第一篇：排列 、組合、二項(xiàng)式定理 加法原理和乘法原理 教案

排列、組合、二項(xiàng)式定理·加法原理和乘法原理·教案

教學(xué)目標(biāo)

正確理解和掌握加法原理和乘法原理，并能準(zhǔn)確地應(yīng)用它們分析和解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題，從而發(fā)展學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：加法原理和乘法原理．

難點(diǎn)：加法原理和乘法原理的準(zhǔn)確應(yīng)用．

教學(xué)用具 投影儀． 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）引入新課

師：從本節(jié)課開(kāi)始，我們將要學(xué)習(xí)中學(xué)代數(shù)內(nèi)容中一個(gè)獨(dú)特的部分——排列、組合、二項(xiàng)式定理．它們研究對(duì)象獨(dú)特，研究問(wèn)題的方法不同一般．雖然份量不多，但是與舊知識(shí)的聯(lián)系很少，而且它還是我們今后學(xué)習(xí)概率論的基礎(chǔ)，統(tǒng)計(jì)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)以及生物的選種等都與它直接有關(guān)．至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排調(diào)配的問(wèn)題，就離不開(kāi)它．

今天我們先學(xué)習(xí)兩個(gè)基本原理．

（這是排列、組合、二項(xiàng)式定理的第一節(jié)課，是起始課．講起始課時(shí)，把這一學(xué)科的內(nèi)容作一個(gè)大概的介紹，能使學(xué)生從一開(kāi)始就對(duì)將要學(xué)習(xí)的知識(shí)有一個(gè)初步的了解，并為下面的學(xué)習(xí)研究打下思想基礎(chǔ)）

師：（板書(shū)課題）

（二）講授新課

1．介紹兩個(gè)基本原理

師：請(qǐng)大家先考慮下面的問(wèn)題（找出片子——問(wèn)題1）．

問(wèn)題1：從甲地到乙地，可以乘火車(chē)，也可以乘汽車(chē)，還可以乘輪船．一天中，火車(chē)有4個(gè)班次，汽車(chē)有2個(gè)班次，輪船有3個(gè)班次．那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地，共有多少種不同的走法？

師：（啟發(fā)學(xué)生回答后，作補(bǔ)充說(shuō)明）

因?yàn)橐惶熘谐嘶疖?chē)有4種走法，乘汽車(chē)有2種走法，乘輪船有3種走法，每種走法都可以完成由甲地到乙地這件事情．所以，一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有

4+2+3=9 種不同的走法．

這個(gè)問(wèn)題可以總結(jié)為下面的一個(gè)基本原理．（打出片子——加法原理）

加法原理：做一件事，完成它可以有幾類(lèi)辦法，在第一類(lèi)辦法中有m1種不同的方法，在第二類(lèi)辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類(lèi)辦法中有mn種不同的方法．那么，完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法．

（教師放慢速度讀一遍加法原理）

師：請(qǐng)大家再來(lái)考慮下面的問(wèn)題（打出片子——問(wèn)題2）．

問(wèn)題2：由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條（見(jiàn)圖9－1），從A村經(jīng)B村去C村，共有多少種不同的走法？

師：（啟發(fā)學(xué)生回答后加以說(shuō)明）

這里，從A村到B村，有3種不同的走法，按這3種走法中的每一種走法到達(dá)B村后，再?gòu)腂村到C村又各有2種不同的走法，因此，從A村經(jīng)B村去C村共有3×2=6種不同的走法．

一般地，有如下基本原理：

（找出片子——乘法原理）

乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法．那么，完成這件事共有

N＝m1×m2×…×mn 種不同的方法．

（教師要讀一遍乘法原理）

2．淺釋兩個(gè)基本原理

師：兩個(gè)基本原理是干什么用的呢？

生：計(jì)算做一件事完成它的所有不同的方法種數(shù)．（如果學(xué)生不能較準(zhǔn)確地回答，教師可以加以提示）師：比較兩個(gè)基本原理，想一想，它們有什么區(qū)別呢？

（學(xué)生經(jīng)過(guò)思考后可以得出：各類(lèi)的方法數(shù)相加，各步的方法數(shù)相乘．）兩個(gè)基本原理的區(qū)別在于：一個(gè)與分類(lèi)有關(guān)，一個(gè)與分步有關(guān)． 師：請(qǐng)看下面的分析是否正確．（打出片子——題1，題2）

題1：找1～10這10個(gè)數(shù)中的所有合數(shù)．第一類(lèi)辦法是找含因數(shù)2的合數(shù)，共有4個(gè)；第二類(lèi)辦法是找含因數(shù)3的合數(shù)，共有2個(gè)；第三類(lèi)辦法是找含因數(shù)5的合數(shù)，共有1個(gè)．

1～10中一共有N=4＋2＋1=7個(gè)合數(shù)．

題2：在前面的問(wèn)題2中，步行從A村到B村的北路需要8時(shí)，中路需要4時(shí)，南路需要6時(shí)，B村到C村的北路需要5時(shí)，南路需要3時(shí)，要求步行從A村到C村的總時(shí)數(shù)不超過(guò)12時(shí)，共有多少種不同的走法？

第一步從A村到B村有3種走法，第二步從B村到C村有2種走法，共有N=3×2=6種不同走法． 生甲：9-2中的合數(shù)是4，6，8，9，10這五個(gè)，其中6既含有因數(shù)2，也含有因數(shù)3；10既含有因數(shù)2，也含有因數(shù)5．題中的分析是錯(cuò)誤的．

生乙：從A村到C村總時(shí)數(shù)不超過(guò)12時(shí)的走法共有5種．題2中從A村走北路到B村后再到C村，只有南路這一種走法．

（此時(shí)給出題1和題2的目的是為了引導(dǎo)學(xué)生找出應(yīng)用兩個(gè)基本原理的注意事項(xiàng)，這樣安排，不但可以使學(xué)生對(duì)兩個(gè)基本原理的理解更深刻，而且還可以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力）

師：為什么會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤呢？

生：題1的分類(lèi)可能有問(wèn)題吧，題2都走北路不符合要求．

師：（教師歸納）

進(jìn)行分類(lèi)時(shí)，要求各類(lèi)辦法彼此之間是相互排斥的，不論哪一類(lèi)辦法中的哪一種方法，都能單獨(dú)完成這件事．只有滿(mǎn)足這個(gè)條件，才能直接用加法原理，否則不可以．

如果完成一件事需要分成幾個(gè)步驟，各步驟都不可缺少，需要依次完成所有步驟才能完成這件事，而各步要求相互獨(dú)立，即相對(duì)于前一步的每一種方法，下一步都有m種不同的方法，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí)，就可以直接應(yīng)用乘法原理．

也就是說(shuō)：類(lèi)類(lèi)互斥，步步獨(dú)立．

（在學(xué)生對(duì)問(wèn)題的分析不是很清楚時(shí)，教師及時(shí)地歸納小結(jié)，能使學(xué)生在應(yīng)用兩個(gè)基本原理時(shí)，思路進(jìn)一步清晰和明確，不再簡(jiǎn)單地認(rèn)為什么樣的分類(lèi)都可以直接用加法，只要分步而不管是否相互聯(lián)系就用乘法．從而深入理解兩個(gè)基本原理中分類(lèi)、分步的真正含義和實(shí)質(zhì)）

（三）應(yīng)用舉例

師：現(xiàn)在我們已經(jīng)有了兩個(gè)基本原理，我們可以用它們來(lái)解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題了．請(qǐng)看例題1．（板書(shū)）

例1 書(shū)架上放有3本不同的數(shù)學(xué)書(shū)，5本不同的語(yǔ)文書(shū)，6本不同的英語(yǔ)書(shū)．（1）若從這些書(shū)中任取一本，有多少種不同的取法？

（2）若從這些書(shū)中，取數(shù)學(xué)書(shū)、語(yǔ)文書(shū)、英語(yǔ)書(shū)各一本，有多少種不同的取法？（3）若從這些書(shū)中取不同的科目的書(shū)兩本，有多少種不同的取法？

（讓學(xué)生思考，要求依據(jù)兩個(gè)基本原理寫(xiě)出這3個(gè)問(wèn)題的答案及理由，教師巡視指導(dǎo)，并適時(shí)口述解法）

師：（1）從書(shū)架上任取一本書(shū)，可以有3類(lèi)辦法：第一類(lèi)辦法是從3本不同數(shù)學(xué)書(shū)中任取1本，有3種方法；第二類(lèi)辦法是從5本不同的語(yǔ)文書(shū)中任取1本，有5種方法；第三類(lèi)辦法是從6本不同的英語(yǔ)書(shū)中任取一本，有6種方法．根據(jù)加法原理，得到的取法種數(shù)是

N＝m1＋m2＋m3＝3＋5＋6＝14．

故從書(shū)架上任取一本書(shū)的不同取法有14種．

師：（2）從書(shū)架上任取數(shù)學(xué)書(shū)、語(yǔ)文書(shū)、英語(yǔ)書(shū)各1本，需要分成三個(gè)步驟完成，第一步取1本數(shù)學(xué)書(shū)，有3種方法；第二步取1本語(yǔ)文書(shū)，有5種方法；第三步取1本英語(yǔ)書(shū)，有6種方法．根據(jù)乘法原理，得到不同的取法種數(shù)是

N=m1×m2×m3=3×5×6=90．

故，從書(shū)架上取數(shù)學(xué)書(shū)、語(yǔ)文書(shū)、英語(yǔ)書(shū)各1本，有90種不同的方法．

師：（3）從書(shū)架上任取不同科目的書(shū)兩本，可以有3類(lèi)辦法：第一類(lèi)辦法是數(shù)學(xué)書(shū)、語(yǔ)文書(shū)各取1本，需要分兩個(gè)步驟，有3×5種方法；第二類(lèi)辦法是數(shù)學(xué)書(shū)、英語(yǔ)書(shū)各取1本，需要分兩個(gè)步驟，有3×6種方法；第三類(lèi)辦法是語(yǔ)文書(shū)、英語(yǔ)書(shū)各取1本，有5×6種方法．一共得到不同的取法種數(shù)是

N=3×5＋3×6＋5×6=63．

即，從書(shū)架任取不同科目的書(shū)兩本的不同取法有63種．

師：請(qǐng)大家再來(lái)分析和解決例題2．（板書(shū)）

例2 由數(shù)字0，1，2，3，4可以組成多少個(gè)三位整數(shù)（各位上的數(shù)字允許重復(fù)）？ 師：每一個(gè)三位整數(shù)是由什么構(gòu)成的呢？ 生：三個(gè)整數(shù)字．

師：023是一個(gè)三位整數(shù)嗎？

生：不是，百位上不能是0．

師：對(duì)！百位的數(shù)字不能是0，也就是說(shuō)，一個(gè)三位整數(shù)是由百位、十位、個(gè)位三位數(shù)字組成的，其中最高位不能是0．那么要組成一個(gè)三位數(shù)需要怎么做呢？

生：分成三個(gè)步驟來(lái)完成：第一步確定百位上的數(shù)字；第二步確定十位上的數(shù)字；第三步確定個(gè)位上的數(shù)字．

師：很好！怎樣表述呢？（教師巡視指導(dǎo)、并歸納）

解：要組成一個(gè)三位數(shù)，需要分成三個(gè)步驟：第一步確定百位上的數(shù)字，從1～4這4個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)數(shù)字，有4種選法；第二步確定十位上的數(shù)字，由于數(shù)字允許重復(fù)，共有5種選法；第三步確定個(gè)位上的數(shù)字，仍有5種選法．根據(jù)乘法原理，得到可以組成的三位整數(shù)的個(gè)數(shù)是 N=4×5×5=100．

答：可以組成100個(gè)三位整數(shù)．（教師的連續(xù)發(fā)問(wèn)、啟發(fā)、引導(dǎo)，幫助學(xué)生找到正確的解題思路和計(jì)算方法，使學(xué)生的分析問(wèn)題能力有所提高．

教師在第二個(gè)例題中給出板書(shū)示范，能幫助學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)兩個(gè)基本原理實(shí)質(zhì)的理解，周密的考慮，準(zhǔn)確的表達(dá)、規(guī)范的書(shū)寫(xiě)，對(duì)于學(xué)生周密思考、準(zhǔn)確表達(dá)、規(guī)范書(shū)寫(xiě)良好習(xí)慣的形成有著積極的促進(jìn)作用，也可以為學(xué)生后面應(yīng)用兩個(gè)基本原理解排列、組合綜合題打下基礎(chǔ)）

（四）歸納小結(jié)

師：什么時(shí)候用加法原理、什么時(shí)候用乘法原理呢？ 生：分類(lèi)時(shí)用加法原理，分步時(shí)用乘法原理．

師：應(yīng)用兩個(gè)基本原理時(shí)需要注意什么呢？

生：分類(lèi)時(shí)要求各類(lèi)辦法彼此之間相互排斥；分步時(shí)要求各步是相互獨(dú)立的．

（五）課堂練習(xí)P222：練習(xí)1～4．

（對(duì)于題4，教師有必要對(duì)三個(gè)多項(xiàng)式乘積展開(kāi)后各項(xiàng)的構(gòu)成給以提示）

（六）布置作業(yè)

P222：練習(xí)5，6，7．

補(bǔ)充題：

1．在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有多少個(gè)？

（提示：按十位上數(shù)字的大小可以分為9類(lèi)，共有9＋8＋7＋…＋2＋1=45個(gè)個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的兩位數(shù)）

2．某學(xué)生填報(bào)高考志愿，有m個(gè)不同的志愿可供選擇，若只能按第一、二、三志愿依次填寫(xiě)3個(gè)不同的志愿，求該生填寫(xiě)志愿的方式的種數(shù)．

（提示：需要按三個(gè)志愿分成三步，共有m（m-1）（m-2）種填寫(xiě)方式）

3．在所有的三位數(shù)中，有且只有兩個(gè)數(shù)字相同的三位數(shù)共有多少個(gè)？（提示：可以用下面方法來(lái)求解：（1）△△□，（2）△□△，（3）□△□，（1），（2），（3）類(lèi)中每類(lèi)都是9×9種，共有9×9+9×9+9×9=3×9×9=243個(gè)只有兩個(gè)數(shù)字相同的三位數(shù)）

4．某小組有10人，每人至少會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)中的一門(mén)，其中8人會(huì)英語(yǔ)，5人會(huì)日語(yǔ)，（1）從中任選一個(gè)會(huì)外語(yǔ)的人，有多少種選法？（2）從中選出會(huì)英語(yǔ)與會(huì)日語(yǔ)的各1人，有多少種不同的選法？

（提示：由于8＋5=13＞10，所以10人中必有3人既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)．（1）N=5＋2＋3；（2）N=5×2＋5×3＋2×3）

課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

兩個(gè)基本原理一課是排列、組合、二項(xiàng)式定理的開(kāi)頭課，學(xué)習(xí)它所需的先行知識(shí)跟學(xué)生已熟知的數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系很少，通常教師們或者感覺(jué)很簡(jiǎn)單，一帶而過(guò)；或者感覺(jué)難以開(kāi)頭．中學(xué)數(shù)學(xué)課程中引進(jìn)的關(guān)于排列、組合的計(jì)算公式都是以乘法原理為基礎(chǔ)的，而一些較復(fù)雜的排列、組合應(yīng)用題的求解，更是離不開(kāi)兩個(gè)基本原理，因此必須使學(xué)生學(xué)會(huì)正確地使用兩個(gè)基本原理，學(xué)會(huì)正確地使用這兩個(gè)基本原理是這一章教學(xué)中必須抓住的一個(gè)關(guān)鍵．所以在教學(xué)目標(biāo)中特別提出要使學(xué)生學(xué)會(huì)準(zhǔn)備地應(yīng)用兩個(gè)基本原理分析和解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題．對(duì)于學(xué)生陌生的知識(shí)，在開(kāi)頭課中首先作一個(gè)大概的介紹，使學(xué)生有一個(gè)大致的了解是十分必要的．基于這一想法，在引入新課時(shí)，首先是把這一章將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，以及與其它科目的關(guān)系做了介紹，同時(shí)也引入了課題．

正確使用兩個(gè)基本原理的前提是要學(xué)生清楚兩個(gè)基本原理使用的條件．而原理中提到的分步和分類(lèi)，學(xué)生不是一下子就能理解深刻的，這就需要教師引導(dǎo)學(xué)生，幫助他們分析，找到分類(lèi)和分步的具體要求——類(lèi)類(lèi)互斥，步步獨(dú)立．教學(xué)過(guò)程中的題1和題2，就是為了解決這一問(wèn)題而提出的．

分類(lèi)用加法原理，分步用乘法原理，單純這點(diǎn)學(xué)生是容易理解的，問(wèn)題在于怎樣合理地進(jìn)行分類(lèi)、分步，特別是在分類(lèi)時(shí)必須做到既不重復(fù)，又不遺漏，找到分步的方法有時(shí)是比較困難的，這就要著重進(jìn)行訓(xùn)練．教學(xué)中給出了例題

1、例題2．這兩個(gè)題目都是在課本例題的基礎(chǔ)上稍加改動(dòng)過(guò)的，目的就是要幫助學(xué)生發(fā)展思維能力，培養(yǎng)學(xué)生周密思考、細(xì)心分析的良好習(xí)慣．為了幫助學(xué)生在今后能正確運(yùn)用兩個(gè)基本原理解決其它排列組合問(wèn)題，特別給出了4個(gè)補(bǔ)充習(xí)題，為下面將要進(jìn)行的課打下一個(gè)基礎(chǔ)． 考慮到這節(jié)課無(wú)論是兩個(gè)基本原理，還是例題都是文字較多的，因此特別設(shè)計(jì)了使用教具——投影儀．要是有實(shí)物投影儀那就更方便了．

第二篇：數(shù)學(xué) -排列、組合、二項(xiàng)式定理-基本原理 -數(shù)學(xué)教案

教學(xué)目標(biāo)

（1）正確理解加法原理與乘法原理的意義，分清它們的條件和結(jié)論；

（2）能結(jié)合樹(shù)形圖來(lái)幫助理解加法原理與乘法原理；

（3）正確區(qū)分加法原理與乘法原理，哪一個(gè)原理與分類(lèi)有關(guān)，哪一個(gè)原理與分步有關(guān)；

（4）能應(yīng)用加法原理與乘法原理解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題，提高學(xué)生理解和運(yùn)用兩個(gè)原理的能力；

（5）通過(guò)對(duì)加法原理與乘法原理的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生周密思考、細(xì)心分析的良好習(xí)慣。

教學(xué)建議

一、知識(shí)結(jié)構(gòu)

二、重點(diǎn)難點(diǎn)分析

本節(jié)的重點(diǎn)是加法原理與乘法原理，難點(diǎn)是準(zhǔn)確區(qū)分加法原理與乘法原理。

加法原理、乘法原理本身是容易理解的，甚至是不言自明的。這兩個(gè)原理是學(xué)習(xí)排列組合內(nèi)容的基礎(chǔ)，貫穿整個(gè)內(nèi)容之中，一方面它是推導(dǎo)排列數(shù)與組合數(shù)的基礎(chǔ)；另一方面它的結(jié)論與其思想在方法本身又在解題時(shí)有許多直接應(yīng)用。

兩個(gè)原理回答的，都是完成一件事的所有不同方法種數(shù)是多少的問(wèn)題，其區(qū)別在于：運(yùn)用加法原理的前提條件是，做一件事有n類(lèi)方案，選擇任何一類(lèi)方案中的任何一種方法都可以完成此事，就是說(shuō)，完成這件事的各種方法是相互獨(dú)立的；運(yùn)用乘法原理的前提條件是，做一件事有n個(gè)驟，只要在每個(gè)步驟中任取一種方法，并依次完成每一步驟就能完成此事，就是說(shuō)，完成這件事的各個(gè)步驟是相互依存的。簡(jiǎn)單的說(shuō)，如果完成一件事情的所有方法是屬于分類(lèi)的問(wèn)題，每次得到的是最后結(jié)果，要用加法原理；如果完成一件事情的方法是屬于分步的問(wèn)題，每次得到的該步結(jié)果，就要用乘法原理。

三、教法建議

關(guān)于兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的教學(xué)要分三個(gè)層次：

第一是對(duì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的認(rèn)識(shí)與理解．這里要求學(xué)生理解兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的意義，并弄清兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別．知道什么情況下使用加法計(jì)數(shù)原理，什么情況下使用乘法計(jì)數(shù)原理．（建議利用一課時(shí)）．

第二是對(duì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的使用．可以讓學(xué)生做一下習(xí)題（建議利用兩課時(shí)）：

①用0，1，2，……，9可以組成多少個(gè)8位號(hào)碼；

②用0，1，2，……，9可以組成多少個(gè)8位整數(shù)；

③用0，1，2，……，9可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的4位整數(shù)； ④用0，1，2，……，9可以組成多少個(gè)有重復(fù)數(shù)字的4位整數(shù)； ⑤用0，1，2，……，9可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的4位奇數(shù)；

⑥用0，1，2，……，9可以組成多少個(gè)有兩個(gè)重復(fù)數(shù)字的4位整數(shù)等等．

第三是使學(xué)生掌握兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用，這個(gè)過(guò)程應(yīng)該貫徹整個(gè)教學(xué)中，每個(gè)排列數(shù)、組合數(shù)公式及性質(zhì)的推導(dǎo)都要用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，每一道排列、組合問(wèn)題都可以直接利用兩個(gè)原理求解，另外直接計(jì)算法、間接計(jì)算法都是兩個(gè)原理的一種體現(xiàn)．教師要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真地分析題意，恰當(dāng)?shù)姆诸?lèi)、分步，用好、用活兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理． 教學(xué)設(shè)計(jì)示例

加法原理和乘法原理

教學(xué)目標(biāo)

正確理解和掌握加法原理和乘法原理，并能準(zhǔn)確地應(yīng)用它們分析和解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題，從而發(fā)展學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力． 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：加法原理和乘法原理．

難點(diǎn)：加法原理和乘法原理的準(zhǔn)確應(yīng)用． 教學(xué)用具

投影儀． 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）引入新課

從本節(jié)課開(kāi)始，我們將要學(xué)習(xí)中學(xué)代數(shù)內(nèi)容中一個(gè)獨(dú)特的部分——排列、組合、二項(xiàng)式定理．它們研究對(duì)象獨(dú)特，研究問(wèn)題的方法不同一般．雖然份量不多，但是與舊知識(shí)的聯(lián)系很少，而且它還是我們今后學(xué)習(xí)概率論的基礎(chǔ)，統(tǒng)計(jì)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)以及生物的選種等都與它直接有關(guān)．至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排調(diào)配的問(wèn)題，就離不開(kāi)它．

今天我們先學(xué)習(xí)兩個(gè)基本原理．

（二）講授新課

1．介紹兩個(gè)基本原理

先考慮下面的問(wèn)題：

問(wèn)題1：從甲地到乙地，可以乘火車(chē)，也可以乘汽車(chē)，還可以乘輪船．一天中，火車(chē)有4個(gè)班次，汽車(chē)有2個(gè)班次，輪船有3個(gè)班次．那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地，共有多少種不同的走法？

因?yàn)橐惶熘谐嘶疖?chē)有4種走法，乘汽車(chē)有2種走法，乘輪船有3種走法，每種走法都可以完成由甲地到乙地這件事情．所以，一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有4+2+3=9種不同的走法．

這個(gè)問(wèn)題可以http://jiaoan.cnkjz.com/Article/Index.html>總結(jié)為下面的一個(gè)基本原理（打出片子——加法原理）：

加法原理：做一件事，完成它可以有幾類(lèi)辦法，在第一類(lèi)辦法中有m1種不同的方法，在第二類(lèi)辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類(lèi)辦法中有mn種不同的方法．那么，完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法．

請(qǐng)大家再來(lái)考慮下面的問(wèn)題（打出片子——問(wèn)題2）：

問(wèn)題2：由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條（見(jiàn)下圖），從A村經(jīng)B村去C村，共有多少種不同的走法？

這里，從A村到B村，有3種不同的走法，按這3種走法中的每一種走法到達(dá)B村后，再?gòu)腂村到C村又各有2種不同的走法，因此，從A村經(jīng)B村去C村共有3×2=6種不同的走法．

一般地，有如下基本原理（找出片子——乘法原理）：

乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法．那么，完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法． 2．淺釋兩個(gè)基本原理

兩個(gè)基本原理的用途是計(jì)算做一件事完成它的所有不同的方法種數(shù)．

比較兩個(gè)基本原理，想一想，它們有什么區(qū)別？

兩個(gè)基本原理的區(qū)別在于：一個(gè)與分類(lèi)有關(guān)，一個(gè)與分步有關(guān)．

看下面的分析是否正確（打出片子——題1，題2）：

題1：找1～10這10個(gè)數(shù)中的所有合數(shù)．第一類(lèi)辦法是找含因數(shù)2的合數(shù)，共有4個(gè)；第二類(lèi)辦法是找含因數(shù)3的合數(shù)，共有2個(gè)；第三類(lèi)辦法是找含因數(shù)5的合數(shù)，共有1個(gè)． 1～10中一共有N=4＋2＋1=7個(gè)合數(shù)．

題2：在前面的問(wèn)題2中，步行從A村到B村的北路需要8時(shí)，中路需要4時(shí)，南路需要6時(shí)，B村到C村的北路需要5時(shí)，南路需要3時(shí)，要求步行從A村到C村的總時(shí)數(shù)不超過(guò)12時(shí)，共有多少種不同的走法？

第一步從A村到B村有3種走法，第二步從B村到C村有2種走法，共有N=3×2=6種不同走法．

題2中的合數(shù)是4，6，8，9，10這五個(gè)，其中6既含有因數(shù)2，也含有因數(shù)3；10既含有因數(shù)2，也含有因數(shù)5．題中的分析是錯(cuò)誤的．

從A村到C村總時(shí)數(shù)不超過(guò)12時(shí)的走法共有5種．題2中從A村走北路到B村后再到C村，只有南路這一種走法．

（此時(shí)給出題1和題2的目的是為了引導(dǎo)學(xué)生找出應(yīng)用兩個(gè)基本原理的注意事項(xiàng)，這樣安排，不但可以使學(xué)生對(duì)兩個(gè)基本原理的理解更深刻，而且還可以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力）

進(jìn)行分類(lèi)時(shí)，要求各類(lèi)辦法彼此之間是相互排斥的，不論哪一類(lèi)辦法中的哪一種方法，都能單獨(dú)完成這件事．只有滿(mǎn)足這個(gè)條件，才能直接用加法原理，否則不可以．

如果完成一件事需要分成幾個(gè)步驟，各步驟都不可缺少，需要依次完成所有步驟才能完成這件事，而各步要求相互獨(dú)立，即相對(duì)于前一步的每一種方法，下一步都有m種不同的方法，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí)，就可以直接應(yīng)用乘法原理．

也就是說(shuō)：類(lèi)類(lèi)互斥，步步獨(dú)立．

（在學(xué)生對(duì)問(wèn)題的分析不是很清楚時(shí)，教師及時(shí)地歸納小結(jié)，能使學(xué)生在應(yīng)用兩個(gè)基本原理時(shí)，思路進(jìn)一步清晰和明確，不再簡(jiǎn)單地認(rèn)為什么樣的分類(lèi)都可以直接用加法，只要分步而不管是否相互聯(lián)系就用乘法．從而深入理解兩個(gè)基本原理中分類(lèi)、分步的真正含義和實(shí)質(zhì)）

（三）應(yīng)用舉例

現(xiàn)在我們已經(jīng)有了兩個(gè)基本原理，我們可以用它們來(lái)解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題了．

例1 書(shū)架上放有3本不同的數(shù)學(xué)書(shū)，5本不同的語(yǔ)文書(shū)，6本不同的英語(yǔ)書(shū)．

（1）若從這些書(shū)中任取一本，有多少種不同的取法？

（2）若從這些書(shū)中，取數(shù)學(xué)書(shū)、語(yǔ)文書(shū)、英語(yǔ)書(shū)各一本，有多少種不同的取法？

（3）若從這些書(shū)中取不同的科目的書(shū)兩本，有多少種不同的取法？

（讓學(xué)生思考，要求依據(jù)兩個(gè)基本原理寫(xiě)出這3個(gè)問(wèn)題的答案及理由，教師巡視指導(dǎo)，并適時(shí)口述解法）

（1）從書(shū)架上任取一本書(shū)，可以有3類(lèi)辦法：第一類(lèi)辦法是從3本不同數(shù)學(xué)書(shū)中任取1本，有3種方法；第二類(lèi)辦法是從5本不同的語(yǔ)文書(shū)中任取1本，有5種方法；第三類(lèi)辦法是從6本不同的英語(yǔ)書(shū)中任取一本，有6種方法．根據(jù)加法原理，得到的取法種數(shù)是 N＝m1＋m2＋m3＝3＋5＋6＝14．故從書(shū)架上任取一本書(shū)的不同取法有14種．

（2）從書(shū)架上任取數(shù)學(xué)書(shū)、語(yǔ)文書(shū)、英語(yǔ)書(shū)各1本，需要分成三個(gè)步驟完成，第一步取1本數(shù)學(xué)書(shū)，有3種方法；第二步取1本語(yǔ)文書(shū)，有5種方法；第三步取1本英語(yǔ)書(shū)，有6種方法．根據(jù)乘法原

第三篇：加法原理和乘法原理教案設(shè)計(jì)

加法原理和乘法原理教案設(shè)計(jì)

【教學(xué)目的】

1.使學(xué)生理解和掌握加法原理和乘法原理并能準(zhǔn)確、熟練地運(yùn)用兩個(gè)基本原理。

2.加強(qiáng)對(duì)學(xué)生思維條理性的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力?！窘虒W(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)】重點(diǎn)是兩個(gè)基本原理的應(yīng)用，難點(diǎn)是對(duì)兩個(gè)基本原理的準(zhǔn)確理解。

【教學(xué)過(guò)程】

一、講授新課

加法原理和乘法原理是有關(guān)排列、組合問(wèn)題所遵循的兩條基本原理，深入理解和準(zhǔn)確運(yùn)用這兩個(gè)原理是學(xué)好排列、組合這一單元的重要一環(huán)。

請(qǐng)同學(xué)們考慮下面兩個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)題

1從甲地到乙地，旱路有3條，水路有2條，間從甲地到乙地共有多少種不同的走法？

從圖中很容易找到答案：從甲地到乙地共有5種不同的走法。

問(wèn)題

2由A村到B村的路有3條，由B村到C村的路有2條，問(wèn)從A村經(jīng)過(guò)B村到達(dá)C村共有多少種不同的走法？

從圖中不難看出此題的答案是：共有6種不同的走法。

我們從上面兩個(gè)問(wèn)題中可以抽象出一般性的規(guī)律，得出以下的結(jié)論：

（一）完成一件工作的兩種不同的方式。

問(wèn)題1和問(wèn)題2的共同之處在于：它們都是在研究做一件事（或工作）完成它共有多少種不同的方法？這兩個(gè)問(wèn)題的不同點(diǎn)是完成工作的方式不同。問(wèn)題1中的每條旱路或水路都可以從甲地直接到達(dá)乙地，其中旱路和水路只不過(guò)是完成從甲地到乙地這件工作的兩類(lèi)不同的辦法。

問(wèn)題2中的從A村到B村的3條路和從B村到C村的2條路的任意一條路都不能把從A村經(jīng)過(guò)B村到達(dá)C村這件工作做完，只能完成這件工作的一部分。問(wèn)題2中的工作是分兩個(gè)步驟完成的：第一步從A村到達(dá)B村，第二步從B村到達(dá)C村。

我們不難總結(jié)出：完成一件工作有以下兩種不同的方式：

第一種方式：用不同類(lèi)的辦法去完成一件工作，每類(lèi)辦法中的任意一種方法都可以從頭至尾把這件工作做完。

第二種方式：分成幾個(gè)步驟去完成一件工作，每個(gè)步驟中的任意一種方法只能完成這件工作的一部分，這幾個(gè)步驟都完成了，這件工作才能做完。

（二）加法原理和乘法原理。

下面我們來(lái)研究：完成一件工作的不同方法的總數(shù)怎樣計(jì)算：

問(wèn)題1的答案是共有5種不同的走法，已知旱路3條，水路2條，顯然5=3+2。問(wèn)題2的答案是共有6種不同的走法，已知從A村到B村3條路，從B村到C村2條路，顯然6=3×2。

總結(jié)一般規(guī)律如下：

加法原理

做一件事，完成它有n類(lèi)辦法，其中第一類(lèi)辦法中有m種方法，第二類(lèi)中有m2種方法??，第n類(lèi)辦法中有mn種方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+?+mn種不同的方法。

1如問(wèn)題1從甲地到乙地的走法可以分為兩類(lèi)： 第一類(lèi)辦法是走旱路有3種不同的走法。第二類(lèi)辦法是走水路有2種不同的走法。由加法原理共有3+2=5種不同的走法。

乘法原理

做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，第一個(gè)步驟有m種不同的方法，第二個(gè)步驟有m2種不同的方法??，第n個(gè)步驟有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1·m2??mn種不同的方法。

1如問(wèn)題2從A村經(jīng)過(guò)B村到達(dá)C村可分為兩個(gè)步驟完成： 第一步A村→B村，有3種不同的走法。第二步B村→C村，有2種不同的走法。由乘法原理，共有3×2=6種不同的走法。例1 從甲地到乙地可以乘火車(chē)，也可以乘汽車(chē)或輪船。一天中火車(chē)有4班，汽車(chē)有2班，輪船有3班，那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？

解：完成由甲地到乙地這件事有三類(lèi)辦法： 第一類(lèi)辦法坐火車(chē)，一天中有4種不同走法。第二類(lèi)辦法坐汽車(chē)，一天中有2種不同走法。第三類(lèi)辦法坐輪船，一天中有3種不同走法。由加法原理得：4+2+3=9 答：有9種不同的走法。

例2由數(shù)字1、2、3、4、5可以組成多少個(gè)允許有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

解：（1）組成允許有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)這件事可分三個(gè)步驟完成： 第一步確定百位上的數(shù)字：有5種不同方法。第二步確定十位上的數(shù)字：有5種不同方法。第三步確定個(gè)位數(shù)字：有5種不同方法。由乘法原理：5×5×5=125。

答：可組成允許有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)125個(gè)。

此題第（2）問(wèn)由同學(xué)們自己完成，提醒大家注意：允許有重復(fù)數(shù)字和無(wú)重復(fù)數(shù)字這兩個(gè)條件的區(qū)別。第（2）問(wèn)答案是60個(gè)。

（三）運(yùn)用兩個(gè)基本原理時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：

1.抓住兩個(gè)基本原理的區(qū)別不要用混，不同類(lèi)的方法（其中每一個(gè)方法都能把事情從頭至尾做完）數(shù)之間做加法，不同步的方法（其中每一個(gè)方法都只能完成這件事的一部分）數(shù)之間做乘法。

2.在研究完成一件工作的不同方法數(shù)時(shí)，要遵循“不重不漏”的原則。如：從若干件產(chǎn)品中抽出幾件產(chǎn)品來(lái)檢驗(yàn)，把抽出的產(chǎn)品中至多有2件次品的抽法分為兩類(lèi)：第一類(lèi)抽出的產(chǎn)品中有2件次品，第二類(lèi)抽出的產(chǎn)品中有一件次品，這樣的分類(lèi)顯然漏掉了抽出的產(chǎn)品中無(wú)次品的情況。又如：把能被

2、被3或被6整除的數(shù)分為三類(lèi)：第一類(lèi)能被2整除的數(shù)，第二類(lèi)能被3整除的數(shù)，第三類(lèi)能被6整除的數(shù)，其中第一類(lèi)、第二類(lèi)都和第三類(lèi)有重復(fù)，這樣分類(lèi)是不行的。

3.在運(yùn)用乘法原理時(shí)，要注意每個(gè)步驟都做完這件事也必須完成，而且前面一個(gè)步驟中的每一種方法，在下個(gè)步驟中都得有m種不同的方法。

二、鞏固練習(xí)

1.書(shū)架上層放有6本不同的數(shù)學(xué)書(shū)，下層放有5本不同的語(yǔ)文書(shū)：（1）從中任取一本書(shū)，有多少種不同的取法？

（2）從中任取數(shù)學(xué)、語(yǔ)文書(shū)各一本，有多少種不同的取法？（答案：（1）11種，（2）30種。）

2.有三個(gè)袋子，其中一個(gè)袋子裝有紅色小球20個(gè)，每個(gè)球上標(biāo)有1至20中的一個(gè)號(hào)碼，一個(gè)袋子裝有白色小球15個(gè)，每個(gè)小球上標(biāo)有1至15中的一個(gè)號(hào)碼。第三個(gè)袋子裝有8個(gè)黃色小球，每個(gè)球上標(biāo)有1至8中的一個(gè)號(hào)碼。（1）從袋子里任取一個(gè)小球，有多少種不同的取法？（2）從袋子里任取紅、白、黃色小球各一個(gè)，有多少種不同的取法？（答案：（1）43種，（2）2400種）

三、布置作業(yè)

1.復(fù)習(xí)本節(jié)內(nèi)容：讀書(shū)和看筆記。

2.做教科書(shū)2.1基本原理后的練習(xí)1至7題。（答案：1.有9種選法；2.有7種選法；3.列出200個(gè)式子；4.共有60項(xiàng)；5.有14種走法；6.（1）9種，（2）20種；7.（1）有6種，（2）有8種）

第四篇：加法原理與乘法原理

三年級(jí)第二學(xué)期數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練11

班級(jí)：

姓名：

學(xué)號(hào)：

第十一講——加法原理與乘法原理

【例題講解】

1、從上海到北京，可以坐火車(chē)，也可以坐汽車(chē)，還可以乘飛機(jī)，如果一天中有三趟火車(chē)，二班汽車(chē)，四班飛機(jī)，那么這一天從上海到北京，可以有幾種不同的走法？（每個(gè)班次算一種）

2、從甲地到乙地每天有3個(gè)班次的汽車(chē)，2個(gè)班次的火車(chē)，某人從甲地到乙地共有幾種不同的走法？（每個(gè)班次算一種）

3、明明從家里出發(fā)，經(jīng)過(guò)外婆家，然后去奶奶家玩，根據(jù)圖中所表示，共有多少種不同走法？

明明家

外婆家

奶奶家

4、書(shū)架上有5本故事書(shū)，7本連環(huán)畫(huà)，3本科技書(shū)。小紅想拿一本書(shū)，可有多少種取法？

5、五（一）班有4個(gè)小組。第一組7人，第二組8人，第三組9人，第四組10人.現(xiàn)在在班級(jí)中要選一個(gè)衛(wèi)生員，共有幾種選法？

6、書(shū)架上有5本故事書(shū)，7本連環(huán)畫(huà)，3本科技書(shū)。小紅想拿一本故事書(shū)，一本連環(huán)畫(huà)，一本科技書(shū)，有多少種取法？

【我來(lái)挑戰(zhàn)】

1、五（一）班有4個(gè)小組。第一組7人，第二組8人，第三組9人，第四組10人.現(xiàn)在要每個(gè)小組選一個(gè)衛(wèi)生員，共有幾種選法？

2、學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)，有跳繩，跑步，踢毽子。某小隊(duì)有12人，其中6個(gè)人會(huì)跳繩，4個(gè)人擅長(zhǎng)跑步，2個(gè)人會(huì)踢毽子。要選出三個(gè)人各去參加一種比賽，共有幾種選法？

3、有8個(gè)人參加聯(lián)歡會(huì)。每2個(gè)人之間握一次手，他們一共要握多少次手？

第五篇：計(jì)數(shù)原理-10.2 排列與組合(教案)

響水二中高三數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)

教案 第十編 計(jì)數(shù)原理 主備人 張靈芝 總第52期

§10.2 排列與組合

基礎(chǔ)自測(cè)

1.從1，2，3，4，5，6六個(gè)數(shù)字中，選出一個(gè)偶數(shù)和兩個(gè)奇數(shù)，組成一個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這樣的三位數(shù)共有 個(gè).答案 54 2.（2008·福建理）某班級(jí)要從4名男生、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù)，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案共有 種.答案 14 3.停車(chē)場(chǎng)每排恰有10個(gè)停車(chē)位.當(dāng)有7輛不同型號(hào)的車(chē)已停放在同一排后，恰有3個(gè)空車(chē)位連在一起的排法有 種.（用式子表示）答案 A88

4.在100件產(chǎn)品中有6件次品，現(xiàn)從中任取3件產(chǎn)品，至少有1件次品的不同取法種數(shù)是（用式子表示）.3答案 C100-C394

5.（2007·天津理）如圖，用6種不同的顏色給圖中的4個(gè)格子涂色，每個(gè)格子涂一種顏色，要求最多使用3種顏色且相鄰的兩個(gè)格子顏色不同，則不同的涂色方法共有 種（用數(shù)字作答）.答案 390

例題精講

例1 六人按下列要求站一橫排，分別有多少種不同的站法？（1）甲不站兩端；（2）甲、乙必須相鄰；（3）甲、乙不相鄰；（4）甲、乙之間間隔兩人；（5）甲、乙站在兩端；（6）甲不站左端，乙不站右端.解（1）方法一 要使甲不站在兩端，可先讓甲在中間4個(gè)位置上任選1個(gè)，有A14種站法，然后其余

155人在另外5個(gè)位置上作全排列有A55種站法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有站法：A4·A5=480（種）.2方法二 由于甲不站兩端，這兩個(gè)位置只能從其余5個(gè)人中選2個(gè)人站，有A5種站法，然后中24間人有A44種站法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有站法：A5·A4=480（種）.5方法三 若對(duì)甲沒(méi)有限制條件共有A66種站法，甲在兩端共有2A5種站法，從總數(shù)中減去這兩種 329

5情形的排列數(shù)，即共有站法：A66-2A5=480（種）.（2）方法一 先把甲、乙作為一個(gè)“整體”，看作一個(gè)人，和其余4人進(jìn)行全排列有A55種站法，再把

52甲、乙進(jìn)行全排列，有A22種站法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有A5·A2=240（種）站法.方法二 先把甲、乙以外的4個(gè)人作全排列，有A44種站法，再在5個(gè)空檔中選出一個(gè)供甲、乙放

2412入，有A15種方法，最后讓甲、乙全排列，有A2種方法，共有A4·A5·A2=240（種）.（3）因?yàn)榧住⒁也幌噜?，中間有隔檔，可用“插空法”，第一步先讓甲、乙以外的4個(gè)人站隊(duì)，有A442種站法；第二步再將甲、乙排在4人形成的5個(gè)空檔（含兩端）中，有A5種站法，故共有站法為2A44·A5=480（種）.52也可用“間接法”，6個(gè)人全排列有A66種站法，由（2）知甲、乙相鄰有A5·A2=240種站法，所52以不相鄰的站法有A66-A5·A2=720-240=480（種）.（4）方法一 先將甲、乙以外的4個(gè)人作全排列，有A4然后將甲、乙按條件插入站隊(duì)，有3A24種，2種，故共有A4（3A24·2）=144（種）站法.方法二 先從甲、乙以外的4個(gè)人中任選2人排在甲、乙之間的兩個(gè)位置上，有A2然后把甲、4種，乙及中間2人看作一個(gè)“大”元素與余下2人作全排列有A3最后對(duì)甲、乙進(jìn)行排列，有A22種3種方法，32方法，故共有A24·A3·A2=144（種）站法.（5）方法一 首先考慮特殊元素，甲、乙先站兩端，有A22種，再讓其他4人在中間位置作全排列，24有A44種，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有A2·A4=48（種）站法.方法二 首先考慮兩端兩個(gè)特殊位置，甲、乙去站有A22種站法，然后考慮中間4個(gè)位置，由剩下

24的4人去站，有A44種站法，由分步計(jì)數(shù)原理共有A2·A4=48（種）站法.54（6）方法一 甲在左端的站法有A55種，乙在右端的站法有A5種，且甲在左端而乙在右端的站法有A4 330 54種，共有A66-2A5+A4=504（種）站法.方法二 以元素甲分類(lèi)可分為兩類(lèi)：①甲站右端有A55種站法，②甲在中間4個(gè)位置之一，而乙不145114在右端有A14·A4·A4 種，故共有A5+A4·A4·A4=504（種）站法.例2 男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，其中男女隊(duì)長(zhǎng)各1人.選派5人外出比賽.在下列情形中各有多少種選派方法？

（1）男運(yùn)動(dòng)員3名，女運(yùn)動(dòng)員2名；（2）至少有1名女運(yùn)動(dòng)員；（3）隊(duì)長(zhǎng)中至少有1人參加；（4）既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有女運(yùn)動(dòng)員.2解（1）第一步：選3名男運(yùn)動(dòng)員，有C36種選法.第二步：選2名女運(yùn)動(dòng)員，有C4種選法.2共有C36·C4=120種選法.（2）方法一 至少1名女運(yùn)動(dòng)員包括以下幾種情況： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.4233241由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理可得總選法數(shù)為C14C6+C4C6+C4C6+C4C6=246種.方法二 “至少1名女運(yùn)動(dòng)員”的反面為“全是男運(yùn)動(dòng)員”可用間接法求解.5從10人中任選5人有C10種選法，其中全是男運(yùn)動(dòng)員的選法有C56種.所以“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”的5選法為C10-C56=246種.（3）方法一 可分類(lèi)求解：

443“只有男隊(duì)長(zhǎng)”的選法為C8； “只有女隊(duì)長(zhǎng)”的選法為C8； “男、女隊(duì)長(zhǎng)都入選”的選法為C8； 43所以共有2C8+C8=196種選法.方法二 間接法：

55從10人中任選5人有C10種選法.其中不選隊(duì)長(zhǎng)的方法有C8種.所以“至少1名隊(duì)長(zhǎng)”的選法為55C10-C8=196種.44（4）當(dāng)有女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，其他人任意選，共有C9種選法.不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，必選男隊(duì)長(zhǎng)，共有C8種選法.444其中不含女運(yùn)動(dòng)員的選法有C5種，所以不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)的選法共有C8-C5種選法.所以既有隊(duì)長(zhǎng)又有女444運(yùn)動(dòng)員的選法共有C9+C8-C5=191種.331 例3 4個(gè)不同的球，4個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi).（1）恰有1個(gè)盒不放球，共有幾種放法？（2）恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球，共有幾種放法？（3）恰有2個(gè)盒不放球，共有幾種放法？

解（1）為保證“恰有1個(gè)盒不放球”，先從4個(gè)盒子中任意取出去一個(gè)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“4個(gè)球，3個(gè)盒子，每個(gè)盒子都要放入球，共有幾種放法？”即把4個(gè)球分成2，1，1的三組，然后再?gòu)?個(gè)盒子中選

1212個(gè)放2個(gè)球，其余2個(gè)球放在另 外2個(gè)盒子內(nèi)，由分步計(jì)數(shù)原理，共有C14C4C3×A2=144種.（2）“恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球”，即另外3個(gè)盒子放2個(gè)球，每個(gè)盒子至多放1個(gè)球，也即另外3個(gè) 子中恰有一個(gè)空盒，因此，“恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球”與“恰有1個(gè)盒不放球”是同一件事，所以共有144種放法.（3）確定2個(gè)空盒有C2、（2，2）兩類(lèi)，第一類(lèi)有序不4種方法.4個(gè)球放進(jìn)2個(gè)盒子可分成（3，1）均勻分組有CC24(C342C11A234C11A22種方法；第二類(lèi)有序均勻分組有

2C24C2A22·A

22種方法.故共有+2C24C2A22·A22）=84種.鞏固練習(xí)

1.用0、1、2、3、4、5這六個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)分別符合下列條件的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)：(1)奇數(shù)；(2)偶數(shù)；(3)大于3 125的數(shù).12解(1)先排個(gè)位，再排首位，共有A13·A4·A4=144（個(gè)）.1123(2)以0結(jié)尾的四位偶數(shù)有A35個(gè)，以2或4結(jié)尾的四位偶數(shù)有A2·A4·A4個(gè)，則共有A5+ 12A12·A4·A4=156（個(gè)）.2(3)要比3 125大，4、5作千位時(shí)有2A35個(gè)，3作千位，2、4、5作百位時(shí)有3A4個(gè)，3作千位，1作 321百位時(shí)有2A13個(gè)，所以共有2A5+3A4+2A3=162（個(gè)）.2.某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生12名，外科醫(yī)生8名，現(xiàn)選派5名參加賑災(zāi)醫(yī)療隊(duì)，其中（1）某內(nèi)科醫(yī)生甲與某外科醫(yī)生乙必須參加，共有多少種不同選法？（2）甲、乙均不能參加，有多少種選法？（3）甲、乙兩人至少有一人參加，有多少種選法？

（4）隊(duì)中至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生，有幾種選法？

3解（1）只需從其他18人中選3人即可，共有C18=816（種）.5（2）只需從其他18人中選5人即可，共有C18=8 568（種）.43（3）分兩類(lèi)：甲、乙中有一人參加，甲、乙都參加，共有C12C18+C18=6 936（種）.332（4）方法一（直接法）至少一名內(nèi)科醫(yī)生一名外科醫(yī)生的選法可分四類(lèi)：一內(nèi)四外；二內(nèi)三外；三

4233241內(nèi)二外；四內(nèi)一外，所以共有C112C8+C12C8+C12C8+C12C8=14 656（種）.方法二（間接法）由總數(shù)中減去五名都是內(nèi)科醫(yī)生和五名都是外科醫(yī)生的選法種數(shù)，55得C520-（C8+C12)=14 656(種）.3.有6本不同的書(shū)按下列分配方式分配，問(wèn)共有多少種不同的分配方式？（1）分成1本、2本、3本三組；

（2）分給甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；（3）分成每組都是2本的三組；（4）分給甲、乙、丙三人，每人2本.2解（1）分三步：先選一本有C16種選法；再?gòu)挠嘞碌?本中選2本有C5種選法；對(duì)于余下的三本 123全選有C33種選法，由分步計(jì)數(shù)原理知有C6C5C3=60種選法.233（2）由于甲、乙、丙是不同的三人，在（1）的基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配的問(wèn)題，因此共有C16C5C3A3=360種選法.222（3）先分三步，則應(yīng)是C6C4C2種選法，但是這里面出現(xiàn)了重復(fù)，不妨記六本書(shū)為A、B、C、D、222E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，記該種分法為（AB，CD，EF），則C6C4C2種分法中還有（AB、EF、CD），（CD、AB、EF）、（CD、EF、AB）、（EF、CD、AB）、（EF、AB、CD）3共有A33種情況，而且這A3種情況僅是AB、CD、EF的順序不同，因此，只算作一種情況，故分法有222C6C4C2A33=15種.222C6C4C2（4）在問(wèn)題（3）的工作基礎(chǔ)上再分配，故分配方式有

A33222·A33= C6C4C2=90種.回顧總結(jié)

知識(shí) 方法 思想

課后作業(yè)

一、填空題

1.用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50 000的偶數(shù)共有 個(gè).答案 36 2.將編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)球放入編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)盒子里，每個(gè)盒子內(nèi)放一個(gè)球，若恰好有三個(gè)球的編號(hào)與盒子編號(hào)相同，則不同投放方法共有 種.333 答案 10 3.記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有 種.答案 960 4.(2008·天津理)有8張卡片分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，從中取出6張卡片排成3行2列，要求3行中僅有中間行的兩張卡片上的數(shù)字之和為5，則不同的排法共有 種.答案 1 248 5.在圖中，“構(gòu)建和諧社會(huì)，創(chuàng)美好未來(lái)”，從上往下讀（不能跳讀），共有 種不同的讀法.答案 252 6.（2008·安徽理）12名同學(xué)合影，站成了前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)是（用式子表示）.22答案 C8A6

7.平面?內(nèi)有四個(gè)點(diǎn)，平面?內(nèi)有五個(gè)點(diǎn)，從這九個(gè)點(diǎn)中任取三個(gè)，最多可確定 個(gè)平面，任取四點(diǎn)，最多可確定 個(gè)四面體.（用數(shù)字作答）答案 72 120 8.（2008·浙江理，16）用1，2，3，4，5，6組成六位數(shù)（沒(méi)有重復(fù)數(shù)字），要求任何相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同，且1和2相鄰.這樣的六位數(shù)的個(gè)數(shù)是.（用數(shù)字作答）答案 40

二、解答題

9.某外商計(jì)劃在4個(gè)候選城市投資3個(gè)不同的項(xiàng)目，且在同一個(gè)城市投資的項(xiàng)目不超過(guò)2個(gè)，求該外商不同的投資方案有多少種？

解 可先分組再分配，據(jù)題意分兩類(lèi)，一類(lèi)：先將3個(gè)項(xiàng)目分成兩組，一組有1個(gè)項(xiàng)目，另一組有2

22個(gè)項(xiàng)目，然后再分配給4個(gè)城市中的2個(gè)，共有C3A4種方案；另一類(lèi)1個(gè)城市1個(gè)項(xiàng)目，即把3個(gè)223元素排在4個(gè)不同位置中的3個(gè)，共有A34種方案.由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理可知共有C3A4+A4=60種方案.10.課外活動(dòng)小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名隊(duì)長(zhǎng)，現(xiàn)從中選5人主持某種活動(dòng)，依下列條件各有多少種選法？（1）只有一名女生；（2）兩隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選；

334（3）至少有一名隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選；（4）至多有兩名女生當(dāng)選.4解（1）一名女生，四名男生，故共有C15·C8=350（種）.3（2）將兩隊(duì)長(zhǎng)作為一類(lèi)，其他11人作為一類(lèi)，故共有C22·C11=165（種）.423（3）至少有一名隊(duì)長(zhǎng)含有兩類(lèi)：有一名隊(duì)長(zhǎng)和兩名隊(duì)長(zhǎng).故共有：C12·C11+C2·C11=825（種）.55或采用間接法：C13-C11=825（種）.（4）至多有兩名女生含有三類(lèi)：有兩名女生、只有一名女生、沒(méi)有女生.2345故選法為C5·C8+C15·C8+C8=966（種）.11.已知平面?∥?，在?內(nèi)有4個(gè)點(diǎn)，在?內(nèi)有6個(gè)點(diǎn).（1）過(guò)這10個(gè)點(diǎn)中的3點(diǎn)作一平面，最多可作多少個(gè)不同平面？（2）以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，最多可作多少個(gè)三棱錐？（3）上述三棱錐中最多可以有多少個(gè)不同的體積？

2解（1）所作出的平面有三類(lèi)：①?內(nèi)1點(diǎn)，?內(nèi)2點(diǎn)確定的平面，有C14·C6個(gè)；②?內(nèi)2點(diǎn)，?2內(nèi)1點(diǎn)確定的平面，有C2C1③?，?本身.∴所作的平面最多有C1C6+C2C1（個(gè)）.4·4·4·6個(gè)；6+2=983（2）所作的三棱錐有三類(lèi)：①?內(nèi)1點(diǎn)，?內(nèi)3點(diǎn)確定的三棱錐，有C14·C6個(gè)；②?內(nèi)2點(diǎn)，?內(nèi)2312點(diǎn)確定的三棱錐，有C24·C6個(gè)；?內(nèi)3點(diǎn)，?內(nèi)1點(diǎn)確定的三棱錐，有C4·C6個(gè).32231∴最多可作出的三棱錐有：C14·C6+C4·C6+C4·C6=194（個(gè)）.（3）∵當(dāng)?shù)鹊酌娣e、等高的情況下三棱錐的體積相等,且平面?∥?，∴體積不相同的三棱錐最多有

322C36+C4+C6·C4=114（個(gè)）.12.有兩排座位，前排11個(gè)座位，后排12個(gè)座位，現(xiàn)安排2人就座，規(guī)定前排中間的3個(gè)座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，共有多少種不同排法？

解 ∵前排中間3個(gè)座位不能坐，∴實(shí)際可坐的位置前排8個(gè)，后排12個(gè).12（1）兩人一個(gè)前排，一個(gè)后排，方法數(shù)為C18·C12·A2種； 212（2）兩人均在后排左右不相鄰，共A12-A22·A11=A11種；

1（3）兩人均在前排，又分兩類(lèi)：①兩人一左一右，共C1C1A2②兩人同左同右，有2（A2A24·4·2種；4-A3·2）122112212種.綜上可知，不同排法種數(shù)為C18·C12·A2+A11+C4·C4·A2+2（A4-A3·A2）=346種.335