第一篇：容斥原理五年級(jí)試題

容斥原理五年級(jí)試題一

1、在1到500的全部自然數(shù)中，不是7的倍數(shù)，也不是9的倍數(shù)的數(shù)共有多少個(gè)?

2、六年級(jí)一班有45名同學(xué)，每人都參加暑假體育培訓(xùn)班，其中足球班報(bào)25人，籃球班報(bào)20人，游泳班報(bào)30人，足球、籃球都報(bào)者有10人，足球、籃球都報(bào)者有12人。問三項(xiàng)都報(bào)的有多少人?

3、某校六年級(jí)二班有49人參加了數(shù)學(xué)、英語、語文學(xué)習(xí)小組，其中數(shù)學(xué)有30人參加，英語有20人參加，語文小組有10人參加，老師告訴同學(xué)既參加數(shù)學(xué)又參加語文小組的有3人，既參加數(shù)學(xué)又參加英語和既參加英語又參加語文的人數(shù)均為質(zhì)數(shù)，而三種全參加的只有1人，求既參加英語又參加數(shù)學(xué)小組的人數(shù)。

4、某班同學(xué)參加升學(xué)考試，得滿分的人數(shù)如下：數(shù)學(xué)20人，語文20人，英語20人，數(shù)學(xué)、英語兩科滿分者8人，數(shù)學(xué)、語文兩科滿分者7人，語文、英語兩科滿分者9人，三科都沒有得滿分者3人。問這個(gè)班最多多少人?最少多少人?

5、向50名同學(xué)調(diào)查春游去頤和園還是去動(dòng)物園的態(tài)度，贊成去頤和園的人數(shù)是全體的35，其余不贊成;贊成去動(dòng)物園的比贊成去頤和園的學(xué)生多3人，其余不贊成，另外對(duì)去兩處都不贊成的學(xué)生數(shù)比對(duì)去兩處都贊成的學(xué)生數(shù)的13多1人，同時(shí)去頤和園和去動(dòng)物園都贊成和都不贊成的學(xué)生各有多少人?

6、分母是1001的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)共有多少人?

7、李老師出了兩道數(shù)學(xué)題，全班40人中，第一有30人做對(duì)，第二題有12人未做對(duì)，兩題都做對(duì)的有20人。

(1)第2題對(duì)第1題不對(duì)有幾個(gè)人?

(2)兩題都不對(duì)的有幾人?

8、每邊長為10厘米的正方形紙片，正中間挖一個(gè)正方形的洞，成為寬1厘米的方框，把五個(gè)這樣的方框放在桌面上，成為如的圖案。問桌面上放這些方框蓋住部分的面積是多少平方厘米?

9、一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽都是填空題，小明答錯(cuò)的恰是題目總數(shù)的14，小亮答錯(cuò)5題，兩人都答錯(cuò)的題目的總數(shù)的16，已知小明，小亮都答對(duì)題目超過了試題總數(shù)的一半，則他們都答對(duì)了多少道題?

10、在1到1998的自然數(shù)中，能被2整除，但不能被3或7整除的數(shù)有多少個(gè)?

容斥原理五年級(jí)試題二

1、全班有46名同學(xué),僅會(huì)打乒乓球的有18人,會(huì)打乒乓球以及會(huì)打羽毛球的有7人,不會(huì)打乒乓球又不會(huì)打羽毛球的有6人,問,僅會(huì)打羽毛球的有多少人?

2、電視臺(tái)向100人調(diào)查昨天收看電視情況，有62人看過2頻道，34人看過8頻道，11人兩個(gè)頻道都看過。問：兩個(gè)頻道都沒有看過的有多少人?

3、一次數(shù)學(xué)小測(cè)驗(yàn)只有兩道題，結(jié)果全班有10人全對(duì)，第一題有25人做對(duì)，第二題有18人做錯(cuò)，那么兩題都做錯(cuò)的有多少人?

4、在小于100的自然數(shù)中既不能被3整除，又不能被2整除的數(shù)有多少個(gè)?

5、某班45名同學(xué)參加了體育測(cè)試，其中百米得優(yōu)者20人，跳遠(yuǎn)得優(yōu)者18人，又知百米、跳遠(yuǎn)均得優(yōu)者7人，跳高、百米均得優(yōu)者6人，跳高、跳遠(yuǎn)均得優(yōu)者8人，跳高得優(yōu)者22人，全班只有1名同學(xué)各項(xiàng)都沒有達(dá)到優(yōu)，求三項(xiàng)都是優(yōu)的人數(shù)。

6、某班四年級(jí)時(shí)，五年級(jí)時(shí)和六年級(jí)時(shí)分別評(píng)出10名三好學(xué)生，又知四、五年級(jí)連續(xù)三好生4人，五、六年級(jí)連續(xù)三好生3人，四年級(jí)六年級(jí)兩年評(píng)上三好生的有5人，四、五、六三年沒有評(píng)過三好生的有20人，問這個(gè)班最多有多少名同學(xué)?最少有多少名同學(xué)?

7、六一兒童節(jié)那天，全班45人到頤和園去玩，有33人劃了船，20人爬了山。5名同學(xué)因身體不好，他們既沒有劃船也沒有爬山，他們游覽了長廊。問：既劃了船也爬了山的同學(xué)有多少人?

8、六(3)班有32人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，27人參加英語競(jìng)賽，22人參加語文競(jìng)賽，其中參加英語、數(shù)學(xué)兩科的有12人，參加英語和語文兩科的有14人，參加數(shù)學(xué)和語文兩科的有10人，這個(gè)班至少有多少人?

9、分母是273的最剪真分?jǐn)?shù)共有多少個(gè)?

10、博文學(xué)校參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽有120名男生，80名女生，參加語文競(jìng)賽的有120名女生，80名男生，已知該?？偣灿?60名學(xué)生參加競(jìng)賽，其中75名男生兩科競(jìng)賽都參加了，那么只參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽而沒有參加語文競(jìng)賽的女生有多少人?

第二篇：公務(wù)員考試——容斥原理問題

知識(shí)框架

數(shù)學(xué)運(yùn)算問題一共分為十四個(gè)模塊，其中一塊是容斥原理問題。

在公務(wù)員考試中，根據(jù)集合的個(gè)數(shù)，容斥原理問題一般只有兩集合容斥關(guān)系和三集合容斥關(guān)系兩種類型，兩集合容斥關(guān)系一般只要采用公式法就可輕松解決，三集合容斥關(guān)系又可分為標(biāo)準(zhǔn)型、圖示標(biāo)數(shù)型、整體重復(fù)型三類，對(duì)應(yīng)解題方法分別是公式法、文氏圖法、方程法。無論集合中的元素怎么變化，同學(xué)只要牢牢把握這兩類型，就能輕松搞定容斥原理問題。核心點(diǎn)撥

1、題型簡(jiǎn)介

容斥原理是在不考慮重疊的情況下，先將所有對(duì)象的數(shù)目相加，然后再減去重復(fù)的部分，從而使得計(jì)算的結(jié)果既無遺漏又無重復(fù)。掌握容斥原理問題，可以幫助同學(xué)們解決多集合元素個(gè)數(shù)的問題。

2、核心知識(shí)

（1）兩個(gè)集合容斥關(guān)系

（2）三個(gè)集合容斥關(guān)系 A、標(biāo)準(zhǔn)型公式

B、圖示標(biāo)數(shù)型（文氏圖法）

畫圖法核心步驟： 1 畫圈圖； 數(shù)字(先填最外一層，再填最內(nèi)一層，然后填中間層)； ③做計(jì)算。C、整體重復(fù)型

A、B、C分別代表三個(gè)集合（比如“分別滿足三個(gè)條件的元素?cái)?shù)量”）； W代表元素總量（比如“至少滿足三個(gè)條件之一的元素的總量”）； x代表元素?cái)?shù)量1（比如“滿足一個(gè)條件的元素?cái)?shù)量”）； y代表元素?cái)?shù)量2（比如“滿足兩個(gè)條件的元素?cái)?shù)量”）； z代表元素?cái)?shù)量3（比如“滿足三個(gè)條件的元素?cái)?shù)量”）。

3、核心知識(shí)使用詳解

（1）容斥原理問題要清楚容斥原理公式中各項(xiàng)的實(shí)際含義，與題中的數(shù)據(jù)準(zhǔn)確對(duì)應(yīng)。（2）容斥原理問題的關(guān)鍵在于把文字轉(zhuǎn)化為文氏圖，在圖中應(yīng)準(zhǔn)備反應(yīng)題中集合之間的關(guān)系。（3）容斥問題的難度在于題中集合可能較多，某些集合之間的關(guān)系可能不確定，這需要仔細(xì)的分析，抓住不確定的。

夯實(shí)基礎(chǔ) 1.兩個(gè)集合容斥關(guān)系

例1：(2007年中央第50題)小明和小強(qiáng)參加同一次考試，如果小明答對(duì)的題目占題目總數(shù)的，小強(qiáng)答對(duì)了27道題，他們兩人都答對(duì)的題目占題目總數(shù)的，那么兩人都沒有答對(duì)的題目共有（）。

A.3道 B.4道 C.5道 D.6道 【答案】 D 【解析】 [題鑰]

由于不知道這次考試題目的總數(shù)，所以可先設(shè)題目總數(shù)即元素總量為。

“小明答對(duì)的題目占題目總數(shù)的”，相當(dāng)于集合A為。

“小強(qiáng)答對(duì)了27道題”，相當(dāng)于集合B為27。

“他們兩人都答對(duì)的題目占題目總數(shù)的”，相當(dāng)于集合。

“兩人都沒有答對(duì)的題目”，相當(dāng)于求集合。

[解析]

根據(jù)題意，確定元素總量W：；

確定集合A：；

確定集合B：27；

確定集合：；

代入兩集合公式：

＝＝

因?yàn)楹途鶠轭}數(shù)，須均為正整數(shù)，所以必須為12的倍數(shù)，而且由選項(xiàng)知：3≤≤6

當(dāng)W＝12時(shí)，＝－16，不合題意；

當(dāng)W＝24時(shí)，＝－5，不合題意；

當(dāng)W＝36時(shí)，＝6，符合題意。

所以，兩人都沒答對(duì)的題目為6道。

因此，選B。2.三個(gè)集合容斥關(guān)系

例2：（浙江行測(cè)真題）某專業(yè)有學(xué)生50人，現(xiàn)開設(shè)甲、乙、丙三門選修課。有40人選修甲課程，36選修乙課程，30人選修丙課程，兼選甲、乙兩門課的有28人，兼選甲、丙兩門課的有26人，兼選乙、丙門課程的有24人，甲、乙、丙三門課程均選的有20人，問三課均未選的有多少人？（）A.1人 B.2人 C.3人 D.4人 【答案】 B 【解析】 [題鑰]

“某專業(yè)有學(xué)生50人”，相當(dāng)于元素總量W為50。

“有40人選修甲課程”，相當(dāng)于集合A為40。

“36選修乙課程”，相當(dāng)于集合B為36。

“30人選修丙課程”，相當(dāng)于集合C為30。

“兼選甲、乙兩門課的有28人”，相當(dāng)于集合=28。

“兼選甲、丙兩門課的有26人”，相當(dāng)于集合=26。

“兼選乙、丙門課程的有24人”，相當(dāng)于集合=24。

“甲、乙、丙三門課程均選的有20人”，相當(dāng)于集合=20。

“問三課均未選的有多少人?”相當(dāng)于求集合。

[解析]

根據(jù)題意，確定元素總量W：50

確定集合A：40 確定集合B：36

確定集合C：30

確定集合：28

確定集合：26

確定集合：24

確定集合：20

代入三集合標(biāo)準(zhǔn)型公式：

＝50-（40+36+30-28-24-26+20）

＝2

因此，選B。例3：（國家行測(cè)真題）

某高校對(duì)一些學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查。在接受調(diào)查的學(xué)生中，準(zhǔn)備參加注冊(cè)會(huì)計(jì)師考試的有63人，準(zhǔn)備參加英語六級(jí)考試的有89人，準(zhǔn)備參加計(jì)算機(jī)考試的有47人，三種考試都準(zhǔn)備參加的有24人，準(zhǔn)備選擇兩種考試參加的有46人，不參加其中任何一種考試的有15人。問接受調(diào)查的學(xué)生共有多少人？（）A.120 B.144 C.177 D.192 【答案】 A 【解析】 [題鑰]

觀察題目，屬于三個(gè)集合容斥關(guān)系中的標(biāo)數(shù)型問題，可采用文氏圖法求解。[解析]

本題屬于標(biāo)數(shù)型問題，可采用文氏圖法求解，如下圖所示。

圖中，黑色部分是準(zhǔn)備參加兩種考試的學(xué)生，灰色部分是準(zhǔn)備參加三種考試的學(xué)生。計(jì)算總?cè)藬?shù)時(shí)，黑色部分重復(fù)計(jì)算了一次，灰色部分重復(fù)計(jì)算了兩次，所以接受調(diào)查的學(xué)生共有：

63＋89＋47－24×2－46＋15＝120人。

因此，選A。例4：(浙江2004－20)某班有35個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少參加英語小組、語文小組、數(shù)學(xué)小組中的一個(gè)課外活動(dòng)小組。現(xiàn)已知參加英語小組的有17人，參加語文小組的有30人，參加數(shù)學(xué)小組的有13人。如果有5個(gè)學(xué)生三個(gè)小組全參加了，問有多少個(gè)學(xué)生只參加了一個(gè)小組？（）A.15人 B.16人 C.17人 D.18人 【答案】 A 【解析】 [題鑰]

“某班有35個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少參加英語小組、語文小組、數(shù)學(xué)小組中的一個(gè)課外活動(dòng)小組”，相當(dāng)于元素總量W為35。

“參加英語小組的有17人”，相當(dāng)于集合A為17。

“參加語文小組的有30人”，相當(dāng)于集合B為30。

“參加數(shù)學(xué)小組的有13人”，相當(dāng)于集合C為13?！叭绻?個(gè)學(xué)生三個(gè)小組全參加了”，相當(dāng)于元素?cái)?shù)量3為5。

“問有多少個(gè)學(xué)生只參加了一個(gè)小組？”，此類題目屬于整體重復(fù)型問題，可采用方程法求解。

[解析]

根據(jù)題意，設(shè)：

參加一個(gè)小組的人數(shù)為x，即元素?cái)?shù)量1為x；

參加兩個(gè)小姐的人數(shù)為y，即元素?cái)?shù)量2為y；

確定元素總量W：38

確定集合A：17

確定集合B：30

確定集合C：13

確定元素?cái)?shù)量3：5

代入公式，列方程：

因此，選A。

進(jìn)階訓(xùn)練

1.兩個(gè)集合容斥關(guān)系

例5：某校學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有120名男生，80名女生，參加英語競(jìng)賽的有120名女生，80名男生。已知該?？偣灿?60名學(xué)生參加競(jìng)賽，其中75名男生兩科競(jìng)賽都參加了，那么參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽而沒有參加英語競(jìng)賽的女生人數(shù)是多少人?（）A.15 B.20 C.25 D.30 【答案】 A 【解析】 [題鑰]

假設(shè)260名學(xué)生當(dāng)中有m名男生、n名女生，同時(shí)參加了教學(xué)和英語競(jìng)賽的女生人數(shù)為x。

對(duì)于男生：

“m名男生”，相當(dāng)于元素總量為m。

“參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有120名男生”，相當(dāng)于集合為120。

“參加英語競(jìng)賽的”，“80名男生”，相當(dāng)于集合為80。

“其中75名男生兩科競(jìng)賽都參加了”，相當(dāng)于集合為75。

對(duì)于女生：

“n名女生”，相當(dāng)于元素總量為n。

“參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的”、“80名女生”，相當(dāng)于集合為80。

“參加英語競(jìng)賽的有120名女生”，相當(dāng)于集合為120。

同時(shí)參加了教學(xué)和英語競(jìng)賽的女生人數(shù)，相當(dāng)于集合為x。

“已知該?？偣灿?60名學(xué)生參加競(jìng)賽”，可知260名學(xué)生都參加了競(jìng)賽，沒有“數(shù)學(xué)競(jìng)賽和英語競(jìng)賽都沒參加”的情況。相當(dāng)于集合、集合為0。

[解析]

根據(jù)題意，設(shè)：

260名學(xué)生當(dāng)中有m名男生、n名女生； 同時(shí)參加了教學(xué)和英語競(jìng)賽的女生人數(shù)為x。

對(duì)于男生：

確定元素總量：m

確定集合：120

確定集合：80

確定集合：75

確定集合：0

對(duì)于女生：

確定元素總量：n

確定集合：80

確定集合：120

確定集合：x

確定集合：0

男女生總數(shù)，即m＋n＝260。

代入兩集合公式，列方程：

則有

即同時(shí)參加了教學(xué)和英語競(jìng)賽的女生人數(shù)為65。

由于參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的女生有80名，則參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽而沒有參加英語競(jìng)賽的女生人數(shù)：

80－65＝15名。

因此，選A。2.三個(gè)集合容斥關(guān)系

例6：(廣州2007－33)如右圖所示，每個(gè)圓紙片的面積都是36，圓紙片A與B、B與C、C與A的重疊部分面積分別為7、6、9，三個(gè)圓紙片覆蓋的總面積為88，則圖中陰影部分的面積為?()

A.66 B.68 C.70 D.72 【答案】 C 【解析】 [題鑰]

“三個(gè)圓紙片覆蓋的總面積為88”，相當(dāng)于元素總量W為88，集合為0。“每個(gè)圓紙片的面積都是36”，相當(dāng)于集合A、集合B、集合C都為36。

“圓紙片A與B、B與C、C與A的重疊部分面積分別為7、6、9”，相當(dāng)于集合為6，集合為9。

為7，集合要求“陰影部分的面積”，可先求出集合。

[解析]

根據(jù)題意，確定元素總量W：88

確定集合A：36

確定集合B：36

確定集合C：36

確定集合：7

確定集合：6

確定集合：9

確定集合：0

代入公式：

=（88-0）-（36+36+36-7-6-9）

=2

“由中間向外圍”進(jìn)行數(shù)據(jù)標(biāo)記，進(jìn)行簡(jiǎn)單加減運(yùn)算，如下圖過程所示：

據(jù)圖可知，陰影部分的面積為：22＋25＋23＝70。

因此，選C。例7：(江蘇2009A類－19)某調(diào)查公司就甲、乙、丙三部電影的收看情況向125人進(jìn)行調(diào)查，有89人看過甲片，有47人看過乙片，有63人看過丙片，其中有24人三部電影全看過，20人一部也沒有看過，則只看過其中兩部電影的人數(shù)是（）。A.69 B.65 C.57 D.46 【答案】 D 【解析】 [題鑰]

“某調(diào)查公司就甲、乙、丙三部電影的收看情況向125人進(jìn)行調(diào)查”、“20人一部也沒有看過”，相當(dāng)于元素總量W為125－20＝105。

“有80人看過甲片”，相當(dāng)于集合A為89。

“有47人看過乙片”，相當(dāng)于集合B為47。

“有63人看過丙片”，相當(dāng)于集合C為63。

“其中有24人三部電影全看過”，相當(dāng)于元素?cái)?shù)量3為24。

求解“只看過其中兩部電影的人數(shù)”，此類題目屬于整體重復(fù)型問題，可采用方程法求解。

[解析] 根據(jù)題意，設(shè)：

只看過其中一部電影的人數(shù)為x，即元素?cái)?shù)量1為x；

看過其中兩部電影的人數(shù)為y，即元素?cái)?shù)量2為y；

確定元素總量W：125－20＝105

確定集合A：89

確定集合B：47

確定集合C：63

確定元素?cái)?shù)量3：24

代入公式，列方程：

因此，選D。

例8：建華中學(xué)共有1600名學(xué)生，其中喜歡乒乓球的有1180人，喜歡羽毛球的有1360人，喜歡籃球的有1250人，喜歡羽毛球的有1040人，問以上四項(xiàng)球類運(yùn)動(dòng)都喜歡的至少有幾人？ A.20 B.30 C.40 D.50 【答案】 B 【解析】 [題鑰]

觀察題目，發(fā)現(xiàn)采用公式法，文氏圖法都是比較麻煩的。那么逆向考慮，看下各項(xiàng)活動(dòng)都不喜歡的人有多少人，當(dāng)這各項(xiàng)活動(dòng)都不喜歡的人互不重疊的時(shí)候，可滿足四項(xiàng)活動(dòng)都喜歡的人最少。

[解析]

根據(jù)題意，可知：

不喜歡乒乓球的有：1600-1180=420人； 不喜歡羽毛球的有：1600-1360=240人；

不喜歡籃球的有：1600-1250=350人；

不喜歡足球的有：1600-1040=560人；

若這些人互不重疊則可滿足四項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都喜歡的人最少，為：

1600-（420+240+350+560）=30人。

第三篇：小五班容斥問題講義

小五班容斥問題講義

容斥原理1.二量重疊問題：總和=A+B-AB 容斥原理2.三量重疊問題：總和=A+B+C-AB-AC-BC+ABC 例題1.一個(gè)班有45個(gè)小學(xué)生,統(tǒng)計(jì)借課外書的情況是:全班學(xué)生都借有語文或數(shù)學(xué)課外書。借語文課外書的有39人,借數(shù)學(xué)課外書的有32人。語文、數(shù)學(xué)兩種課外書都借的有（）人。

練習(xí)1.某區(qū)100個(gè)外語教師懂英語或俄語,其中懂英語的75人,既懂英語又懂俄語的20人,那么懂俄語的教師為（）人。

練習(xí)2.六一班有學(xué)生46人,其中會(huì)騎自行車的17人,會(huì)游泳的14人,既會(huì)騎車又會(huì)游泳的4人,問兩樣都不會(huì)的有（）人。

練習(xí)3.民兵進(jìn)行訓(xùn)練，每橫排人數(shù)一樣多，每豎行人數(shù)也一樣多，李軍站的位置從前面數(shù)是第4人，從后面數(shù)是第6人，從左面數(shù)是第3人，從右面數(shù)是第2人，一共有多少人參加訓(xùn)練? 練習(xí)4.王紅從前面數(shù)是第6人，郝文排在最后，和王紅間隔3個(gè)人，王紅和黃克在同一橫排上，王紅從左數(shù)是第2個(gè)人，黃克從右數(shù)是第1人，他們間隔5人。三二班同學(xué)一共有多少人? 練習(xí)5.六一兒童節(jié)那天，全班45人到頤和園去玩，有33人劃了船，20人爬了山，5名同學(xué)因身體不好，他們既沒劃船也沒爬山，他們游覽了長廊。問：既劃了船也爬了山的同學(xué)有多少？

例題2.在100個(gè)學(xué)生中,音樂愛好者有56人,體育愛好者有75人,那么既愛好音樂,又愛好體育的人最少有（）人,最多有（）人。

例題3.在1至100的自然數(shù)中,是5的倍數(shù)或是7的倍數(shù)的數(shù)有（）個(gè)。練習(xí)1.在1至10000中不能被5或7整除的數(shù)共有（）個(gè)。

練習(xí)2.在1至10000之間既不是完全平方數(shù),也不是完全立方數(shù)的整數(shù)有（）個(gè)。練習(xí)3.在1到10000這10000個(gè)自然數(shù)中，即不能被8整除也不能被125整除的數(shù)有多少個(gè)？ 練習(xí)4.有若干卡片，每張卡片上寫著一個(gè)數(shù)，它是3的倍數(shù)或4的倍數(shù)，其中標(biāo)有3的倍數(shù)的卡片占，標(biāo)有4的倍數(shù)的卡片占，標(biāo)有12的倍數(shù)的卡片有15張．那么，這些卡片一共有多少張?

例題4.五一小學(xué)舉行小學(xué)生畫展，其中18幅不是六年級(jí)的，20幅不是五年級(jí)的?，F(xiàn)在知道五、六年級(jí)共展出22幅畫，問：其它年級(jí)共展出多少幅畫？ 練習(xí)1.東河小學(xué)畫展上展出了許多幅畫，其中有16幅畫不是六年級(jí)的，有15幅畫不是五年級(jí)的?，F(xiàn)知道五、六年級(jí)共有25幅畫，那么其他年級(jí)的畫共有多少幅? 練習(xí)2.光明小學(xué)舉辦學(xué)生書法展覽。學(xué)校的櫥窗里展出了每個(gè)年級(jí)學(xué)生的書法作品,其中有24幅不是五年級(jí)的,有22幅不是六年級(jí)的,五、六年級(jí)參展的書法作品共有10幅,其他年級(jí)參展的書法共有多少幅?

練習(xí)3.實(shí)驗(yàn)小學(xué)舉辦學(xué)生書法展.學(xué)校的櫥窗里展出每個(gè)年級(jí)學(xué)生的書法作品,其中有28幅不是五年級(jí)的,有24幅不是六年級(jí)的,五、六年級(jí)參展的書法作品共有20幅.一、二年級(jí)參展的作品總數(shù)比三、四年級(jí)參展作品的總數(shù)少4幅.一、二年級(jí)參展的書法作品共有多少幅?

例題5.洗好的8塊手帕夾在繩子上晾干，同一個(gè)夾子夾住相鄰的兩塊手帕的兩邊，這樣一共要多少個(gè)夾子？(9)練習(xí)1.把圖畫每?jī)蓮堉丿B在一起釘在墻上，現(xiàn)在有5張畫要多少個(gè)圖釘呢？(12)例題6.羅明、李陽和趙剛每人都有幾本書，羅明和李陽共有33本，羅明和趙剛共有39本，李陽和趙剛共有34本。問：他們?nèi)烁饔袔妆緯?/p>

練習(xí)3.甲班和乙班共88人，乙班和丙班共97人，丙班和丁班共94人。求甲班和丁班共多少人？

例題7.二年一班共42名同學(xué)，其中少先隊(duì)員33人。這個(gè)班男生20人，女生中有4人不是少先隊(duì)員，求男生中有多少人是少先隊(duì)員。

練習(xí)1.某班有學(xué)生46人，在調(diào)查他們家中是否有電子琴和小提琴時(shí)發(fā)現(xiàn)，有電子琴的22人，兩種琴都沒有的14人，只有小提琴的與兩種琴都有的人數(shù)之比是5∶3。問：只有電子琴的有多少人？

例題8.一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)，甲答錯(cuò)了題目總數(shù)的1/4，乙答錯(cuò)了3道題，兩人都答錯(cuò)的題目是題目總數(shù)的1/6。求甲、乙都答對(duì)的題目數(shù)。

練習(xí)1.一次數(shù)學(xué)速算練習(xí)，甲答錯(cuò)題目總數(shù)的1/9，乙答對(duì)7道題，兩人都答對(duì)的題目是題目總數(shù)的1/6。問：甲答對(duì)了多少道題？

例題9.有一根長為180厘米的繩子，從一端開始每隔3厘米作一記號(hào)，每隔4厘米也作一記號(hào)，然后將標(biāo)有記號(hào)的地方剪斷．問繩子共被剪成了多少段?

例題10.某班共有30名男生，其中20人參加足球隊(duì)，12人參加藍(lán)球隊(duì)，10人參加排球隊(duì)．已知沒一個(gè)人同時(shí)參加3個(gè)隊(duì)，且每人至少參加一個(gè)隊(duì)，有6人既參加足球隊(duì)又參加藍(lán)球隊(duì)，有2人既參加藍(lán)球隊(duì)又參加排球隊(duì)，那么既參加足球隊(duì)又參加排球隊(duì)的有（4）人．

練習(xí)1.某班有42人，其中26人愛打藍(lán)球，17人愛打排球，19人愛踢足球，9人既愛打藍(lán)球又愛踢足球，4人既愛打排球又愛踢足球。沒有一個(gè)人三種球都愛好，也沒有一個(gè)人三種球都不愛好。問：既愛打藍(lán)球又愛打排球的有幾人？ 練習(xí)2.100個(gè)學(xué)生只有一人沒學(xué)過外語，學(xué)過英語的有39人，學(xué)過法語的有49人，學(xué)過俄語的有41人，學(xué)過英語也學(xué)過法語的有14人，學(xué)過英語也學(xué)過俄語的有13人，學(xué)過法語也學(xué)過俄語的有9人。問：三種語言都學(xué)過的有多少人？ 練習(xí)3.64個(gè)小學(xué)生都訂了報(bào)紙，其中訂A報(bào)的28人，訂B報(bào)的41人，訂C報(bào)的20人，并且同時(shí)訂A、B報(bào)的10人，同時(shí)訂A、C報(bào)的12人，同時(shí)訂B、C報(bào)的也是12人。問：三種報(bào)都訂的有多少人？

練習(xí)4.在一個(gè)炎熱的夏日，10個(gè)小學(xué)生去冷飲店每人都買了冷飲。其中6人要了汽水，6人要了可樂，4人要了果汁，有3人既要了汽水又要了可樂，1人既要了汽水又要了果汁，2人既要了可樂又要了果汁。問：(1)三樣都要的有幾人？(2)只要一樣的有幾人？

練習(xí)5.在某個(gè)風(fēng)和日麗的日子，10個(gè)同學(xué)相約去野餐，每個(gè)人都帶了吃的，其中6個(gè)人帶了漢堡，6個(gè)人帶了雞腿，4個(gè)人帶了芝士蛋糕，有3個(gè)人既帶了漢堡又帶了雞腿，1個(gè)人既帶了雞腿又帶了芝士蛋糕，2個(gè)人既帶了漢堡又帶了芝士蛋糕。問：

（1）三種都帶了的有幾人？（2）只帶了一種的有幾人？ 答案：0人，4人

練習(xí)6.六年級(jí)100名同學(xué)，每人至少愛好體育、文藝和科學(xué)三項(xiàng)中的一項(xiàng)。其中，愛好體育的55人，愛好文藝的56人，愛好科學(xué)的51人，三項(xiàng)都愛好的15人，只愛好體育和科學(xué)的4人，只愛好體育和文藝的17人。問：有多少人只愛好科學(xué)和文藝兩項(xiàng)？只愛好體育的有多少人？

練習(xí)7.五年級(jí)三班學(xué)生參加課外興趣小組，每人至少參加一項(xiàng)．其中有25人參加自然興趣小組，35人參加美術(shù)興趣小組，27人參加語文興趣小組，參加語文同時(shí)又參加美術(shù)興趣小組的有12人，參加自然同時(shí)又參加美術(shù)興趣小組的有8人，參加自然同時(shí)又參加語文興趣小組的有9人，語文、美術(shù)、自然3科興趣小組都參加的有4人。求這個(gè)班的學(xué)生人數(shù)。

練習(xí)8.建平學(xué)校第14屆秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)中，參加100米短跑的共156人，比參加200米短跑的少40人，比參加50米短跑的多26人，同時(shí)參加100米和50米短跑的有74人，同時(shí)參加200米和100米的有80人，是同時(shí)參加50米和200米人數(shù)的2倍，同時(shí)參加50米、100米和200米的有30人，求這屆運(yùn)動(dòng)會(huì)中參加50、100米和200米的共有多少人？

練習(xí)9.在游藝會(huì)上，有100名同學(xué)抽到了標(biāo)簽分別為1至100的獎(jiǎng)券．按獎(jiǎng)券標(biāo)簽號(hào)發(fā)放獎(jiǎng)品的規(guī)則如下：①標(biāo)簽號(hào)為2的倍數(shù)，獎(jiǎng)2支鉛筆；②標(biāo)簽號(hào)為3的倍數(shù)，獎(jiǎng)3支鉛筆；③標(biāo)簽號(hào)既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)可重復(fù)領(lǐng)獎(jiǎng)；④其他標(biāo)簽號(hào)均獎(jiǎng)1支鉛筆．那么游藝會(huì)為該項(xiàng)活動(dòng)準(zhǔn)備的獎(jiǎng)品鉛筆共有多少支? 例題11.分母是1001的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)有（）個(gè)。練習(xí)1.以105為分母的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)共有多少個(gè)？

練習(xí)2.在前200個(gè)自然數(shù)中，能被2或3或5整除的有多少個(gè)？

練習(xí)3.試求：在1000以內(nèi)(含1000)的自然數(shù)中，不能被3、5、8任何一個(gè)整除的數(shù)的個(gè)數(shù)。

例題12.有28人參加田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)，每人至少參加兩項(xiàng)比賽。已知有8人沒參加跑的項(xiàng)目，參加投擲項(xiàng)目的人數(shù)與同時(shí)參加跑和跳兩項(xiàng)的人數(shù)都是17人。問：僅參加跑和投擲兩項(xiàng)的有多少人？

練習(xí)1.學(xué)校數(shù)學(xué)競(jìng)賽出了A、B、C三道題，至少做對(duì)一道的有25人，其中做對(duì)A題的有10人，做對(duì)B題的有13人，做對(duì)C題的有15人。如果三道題都做對(duì)的只有一人，那么只做對(duì)兩道題和只做對(duì)一道題的各有多少人？

練習(xí)2.某年級(jí)60人中有2/3的同學(xué)愛打乒乓球，3/4的同學(xué)愛踢足球，4/5的同學(xué)愛打藍(lán)球，這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都愛好的有22人。問：這個(gè)年級(jí)最多有多少人這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都不愛好？

練習(xí)3.某班共有學(xué)生48人，其中27人會(huì)游泳，33人會(huì)騎自行車，40人會(huì)打乒乓球。那么，這個(gè)班至少有多少學(xué)生這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都會(huì)？

練習(xí)4.康大六校五年二班學(xué)生參加語文、數(shù)學(xué)、英語三科考試，90分以上的語文有21人，數(shù)學(xué)有19人，英語有20人，語文、數(shù)學(xué)都在90分以上的有9人，數(shù)學(xué)、英語在90分以上的有7人，語文、英語都在90分以上的有8人，另有5人三科都在90分以下，這個(gè)班最多能有多少人？

練習(xí)5.圖書室有100本書，借閱圖書者需在圖書上簽名．已知這100本書中有甲、乙、丙簽名的分別有33，44和55本，其中同時(shí)有甲、乙簽名的圖書為29本，同時(shí)有甲、丙簽名的圖書為25本，同時(shí)有乙、丙簽名的圖書為36本．問這批圖書中最少有多少本沒有被甲、乙、丙中的任何一人借閱過? 練習(xí)6.甲、乙、丙都在讀同-一本故事書，書中有100個(gè)故事．每個(gè)人都從某一個(gè)故事開始，按順序往后讀．已知甲讀了7.5個(gè)故事，乙讀了60個(gè)故事，丙讀了52個(gè)故事．那么甲、乙、丙3人共同讀過的故事最少有多少個(gè)? 練習(xí)7.學(xué)校舉行棋類比賽，設(shè)象棋、圍棋和軍棋三項(xiàng)，每人最多參加兩項(xiàng)。根據(jù)報(bào)名的人數(shù)，學(xué)校決定對(duì)象棋的前六名、圍棋的前四名和軍棋的前三名發(fā)放獎(jiǎng)品。問：獲獎(jiǎng)人數(shù)最多為幾人？最少為幾人？

例題13.某小學(xué)的統(tǒng)計(jì)數(shù)字表明：學(xué)校共有學(xué)生1200名，其中男生650名，高年級(jí)學(xué)生300名，三好學(xué)生100名，男生中的三好學(xué)生60名，高年級(jí)學(xué)生中男生160名，高年級(jí)女生中三好學(xué)生20名，非高年級(jí)女生中不是三好學(xué)生的400名。試證明：這個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)字一定有錯(cuò)誤。

練習(xí)1.全班有25個(gè)學(xué)生，其中17人會(huì)騎自行車，13人會(huì)游泳，8人會(huì)滑冰，這三個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目沒有人全會(huì)。至少會(huì)這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)之一的學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)都及格了，但又都不是優(yōu)秀。如果全班有6個(gè)人數(shù)學(xué)不及格，問：(1)全班數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的有幾名？(2)全班有幾個(gè)人即會(huì)游泳又會(huì)滑冰？

例題14.某工廠一季度有80％的人全勤，二季度有85％的人全勤，三季度有95％的人全勤，四季度有90％的人全勤。問：全年全勤的人至多占全廠人數(shù)的百分之幾？至少占百分之幾？

練習(xí)1.五（6）班有54人參加秋游活動(dòng)其中35人喜歡玩“捉特務(wù)”，45人喜歡玩“老鷹捉小雞”，40人喜歡踢足球，50人喜歡跳牛皮筋，你是否可以肯定這個(gè)班至少有多少學(xué)生對(duì)這四項(xiàng)活動(dòng)都喜歡。

第四篇：小學(xué)奧數(shù)教案——容斥問題

教案

容斥問題

一 本講學(xué)習(xí)目標(biāo)

理解并掌握容斥問題。

二 重點(diǎn)難點(diǎn)考點(diǎn)分析

容斥問題涉及到一個(gè)重要原理——包含和排除原理。也叫容斥原理。即當(dāng)兩個(gè)計(jì)數(shù)部分有重復(fù)包含時(shí)，為了不重復(fù)的計(jì)數(shù)，應(yīng)從它們的和中排除重復(fù)部分。

三 概念解析

容斥原理：對(duì)幾個(gè)事物，如果采用兩種不同的分類標(biāo)準(zhǔn)，按性質(zhì)1和性質(zhì)2分類，那么具有性質(zhì)1或性質(zhì)2的事物個(gè)數(shù)等于性質(zhì)1加上性質(zhì)2減去它們的共同性質(zhì)。

四 例題講解

一班有48人，班主任在班會(huì)上問：“誰做完了語文作業(yè)？請(qǐng)舉手”有37人舉手，又問：“誰做完了數(shù)學(xué)作業(yè)？請(qǐng)舉手”有42人舉手，最后問：“誰語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都沒做完？請(qǐng)舉手”結(jié)果沒有人舉手。求這個(gè)班語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都做完的人數(shù)是多少個(gè)？

四年級(jí)一班有54人，訂閱《小學(xué)生優(yōu)秀作文》和《數(shù)學(xué)大世界》兩種讀物的有13人，訂閱《小學(xué)生優(yōu)秀作文》的有45人，每人至少訂閱一種讀物，訂閱《數(shù)學(xué)大世界》的有多少人？

某班有36個(gè)同學(xué)在一項(xiàng)測(cè)試中，答對(duì)第一題的有25人，答對(duì)第二題的人有23人，兩題都答對(duì)的有15人。問多少個(gè)同學(xué)兩題都答的不對(duì)？

某班有56人，參加語文競(jìng)賽的有28人，參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有27人，如果兩科都沒有參加的有25人，那么參加語文、數(shù)學(xué)兩科競(jìng)賽的有多少人？

在1到100的全部自然數(shù)中，既不是5的倍數(shù)，也不是6的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？

光明小學(xué)舉辦學(xué)生書法展覽。學(xué)校的櫥窗里展出了每個(gè)年級(jí)學(xué)生的書法作品，其中有24幅不是五年級(jí)的，有22幅不是六年級(jí)的，五、六年級(jí)參展的書法作品一共有10幅，其他年級(jí)參展的書法作品共有多少幅？

學(xué)校文藝組每人至少會(huì)演奏一種樂器，已知會(huì)拉手提琴的有24人，會(huì)彈電子琴的有17人，其中兩樣都會(huì)的有8人。這個(gè)文藝組一共有多少人？

一個(gè)班有55名學(xué)生，訂閱《小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)》的有32人，訂閱《中國少年報(bào)》的有29人，兩種都訂閱的有25人。兩種報(bào)紙都沒有訂閱的有多少人？

一個(gè)俱樂部有103人，其中會(huì)下中國象棋的有69人，會(huì)下國際象棋的有52人，這兩種棋都不會(huì)下的有12人。問這個(gè)俱樂部里兩種棋都會(huì)下的有多少人？

100個(gè)人參加測(cè)試，要求回答五道試題，并且規(guī)定凡答對(duì)3題或3題以上的為測(cè)試合格。測(cè)試結(jié)果是：答對(duì)第一題的有81人，答對(duì)第二題的有91人，答對(duì)第三題的有85人，答對(duì)第四題的79人，答對(duì)第五題的有74人，那么至少有多少人合格。

五 課堂練習(xí)

在1到130的全部自然數(shù)中，既不是6的倍數(shù)，也不是5的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？

實(shí)驗(yàn)小學(xué)舉辦學(xué)生書法展，學(xué)校的櫥窗里展出了每個(gè)年級(jí)學(xué)生的書法作品，其中有28幅不是五年級(jí)的，有24幅不是六年級(jí)的，五、六年級(jí)參展的書法作品共有20幅。

一、二年級(jí)參展的作品總數(shù)比三、四年級(jí)參展的作品總數(shù)少4幅。

一、二年級(jí)參展的書法作品共有多少幅？

六 課后作業(yè)

六

（一）兒童節(jié)那天，學(xué)校的畫廊里展出了每個(gè)年級(jí)學(xué)生的圖畫作品，其中有25幅不是三年級(jí)的，有19幅不是四年級(jí)的，三、四年級(jí)參展的圖畫共有8幅，其他年級(jí)參展的畫共有多少幅？

五年級(jí)有22名學(xué)生參加語文、數(shù)學(xué)考試，每個(gè)至少有一門功課取得優(yōu)秀成績(jī)，其中語文成績(jī)優(yōu)秀的有65人，數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的有87人。語文、數(shù)學(xué)都優(yōu)秀的有多少人？

七 勵(lì)志或?qū)W科小故事——阿契塔

阿契塔（Archytas）希臘數(shù)學(xué)家。公元前約420年生于意大利塔倫通（現(xiàn)塔蘭托）；公元前約350年卒。阿契塔是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的成員，居住在塔倫通，那里是當(dāng)時(shí)保留到最后的一個(gè)紡織畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的活動(dòng)中心。阿契塔象公元前四世紀(jì)的許多希臘學(xué)者那樣，致力于說服希臘各城邦聯(lián)合起來反對(duì)日

效力增長的外來勢(shì)力?？墒?，同所有其他希臘學(xué)者一樣，他也失敗了。希臘人堅(jiān)持彼此之間的自相殘殺，直到被馬其頓所征服。

阿契塔的灑趣在于希臘的三大問題之一——立方倍積，即給定一個(gè)立方體，僅用圓規(guī)和直尺作另一個(gè)立方體，使這個(gè)立方體的體積是給定的立方體的兩倍。后來發(fā)現(xiàn)，在所指定的條件下，這個(gè)問題是不可解，但是在經(jīng)過一番努力之后，阿契塔發(fā)現(xiàn)了與比例中項(xiàng)（即在兩個(gè)外項(xiàng)之間插入的一些線或數(shù)值）有關(guān)的一些定理，他使用比立方倍積問題所給條件的嚴(yán)格要求要自由一引起的工具，通過精巧的三維構(gòu)體這個(gè)問題。他是試圖把純粹的技藝應(yīng)用于力學(xué)的第一個(gè)希臘數(shù)學(xué)家，當(dāng)時(shí)他按照自己的方式創(chuàng)立了關(guān)于聲音和音理論。他仿照算術(shù)級(jí)數(shù)（1，2，3，4??）和幾何級(jí)數(shù)（1，2，4，8，??），提出了調(diào)和級(jí)數(shù)（1，0.5，0.33，0.25，??）的概念，他主張音調(diào)取決于空氣的振動(dòng)速度。他是正確的，但是他完全沒有波動(dòng)的概念。他相信音調(diào)高的聲音在空氣、物體中傳播的速度比音調(diào)低的聲音快，這當(dāng)然是錯(cuò)誤的。據(jù)信他還是滑輪的發(fā)明者。

第五篇：容斥問題知識(shí)點(diǎn)及實(shí)例解析

一、知識(shí)點(diǎn) ?

1、集合與元素：把一類事物的全體放在一起就形成一個(gè)集合。每個(gè)集合總是由一些成員組成的，集合的這些成員，叫做這個(gè)集合的元素。

如：集合A={0，1，2，3，??，9}，其中0，1，2，?9為A的元素。

2、并集：由所有屬于集合A或集合B的元素所組成的集合，叫做A，B的并集，記作A∪B，記號(hào)“∪”讀作“并”。A∪B讀作“A并B”，用圖表示為圖中陰影部分表示集合A，B的并集A∪B。

? 例：已知6的約數(shù)集合為A={1，2，3，6}，10的約數(shù)集合為B={1，2，5，10}，則A∪B={1，2，3，5，6，10}

3、交集：A、B兩個(gè)集合公共的元素，也就是那些既屬于A，又屬于B的元素，它們組成的集合叫做A和B的交集，記作“A∩B”，讀作“A交B”，如圖陰影表示：

? 例：已知6的約數(shù)集合A={1，2，3，6}，10的約數(shù)集合B={1，2，5，10}，則A∩B={1，2}。

4、容斥原理（包含與排除原理）：

（用|A|表示集合A中元素的個(gè)數(shù)，如A={1，2，3}，則|A|=3）

原理一：給定兩個(gè)集合A和B，要計(jì)算A∪B中元素的個(gè)數(shù)，可以分成兩步進(jìn)行：

第一步：先求出?A?+?B?（或者說把A，B的一切元素都“包含”進(jìn)來，加在一起）；

第二步：減去?A∩B?（即“排除”加了兩次的元素）

總結(jié)為公式：|A∪B|=?A?+?B?-?A∩B? 原理二：給定三個(gè)集合A，B，C。要計(jì)算A∪B∪C中元素的個(gè)數(shù)，可以分三步進(jìn)行：

第一步：先求?A?+?B?+?C?；

第二步：減去?A∩B?，?B∩C?，?C∩A?；

第三步：再加上?A∩B∩C?。

即有以下公式：

?A∪B∪C?=?A?+?B?+?C?-?A∩B?-?B∩C?-|C∩A|+|A∩B∩C?

二、例題分析：

例1 求不超過20的正整數(shù)中是2的倍數(shù)或3的倍數(shù)的數(shù)共有多少個(gè)。

分析：設(shè)A={20以內(nèi)2的倍數(shù)}，B={20以內(nèi)3的倍數(shù)}，顯然，要求計(jì)算2或3的倍數(shù)個(gè)數(shù)，即求?A∪B?。

解1：A={2，4，6，?20}，共有10個(gè)元素，即|A|=10 B={3，6，9，?18}，共有6個(gè)元素，即|B|=6 A∩B={既是2的倍數(shù)又是3的倍數(shù)}={6，12，18}，共有3個(gè)元素，即|A∩B|=3 所以?A∪B?=?A?+?B?-?A∩B?=10+6-3=13，即A∪B中共有13個(gè)元素。

解2：本題可直觀地用圖示法解答

? 如圖,其中,圓A中放的是不超過20的正整數(shù)中2的倍數(shù)的全體;圓B中放的是不超過20的正整數(shù)中3的倍數(shù)的全體,其中陰影部分的數(shù)6,12,18是既是2的倍數(shù)又是3的倍數(shù)的數(shù)(即A∩B中的數(shù))只要數(shù)一數(shù)集合A∪B中的數(shù)的個(gè)數(shù)即可。例2 某班統(tǒng)計(jì)考試成績(jī)，數(shù)學(xué)得90分上的有25人；語文得90分以上的有21人；兩科中至少有一科在90分以上的有38人。問兩科都在90分以上的有多少人？

解：設(shè)A={數(shù)學(xué)成績(jī)90分以上的學(xué)生} B={語文成績(jī)90分以上的學(xué)生} 那么，集合A∪B表示兩科中至少有一科在90分以上的學(xué)生，由題意知，?A?=25，?B?=21，?A∪B?=38 現(xiàn)要求兩科均在90分以上的學(xué)生人數(shù)，即求?A∩B?，由容斥原理得 ?A∩B?=?A?+?B?-?A∪B?=25+21-38=8 點(diǎn)評(píng)：解決本題首先要根據(jù)題意，設(shè)出集合A，B，并且會(huì)表示A∪B，A∩B，再利用容斥原理求解。

例3 某班同學(xué)中有39人打籃球，37人跑步，25人既打籃球又跑步，問全班參加籃球、跑步這兩項(xiàng)體育活動(dòng)的總?cè)藬?shù)是多少？

解：設(shè)A={打籃球的同學(xué)}；B={跑步的同學(xué)} 則 A∩B={既打籃球又跑步的同學(xué)} A∪B={參加打籃球或跑步的同學(xué)} 應(yīng)用容斥原理?A∪B?=?A?+?B?-?A∩B?=39+37-25=51（人）

例4 求在不超過100的自然數(shù)中，不是5的倍數(shù)，也不是7的倍數(shù)有多少個(gè)？

分析：這個(gè)問題與前幾個(gè)例題看似不相同，不能直接運(yùn)用容斥原理，要計(jì)算的是“既不是5的倍數(shù)，也不是7的倍數(shù)的數(shù)的個(gè)數(shù)。”但是，只要同學(xué)們仔細(xì)分析題意，這只需先算出“100以內(nèi)的5的倍數(shù)或7的倍數(shù)的數(shù)的個(gè)數(shù)?！痹購?00中減去就行了。

解：設(shè)A={100以內(nèi)的5的倍數(shù)} B={100以內(nèi)的7的倍數(shù)} A∩B={100以內(nèi)的35的倍數(shù)} A∪B={100以內(nèi)的5的倍數(shù)或7的倍數(shù)} 則有?A?=20，?B?=14，?A∩B?=2 由容斥原理一有：?A∪B?=?A?+?B?-?A∩B?=20+14-2=32 因此，不是5的倍數(shù)，也不是7的倍數(shù)的數(shù)的個(gè)數(shù)是：100-32=68（個(gè)）

點(diǎn)評(píng)：從以上的解答可體會(huì)出一種重要的解題思想：有些問題表面上看好象很不一樣，但經(jīng)過細(xì)心的推敲就會(huì)發(fā)現(xiàn)它們之間有著緊密的聯(lián)系，應(yīng)當(dāng)善于將一個(gè)問題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)問題。

例5 某年級(jí)的課外學(xué)科小組分為數(shù)學(xué)、語文、外語三個(gè)小組，參加數(shù)學(xué)小組的有23人，參加語文小組的有27人，參加外語小組的有18人；同時(shí)參加數(shù)學(xué)、語文兩個(gè)小組的有4人，同時(shí)參加數(shù)學(xué)、外語小組的有7人，同時(shí)參加語文、外語小組的有5人；三個(gè)小組都參加的有2人。問：這個(gè)年級(jí)參加課外學(xué)科小組共有多少人？

解1：設(shè)A={數(shù)學(xué)小組的同學(xué)}，B={語文小組的同學(xué)}，C={外語小組的同學(xué)}，A∩B={數(shù)學(xué)、語文小組的同學(xué)}，A∩C={參加數(shù)學(xué)、外語小組的同學(xué)}，B∩C={參加語文、外語小組的同學(xué)}，A∩B∩C={三個(gè)小組都參加的同學(xué)} 由題意知：?A?=23，?B?=27，?C?=18 ?A∩B?=4，?A∩C?=7，?B∩C?=5，?A∩B∩C?=2 根據(jù)容斥原理二得：

?A∪B∪C?=?A?+?B?+?C?-?A∩B?-?A∩C|-?B∩C|+|A∩B∩C? =23+27+18-（4+5+7）+2 =54（人）

解2： 利用圖示法逐個(gè)填寫各區(qū)域所表示的集合的元素的個(gè)數(shù)，然后求出最后結(jié)果。? ? ? 設(shè)A、B、C分別表示參加數(shù)學(xué)、語文、外語小組的同學(xué)的集合，其圖分割成七個(gè)互不相交的區(qū)域，區(qū)域Ⅶ（即A∩B∩C）表示三個(gè)小組都參加的同學(xué)的集合，由題意，應(yīng)填2。區(qū)域Ⅳ表示僅參加數(shù)學(xué)與語文小組的同學(xué)的集合，其人數(shù)為4-2=2（人）。區(qū)域Ⅵ表示僅參加數(shù)學(xué)與外語小組的同學(xué)的集合，其人數(shù)為7-2=5（人）。區(qū)域Ⅴ表示僅參加語文、外語小組的同學(xué)的集合，其人數(shù)為5-2=3（人）。區(qū)域Ⅰ表示只參加數(shù)學(xué)小組的同學(xué)的集合，其人數(shù)為23-2-2-5=14（人）。同理可把區(qū)域Ⅱ、Ⅲ所表示的集合的人數(shù)逐個(gè)算出，分別填入相應(yīng)的區(qū)域內(nèi)，則參加課外小組的人數(shù)為：

14+20+8+2+5+3+2=54（人）

點(diǎn)評(píng)：解法2簡(jiǎn)單直觀，不易出錯(cuò)。由于各個(gè)區(qū)域所表示的集合的元素個(gè)數(shù)都計(jì)算出來了，因此提供了較多的信息，易于回答各種方式的提問。

例6 學(xué)校教導(dǎo)處對(duì)100名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果有58人喜歡看球賽，有38人喜歡看戲劇，有52人喜歡看電影。另外還知道，既喜歡看球賽又喜歡看戲?。ǖ幌矚g看電影）的有6人，既喜歡看電影又喜歡看戲?。ǖ幌矚g看球賽）的有4人，三種都喜歡的有12人。問有多少同學(xué)只喜歡看電影？有多少同學(xué)既喜歡看球賽又喜歡看電影（但不喜歡看戲?。?？（假定每人至少喜歡一項(xiàng)）

解法1：畫三個(gè)圓圈使它們兩兩相交，彼此分成7部分（如圖）這三個(gè)圓圈分別表示三種不同愛好的同學(xué)的集合，由于三種都喜歡的有12人，把12填在三個(gè)圓圈的公共部分內(nèi)（圖中陰影部分），其它6部分填上題目中所給出的不同愛好的同學(xué)的人數(shù)（注意，有的部分的人數(shù)要經(jīng)過簡(jiǎn)單的計(jì)算）其中設(shè)既喜歡看電影又喜歡看球賽的人數(shù)為χ，這樣，全班同學(xué)人數(shù)就是這7部分人數(shù)的和，即

16+4+6+（40-χ）+（36-χ）+12=100 解得 χ=14 只喜歡看電影的人數(shù)為 36-14=22 ? 解法2：設(shè)A={喜歡看球賽的人}，B={喜歡看戲劇的人}，C={喜歡看電影的人}，依題目的條件有|A∪B∪C|=100，|A∩B|=6+12=18（這里加12是因?yàn)槿N都喜歡的人當(dāng)然喜歡其中的兩種），|B∩C|=4+12=16，|A∩B∩C|=12，再設(shè)|A∩C|=12+χ由容斥原理二：|A∪B∪C |=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C| 得：100=58+38+52-（18+16+х+12）+12 解得：х=14 ∴36-14=22 所以既喜歡看電影又喜歡看球賽的人數(shù)為14，只喜歡看電影的人數(shù)為22。

點(diǎn)評(píng)：解法1沒有用容斥原理公式，而是先分別計(jì)算出（未知部分設(shè)為х）各個(gè)部分（本題是7部分）的數(shù)目，然后把它們加起來等于總數(shù)，這種計(jì)算方法也叫“分塊計(jì)數(shù)法”，它是利用圖示的方法來解決有關(guān)問題，希望同學(xué)們能逐步掌握此類方法，它比直接用容斥原理公式更直觀，更具體。

例

7、某車間有工人100人，其中有5個(gè)人只能干電工工作，有77人能干車工工作，86人能干焊工工作，既能干車工工作又能干焊工工作的有多少人？

解：工人總數(shù)100，只能干電工工作的人數(shù)是5人，除去只能干電工工作的人，這個(gè)車間還有95人。利用容斥原理，先多加既能干車工工作又能干焊工工作的這一部分，其總數(shù)為163，然后找出這一公共部分，即163-95=68 例

8、某次語文競(jìng)賽共有五道題（滿分不是100分），丁一只做對(duì)了（1）、（2）、（3）三題得了16分；于山只做對(duì)了（2）、（3）、（4）三題，得了25分；王水只做對(duì)了（3）、（4）、（5）三題，得了28分，張燦只做對(duì)了（1）、（2）、（5）三題，得了21分，李明五個(gè)題都對(duì)了他得了多少分？

解：由題意得：前五名同學(xué)合在一起，將五個(gè)試題每個(gè)題目做對(duì)了三遍，他們的總分恰好是試題總分的三倍。五人得分總和是16+25+28+21=90。因此，五道題滿分總和是90÷3=30。所以李明得30分。

例9，某大學(xué)有外語教師120名，其中教英語的有50名，教日語的有45名，教法語的有40名，有15名既教英語又教日語，有10名既教英語又教法語，有8名既教日語又教法語，有4名教英語、日語和法語三門課，則不教三門課的外語教師有多少名？

解：本題只有求出至少教英、日、法三門課中一種的教師人數(shù)，才能求出不教這三門課的外語教師的人數(shù)。至少教英、日、法三門課中一種教師人數(shù)可根據(jù)容斥原理求出。根據(jù)容斥原理,至少教英、日、法三門課中一種的教師人數(shù)為50+45+40-15-10-8+4=106（人）不教這三門課的外語教師的人數(shù)為120-106=14（人）。