－2)＝0.x＋2?＋y＝2－x，化簡(jiǎn)得y2＝－8x.【答案】 B

10.B

11．【解析】 由(8a－b)·c＝30，得18＋3x＝30，x＝4.【答案】 4

2?1－i?212．【解析】 z＝＝1－i.1＋i1＋i?1－i?

【答案】 1－i

13．【解析】 設(shè)向量a與b的夾角為θ，由a⊥(a－b)，得

a·(a－b)＝0，即|a|2－a·b＝0，∴|a||b|cos θ＝|a|2，|a|

2π∴cos θ＝，故θ＝.|b|24

π【答案】 4

14.3

→→15．【解】(1)∵AC＝(cos α－3，sin α)，BC＝(cos α，sin α－3)，→→∴AC·BC＝(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，得cos2α＋sin2α－3(cos α＋sin α)＝－1，2∴cos α＋sin α 3

π2∴sin(α＋)＝.43

→→(2)∵|OA＋OC|＝13，1∴(3＋cos α)2＋sin2α＝13，∴cos α 2

π313∵α∈(0，π)，∴α＝，sin α＝C()，3222

→→33∴OB·OC＝，2

→→設(shè)OB與OC的夾角為θ，且θ∈[0，π]，3→→2OB·OC3π則cos θ＝.故θ＝為所求． →→326|OB|·|OC|

→→16．【解】(1)f(x)＝OP·OQ

＝2cos2x＋cos x－cos 2x＋sin x－1＝sin x＋cos x

π＝2sin(x＋)，4

則f(x)的最小正周期為T＝2π.π2→→(2)由OP·OQ＜－1，得sin(x＋＜－42

又x∈(0,2π)，5ππ7π3π則x＋π＜x＜.4442

3π故x的取值范圍是(π，． 2317．【解】 依題意z1＋z2為實(shí)數(shù)，由z1－(10－a2)i，a＋5

32∴z1＋z2＝[(a2－10)＋(2a－5)]i的虛部為0，a＋51－a

∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5，或a＝3.又分母不為零，∴a＝3，3此時(shí)z1＝i，z2＝－1＋i，8

3→→即OZ1＝，1)，OZ2＝(－1,1)，8

5→→3∴OZ1·OZ2＝×(－1)＋1×1＝.88

18．【解】(1)證明 ∵m∥n，∴asin A＝bsin B，由正弦定理，得a2＝b2，∴a＝b.∴△ABC為等腰三角形．

(2)由題意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4(舍去ab＝－1)，11π∴S＝absin C＝×4×sin3.22319．【解】(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，又M(－1,0)，N(1,0)，→→→→→→則PM＝－MP＝(－1－x，－y)，PN＝－NP＝(1－x，－y)，MN＝－NM＝(2,0)． →→∴NM·NP＝2(1－x)，→→→→PM·PN＝x2＋y2－1，MP·MN＝2(1＋x)，依題意得

22?2?x2＋y2－1?＝2?1＋x＋2?1－x，?x＋y＝3，????? ??x≥0.2?1＋x－2?1－x≥0??

∴點(diǎn)P的軌跡方程為x2＋y2＝3(x≥0)．

→→(2)(2)∵PM·PN＝(－1－x，－y)·(1－x，－y)

＝x2＋y2－1＝2，→→|PM|·|PN|＝?－1－x?＋?－y??1－x?＋?－y?

＝4－x.→→PM·PN1∴cos θ＝＝.→→4－x|PM|·|PN|

∵0≤x≤3，1π∴≤cos θ≤1，∴0≤θ23

π∴θ的最大值為x＝0，3

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，3)．

第三篇：復(fù)數(shù)的有關(guān)概念高中數(shù)學(xué)教案

（1）掌握復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，如虛數(shù)、純虛數(shù)、復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部、兩復(fù)數(shù)相等、復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸、共軛復(fù)數(shù)、共軛虛數(shù)的概念。

（2）正確對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行分類，掌握數(shù)集之間的從屬關(guān)系；

（3）理解復(fù)數(shù)的幾何意義，初步掌握復(fù)數(shù)集c和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)所成的集合之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

（4）培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，訓(xùn)練學(xué)生條理的邏輯思維能力．

教學(xué)建議

（一）教材分析

1、知識(shí)結(jié)構(gòu)

本節(jié)首先介紹了復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，然后指出復(fù)數(shù)相等的充要條件，接著介紹了有關(guān)復(fù)數(shù)的幾何表示，最后指出了有關(guān)共軛復(fù)數(shù)的概念．

2、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

（1）正確復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部

對(duì)于復(fù)數(shù)，實(shí)部是，虛部是 ．注意在說(shuō)復(fù)數(shù) 時(shí)，一定有，否則，不能說(shuō)實(shí)部是，虛部是 ,復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部都是實(shí)數(shù)。

說(shuō)明：對(duì)于復(fù)數(shù)的定義，特別要抓住 這一標(biāo)準(zhǔn)形式以及 是實(shí)數(shù)這一概念，這對(duì)于解有關(guān)復(fù)數(shù)的問(wèn)題將有很大的幫助。

（2）正確地對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行分類，弄清數(shù)集之間的關(guān)系

分類要求不重復(fù)、不遺漏，同一級(jí)分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一。根據(jù)上述原則，復(fù)數(shù)集的分類如下： 注意分清復(fù)數(shù)分類中的界限：

①設(shè)，則 為實(shí)數(shù)

② 為虛數(shù)

③ 且。

④ 為純虛數(shù) 且

（3）不能亂用復(fù)數(shù)相等的條件解題．用復(fù)數(shù)相等的條件要注意：

①化為復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式

②實(shí)部、虛部中的字母為實(shí)數(shù)，即

（4）在講復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)所有點(diǎn)所成的集合一一對(duì)應(yīng)時(shí)，要注意：

①任何一個(gè)復(fù)數(shù) 都可以由一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)()唯一確定．這就是說(shuō)，復(fù)數(shù)的實(shí)質(zhì)是有序?qū)崝?shù)對(duì)．一些書(shū)上就是把實(shí)數(shù)對(duì)()叫做復(fù)數(shù)的．

②復(fù)數(shù) 用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)z()表示．復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)z的坐標(biāo)是()，而不是()，也就是說(shuō)，復(fù)平面內(nèi)的縱坐標(biāo)軸上的單位長(zhǎng)度是1，而不是 ．由于 =0＋1·，所以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)(0，1)表示 時(shí)，這點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是1，等于縱軸上的單位長(zhǎng)度．這就是說(shuō)，當(dāng)我們把縱軸上的點(diǎn)(0，1)標(biāo)上虛數(shù) 時(shí)，不能以為這一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離就是虛數(shù)單位，或者 就是縱軸的單位長(zhǎng)度．

③當(dāng) 時(shí)，對(duì)任何，是純虛數(shù)，所以縱軸上的點(diǎn)()()都是表示純虛數(shù)．但當(dāng) 時(shí)，是實(shí)數(shù)．所以，縱軸去掉原點(diǎn)后稱為虛軸．

由此可見(jiàn)，復(fù)平面(也叫高斯平面)與一般的坐標(biāo)平面(也叫笛卡兒平面)的區(qū)別就是復(fù)平面的虛軸不包括原點(diǎn)，而一般坐標(biāo)平面的原點(diǎn)是橫、縱坐標(biāo)軸的公共點(diǎn)．

④復(fù)數(shù)z=a＋bi中的z，書(shū)寫時(shí)小寫，復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)z(a，b)中的z，書(shū)寫時(shí)大寫．要學(xué)生注意．

（5）關(guān)于共軛復(fù)數(shù)的概念

設(shè)，則，即

第四篇：三角形四心的向量表示

從動(dòng)和靜兩個(gè)角度看三角形中四“心”的向量表示

平面幾何中中三角形的四“心”,即三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心。在引入向量這個(gè)工具后，我們可以從動(dòng)和靜兩個(gè)角度看三角形中的四“心”的向量表示，其一可以使我們對(duì)三角形中的四“心”有全新的認(rèn)識(shí)；其二使我們對(duì)向量形式的多樣性和向量運(yùn)算的靈活性有更清楚的認(rèn)識(shí)。

一．從靜止的角度看向量的四“心”

?????????????1．已知點(diǎn)O是三角形ABC所在平面上一點(diǎn)，若OA?OB?OC?0，則O是三角形ABC的（）

（A）內(nèi)心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

?????????????????????????????????分析：若OA?OB?OC?0，則OA?OB??OC，設(shè)以O(shè)A、OB為鄰邊的平行四邊形為OAC?B,OC與??????????????????????AB交于點(diǎn)D,則D為AB的中點(diǎn),由OA?OB?OC?得,OC??OC?,即C、O、D、C?四點(diǎn)共線,故CD為?ABC的中線,所以O(shè)在邊AB的中線上,同理可證, O在邊AC的中線上, O在邊BC的中線上所以O(shè)是三角形ABC的重心.???????????????????????? 2.已知點(diǎn)O是三角形所在平面上一點(diǎn)，若OA?OB?OB?OC?OC?OA,則O是三角形ABC的（）

（A）內(nèi)心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

????????????????????????????????????分析:由OA?OB?OB?OC得,OB?(OA?OC)?0,即OB?CA?0,所以O(shè)B?C,A同理可證:OC?AB,OA?BC,所以O(shè)是?ABC的垂心.????????????3.已知點(diǎn)O是三角形所在平面上一點(diǎn)，若aOA?bOB?cOC?0,則O是三角形ABC的（）

（A）內(nèi)心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

????????????????????????????????????????????????分析::若aOA?bOB?cOC?0,又因?yàn)镺B?OA?AB,OC?OA?AC,則(a?b?c)OA?bAB?cAC?0.所????以AO???????????????????????????bcABACABAC???????,因?yàn)????與????分別表示AB和AC方向上的單位向量,設(shè)????a?b?c?|AB||AC|?|AB||AC|????????????????????????????????ABAC?+????,則AP平分?BAC.又AO、AP????AP共線，BO平分?BAC，知AO平分?BAC。同理可證，|AB||AC|????CO平分?BAC。從而O是?ABC的內(nèi)心。

????2????2????24．已知點(diǎn)O是三角形所在平面上一點(diǎn)，若OA?OB?OC，則O是三角形ABC的（）

（A）內(nèi)心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

????????????????2????2????2????2????2????2分析：因?yàn)镺A?OB?OC，所以O(shè)A?OB?OC，即OA?OB?OC，所以O(shè)是?ABC的外心。

二．從運(yùn)動(dòng)的角度看三角形的四“心”

1．已知點(diǎn)O是平面上一個(gè)定點(diǎn)，A、B、C是平面內(nèi)不共線三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足????????????????OP?OA??(AB?AC),??R，則動(dòng)點(diǎn)P一定通過(guò)?ABC的（）

（A）內(nèi)心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心 ????????????????????????????????????????????解:OP?OA??(AB?AC),可得AP??(AB?AC),由于AB?AC表示以AB,AC為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線,所以點(diǎn)P在邊BC的中線所在直線上，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)?ABC的重心.2．已知點(diǎn)O是平面上一個(gè)定點(diǎn)，A、B、C是平面內(nèi)不共線三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足?????????????????ABAC??+???? OP?OA???????,??R，則動(dòng)點(diǎn)P一定通過(guò)?ABC的（）?|AB||AC|?（A）內(nèi)心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

?????????????????????????????????????AB?????ABACACABAC?+???? ?得，AP???????+???? ?。由于?????+???? ?表分析：由OP?OA???????|AB||AC|??|AB||AC|??|AB||AC|?示?BAC的平分線所在的方向向量。故當(dāng)??R時(shí)，動(dòng)點(diǎn)則動(dòng)點(diǎn)P一定通過(guò)?ABC的內(nèi)心。

3已知點(diǎn)O是平面上一個(gè)定點(diǎn)，A、B、C是平面內(nèi)不共線三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足??????????????????ABAC????????+ ? ,??R，則動(dòng)點(diǎn)P一定通過(guò)?ABC的（）OP?OA???|AB|cosB|AC|coCs??（A）內(nèi)心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

????????????????????????????????ABACABAC??+???? ?得，AP??????+???? ?。分析: 由OP?OA???????|AB|cosB|AC|cosC??|AB|cosB|AC|cosC??????????????????????????????????ABAC??ABB?CA?C???BC?????????+???? ?B C????B?C?B,C0由于????所以?cosAB|B|coAsC|C|cos?|AB|coBsA|C?|C????????。即點(diǎn)P的軌跡是過(guò)點(diǎn)A且垂直于BC的直線，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)?ABC的垂心。AP?B?0C4.已知O平面上一個(gè)定點(diǎn)，A、B、C是平面內(nèi)不共線三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足????????????OB?OCOP???2??????????ABAC????????+ ,??R，則動(dòng)點(diǎn)P一定通過(guò)?ABC的（）??sA|C|coC?|AB|coB?s（A）內(nèi)心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

??????????ABAC????????+ ??|AB|cosB|AC|cosC??????????????????????????ABACABAC??+???? ?,當(dāng)??R時(shí), ?????+???? ?表示垂直于可得DP???????|AB|cosB|AC|cosC??|AB|cosB|AC|cosC?????????????????????????OB?OCOB?OC分析:設(shè)BC的中點(diǎn)為為D,則???OD,所以由OP?22????BC的向量,所以DP為線段BC的垂直平分線,故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)?ABC的外心.上面通過(guò)動(dòng)和靜兩個(gè)角度看三角形的四”心”的向量表示,得出了椒優(yōu)美的結(jié)論,使我們對(duì)向量的四心有了新的認(rèn)識(shí),更好的體會(huì)到辯證的和諧的統(tǒng)一.

第五篇：三角形內(nèi)心的向量表示形式

三角形內(nèi)心的向量表示形式

有這樣一個(gè)高考題：

已知O，N，P在?ABC所在平面內(nèi)，且OA?OB?OC,NA?NB?NC?0，且PA?PB?P?BP?C，則點(diǎn)P?CPAO，N，P依次是?ABC的（）

（A）重心 外心 垂心

（B）重心 外心 內(nèi)心

（C）外心 重心 垂心

（D）外心 重心 內(nèi)心

答案為C，即分別為外心、重心、垂心，通過(guò)此題我們可以發(fā)現(xiàn)三角形的這三個(gè)“心”的向量表示形式非常和諧美觀。而三角形的“心”常見(jiàn)的有四個(gè)，我們不僅會(huì)想三角形內(nèi)心的向量表示形式是什么呢？

內(nèi)心的向量表示有三種常見(jiàn)的形式，網(wǎng)絡(luò)以及資料上面，對(duì)于它們的證明往往不完整，下面我把內(nèi)心的向量表示形式及其驗(yàn)證的完整過(guò)程給讀者介紹一下．

（１）點(diǎn)I是?ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，I是?ABC內(nèi)心的充要條件是

??????????????CACB??????BI????????????CI?0

??CACB????????????????????ABAC分析：此條件直觀意義較強(qiáng)，如?????????即分別為與AB、AC同

ABAC???????????AI??????????????ABAC?????????ABAC????????BCBA?????????BCBA??????????????向的單位向量AM、AN的差向量MN，由條件可得MN與AI垂直，而MN為等腰?AMN的底邊，故AI為?A的角平分線，同理可得BI、CI亦為角平分線，即I是?ABC內(nèi)心．

上面的條件直觀意義較易發(fā)現(xiàn)，然而形式較為復(fù)雜，下面介紹一個(gè)較為簡(jiǎn)單的充要條件，你能做出證明嗎？

（2）如圖，?ABC的邊長(zhǎng)分別為a、b、c,點(diǎn)I是?ABC所在平面內(nèi)一

??????????點(diǎn)，I是?ABC內(nèi)心的充要條件是aIA?bIB?cIC?0

證明：已知點(diǎn)I為?ABC的內(nèi)心，延長(zhǎng)AI交BC于點(diǎn)D，則BDcBDcac?，所以?，BD? DCbBCb?cb?cAIABAIb?ccb?c??? ?，所以

acIDBDADa?b?cab?c連接BI,則有??????????b?c????b?c???b?c???c???AD=(AB?BD)?(AB?BC)因此，AI?a?b?ca?b?ca?b?cb?c???b?c???c???????b?cb???c?????(AB?(AC?AB))?(AB?AC)a?b?cb?ca?b?cb?cb?c?????????bcb?c?b???c?????AB?AC ?AB?AC???a?b?ca?b?ca?b?c?b?cb?c?????????????(a?b?c)AI?bAB?cAC

????????????????????????aAI?(bAB?bAI)?(cAC?cAI)?bIB?cIC

???????????aIA?bIB?cIC?0

??????????反之，當(dāng)aIA?bIB?cIC?0時(shí)，可得點(diǎn)I為?ABC的角平分線的交點(diǎn)，即為三角形的內(nèi)心．

此題的證明需要利用角平分線的性質(zhì)定理與比例的性質(zhì)，在化簡(jiǎn)變形的過(guò)程中要特別注意．（２）若0為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則點(diǎn)I為?ABC的內(nèi)心的充要條件為????????????abcOA?OB?OC

a?b?ca?b?ca?b?c??????????證明：由（1）知aIA?bIB?cIC?0 ???OI??????????????????????? ?a(OI?OA)?b(OI?OB)?c(OI?OC)?0 ??????????????? ?(a?b?c)OI?aOA?bOB?cOC

??? 從而有OI?????????????abcOA?OB?OC

a?b?ca?b?ca?b?c上面我們提到的三角形的四個(gè)“心”非常奇妙，這一點(diǎn)從它們的向量表示形式上也能夠體現(xiàn)出來(lái)，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中要注意體會(huì)；同時(shí)向量法是研究幾何圖形性質(zhì)的重要方法，而上面的證明過(guò)程也告訴我們把幾何圖形中的幾何量用向量表示出來(lái)后，靈活運(yùn)用平面幾何中的比例關(guān)系及比例的性質(zhì)是再進(jìn)行向量運(yùn)算的“先行軍”．