第一篇：勾股定理教案完整版[本站推薦]

勾股定理教案

一、指導(dǎo)思想與教學(xué)理念：

以學(xué)生為主體的討論探索法

二、教學(xué)對(duì)象分析：

八年級(jí)學(xué)生好奇心強(qiáng)，學(xué)生對(duì)幾何圖形的觀察，幾何圖形的分析能力已初步形成。能夠正確歸納所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)習(xí)小組討論交流，三、教材分析 ：

勾股定理是直角三角形的一條非常重要的性質(zhì)，它將數(shù)與形密切地聯(lián)系起來(lái)，揭示了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，是后續(xù)學(xué)習(xí)解直角三角形的基礎(chǔ)，是三角形知識(shí)的深化。

四、教學(xué)方法：

講授法、討論法

五、教學(xué)目標(biāo)：

（1）知識(shí)與技能：了解勾股定理的產(chǎn)生背景，體驗(yàn)勾股定理的探索過(guò)程，掌握驗(yàn)證勾股定理的方法；了解勾股定理的內(nèi)容；能利用已知兩邊求直角三角形另一邊的長(zhǎng)；

（2）過(guò)程與方法：在勾股定理的探索過(guò)程中，培養(yǎng)合情推理能力，體會(huì)數(shù)形結(jié)合和從特殊到一般的思想；

（3）情感與態(tài)度：在探索勾股定理的過(guò)程中，體驗(yàn)獲得結(jié)論的快樂(lè)，培養(yǎng)合作意識(shí)和探索精神。

六、教學(xué)環(huán)境：

普通教室

七、教學(xué)用具：

黑板、粉筆、自制的方格紙、畫筆

八、教學(xué)重、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：探索和證明勾股定理 難點(diǎn)：用拼圖方法證明勾股定理

九、教學(xué)過(guò)程：

一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

1、出示問(wèn)題，引發(fā)思考（用多媒體播放視頻）“某樓房二樓失火，消防隊(duì)員趕來(lái)救火，了解到每層樓高3米，消防隊(duì)員取來(lái)6.5米長(zhǎng)的云梯,如果梯子的

第二篇：勾股定理教案

勾股定理

作者：范丹初中 耿占華

一、素質(zhì)教育目標(biāo)

（一）知識(shí)教育點(diǎn)

1、用驗(yàn)證法發(fā)現(xiàn)直角三角形中存在的邊的關(guān)系。

2、掌握定理證明的基本方法。

（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)

觀察和分析直角三角形中，兩邊的變化對(duì)第三邊的影響，總結(jié)出直角三角形各邊的基本關(guān)系。

（三）德育滲透點(diǎn)

培養(yǎng)學(xué)生掌握由特殊到一般的化歸思想，從具體到抽象的思維方法，以及化歸的思想，從而達(dá)到從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的飛躍；又從一般到特殊，從抽象到具體，應(yīng)用到實(shí)踐中去。

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)及解決辦法

1、重點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)并證明勾股定理。

2、難點(diǎn)：圖形面積的轉(zhuǎn)化。

3、突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)的辦法：《幾何畫板》輔助教學(xué)。

三、教學(xué)手段 ：

利用計(jì)算機(jī)輔助面積轉(zhuǎn)化的探求。

四、課時(shí)安排：

本課題安排1課時(shí)

五、教學(xué)設(shè)想：

想培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，為學(xué)生提供一個(gè)豐富的思維空間，使學(xué)生能夠根據(jù)“式，數(shù)、形”等不同的結(jié)構(gòu)從不同的角度去分析問(wèn)解決問(wèn)題

六、教學(xué)過(guò)程（略）

第三篇：勾股定理教案

一，課題：勾股定理（八年級(jí)下冊(cè)第十八章——勾股定理）

二，教學(xué)類型：新知課

三，教學(xué)目的：讓學(xué)生了解勾股定理的產(chǎn)生及其內(nèi)容。

四，教學(xué)方法：講解法

五，教學(xué)重難點(diǎn)：如何引入勾股定理，如何讓學(xué)生理解勾股定理的內(nèi)容。六，教具：粉筆，直角三角板，畫好網(wǎng)格的A4紙，正方形彩紙。

七，教學(xué)過(guò)程：1，引入新課：相傳2500年前，大數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯在朋友家做客時(shí)發(fā)現(xiàn)家里的地板放映了直角三角邊的某種數(shù)量，請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察書P72的圖，看是否能發(fā)現(xiàn)途中隱藏的玄機(jī)？

2，講解新課：我們能發(fā)現(xiàn)，圖中，以等腰直角三角形的兩直角邊為邊長(zhǎng)的小正方形面積和，等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積，因此我們大膽提出猜想，等腰直角三角形的三邊之間有特殊關(guān)系：斜邊的平方和等于兩直角邊的平方和。見書P73圖。這即是我們的命題一：如果是角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分變?yōu)閍，b，斜邊長(zhǎng)為c,那么a^2+b^2=c^2.那么我們?nèi)绾悟?yàn)證命題的正確性呢？請(qǐng)拿出我們的兩張正方形彩紙，按照書上給出的步驟進(jìn)行折疊，并把中間的小正方形描畫出來(lái)。我們所折出的四個(gè)全等三角形中短邊長(zhǎng)為a，長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為b，斜邊長(zhǎng)為c，且斜邊長(zhǎng)即為新折出的正方形的邊長(zhǎng)。原來(lái)沒(méi)有折疊前，兩張彩紙的面積一共為a^2+b^2,折疊后的面積為c^2,但是折疊前后并沒(méi)有改變其面積的大小，因此有a^2+b^2=c^2.這樣命題就等到了驗(yàn)證。（這種方法是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)家趙爽想出來(lái)的，同學(xué)們是否有其他方法來(lái)驗(yàn)證命題的正確性？）命題一就是我們所說(shuō)的勾股定理。

3，小結(jié)：勾股定理的內(nèi)容是什么？驗(yàn)證勾股定理的方法是什么？

4，鞏固：我們來(lái)研究勾股定理在實(shí)際中是如何被利用的。有一個(gè)門框，寬3米，高4米，請(qǐng)問(wèn)有個(gè)人拿了五米高的薄木板，請(qǐng)問(wèn)他能否通過(guò)此門？若能應(yīng)如何通過(guò)？若不能請(qǐng)給出理由。（能。運(yùn)用勾股定理，3^2+4^2=5^2，把木板按照門的對(duì)角線放置就能經(jīng)過(guò)此門）

5，作業(yè)：書P781，2，5，8題

八，思考：我們知道直角三角形一定滿足勾股定理，那么滿足勾股定理的三角形一定是直角三角形嗎？你是否能找到滿足勾股定理但不是直角三角形的例子呢？請(qǐng)同學(xué)們回家思考，明天給我答案。

第四篇：勾股定理教案

勾股定理

教學(xué)目標(biāo)

1、了解勾股定理的推理過(guò)程，掌握勾股定理的內(nèi)容，會(huì)用面積法證明勾股定理；

2、從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型，利用勾股定理解決，滲透建模思想和數(shù)形結(jié)合思想；

3、通過(guò)研究一系列富有探究性的問(wèn)題，培養(yǎng)在實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題總結(jié)規(guī)律的意識(shí)和能力．

知識(shí)梳理

1．勾股定理

（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于_____的平方．

222如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a+b=c．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在___三角形中．

222222222222（3）勾股定理公式a+b=c 的變形有：a=c﹣b，b=c﹣a及c=a+b．

2222（4）由于a+b=c＞a，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．

2.直角三角形的性質(zhì)

（1）有一個(gè)角為90°的三角形，叫做直角三角形．

（2）直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質(zhì)外，具有一些特殊的性質(zhì)：

性質(zhì)1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）． 性質(zhì)2：在直角三角形中，兩個(gè)銳角___．

性質(zhì)3：在直角三角形中，斜邊上的___等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)）

性質(zhì)4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積．

性質(zhì)5：在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的___；

在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于___． 3．勾股定理的應(yīng)用

（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．

（2）在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．（3）常見的類型：

①勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長(zhǎng)度．

②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個(gè)直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)向外作正多邊形，以斜邊為邊長(zhǎng)的多邊形的面積等于以直角邊為邊長(zhǎng)的多邊形的面積和．

③勾股定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用：運(yùn)用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際問(wèn)題．

④勾股定理在數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個(gè)無(wú)理數(shù)表示成直角邊是兩個(gè)正整數(shù)的直角三角形的斜邊．

4．平面展開-最短路徑問(wèn)題

（1）平面展開﹣?zhàn)疃搪窂絾?wèn)題，先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點(diǎn)之間的最短路徑．一般情況是兩點(diǎn)之間，_________．在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．（2）關(guān)于數(shù)形結(jié)合的思想，勾股定理及其逆定理它們本身就是數(shù)和形的結(jié)合，所以我們?cè)诮鉀Q有關(guān)結(jié)合問(wèn)題時(shí)的關(guān)鍵就是能從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型．

典型例題

1.勾股定理．

【例1】（2014?臨沂蒙陰中學(xué)期末）已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC邊上的高AD=8，則邊BC的長(zhǎng)為（）

A．21 B．15C．6 D．以上答案都不對(duì)．

練1.（2014秋?綏化六中質(zhì)檢）在△ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD長(zhǎng)為12，則△ABC的面積為（）

A．84 B．24 C．24或84 D．42或84 練2.（2014春?江西贛州中學(xué)期末）如圖所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，則AE=（）

A．1 B． C． D．2 2.等腰直角三角形．

【例2】（2014?鷹潭中學(xué)校級(jí)模擬）已知△ABC是腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個(gè)等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個(gè)等腰Rt△ADE，…，依此類推，第n個(gè)等腰直角三角形的面積是（）

A．2 B．2 C．2 D．2

練3.將一等腰直角三角形紙片對(duì)折后再對(duì)折，得到如圖所示的圖形，然后將陰影部分剪掉，把剩余n﹣2n﹣1n

n+1部分展開后的平面圖形是（）A． B．

C．

D．

3.等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理．

【例3】（2014?福建泉州中學(xué)一模）以邊長(zhǎng)為2厘米的正三角形的高為邊長(zhǎng)作第二個(gè)正三角形，以第二個(gè)正三角形的高為邊長(zhǎng)作第三個(gè)正三角形，以此類推，則第十個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)是（）A．2×（）厘米 B．2×（）厘米 109

C．2×（）厘米 D．2×（10）厘米

9練4.等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)是4，以AB邊所在的直線為x軸，AB邊的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為

． 4．勾股定理的應(yīng)用． 【例4】（2014?福建晉江中學(xué)月考）工人師傅從一根長(zhǎng)90cm的鋼條上截取一段后恰好與兩根長(zhǎng)分別為60cm、100cm的鋼條一起焊接成一個(gè)直角三角形鋼架，則截取下來(lái)的鋼條長(zhǎng)應(yīng)為（）A．80cm B．C．80cm或 D．60cm 練5.現(xiàn)有兩根鐵棒，它們的長(zhǎng)分別為2米和3米，如果想焊一個(gè)直角三角形鐵架，那么第三根鐵棒的長(zhǎng)為（）A．米 B．米 C．米或米 D．米 5．平面展開-最短路徑問(wèn)題． 【例5】（2014?貴陽(yáng)八中期中）如圖A，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為24cm，高BD為4cm，BC是直徑，一只螞蟻從點(diǎn)D出發(fā)沿著圓柱的表面爬行到點(diǎn)C的最短路程大約是（）

A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm 練6．（2014春?普寧市校級(jí)期中）如圖是一個(gè)長(zhǎng)4m，寬3m，高2m的有蓋倉(cāng)庫(kù)，在其內(nèi)壁的A處（長(zhǎng)的四等分）有一只壁虎，B處（寬的三等分）有一只蚊子，則壁虎爬到蚊子處最短距離為（）m．

A．4.8 B． C．5

D．

隨堂檢測(cè)

1．已知兩邊的長(zhǎng)分別為8，15，若要組成一個(gè)直角三角形，則第三邊應(yīng)該為（）A．不能確定 B． C．17 D．17或

2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，若∠A：∠B：∠C=1：2：3．則a：b：c =（）A．1：：2 B．：1：2 C．1：1：2 D．1：2：3 3．直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3厘米，4厘米，則這個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)為（）A．12厘米 B．15厘米 C．12或15厘米 D．12或（7+）厘米 4．有一棵9米高的大樹，樹下有一個(gè)1米高的小孩，如果大樹在距地面4米處折斷（未完全折斷），則小孩至少離開大樹

米之外才是安全的．

5．如圖，一棵大樹在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中于離地面3m處折斷倒下，樹干頂部在根部4米處，這棵大樹在折斷前的高度為

m．

6．在一個(gè)長(zhǎng)為2米，寬為1米的矩形草地上，如圖堆放著一根長(zhǎng)方體的木塊，它的棱長(zhǎng)和場(chǎng)地寬AD平行且大于AD，木塊的正視圖是邊長(zhǎng)為0.2米的正方形，一只螞蟻從點(diǎn)A處，到達(dá)C處需要走的最短路程是 米．（精確到0.01米）

課堂小結(jié)

_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 課后作業(yè)

1．若一個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，4，x，則滿足此三角形的x值為（）A．5 B． C．5或 D．沒(méi)有

2．已知直角三角形有兩條邊的長(zhǎng)分別是3cm，4cm，那么第三條邊的長(zhǎng)是（）A．5cm B．cm C．5cm或cm D．cm

23．已知Rt△ABC中的三邊長(zhǎng)為a、b、c，若a=8，b=15，那么c等于（）A．161 B．289 C．225 D．161或289 4．一個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為5，底邊上的高為4，這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是（）A．12 B．13 C．16 D．18 5．長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為8cm，4cm，5cm．一只螞蟻沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B．則螞蟻爬行的最短路徑的長(zhǎng)是 cm．

6．如圖所示一棱長(zhǎng)為3cm的正方體，把所有的面均分成3×3個(gè)小正方形．其邊長(zhǎng)都為1cm，假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下底面點(diǎn)A沿表面爬行至側(cè)面的B點(diǎn)，最少要用

秒鐘． 7．如圖，一個(gè)長(zhǎng)方體盒子，一只螞蟻由A出發(fā)，在盒子的表面上爬到點(diǎn)C1，已知AB=5cm，BC=3cm，CC1=4cm，則這只螞蟻爬行的最短路程是

cm．

8．如圖，今年的冰雪災(zāi)害中，一棵大樹在離地面3米處折斷，樹的頂端落在離樹桿底部4米處，那么這棵樹折斷之前的高度是

米．

9．如圖所示的長(zhǎng)方體是某種飲料的紙質(zhì)包裝盒，規(guī)格為5×6×10（單位：cm），在上蓋中開有一孔便于插吸管，吸管長(zhǎng)為13cm，小孔到圖中邊AB距離為1cm，到上蓋中與AB相鄰的兩邊距離相等，設(shè)插入吸管后露在盒外面的管長(zhǎng)為hcm，則h的最小值大約為

cm．（精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)：≈1.4，≈1.7，≈2.2）．

10．如圖是一個(gè)外輪廓為矩形的機(jī)器零件平面示意圖，根據(jù)圖中的尺寸（單位：mm），計(jì)算兩圓孔中心A和B的距離為

mm．

第五篇：勾股定理教案

勾股定理專題 第 1 講

一、《標(biāo)準(zhǔn)》要求

1．在研究圖形性質(zhì)和運(yùn)動(dòng)等過(guò)程中，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念。2．在多種形式的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情推理能力。

3．經(jīng)歷從不同角度尋求分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的方法的過(guò)程，體驗(yàn)解決問(wèn)題方法的多樣性。4．探究勾股定理及其逆定理，并能運(yùn)用他們解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

二、教學(xué)目標(biāo)：

（一）、知識(shí)與技能：

經(jīng)歷勾股定理及其逆定理的探索過(guò)程，了解勾股定理的各種探究法方法及其內(nèi)在聯(lián)系，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合的思想，解和掌握勾股定理內(nèi)容及簡(jiǎn)單應(yīng)用，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念和推理能力。

（二）、過(guò)程與方法：

1．掌握勾股定理及其逆定理的內(nèi)容；

2．能夠運(yùn)用勾股定理求解三角形中相關(guān)的邊長(zhǎng)（只限于常用的數(shù)）；

3．通過(guò)對(duì)勾股定理的探索解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)一步運(yùn)用方程思想解決問(wèn)題．

（三）、情感態(tài)度與價(jià)值觀

通過(guò)實(shí)例了解勾股定理的歷史與應(yīng)用，體會(huì)勾股定理的文化價(jià)值。

三、教學(xué)重點(diǎn)

勾股定理及其逆定理在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的靈活應(yīng)用

四、教學(xué)難點(diǎn)

勾股定理及其逆定理的證明

五、教學(xué)過(guò)程

一、引入新課

據(jù)傳兩千多年前的一天（公元前580-490年左右），古希臘著名的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯到朋友家做客，在宴席上，其他的賓客都在盡情歡樂(lè)，只有畢達(dá)哥拉斯卻看著朋友家的方磚地發(fā)起呆來(lái)，原來(lái)朋友家的地面是由許多直角三角形組成的圖案，黑白相間，美觀大方。主人看到畢達(dá)哥拉斯的樣子非常奇怪，就想過(guò)去問(wèn)他，誰(shuí)知，畢達(dá)哥拉斯突然恍然大悟地站了起來(lái)，大笑著跑回去了，原來(lái)，他發(fā)現(xiàn)了地磚上的三個(gè)正方形存在某種數(shù)學(xué)關(guān)系。

那么黑白相間的地磚上的正方形之間存在怎樣的關(guān)系呢？讓我們一起來(lái)探索！

勾股定理被稱為“幾何學(xué)的基石”，勾股定理現(xiàn)約有500種證明方法，是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一。勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，用代數(shù)思想解決幾何問(wèn)題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一。在中國(guó)，商朝時(shí)期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并證明此定理的為公元前6世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和。

別名：商高定理、畢達(dá)哥拉斯定理、百牛定理。1（1）、動(dòng)手畫一個(gè)直角邊為3cm和4cm的直角△ABC，用

刻度尺量出AB的長(zhǎng)。（2）、再畫一個(gè)兩直角邊為5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的長(zhǎng)

你能觀察出直角三角形的三邊關(guān)系嗎？看不出來(lái)的話我們先來(lái)看一下下面的活動(dòng)。

4.如果直角三角形的兩直角邊分別為1.6個(gè)單位長(zhǎng)度和2.4個(gè)單位長(zhǎng)度，上面的猜想關(guān)系還成立嗎？

二、新知傳授

通過(guò)上面的活動(dòng)，可以發(fā)現(xiàn)：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。因?yàn)槲覈?guó)古代把直角三角形較短的直角邊稱為勾，較長(zhǎng)的直角邊稱為股，斜邊稱為弦，因此我國(guó)把上面的這個(gè)結(jié)論稱為勾股定理。

勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如果用a,b,c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a?b?c。22

勾股定理的一些變式：

2a2?c2?b2，b2?c2?a2，c??a?b??2ab．

2勾股定理的證明

勾股定理的證明實(shí)際采用的是圖形面積與代數(shù)恒等式的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化進(jìn)行證明的，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．

方法一：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形．

，所以．

(這個(gè)方法叫加菲爾德證法。加菲爾德在證出此結(jié)論5年后，成為美國(guó)第20任總統(tǒng)，所以人們又稱其為“總統(tǒng)證法”。)

方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形．

圖（1）中，所以

．

這是加菲爾德證法變式 如果將大正方形邊長(zhǎng)為c的小正方形沿對(duì)角線切開，則回到了加菲爾德證 法。相反，若將上圖中兩個(gè)梯形拼在一起，就變?yōu)榱舜俗C明方法。

大正方形的面積等于中間正方形的面積加上四個(gè)三角形的面積，即:

方法三：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形．

圖（2）中，所以

．

(這個(gè)方法是以前一個(gè)叫趙爽的人對(duì)這個(gè)圖做出的描述，所以這個(gè)圖又叫趙爽弦圖，用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述就是大正方形的面積等于小正方形的面積加上四個(gè)三角形的面積。)

那么勾股定理到底可以用來(lái)干什么呢？

勾股定理的作用

1.已知直角三角形的任意兩條邊長(zhǎng)，求第三邊； 2.用于解決帶有平方關(guān)系的證明問(wèn)題； 3． 與勾股定理有關(guān)的面積計(jì)算； 4．勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用．

類型

一、勾股定理的直接應(yīng)用

例

1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c．

5（1）若a＝5，b＝12，求c；（2）若c＝26，b＝24，求a．

【思路點(diǎn)撥】利用勾股定理a2?b2?c2來(lái)求未知邊長(zhǎng)．

解：（1）因?yàn)椤鰽BC中，∠C＝90°，a2?b2?c2，a＝5，b＝12，所以c2?a2?b2?52?122?25?144?169．所以c＝13．

（2）因?yàn)椤鰽BC中，∠C＝90°，a2?b2?c2，c＝26，b＝24，所以a2?c2?b2?262?242?676?576?100．所以a＝10．

練習(xí)1

△ABC，AC=6，BC=8,當(dāng)AB=________時(shí)，∠C=90°

2.在△ABC中，?A?900，則下列式子中不成立的是（）A.BC2?AB2?AC

2B.AC2?BC2-AB2 B.AB2?BC2?AC2

D.AB2?AC2?BC2

3.在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c．（1）已知b＝6，c＝10，求a；

（2）已知a:c?3:5，b＝32，求a、c．

【答案】

解：（1）∵ ∠C＝90°，b＝6，c＝10，∴ a?c?b?10?6?64，∴ a＝8．（2）設(shè)a?3k，c?5k，∵ ∠C＝90°，b＝32，∴ a?b?c．

222(3k)?32?(5k)即． 22222222解得k＝8．

∴ a?3k?3?8?24，c?5k?5?8?40．

類型

二、與勾股定理有關(guān)的證明

例

2、（2015?豐臺(tái)區(qū)一模）閱讀下面的材料

勾股定理神秘而美妙，它的證法多種多樣，下面是教材中介紹的一種拼圖證明勾股定理的方法．先做四個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，然后按圖1的方法將它們擺成正方形．

由圖1可以得到（a+b）=4×222

2，整理，得a+2ab+b=2ab+c．

222所以a+b=c．

如果把圖1中的四個(gè)全等的直角三角形擺成圖2所示的正方形，請(qǐng)你參照上述證明勾股定理的方法，完成下面的填空：

由圖2可以得到

，整理，得

，所以

．

【答案與解析】

證明：∵S大正方形=c2，S大正方形=4S△+S小正方形=4×ab+（b﹣a）2，∴c2=4×ab+（b﹣a）2，整理，得

2ab+b2﹣2ab+a2=c2，∴c2=a2+b2． 故答案是：4?1ab?（b-a)2?c2；2ab+b2﹣2ab+a2=c2；a2+b2=c2． 2

練習(xí)2 如圖，在△ABC中，∠C＝90°，D為BC邊的中點(diǎn)，DE⊥AB于E，則AE2-BE2等于（）

A．AC2

B．BD2

C．BC2

D．DE2

【答案】連接AD構(gòu)造直角三角形，得，選A．

類型

三、與勾股定理有關(guān)的線段長(zhǎng)

例

3、如圖，長(zhǎng)方形紙片ABCD中，已知AD＝8，折疊紙片使AB邊與對(duì)角線AC重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)F 處，折痕為AE，且EF＝3，則AB的長(zhǎng)為（）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】D； 【解析】

解：設(shè)AB＝x，則AF＝x，∵ △ABE折疊后的圖形為△AFE，∴ △ABE≌△AFE．BE＝EF，EC＝BC－BE＝8－3＝5，在Rt△EFC中，由勾股定理解得FC＝4，22在Rt△ABC中，x?8??x?4?，解得x?6．

2類型

四、與勾股定理有關(guān)的面積計(jì)算

例

4、如圖，直線l上有三個(gè)正方形a，b，c，若a，c的面積分別為5和11，則b的面積為（）

A．6

B．5

C．11

D．16 【思路點(diǎn)撥】本題主要考察了全等三角形與勾股定理的綜合應(yīng)用，由b是正方形，可求△ABC≌△CDE．由勾股定理可求b的面積=a的面積+c的面積． 【答案】D

【解析】

解：∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°，∴∠ACB=∠DEC，在△ABC和△CDE中，∵??ABC??CDE???ACB??DEC?AC?CE?

∴△ABC≌△CDE ∴BC=DE ∵AB?BC?AC ∴AB?DE?AC

∴b的面積為5+11=16，故選D．

練習(xí)4如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，請(qǐng)?jiān)趫D中找出若干圖形，使得它們的面積之和恰好等于最大正方形①的面積，嘗試給出兩種以上的方案。22222

24.如圖，所有三角形都是直角三角形，所有四邊形都是正方形，已知S1=4，S2=9，S3=8，S4=10，則S=（）

A.25 B.31 C.32 D.40

【答案】解：如圖，由題意得： AB2=S1+S2=13，AC2=S3+S4=18，∴BC2=AB2+AC2=31，∴S=BC2=31，故選B．

類型

五、利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題

例

5、有一個(gè)小朋友拿著一根竹竿要通過(guò)一個(gè)長(zhǎng)方形的門，如果把竹竿豎放就比門高出1尺，斜放就恰好等于門的對(duì)角線，已知門寬4尺，求竹竿高與門高．

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題中所給的條件可知，竹竿斜放就恰好等于門的對(duì)角線長(zhǎng)，可與門的寬和高構(gòu)成直角三角形，運(yùn)用勾股定理可求出門高．

【答案與解析】

解：設(shè)門高為x尺，則竹竿長(zhǎng)為（x+1）尺，根據(jù)勾股定理可得：

x2+42=（x+1）2，即x2+16=x2+2x+1，解得：x=7.5，竹竿高=7.5+1=8.5（尺）

答：門高7.5尺，竹竿高8.5尺．

練習(xí)5

如圖，某儲(chǔ)藏室入口的截面是一個(gè)半徑為1.2m的半圓形，一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是1.2m,1m,0.8m的箱子能放進(jìn)儲(chǔ)藏室嗎？

5.如圖所示，一旗桿在離地面5m處斷裂，旗桿頂部落在離底部12m處，則旗桿折斷前有多高？

【答案】

解：因?yàn)槠鞐U是垂直于地面的，所以∠C＝90°，BC＝5m，AC＝12m，∴

AB?BC?222AC?52?122?169 ．∴

AB?13(m)．

∴

BC＋AB＝5＋13＝18(m)．

∴

旗桿折斷前的高度為18m．