第一篇：專題二向量的坐標(biāo)表示和空間向量基本定理

第7課時(shí)專題二向量的坐標(biāo)表示和空間向量基本定理 任務(wù)1點(diǎn)共面問題

例1.已知A、B、C三點(diǎn)不共線，對平面外一點(diǎn)O，在下列條件下，點(diǎn)P是否一定與A、B、C共面？

（1）；（2）

例2.若點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)，點(diǎn)O為空間中的任意一點(diǎn)，?????????

OM?xOA?1???

??1????OBOC,則x的值為3

3多少 筆記：

任務(wù)2空間向量基本定 理

例3已知矩形ABCD，P為平面ABCD外一點(diǎn)，且PA⊥平面ABCD，M、N分別為PC、PD上的點(diǎn)，且M分

成定比2，N分PD成定比1，求滿足的實(shí)數(shù)x、y、z的值。

任務(wù)3 利用空間向量證明平行、垂直問題

例4.如圖，在四棱錐

P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB于點(diǎn)F。（1）證明：PA//平面EDB；（2）證明：PB

⊥平面EFD；

筆記：

【堂中精練】

1．設(shè)????

????

????

O,P,A,B為空間任意四個(gè)點(diǎn)，若OP?mOA?nOB,且m?n?1,則（）

A.P在直線AB上B.P,A,B三點(diǎn)不共線C.P有可能在直線AB上D.以上都不對

2．若點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)，點(diǎn)O為空間中的任意一點(diǎn)，?????????1????OM?xOA?OB?1????

OC,則x3

3的值為（）

A.1B.0C.3D.13

????????????????????????

3．設(shè)A,B,C,D為空間不共面的四點(diǎn)，且滿足AB?AC?0,AB?AD?0,AC?AD?0,則?BCD是

（）A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.等邊三角形

4．若a,b均為單位向量，且?a,b??60?,則|a?3b

|?（）

B

CD.4點(diǎn)睛：點(diǎn)共面問題，可轉(zhuǎn)化為向量共面問題，要證明P、A、B、C四點(diǎn)共面，只

要

能

證

明，或

對空間任一點(diǎn)O，有

或

即可，以上結(jié)論是判定空間四點(diǎn)共面的一個(gè)充要條件，共面向量定理實(shí)際上

也是三個(gè)非零向量所在直線共面的必要條件。

點(diǎn)睛：結(jié)合圖形，從向量

出發(fā)，利用向量運(yùn)算法則不斷進(jìn)行分解，直到全部向量都

用、、表示出來，即

可求出x、y、z的值

點(diǎn)睛：證明線面平行的方

法：

①證 明直線的方向向量與平面的法向量垂直；

②證明能夠在平面內(nèi)找到一個(gè)向量與已 知直

線的方向向量共線

【反饋測評】

1.在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)M,N,P,Q,R,S分別為AB,BC,CC1,C1D1,D1A1,A1A的中點(diǎn)，則MN?PQ化簡的結(jié)果為（）A.0B.RSC.SRD.NQ

????

???

????

?????

????

10已知A(1,?1,2),B(5,?6,2),C(1,3,?1),則?ABC中AC邊上的高BD是

2．在以下命題中，不正確的命題個(gè)數(shù)是（）①對于空間中任意????

????????????的四點(diǎn)A,B,C,D恒有AB?

BC?C?D0D?；A②

|a?|

b|?|a|?b?|共線；③若ab

a與b共線，則a與b所在直線平行；④對空間中任意的一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)

????????????????

A,B,C,若OP?xOA?yOB?zOC（x,y,z?R)，則P,A,B,C四點(diǎn)共面。A.1B.2C.3D.43．若點(diǎn)G為?ABC的重心，點(diǎn)O是空間中任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論中（）是正確的。

????

????????

????????A.GA?GB?GC?0

B.OG?1????OA?1????OB?1OC????????????OA?O?BO

????

?????2???2????

2????C.OG?

C D.OG?3OA?3O?B3O C4．下列命題正確的是（）A.若

????1????1????OP?OA?OB,則

P,A,B

三點(diǎn)共線2

3B.若{a,b,c}為一個(gè)基底，則{a?b,b?c,c?a}也為一個(gè)基底

C.|(a?b)c|?|a|?|b|?|c|

????????

D.?ABC為直角三角形的充要條件是AB?AC?0

5.已知向量a?(?1,2,3),b?(1,1,1),則向量a在向量b方向上的射影向量的模為

6.已知兩點(diǎn)A(1,?2,3),B(2,?1,1),則直線AB與平面xOz的交點(diǎn)坐標(biāo)為

7.如圖，在矩形ABCD中，AB?1,BC?a,PA?平面AC，且PA?1,若在BC邊上存在兩個(gè)

點(diǎn)Q,使得PQ?QD,則正實(shí)數(shù)a的取值范圍是8如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，底面是以?ABC為直角的等腰三角形，AC?2a,BB1?3a,D是A1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱AA1上，要使CE?平面B1DE，則AE? 9.設(shè)A,B,C,D為空間不共面的四點(diǎn)，且滿足

????????????????????????AB?AC?0,AB?AD?0,AC?AD?0,則?BCD是何三角形

11.若a,b均為單位向量，且?a,b??60?,則|a?3b|? 多少

12.如圖所示，邊長為a的正方形ABC是D和正方形ABEF相交于AB,?E

BD,AE上的動(dòng)點(diǎn)，且AN?DM,試用向量解決：（1）證明：

求|MN|的最小值。

答案

例1.(1)P

與A、B、C共面。(2)P與A、B、C三點(diǎn)不共面

例2.1/3 例3

例4.連接AC，AC交BD于G，連接EG。

依題意得。∵底面ABCD是正方形?！郍是此正方形的中心，故點(diǎn)G的坐標(biāo)為，∴則

【堂中精練】5.A6.D7.C8.C 【反饋測評】1.C.2.A3.A4.B.5.6.C(,0,).7.a?(2,??).8.?AE?a或2a。

9.銳角三角形

12.(1)

由

C|a?3b|?(a?3b)?1?3?9?13.題意，設(shè)

BBD

?

MEA

E

?x(?x?0

N

則1),?????????????????????????????????BM?xBD?x(BA?BC),EN?xEA?x(BA?BE),???????????????????????MN?BN?BM?BE?EN?BM?

?????????????????????????????????

.B(?Ex?B)A(B?Ex?)?B(A1?xB)BCE?xBC

?MN//面EBC，?MN?面EBC，?MN//面EBC。

(2)|MN|max?asin

?

2.?????

第二篇：3.1.2空間向量基本定理學(xué)案范文

3．1．2空間向量的基本定理

一．自學(xué)達(dá)標(biāo)： 1．共線向量定理：

2．共面向量定理：

3．空間向量分解定理:

?,b?,?

4．a(chǎn)c可作空間的基底的充要條件是：

5．已知平行六面ABCD-A??????????a,AD???b,????AA?

1B1C1D1,AB1?c，試用基底{a?,b?,?c}表示如下向量???AC???????????????1,BD1,CA1,DB

1二．例題精選：

例1．已知三棱柱ABC-A1B1C1，設(shè)

???AB???????a,AC??b?,????AA?

1?c，M,N分別為AC1 ,BC中點(diǎn)，證明：（1）????MN?，??a,?

c共面

（2〕證明：????MN??????

A1B

例2：空間四邊形中，???OA???a????,OB???b,???OC???

c，M,N分別

為OA,BC中點(diǎn)，G在MN上，NG?2GM，用基底

{a?,b?,?c}表示????MN?，???OG?

三．達(dá)標(biāo)練習(xí)：

1．下列命題正確的是（）?

???

??A．若a與b共線，b與c共線，則a與ca?共線

??

B．向量、b、c共面即它們所在的直線共面

Ｃ．零向量沒有確定的方向??b?

Ｄ．若a，則存在唯一的實(shí)數(shù)?，使?a????b?

2.設(shè)空間四點(diǎn)O、A、B、P，滿足???OP??mOA?????nOB????，其中

m?n?1，則（）

A.P在直線AB上B.P不在直線AB上 C.點(diǎn)P不一定在直線AB上D.以上都不對

3.①任意給出三個(gè)不共面的向量都可以作為一個(gè)基底②已知?

a?b?，則?a，b?

與任何向量都不能構(gòu)成空間一個(gè)基底③A,B,M,N是空間四點(diǎn)，若???BA?,????BM?,???BN?

不能構(gòu)成空

???

間的一個(gè)基底，則A,B,M,N共面。④已知{a,b,c}是空

?????

c?????間的一個(gè)基底，若m?a，則{a,b,c,m}

也是空間的一個(gè)基底。其中正確的個(gè)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.4

{a?,b?,?

4．若c}是一組基底，則x?y?z?0是

xa??yb??zc?的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件 5．如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別在B和D?11

1B1D上，且BE3B1B，DF?3

D1D。

（1）證明A,E,C1,F四點(diǎn)共面；

（2）若???EF??xAB?????y???AD??z????

AA1，求x?y?z

自助餐：對于空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A、B、C，且有???OP??xOA?????yOB?????zOC????

(x,y,z?R)，x?y?z?1，證明A,B,C,P四點(diǎn)共面

第三篇：平面向量的坐標(biāo)表示教案范文

平面向量共線的坐標(biāo)表示

教學(xué)目的：

（1）理解平面向量的坐標(biāo)的概念；（2）掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；

（3）會(huì)根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線.教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

教學(xué)難點(diǎn)：向量的坐標(biāo)表示的理解及運(yùn)算的準(zhǔn)確性 授課類型：新授課 教具：多媒體、實(shí)物投影儀 教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入： 1．平面向量的坐標(biāo)表示

分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量、j作為基底.任作一個(gè)向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實(shí)數(shù)x、y，使得a?xi?yj

把(x,y)叫做向量a的（直角）坐標(biāo)，記作a?(x,y)

其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，特別地，i?(1,0)，j?(0,1)，0?(0,0).2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，則a?b?(x1?x2,y1?y2)，a?b?(x1?x2,y1?y2)，?a?(?x,?y).若A(x1,y1)，B(x2,y2)，則AB??x2?x1,y2?y1?

二、講解新課：

???a∥b(b?0)的充要條件是x1y2-x2y1=0

????設(shè)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)其中b?a.??x1??x2?由a=λb得，(x1，y1)=λ(x2，y2)??消去λ，x1y2-x2y1=0

y??y2?1?探究：（1）消去λ時(shí)不能兩式相除，∵y1，y2有可能為0，∵b?0∴x2，y2中至少有一個(gè)不為0（2）充要條件不能寫成y1y2∵x1，x2有可能為0 ?x1x2??(3)從而向量共線的充要條件有兩種形式：a∥b ?(b?0)?a??b

x1y2?x2y1?0

三、講解范例：

????例1已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，求y.例2已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，試判斷A，B，C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系.例3設(shè)點(diǎn)P是線段P1P2上的一點(diǎn)，P1、P2的坐標(biāo)分別是(x1，y1)，(x2，y2).(1)當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).??例4若向量a=(-1，x)與b=(-x，2)共線且方向相同，求x

??解：∵a=(-1，x)與b=(-x，2)共線∴(-1)×2-x?(-x)=0 ??a∴x=±2∵與b方向相同∴x=2

例5已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量AB與CD平行嗎？直線AB與平行于直線CD嗎？

解：∵AB=(1-(-1)，3-(-1))=(2，4)，CD=(2-1，7-5)=(1，2)又∵2×2-4×1=0 ∴AB∥CD

又∵AC=(1-(-1)，5-(-1))=(2，6)，AB=(2，4)，2×4-2×6?0 ∴AC與AB不平行

∴A，B，C不共線∴AB與CD不重合∴AB∥CD

四、課堂練習(xí)：

1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，則y=（）A.6 B.5 C.7 D.8 2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三點(diǎn)共線，則x的值為（）

A.-3 B.-1 C.1 D.3 3.若AB=i+2j，DC=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分別與x、y軸正方向相同且為單位向量).AB與DC共線，則x、y的值可能分別為（）A.1，2 B.2，2 C.3，2 D.2，4 4.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，則y=.5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b與2a-b平行，則x的值為.6.已知□ABCD四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，則x=.五、小結(jié)

第四篇：平面向量基本定理教案

§2.3.1平面向量基本定理教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)目的：

（1）了解平面向量基本定理；

（2）理解平面里的任何一個(gè)向量都可以用兩個(gè)不共線的向量來表示，初步掌握應(yīng)用向量解決實(shí)際問題的重要思想方法；（3）能夠在具體問題中適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量都能夠用基底來表達(dá).教學(xué)重點(diǎn)：平面向量基本定理.教學(xué)難點(diǎn)：平面向量基本定理的理解與應(yīng)用.授課類型：新授課 教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

??1．實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，記作：λa

??（1）|λa|=|λ||a|；

?????（2）λ>0時(shí)λa與a方向相同；λ<0時(shí)λa與a方向相反；λ=0時(shí)λa=0

2．運(yùn)算定律

??結(jié)合律：λ(μa)=(λμ)a ；

???????分配律：(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb

??3.向量共線定理 向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個(gè)非零??實(shí)數(shù)λ，使b=λa.二、講解新課：

1．提出問題：由平行四邊形想到：

（1）是不是每一個(gè)向量都可以分解成兩個(gè)不共線向量？且分解是唯一？（2）對于平面上兩個(gè)不共線向量e1，e2是不是平面上的所有向量都可以用它們來表示？

2．設(shè)e1，e2是不共線向量，a是平面內(nèi)任一向量，e1 a

MC

N B e2

O OA=e1，OM=λ

1e2； OB=e2，ON=λe2

21OC=a=OM+ON=λ

e1+λe2，2平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對

??于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2.探究：

(1)我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；

(3)由定理可將任一向量a在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進(jìn)行分解；

?(4)基底給定時(shí)，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一確定的數(shù)量

3、兩個(gè)非零向量的夾角：

???????????? 如圖所示，已知兩個(gè)非零向量a,b，在平面上任取一點(diǎn)O，作OA?aO ,B?b，??則?AOB???0?????叫做向量a與b的夾角，ba BAO θbθ bAOB aa【說明】（1）研究兩個(gè)非零向量的夾角時(shí)，必須先將這兩個(gè)向量的起點(diǎn)移至同一個(gè)點(diǎn)；但是當(dāng)兩個(gè)向量的終點(diǎn)重合時(shí)，表示向量的這兩條線段所成的?0,??范圍內(nèi)的角也等于這兩個(gè)向量之間的夾角。（2）只有非零向量之間才存在夾角；

??（3）如果∠AOB=0°a與b同向；

????（4）如果∠AOB=90°，我們就說向量a與b垂直，記作：a?b；

??（5）如果∠AOB=180°a與b反向。

三、講解范例：

例1 已知向量e1，e2 求作向量?2.5e1+3e2.作法：見教材

四、課堂練習(xí)：

1.設(shè)e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，則有()A.e1、e2一定平行

e2e1B.e1、e2的模相等

C.同一平面內(nèi)的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R)D.若e1、e2不共線，則同一平面內(nèi)的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R)2.已知矢量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共線，則a+b與c =6e1-2e2的關(guān)系

A.不共線 B.共線 C.相等 D.無法確定

3.已知向量e1、e2不共線，實(shí)數(shù)x、y滿足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，則x-y的值等于()A.3 B.-3 C.0 D.2

五、小結(jié)：平面向量基本定理，其實(shí)質(zhì)在于：同一平面內(nèi)任一向量都可以表示為兩個(gè)不共線向量的線性組合．

六、課后作業(yè)：課本：101頁1,2 板書設(shè)計(jì)：略

第五篇：《平面向量基本定理》教案

一、教學(xué)目標(biāo)：

1.知識與技能：

了解平面向量基本定理及其意義, 理解平面里的任何一個(gè)向量都可以用兩個(gè)不共線的向量來表示；能夠在具體問題中適當(dāng)?shù)剡x取基底,使其他向量都能夠用基底來表示。

2.過程與方法：

讓學(xué)生經(jīng)歷平面向量基本定理的探索與發(fā)現(xiàn)的形成過程,體會(huì)由特殊到一般和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，初步掌握應(yīng)用平面向量基本定理分解向量的方法，培養(yǎng)學(xué)生分析問題與解決問題的能力。

3.情感、態(tài)度和價(jià)值觀

通過對平面向量基本定理的學(xué)習(xí),激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)積極性,增強(qiáng)學(xué)生向量的應(yīng)用意識,并培養(yǎng)學(xué)生合作交流的意識及積極探索勇于發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)品質(zhì).二、教學(xué)重點(diǎn)：平面向量基本定理.三、教學(xué)難點(diǎn)：平面向量基本定理的理解與應(yīng)用.四、教學(xué)方法：探究發(fā)現(xiàn)、講練結(jié)合五、授課類型：新授課

六、教 具：電子白板、黑板和課件

七、教學(xué)過程：

（一）情境引課，板書課題

由導(dǎo)彈的發(fā)射情境，引出物理中矢量的分解，進(jìn)而探究我們數(shù)學(xué)中的向量是不是也可以沿兩個(gè)不同方向的向量進(jìn)行分解呢？

（二）復(fù)習(xí)鋪路，漸進(jìn)新課

在共線向量定理的復(fù)習(xí)中，自然地、漸進(jìn)地融入到平面向量基本定理的師生互動(dòng)合作的探究與發(fā)現(xiàn)中去，感受著從特殊到一般、分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想碰撞的火花，體驗(yàn)著學(xué)習(xí)的快樂。

（三）歸納總結(jié)，形成定理

讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的過程中歸納總結(jié)出平面向量基本定理，并給出基底的定義。

（四）反思定理，解讀要點(diǎn)

反思平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)即向量分解，思考基底的不共線、不惟一和非零性及實(shí)數(shù)對的存在性和唯一性。

（五）跟蹤練習(xí)，反饋測試

及時(shí)跟蹤練習(xí)，反饋測試定理的理解程度。

（六）講練結(jié)合，鞏固理解

即講即練定理的應(yīng)用，講練結(jié)合，進(jìn)一步鞏固理解平面向量基本定理。

（七）夾角概念，順勢得出

不共線向量的不同方向的位置關(guān)系怎么表示，夾角概念順勢得出。然后數(shù)形結(jié)合，講清本質(zhì)：夾角共起點(diǎn)。再結(jié)合例題鞏固加深。

（八）課堂小結(jié)，畫龍點(diǎn)睛

回顧本節(jié)的學(xué)習(xí)過程，小結(jié)學(xué)習(xí)要點(diǎn)及數(shù)學(xué)思想方法，老師的“教 ”與學(xué)生的“學(xué)”渾然一體，一氣呵成。

（九）作業(yè)布置，回味思考。

布置課后作業(yè)，檢驗(yàn)教學(xué)效果。回味思考，更加理解定理的實(shí)質(zhì)。

七、板書設(shè)計(jì)：

1.平面向量基本定理：如果

是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對實(shí)數(shù)，使

.2.基底：

(1)不共線向量

叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；

(2)基底：不共線，不唯一，非零

(3)基底給定，分解形式唯一，實(shí)數(shù)對

存在且唯一；

(4)基底不同，分解形式不唯一，實(shí)數(shù)對

可同可異。

例1 例2

3.夾角

：

（1）兩向量共起點(diǎn)；

（2）夾角范圍：

例3

4.小結(jié)

5.作業(yè)