第一篇：高三第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)教案---函數(shù)的奇偶性

高三 ①f(x)?(x?1)1?x

非奇非偶函數(shù) 1?x

偶函數(shù) ②f(x)?lg(1?x2)x?2?22?x2?x(x?0)③f(x)??

奇函數(shù) 2?x?x(x?0)?④f(x)?3?x2?x2?既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

⑤f(x)?x2?x?a?a=0時(shí)偶函數(shù)，a≠0時(shí)非奇非偶函數(shù) ⑥f(x)?x?2?x?2

例2．定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)，對(duì)任意x，y∈R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)且f(0)≠0 ①求證：f(0)=②求證：y=f(x)是偶函數(shù) 證：①令x=y=0，則f(0)+f(0)=2f2(0)∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 ②令x=0，則f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y)

∴f(-y)=f(y)

∴y=f(x)是偶函數(shù)

變式：定義在R上的函數(shù)y=f(x)，對(duì)任意x1，x2都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，判斷函數(shù)y=f(x)的奇偶性并證明。

解：令x1=x2=0則f(0)=f(0)+f(0)

∴f(0)=0 令x1=x

x2=-x則f(0)=f(x)+f(-x)

∴f(-x)=-f(x)∴y=f(x)是奇函數(shù)

2例3．已知函數(shù)f(x)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=x+2x-1 ①若f(x)為R上的奇函數(shù)，能否確定其解析式？請(qǐng)說明理由。②若f(x)為R上的偶函數(shù)，能否確定其解析式？請(qǐng)說明理由。

?x2?2x?1(x?0)?(x?0)答案：①可確定，f(x)??0??x2?2x?1(x?0)?②不可確定，∵x>0時(shí)，雖可確定f(x)=x-2x-1，但x=0時(shí)，f(0)取任意實(shí)數(shù)都可以。

2a?2x?a?2變式：已知函數(shù)f(x)?是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，求函數(shù)的解析式。x2?12x?2分析：用f(-x)=-f(x)(x∈R)較繁，用f(0)=0可較方便地求得a=1，f(x)?x

2?1例4．已知g(x)是奇函數(shù)，f(x)?log2(x?1?x)?g(x)?2且f(?3)?5，求f(3)

2x18??f(x)?log2(x2?1?x)?g(x)?2xx?x簡(jiǎn)解： ?相加得：f(x)?2?2?f(?x)

2?x??f(?x)?log2(x?1?x)?g(x)?2?f(3)?23?2?3?f(?3)?3

例5．已知f(x)是定義在Ｒ上的偶函數(shù)，且在[0,??)上為減函數(shù)，若f(a2?a?2)?f(2a?1)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

簡(jiǎn)解：f(x)是Ｒ上的偶函數(shù)且在[0,??)上為減函數(shù)，∴由f(a2?a?2)?f(2a?1)有：

?a2?a?2?0解得a≤-1或a≥2.a?a?2?f(2a?1)

??22a?a?2?(2a?1)?2例6．設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)?x2?|x?a|?1，x?R．

（1）討論f(x)的奇偶性；

（2）求 f(x)的最小值．

解：（1）當(dāng)a?0時(shí)，f(?x)?(?x2)?|?x|?1?f(x)，此時(shí)f(x)為偶函數(shù)；

當(dāng)a?0時(shí)，f(a)?a2?1，f(?a)?a2?2|a|?1，∴f(?a)?f(a),f(?a)??f(a), 此時(shí)函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．

22（2）①當(dāng)x?a時(shí)，函數(shù)f(x)?x?x?a?1?(x?)?a?123，41，則函數(shù)f(x)在(??,a]上單調(diào)遞減，∴函數(shù)f(x)在(??,a]上的最小值為2f(a)?a2?1；

1131若a?，函數(shù)f(x)在(??,a]上的最小值為f()??a，且f()?f(a)．

22421232②當(dāng)x?a時(shí)，函數(shù)f(x)?x?x?a?1?(x?)?a?，241131若a??，則函數(shù)f(x)在[a,??)上的最小值為f(?)??a，且f(?)?f(a)；

22421若a??，則函數(shù)f(x)在[a,??)上單調(diào)遞增，∴函數(shù)f(x)在[a,??)上的最小值2f(a)?a2?1．

1311綜上，當(dāng)a??時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是?a，當(dāng)??a?時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值22242是a?1，13當(dāng)a?，函數(shù)f(x)的最小值是a?．

24若a?

（四）鞏固練習(xí)：

1、以下五個(gè)函數(shù)：（1）y?14x(x?0)；（2）y?x?1；（3）y?2；（4）y?log2x； x（5）y?log2(x?x2?1)，其中奇函數(shù)是______，偶函數(shù)是______，非奇非偶函數(shù)是 _________ 變題：已知函數(shù)f(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x,y都有f(x?y)?f(x)?f(y)，則f(x)的奇偶性如何？

2、函數(shù)y?ax?bx?c是偶函數(shù)的充要條件是___________ 7533、已知f(x)?ax?bx?cx?dx?5，其中a,b,c,d為常數(shù)，若f(?7)??7，則2f(7)?_______

4、若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則函數(shù)F(x)?f(x)?f(x)的圖象關(guān)于（）

（A）x軸對(duì)稱

（B）y軸對(duì)稱

（C）原點(diǎn)對(duì)稱

（D）以上均不對(duì)

5、函數(shù)F(x)?(1?2)f(x)(x?0)是偶函數(shù)，且f(x)不恒等于零，則f(x)（）2x?1（A）是奇函數(shù)

（B）是偶函數(shù)

（C）可能是奇函數(shù)也可能是偶函數(shù)

（D）不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

答案：

1、（1）（5）；（2）；（3）（4）變題：奇函數(shù)

2、b?0 3、17

4、B

5、A

四、小結(jié)：

１．定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)是奇（偶）函數(shù)的必要不充分條件； ２．y=f(x)是奇（偶）函數(shù)?y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)（y軸）對(duì)稱 ３．F(x)=f[g(x)]的奇偶性

４．若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則f(x)?５．函數(shù)奇偶性的判斷與應(yīng)用。

11[f(x)?f(?x)]?[f(x)?f(?x)] 2

2五、作業(yè)：

第二篇：人教版高三(理)第一輪復(fù)習(xí)函數(shù)-函數(shù)的奇偶性 教案

讓更多的孩子得到更好的教育

函數(shù)的奇偶性

一．知識(shí)點(diǎn)

1．定義: 設(shè)y=f(x)，x∈A，如果對(duì)于任意x∈A，都有f(?x)?f(x)，則稱y=f(x)為偶函數(shù)。

設(shè)y=f(x)，x∈A，如果對(duì)于任意x∈A，都有f(?x)??f(x)，則稱y=f(x)為奇函數(shù)。

如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則稱函數(shù)y=f(x)具有奇偶性。

2.性質(zhì)：

①函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，②y=f(x)是偶函數(shù)?y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱, y=f(x)是奇函數(shù)?y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱, ③偶函數(shù)在定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反，奇函數(shù)在定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同，④偶函數(shù)無反函數(shù)，奇函數(shù)的反函數(shù)還是奇函數(shù)，⑤若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則它可表示為一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和

11f(x)?[f(x)?f(?x)]?[f(x)?f(?x)]

22⑥奇±奇=奇

偶±偶=偶

奇×奇=偶

偶×偶=偶

奇×偶=奇[兩函數(shù)的定義域D1，D2，D1∩D2要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱] ⑦對(duì)于F(x)=f[g(x)]:若g(x)是偶函數(shù)，則F(x)是偶函數(shù)

若g(x)是奇函數(shù)且f(x)是奇函數(shù)，則F(x)是奇函數(shù) 若g(x)是奇函數(shù)且f(x)是偶函數(shù)，則F(x)是偶函數(shù)

⑧奇函數(shù)在定義域內(nèi)若有零：則f（0）=0 3．奇偶性的判斷

1.定義①看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，②看f(x)與f(-x)的關(guān)系。2.看圖形的對(duì)稱性。二．應(yīng)用舉例 關(guān)于從定義出發(fā) 例1．（或書例2）判斷下列函數(shù)的奇偶性、①f(x)?(x?1)1?x

非奇非偶函數(shù) 1?x

偶函數(shù) ②f(x)?lg(1?x2)x?2?22?x2?x(x?0)③f(x)??

奇函數(shù) 2?x?x(x?0)?④f(x)?3?x2?x2?3

既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

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⑤f(x)?x2?x?a?2

a=0時(shí)偶函數(shù)，a≠0時(shí)非奇非偶函數(shù)

例2．定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)，對(duì)任意x，y∈R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)且f(0)≠0 ①求證：f(0)=1

②求證：y=f(x)是偶函數(shù) 證：①令x=y=0，則f(0)+f(0)=2f2(0)∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 ②令x=0，則f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y)

∴f(-y)=f(y)

∴y=f(x)是偶函數(shù)

變式：定義在R上的函數(shù)y=f(x)，對(duì)任意x1，x2都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，判斷函數(shù)y=f(x)的奇偶性并證明。

解：令x1=x2=0則f(0)=f(0)+f(0)

∴f(0)=0 令x1=x

x2=-x則f(0)=f(x)+f(-x)

∴f(-x)=-f(x)∴y=f(x)是奇函數(shù) 關(guān)于數(shù)形結(jié)合和性質(zhì)

2例3．已知函數(shù)f(x)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=x+2x-1 ①若f(x)為R上的奇函數(shù)，能否確定其解析式？請(qǐng)說明理由。②若f(x)為R上的偶函數(shù)，能否確定其解析式？請(qǐng)說明理由。

?x2?2x?1(x?0)?(x?0)答案：①可確定，f(x)??0??x2?2x?1(x?0)?②不可確定，∵x>0時(shí)，雖可確定f(x)=x-2x-1，但x=0時(shí)，f(0)取任意實(shí)數(shù)都可以。變式一：書例1

a?2x?a?2變式二：已知函數(shù)f(x)?是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，求函數(shù)的解析式。x2?12x?2分析：用f(-x)=-f(x)(x∈R)較繁，用f(0)=0可較方便地求得a=1，f(x)?x再驗(yàn)

2?1證

綜合提高與應(yīng)用。P17書例3 練習(xí)：已知f(x)是定義在Ｒ上的偶函數(shù)，且在[0,??)上為減函數(shù)，若f(a2?a?2)?f(2a?1)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

簡(jiǎn)解：f(x)是Ｒ上的偶函數(shù)且在[0,??)上為減函數(shù)，∴由f(a2?a?2)?f(2a?1)有：

?a2?a?2?0解得a≤-1或a≥2.a?a?2?f(2a?1)

??22?a?a?2?(2a?1)2三．小結(jié)

１．定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)是奇（偶）函數(shù)的必要不充分條件； ２．y=f(x)是奇（偶）函數(shù)?y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)（y軸）對(duì)稱 ３．F(x)=f[g(x)]的奇偶性

４．若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則f(x)?11[f(x)?f(?x)]?[f(x)?f(?x)] 22地址：北京市西城區(qū)新德街20號(hào)4層 電話：010-82025511 傳真：010-82079687

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５．函數(shù)奇偶性的判斷與應(yīng)用。四．作業(yè) 優(yōu)化設(shè)計(jì)

備例1．已知g(x)是奇函數(shù)，f(x)?log2(x?1?x)?g(x)?2且f(?3)?5，求f(3)

2x18??f(x)?log2(x2?1?x)?g(x)?2x簡(jiǎn)解： ?相加得：f(x)?2x?2?x?f(?x)

2?x??f(?x)?log2(x?1?x)?g(x)?2?f(3)?23?2?3?f(?3)?3

備例2．f(x)是定義在(??,?10]?[10,??)上的奇函數(shù)，且f(x)在[10,??)上的的單調(diào)遞減

①判斷f(x)在(??,?10]上的單調(diào)性，并用定義證明，②若a>0且a≠1，有f[?(ax?1)2?ax]?f(a2x?6ax?10)?0，求x的取值范圍。解答見書

備例3：書P17例4

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第三篇：高三第一輪復(fù)習(xí)《函數(shù)》測(cè)試題

高三第一輪復(fù)習(xí)《函數(shù)》測(cè)試題

一、選擇題(共50分)：

1．已知函數(shù)y?f(x?1)的圖象過點(diǎn)（3，2），則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形一定過點(diǎn)

A.（2，-2）B.（2，2）C.（-4，2）D.（4，-2）

2．如果奇函數(shù)f?x?在區(qū)間?a,b??b?a?0?上是增函數(shù)，且最小值為m，那么f?x?在區(qū)間??b,?a?上是

A.增函數(shù)且最小值為mB.增函數(shù)且最大值為?mC.減函數(shù)且最小值為mD.減函數(shù)且最大值為?m

3.與函數(shù)y?0.1lg?2x?1?的圖象相同的函數(shù)解析式是

A．y?2x?1(x?11111)B．y?(x?)D．y?C．y? 22x?12x?122x?1

4．對(duì)一切實(shí)數(shù)x，不等式x2?a|x|?1≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

A．(??，－2］ B．［－2，2］ C．［－2，??)D．［0，??)

5．已知函數(shù)y?f(2x?1)是定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)y?g(x)的圖象與函數(shù)y?f(x)的圖象關(guān)于直線y?x對(duì)稱，則g(x)?g(?x)的值為

A．2 B．0C．1 D．不能確定

6．把函數(shù)y?f(x)的圖像沿x軸向右平移2個(gè)單位，所得的圖像為C,C關(guān)于x軸對(duì)稱的圖像為y?2x的圖像，則y?f(x)的函數(shù)表達(dá)式為

A.y?2x?2B.y??2x?2 C.y??2x?2D.y??log2(x?2)

7.當(dāng)0?a?b?1時(shí)，下列不等式中正確的是 A.(1?a)?(1?a)B.(1?a)?(1?b)C.(1?a)?(1?a)1

bbabbb2D.(1?a)a?(1?b)b

8．當(dāng)x??0,2?時(shí)，函數(shù)f(x)?ax2?4(a?1)x?3在x?2時(shí)取得最大值，則a的取值范圍是A.[?,??)B.?0,???C.?1,???D.[,??)2312

?(3a?1)x?4a,x?19．已知f(x)??是(??,??)上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是 logx,x?1?a

1111A.(0,1)B.(0,)C.[,1)D.[,)3773

10．某種電熱水器的水箱盛滿水是200升，加熱到一定溫度，即可用來洗浴。洗浴時(shí)，已知每分鐘放水34升，在放水的同時(shí)按4升/分鐘的勻加速度自動(dòng)注水。當(dāng)水箱內(nèi)的水量達(dá)到最小值時(shí)，放水程序自動(dòng)停止，現(xiàn)假定每人洗浴用水量為65升，則該熱水器一次至多可供 A．3人洗浴B．4人洗浴 C．5人洗浴D．6人洗浴

二、填空題(共25分)

11．已知偶函數(shù)f?x?在?0,2?內(nèi)單調(diào)遞減，若a?f??1?,b?f(log0.5的大小關(guān)系為。

12.函數(shù)y?logax在[2,??)上恒有y?1，則a的取值范圍是

13.若函數(shù)y?1),c?f?lg0.5?，則a,b,c之間4ax?1?4?a???的圖象關(guān)于直線y?x對(duì)稱，則a=。4x?5?5?

2a?3，則a的取值范圍是。a?114．設(shè)f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，若f(1)?1,f(2)?

第四篇：高三數(shù)學(xué)教案：函數(shù)復(fù)習(xí)教案

【摘要】鑒于大家對(duì)查字典數(shù)學(xué)網(wǎng)十分關(guān)注，小編在此為大家整理了此文高三數(shù)學(xué)教案：函數(shù)復(fù)習(xí)教案，供大家參考!本文題目：高三數(shù)學(xué)教案：函數(shù)復(fù)習(xí)教案2013高中數(shù)學(xué)精講精練 第二章 函數(shù)【知識(shí)導(dǎo)讀】【方法點(diǎn)撥】函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要，最基礎(chǔ)的內(nèi)容之一，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).高中函數(shù)以具體的冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的概念，性質(zhì)和圖像為主要研究對(duì)象，適當(dāng)研究分段函數(shù)，含絕對(duì)值的函數(shù)和抽象函數(shù);同時(shí)要對(duì)初中所學(xué)二次函數(shù)作深入理解.1.活用定義法解題.定義是一切法則與性質(zhì)的基礎(chǔ)，是解題的基本出發(fā)點(diǎn).利用定義，可直接判斷所給的對(duì)應(yīng)是否滿足函數(shù)的條件，證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性等.2.重視數(shù)形結(jié)合思想滲透.數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微.當(dāng)你所研究的問題較為抽象時(shí)，當(dāng)你的思維陷入困境時(shí)，當(dāng)你對(duì)雜亂無章的條件感到頭緒混亂時(shí)，一個(gè)很好的建議：畫個(gè)圖像!利用圖形的直觀性，可迅速地破解問題，乃至最終解決問題.3.強(qiáng)化分類討論思想應(yīng)用.分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法.進(jìn)行分類討論時(shí)，我們要遵循的原則是：分類的對(duì)象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復(fù)，科學(xué)地劃分，分清主次，不越級(jí)討論。其中最重要的一條是不漏不重.4.掌握函數(shù)與方程思想.函數(shù)與方程思想是最重要，最基本的數(shù)學(xué)思想方法之一，它在整個(gè)高中數(shù)學(xué)中的地位與作用很高.函數(shù)的思想包括運(yùn)用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題，轉(zhuǎn)化問題和解決問題.第1課 函數(shù)的概念【考點(diǎn)導(dǎo)讀】1.在體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，通過集合與對(duì)應(yīng)的語言刻畫函數(shù)，體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用;了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域.2.準(zhǔn)確理解函數(shù)的概念，能根據(jù)函數(shù)的三要素判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù).【基礎(chǔ)練習(xí)】1.設(shè)有函數(shù)組：①，;②，;③，;④，;⑤，.其中表示同一個(gè)函數(shù)的有___②④⑤___.2.設(shè)集合，從 到 有四種對(duì)應(yīng)如圖所示：其中能表示為 到 的函數(shù)關(guān)系的有_____②③____.3.寫出下列函數(shù)定義域：(1)的定義域?yàn)開_____________;(2)的定義域?yàn)開_____________;(3)的定義域?yàn)開_____________;(4)的定義域?yàn)開________________.4.已知三個(gè)函數(shù):(1);(2);(3).寫出使各函數(shù)式有意義時(shí)，的約束條件：(1)______________________;(2)______________________;(3)______________________________.5.寫出下列函數(shù)值域：(1)，;值域是.(2);值域是.(3)，.值域是.【范例解析】例1.設(shè)有函數(shù)組：①，;②，;③，;④，.其中表示同一個(gè)函數(shù)的有③④.分析：判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)，關(guān)鍵看函數(shù)的三要素是否相同.解：在①中，的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?，故不是同一函?shù);在②中，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋什皇峭缓瘮?shù);③④是同一函數(shù).例2.求下列函數(shù)的定義域：①;②;解：(1)① 由題意得： 解得 且 或 且，故定義域?yàn)?② 由題意得：，解得，故定義域?yàn)?例3.求下列函數(shù)的值域：(1)，;(2);(3).分析：運(yùn)用配方法，逆求法，換元法等方法求函數(shù)值域.(1)解：，函數(shù)的值域?yàn)?(2)解法一：由，則，故函數(shù)值域?yàn)?解法二：由，則，，故函數(shù)值域?yàn)?【反饋演練】1.函數(shù)f(x)= 的定義域是___________.2.函數(shù) 的定義域?yàn)開________________.3.函數(shù) 的值域?yàn)開_______________.4.函數(shù) 的值域?yàn)開____________.5.函數(shù) 的定義域?yàn)開____________________.6.記函數(shù)f(x)= 的定義域?yàn)锳，g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a1)的定義域?yàn)锽.(1)求A;(2)若B A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：(1)由2-0，得 0，x-1或x1，即A=(-，-1)[1，+).(2)由(x-a-1)(2a-x)0，得(x-a-1)(x-2a)0.∵a1，a+12a，B=(2a，a+1).∵B A，2a1或a+1-1，即a 或a-2，而a1，1或a-2，故當(dāng)B A時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-,-2][ ,1).第2課 函數(shù)的表示方法【考點(diǎn)導(dǎo)讀】1.會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖像法，列表法，解析法)表示函數(shù).2.求解析式一般有四種情況：(1)根據(jù)某個(gè)實(shí)際問題須建立一種函數(shù)關(guān)系式;(2)給出函數(shù)特征，利用待定系數(shù)法求解析式;(3)換元法求解析式;(4)解方程組法求解析式.【基礎(chǔ)練習(xí)】1.設(shè)函數(shù)，則 _________;__________.2.設(shè)函數(shù)，,則 _____3_______;;.3.已知函數(shù) 是一次函數(shù)，且，,則 __15___.4.設(shè)f(x)=，則f[f()]=_____________.5.如圖所示的圖象所表示的函數(shù)解析式為__________________________.【范例解析】例1.已知二次函數(shù) 的最小值等于4，且，求 的解析式.分析：給出函數(shù)特征，可用待定系數(shù)法求解.解法一：設(shè)，則 解得故所求的解析式為.解法二：，拋物線 有對(duì)稱軸.故可設(shè).將點(diǎn) 代入解得.故所求的解析式為.解法三：設(shè)，由，知 有兩個(gè)根0，2，例2.甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一公園，甲從家到公園的距離與乙從家到公園的距離都是2km，甲10時(shí)出發(fā)前往乙家.如圖，表示甲從出發(fā)到乙家為止經(jīng)過的路程y(km)與時(shí)間x(分)的關(guān)系.試寫出 的函數(shù)解析式.分析：理解題意，根據(jù)圖像待定系數(shù)法求解析式.【反饋演練】1.若，則(D)A.B.C.D.2.已知，且，則m等于________.3.已知函數(shù)f(x)和g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(x)=x2+2x.求函數(shù)g(x)的解析式.解：設(shè)函數(shù) 的圖象上任意一點(diǎn) 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則∵點(diǎn) 在函數(shù) 的圖象上第3課 函數(shù)的單調(diào)性【考點(diǎn)導(dǎo)讀】1.理解函數(shù)單調(diào)性，最大(小)值及其幾何意義;2.會(huì)運(yùn)用單調(diào)性的定義判斷或證明一些函數(shù)的增減性.【基礎(chǔ)練習(xí)】1.下列函數(shù)中：①;②;③;④.其中，在區(qū)間(0，2)上是遞增函數(shù)的序號(hào)有___②___.2.函數(shù) 的遞增區(qū)間是___ R ___.3.函數(shù) 的遞減區(qū)間是__________.4.已知函數(shù) 在定義域R上是單調(diào)減函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍__________.5.已知下列命題：①定義在 上的函數(shù) 滿足，則函數(shù) 是 上的增函數(shù);②定義在 上的函數(shù) 滿足，則函數(shù) 在 上不是減函數(shù);③定義在 上的函數(shù) 在區(qū)間 上是增函數(shù)，在區(qū)間 上也是增函數(shù)，則函數(shù) 在 上是增函數(shù);④定義在 上的函數(shù) 在區(qū)間 上是增函數(shù)，在區(qū)間 上也是增函數(shù)，則函數(shù) 在 上是增函數(shù).其中正確命題的序號(hào)有_____②______.【范例解析】例.求證：(1)函數(shù) 在區(qū)間 上是單調(diào)遞增函數(shù);(2)函數(shù) 在區(qū)間 和 上都是單調(diào)遞增函數(shù).分析：利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，注意符號(hào)的確定.證明：(1)對(duì)于區(qū)間 內(nèi)的任意兩個(gè)值，且，因?yàn)?，又，則，得，故，即，即.所以，函數(shù) 在區(qū)間 上是單調(diào)增函數(shù).(2)對(duì)于區(qū)間 內(nèi)的任意兩個(gè)值，且，因?yàn)椋?，則，得，故，即，即.所以，函數(shù) 在區(qū)間 上是單調(diào)增函數(shù).同理，對(duì)于區(qū)間，函數(shù) 是單調(diào)增函數(shù);例2.確定函數(shù) 的單調(diào)性.分析：作差后，符號(hào)的確定是關(guān)鍵.解：由，得定義域?yàn)?對(duì)于區(qū)間 內(nèi)的任意兩個(gè)值，且，則又，【反饋演練】1.已知函數(shù)，則該函數(shù)在 上單調(diào)遞__減__，(填增減)值域?yàn)開________.2.已知函數(shù) 在 上是減函數(shù)，在 上是增函數(shù)，則 __25___.3.函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為.4.函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間為.5.已知函數(shù) 在區(qū)間 上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：設(shè)對(duì)于區(qū)間 內(nèi)的任意兩個(gè)值，且，則，，得，，即.第4課 函數(shù)的奇偶性【考點(diǎn)導(dǎo)讀】1.了解函數(shù)奇偶性的含義，能利用定義判斷一些簡(jiǎn)單函數(shù)的奇偶性;2.定義域?qū)ζ媾夹缘挠绊懀憾x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要但不充分條件;不具備上述對(duì)稱性的，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).【基礎(chǔ)練習(xí)】1.給出4個(gè)函數(shù)：①;②;③;④.其中奇函數(shù)的有___①④___;偶函數(shù)的有____②____;既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的有____③____.2.設(shè)函數(shù) 為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)-1.3.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是(A)A.B.C.D.【范例解析】例1.判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1);(2);(3);(4);(5);(6)分析：判斷函數(shù)的奇偶性，先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再利用定義判斷.解：(1)定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;,所以 為偶函數(shù).(2)定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;，故 為奇函數(shù).(3)定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;，且，所以 既為奇函數(shù)又為偶函數(shù).(4)定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;故 既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).(5)定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;，則 且，故 既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).(6)定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;例2.已知定義在 上的函數(shù) 是奇函數(shù)，且當(dāng) 時(shí)，求函數(shù) 的解析式，并指出它的單調(diào)區(qū)間.分析：奇函數(shù)若在原點(diǎn)有定義，則.解：設(shè)，則，.又 是奇函數(shù)，.當(dāng) 時(shí)，.綜上，的解析式為.【反饋演練】1.已知定義域?yàn)镽的函數(shù) 在區(qū)間 上為減函數(shù)，且函數(shù) 為偶函數(shù)，則(D)A.B.C.D.2.在 上定義的函數(shù) 是偶函數(shù)，且，若 在區(qū)間 是減函數(shù)，則函數(shù)(B)A.在區(qū)間 上是增函數(shù)，區(qū)間 上是增函數(shù)B.在區(qū)間 上是增函數(shù)，區(qū)間 上是減函數(shù)C.在區(qū)間 上是減函數(shù)，區(qū)間 上是增函數(shù)D.在區(qū)間 上是減函數(shù)，區(qū)間 上是減函數(shù)3.設(shè)，則使函數(shù) 的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)的所有 的值為____1，3 ___.4.設(shè)函數(shù) 為奇函數(shù)，則 ________.5.若函數(shù) 是定義在R上的偶函數(shù)，在 上是減函數(shù)，且，則使得 的x的取值范圍是(-2，2).6.已知函數(shù) 是奇函數(shù).又，,求a，b，c的值;解：由，得，得.又，得，而，得，解得.又，或1.若，則，應(yīng)舍去;若，則.所以，.綜上，可知 的值域?yàn)?第5 課 函數(shù)的圖像【考點(diǎn)導(dǎo)讀】1.掌握基本初等函數(shù)的圖像特征，學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)的圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì);2.掌握畫圖像的基本方法：描點(diǎn)法和圖像變換法.【基礎(chǔ)練習(xí)】1.根據(jù)下列各函數(shù)式的變換，在箭頭上填寫對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像的變換：(1);(2).2.作出下列各個(gè)函數(shù)圖像的示意圖：(1);(2);(3).解：(1)將 的圖像向下平移1個(gè)單位，可得 的圖像.圖略;(2)將 的圖像向右平移2個(gè)單位，可得 的圖像.圖略;(3)由，將 的圖像先向右平移1個(gè)單位，得 的圖像，再向下平移1個(gè)單位，可得 的圖像.如下圖所示：3.作出下列各個(gè)函數(shù)圖像的示意圖：(1);(2);(3);(4).解：(1)作 的圖像關(guān)于y軸的對(duì)稱圖像，如圖1所示;(2)作 的圖像關(guān)于x軸的對(duì)稱圖像，如圖2所示;(3)作 的圖像及它關(guān)于y軸的對(duì)稱圖像，如圖3所示;(4)作 的圖像，并將x軸下方的部分翻折到x軸上方，如圖4所示.4.函數(shù) 的圖象是(B)【范例解析】例1.作出函數(shù) 及，，的圖像.分析：根據(jù)圖像變換得到相應(yīng)函數(shù)的圖像.解： 與 的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱;與 的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱;將 的圖像向左平移2個(gè)單位得到 的圖像;保留 的圖像在x軸上方的部分，將x軸下方的部分關(guān)于x軸翻折上去，并去掉原下方的部分;將 的圖像在y軸右邊的部分沿y軸翻折到y(tǒng)軸的左邊部分替代原y軸左邊部分，并保留 在y軸右邊部分.圖略.與 的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱;與 的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;保留 的圖像在x軸上方的部分，將x軸下方的部分關(guān)于x軸翻折上去，并去掉原下方的部分;將 的圖像在y軸右邊的部分沿y軸翻折到y(tǒng)軸的左邊部分替代原y軸左邊部分，并保留 在y軸右邊部分.例2.設(shè)函數(shù).(1)在區(qū)間 上畫出函數(shù) 的圖像;(2)設(shè)集合.試判斷集合 和 之間的關(guān)系，并給出證明.分析：根據(jù)圖像變換得到 的圖像，第(3)問實(shí)質(zhì)是恒成立問題.解：(1)(2)方程 的解分別是 和，由于 在 和 上單調(diào)遞減，在 和 上單調(diào)遞增，因此.由于.【反饋演練】1.函數(shù) 的圖象是(B)2.為了得到函數(shù) 的圖象，可以把函數(shù) 的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到.3.已知函數(shù) 的圖象有公共點(diǎn)A，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，則 =.4.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且y=f(x)的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱，則f(1)+ f(2)+ f(3)+ f(4)+ f(5)=_____0____.5.作出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖：(1);(2);(3).第6課 二次函數(shù)【考點(diǎn)導(dǎo)讀】1.理解二次函數(shù)的概念，掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì);2.能結(jié)合二次函數(shù)的圖像判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)，從而了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系.【基礎(chǔ)練習(xí)】1.已知二次函數(shù) ,則其圖像的開口向__上__;對(duì)稱軸方程為;頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，最小值為.2.二次函數(shù) 的圖像的對(duì)稱軸為 ,則 __-2___，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.3.函數(shù) 的零點(diǎn)為.4.實(shí)系數(shù)方程 兩實(shí)根異號(hào)的充要條件為;有兩正根的充要條件為;有兩負(fù)根的充要條件為.5.已知函數(shù) 在區(qū)間 上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍是__________.【范例解析】例1.設(shè) 為實(shí)數(shù)，函數(shù)，.(1)討論 的奇偶性;(2)若 時(shí)，求 的最小值.分析：去絕對(duì)值.解：(1)當(dāng) 時(shí)，函數(shù)此時(shí)，為偶函數(shù).當(dāng) 時(shí)，，.此時(shí) 既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).(2)由于 在 上的最小值為，在 內(nèi)的最小值為.例2.函數(shù) 在區(qū)間 的最大值記為，求 的表達(dá)式.分析：二次函數(shù)在給定區(qū)間上求最值，重點(diǎn)研究其在所給區(qū)間上的單調(diào)性情況.解：∵直線 是拋物線 的對(duì)稱軸，可分以下幾種情況進(jìn)行討論：(1)當(dāng) 時(shí)，函數(shù)，的圖象是開口向上的拋物線的一段，由 知 在 上單調(diào)遞增，故;(2)當(dāng) 時(shí)，，有 =2;(3)當(dāng) 時(shí)，函數(shù)，的圖象是開口向下的拋物線的一段，若 即 時(shí)，若 即 時(shí)，【反饋演練】1.函數(shù) 是單調(diào)函數(shù)的充要條件是.2.已知二次函數(shù)的圖像頂點(diǎn)為，且圖像在 軸上截得的線段長(zhǎng)為8，則此二次函數(shù)的解析式為.3.設(shè)，二次函數(shù) 的圖象為下列四圖之一：則a的值為(B)A.1 B.-1 C.D.4.若不等式 對(duì)于一切 成立，則a的取值范圍是.5.若關(guān)于x的方程 在 有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.6.已知函數(shù) 在 有最小值，記作.(1)求 的表達(dá)式;(2)求 的最大值.解：(1)由 知對(duì)稱軸方程為，當(dāng) 時(shí)，即 時(shí)，;當(dāng)，即 時(shí)，;當(dāng)，即 時(shí)，;綜上，.(2)當(dāng) 時(shí)，;當(dāng) 時(shí)，;當(dāng) 時(shí)，.故當(dāng) 時(shí)，的最大值為3.7.分別根據(jù)下列條件,求實(shí)數(shù)a的值：(1)函數(shù) 在在 上有最大值2;(2)函數(shù) 在在 上有最大值4.解：(1)當(dāng) 時(shí)，令，則;當(dāng) 時(shí)，令，(舍);當(dāng) 時(shí)，即.綜上，可得 或.(2)當(dāng) 時(shí)，即，則;當(dāng) 時(shí)，即，則.綜上，或.8.已知函數(shù).(1)對(duì)任意，比較 與 的大小;(2)若 時(shí)，有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：(1)對(duì)任意，故.(2)又，得，即，得，解得.第7課 指數(shù)式與對(duì)數(shù)式【考點(diǎn)導(dǎo)讀】1.理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念，掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì);2.理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì);3.能運(yùn)用指數(shù)，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，求值，證明，并注意公式成立的前提條件;4.通過指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化以及不同底的對(duì)數(shù)運(yùn)算化為同底對(duì)數(shù)運(yùn)算.【基礎(chǔ)練習(xí)】1.寫出下列各式的值：;____4____;;___0_____;____1____;__-4__.2.化簡(jiǎn)下列各式：(1);(2).3.求值：(1)___-38____;(2)____1____;(3)_____3____.【范例解析】例1.化簡(jiǎn)求值：(1)若，求 及 的值;(2)若，求 的值.分析：先化簡(jiǎn)再求值.解：(1)由，得，故;例2.(1)求值：;(2)已知，求.分析：化為同底.例3.已知，且，求c的值.分析：將a，b都用c表示.【反饋演練】1.若，則.2.設(shè)，則.3.已知函數(shù)，若，則-b.4.設(shè)函數(shù) 若，則x0的取值范圍是(-，-1)(1，+).5.設(shè)已知f(x6)= log2x，那么f(8)等于.6.若，則k =__-1__.7.已知函數(shù)，且.(1)求實(shí)數(shù)c的值;(2)解不等式.解：(1)因?yàn)?，所以，由，即?(2)由(1)得：由 得，當(dāng) 時(shí)，解得.當(dāng) 時(shí)，解得，所以 的解集為.第8課 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)【考點(diǎn)導(dǎo)讀】1.了解冪函數(shù)的概念，結(jié)合函數(shù)，，的圖像了解它們的變化情況;2.理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，能畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖像，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性;3.在解決實(shí)際問題的過程中，體會(huì)指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.【基礎(chǔ)練習(xí)】1.指數(shù)函數(shù) 是R上的單調(diào)減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.2.把函數(shù) 的圖像分別沿x軸方向向左，沿y軸方向向下平移2個(gè)單位，得到 的圖像，則.3.函數(shù) 的定義域?yàn)開__R__;單調(diào)遞增區(qū)間;值域.4.已知函數(shù) 是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值.5.要使 的圖像不經(jīng)過第一象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍.6.已知函數(shù) 過定點(diǎn)，則此定點(diǎn)坐標(biāo)為.【范例解析】例1.比較各組值的大小：(1)，，;(2)，，其中;(3)，.分析：同指不同底利用冪函數(shù)的單調(diào)性，同底不同指利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.解：(1)，而，例2.已知定義域?yàn)?的函數(shù) 是奇函數(shù),求 的值;解：因?yàn)?是奇函數(shù)，所以 =0，即又由f(1)=-f(-1)知例3.已知函數(shù)，求證：(1)函數(shù) 在 上是增函數(shù);(2)方程 沒有負(fù)根.分析：注意反證法的運(yùn)用.證明：(1)設(shè)，，又，所以，，則故函數(shù) 在 上是增函數(shù).(2)設(shè)存在，滿足，則.又，【反饋演練】1.函數(shù) 對(duì)于任意的實(shí)數(shù) 都有(C)A.B.C.D.2.設(shè)，則(A)A.-23.將y=2x的圖像(D)再作關(guān)于直線y=x對(duì)稱的圖像，可得到函數(shù) 的圖像.A.先向左平行移動(dòng)1個(gè)單位 B.先向右平行移動(dòng)1個(gè)單位C.先向上平行移動(dòng)1個(gè)單位 D.先向下平行移動(dòng)1個(gè)單位4.函數(shù) 的圖象如圖，其中a、b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是(C)A.B.C.D.5.函數(shù) 在 上的最大值與最小值的和為3，則 的值為___2__.6.若關(guān)于x的方程 有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：由 得，7.已知函數(shù).(1)判斷 的奇偶性;(2)若 在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：(1)定義域?yàn)镽，則，故 是奇函數(shù).(2)設(shè)，當(dāng) 時(shí)，得，即;當(dāng) 時(shí)，得，即;綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.第9課 對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)【考點(diǎn)導(dǎo)讀】1.理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念和意義，能畫出具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像，探索并理解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性;2.在解決實(shí)際問題的過程中，體會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型;3.熟練運(yùn)用分類討論思想解決指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性問題.【基礎(chǔ)練習(xí)】1.函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是.2.函數(shù) 的單調(diào)減區(qū)間是.【范例解析】例1.(1)已知 在 是減函數(shù)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是_________.(2)設(shè)函數(shù)，給出下列命題：① 有最小值;②當(dāng) 時(shí)，的值域?yàn)?③當(dāng) 時(shí)，的定義域?yàn)?④若 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是.則其中正確命題的序號(hào)是_____________.分析：注意定義域，真數(shù)大于零.解：(1)，在 上遞減，要使 在 是減函數(shù)，則;又 在 上要大于零，即，即;綜上，.(2)① 有無最小值與a的取值有關(guān);②當(dāng) 時(shí)，成立;③當(dāng) 時(shí)，若 的定義域?yàn)?，則 恒成立，即，即 成立;④若 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，則 解得，不成立.例3.已知函數(shù)，求函數(shù) 的定義域，并討論它的奇偶性和單調(diào)性.分析：利用定義證明復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.解：x須滿足 所以函數(shù) 的定義域?yàn)?-1，0)(0，1).因?yàn)楹瘮?shù) 的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且對(duì)定義域內(nèi)的任意x，有，所以 是奇函數(shù).研究 在(0，1)內(nèi)的單調(diào)性，任取x1、x2(0，1)，且設(shè)x1得 0，即 在(0，1)內(nèi)單調(diào)遞減，【反饋演練】1.給出下列四個(gè)數(shù)：①;②;③;④.其中值最大的序號(hào)是___④___.2.設(shè)函數(shù) 的圖像過點(diǎn)，則 等于___5_ _.3.函數(shù) 的圖象恒過定點(diǎn)，則定點(diǎn) 的坐標(biāo)是.4.函數(shù) 上的最大值和最小值之和為a，則a的值為.5.函數(shù) 的圖象和函數(shù) 的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有___3___個(gè).6.下列四個(gè)函數(shù)：①;②;③;④.其中，函數(shù)圖像只能是如圖所示的序號(hào)為___②___.7.求函數(shù) , 的最大值和最小值.解：令，則，即求函數(shù) 在 上的最大值和最小值.故函數(shù) 的最大值為0，最小值為.8.已知函數(shù).(1)求 的定義域;(2)判斷 的奇偶性;(3)討論 的單調(diào)性，并證明.解：(1)解：由，故的定義域?yàn)?(2)，故 為奇函數(shù).(3)證明：設(shè)，則，.當(dāng) 時(shí)，故 在 上為減函數(shù);同理 在 上也為減函數(shù);當(dāng) 時(shí)，故 在，上為增函數(shù).第10課 函數(shù)與方程【考點(diǎn)導(dǎo)讀】1.能利用二次函數(shù)的圖像與判別式的正負(fù)，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)，了解函數(shù)零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系.2.能借助計(jì)算器用二分法求方程的近似解，并理解二分法的實(shí)質(zhì).3.體驗(yàn)并理解函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.【基礎(chǔ)練習(xí)】1.函數(shù) 在區(qū)間 有_____1 ___個(gè)零點(diǎn).2.已知函數(shù) 的圖像是連續(xù)的，且 與 有如下的對(duì)應(yīng)值表：1 2 3 4 5 6-2.3 3.4 0-1.3-3.4 3.4則 在區(qū)間 上的零點(diǎn)至少有___3__個(gè).【范例解析】例1.是定義在區(qū)間[-c，c]上的奇函數(shù)，其圖象如圖所示：令，則下列關(guān)于函數(shù) 的結(jié)論：①若a0，則函數(shù) 的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;②若a=-1，-2③若a0，則方程 =0有兩個(gè)實(shí)根;④若，則方程 =0有三個(gè)實(shí)根.其中，正確的結(jié)論有___________.分析：利用圖像將函數(shù)與方程進(jìn)行互化.解：當(dāng) 且 時(shí)，是非奇非偶函數(shù)，①不正確;當(dāng)，時(shí)，是奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，③不正確;當(dāng)，時(shí)，由圖知，當(dāng) 時(shí)，才有三個(gè)實(shí)數(shù)根，故④不正確;故選②.例2.設(shè)，若，.求證：(1)且;(2)方程 在 內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.分析：利用，進(jìn)行消元代換.證明：(1)，由，得，代入 得：，即，且，即，即證.【反饋演練】1.設(shè)，為常數(shù).若存在，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.2.設(shè)函數(shù) 若，則關(guān)于x的方程 解的個(gè)數(shù)為(C)A.1 B.2 C.3 D.43.已知，且方程 無實(shí)數(shù)根，下列命題：①方程 也一定沒有實(shí)數(shù)根;②若，則不等式 對(duì)一切實(shí)數(shù) 都成立;③若，則必存在實(shí)數(shù)，使④若，則不等式 對(duì)一切實(shí)數(shù) 都成立.其中正確命題的序號(hào)是 ①②④.4.設(shè)二次函數(shù)，方程 的兩根 和 滿足.求實(shí)數(shù) 的取值范圍.解：令，則由題意可得.故所求實(shí)數(shù) 的取值范圍是.5.已知函數(shù) 是偶函數(shù),求k的值;解： 是偶函數(shù)，由于此式對(duì)于一切 恒成立，6.已知二次函數(shù).若ac，且f(1)=0，證明f(x)的圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn).證明：的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).第11課 函數(shù)模型及其應(yīng)用【考點(diǎn)導(dǎo)讀】1.能根據(jù)實(shí)際問題的情境建立函數(shù)模型，結(jié)合對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究，給出問題的解答.2.理解數(shù)據(jù)擬合是用來對(duì)事物的發(fā)展規(guī)律進(jìn)行估計(jì)的一種方法，會(huì)根據(jù)條件借助計(jì)算工具解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.3.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地分析問題，探索問題，解決問題的能力.【基礎(chǔ)練習(xí)】1今有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：1.99 3.0 4.0 5.1 6.121.5 4.04 7.5 12 18.01現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，① ② ③ ④其中最接近的一個(gè)的序號(hào)是______③_______.2.某摩托車生產(chǎn)企業(yè)，上生產(chǎn)摩托車的投入成本為1萬元/輛，出廠價(jià)為1.2萬元/輛，年銷售量為1000輛.本為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品檔次，適度增加投入成本.若每輛車投入成本增加的比例為x(0 1)，則出廠價(jià)相應(yīng)的提高比例為0.75x，同時(shí)預(yù)計(jì)年銷售量增加的比例為0.6x.已知年利潤(rùn) =(出廠價(jià)-投入成本)年銷售量.(Ⅰ)寫出本預(yù)計(jì)的年利潤(rùn)y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式;(Ⅱ)為使本的年利潤(rùn)比上年有所增加，問投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)?解：(Ⅰ)由題意得y = [ 1.2(1+0.75x)-1(1 + x)] 1000(1+0.6x)(0 1)整理得 y =-60x2 + 20x + 200(0 1).(Ⅱ)要保證本的利潤(rùn)比上有所增加，當(dāng)且僅當(dāng)即 解不等式得.答：為保證本的年利潤(rùn)比上有所增加，投入成本增加的比例x應(yīng)滿足0 0.33.【范例解析】例.某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場(chǎng)行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿市場(chǎng)售價(jià)與上市時(shí)間的關(guān)系用圖一的一條折線表示;西紅柿的種植成本與上市時(shí)間的關(guān)系用圖二的拋物線段表示.(Ⅰ)寫出圖一表示的市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式p=f(t);寫出圖二表示的種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式Q=g(t);(Ⅱ)認(rèn)定市場(chǎng)售價(jià)減去種植成本為純收益，問何時(shí)上市的西紅柿純收益最大?(注：市場(chǎng)售價(jià)和種植成本的單位：元/102kg，時(shí)間單位：天)解：(Ⅰ)由圖一可得市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為由圖二可得種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為g(t)=(t-150)2+100，0300.(Ⅱ)設(shè)t時(shí)刻的純收益為h(t)，則由題意得h(t)=f(t)-g(t)，即當(dāng)0200時(shí)，配方整理得h(t)=-(t-50)2+100，所以，當(dāng)t=50時(shí)，h(t)取得區(qū)間[0，200]上的最大值100;當(dāng)200所以，當(dāng)t=300時(shí)，h(t)取得區(qū)間(200，300]上的最大值87.5.綜上:由10087.5可知，h(t)在區(qū)間[0，300]上可以取得最大值100，此時(shí)t=50，即從二月一日開始的第50天時(shí)，上市的西紅柿純收益最大【反饋演練】1.把長(zhǎng)為12cm的細(xì)鐵絲截成兩段，各自圍成一個(gè)正三角形，則這兩個(gè)正三角形面積之和的最小值是___________.2.某地高山上溫度從山腳起每升高100m降低0.7℃，已知山頂?shù)臏囟仁?4.1℃，山腳的溫度是26℃，則此山的高度為_____17_____m.3.某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(rùn)(單位：萬元)分別為L(zhǎng)1=5.06x-0.15 x 2和L2=2 x，其中x為銷售量(單位：輛).若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤(rùn)為____45.6___萬元.4.某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長(zhǎng)分別為x，y(單位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形.要求框架圍成的總面積8cm2.問x、y分別為多少時(shí)用料最省?解：由題意得 xy+ x2=8，y= =(0則框架用料長(zhǎng)度為l=2x+2y+2()=(+)x+ 4.當(dāng)(+)x= ,即x=8-4 時(shí)等號(hào)成立.此時(shí)，x=8-4，故當(dāng)x為8-4 m，y為 m時(shí)，用料最省.

第五篇：2014年高考一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)教案：2.4 函數(shù)的奇偶性

2.4 函數(shù)的奇偶性

●知識(shí)梳理

1.奇函數(shù)：對(duì)于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（－x）=－f（x）〔或f（x）+ f（－x）=0〕，則稱f（x）為奇函數(shù).2.偶函數(shù)：對(duì)于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（－x）=f（x）〔或f（x）－f（－x）=0〕，則稱f（x）為偶函數(shù).3.奇、偶函數(shù)的性質(zhì)

（1）具有奇偶性的函數(shù)，其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（也就是說，函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）.（2）奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.（3）若奇函數(shù)的定義域包含數(shù)0，則f（0）=0.（4）奇函數(shù)的反函數(shù)也為奇函數(shù).（5）定義在（－∞，+∞）上的任意函數(shù)f（x）都可以唯一表示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和.●點(diǎn)擊雙基

1.下面四個(gè)結(jié)論中，正確命題的個(gè)數(shù)是

①偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交

②奇函數(shù)的圖象一定通過原點(diǎn)

③偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

④既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f（x）=0（x∈R）

A.1

B.2

C.3

D.4 解析：①不對(duì)；②不對(duì)，因?yàn)槠婧瘮?shù)的定義域可能不包含原點(diǎn)；③正確；④不對(duì)，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)可以為f（x）=0〔x∈（－a，a）〕.答案：A 2.已知函數(shù)f（x）=ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函數(shù)，那么g（x）=ax3＋bx2＋cx是 A.奇函數(shù)

B.偶函數(shù) C.既奇且偶函數(shù)

D.非奇非偶函數(shù)

3解析：由f（x）為偶函數(shù)，知b=0，有g(shù)（x）=ax＋cx（a≠0）為奇函數(shù).答案：A 3.若偶函數(shù)f（x）在區(qū)間［－1，0］上是減函數(shù)，α、β是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，且α≠β，則下列不等式中正確的是

A.f（cosα）＞f（cosβ）

C.f（sinα）＞f（sinβ）

B.f（sinα）＞f（cosβ）D.f（cosα）＞f（sinβ）

解析：∵偶函數(shù)f（x）在區(qū)間［－1，0］上是減函數(shù)，∴f（x）在區(qū)間［0，1］上為增函數(shù).由α、β是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，∴α+β＞90°，α＞90°－β.1＞sinα＞cosβ＞0.∴f（sinα）＞f（cosβ）.答案：B 4.已知（fx）＝ax＋bx＋3a＋b是偶函數(shù)，且其定義域?yàn)椋踑－1，2a］，則a＝___________，b＝___________.解析：定義域應(yīng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故有a－1＝－2a，得a＝

32.又對(duì)于所給解析式，要使f（－x）＝f（x）恒成立，應(yīng)b＝0.答案：13

0 1x5.給定函數(shù):①y=（x≠0）；②y=x2+1；③y=2x；④y=log2x；⑤y=log2（x+

x2?1）.在這五個(gè)函數(shù)中，奇函數(shù)是_________，偶函數(shù)是_________，非奇非偶函數(shù)是__________.答案：①⑤

②

③④ ●典例剖析

【例1】 已知函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，y=f（x－2）在［0，2］上是單調(diào)減函數(shù)，則 A.f（0）＜f（－1）＜f（2）C.f（－1）＜f（2）＜f（0）

B.f（－1）＜f（0）＜f（2）D.f（2）＜f（－1）＜f（0）

剖析：由f（x－2）在［0，2］上單調(diào)遞減，∴f（x）在［－2，0］上單調(diào)遞減.∵y=f（x）是偶函數(shù)，∴f（x）在［0，2］上單調(diào)遞增.又f（－1）=f（1），故應(yīng)選A.答案：A 【例2】 判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）f（x）=（x－1）2

1?x1?x；

（3）f（x）=1?x2|x?2|?2?x(1?x)?x(1?x)；

（4）f（x）=?(x?0),(x?0).剖析：根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷.解：（1）函數(shù)的定義域x∈（－∞，+∞），對(duì)稱于原點(diǎn).∵f（－x）=|－x+1|－|－x－1|=|x－1|－|x+1|=－（|x+1|－|x－1|）=－f（x），∴f（x）=|x+1|－|x－1|是奇函數(shù).（2）先確定函數(shù)的定義域.由

1?x1?x≥0，得－1≤x＜1，其定義域不對(duì)稱于原點(diǎn)，所以f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).（3）去掉絕對(duì)值符號(hào)，根據(jù)定義判斷.?1?x2?0,??1?x?1,由?得?

x?0且x??4.|x?2|?2?0,??故f（x）的定義域?yàn)椋郏?，0）∪（0，1］，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且有x+2＞0.從而有f（x）= 1?x2x?2?2=1?xx2，這時(shí)有f（－x）=

1?(?x)?x2=－

1?xx2=－f（x），故f（x）為奇函

數(shù).（4）∵函數(shù)f（x）的定義域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且當(dāng)x＞0時(shí)，－x＜0，∴f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1+x）=－f（x）（x＞0）.當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）.故函數(shù)f（x）為奇函數(shù).評(píng)述：（1）分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段證明.（2）判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)先求定義域再化簡(jiǎn)函數(shù)解析式.【例3】（2005年北京東城區(qū)模擬題）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈={x|x≠0}，且滿足對(duì)于任意x1、x2∈D，有f（x12x2）=f（x1）+f（x2）.（1）求f（1）的值；

（2）判斷f（x）的奇偶性并證明；

（3）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x－6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，求x的取值范圍.（1）解：令x1=x2=1，有f（131）=f（1）+f（1），解得f（1）=0.（2）證明：令x1=x2=－1，有f［（－1）3（－1）］=f（－1）+f（－1）.解得f（－1）=0.令x1=－1，x2=x，有f（－x）=f（－1）+f（x），∴f（－x）=f（x）.∴f（x）為偶函數(shù).（3）解：f（434）=f（4）+f（4）=2，f（1634）=f（16）+f（4）=3.∴f（3x+1）+f（2x－6）≤3即f［（3x+1）（2x－6）］≤f（64）.（*）∵f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴（*）等價(jià)于不等式組

?(3x?1)(2x?6)?0, ??(3x?1)(2x?6)?64?(3x?1)(2x?6)?0,??(3x?1)(2x?6)?64,或?

1?x?3或x??,?1????x?3,?3或?或?3

?x?R.??7?x?5???3∴3＜x≤5或－73≤x＜－

7313或－

1313＜x＜3.或－

13∴x的取值范圍為{x|－≤x＜－＜x＜3或3＜x≤5}.評(píng)述：解答本題易出現(xiàn)如下思維障礙：

（1）無從下手，不知如何脫掉“f”.解決辦法:利用函數(shù)的單調(diào)性.（2）無法得到另一個(gè)不等式.解決辦法：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上，奇函數(shù)的單調(diào)性相同，偶函數(shù)的單調(diào)性相反.深化拓展

已知f（x）、g（x）都是奇函數(shù)，f（x）＞0的解集是（a，b），g（x）＞0的解集是（b2

2a22，），b2＞a，那么f（x）2g（x）＞0的解集是 2

A.（a222，b2b2）

b2

2B.（－b，－a2）D.（a2C.（a，）∪（－，－a）

2，b）∪（－b2，－a2）

提示：f（x）2g（x）＞0??2

?f(x)?0,?g(x)?02

或??f(x)?0,?g(x)?0.∴x∈（a，答案：C b2）∪（－

b2，－a）.【例4】（2004年天津模擬題）已知函數(shù)f（x）=x+

px+m（p≠0）是奇函數(shù).（1）求m的值.（2）（理）當(dāng)x∈［1，2］時(shí)，求f（x）的最大值和最小值.（文）若p＞1，當(dāng)x∈［1，2］時(shí)，求f（x）的最大值和最小值.解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（－x）=－f（x）.∴－x－pxpx+m=－x－－m.∴2m=0.∴m=0.（2）（理）（?。┊?dāng)p＜0時(shí)，據(jù)定義可證明f（x）在［1，2］上為增函數(shù).∴f（x）max= f（2）=2+p2，f（x）min=f（1）=1+p.p］上是減函數(shù)，在［

p，+∞）（ⅱ）當(dāng)p＞0時(shí)，據(jù)定義可證明f（x）在（0，上是增函數(shù).①當(dāng)p＜1，即0＜p＜1時(shí)，f（x）在［1，2］上為增函數(shù)，∴f（x）max=f（2）=2+②當(dāng)

p2，f（x）min=f（1）=1+p.p∈［1，2］時(shí)，f（x）在［1，p］上是減函數(shù).在［p，2］上是增函數(shù).p.f（x）min=f（p）=2f（x）max=max{f（1），f（2）}=max{1+p，2+當(dāng)1≤p≤2時(shí)，1+p≤2+③當(dāng)

p2p2}.p2，f（x）max=f（2）；當(dāng)2＜p≤4時(shí)，1+p≥2+，f（x）max=f（1）.p＞2，即p＞4時(shí)，f（x）在［1，2］上為減函數(shù)，∴f（x）max=f（1）=1+p，f（x）min=f（2）=2+（文）解答略.p2.評(píng)述：f（x）=x+px（p＞0）的單調(diào)性是一重要問題，利用單調(diào)性求最值是重要方法.深化拓展

f（x）=x+px的單調(diào)性也可根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)來判斷，本題如何用導(dǎo)數(shù)來解？

●闖關(guān)訓(xùn)練 夯實(shí)基礎(chǔ)

1.定義在區(qū)間（－∞，+∞）上的奇函數(shù)f（x）為增函數(shù)，偶函數(shù)g（x）在區(qū)間［0，+∞）上的圖象與f（x）的圖象重合，設(shè)a＜b＜0，給出下列不等式，其中成立的是

①f（b）－f（－a）＞g（a）－g（－b）②f（b）－f（－a）＜g（a）－g（－b）③f（a）－f（－b）＞g（b）－g（－a）④f（a）－f（－b）＜g（b）－g（－a）A.①④

B.②③

C.①③

D.②④

解析：不妨取符合題意的函數(shù)f（x）=x及g（x）=|x|進(jìn)行比較，或一般地g（x）=??f(x)?f(?x)x?0,x?0, f（0）=0，f（a）＜f（b）＜0.答案：D 2.（2003年北京海淀區(qū)二模題）函數(shù)f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，又是以2為周期的周期函數(shù).若f（x）在［－1，0］上是減函數(shù)，那么f（x）在［2，3］上是

A.增函數(shù)

C.先增后減的函數(shù)

B.減函數(shù)

D.先減后增的函數(shù)

解析：∵偶函數(shù)f（x）在［－1，0］上是減函數(shù)，∴f（x）在［0，1］上是增函數(shù).由周期為2知該函數(shù)在［2，3］上為增函數(shù).答案：A 3.已知f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）=lgf（x）的表達(dá)式是__________.解析：當(dāng)x∈（－1，0）時(shí)，－x∈（0，1），∴f（x）=－f（－x）=－lg答案：lg（1－x）

?x?2?24.（2003年北京）函數(shù)f（x）=lg（1+x），g（x）=?0??x?2?x??1,|x|?1,h（x）=tan2x中，x?1.11?x，那么當(dāng)x∈（－1，0）時(shí)，11?x=lg（1－x）.______________是偶函數(shù).解析：∵f（－x）=lg［1+（－x）］=lg（1+x）=f（x），∴f（x）為偶函數(shù).又∵1°當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，－1≤－x≤1，∴g（－x）=0.又g（x）=0，∴g（－x）=g（x）.2°當(dāng)x＜－1時(shí)，－x＞1，∴g（－x）=－（－x）+2=x+2.又∵g（x）=x+2，∴g（－x）=g（x）.3°當(dāng)x＞1時(shí)，－x＜－1，2

∴g（－x）=（－x）+2=－x+2.又∵g（x）=－x+2，∴g（－x）=g（x）.綜上，對(duì)任意x∈R都有g(shù)（－x）=g（x）.∴g（x）為偶函數(shù).h（－x）=tan（－2x）=－tan2x=－h(huán)（x），∴h（x）為奇函數(shù).答案：f（x）、g（x）5.若f（x）=a?2?a?22?122xxx為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值.解：∵x∈R，∴要使f（x）為奇函數(shù)，必須且只需f（x）+f（－x）=0，即a－a－22?x?1+ ?1=0，得a=1.6.（理）定義在［－2，2］上的偶函數(shù)g（x），當(dāng)x≥0時(shí)，g（x）單調(diào)遞減，若g（1－m）＜g（m），求m的取值范圍.解：由g（1－m）＜g（m）及g（x）為偶函數(shù)，可得g（|1－m|）＜g（|m|）.又g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，∴|1－m|＞|m|，且|1－m|≤2，|m|≤2，解得－1≤m＜說明：也可以作出g（x）的示意圖，結(jié)合圖形進(jìn)行分析.（文）（2005年北京西城區(qū)模擬題）定義在R上的奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，又f（－3）=0，則不等式xf（x）＜0的解集為

A.（－3，0）∪（0，3）

B.（－∞，－3）∪（3，+∞）C.（－3，0）∪（3，+∞）

D.（－∞，－3）∪（0，3）解析：由奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系結(jié)合圖象來解.答案：A 培養(yǎng)能力 7.已知f（x）＝x（12x12.?1＋

12）.（1）判斷f（x）的奇偶性；（2）證明f（x）＞0.（1）解：f（x）＝x2

2xx?1?1)，其定義域?yàn)閤≠0的實(shí)數(shù).又f（－x）＝－x2

2?x?x?1?1)2(21?2xx2(2＝－x2＝x2

2xx?1?1)＝f（x），2(1?2)2(2∴f（x）為偶函數(shù).（2）證明：由解析式易見，當(dāng)x＞0時(shí)，有f（x）＞0.又f（x）是偶函數(shù)，且當(dāng)x＜0時(shí)－x＞0，∴當(dāng)x＜0時(shí)f（x）＝f（－x）＞0，即對(duì)于x≠0的任何實(shí)數(shù)x，均有f（x）＞0.探究創(chuàng)新

8.設(shè)f（x）=log1（21?axx?1）為奇函數(shù)，a為常數(shù)，（1）求a的值；

（2）證明f（x）在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；

（3）若對(duì)于［3，4］上的每一個(gè)x的值，不等式f（x）＞（m的取值范圍.（1）解：f（x）是奇函數(shù)，∴f（－x）=－f（x）.∴l(xiāng)og1?ax1212）+m恒成立，求實(shí)數(shù)

x?x?1=－log

1?ax12x?1?1?ax?x?1=

x?11?ax＞0?1－a2x2=1－x2?a=±1.檢驗(yàn)a=1（舍），∴a=－1.（2）證明：任取x1＞x2＞1，∴x1－1＞x2－1＞0.∴0＜2x1?1＜2x2?1?0＜1+

2x1?1＜1+

2x2?1?0＜

x1?1x1?1＜

x2?1x2?1?log

x1?112x1?1＞logx2?112x2?1，即f（x1）＞f（x2）.∴f（x）在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增.1（3）解：f（x）－（）x＞m恒成立.2令g（x）=f（x）－（）x.只需g（x）min＞m，用定義可以證g（x）在［3，4］上是

21增函數(shù)，∴g（x）min=g（3）=－

98.∴m＜－

98時(shí)原式恒成立.●思悟小結(jié)

1.函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，即自變量x在整個(gè)定義域內(nèi)任意取值.2.有時(shí)可直接根據(jù)圖象的對(duì)稱性來判斷函數(shù)的奇偶性.●教師下載中心 教學(xué)點(diǎn)睛

1.函數(shù)的奇偶性經(jīng)常與函數(shù)的其他性質(zhì)，如單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性結(jié)合起來考查.因此，在復(fù)習(xí)過程中應(yīng)加強(qiáng)知識(shí)橫向間的聯(lián)系.2.數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù)是解決本節(jié)問題常用的思想方法.3.在教學(xué)過程中應(yīng)強(qiáng)調(diào)函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，而單調(diào)性是其局部性質(zhì).拓展題例

【例1】 已知函數(shù)f（x）=

ax2?1bx?c（a、b、c∈Z）是奇函數(shù)，又f（1）=2，f（2）＜3，求a、b、c的值.解：由f（－x）=－f（x），得－bx+c=－（bx+c）.∴c=0.由f（1）=2，得a+1=2b.由f（2）＜3，得4a?1a?1＜3，解得－1＜a＜2.又a∈Z，∴a=0或a=1.若a=0，則b=

12，與b∈Z矛盾.∴a=1，b=1，c=0.【例2】 已知函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，對(duì)任意x、x′∈R均有f（x+x′）=f（x）+f（x′），且對(duì)任意x＞0，都有f（x）＜0，f（3）=－3.（1）試證明：函數(shù)y=f（x）是R上的單調(diào)減函數(shù)；

（2）試證明：函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)；

（3）試求函數(shù)y=f（x）在［m，n］（m、n∈Z，且mn＜0）上的值域.分析：（1）可根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行論證，考慮證明過程中如何利用題設(shè)條件.（2）可根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行證明，應(yīng)由條件先得到f（0）=0后，再利用條件f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）中x1、x2的任意性，可使結(jié)論得證.（3）由（1）的結(jié)論可知f（m）、f（n）分別是函數(shù)y=f（x）在［m、n］上的最大值與最小值，故求出f（m）與f（n）就可得所求值域.（1）證明：任取x1、x2∈R，且x1＜x2，f（x2）=f［x1+（x2－x1）］，于是由題設(shè)條件f（x+x′）=f（x）+f（x′）可知f（x2）=f（x1）+f（x2－x1）.∵x2＞x1，∴x2－x1＞0.∴f（x2－x1）＜0.∴f（x2）=f（x1）+f（x2－x1）＜f（x1）.故函數(shù)y=f（x）是單調(diào)減函數(shù).（2）證明：∵對(duì)任意x、x′∈R均有f（x+x′）=f（x）+f（x′），∴若令x=x′=0，則f（0）=f（0）+f（0）.∴f（0）=0.再令x′=－x，則可得f（0）=f（x）+f（－x）.∵f（0）=0，∴f（－x）=－f（x）.故y=f（x）是奇函數(shù).（3）解：由函數(shù)y=f（x）是R上的單調(diào)減函數(shù)，∴y=f（x）在［m，n］上也為單調(diào)減函數(shù).∴y=f（x）在［m，n］上的最大值為f（m），最小值為f（n）.∴f（n）=f［1+（n－1）］=f（1）+f（n－1）=2f（1）+f（n－2）=?=nf（1）.同理，f（m）=mf（1）.∵f（3）=－3，∴f（3）=3f（1）=－3.∴f（1）=－1.∴f（m）=－m，f（n）=－n.因此，函數(shù)y=f（x）在［m，n］上的值域?yàn)椋郏璶，－m］.評(píng)述：（1）滿足題設(shè)條件f（x+x′）=f（x）+f（x′）的函數(shù)，只要其定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，它就為奇函數(shù).（2）若將題設(shè)條件中的x＞0，均有f（x）＜0改成均有f（x）＞0，則函數(shù)f（x）就是R上的單調(diào)增函數(shù).（3）若題設(shè)條件中的m、n∈Z去掉，則我們就無法求出f（m）與f（n）的值，故m、n∈Z不可少.